15-第15讲微分中值定理教学教案
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。
解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。
1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。
通过示例解释罗尔定理的应用。
1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。
通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。
第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。
解释导数与函数单调性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。
2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。
解释导数与函数极值的关系。
通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。
2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。
解释导数与函数凹凸性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。
第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。
通过示例解释洛必达法则的应用。
3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。
通过示例解释泰勒公式的应用。
3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。
第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。
解释如何利用导数进行边际分析。
通过示例说明导数在边际分析中的应用。
4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。
解释如何利用导数解决优化问题。
通过示例说明导数在优化问题中的应用。
第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。
解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。
5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。
指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。
5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。
进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。
第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。
展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。
通过实例演示导数与切线的关系。
《微分中值定理》课件
积分中值定理的应用：求解 定积分、证明不等式等
积分中值定理：描述函数在 某区间上的平均值与该区间 内函数值的关系
傅里叶级数的应用：信号处 理、图像处理、数据分析等
06
微分中值定理的习题和 解析
基础题目解析
题目：求函数f(x)=x^2+2x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值 题目：求函数f(x)=x^3-2x^2+3x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值
解决实际问题：微分中值定理在物理、工程等领域的实际问题中有广泛应用。
优化算法：微分中值定理在优化算法中有重要应用，如梯度下降法、牛顿法等。
证明不等式：微分中值定理在证明不等式方面有广泛应用，如拉格朗日中值定理、柯西 中值定理等。
解决微分方程：微分中值定理在解决微分方程方面有重要应用，如欧拉-拉格朗日方程、 庞加莱方程等。
提高题目解析
分析题目：分析题目中的已 知条件和未知条件，找出题 目中的关键信息
理解题目：明确题目要求， 理解题目中的关键词和条件
解题步骤：列出解题步骤， 每一步都要有明确的依据和
理由
解题技巧：总结解题技巧， 如使用公式、定理、图形等
工具进行解题
综合题目解析
题目类型：微 分中值定理的
综合题目
题目来源：教 材、习题集、
03
微分中值定理的基本概 念和性质
导数的定义和性质
导数的定义：函数在某一点的切线 斜率
导数的计算方法：极限法、导数公 式、导数表
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：引言与预备知识【教学目标】1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握基本函数的求导法则。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理的背景和应用。
2. 复习基本函数的求导法则，包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导。
【教学活动】1. 教师讲解微分中值定理的概念和意义，引导学生理解其重要性。
2. 学生自主学习基本函数的求导法则，并进行练习。
教案章节二：罗尔定理【教学目标】1. 理解罗尔定理的表述和证明。
2. 掌握罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍罗尔定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解罗尔定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习罗尔定理的应用，并进行练习。
教案章节三：拉格朗日中值定理【教学目标】1. 理解拉格朗日中值定理的表述和证明。
2. 掌握拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍拉格朗日中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解拉格朗日中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习拉格朗日中值定理的应用，并进行练习。
教案章节四：柯西中值定理【教学目标】1. 理解柯西中值定理的表述和证明。
2. 掌握柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍柯西中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解柯西中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习柯西中值定理的应用，并进行练习。
教案章节五：微分中值定理的应用【教学目标】1. 理解微分中值定理在实际问题中的应用。
2. 掌握利用微分中值定理解决实际问题的方法。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理在实际问题中的应用，如求函数的单调区间、极值和最值等。
2. 通过例题讲解如何利用微分中值定理解决实际问题。
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：预备知识1.1 函数的极限教学目标：理解函数极限的概念，掌握极限的计算方法。
教学内容：引入函数极限的概念，探讨极限的性质和计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解极限的概念，利用图形和数学分析软件演示极限过程，让学生体会极限的意义。
1.2 连续函数教学目标：理解连续函数的概念，掌握连续函数的性质和判断方法。
教学内容：介绍连续函数的定义，探讨连续函数的性质，如保号性、保界性等，学习连续函数的判断方法。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解连续函数的概念，利用图形和数学分析软件演示连续函数的性质，让学生掌握判断连续函数的方法。
教案章节二：微分中值定理2.1 罗尔定理教学目标：理解罗尔定理的内容和意义，学会运用罗尔定理解决问题。
教学内容：介绍罗尔定理的定义，探讨罗尔定理的条件和结论，学习如何应用罗尔定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解罗尔定理的内容，利用图形和数学分析软件演示罗尔定理的应用，让学生学会运用罗尔定理解决问题。
2.2 拉格朗日中值定理教学目标：理解拉格朗日中值定理的内容和意义，学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教学内容：介绍拉格朗日中值定理的定义，探讨拉格朗日中值定理的条件和结论，学习如何应用拉格朗日中值定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解拉格朗日中值定理的内容，利用图形和数学分析软件演示拉格朗日中值定理的应用，让学生学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教案章节三：微分中值定理的应用3.1 导数的应用教学目标：理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
教学内容：引入导数的概念，探讨导数的性质和计算方法，如求导法则、高阶导数等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解导数的概念，利用图形和数学分析软件演示导数过程，让学生体会导数的意义。
3.2 函数的单调性教学目标：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判断方法。
《微分学中值定理》课件
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微 分学的基本概念和定理具有重要意义。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。 Nhomakorabea04
微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具， 可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得 极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导 数
实例2：求解函数在某区间上的 最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜 率
实例4：求解函数在某点处的切 线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分 学中值定理的推 广和延伸
泰勒定理将微分 学中值定理中的 函数值扩展到函 数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解
关于微分中值定理的教学设计
图 ２ 拉 格 朗 日 中 值 定 理
图 ３ 柯 西 定 理
进而 由 图 １ 说 明 罗 尔 中 值 定 理 的 三 个 条 件 缺 一 不 可,ξ 的值有可能不唯一,点ξ 就是函数的 驻 点 (或 临 界 点). 由 图 ２说明拉格朗日中值 定 理 满 足 前 两 个 条 件,ξ 的 值 有 可 能 不 唯一.罗尔中值定理与拉格朗日中值 定 理 相 比 较,条 件 中 去 掉了f(a)＝f(b),因此 拉 格 朗 日 中 值 定 理 是 罗 尔 中 值 定 理 的推广;而 罗 尔 中 值 定 理 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 当 f(a)＝ f(b)时的特例.由图３ 说 明 柯 西 中 值 定 理 中 将 函 数 曲 线 变 为参数曲线,因 此 柯 西 中 值 定 理 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 推 广;而拉格朗日中值定理 是 柯 西 中 值 定 理 当 g(x)＝x 时 的 特例.同时通过图１、图２、图３说明 三 个 中 值 定 理 的 几 何 意 义.经过这样设计教 学 过 程 可 以 非 常 直 观 形 象 的 显 示 这 三 个定理,在课堂教学中,这点是非常重 要 的;应 用 函 数 图 形 进 行说明能使学生更直观理解定理的几何背景.并且图形化 的这种直接表示能启发和引导学生从观察几何图形开始加 深对微分中值定理的认识,增加学生对这 三 个 定 理 的 学 习 兴 趣,使学生直观理解 三 个 定 理 的 相 同 点 和 不 同 点,通 过 对 比 讲授使学生更容易 记 忆 和 理 解,采 用 这 种 教 学 设 计,学 生 容 易接受,变抽象为形象,达到较好的教 学 效 果,为 后 续 微 分 中 值定理的应用打下坚实的基础.
关于微分中值定理的教学设计
微分中值定理说课
《微分中值定理》一、教材分析我说课的内容是中国经济出版社《数学分析》教材中第四章第一节《微分中值定理》.《数学分析》课程是师范专科院校小学教育专业的必修课程.中值定理是微分学的基本定理，是一系列中值定理的总称，是应用导数研究函数在区间上整体性态的有力工具.本节课是在已经学习了导数运算的基础上，通过微分中值定理建立函数与其导数之间的联系，使学生对微分学有初步的理论认识，并为今后应用导数把握函数特征打下基础.二、教学目标本着师范专业对《数学分析》课程”必须够用”的原则，根据培养师范生“数学应用能力”的教学要求，我制定了本节课的教学目标如下：1.知识目标：理解和记忆罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件和结论，并深刻理解三个定理之间的异同及其几何意义2.能力目标：会应用三个定理进行简单的不等式、等式证明和方程根存在的证明3.德育目标：通过定理的几何意义体会”形象思维”在数学分析学习中的应用，通过三个定理的联系体会数学中”将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题”的论证思想.三、教学重点、难点我所教授的学生是师范专业科学双语二年级的学生，由于学生的数学基础比较薄弱，对于数学分析中理论性的内容，本着”领会实质，掌握应用“的原则，我将本节课的教学重难点制定如下：1.教学重点：理解和记忆罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理的条件和结论；会应用三个定理进行简单的不等式、等式证明和方程根存在的证明2.教学难点：深刻理解三个定理之间的异同及其几何意义四、教学方法由于数学分析课程自身的特点，本节课我采用以教师讲授为主，学生探究练习为辅的综合讲授法.并在教学中贯穿对学生形象思维能力的培养与训练，激发学生的学习兴趣与潜能，以到达较好的教学效果.五、说教学过程遵循着“复习旧知---讲授新知---总结归纳”的原则，本节课的教学内容由以下四部分组成：对于教学过程我将分别从整体和细节两个角度进行说明.（一） 整体把握由于数学分析课程中的理论内容抽象难懂，为了更好的激发学生的学习兴趣，提高学生的理解能力，因此我采用形象思维的方法进行教学，即通过直观信息总结抽象的结论，通过函数图像的变化总结定理之间条件与结论的变化，进一步得到每一个定理的应用方式。
微积分学 P.P.t 标准课件15-第15讲导数概念
(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：
y f ( x0 x) f ( x0 ) ; x x
(3) 求 x 0 的极限：
y f ( x0 x) f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
二.导数的概念
1. 导数的定义
e – x,
x>0
由可导性：
f (0 x) f (0) e x 1 x lim 1 lim lim x 0 x 0 x 0 x x x
f (0 x) f (0) (1 bx) 1 lim lim b x x x 0 x 0
称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之
为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：
y f ( x x) f ( x) f ( x) lim lim x x 0 x x 0
定义
若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 f (a) , f (b) 存在,
f ( x0 ) a， y'| x x0 a,
dy d f ( x0 ) a， dx dx
x x0
a.
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则
f ( x) f ( x 0 ) f ' ( x0 ) lim ; x x0 x x0
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十五讲 导数的概念
脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第四章 一元函数的导数与微分
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理的重要性
微分中值定理是导数应用的基础，它可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。
微分中值定理也是解决一些实际问题的关键工具，例如在物理学、工程学等领域中，微分中值定理的应用非常广泛。
微分中值定理的证明方法有多种，其中最常用的是利用拉格朗日中值定理进行证明。
利用导数求切线方程
总结词
通过导数，我们可以找到函数在某一点的切线斜率，从而确定切线方程。
详细描述
给定一个函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$，它表示函数在$x_0$处的切线斜率。切线方程可以由点斜式得出，即$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$，其中$y_0 = f(x_0)$。
利用微分中值定理证明不等式
微分中值定理也可以用于证明不等式。
总结词
通过构造适当的辅助函数，我们可以利用微分中值定理来证明一些不等式。例如，如果我们想证明一个函数在某个区间上的最大值或最小值不超过某个常数，我们可以构造一个辅助函数，使其在区间端点的函数值为零，然后在区间内部取正值或负值，这样就可以利用微分中值定理来证明不等式。
导数大于零表示函数在该区间内单调递增，导数小于零表示函数在该区间内单调递减。
总结词
如果函数$f(x)$在区间$(a, b)$内的任一点都可导，并且$f'(x) > 0$，则函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增；如果$f'(x) < 0$，则函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递减。
详细描述
利用导数研究函数的单调性
VS
函数的极值点满足导数为零或不可导的条件，通过这些点可以找到函数的极值。
微分中值定理教案
§3. 1 中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理首先，观察图1. 设曲线弧 是函数[]) ,)((b a x x f y ∈=的图形. 这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两 个端点的纵坐标相等，即)()(b f a f =．可以发现曲线的最高点或最低 点C 处, 曲线有水平的切线. 如果记C 点的横坐标为ξ，那么就有0)(='ξf现在用分析语言把这个几何现象描述出来，就是下面的罗尔定理. 为了应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理.费马（Fermat ）引理 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的)(0x U x ∈，有 )()(0x f x f ≤ （或)()(0x f x f ≥）， 那么0)(0='x f .证明 不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤ （如果)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）.于是，对于)(00x U x x ∈∆+,有 )()(00x f x x f ≤∆+， 从而当0>∆x 时，0)()(00≤∆-∆+xx f x x f ；当0<∆x 时，0)()(00≥∆-∆+xx f x x f .根据函数)(x f 在0x 可导的条件及极限的保号性，便得到0)()(lim )()(0000≤∆-∆+='='+→∆+xx f x x f x f x f x ， .0)()(lim )()(0000- 0≥∆-∆+='='-→∆x x f x x f x f x f x 所以，0)(0='x f .证毕. （通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点））罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.证明 由于)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，)(x f 在闭区间[]b a ,上必定取得它的最大值M 和最小值m ．这样,只有两种可能情形：(1)M ＝m ．这时)(x f 在区间[]b a ,上必然取相同的数值M ：)(x f ＝M ．由此，),(b a x ∈∀,有0)(='x f .因此，任取),(b a ∈ξ，有0)(='ξf ．(2)M ＞m ．因为)()(b f a f =，，所以M 和m 这两个数中至少有—个不等于)(x f 在区间[]b a ,的端点处的函数值．为确定起见，不妨设M )(a f ≠(如果设m )(a f ≠，证达完全类似)．那末必定在开区间(b a ,) 内有一点ξ使=)(ξf M ．因此，[]b a x ,∈∀ ，有)()(ξf x f ≤，从而由费马引理可知0)(='ξf .定理证毕. 注 证明方程有根，一是用零点定理，二是用罗尔定理.y图1⌒AB例1 设)(x f 在[]1,0上连续，)1,0(内可导，且1)21(,0)1()0(===f f f ，试证：至少存在一个)1,0(∈ξ，使1)(='ξf . 证明： 令x x f x F -=)()(，则0)0(=F ，21)21(=F ，1)1(-=F .由闭区间上连续函数的零点定理可知，存在)1,21(∈η，使0)(=ηF .再由罗尔定理得，至少存在一个)1,0(),0(⊂∈ηξ，使0)(='ξF ，即1)(='ξf .二、拉格朗日中值定理罗尔定理中)()(b f a f =这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制．如果把)()(b f a f =这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那末就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理．拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a ,<b ), 使得等式 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ) 成立.在证明之前，先看一下定理的几何意义.如果把（1）式改写成)()()(ξf a b a f b f '=--， 由图2可看出，ab a f b f --)()(为弦AB 的斜率，而)(ξf '为曲线在点C 处的切线的斜率．因此拉格朗日中值定理的几何意义是；如果连续曲线)(x f y =的弦AB 上除端点外处处具有不垂直于x 那末这弧上至少有一点C ，使曲线在C 点处的切线平行于弦AB ．从罗尔定理的几何意义中(图1)看出，由于)()(b f a f =，弦AB 是平行于x 轴的，因此点C 处的切线实际上也平行于弦AB ．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数)(x f 不一定具备)()(b f a f =这个条件，为此我们设想构造一个与)(x f 有密切联系的函数)(x φ(称为辅助函数)，使)(x φ满足条件)()(b a φφ=．然后对)(x φ应用罗尔定理，再把对)(x φ所得的结论转化到)(x f 上，证得所要的结果．我们从拉格朗日中值定理的几何解释中来寻找辅助函数，从图3—2中看到，有向线段NM 的值是x 的函数，把它表示为)(x φ,它与)(x f 有密切的联系，当a x =及b x =时，点M 与点N 重合，即有0)()(==b a φφ．为求得函数)(x φ的表达式，设直线AB 的方程为)(x L y =，则)()()()()(a x ab a f b f a f x L ---+=,由于点M 、N 的纵坐标依次为)(x f 及)(x L ，故表示有向线段NM 的值的函数)()()()()()()()(a x ab a f b f a f x f x L x f x -----=-=φ.下面就利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理．定理的证明: 引进辅函数 令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-ab a f b f --)()((x -a ).容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(.根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即 f '(ξ)-ab a f b f --)()(=0.图2由此得ab a f b f --)()(= f '(ξ) , 即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而 f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下推论:推论1 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数. 例2. 证明当x >0时,x x xx <+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。
【doc】《微分中值定理》教学设计
《微分中值定理》教学设计第9眷l999年第4期第4期兵团教育学院JOU'~ALOFBINGTUAN蹦玎DND糟Tm丌rEx~1.9N4Dee.1999《微分中值定理》教学设计王淑责微分学中值定理包括费马定理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理.用发现法讲授这组定理,可以使学生体验发现真理的乐趣,学习解决问题的策略.提高发现问题,分析同题,解决问题的能力.文…给出了用发现法讲授微分中值定理的一种教学设计.本文给出用发现法讲授微分中值定理的另一种教学设计.l费马定理1.1有关概念(1)设函数f在的某个邻域U()内有定义,若对U()内的一切x都有f(x)≤U(xo)(f(x)≥U())(1)则称函数f在取得极大(小)值,称xo为函数f的极大(小)值点.如图所示,连续函数y=f(x)的图象C是一条连续曲线,x1与是f的极大值点,是f的极小值点.对应地,点(x1,f())与(,f(x3))是曲线C上的局部最高点,(.f())是曲线C上的局部最低点.(2)设菌敬f在Xo可导,若f(x0)=0,则称为函数f的稳定点.1.2问题l:可导函数f的图象在其极值点处的切线有何特点?能否用f=()表示这一特点?(1)探索问题l的答案:囝1观察图1.容易得出l}(下结论:可导函数f的图象在其板值点处的切线平行于x轴. 这一特点可表示为f()=0(2)概括上述结论,提出猜想l:设函数f在可导,若为f的极值点,则f,()=O(2)(3)判断猜想l的正确性:设为f的极小值点.则存在的某个邻域U(xo.8).使得对一切xEU(,8),均有f(x)一f(xo)I>0于是.当<x<时,≤0.当<x<+由f在可导与极限的不等式性质得到一76—f((≤0,f()(/>o故有f(xo)=0同理可得.当xo为f的极大值点时.亦有r(xo)=0于是.我们得到下面的定理.定理l:设函数f在可导.若xo为f的极值点,则f()=02罗尔中值定理2.1问题2:两端点处等高的连续的光精曲线c'是否存在平行于x轴的切线?(1)探索问题2的答案:观察图2,窖易得出下结论:若函数f在【a,b]上连续,在(a.b)内可导,并且f(a)=f(b),则f在(a,b)内至少有一个极值点毛在该点处,曲线c的切线平行于x轴,即f(})=0(2)概括上述结论,提出猜想2:若函数f在【a.b]上连续,在(a.b)内可导,并且f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点e,使得f(e)=0(3)判断猜想2的正确性:由于函数f在【a.b]上连续.所以函数f在【a,b]上存在最大值M与最小值rno若M=m,则f(x)~-c.~(x)------o.任取一点E∈(a,b).均有f(e)=0圉2若M≠m.则由f()=f(b)可知:M与m至少有一个在(a,b)内的某一点e处取得,于是.} 是f的投值点.由定理l,f(e)=0于是,我们得到以下定理.定理2:若函数f满足条件:r在【a,b]上连续;2'在(a,b)内可导;3.f()=fib)剜在(a,b)内至少存在一点∈'使得f(})=02.2思考题:定理2中的三个条件各起什么作用?取消或减弱其中一条,结论会发生什么变化?3拉格朗日中值定理3.1问题3:以A,B为端点的光精曲线c.是否存在平行于弦AB的切线?(1)探索问题3的答案:图3作曲线c的割线1,使它平行于弦AB.移动剖线1.始终保持使I平行于AB.当相邻两个割点重合于点P时.就得到了曲线C 的平行于一77—弦AB的切线.这时切线的斜率f(e)等于弦AB的斜率鱼.(2)概括上述结论.提出猜想3:设函数f在【a'b]上连续.在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点e.使得f(e):(3)(3)判断猜想3的正确性:将f(e)=亡变塑为f(e)一幽毫=0.由此可见,若能找到一个可导函数g(x),使得g(e)=})一{{.则对g(x)应用定理2即可.为使g(x)符合上述要求,根据一求导公式,只要取g(x)=f(x)一x+c(c为任意常数)即可.特别地,当c=0时.g (x):f()一令g(x)=f(x)一x,x∈[a'b】,则g(x)在[a'b]上连续,在(a,b)内可导.并且g(a):=g(b)由定理2,在(a.)内至少存在一点e'使得g)=})一幽三:0.目㈣一于是.我们得到下面的定理:定理3:设函数f在【a'b]上连续,在(alb)内可导,则在(a,b)内至少存在一点使得f(e) :f—(.—b.)——-——f.(—a—)b—a3.2定理3与定理2的关亲:定理2是定理3的特殊情况,定理3是定理2的推广.4柯西中值定理4.1问题4:设C是以A,B为端点的光滑曲线.其参量方程为x=f(t).y=g(t).a≤t≤b,该曲线是否存在平行于弦AB的切线?(1)探索问题4的答案:作曲线C的割线l,使l平行于弦AB,移动1.始终使l平行于弦AB.当相邻两割点莺合于P时.就得到曲线C的平行于弦AB的切线.这时,切线斜率为,割线斜率为撸{罄(2)归纳上述结论,提出猜想4:若函数f与g满足条件:1.,都在[a'b]上连续;2,都在(a.b)内可导;3',f与g在(a'b)内不同时为0;4'.g(a)≠g(b).则在(a.b)内至少存在一点e,使得:(4)g(e)g(b)一g(a)——78一田4(3)判断猜想4的正确性:将=变形为[g(b)一g(a)】f(e)一【f(b)一f(a)]g(∈):0(5)由此可见,若能找到一个函数F(x),它满足定理2的条件,并且(x)=【g(b)一g(a)]f(x)一【f(b)一f(a)]g(x)(6)则对函数F(x)应用定理2即可证得(5)式成立.易知,满足条件(6)的函数F(x)应具有以下形式F(x):[g(b)一g(a)】f(x)一[f(b)一f(a)】g(x)C(c为任意常数)这样的函数F(x)是否满足定理2的条件呢?验证可知.上述F(x)确实满足定理2的所有条件.故对上述F(x)(特别地.取c=0亦可)应用定理2即可.令F(x)=【g(b)一g(a)】f(x)一[f(b)一f(a)】g(x),xE【a,b】,则F(x)在【a.b]上连续.在(a.b)内可导.并且F(a)=f(a)g(b)一g(a)f(b)=F(b),故由定理2可知,至少存在一点e∈(a,b),使得F(∈)=0,即【g(b)一g(a)]f(e)一【f(b)一f(a)]g(∈)=0'(7)假如g(e)=0.则有[g(b)一g(a)】f(e):0,由于g(a)≠g(b),所以f(∈):0,这与"f,在(a.b)内不同时为0矛盾!所以g(e)≠0.故由(7)式即可证得(4)式成立.于是,我们得到下述定理.定理4:若函数f与g满足条件:1',在[a'b】上连续;2',在(a.b)内可导;3.,f与g在(a.b)不同时为0;4',g(a)≠g(b).则在(a.b)内至少存在一点e,使得￡一l=ff)g(e)g(b)一g(a)4.2定理4与定理3的关系:在定理4中.取g(t):t.即得定理3.因此,定理4是定理3的推广.5拉格朔日中值定理的应用5.1问题5:设函数f在区间I上可导.并且f一O.是否必有f(x)一c(常数)?(1)探索问题5的答案:在区问I上取定一点,对于区间I上的任意点x(≠),由定理4可知,在与x之间至少存在一点e.使得f(x)一f(xo)=f(∈)?(x一)=0?(x—xo)=0即f(x)~l(xo)于是.我们得到以下推论.推论l:若函数f在区间I上可导,并且r(x)一0,则在I上f(x)一c(2)推论2:若函数f,g在区间I上可导,并且f一.则在I上f(x)一g(x)+C注:令h(x):f(x)一g(x).由推论1即此推论.5.2证明恒等式例1证明:对任何实数x'恒有一79—啡+号,分析:令f(x)=啡+ar.c啦.xE(一∞,+∞),由推论1,只要证明"f'(x)-~--O,并且存在xo使f(xo)号"即可.证明:令f(x)=arc啦+arcctgx,xE(一∞,+..).由于"x)=1+;o,x∈(一...+),并且f(1)删1+ea~tgl号+专号所以arclgx+a号5.3证明不等式例2:证明不等式丽h<a蛐<h,(h>0)分析:由于arctgharctgh—a如,(h>0)所以,要证的不等式等价于:<趔旨<?故应对函数f(x)=眦啦在[0,h]上应用拉格朗日中值定理,将塑}转化为.然后再比较,1,1的大小即可.证明:令f(x)arc啦,x∈[0.h]因为f(x)在[0,hi上连续,在(O,h)内可导故由拉格朗日中值定理.在(O,h)内至少存在一点∈.得因为o<e<h-所以<<于是,有<墅<1又因为h>O,所以,<aret~<:h参考文献l,周祖逵:发现法讲授中值定理的一种尝试,数学通报.1991,3(作者:副教授兵团载院/石大师院)一日O一。
教案微分中值定理
几何意义：对于在 上每一点都有不垂直于 轴的切线，且两端点的连线与 轴平行的不间断的曲线 来说，至少存在一点C，使得其切线平行于 轴。
C
A B
从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理
费马引理设函数 在点 的某邻域 内有定义并且在 处可导如果对任意 有 (或 )那么
【例6】 【例5】若方程 有一个正根 ，
证明方程 必有一个小于 的正根。
证明：令 ，在闭区间 上满足罗尔定理的三个条件，故
上式表明 （ ）即为方程 的根。
证明：不妨设 时， （若 ，可以类似地
此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页
证明）.于是对于 ,有 ,从而当 时,
;而当 时, ;
根据函数 在 处可导及极限的保号性的得
，所以 ,证毕.
定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).
罗尔定理如果函数 满足：（1）在闭区间 上连续（2）在开区间 内可导（3）在区间端点处的函数值相等，即 那么在 内至少在一点 使得函数 在该点的导数等于零，即
所以 满足罗尔定理的条件，故在 内至少存在一点 ，使得 ，
又 因为 ，
注 1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令 ，就得到拉格朗日中值定理；
2：几何意义：若用 （ ）表示曲线 ，则其几何意义同前一个。
【例4】 【例4】 证明 （ ）。
证：令 ， ，
由推论知f(x)=常数！再由 ，故 。
证明：由于 在 上连续，因此必有最大值M和最小值 ，于是有两种可能的情形：
（1） ，此时 在 上必然取相同的数值M，即
由此得 因此，任取 ，有
教案微分中值定理
证明方程 必有一个小于 的正根。
证明：令 ，在闭区间 上满足罗尔定理的三个条件，故
上式表明 （ ）即为方程 的根。
4：设在点 处有一个增量 ，得到点 ，在以 和 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有
即 这准确地表达了 和 这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。
5：几何意义：如果曲线 在除端点外的每一点都有不平行于 轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的连线。
由定理还可得到下列结论：
推论1：如果 在区间 上的导数恒为0，则 在 上是一个常数。
证明：在 中任取两点 ， 在 连续，在 可导，由拉格朗日中值定理，则在 内至少存在一点 ，使得
由假设可知在 上， ，从而在 上， ，
， 所以 ，
可见， 在 上的每一点都有： （常数）。
【例1】【例3】证明当 时 .
证：设 ，显然 在[0，x]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点 使
证明：由于 在 上连续，因此必有最大值M和最小值 ，于是有两种可能的情形：
（1） ，此时 在 上必然取相同的数值M，即
由此得 因此，任取 ，有
（2） ，由于 ，所以M和 至少与一个不等于 在区间 端点处的函数值.不妨设 (若 ,可类似证明),则必定在 有一点 使 .因此任取 有 ,从而由费马引理有 .证毕
1.罗尔定理
几何意义：对于在 上每一点都有不垂直于 轴的切线，且两端点的连线与 轴平行的不间断的曲线 来说，至少存在一点C，使得其切线平行于 轴。
C
A B
从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理
教案微分中值定理
或 。
注 1：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；
2：定理中的结论，可以写成 ，此式也称为拉格朗日公式，其中 可写成：
……(3)
若令 ……(4)
3：若 ，定理中的条件相应地改为： 在 上连续，在 内可导，则结论为：
也可写成
可见，不论 哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。这时， 为介于 之间的一个数，(4)中的 不论正负，只要 满足条件，(4)就成立。
4：设在点 处有一个增量 ，得到点 ，在以 和 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有
即 这准确地表达了 和 这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。
5：几何意义：如果曲线 在除端点外的每一点都有不平行于 轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的连线。
由定理还可得到下列结论：
所以 满足罗尔定理的条件，故在 内至少存在一点 ，使得 ，
又 因为 ，
注 1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令 ，就得到拉格朗日中值定理；
2：几何意义：若用 （ ）表示曲线 ，则其几何意义同前一个。
【例4】 【例4】 证明 （ ）。
证：令 ， ，
由推论知f(x)=常数！再由 ，故 。
【例1】验证罗尔定理对 在区间 上的正确性
解显然 在 上连续，在 上可导，且 ,又 ,取 ,有 .
说明：1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立;
2使得定理成立的 可能多于一个，也可能只有一个.
【例2】证明方程 有且仅有一个小于1的正实根.
证明：设 ,则 在 上连续，且
由介值定理存在 使 ,即 为方程的小于1的正实根.
时间
---------月---------日
微分中值定理教案
微分中值定理【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)('注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上)()(b f a f =，则()()00)('=-=--=ab a b a f b fc f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
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则f称 (x0)为 f(x)的极,大 x0为值 函数的极大.点
f(x ) f(x 0 ) x U ˆ(x 0 ),
则f称 (x0)为 f(x)的极,小 x0为函 值 数的极小.点
一. 费马定理
定理 设 f(x )在I区 内间 有 ,且 I定 内 在 义 某
例2 设 f(x )C (a ,[b ],) 在 (a ,b )内,证 可明 导 2 x ( f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 ) f( x )
在(a, b)内至少有.一根
分析 2 x ( f( b ) f( a ) ( ) b 2 a 2 ) f ( x ) 0
( x 2 ( f ( b ) f ( a ) ( ) b 2 a 2 ) f ( x ) ) 0 a 2 (f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 )f( a )
这些中值定理的创建要归功于费马、 拉格朗日、柯西等数学家.
首先, 从直观上来看看 “函数的差商与函数的导数间的基本关系式” 是怎么一回事.
导数与差商
y yf(x)可微 点P 处切线的斜率：
k f (x0)
PB
相等！
割线 AB 的斜率：
A
k f (x2 ) f (x1) x2 x1
O x1
高等院校非数学类本科数学课程
高等 数 学（上）
—— 一元微积分学
第十五讲 微分中值定理
作业
• 习题3-1（教材125页） • 1；2；3； 4; 5; 6 ;
第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理
一. 费马定理 二. 罗尔中值定理 三. 拉格朗日中值定理 四. 柯西中值定理
导数与差商
f (1 ) f (2 ) f (3 ) 0 .
其中, 1 ( a ,b ) ,2 ( b ,c ) ,3 ( c ,d ) .
即f(x)0至少有三.个实根
f(x)是四次, 多项式 f(x)是三次多 , 项式
f(x)0至多有三个. 实根
综上所述, f(x)0仅有三个, 实根 分 ( a ,别 b )( b ,,c )在 ( c ,,d ) 中 .
处取极.大 若 f（ ()存 小 ,在 则 ）必 值有
f()0.
可微函数在区间内部取极值的必要条件是 函数在该点的导数值为零.
费马定理的几何解释
y
如
P
何 证
yf(x)
明
？
aO
bx
证 设 f(x)在区 I内 间有,定 且义 x在 处
取极大f(值 ), 则有 f(x)C是特殊情况
f(x )f() x U ˆ() 如何保证函
x [ a ,b ]
x [ a ,b ]
(1)若 Mm
m f ( x ) M x [ a , b ]
f(x ) mx [ a ,b ]
故 ( a ,b ) ,均 f () 有 0 .
( 2 )若 m M ( 即 M m ) f( x ) C ( a ,[ b ])
y
但是…… yf(x)
Oa
bx
f(x ) C (a [ ,b ]) f(x)在 (a,b)存在
可保证在内部一点取到极值
y
yf(x)
f(a)f(b)
P
f()0
水平的
aO
bx
二. 罗尔中值定理
定理 设 ( 1 )f(x ) C (a ,[b ];) (2) f(x)在 (a,b)内可 ; 导 (3 )f(a ) f(b ),
若 f()存,则 在
数在区间内 部取极值？
f () lx i 0 fm ( x x ) f() 0 ,
f () lx i0 fm ( x x ) f() 0 ,
于是
f()0. （极小值类似可证）
f(x ) C (a [ ,b ])可保 f(x ) 证 在[a, b]内取到它的最大最 . 小值
b 2 (f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 )f( b ) a2f(b)b2f(a)
例2 设 f(x )C (a ,[b ],) 在 (a ,b )内,证 可明 导 2 x ( f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 ) f( x )
则至少存在一点 ( a ,b ),使 f() 得 0 .
y yf(x)
A
B
O a
bx
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
证 f( x ) C ( a ,[ b ])
f(x)必在 [a, b]上取到它的最大
最小值至少各一次.
令 M m f( x a ),x m m f( x i )n
函数导数的定义为
f(x)lim f(xx)f(x)
x 0
x
即函数在点 x 处的导数等于 x 0时, 函数
在点 x 处的差商 f(xx)f(x) 的极的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.
证明 f(x 方 )0仅 程有三 ,并个 指实 出根 .根
证 f ( x ) C ( [ a ,b ] [ b ,, c ] [ c ,, d ] ) ,
又 f ( a ) f ( b ) f ( c ) f ( d ) 0 ,
f(x)是四次 ,在 (多 , ) 内 项可 ,式微 在[a, b],[b, c],[c, d]上运用罗尔 ,得 中值
x0 x2 x
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置：
在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.
也就是说, 至少存在一点 (x1,x2),使得
f()f(x2)f(x1)
x2x1 该命题就是微分中值定理.
极值的定义
设 f(x)在 U (x0)内有 ,若 定义
f(x)必在 [a, b]上取到它的最大
最小值至少各一次. 又 f(a ) f(b ),
故 f(x )不能 x a 和 同 x b 处 时分 在 M 和 m .别
即至少存 (在 a, b)一 , 使点 得
f() M 或 f() m . 由费马定理可知： f() 0 ( a ,b ).
例1 设 a ,b ,c ,d 皆为 ,a b c 实 d , 数 f ( x ) ( x a ) x b ( ) x ( c ) x ( d ) ,