ch24镜像法解析

二、镜像法的具体应用
解题步骤 ：
a) 正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件； b) 根据给定的边界条件计算像电荷的电量和所在位置； c) 由已知电荷及像电荷写出势的解析形式；
d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。
三、应用举例
[例1] 接地无限大平面导体板附近 有一点电荷，求空间电势。
b)导体边界面形状比较规则，具 有一定对称性。
c) 给定边界条件。
注意几点：
a) 像电荷必须放在研究的场域外。
b) 不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想
电荷的大小和位置）。 c) 放置像电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存
在，把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数 应是所研究场域的介电常数。 d) 像电荷是虚构的，它只有等效作用。而其电量并不一定与 真实的感应电荷或极化电荷相等。 e) 镜像法所适应的范围是： ①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线； ②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、 柱面、平面）。
1 界面是平面
[例2]在无穷大空间中充满介电常数为 1 和 2的两种
均匀电介质，其分界面为平面。设在介质
中放一
1
点电荷Q，其所在位置距分界面为a，试求二介质中
的电势分布。
Solution:
2
设 中1 电势的 ，1 中2
的电势为 ，2并满足如下定
解条件：
1
Q a
21
1
1
Q
(x
a,
y,
z)
(1)
12R2 02 R 0
空间场的影响。
y
y
2 换成 1 1
P(x,y,z)
P' 2 1 换成 2
r"
r'
Rr
θ
Q' b o a Q x
S
R
o c Q" x S
右半空间
左半空间
y
在x>0的区域，空间一点的电势为 2换成1 1
P(x,y,z)
`1
1
41
(Q r
Q) r
r'
Rr
θ
Q' b o a Q x
1
41
(x
a)2
Q
Q
2. 以唯一性定理为依据
在唯一性定理保证下，采 用试探解，只要保证解满足泊 松方程及边界条件即是正确解。 特别是对于只有几个自由点电 荷时，可以将导体面上感应电 荷分布等效地看作一个或几个 点电荷来给出尝试解。
3. 镜像法的基本问题
在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点 电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。那
解：根据唯一性定理,左半空间 0
右半空间，Q在（0，0，a）点， Q/
1 界面是平面
P
r
Qr
a
z
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左
半空间 z 轴上。
设电量为 Q，位置为（0，0，a ）
1 [
Q
Q
]
40 x2 y2 (z a)2 x2 y2 (z a)2
2右 右 R
1
0
0
Q
(x
a,
右
x0
有限的定值
左2R左
0
0
y
0, z 0)
2
R
1
0
0
x0 0
Q
(x
a,
y
0,
z
0)
左
x0
有限的定值
▲镜象法的图形与光路用此图比较：
z
Q
b Q‘
a
Q
根据光的反射可找 到Q'的大小和位置
V 0 Q
注意：
光线是直线传播到导体板面上的。有的地方是与板面⊥， 有的地方是与板面有一定夹角；但电力线切线方向是场强 的方向，电力线在板面附近处处与板面⊥，这一点通过静 电平衡原理可知。
Q dS Qa 2rdr Q Q
2 0 (r 2 a 2 )3/ 2
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。
（c）Q与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力
由边界条件确定 Q、 a和
0 z0
Q
x2 y2 a2
Q x2 y2 a2
唯一解是
Q [ 40
Q Q, a a
1
x2 y2 (z a)2
因为象电荷在左半空 间，所以舍去正号 解
1 ]
x2 y2 (z a)2
讨论：（a）导体面上感应电荷分布
0
z
z0
2 (x2
Qa y2 a2 )3/2
么，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用
场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的 电荷来代替呢？
4. 镜像法概念、适用情况
镜像法： 用假想点电荷来等效地 代替导体边界面上的面 电荷分布，然后用空间 点电荷和等效点电荷迭 加给出空间电势分布。
适用情况：
a) 所求区域有少许几个点电荷， 它产生的感应电荷一般可以 用假想点电荷代替。
§2.4 镜 像 法
Method of images
重点掌握： 1、镜象法的基本概念 2、求解电势的基本方法
一、镜像法的概念和适用条件
1. 求解泊松方程的难度
一般静电问题可以通过求 解泊松方程或拉普拉斯方程 得到电场。但是，在许多情 况下非常困难。例如，对于 介质中、导体外存在点电荷 的情况虽然可以采用叠加法 求解，但是求解比较困难。 求解的困难主要是介质分界 面或导体表面上的电荷一般 非均匀分布的，造成电场缺 乏对称性。
Q2
Q2 1
Q2
F 40r2 ez 40 (2a)2 ez 160a2 ez
Fz
1
40
Q dS 1 2 a2 8 20
Q2a2dS 1 Q2
( 2 a2 )3 40 (2a)2
讨论: ▲如果导体板不接地，左半空间有电场存在 。这时左、右两 半空间的电势必须满足以下条件：
(2) (3)
1 R0 2 R0
(4)
1
1
x
x0
2
2
x
x0
(5)
处理问题的方法：
a) 求1 空间的电势1时，设想将 2半空间换成与1半空间一
样，而以假想的电荷Q'来代替分界面上极化电荷对 1半空间
的场的影响；
b) 求 2半空间的电势 2时，设想将1 半空间换成 2半空间一 样，而以假想的电荷Q"来代替Q和分界面上的极化电荷对 2半
Q y2
1
z2 2
(x
b)2
Q y2
1
z2 2
S
(6)
y
在x<0的区域，空间任一点的电势为
P'
2
2
1
4
2
Q r
r" R
1 换成 2
1
4 2
(x c)2
Q y2
1
z2 2
o c Q" x
S (7)
左半空间
1
1
x
x0
2
2
x百度文库
x0
1 R0 2 R0
电荷守恒守律： Q=Q'+Q"
Q
1 1
2 2
Q
2 2
1 1
Q
Q
Q
Q
2 2 1 2