因式分解--公式法
因式分解-评课
《因式分解---公式法》评课1、尊重学生的知识体验，找准学生新知的“最近发展区”教材是知识的载体，教师在充分把握教材知识点的前提下灵活处理教材内容。
本节课，于老师从生活实例“求两个正方形所围成的绿地面积”入手先让学生主动探究。
于老师的创造性开发课程资源，合理运用教学方法，发挥学生已有基础知识迁移作用，既激发了学生的学习兴趣，同时也体现了知识间的联系。
新课的引入顺利自然，也使学生在课的一开始就积极地投入到课堂教学之中。
课程既有新意又切合学生实际，符合学生认知。
2、注重学生自主探索，激发学生主动获取新知。
数学新课程标准指出：数学教学要以学生发展为本，让学生生动活泼、积极主动地参与数学学习活动，使学生在获得所必须的基本数学知识和基本技能的同时，在情感、态度、价值观和能力等方面都得到发展。
根据教材的特点，于老师在深入钻研与把握教材的基础上，力求引导学生自我完成探究，在初步经历"观察、尝试、操作、交流、欣赏"等数学活动中形成相关的活动经验，体验数学知识。
在课堂上创建一种开放的、浸润的、积极互动的课堂文化，让学生学得轻松愉快、扎实有效。
把学习的空间还给了学生，不仅培养了学生自主学习的能力，同时体验了成功的快乐。
3、挖掘教材素材，巧妙整合课程资源。
新课程实施的一个突出变化，就是教材不再是教学的唯一依据，不再占据绝对的主导地位，而是提倡教师依据自己所追求的，想要达到的目标，以及学生的实际情况，对教材内容进行选择、组合、再造，创造性地使用教材，体现的是用教材，而不是拘泥于教材。
于老师大胆进行教学从组，改变传统的因式分解教学，重视公式的特点的分析的，发展了学生的数学思维，同时为后继学习起到重要的作用。
很好的实现了有效的课堂教学。
于老师教学既用着教材又跳出教材，充分体现老师的教学智慧。
3.3.2因式分解-公式法--完全平方式
完全平方公式法
我们前面学习了利用平方差公式来分 解因式即： 2 2
a -b =(a+b)(a-b)
例如： 2-9b2= (2a+3b)(2a-3b) 4a
回忆完全平方公式 2 2 2 ab a 2ab b
ab
2
a 2ab b
2
2
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
2
请运用完全平方公式把下列各式分解因式：
2
1 1 5 x x 原式 x 4 2 2 2 2 6 4a 12ab 9b 原式 2a 3b
2
2
(1)3ax 6axy 3ay
2 2
2
( 2)( a b) 12 ( a b) 36
A、a2+b2+ab C、a2-ab+2b2
B、a2+2ab-b2 D、-2ab+a2+b2
2、下列各式中，不能用完全平方公 C 式分解的是（ ）
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
3、下列各式中，能用完全平方公式 分解的是（ D ） A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2 C、1 x 2 -2xy+y 2 D、 1 x 2 -xy+y 2
2 2
现在我们把这个公式反过来
2
2
很显然，我们可以运用以上这 个公式来分解因式了，我们把 它称为“完全平方公式”
a 2ab b a 2ab b
因式分解公式法
因式分解公式法
公式法定义:如果把乘法公式的等号两边反过来，就可以得到一些特殊形式的多项式的因式分解公式。
这种分解因子的方法叫做公式法。
分解公式：
1.平方差公式：
即两个数的平方差等于这两个数之和与这两个数之差的乘积。
2.完全平方公式：
也就是说，两个数的平方和加上(或减去)这两个数的乘积的两倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
注:可以用完全平方公式分解因子的多项式一定是三项式，其中两个可以写成两个数(或公式)的平方和，另一个是这两个数(或公式)的乘积的两倍。
公式:第一个正方形，最后一个正方形，两个乘积放在中间。
相同的符号相加，不同的符号相减，符号加在不同的符号之前。
通过例2我们可以总结出以下几点：
1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；
这里的“负”，指“负号”。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
需要注意的是，当一个多项式的整项都是公因式时，先提出这个公因式，然后不要遗漏括号中的1；公因数要一次性清理干净，每个括号内的多项式不能再分解。
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
4.如果以上方法无法分解，可以尝试分组、拆分、补充的方式进行分解。
公式:先提第一个负号，再看有没有公因数，然后看能不能设个公式，试试十字乘法，适当分组。
简便计算：229²-171²
解：229²-171²
=（229+171）（229-171）
=400×58
=23200。
(完整版)因式分解——公式法教案
因式分解——公式法（1）一．教课内容人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时二．教材剖析分解因式与数系中分解质因数近似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后边的学习过程中应用宽泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。
所以分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时，在因式分解中表现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
所以，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
依据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完好平方公式）。
所以公式法是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习要点。
三．教课目的知识与技术：理解和掌握平方差公式的构造特色，会运用平方差公式分解因式过程与方法： 1. 培育学生自主研究、合作沟通的能力2.培育学生察看、剖析和创新能力，深入学生逆向思想能力和数学应企图识，浸透整体思想感情、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的愉悦，进而加强学好数学的梦想和信心四．教课重难点要点：会运用平方差公式分解因式难点：正确理解和掌握公式的构造特色，并擅长运用平方差公式分解因式易错点：分解因式不完全五．教课方案（一）温故知新1.什么是因式分解？以下变形过程中，哪个是因式分解？为何？22（1）（ 2x - 1） = 4 x- 4x + 1;(2)3x2 + 9xy - 3x = 3x( x+ 3y + 1);(3)x2 - 4+ 2x = ( x + 2)( x - 2) + 2x.2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将以下多项式分解因式。
（1） a3b3 - 2a2 b - ab ;( 2) - 9 x2 y + 3xy2 - 6 xy.【设计企图】经过复习因式分解的定义和方法，为持续学习公式法作好铺垫。
3.依据乘法公式进行计算：（1）（ x + 1）(x -1)；（2）（ x + 2 y）(x - 2 y).4.依据上题结果分解因式：（1） x2 - 1；（2） x 2 - 4 y 2 .由以上 3、 4 两题，你发现了什么？【设计企图】经过整式乘法中的平方差公式引出公式法因式分解进而引出课题。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(提高)
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x =② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m≠0，解得x ＝1．(2)当m+n≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 24|6|2()n m m x m n -±==+，∴ 11x =，25n m x m n-=+．【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a mb mc =-=-= ∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 3(1),2(1)m m x m -±+==- ∴ 122, 1.1x x m==-2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ m ==1==，∴ 11m =+21m =．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥∴32m m x ±==∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x 2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣3）=0，∴x 1=﹣1，x 2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x 2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x-3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x-1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=.134．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
因式分解——运用公式法
因式分解——运用公式法因式分解是将一个多项式化简成一系列乘积的过程。
通常有两种方法用于进行因式分解：公式法和分组法。
公式法可以概括为以下几种常用的因式分解公式：1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是平方差公式，用于因式分解差的平方。
例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。
2. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，用于因式分解和的立方。
例如，我们可以将x³+8分解为(x+2)(x²-2x+4)。
3. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，用于因式分解差的立方。
例如，我们可以将x³-8分解为(x-2)(x²+2x+4)。
4. a⁴ + b⁴ = (a² + √2ab + b²)(a² - √2ab + b²)这是四次和公式，用于因式分解和的四次方。
例如，我们可以将x⁴+16分解为(x²+4√2x+4)(x²-4√2x+4)。
5. a⁴ - b⁴ = (a² - √2ab + b²)(a² + √2ab + b²)这是四次差公式，用于因式分解差的四次方。
例如，我们可以将x⁴-16分解为(x²-4√2x+4)(x²+4√2x+4)。
除了以上这些常用的因式分解公式外，还有一些其他形式的因式分解公式，以及一些特殊的因式分解技巧。
例如，对于一个二次方程式ax² + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 来因式分解。
根据求根公式，我们可以将二次方程ax² + bx + c 分解为两个因式的乘积 (x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁和 x₂是由求根公式得到的两个根。
因式分解的9种方法
因式分解的多种方法----知识延伸，向竞赛过度1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。
2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。
注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。
例二：42-x 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。
一元二次方程的解法--公式法因式分解法—知识讲解
一元二次方程的解法--公式法因式分解法—知识讲解一、公式法公式法是求解一元二次方程最常用的方法之一，通过使用二次方程的根公式来求解方程的解。
根公式：对于一般的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解可表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a解释：在方程中，±表示求两个解，即一个解为加号后面的部分，另一个解为减号后面的部分。
√表示开平方根；在根号下的部分称为判别式，用来判断方程有几个解和解的性质。
二、因式分解法因式分解法是通过将一元二次方程表示为两个一次因式的乘积形式来求解方程的解。
步骤：1. 将一元二次方程形式化为ax^2 + bx + c = 0的形式。
2.对方程进行因式分解，将方程表示为(x+m)(x+n)=0的形式，其中m和n是常数。
3.列出等式(x+m)(x+n)=0的两个等式，即x+m=0和x+n=0，并解这两个等式，求得方程的解。
举例：假设有一元二次方程x^2+5x+6=0，现在我们使用公式法和因式分解法来求解方程的解。
1.公式法：根据公式法，我们有：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a带入方程的系数a=1、b=5和c=6，我们可以计算出判别式d = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1根据判别式的值，我们可以得出以下结论：a)当判别式d>0时，方程有两个不相等的实数解；b)当判别式d=0时，方程有两个相等的实数解；c)当判别式d<0时，方程没有实数解，有两个共轭虚数解。
带入计算得：x=(-5±√(1))/2(1)=(-5±1)/2所以，方程的解为x=-3或x=-22.因式分解法：将方程x^2+5x+6=0因式分解为(x+2)(x+3)=0的形式。
分别令x+2=0和x+3=0，求解得到：x=-2或x=-3所以，方程的解为x=-2或x=-3通过比较可以发现，公式法和因式分解法得到的解是相同的。
八年级数学-因式分解-公式法
2. 分解因式--公式法
甘肃清水*王河中学 刘贵*
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1
温故知新
1 一． 因式分解：把一个多项式化为几个整 式的积的形式，叫做多项式的因式分解
二． 如：ma+mb+mc = m（a+b+c）
三．
a2-b2 =（a+b）（a-b）
2 提公因式法：如 ma+mb+mc = m（a+b+c） 公因式：如 上式中m 公因式的特征：1,2,3
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§12.2.1 单项式与单项式相乘
小结注意：
(1) 因式分解的运算过程与多项式的乘法运算过程 刚好是互逆运算，不能混淆，更式法应将负号 一起提取，是括号里的第一项系数为正数；
(3) 分解到每一个多项式不能再继续分解为止
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一．
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§12.5.2 因式分解--公式法
整式乘法公式回顾
1 平方差公式 a2-b2 = (a+b)(a-b) 2 完全平方公式 ( 两数和（差）公式 )
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2 =a2-2ab+b2
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§12.5.2 因式分解--公式法
整式乘法公式回顾
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公因式的特征
（1）公因式中的系数是多项式中各项 系数的最大公约数
（2）公因式中的字母（或因式）是多 项式中各项的相同字母（或因式）
（3）公因式中字母（或因式）的指数 取相同字母（或因式）的最小指数
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温故知新
1 填空（把下列各式分解因式，要求直接写出结果）
3.3因式分解--公式法
1．下列运用平方差公式分解因式中，正确的是( A．x2＋y2＝(x＋y)(x－y) B．x2－y2＝(x＋y)(x－y) C．－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
B )
D．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)
2．下列代数式中，是完全平方式的有( A ) ①a2－4a＋4； ④6x2＋3x＋1； A．①③ ②9a2＋16b2－20ab； ⑤x2＋4xy＋2y2. C．③④ D．①⑤ ③4y2－4y＋1；
(2)36m2a－9m2a2－36m2＝－9m2(a2－4a＋4)＝－9m2(a－2)2.
【规律总结】因式分解一般按下列步骤进行：
(1)一提．若有公因式，应先提取公因式． (2)二套．即套用公式，如果各项没有公因式，那么可以尝 试运用公式法来分解．若为二项式，考虑用平方差公式；若为
三项式，考虑用完全平方公式．
B．②④
3．把代数式 ax2－4ax＋4a 分解因式，下列结果中正确的是 ( A ) A．a(x－2)2 C．a(x－4)2 B．a(x＋2)2 D．a(x＋2)(x－2)
4 ． 把 多 项 式 2mx2 － 4mxy ＋ 2my2分 解 因 式 的 结 果 是 2m(x－y)2 ． ____________
因式分解的一般步骤
例 3：分解因式： (1)x3－4x；
(2)36m2a－9m2a2－36m2. 思路导引：(1)中有公因式 x，先提公因式，剩下 x2－4 可用
平方差公式分解．(2)中有公因式－9m2，提出后剩下 a2－4a＋4， 可用完全平方公式进行分解．
解：(1)x3－4x＝x(x2－4)＝x(x＋2)(x－2)．
1. 计算：（1）
(x-1) 2
(2) (2y+3)2
8.5因式分解2---公式法
课题：8.5 因式分解（2）第二课时 公式法主备人：王刚喜 审核人： 杨明 使用时间：2011年 月 日年级 班 姓名：学习目标：1、会直接用平方差公式和完全平方公式分解因式。
2、通过学生们自己对公式的正向和逆向应用的探究，发展自己的逆向思维能力和推理能力。
3、通过自主探究，培养学生逆向思维能力，亲身感受数学知识的整体性。
学习重点：会直接用平方差公式和完全平方公式分解因式。
学习难点：1、准确理解公式中字母“a ”、“b ”的广泛含义。
2、把多项式写成具备公式的特征。
一、学前准备1、回忆公式（1）完全平方公式： （2）平方差公式： 2、把下列整式写成另一个整式的平方（1）16= （2）16x 2 = （3）0.04m 2=（4）2291b a = （5）36(m-n)2= （6）2)2(4925y x +=3、把下列各式因式分解（1）a 2－a ＝ （2）5ab －15ac ＝（3）4a 2b －8ab 2＝ （4）()()x y y y x x ---=二、探究活动〖一〗探究一：利用平方差公式分解因式 【议一议】（1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2 （4）－x 2+y 2 （5）64x 2－9y 2 2．总结平方差公式的特点：1.左边特征是： .2.右边特征是： . 【例题分析】例1.把下列多项式分解因式：（1） 36－25x 2 （2） 16a 2－9b 2 （3）49m 2－0.01n 2例2.观察公式a 2－b 2 =(a +b )(a －b )，你能抓住它的特征吗？公式中的字母a 、b 不仅可以表示数，而且都可以表示代数式.尝试把下列各式分解因式（1）(x ＋p )2－(x ＋q )2 （2）16(m －n )2－9(m ＋n )2（3）9x 2－(x －2y ) 2 （4）－4(x ＋2y )2＋9(2x －y )2【练一练】 1.填空（1）x 2－16 ＝ ( )( ) （2）9－4y 2＝( )( ) （3）1－19a 2 ＝( )( )2.把下列各式分解因式：（1）4a 2－(b ＋c )2 （2）(3m ＋2n )2－(m －n )2（3）(4x －3y )2－16y 2 （4）－(x ＋2y )2＋25(x －2y )2〖二〗探究二：利用完全平方公式分解因式 【议一议】(1) a 2+2ab+b 2 (2) a 2－2ab+b 2 (3) a 2－ab+b 2 (4) a 2－2ab+4b 22．完全平方式的特点：左边：①项数必须是_________项； 右边：____________________ ②其中有两项是___________________；③另一项是__________________ ___.口诀： .【例题分析】例1. 议一议：判断下列各式是完全平方式吗？（1）a 2－4a +4 （2）x 2+4x +4y 2 （3）4a 2+2ab +14b 2（4）a 2－ab +b 2 （5）x 2－6x －9 （6）a 2+a +0.25 例2. 把下列多项式分解因式：（1） x 2＋10x ＋25 （2） 4a 2＋36ab ＋81b 2 （3）－4xy －4x 2－y 2例3.把下列各式分解因式（1）(x ＋y )2－18(x ＋y )＋81 （2）4－12(x －y )＋ 9(x －y )2【练一练】1.请补上项，使下列多项式成为完全平方式：（1）4m 2＋ ＋n 2＝(2m ＋ )2； （2）x 2－ ＋16y 2＝( )2； （3）4a 2＋9b 2＋ ＝( )2； （4） ＋2pq ＋1＝( )2. 2.分解下列因式：（1）9m 2－6mn ＋n 2 （2）49x 2＋y 2－43xy（3）a 2－12ab ＋36b 2 （4）a 2b 2－2ab ＋1三、自我测试1. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A .22b a +-B .22b a --C .22b a +D .33b a - 2. (x ＋1)2－y 2分解因式应是（ ）A . (x ＋1－y )(x ＋1＋y )B . (x ＋1＋y )(x －1＋y )C . (x ＋1－y )(x －1－y )D . (x ＋1＋y )(x －1－y ) 3．下列各式中能用完全平方公式分解的是 （ ） ①442+-x x ②1362++x x ③1442+-x x ④2224yxy x ++ ⑤2216209yxy x +-A .①③B .①②C .②③D .①⑤ 4．若x 2-2mx +1是一个完全平方式，则m 的值为 ； 5.把下列各式分解因式： （1）2161211mm +-（2）16－24(a －b )＋ 9(a －b )2(3) 2249x y - （4）()224y x z +-四、应用与拓展1.已知y x ,互为相反数，且的值求y x y x ,,4)2()2(22=+-+．。
因式分解公式
因式分解——公式法学习指导1．代数中常用的乘法公式有：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22．因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23．①应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。
②明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。
③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。
④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。
因式分解公式的结构特征。
1.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的结构特征1)公式的左边是一个两项式的多项式，且为两个数的平方差。
2)公式的右边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项a是完全相同的，即为左边式子中被减数a2的底数，另一项b和-b是互为相反数，即b 是左边式子中减数b2的底数。
3)要熟记1——20的数的平方。
2、完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2的结构特征.1)公式的左边是一个三项式,首末两项总是平方和的形式,中间项的符号有正有负,当为正号(负号)时右边的两项式中间符号为正(为负),2ab中的“2”是一个固定的常数。
2)公式的右边是两数和或差的平方形式。
3)要确定能不能应用完全平方公式来分解，先要看两个平方项，确定公式中的a和b在这里是什么，然后看中间一项是不是相当于+2ab或-2ab，如果是的，才可以分解为两数和或差的平方形式。
初学时中间的过渡性步骤不要省掉。
考点讲解利用因式分解与整式乘法之间的关系，把乘法公式反过来，就是因式分解的公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式，难点是灵活运用公式进行因式分解。
因式分解(提公因式法、公式法)
因式分解讲义一、概念因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解。
二、因式分解方法1、提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)公因式：一个多项式每项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：（1）系数是整数时取各项最大公约数。
（2）相同字母（或多项式因式）取最低次幂。
（3）系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
2、公式法（1）平方差公式：即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
（2）完全平方公式：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方。
口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。
同号加、异号减，符号添在异号前。
公式法小结：（1）公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
（2）选择公式的方法：主要看项数，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
（3）完全平方公式要注意正负号。
【典型例题】1、下列从左到右是因式分解的是（ ）A. x(a-b)=ax-bxB. x 2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 2C. x 2-1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若2249a kab b ++可以因式分解为2(23)a b -，则k 的值为______3、已知a 为正整数，试判断2a a +是奇数还是偶数？4、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(5)x +，且m+n=17，试求m ，n 的值5、将多项式3222012a b a bc -分解因式，应提取的公因式是（ ）A 、abB 、24a bC 、4abD 、24a bc6、已知(1931)(1317)(1317)(1123)x x x x -----可因式分解为()(8)ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（ ） A 、-12 B 、-32 C 、38 D 、727、分解因式（1）6()4()a a b b a b +-+ （2）3()6()a x y b y x --- （3）12n n n x x x ---+（4）20112010(3)(3)-+- （5）ad bd d -+； （6）4325286x y z x y -（10）（a －3）2－（2a －6） （11）－20a －15ax; （12）（m ＋n ）（p －q ）－（m ＋n ）（q ＋p ）8、先分解因式，再计算求值（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)x x x x x x x -+--+--+ 其中x=1.5（2）22(2)(1)(1)(2)a a a a a -++--- 其中a=189、已知多项式42201220112012x x x +++有一个因式为21x ax ++，另一个因式为22012x bx ++，求a+b 的值10、若210ab +=，用因式分解法求253()ab a b ab b ---的值11、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、22x 4y +B 、22x 2y 1-+C 、224x y -+D 、224x y --12、分解下列因式（1）2312x - （2）2(2)(4)4x x x +++- （3）22()()x y x y +--（4）32x xy - （5）2()1a b -- （6）22229()30()25()a b a b a b ---++（7）2522-b a ； （8）229161b a +-； （9）22)()(4b a b a +--（10）22009201120101⨯- （11）22222100999897...21-+-++-13、若n 为正整数，则22(21)(21)n n +--一定能被8整除14、)10011)(9911()411)(311)(211(22222--⋅⋅⋅---15、在多项式①22x 2xy y +- ②22x 2xy y -+- ③22x xy+y + ④24x 1+4x +，（5）2161a +中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）16、A 、①② B 、②③ C 、①④ D 、②④16、222)2(4)________(y x y x -=++ 222)(88)_______(8y x y x +=++。
因式分解-公式法
例1.把下列各式分解因式
（1）16a² -1
( 2 ) 4x² - m² n²
(3)
9 —
25
x²-
1 — 16
y²
( 4 ) –9x² +4
例2.把下列各式因式分解
1）( x + z )² - ( y + z )² 2）(x + y + z)² - (x – y – z )²
3） 4( a + b)² - 25(a - c)²
2. 计算: 7652×10－2352 ×10
3.20102+2010能被2011整除吗?
3、乘风破浪!把下列各多项式分解因式:
1） x2-y2+x+y
2）x4-y4 3）x2+2x+1-y2
4、证明：连续两个奇数的平方差可以被8整除.
◆仔细做一做： 分解因式:
(x+y)2+4(x-y)2-4(x2-y2).
◆创新应用:
已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2005的值.
◆综合拓展: 已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足等式 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC是等边三角形.
思考题: 1、多项式:
2 2 2 2 (x+y) -2(x -y )+(x-y) 能
2
请运用完全平方公式把下列各式分解因式：
1 x 4 x 4 2 a 6a 9 2 （ 1 ） 2 4a 4a 1 3 （ 2 ） 2 2 （ 3 ） 4 9m 6mn n
2
2-12(a+b)+36 1 （4） ( a + b ) 2 5 x x 4 2 2 6 4a 12ab 9b
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5．把下列各式分解因式：
(1)(2x－1)2－(x＋2)2； (2)4x2－12x＋9.
解：(1)原式＝(2x－1＋x＋2)(2x－1－x－2)＝(3x＋1)(x－3)．
(2)原式＝(2x)2－12x＋32＝(2x－3)2.
1、下列多项式中，是完全平方式的是( ) A、x 2-6x-9 B、a 2 -16a+3 C、x 2 -2xy+4y 2 D、4a2 -4a+1 2、下列多项式属于正确分解因式的是( ) A、1+4x 2 =(1+2x)2 B、6a-9-a 2 =-(a-3)2 C、1+4m-4m2 =(1-2m)2 D、x2 +xy+y 2 =(x+y) 2 3、分解因式： （1）a2 -10a+25 (2)-3x2 +6xy-3y2 4 (3) 3ax 2 +6axy+3ay 2 (4) (a+b) -12(a+b) 2 +36
)
分解因式必须 进行到每一个 (1)x4—y4; (2) a3b — ab. 多项式都不能 再分解为止 . 分析:(1)x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式，
例4 分解因式:
这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.
(2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式, 再进一步分解.
解:(1) x4－y4
因式分解的一般步骤
例 3：分解因式： (1)x3－4x；
(2)36m2a－9m2a2－36m2. 思路导引：(1)中有公因式 x，先提公因式，剩下 x2－4 可用
平方差公式分解．(2)中有公因式－9m2，提出后剩下 a2－4a＋4， 可用完全平方公式进行分解．
解：(1)x3－4x＝x(x2－4)＝x(x＋2)(x－2)．
例3 分解因式: (1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –32， 即可用平方差公式分解因式. 在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体， 设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2. (1) 4x2 –9 (2) (x+p)2 – (x+q) 2 = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]
(2)36m2a－9m2a2－36m2＝－9m2(a2－4a＋4)＝－9m2(a－2)2.
【规律总结】因式分解一般按下列步骤进行：
(1)一提．若有公因式，应先提取公因式． (2)二套．即套用公式，如果各项没有公因式，那么可以尝 试运用公式法来分解．若为二项式，考虑用平方差公式；若为
三项式，考虑用完全平方公式．
分解因式
（1） 16x 2 +24x+9
(2) -x 2 +4xy-4y 2
2 解：(1)原式=（4x） +2•4x•3+32 =(4x+3)2
(2)原式=-(x -4xy+4y ) 2 2 =-[x -2•x•2y+(2y) ] =-(x-2y)2
【规律总结】凡是符合完全平方公式左边特点的三项式， 都可以运用完全平方公式分解因式．
用平方差公式分解因式(重点 例 1：将下列各式分解因式：
(1)25m2－n2； (2)(x－y)2－1.
思路导引：可直接利用平方差公式分解因式．
解：(1)25m2－n2＝(5m)2－n2＝(5m＋n)(5m－n)． (2)(x－y)2－1＝(x－y＋1)(x－y－1)． 【规律总结】凡是符合平方差公式左边特点的二项式，都 可以运用平方差公式分解因式．
15.4.2 思考：
公式法(2)
你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因 式吗？这两个多项式有什么特点？
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的Hale Waihona Puke 倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
=3a(x+y)2 .
=(a+b－6)2.
用完全平方公式分解因式(重点) 把整式乘法中的完全平方公式反过来，就得到 a2＋2ab＋b2 ＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 例 2：分解因式： (1)y2－4x(y－x)；
(2)(a2＋b2)2－4a2b2.
思路导引：(1)题将原式展开，再运用完全平方公式即可分 解；(2)题先运用平方差公式分解因式，然后将各个因式运用完
= (x2+y2)(x2－y2)
(2) a3b－ab
=ab(a2－ 1) =ab(a+1)(a－ 1).
= (x2+y2)(x+y)(x－y).
1. 计算：（1）
(x-1) 2
(2) (2y+3)2
2. 根据1题的结果分解因式： （1） x2 -2x+1
（2） 4y2 +12x+9
3.由以上1、2两题你发现了什么？
2
2
例6 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2－12(a+b)+36.
(2)中将a+b看作一 个整体，设a+b=m, 则原式化为完全平 方式m2－12m+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公 因式，再进一步分解. 解：(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2－12(a+b)+36 =3a(x2+2xy+y2) =(a+b)2－2· (a+b)· 6+62
§15.4 .2 公式法
1. 计算：（1）
(x+1)(x-1)
(2) (y+4)(y-4)
2
2. 根据1题的结果分解因式： 2 （1） x -1 3.由以上1、2两题你发现了什么？
（2） y -16
思考
15.4.2
公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗? (a+b)(a－b) = a2－b2 a2－b2 =(a+b)(a－b)
全平方公式分解因式．
解：(1)y2－4x(y－x)＝y2－4xy＋4x2＝(y－2x)2.
(2)(a2＋b2)2－4a2b2＝(a2＋b2)2－(2ab)2 ＝(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2ab)＝(a＋b)2(a－b)2. 【规律总结】凡是符合完全平方公式左边特点的三项式， 都可以运用完全平方公式分解因式．
B．②④
3．把代数式 ax2－4ax＋4a 分解因式，下列结果中正确的是 ( A ) A．a(x－2)2 C．a(x－4)2 B．a(x＋2)2 D．a(x＋2)(x－2)
4 ． 把 多 项 式 2mx2 － 4mxy ＋ 2my2分 解 因 式 的 结 果 是 2m(x－y)2 ． ____________
1．下列运用平方差公式分解因式中，正确的是( A．x2＋y2＝(x＋y)(x－y) B．x2－y2＝(x＋y)(x－y) C．－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
B )
D．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)
2．下列代数式中，是完全平方式的有( A ) ①a2－4a＋4； ④6x2＋3x＋1； A．①③ ②9a2＋16b2－20ab； ⑤x2＋4xy＋2y2. C．③④ D．①⑤ ③4y2－4y＋1；
= (2x)2 – 3 2
= (2x+3)(2x – 3). =(2x+p+q)(p–q).
1、下列多项式中，能用平方差分解因式的是( 2 A、x2 -xy B、x2 +xy C、x –y 2 D、x2 +y 2 2、分解因式： 2 2 2 2 （1）a -144b (2)16(x+y) -25(x-y)
例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x= 2· 4x· 3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2· 4x· 3+32
a· b +b2 a2 + 2 ·
【规律总结】凡是符合完全平方公式左边特点的三项式， 都可以运用完全平方公式分解因式．
2．用完全平方公式分解因式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这 和(或差)的平方 两个数的______________． (a＋b)2 ； 用公式表示为 a2＋2ab＋b2＝________ (a－b)2 a2－2ab＋b2＝________.
形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的多项式 叫做完全平方式
通过本节课的学习，你有哪些收获和感悟？
1.把x -2x2 y2 +y 分解因式，结果是（ ） A、 (x-y) 4 B (x 2 -y2 )4 C、 (x+y) 2 (x-y)2 D、 (x+y)2 (x-y) 2. 分解因式： 2 2 2 2 2 2 2 （1） (x +4y ) -16x y (2) a (a-b)+b (b-a) 3. 已知 x=-19, y=12, 求代数式4x2 +12xy+9y2
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