数学分析(1)复习题
数学分析习题课1.1
第一章 实数集与函数习题课 实数集、确界原理与函数一、基本要求：1、掌握有关实数的性质与运算。
2、正确理解确界概念与确界原理，并运用于有关命题的运算与证明。
3、在中学已掌握函数概念的基础上，以两个数集之间映射的观点来加深对函数概念的理解。
4、进一步掌握函数的运算性质（四则运算、复合运算、和反函数等）及其表示方法。
5、加深对某些特性函数（有界函数、单调函数、奇（偶）函数和周期函数）的认识。
并能依次对所给函数是否具有上述性质做出判断。
二、内容复习：1、实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。
有理数可用分数形式qp（q p ,为整数，0≠q ）表示也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数。
2、实数的性质：(1) 封闭性：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为０）四则运算是封闭的.(2) 有序性：任意两实数b a ,必满足下述三个关系之一：b a <，b a =，b a >.(3) 传递性：若b a >，c b >，则c a >.(4) 阿基米德性：对任何R b a ∈,，若0>>a b ，则存在正整数n ，使得b na >.(5) 稠密性：任何两个实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数.(6) 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.3、绝对值的定义：⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,||a a a a a 从数轴上看，数a 的绝对值||a 就是a 到原点的绝对值.4、绝对值的性质：(1) 0||||≥-=a a ;当且仅当时0=a 有0||=a .第一章 实数集与函数(2) ||||a a a ≤≤-.(3) )0(||;||>≤≤-⇔≤<<-⇔<h h a h h a h a h h a .(4)对任何R b a ∈,有如下的三角不等式：||||||||||b a b a b a +≤±≤-.(5) ||||||b a ab =. (6) )0(||||≠=b b a b a . 5、区间与邻域的概念：有限区间：设a 、R b ∈，且b a <开区间：}|{),(b x a x b a <<=.闭区间：}|{],[b x a x b a ≤≤=.半开半闭区间：}|{),[b x a x b a <≤=或}|{],(b x a x b a ≤<=.无限区间：}|{],(a x x a ≤=-∞，}|{),(a x x a <=-∞}|{],(a x x a ≥=+∞，}|{),(a x x a >=+∞R =+∞-∞),(邻域：设0,>∈δR a点a 的δ邻域：),(}|||{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U .点a 的空心δ邻域：}||0|{);(δδ<-<=a x x a U .点a 的左δ邻域：],();(a a a U δδ-=-.点a 的右δ邻域：),[);(δδ+=+a a a U .∞邻域：}|||{)(M x x U >=∞，其中为充分大的正数（下同）.∞+邻域：}|{)(M x x U >=+∞；∞-邻域：}|{)(M x x U -<=-∞.6、确界的定义：确界是上确界与下确界的统称。
数学分析课本（华师大三版）-习题集与答案解析第十七章
数学分析课本（华师大三版）-习题集与答案解析第十七章第十七章多元函数微分学一、证明题 1. 证明函数=+≠++=0y x 0,0y x ,y x yx y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x y1yx arctg++≈x+y.5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z=()22yx f y-,其中f 为可微函数,验证x 1x Z ??+y 1y Z ??=2yZ. 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:xZsec x + y Z ??secy=1.8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ 之下.()2x f +()2yf 是一个形式不变量,即若g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ). 则必有()2x f +()2yf =()2ug +()2vg .(其中旋转角θ是常数)9.设f(u)是可微函数, F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t), 试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式 F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy yx xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx mk =f t n(x,y,z)(t>0)证明:(1) f(x,y,z)=m k nx Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x x fx+()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211'???''?13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数); (3) grsdu v=u grad v+v grsd u; (4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-.16.证明:函数u=()ta 4b x 22eta 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:tu ??=222x u a ??17.证明:函数u=()()22b y a x ln-+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ??+22y u=0.18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程:22x u ??+22yu ??=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y+)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+?,证明:x u y x u 2=y u 22x u. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有 f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22yx 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctg xy ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=zy x .2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx; 求f x (x,1). 3. 设=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222 考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在. 5. 考察函数=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分; (1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1);(2) Z=22yx x +在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分; (1) Z=ysin(x+y); (2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctgx y 在点4,1,1π处的切平面方程和法线方程.9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043; (2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续 (1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性? (2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角.15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d= vw算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求xdZ α; (2) 设Z=xyy x 2222e xyyx ++,求x Z ??,yZ ??; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ?; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ??，vZ；(5) 设u=f(x+y,xy),求x u ??,yu; (6) 设u=f ?Z y ,y x ,求x u ??,y u ??,Zu. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数. 19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z)处的梯度以及它们的模.20.设函数u=ln ??r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度.22.设r=222z y r ++,试求: (1)grad r; (2)gradr1. 23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征? 25.求下列函数的高阶偏导数: (1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数; (2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数;(3) Z=xln(xy),y x z 23,23yx z; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u++;(5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数; (6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式: (1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx在点(1,1)(到三阶为止);(3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤；(2) Z=22y x y x +-,(){}1y x y ,x ≤+;(3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明 f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1n n 1n 21n 12n 2221n 21 x x x x x x xx x 1 1 1u ---=证明: (1)∑==??n1k k0;x u(2) ∑=-=??n1k k ku 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数kt)b ht,f(a y k x h dt g(t)d nn n +++??=. 5. 设 22x求x k z h y g y f x ez d zc y b x a z)y,(x,??+++++++++=?. 6. 设 (z )h (z )h (z )h (y )g (y )g (y )g (x )f (x )f (x )f z)y,Φ(x,321321321=求zy x Φ3. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明∑==n1i 0Li0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明1)f m (n 1)n(n f y y x x m+--=???? ?+?? . 10. 对于函数f(x,y)=sinxy,试证my y x x ???? ?+??f=0.。
数学分析复习1-一般级数,广义积分的收敛
如 a n 收敛 称“绝对收敛” n 1 1. 设 a n收敛, n 1 如 a 发散 称“条件收敛” n n 1
一般级数中较为特殊的一种： 交错级数
设交错级数 ( 1) n1 an , an 0,
n1
三、莱布尼茨（Leibniz）判别法
二、绝对收敛和条件收敛
如 ｜f ( x｜ ) dx收敛, 称
a a
f ( x )dx 绝对收敛.
如
a
f ( x )dx收敛, 但 ｜f ( x｜ ) dx发散，
a
称
a
f ( x )dx 条件收敛.
定理11.6
a
f ( x )dx 收敛
a
f ( x )dx 收敛
四、Dirichlet判别法
定理11.9 设f和g满足下面两个条件 :
1 F ( A) f ( x )dx 在(a , )有界;
a A
2 g 在[a , )上单调, 且 lim g( x ) 0,
则
x
a
f ( x )g( x )dx 收敛.
例1
1
sin x dx — —条件收敛 x
x cos x dx 的敛散性？ 例2 判断1 1 x x 证 设 f ( x ) cos x , g( x ) , 1 x
A
1
cos xdx sin A sin 1 2, 满足1 .
1 1 1 1 (1 x ) x (1 x ) 2 x g' ( x ) 2 x 0, 2 2 (1 x ) (1 x )
青岛科技大学成人高考2021年上学期《数学分析》期末复习题
【题型】计算题 【题干】求极限：【答案】解：【难度】4 【分数】15【课程结构】00362001002【题型】计算题【题干】求极限：【答案】解：【难度】4 【分数】15【课程结构】00362001002【题型】计算题 【题干】已知函数，求【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001003【题型】计算题【题干】已知函数，求，，，【答案】解：已知函数【难度】4【分数】15【课程结构】00362001003【题型】计算题【题干】计算不定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001004【题型】计算题【题干】已知函数，求定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001005 【题型】计算题【题干】计算定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001005 【题型】计算题【题干】求极限【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001002 【题型】计算题【题干】求极限【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001002【题型】计算题【题干】设函数，求【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001003【题型】计算题【题干】设函数，求【答案】解：所以【难度】4【分数】15【课程结构】00362001003【题型】计算题【题干】求不定积分【答案】解：原式【难度】4【分数】15【课程结构】00362001004 【题型】计算题【题干】求不定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001004 【题型】计算题【题干】求定积分【答案】解：令，即原式【难度】4【分数】15【课程结构】00362001005 【题型】计算题【题干】求极限【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001002;00362001003【题型】计算题【题干】求极限【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001002【题型】计算题【题干】已知函数，求，，，【答案】解:【难度】4【分数】15【课程结构】00362001003【题型】计算题【题干】利用凑微分法计算不定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001004【题型】计算题【题干】利用分部积分法计算定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001005【题型】计算题【题干】已知函数，求定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001005【题型】计算题【题干】用洛必达法则求极限【答案】解：原式【难度】4【分数】15【课程结构】00362001002;00362001003;00362001005【题型】计算题【题干】求由参数方程所确定函数的一阶及二阶导函数。
西安科技大学真题 612 数学分析复习题及答案
，记此级数的
和函数为 s( x ) ，则使 s( x) f ( x ) 成立的范围是
(A) [ , ) ； (B) ( , ) ； (C) [ , ] ； (D) ( , ]
8.
曲线
y
1
x x
2
,y
0, x
0和x
2 所围成的平面图形的面积为
(A) 4；
(B) 1 ln 2 ； 2
(C) 1 ln 5 ； 2
y sin3xdx)
a
0
0
（D） cos
x
sin[(
y sin3tdt)]dy sin(
y sin3tdt)
a
0
0
lim 5．
1
(e x
1)
（D）
n
x
（A） e
（B） e2
（C） e3
（D） e4
二．填空题（每题 2 分，共 10 分）
lim 1． y
n
1
1 xn
(x
0)
的间断点为：
证明：
由3
1
f (u)du 1
知道
1 f (u)du 1 ，所以
1
(
f
(u)
u2
)du
0
。
0
0
3
0
因为 f (u) u2 C[0,1] ，故由积分中值定理知： [0,1] ，使得
1
(f
(u) u2)du
f
( ) 2 (1 0)
0 ，即
[0,1] :
f
( )
2。
0
3. 设 f (x) 在区间[a,b] 上有二阶导数。 f '(a) f '(b) 0 ，证明：在区间 (a,b) 内至少存在一
(完整word版)数学分析复习题及答案(word文档良心出品)
数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。
（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。
（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。
（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。
4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。
5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。
一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。
, , 当时, , 则。
2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。
五、1.证明:, , 当时, ；得证。
2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。
综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。
, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。
中国科学院大学《高等代数》《数学分析》考研真题汇总(2009-2018年汇编)
|z| ≤ na, |x| ≤ nh, |y| ≤ nk.
(2) 求证： Hermite 矩阵的特征值都是实数.
(3) 求证：反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数.
六、 ( 15 分) 设 A 是 n 维实线性空间 V 的线性变换, n ≥ 1. 求证： A 至少存在一个一维或者二维的不变 子空间.
七、 ( 20 分) 设循环矩阵 C 为
01
生成的子空间. 求 W ⊥ 的一组标准正交基.
00
11
八、 ( 18 分) 设 T1, T2, · · · , Tn 是数域 F 上线性空间 V 的非零线性变换, 试证明存在向量 α ∈ V , 使得 Ti(α) = 0, i = 1, 2, · · · , n.
7
5. 2013年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
三、 ( 20 分) 已知 n 阶方阵
a21
a1a2 + 1 · · · a1an + 1
A
=
a2a1 + 1
a22
···
a2an + 1
,
···
··· ··· ···
ana1 + 1 ana2 + 1 · · ·
a2n
n
n
其中 ai = 1, a2i = n.
i=1
八、 ( 15 分) 设 A 是 n 阶实方阵, 证明 A 为实对称阵当且仅当 AAT = A2, 其中 AT 表示矩阵 A 的转置.
6
4. 2012年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
一、 ( 15 分) 证明：多项式 f (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn 没有重根.
第一课数学分析复习3一致收敛
C[a
,
b],
⑵ fn'(x) 在[a,b]一致收敛于g(x),
⑶ x0 [a,b], fn( x0 )收敛
则 fn( x)在[a,b]上一致收敛于f ( x),
且对x [a,b], f '( x) g( x),
即
[ lim n
fn ( x)]'
[lim n
f
2 一致收敛
定义：
设 fn在点集I上逐点收敛于f ,
若 0, 与x无关N ( ),
s.t 当n N时,对一切x I,
都有 fn( x) f ( x) ,
称 fn在I上一致收敛于f .
2 一致收敛
定理1. 记 : n sup fn ( x) f ( x)
n1 n n1 n
0
证明：
取an
cos nx,bn
1 ,则 n
bn (x)单调减，一致趋于0.
n ak (x)
k 1
n
cos kx
k 1
1 sin x
1
sin
2
2
一致有界
cos nx 在[ ,2 ]上一致收敛.
n1 n
Abel判别法 an ( x)bn ( x) n1
由M任意性, S( x)C(,).
二、逐项积分 1.函数列：
定理3：设 fn R[a,b],且fn ( x) uni f ( x),
则f R[a,b] 且 lim ab fn( x)dx ab f ( x)dx n 极限与积分交换
推论 设 fn C[a,b],且fn uni f ( x),则
山东师范大学《数学分析》期末考试复习题及参考答案
C.png/download?time=637026668135319590&token=842C
C.5E2DBBA60405C1DA2AE07DBD288281B4.png/download?time=637026668269399788&token=29DC
参考答案：D
34.
A.
B.
C.
D.
参考答案：A
35.
A.
B.
C.
D.
参考答案：A
36.
参考答案：D
37.
A.极限存在
B.连续
C.可微
D.以上结论均不成立
参考答案：D
38.
参考答案：C
39.
参考答案：C
40.
A.必要非充分的条件
B.充分非必要的条件
C.充分且必要的条件
D.即非充分又非必要的条件
参考答案：A
参考答案：正确
2.
参考答案：错误
3.
参考答案：正确
4.
参考答案：正确
5.
参考答案：正确
6.
参考答案：正确
7.
参考答案：正确
8.
参考答案：错误
9.
参考答案：正确
10.若集E的每一点都是E的内点(即int E = E )，则E为开集.（）
参考答案：正确
11.
参考答案：正确
12.
参考答案：正确
13.若在点A的任何邻域内都含有E的点，则A是集E的聚点.
D.7F4D7D3CEBAD853D55B56DEDD91B2E8
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数学分析全章复习讲义
数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。
第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。
数学分析--可积理论
我们知道积分变量x的变化范围为
xi−1 ≤ x ≤ xi
从而
xi ≤ x + h ≤ xi+1
故 从而
∫ xi
|f (x + h) − f (x)|dx ≤ w([xi−1, xi+1])∆xi, i = 1, 2 · · · , n − 1
xi−1
∫b
n∑−1
∫ xn
∫b
|f (x+h)−f (x)|dx ≤ w([xi−1, xi+1])∆xi+
证明:设
∪
∪∪
∪
[a, b] = [a, c1 − δ0] [c1 − δ0, c1 + δ0] · · · [ck − δ0, ck + δ0] [ck + δ0, b]
显然上式右边的每个小区间都至多只有一个间断点，故f 在每个小区间上可积。再 由可积的区间可加性性质，我们有f 在[a, b]上可积.
积分复习之可积理论篇 口诀： 可积可积真淘气，“阴影面积”趋于零； 这是第一充要性，连续单调全搞定。 如果函数坏脾气，坏点割出要出力， 再用第二要注意，坏点区间只头尾， 最后接力算阴影，坏矩全放4M δ0. 例1 f (x)在[a,b]上连续，则可积. 分析：(用第一充要条件)即证
∑ lim wi(f, π)∆xi = 0
从而
∫b
|f (x + h) − f (x)|dx =
∫ x1
a
∫ xn
∫b
|f (x + h) − f (x)|dx + · · · +
|f (x + h) − f (x)|dx + |f (x + h) − f (x)|dx
《数学分析》期末复习用 各章习题+参考答案
f f f (x) = x + 2 ； 2x + 3
f f f f (x) = 2x + 3 。 3x + 5
9． f (x) = f (x) + f (−x) + f (x) − f (−x) ， f (x) + f (−x) 是偶函数， f (x) − f (−x) 是奇
2
2
2
2
函数.
⎧− 4x + 3
2⋅4⋅6⋅
⋅ (2n) 。 (提示：应用不等式 2k > (2k − 1)(2k + 1) )。
9. 求下列数列的极限：
⑴
lim
n→∞
3n2 + 4n − 1 n2 +1 ;
⑵
n3 + 2n2 − 3n + 1
lim
n→∞
2n3 − n + 3 ;
2
⑶
3n + n3
lim
n→∞
3n+1
+ (n + 1)3
k∈Z ⎝
2
2⎠
（4） y = x −1 ，定义域： (− ∞,−1) ∪ [1,+∞)，值域： [0,1)∪ (1,+∞).
x +1
5．（1）定义域： ∪ (2kπ ,(2k +1)π )，值域： (− ∞,0]； k∈Z
（2）定义域：
∪
k∈Z
⎢⎣⎡2kπ
−
π 2
,2kπ
+
π 2
⎤ ⎥⎦
，值域： [0,1]；
1
（3）定义域：
[−
4,1] ，值域：
⎢⎣⎡0,
《数学分析》1复习
xx 无穷大.
导数与微分
1．设函数
f
(x) 在 x
=
x0 处可导，且
f ′(x0 )
=
2, 则 lim h→0
f
(x0
− h) − h
f (x0 )
=
。
2．设
f
(0) = 0 ，且
（10） y = (tan5x2 )3 （12） y = e−x sin 2x
（13） y = xsin x
（14） y = ln(arcsin 2x)
6．设 f (x) = ⎪⎨⎧12 x 2 !!! x ≤ 2 ，且 f (x) 在 x = 2 可导，求 a, b 。 ⎪⎩ax + b!! x > 2
上有界。
15.设 b > 0, a0 > 0，数列{an}由以下递推公式给出,
an
=
1 2 (an−1
+
b )， an−1
n=1,2,3….证明该数列{an}收敛，并求其极限值。 16.设 f (x) 为定义在[a,+∞) 上的增函数，证明： lim f (x) 存在的充要条件是
x→+∞
f (x) 在[a,+∞) 上有上界。
f
(x)
=
3 x −1 x −1 ，则
x=1
是函数
f
(x) 的（
）
A、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点
D、无穷间断点
13、设 f (x) = ⎪⎨⎧sinx x ⎪⎩0
x>0 ，则 x=0 是函数 f (x) 的第
数学分析复习(一)极限
数列的极限1． 下列说法能否作为a 是数列}{n a 的极限的定义？为什么？(1)．对于无穷多个0>ε，存在+∈NN ，当Nn >时，不等式ε<-||a a n 成立。
(2).对于任给的0>ε，存在+∈N N ，当Nn >时，有无穷多项na 使不等式ε<-||a a n 成立。
(3).对于给定的10010-=ε，不等式1010||-<-a a n 成立。
2．判断题(1).若A a n n =∞→lim ，则||||lim A a n n =∞→。
( )(2)．若||||lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→l i m。
（ ） (3).若}{n a 收敛，则0)(l i m 1=-+∞→n n n a a 和1lim 1=+∞→nn n a a 。
( )(4).收敛数列一定是单调数列；无穷小量一定是单调数列。
( )(5).如果数列}{n a 收敛于a,那么||a a n -随着n 的增加而单调减少趋于0。
( )(6).非负数列的极限是非负数，正数列的极限是正数。
( )(7).}{n a 收敛的充分必要条件是}{2k a 和}{12-k a 收敛于同一极限。
(8).若数列}{n a 收敛，a a n n =∞→lim ,c a ≥,则存在N,当 Nn >时，有ca n ≥.（ ）(9)0lim ,0lim .==∞→n n n n x x 则若.2．选择题(1).若1lim 2=∞→n n x ，则○11lim=∞→nnx. ○21lim-=∞→nnx○3nnx∞→lim不存在.○4}{nx有界.3.求极限（1）)2222(lim284nn∞→(2)nnn2sin2lim+∞→(3))2411(lim3233nnnnnn++++++∞→(4)4)411(lim+∞→-+n n n(5) nn nn++∞→21lim(6)若daannn=-+∞→)(lim1，求nann∞→lim4．设aann=∞→lim，证明(1).annann=∞→][lim(2).若,0>>naa，则1lim=∞→nnna5．设)(21,0,011nnn xaxxxa+=>>+.证明}{nx收敛，并求其极限。
完整版)数学分析复习资料及公式大全
完整版)数学分析复习资料及公式大全导数公式：求导是微积分的重要内容之一，掌握导数公式对于解题至关重要。
常见的导数公式如下：tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)·tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)·cot(x)ax的导数为ax·ln(a)log_a(x)的导数为1/(x·ln(a))基本积分表：积分是微积分的重要内容之一，掌握基本积分表对于解题至关重要。
常见的基本积分表如下：arcsin(x)的导数为1/(sqrt(1-x^2))arccos(x)的导数为-1/(sqrt(1-x^2))arctan(x)的导数为1/(1+x^2)arcctan(x)的导数为-1/(1+x^2)tan(x)dx=-ln|cos(x)|+Ccot(x)dx=ln|sin(x)|+Csec(x)dx=ln|sec(x)+tan(x)|+Ccsc(x)dx=ln|csc(x)-cot(x)|+Cdx/x=ln|x|+Csin(x)dx=-cos(x)+Ccos(x)dx=sin(x)+Cdx/(x^2+a^2)=1/a·arctan(x/a)+Cdx/(a^2-x^2)=1/(2a)·ln|(a+x)/(a-x)|+C dx/(a^2+x^2)=1/a·ln|(a+x)/x|+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+C e^x dx=e^x+Csin^2(x)dx=1/2·(x-sin(x)cos(x))+C cos^2(x)dx=1/2·(x+sin(x)cos(x))+Csec(x)·tan(x)dx=sec(x)+Ccsc(x)·cot(x)dx=-csc(x)+Ca^x dx=a^x/ln(a)+Csinh(x)dx=cosh(x)+Ccosh(x)dx=sinh(x)+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+Cπ/2+πn (n为整数)lim(1+x)→∞=e=2.xxxxxxxxxxxxxxx。
数学分析练习题
第二章 数列极限一、填空题1．∑=∞→=++++Nn n n1 (3211)lim_________；2．-+∞→3(lim n n n3．=++++++++∞→n nn 31913112141211lim； 4．已知 2235lim2=-++∞→n bn an n ，则 =a ， =b ；5．=-+∞→nnn nn 3535lim；6．已知2003)1(lim=--∞→bban n n n，则 =a ， =b ；7．=+++++++++∞→)12111(lim 222nn n n n n n n ；8． =-∙∙--∞→)11()311)(211(lim 222nn ；二、选择填空1． “对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时恒有ε2||≤-a a n ”是数列}{n a 收敛于a 的A 充分条件但非必要条件。
B 必要条件但非充分条件C 充分必要条件D 既非充分条件又非必要条件。
2．数列}{n a 不收敛于a 的充要条件是A 对于任给 0>ε，满足ε<-||a a n 的项只有有限项。
B 对于任给 0>ε，总有相应的项n a ，ε≥-||a a n 。
C 存在某个正数0ε，除有限项外，都有0||ε≥-a a nD 存在某个正数0ε，有无穷多项满足0||ε≥-a a n3． 设数列n x 与n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是A 若n x 发散，则n y 必发散。
B 若n x 无界，则n y 必有界。
C 若n x 有界，则n y 必为无穷小。
D 若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。
4． 设}{n a 收敛，}{n b 发散，则A }{n n b a 必收敛。
B }{n n b a 必发散。
C }{n n b a +必收敛。
D }{n n b a +必发散。
5． 设数列}{n a 无上界且 ,2,1,0=≠n a n ，则A }{1-n a 必有上界B 对于任给定的M>0，必有无穷多项M a n >。
数学分析考研重点内容及常见题型
数学分析考研重点内容及常见题型数学分析是高等院校数学类各专业主干课程之一，是数学各专业硕士研究生入学考试的必考课程.数学分析内容丰富，知识面广，综合性强，理论体系严谨，解题方法灵活巧妙.主要包括一元函数极限、一元函数的连续性、一元微分学、一元函数积分学、级数、多元函数微分学、多元函数积分学等，分别涉及七章内容[1，2].学生在复习考研数学分析时，主要通过例题体会和掌握相应内容的思想方法和解题技巧，通过习题训练达到巩固基础知识，提高理论水平和应用能力.如何掌握好该课的基本内容并能熟练地运用其中的基本技巧至关重要.本文作者根据多年的教学研究与实践，依据考研大纲[3，4]，结合高等院校硕士研究生的入学考试试题，对考研数学分析的重点内容及常见题型进行归纳和总结，使其所涉及的知识点之间相互关系清晰明了，同时也将数学分析课程要求学生掌握的知识体系体现出来，可供学生考研复习数学分析时参考，对教师进行数学分析教学也具有参考价值.1 一元函数极限极限是考研热点问题.本章包含四个部分，即函数；用定义证明极限的存在性；求极限值的若干方法；O.Stolz公式.其中极限的求法是核心.重点内容：（1）极限定义，基本理论.（2）几个常用的不等式.（3）极限存在性的证明.（4）极限的求法.（5）实数基本定理.常见题型：（1）几个常用的不等式的证明.（2）用定义证明极限.（3）利用单调有界原理证明极限存在.（4）求极限（利用等价量、利用已知极限、利用两边夹法则、利用洛必达法则、利用Taylor公式、利用定积分定义、利用级数收敛的必要条件）.（5）实数基本定理的应用.2 一元函数的连续性本章包含连续性的证明、连续性的应用、一致连续、半连续、函数方程.重点内容：（1）函数连续性的证明，证明的主要方法有：用定义证明、用左右极限证明（对分段函数）、用归结原则证明.（2）连续性的应用（假定函数连续，证明在某些条件下有什么结果）.（3）一致连续性.常见题型：（1）直接证明函数在某区间或某点连续.（2）讨论间断点的类型.（3）连续性的应用（假定函数连续，证明在某些条件下有什么结果）.（4）利用一致连续的定义及其否定形式证题.（5）Cantor定理的应用.（6）借助连续模数证明一致连续.3 一元微分学本章是基础性内容，包含导数；微分中值定理；Taylor公式；不等式与凸函数；导数的综合应用.一元函数微分学在微积分学中占有极重要的位置，是微积分学的重要内容之一.重点内容：（1）函数导数与微分的概念.（2）微分中值定理——罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理与泰勒中值定理.（3）Taylor公式.（4）导数的应用.常见题型：（1）利用导数（或左右导数）定义解题.（2）求函数的高阶导数.（3）函数零点问题讨论（利用Rolle定理证明零点的存在性，利用单调性证明零点的唯一性）.（4）利用Lagrange定理证明函数与函数的导数同时存在的命题.（5）利用导数法证明恒等式.（6）导数介值性的应用.（7）利用Cauchy中值定理证题.（8）利用Taylor公式证明含有高阶导数的命题.（9）利用Taylor 公式作导数的中值估计、界的估计.（10）利用Taylor公式求极限.（11）不等式的证明（利用单调性、微分中值定理、Taylor公式、函数的极值、单调极限证明）.（12）导数在几何中的应用.4 一元函数积分学本章包含积分与极限、定积分的可积性、积分值的估计、积分不等式及定积分的应用、若干著名的不等式、反常积分.一元函数积分学是一元函数微积分学的最重要内容，涉及面较广，影响深远.重点内容：（1）定积分的定义、几何意义、性质.（2）利用定积分定义求极限.（3）积分的极限.（4）积分值的估计.（5）几个著名不等式（Cauchy不等式、Schwarz不等式、平均值不等式）.（6）反常积分的概念、计算、敛散性的判断.常见题型：（1）利用定积分的定义求和式的极限.（2）运用定积分的各种特性和运算法则求积分的极限.（3）利用变量替换、分部积分、缩放被积函数或积分区间、微分中值公式或Taylor公式对被积函数进行变形，从而估计积分值.（4）几个著名不等式（Cauchy不等式、Schwarz不等式、平均值不等式）的证明、变形及应用.（5）利用Newton-Leibniz公式、变量替换、分部积分法计算反常积分.（6）判定反常积分的敛散性.（7）讨论无穷限的反常积分的收敛性与无穷远处的极限的关系.5 级数级数是一门工具，又有完善的理论，是《数学分析》课程中三大基本内容之一.历年来均为考研热点.本章包含数项级数、函数项级数、幂级数及Fourier级数四个部分.重点内容：（1）数项级数敛散定义，正项级数敛散判别法（Cauchy准则、判阶法、比较判别法、根式判别法等），变号级数收敛性判别法.（2）函数项级数（及序列）一致收敛的定义及判别法.（3）一致收敛级数的性质（三大解析性质：连续性、可积性、可微性）.（4）幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的和函数的性质.（5）傅立叶级数——傅立叶级数的概念，函数展开成傅立叶级数，正弦级数与余弦级数.常见题型：（1）利用Cauchy准则证明级数敛散性.（2）利用判阶法及比较判别法证明正项级数敛散性.（3）利用部分和有界证明正项级数收敛.（4）利用Leibniz定理、Abel判别法、Dirichlet判别法研究变号级数收敛性.（5）利用级数收敛的必要条件求极限或证明极限存在.（6）函数项级数一致收敛的证明（利用定义、Cauchy准则、M判别法、A-D判别法）.（7）一致收敛级数逐项取极限定理及其应用.（8）和函数连续性、可微性、可积性的应用.（9）求幂级数收敛半径、收敛域及和函数（将级数通过代数运算、变量置换、逐项求导、逐项积分等手段化成已知和函数的级数，如几何级数，从而求得和函数）.（10）求某些数项级数的和（由定义求部分和数列的极限，或将其看作某个幂级数或某个傅立叶级数在某点处的值，先求出该幂级数或傅立叶级数的和函数，再求出该数项级数的和）.6 多元函数微分学本章包含多元函数的极限与连续、偏导数和全微分、多元函数的应用三部分.重点内容：（1）多元函数（主要是二元、三元函数）的概念、极限与连续.（2）多元函数的偏导数和全微分.（3）多元函数微分在几何上的应用.（4）多元函数的极值和条件极值.（5）方向导数和梯度.常见题型：（1）多元函数极限的计算.（2）证明二元函数极限不存在.（3）关于全面极限愈特殊路径极限的讨论.（4）求多元函数的一阶、二阶偏导数与全微分.（5）讨论二元函数连续性与可微性.（6）求复合函数的一阶、二阶偏导数.（7)对微分方程作变量替换.（8）求空间曲线的切线与法平面方程.（9）求曲面的切平面和法线方程.（10）求多元函数的极值与最大、最小值.（11）利用极值证明不等式.（12）利用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值.（13）证明隐函数的存在性.（14）求多元函数的方向导数和梯度.7 多元积分学本章包含含参变量积分、重积分、曲线积分与Green公式、曲面积分Gauss 公式及Stokes公式、场论等五大部分.多元函数积分学是多元函数微积分学的重要内容，涉及三大类重要积分，应用面较广.重点内容：（1）含参变量积分的正常积分、含参变量积分反常积分的一致收敛性、含参变量积分反常积分的连续性、可积性、可微性.（2）二重积分的概念、性质与计算.（3）三重积分的概念、性质与计算.（4）曲线积分的概念、性质与计算.（5）格林公式，平面上曲线积分与路径无关的充要条件.（6）曲面积分的概念、性质与计算.（7）高斯公式与斯托克斯公式.（8）梯度、散度与旋度的概念及各种公式.常见题型：（1）含参变量积分正常积分的积分号下求极限、积分号下求导、积分号下求积分.（2）证明含参变量积分反常积分的一致收敛性.（3）含参变量积分反常积分的积分号下求极限、积分号下求导、积分号下求积分.（4）证明含参变量积分反常积分的连续性.（5）利用直角坐标与极坐标计算二重积分.（6）直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分.（7）二重积分、三重积分在几何和物理上的应用，如求面积、体积、质量、重心坐标、引力等.（8）曲线积分的计算（利用对称性、利用格林公式、利用与路径无关性）.（9）曲面积分的计算（利用对称性、利用公式、利用高斯公式）.（10）斯托克斯公式的应用.。
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数学分析（1）复习题（一）一、按要求写出下列定义的数学描述（4⨯/5=20/）1、A x f x ≠+∞→)(lim 的X -ε正面描述为2、由Cauchy 收敛准则，若数列{}n x 收敛，则3、η为非空数集S 的下确界即4、a 为无限集合S 的聚点即5、区间套[]{}n n b a ,的定义为 二、计算题（8⨯/6=48/）1、求210)sin (lim x x xx →.2、求)sin2sin1(sinlim 222nn n n n +⋅⋅⋅++++∞→πππ.3、确定xx x f sin )(=的间断点并判断其类型.4、设x x x x f xxsin )(sin +=，求)(x f '.5、x y 3sin =，求)(n y .6、求x e x x f 2)(=带有Lagrange 余项的n 阶Maclaurin 展式.7、设)7ln 12(4-=x x y ，试确定其凹凸区间及拐点.8、确定,,b a 使函数⎩⎨⎧≥++<+=0,10,2)(2x bx x x a e x f x 在0=x 处连续.三、证明题（4⨯/8=32/） 1、用δε-定义证明.1031lim23=+→x x x 2、设)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明至少存在(),,b a ∈ξ使得下式成立： .ln )()()(abf a f b f ξξ'=-3、证明：若f 在[]b a ,上连续，)(lim x f x +∞→存在且有限，则f 在[)+∞,a 上一致连续.4、设f 在()+∞,a 内可微并且,0)(lim ='+∞→x f x 证明0)(lim=+∞→xx f x .数学分析（1）复习题（二）一、单项选择题（5⨯/3=15/） 1、=∞→n n n2lim（ ） A.0；B 、21；C 、1；D 、2. 2、设函数是n 次多项式，则=+)()1(x f n （ ） A 、n ；B 、n+1；C 、0；D 、1.3、如果当0→x 时,)(x f 是x 的高价无穷小量,则=→xx f x sin )(lim 0( ). A.21； B 、0； C 、2； D 、1. 4、设f 在x 的某邻域内有有定义，则下列命题哪一个为假？（ ）A.f 在点x 可微，则f 在点x 连续； B 、f 在点x 不连续，则f 在点x 一定不可导；C 、f 在点x 连续，则f 在点x 可微；D 、f 在点x 可导当且仅当f 在点x 可微.5、函数2)(x x f =与x x g =)(定义在[)∞,0上，它们在定义区间上是一致连续的吗？（ ）A.两个都是一致连续的； B 、两个都不是一致连续的； C 、f 是一致连续的，g 不是一致连续的； D 、f 不是一致连续的，g 是一致连续的.二、填空题（5⨯/3=15/）1、如果要使函数xx x f 1sin )(=在点0=x 连续，需重新定义=)0(f2、设1)(0='x f ，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000 3、函数⎩⎨⎧≤>+=,1,,1,)(2x x x b ax x f 在1=x 处可导，则=+2013b a4、设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，则=')0(y5、设⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1sin ，则==2πt dx dy三、计算题（6⨯/6=36/）1、用N -ε语言叙述数列{}n x 收敛到a 的定义，并根据定义验证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++11222n n 收敛.2、①求极限xx x 2211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→； ②求极限xx e x x cos 1sin )1(lim 0--→ 3、设xtg a x x y 1)ln(222--+=，求dy . 4、设函数22)(x e x f -=,求)0()4(f .5、求曲线211x y +=在)21,1(-处的切线方程和法线方程. 6、求函数1)(23+--=x x x x f 的单调区间、凹凸区间、极值和拐点. 四、证明题(1、2、3题各9分，4题7分，共34分)1、叙述单调有界定理并考虑下列问题.设,1),,2,1)(1(211>⋅⋅⋅=+=+x n x x x nn n(1) 证明数列{}n x 单调递减有下界. (2)求数列{}n x 的极限.2、用罗尔（Rolle ）定理证明拉格朗日(Lagrange)中值定理并证明不等式：)0()1l n (1><+<+x x x xx3、叙述连续函数的零点定理并用区间套定理加以证明.4、用柯西收敛准则证明数列n n nx 2sin 22sin 21sin 12+⋅⋅⋅+++=收敛. 数学分析（1）复习题（三）一、 填空（共15分，每题5分）：1. 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 , =E inf ;2. 设=--='→5)5()(lim,2)5(5x f x f f x 则 ；3. 设⎩⎨⎧>++≤=0,)1ln(,0,sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 ， =b 。
二、 计算下列极限：（共20分，每题5分）1、n n n1)131211(lim ++++∞→ ; 2、3)(21limn nn ++∞→； 3、 ax ax a x --→sin sin lim ； 4、xx x 1)21(lim +→。
三、 计算导数（共15分，每题5分）：1. );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+=求2.3. 设。
求)100(2,2sin )23(y x x y -= 四、 （12分）设0>a ，}{n x 满足：,00>x ,2,1,0),(211 =+=+n x ax x nn n证明：}{n x 收敛，并求。
n n x ∞→lim五、 10分）求椭圆),(1002222y x by a x 过其上点=+ 处的切线方程。
六、 （10分）利用Cauchy 收敛原理证明：单调有界数列必收敛。
七、（8分）设满足：上在)0(),[)(>+∞a a x f|||)()(|),,[,y x K y f x f a y x -≤-+∞∈∀为常数）。
证明：0(≥K1、上有界；在),[)(+∞a xx f 2、上一致连续。
在),[)(+∞a xx f ;sin cos 33表示的函数的二阶导数求由方程⎩⎨⎧==t a y ta x八、（10分）设n a a a ,,21为实常数，证明：nxa x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=内必有零点。
在),0(π数学分析（1）复习题（四）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续但不可导，则=)('a f （ ） A 、不存在； B 、)('a ϕ； C 、)(a ϕ； D 、)('a ϕ-。
2、当x 很小时，下列近似公式正确的是（ ）A 、x e x ≈ ；B 、x x ≈ln ；C 、x x n +≈+11； `D 、x x ≈sin 。
3、曲线x x y arctan =的图形应为（ ）A 、在),(+∞-∞内上凸；B 、在),(+∞-∞内下凸；C 、在),(+∞-∞内单调上升；D 、在),(+∞-∞内单调下降。
4、当0→x 时，)cos 3(cos 41x x -是2x 的（ ）A 、高阶无穷小；B 、同阶无穷小，但不是等阶无穷小；C 、低阶无穷小；D 、等阶无穷小。
5、设)(x f 三阶连续可导于[]δδ,-上且0)0('')0('==f f ，2)('''lim 0=→xx f x 则（ ） A 、)0(f 是)(x f 的极大值 ； B 、)0(f 是)(x f 的极小值； C 、)0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； D 、))0(,0(f 不是)(x f y =的拐点。
二、填空题（每小题3分，共15分）1、设)sgn(cos )(x x f =，则[]ππ,)(-在x f 上的全部间断点是 。
2、=-+-+∞→12)1323(lim x x x x 。
3、抛物线2x y =的最小曲率半径是 。
4、设)1(1)(x x x f -=，则)()(x f n 。
5、曲线x y x y 2sin )(==与在原点相切，则=∞→)4(lim n nf n 。
三、计算题（每小题8分，共40分）。
1、求极限)sin 11(lim 220xx x -→。
2、求')(ln sin 2y x x x x y 的导数++=。
3、设函数)(x y y =由方程e xy e y =+所确定，求)0(''y 。
4、如果函数⎩⎨⎧≥++<+=0,10,2)(2x bx x x a e x f x 在0=x 连续可导，求b a +5、求x e x x f 2)(=带有Lagrange 余项的n 阶Maclaurin 展式。
四、证明题（每小题5分，共20分）。
1、按δε-定义证明5311lim22=++→x x x 。
2、证明：当)2,0(π∈x 时有不等式πx x 2sin >。
3、设)(x f 在[]b a ,上连续)0( a ，在),(b a 内可导，则存在ξ，),(b a ∈η使)('2)('ηηξf ba f +=。
4、若[]上连续在+∞,)(a x f ，)(lim x f x +∞→存在且有限，则[)+∞,)(a x f 在上一致连续。
五、应用题（本题共10分）已知曲线1=xy 在第一象限的分支上有一定点)1,(aa P )0(>a ，在给定曲线的第二象限中的分支上有一动点Q 。
试求使线段PQ 长度为最短的Q 点的坐标。