单样本t检验

2已知） 样本均值的抽样分布（ 样本均值的抽样分布（σ 已知）
• 正态总体、 σ2已知时 正态总体、 设（X1，X2，…，Xn）是抽自正态分 布总体X~N(µ, σ2)的一个容量为 的简单 的一个容量为n的简单 布总体 的一个容量为 随机样本， 随机样本，则其样本均值也是一个正态 分布随机变量， 分布随机变量，且有
样本均值的抽样分布 －－正态总体 正态总体、 －－正态总体、 σ2已知时
E( X ) = µ X = µ 2 σ 2 D( X ) = σ X =
n
X ~ N (µ ,
σ
2
n
)
X −µ 2 Z= ~ N (0,1 ) σ/ n
2已知） 样本均值的抽样分布（ 样本均值的抽样分布（σ 已知）
• 非正态总体、σ２已知时 非正态总体、 设总体X的均值 和 设总体 的均值µ和σ2，当样本容量趋 的均值 向无穷大时， 向无穷大时，样本均值的抽样分布趋于 正态分布， 正态分布，且样本均值的数学期望和方 差分别为
例题
• 某总体总体均值为 ，总体分布形式及 某总体总体均值为80， 方差未知。从该总体中抽取一容量为64 方差未知。从该总体中抽取一容量为 的样本， 的样本，得出 S = 2。问当 n = 64 时，样 。 本均值大于80.5的概率是多少？ 的概率是多少？ 本均值大于 的概率是多少
样本均值的抽样分布（小结） 样本均值的抽样分布（小结）
• 某种零件的长度服从正态分布。已知总 某种零件的长度服从正态分布。 体标准差σ=1.5厘米。从总体中抽取 厘米。 体标准差 厘米 从总体中抽取200 个零件组成样本， 个零件组成样本，测得它们的平均长度 厘米。 置信水平下， 为8.8厘米。试估计在 厘米 试估计在95%置信水平下， 置信水平下 全部零件平均长度的置信区间。 全部零件平均长度的置信区间。
E( X ) = µ X = µ
2 X
D( X ) = σ =
σ
2
n
样本均值的抽样分布（ 未知） 样本均值的抽样分布（σ2未知）
• 正态总体、总体方差σ２未知时 正态总体、总体方差 设（X1，X2，…，Xn）是抽自正态分 布总体X~N(µ,σ2)的一个容量为 的简单 的一个容量为n的简单 布总体 的一个容量为 随机样本， 随机样本，则有
• 其中
X −µ t= ~ t n −1 S/ n
n
S=
∑(X
i =1
i
− X)
2
n −1
t 分布
• t分布 分布(t-distribution)是一连续型分布 ， 其密度 是一连续型分布， 分布 是一连续型分布 函数为： 函数为：
Γ( ) 2 t f (t ) = 1+ n n nπ Γ( 2 )
例题
• 从一零售商店全年的帐目中随机抽取 从一零售商店全年的帐目中随机抽取25 天的帐目，计算出这25天的平均零售额 天的帐目，计算出这 天的平均零售额 为780元，S为100元。若已知该店的日零 元 为 元 售额服从正态分布， 售额服从正态分布，全年的平均日零售 额为825元，问：随机抽取25天帐目，其 额为 元 随机抽取 天帐目， 天帐目 平均零售额不到780元的概率是多少？ 元的概率是多少？ 平均零售额不到 元的概率是多少
2未知） 样本均值的抽样分布（ 样本均值的抽样分布（σ 未知）
• 非正态总体、总体方差σ2未知时 非正态总体、总体方差 当总体为非正态分布时，若总体方差 当总体为非正态分布时， 未知，样本为大样本 大样本， 未知，样本为大样本，可以利用 t 分布 正态分布近似求解 样本为小样本 近似求解； 小样本时 或正态分布近似求解；样本为小样本时 无解。 无解。
例题
某车间生产的铜丝的折断力服从正态 分布，其平均折断力为570公斤，标准差 公斤， 分布，其平均折断力为 公斤 公斤。 为8公斤。 公斤 现由于原料更换， 现由于原料更换，虽然认为标准差不 会有什么变化， 会有什么变化，但不知道平均折断力是 否与原先一样。 否与原先一样。 从新生产的铜丝中抽取16个样品 个样品， 从新生产的铜丝中抽取 个样品，测 得其平均折断力为574公斤。 公斤。 得其平均折断力为 公斤 能否认为平均折断力无显著变化？ 问：能否认为平均折断力无显著变化？
例题
• 某区初三英语测验平均分数为 ，该区 某区初三英语测验平均分数为65， 某校25份试卷的平均分数和标准差分别 某校 份试卷的平均分数和标准差分别 为70和10。问该校初三英语平均分数与 和 。 全区是否一样？ 全区是否一样？
例题
• 某市调查大学生在家期间平均每天用于 家务劳动的时间。某教授认为不超过2小 家务劳动的时间。某教授认为不超过 小 随机抽取100名学生进行调查的结果 时。随机抽取 名学生进行调查的结果 平均时间1.8小时 方差1.69。问： 小时， 为：平均时间 小时，方差 。 调查结果是否支持该教授的看法？ 调查结果是否支持该教授的看法？
n +1 2
(
)
n +1 − 2
－∞＜ｔ＜＋ ＜ ＜＋∞ t分布的数学期望和方差分别为： 分布的数学期望和方差分别为： 分布的数学期望和方差分别为 E(t)=0 和 D(t)=n/(n-2)
t 分布的特征
• t 分布与正态分布的相似之处： 分布与正态分布的相似之处：
– t 分布基线上的 值从－∞～＋ ； 分布基线上的t值从 值从－ ～＋ ～＋∞； – 从平均数等于 处，左侧 t 值为负，右侧 t 值为正； 从平均数等于0处 值为负， 值为正； – 曲线以平均数处为最高点向两侧逐渐下降，尾部无 曲线以平均数处为最高点向两侧逐渐下降， 限延伸，永不与基线相接，呈单峰对称形。 限延伸，永不与基线相接，呈单峰对称形。
例题
• 上例中，若已知该批零件共有2000件， 上例中，若已知该批零件共有 件 抽样方式采用不放回抽样， 抽样方式采用不放回抽样，求该批零件 平均长度的置信水平为95%的置信区间。 的置信区间。 平均长度的置信水平为 的置信区间
例题
• 为了制订高中生体锻标准，某区教育局 为了制订高中生体锻标准， 在该区高中生中随机抽取36名男生测验 在该区高中生中随机抽取 名男生测验 100米短跑成绩。结果这些男生的平均成 米短跑成绩。 米短跑成绩 绩为13.0秒，S为1.2秒。试估计在 绩为 秒 为 秒 试估计在95%置 置 信水平下，全区高中生100米跑的平均成 信水平下，全区高中生 米跑的平均成 绩。
检验统计量
H0的拒绝域 |Z|≥Zα/2
X − µ0 Z= σ/ n
Z≤－Zα Z≥Zα |t|≥tα/2 t≤－tα t≥tα
自由度df= n-1 自由度
பைடு நூலகம்
X − µ0 t= S/ n
双侧检验与单侧检验
• 双侧检验（two-tailed test，two-sided 双侧检验（ ， test）：零假设为无显著差异的情况； ）：零假设为无显著差异的情况 ）：零假设为无显著差异的情况； • 左侧检验（left-tailed test）：零假设为 左侧检验（ ）：零假设为 ）： 大于等于的情况； 大于等于的情况； • 右侧检验（right-tailed test） ：零假设 右侧检验（ ） 为小于等于的情况。 为小于等于的情况。
示意图
总体均值的区间估计
待估 参数 已知条件 X~N(µ,σ2)，或非 ， 正态总体、大样本， 正态总体、大样本， X σ２已知 X~N(µ,σ2)，或非 ， 正态总体、大样本， 正态总体、大样本， X σ２未知 置信区间 备注
± Zα ⋅
2
σ
n
自由度 df=n-1
µ
S ± tα ⋅ n 2
例题
关于总体平均数的推断统计
样本平均数的抽样分布
• 需考虑的问题： 需考虑的问题：
– – – 总体方差σ 是否已知； 总体方差 2是否已知； 总体是否正态分布； 总体是否正态分布； 样本为大样本还是小样本。 样本为大样本还是小样本。
样本平均数的抽样分布（ 已知） 样本平均数的抽样分布（σ2已知）
• 总体方差 2已知时 总体方差σ 是抽自总体X 若（X1，X2，…，Xn）是抽自总体 的一个容量为n的简单随机样本 的简单随机样本， 的一个容量为 的简单随机样本，则依据 样本的所有可能观察值计算出的样本均 值的分布，称为样本均值的抽样分布。 值的分布，称为样本均值的抽样分布。
总体均值的假设检验
已知条件 X~N(µ,σ2)， ， 或非正态 总体、 总体、大 样本， 样本，σ２ 已知 X~N(µ,σ2)， ， 或非正态 总体、 总体、大 样本， 样本，σ２ 未知 假设
H0:µ＝µ0 ＝ H1:µ≠µ0 H0:µ≥µ0 H1:µ＜µ0 ＜ H0:µ≤µ0 H1:µ＞µ0 ＞ H0:µ＝µ0 ＝ H1:µ≠µ0 H0:µ≥µ0 H1:µ＜µ0 ＜ H0:µ≤µ0 H1:µ＞µ0 ＞
β错误的概率
• 若真实的总体平均数μ＜μ0，拒绝区域 在左侧时β错误的概率
β错误的概率
• 若真实的总体平均数μ＜μ0，拒绝区域 (region for rejection)在双侧时β错误的 在双侧时 概率
β错误的概率
• 若真实的总体平均数μ＜μ0，拒绝区域 在右侧时β错误的概率
• 区别之处在于： 区别之处在于：
– t 分布的形态随自由度（df=n-1）的变化呈一簇分布 分布的形态随自由度（ ） 形态（ 分布形态也不同。 形态（即自由度不同的 t 分布形态也不同。 – 自由度逐渐增大时，t 分布逐渐接近正态分布。 自由度逐渐增大时， 分布逐渐接近正态分布。
自由度
• 自由度 自由度(degree of freedom)是指总体参数 是指总体参数 估计量中变量值独立自由变化的个数。 估计量中变量值独立自由变化的个数。