2018年内蒙古中考数学重点题型专项训练：圆的相关证明与计算
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圆的相关证明与计算
类型一平行线模型
★1. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC＝BA，在∠ACB 的内部作∠ACF＝30°，且 CF＝CA，过点 F 作
FH⊥AC 于点 H，连接 BF.
(1)若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是 4，求AG的长；
(2)请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．
第 1 题图
解：(1)如解图，连接OG，
∵∠ACF ＝30°，∴∠AOG ＝2∠ACF ＝60°，
∵⊙O 的半径是 4，∴l ︵ ＝n πr ＝60π×4＝4π；
AG 180 180 3
(2)直线 BF 与⊙O 相切，理由如下：
如解图，连接 OB ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°， ∵BC ＝BA ，OC ＝OA ，∴BO ＝12AC ，BO ⊥AC ，
∴∠BOC ＝90°， ∵FH ⊥AC ，∴∠FHC ＝∠BOC ＝90°，∴BO ∥FH ，
∵在 Rt △FHC 中，∠ACF ＝30°，∴FH ＝
12CF ， ∵BO ＝12AC ，CF ＝CA ，∴BO ＝FH ，
∵BO ∥FH ，∴四边形 BOHF 是平行四边
形．∵∠FHC ＝90°，∴平行四边形 BOHF 是矩
形，∴∠FBO ＝90°，∴OB ⊥BF ，
∵OB 是⊙O 的半径，∴直线 BF 与⊙O 相切．
★2.在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，以 BC 为直径的⊙O 分别与AB 、AC 相交于点 D 、E ，过点 D 作 DF ⊥AC ，垂足为点 F .
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)分别延长CB、FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为 6，求阴影部分的面积．
第 2 题图（1）证明：如解图，连接OD，∴OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
第 2 题解图
∵AC＝BC，∴∠A＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠A，∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，
∵OD 为⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线；
(2)解：∵∠A＝60°，AC＝BC，OB＝OD，
∴∠C＝∠DOB＝60°，
由(1)知∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，
OD ＝63＝
∵OD＝6，∴DG＝
6 3， tan30°
160π×62
∴S 阴影＝S△ODG－S 扇形DOB＝×6×63－＝18 3－6π.
2
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类型二弦切角模型
★1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为 3，CD＝4，求BD的长．
第 1 题图
(1)证明：如解图，连接OC，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC＝∠BCD，∴∠OCA＝∠BCD，
∴∠BCD＋∠BCO＝90°，∴OC⊥CD，
∵CO 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；
(2)解：∵在 Rt△OCD中，OC＝3，CD＝4，∠OCD＝90°，由勾股定理得 OD＝OC2＋CD2＝5，
∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.
第 1 题解图
★2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC 交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线交 AC 于点 E.
(1)求证：∠ABD＝∠ADE；
(2)若⊙O 的半径为256，AD ＝203，求 CE 的长．
第 2 题图
(1)证明：如解图，连接 OD .
∵DE 为⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ，
∴∠ADO ＋∠ADE ＝90°.
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，
∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°.∴∠ADE ＝∠ODB ，
∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ABD ＝∠ADE ;
第 2 题解图
(2)解：∵AB ＝AC ＝2×25
6＝253，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，
∴∠ABC ＝∠C ，BD ＝CD .
∵O 为 AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ， ∵OD ⊥DE ，∴AC ⊥DE ，
在 Rt △ACD 中，
CD ＝AC 2－AD 2＝（253）2－（203）2＝5， ∵∠C ＝∠C ，∠DEC ＝∠ADC ＝90°，∴△DEC ∽△ADC ， CE DC CE 5
∴DC ＝AC ，即 5 ＝25，∴CE ＝3.
类型三 双切线模型
★1.如图，AB 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，点 C 在⊙O 上，CB ∥PO .
(1)判断 PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若 AB ＝6，CB ＝4，求 PC 的长．
解：(1)PC 与⊙O 相切．
理由如下：如解图，连接 OC ，
第 1 题解图
∵CB ∥PO ，∴∠POA ＝∠B ，∠POC ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠B ，∴∠POA ＝∠POC ，又∵OA ＝OC ，OP ＝OP ，∴△APO ≌△CPO ，∴∠OAP ＝∠OCP ，
∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°，∴∠OCP ＝90° ∴PC 是⊙O 的切线；
(2)如解图，连接 AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， 由(1)知∠PCO ＝90°，∠B ＝∠OCB ＝∠POC ，
∴△ACB ∽△PCO ，∴OC BC ＝AC PC ，