数学分析(1)复习题

数学分析（1）复习题（一）

一、按要求写出下列定义的数学描述（4⨯/5=20/）

1、A x f x ≠+∞

→)(lim 的X -ε正面描述为

2、由Cauchy 收敛准则，若数列{}n x 收敛，则

3、η为非空数集S 的下确界即

4、a 为无限集合S 的聚点即

5、区间套[]{}n n b a ,的定义为 二、计算题（8⨯/6=48/）

1、求2

1

0)sin (lim x x x

x →.

2、求)sin

2

sin

1(sin

lim 2

2

2

n

n n n n +⋅⋅⋅++++∞

→π

π

π

.

3、确定x

x x f sin )(=的间断点并判断其类型.

4、设x x x x f x

x

sin )(sin +=，求)(x f '.

5、x y 3sin =，求)(n y .

6、求x e x x f 2)(=带有Lagrange 余项的n 阶Maclaurin 展式.

7、设)7ln 12(4-=x x y ，试确定其凹凸区间及拐点.

8、确定,,b a 使函数⎩⎨⎧≥++<+=0,10,2)(2x bx x x a e x f x 在0=x 处连续.

三、证明题（4⨯/8=32/） 1、用δε-定义证明.10

3

1lim

2

3

=+→x x x 2、设)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明至少存在(),,b a ∈ξ使得下式成

立： .ln )()()(a

b

f a f b f ξξ'=-

3、证明：若f 在[]b a ,上连续，)(lim x f x +∞

→存在且有限，则f 在[)+∞,a 上一致连续.

4、设f 在()+∞,a 内可微并且,0)(lim ='+∞

→x f x 证明0)

(lim

=+∞

→x

x f x .

数学分析（1）复习题（二）

一、单项选择题（5⨯/3=15/） 1、=∞→n n n

2lim

（ ） A.0；B 、2

1；C 、1；D 、2. 2、设函数是n 次多项式，则=+)()1(x f n （ ） A 、n ；B 、n+1；C 、0；D 、1.

3、如果当0→x 时,)(x f 是x 的高价无穷小量,则=→x

x f x sin )

(lim 0

( ). A.

2

1

； B 、0； C 、2； D 、1. 4、设f 在x 的某邻域内有有定义，则下列命题哪一个为假？（ ）

A.f 在点x 可微，则f 在点x 连续； B 、f 在点x 不连续，则f 在点x 一定不可导；

C 、f 在点x 连续，则f 在点x 可微；

D 、f 在点x 可导当且仅当f 在点x 可微.

5、函数2)(x x f =与x x g =)(定义在[)∞,0上，它们在定义区间上是一致连续的

吗？（ ）

A.两个都是一致连续的； B 、两个都不是一致连续的； C 、f 是一致连续的，g 不是一致连续的； D 、f 不是一致连续的，g 是一致连续的.

二、填空题（5⨯/3=15/）

1、如果要使函数x

x x f 1

sin )(=在点0=x 连续，需重新定义=)0(f

2、设1)(0='x f ，则=--+→h

h x f h x f h )

()(lim

000 3、函数⎩⎨⎧≤>+=,1,,

1,)(2x x x b ax x f 在1=x 处可导，则=+2013b a

4、设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，则=')0(y

5、设⎩⎨⎧-=-=t

y t t x cos 1sin ，则

==

2

π

t dx dy

三、计算题（6⨯/6=36/）

1、用N -ε语言叙述数列{}n x 收敛到a 的定义，并根据定义验证数列⎭⎬⎫

⎩⎨⎧++11222n n 收

敛.

2、①求极限x

x x 2211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞

→； ②求极限x

x e x x cos 1sin )1(lim 0--→ 3、设x

tg a x x y 1

)ln(2

22--+=，求dy . 4、设函数2

2

)(x e x f -=,求)0()4(f .

5、求曲线2

11

x y +=在

)21,1(-处的切线方程和法线方程. 6、求函数1)(23+--=x x x x f 的单调区间、凹凸区间、极值和拐点. 四、证明题(1、2、3题各9分，4题7分，共34分)

1、叙述单调有界定理并考虑下列问题.设,1),,2,1)(1

(211>⋅⋅⋅=+=+x n x x x n

n n

(1) 证明数列{}n x 单调递减有下界. (2)求数列{}n x 的极限.

2、用罗尔（Rolle ）定理证明拉格朗日(Lagrange)中值定理并证明不等式：

)0()1l n (1><+<+x x x x

x

3、叙述连续函数的零点定理并用区间套定理加以证明.

4、用柯西收敛准则证明数列n n n

x 2

sin 22sin 21sin 12+⋅⋅⋅+++=收敛. 数学分析（1）复习题（三）

一、 填空（共15分，每题5分）：

1. 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 , =E inf ;

2. 设=--='→5

)

5()(lim

,2)5(5

x f x f f x 则 ；

3. 设⎩⎨

⎧>++≤=0

,

)1ln(,

0,

sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则

0 ， =b 。

二、 计算下列极限：（共20分，每题5分）