高中数学数列极限PPT课件
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《数列极限》课件
性。
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
《高数》数列极限》课件
详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。
高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt
2024/9/27
17
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
2024/9/27
12
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高三数学课件：第二节数列极限
lim （2）
求
n
2n1 an 的值 2n an1
例 4(优 化 P204例 4) 若 数 列 {a n}的 首 项 为 a1 1, 且 对 任 意 n N * , an与 an1恰 为 方 程 x2 bn x c n 0 的两根,
其
中
0<
c
1,当
lim(
b 1
b
2
...
b
n
)
3,
n
求c的取值范围
limC C （C为常数）
n
lim 1 0 n nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当 q 1 时 lim qn 0 n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平
面尤其几要何注、意三公角式、S解=析几何1的中a 1运q的用综。合应用，
感谢聆听
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备用
例5、某城市2019年末汽车保有量为30万辆， 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护 城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过 多少辆？
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
高三数学课件：第二节数列极限
例2：已知 lnim (3na2n2cnbn14n)5
求常数a、b、c的值。
例3．(优化P204例2)已知数列{ an }是由正数 构成的数列，a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是大于1的整数，c 是正数 （１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
数列的极限PPT教学课件
崖的半山腰是寝宫，寝宫的北边是飞石窟，
再上 则 北岳殿。
上负绝壁。
再向上就是北岳殿了。（北岳殿）上是绝壁。
飞石窟远眺
很高的
下 临 官廨，殿下 云台阶级 插
天，
下面挨着官署，殿下很高的台阶插向云天，
正房对面和两
庑侧门和上小屋下子，穹
高
碑
森
形容密
集立的子，样 从殿
廊屋上下，高大的石碑密集地竖立着，从殿
1.数列的极限
一、概念的引入
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放幻灯片 8
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
二、数列的极限
观察数列
xn
1 n
当n
时的变化趋势
洗过一样，
拄着，
策扶着 杖
这里指 恒山
登 岳， 面东而上，
我拄着拐杖开始攀登恒山，向东而上，
土冈浅阜，
登
无 攀跻 劳。
路上都是低矮的土山，没有爬山的劳累。
一里，转 北， 山 皆 煤炭，不 深 走了一里，转向北，山上都是煤炭，不需深
就
凿即可得， 又 一里，则
土
凿就可得到，又走了一里，就看到山上的土
红色
然而满山的荆棘茂密，参差不齐的树技和枯
只
踏
枝，但 能钩衣刺领，攀 践 即 断折，
枝，只是能钩刺衣服，抓住踩踏立即折断，
用力虽勤，
落
水流急的样
若 堕 洪涛，汩汩子
虽然不断地努力，却好像落入洪流中，水流
再上 则 北岳殿。
上负绝壁。
再向上就是北岳殿了。（北岳殿）上是绝壁。
飞石窟远眺
很高的
下 临 官廨，殿下 云台阶级 插
天，
下面挨着官署，殿下很高的台阶插向云天，
正房对面和两
庑侧门和上小屋下子，穹
高
碑
森
形容密
集立的子，样 从殿
廊屋上下，高大的石碑密集地竖立着，从殿
1.数列的极限
一、概念的引入
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放幻灯片 8
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
二、数列的极限
观察数列
xn
1 n
当n
时的变化趋势
洗过一样，
拄着，
策扶着 杖
这里指 恒山
登 岳， 面东而上，
我拄着拐杖开始攀登恒山，向东而上，
土冈浅阜，
登
无 攀跻 劳。
路上都是低矮的土山，没有爬山的劳累。
一里，转 北， 山 皆 煤炭，不 深 走了一里，转向北，山上都是煤炭，不需深
就
凿即可得， 又 一里，则
土
凿就可得到，又走了一里，就看到山上的土
红色
然而满山的荆棘茂密，参差不齐的树技和枯
只
踏
枝，但 能钩衣刺领，攀 践 即 断折，
枝，只是能钩刺衣服，抓住踩踏立即折断，
用力虽勤，
落
水流急的样
若 堕 洪涛，汩汩子
虽然不断地努力，却好像落入洪流中，水流
数列极限-PPT精选文档
2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是 大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求 的 值 （2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平 面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q
《数列的极限》PPT课件
1．数列极限的定义
设{an}是一个无穷数列，如果当项数 n 无限增大时，项 an 无限地趋近于某个常数 a(即|an
－a|无限地接近于
0)，那么就说数列{an}以
a
为极限(或者说
a
是数列{an}的极限)，记作
lim n→∞
an＝a.
2．几个常用极限
(1)lim C＝C(C 为常数)； n→∞
(2)lim n→∞
答案：1000
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瞻前顾后 要点突破 典例精析 演练广场 考题赏析
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知识要点一：对数列极限的理解 1．数列{an}的极限是指当 n 无限增大时，an 无限趋近的那个常数．如果当 n 无限增大时， an 不趋近于任何一个常数，那么这个数列就没有极限．数列的极限是一个常数，这个常数与 n 无关，求数列的极限就是求这个常数． 2．一个数列如果有极限，那么这个数列的极限是唯一的，即一个数列不可能有两个或 更多个极限．
知识要点二：几种常用数列的极限 1．常数数列的极限是这个常数本身，即n→lim∞C＝C(C 为常数)． 2．如果|a|＜1，那么n→lim∞an＝0；如果n→lim∞an＝0，那么|a|＜1；如果n→lim∞an 存在，那 么－1＜a≤1.
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高数数列的极限ppt课件
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
6
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
28
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 . 19
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意 有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
20
3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
21
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
xn
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在 .
几何解释
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
11
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
证法一:
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b, 由定义,
0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
数列极限PPT课件
例3
已知 x n n a
(a 0)
证明 lim n
xn
1
证明 设a 1, 则 | xn 1| n a 1
对 0 要使 | xn 1|
只须使 n a 1 即 n a 1
只须
1 ln a ln(1 ) n
即n
ln a ln(1 )
因此取
N ln a
则当n ＞N时，有
ln(1 )
(2) 若0<|q|<1, >0 (不妨设 <1),
为使|qn – 0|=|qn|< , 只需nln|q|<ln, i.e.（即）, n> ln .
ln |q|
取N = [ ln ]1.
ln |q|
则当n>N时, 就有|qn – 0|< .
倒推解n 得到N
所以 lim qn 0.
n
第8页/共20页
例1
已知
xn
1 n
证明
|
xn
0
|
1 n
证明 lim n
xn
0
故 0 要使 | xn 0 |
只须使 1 即 n 1
n
因此
取N
1
则当n ＞N时，有
| xn 0 |
得证
lim
n
xn
0
倒推解n 得到N
第7页/共20页
例2. 设|q|<1, 用定义证明lnimqn 0. 证明: (1) 若q = 0, 结论显然成立.
极限.
记为
lim
n
an
a
或
an→a
(n→∞).
第4页/共20页
数列极限的几何意义
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周长之和。
……
思考—讨论—探究—解答
.
18
(四)分层练习、巩固创新
4 [开放性练习] ：
某校有教职工150人，为了丰富教职工的课 余生活，每天定时开放健身房和娱乐室，并且 所有教职工每次去健身房或娱乐室之一。据调 查室统，计而， 去每 娱次 乐去 室健的身人房有2的0人0 0 有下1次0 去0 0 下健次身去房娱，乐请 思考，随着时间的推移，去健身房的人数能否 趋于稳定？
210 (n 210 )
（1）若
an
210
n
(n>210 ) 则数列 { a n } (
)
A 无极限
B 有极限 2 1 0
C 有极限 2 1 0 或0 D 有极限0
.
16
(四)分层练习、巩固创新
2 [提高性练习] ：
[深入探究]： （2）试比较 0 . 9 与1 的大小
考察数列0.9 ，0.99 ，0.999 ，…1- 各1项与1的距离。
数a,（即 |a n a |无限地接近于0）那么就
说数列{ a n }以a为极限，或者说a是数列{ a n } 的极限
记作：
lim
n
a
n
a
.
10
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
.
11
有一个正三角形的岛屿（边长为1）；第二次观察时，发现它并非正三角形， 而的是 中每央边13 中处央都13 有处一向向外外有突一出正的三正角三形角海形岬海；岬第，三把次这观个察过时程发无现限原继先续每下一去小，边就 得到著名的数学模型——科赫岛。
10n
序号 1 2 3
项an 0.9 0.99 0.999
an与1的差的绝对值 |0.9-1|=0.1 |0.99-1|=0.01 |0.999-1|=0.001
4
0.9999
|0.9999-1|=0.0001
5
0.99999 |0.99999-1|=0.00001
6
0.999999 |0.999999-1|=0.000001
3.14159046
3072
3.141592106
.
4
… …
（一）结合实际，动画导入：
2、战国时代哲学家庄周说道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
求第n天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；
1
第1天
第2天 .
第3天
1
……
2n
第n天 …5 …
（一）结合实际，动画导入：
3.求曲边梯形的面积：
y=f(x)
教材：人教版高级中学《数学》 第三册 P73－P76
.
1
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
.
2
（一）结合实际，动画导入：
1.刘徽割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”
结论：一般地，若 a1则liman 0 n
.
13
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
.
14
(四)分层练习、巩固创新
1. [巩固性练习] ：考察以下数列的极限。
(1) 10,20,30,,n0,
（1）
.... . .
.
(2)
. . . .....
0
1
23
1
2
34
(3)
.
. . ....... ... .
-1
-1 3
1 5
1 7
0.
11 64
1 2
9
（二）感知实例，归纳概念
3、 [概念形成]： 揭示共同规律，形成概念。
定义：一般地，如果当项数n无限增大时，
无穷数列{ a n } 的项 a n 无限地趋近于某个常
(2) 1， 1， 1， ， 1, 23 n
(3) 2,4, 8,,(2)n, 3 9 27 3
(4) 3,9,27,,(3)n,
24 8
2
(5 ) 2 .9 , 2 .9 9 , 2 .9 9 9 ,, 3 1 0 1 n, .
观 察 讨 论
15
(四)分层练习、巩固创新
2 [提高性练习] ：考察以下数列的极限。
答：随着时间的推移，去健身房的人数稳定在 100人左右
.
19
(五)归纳小结
（1）在数列极限的定义中，当n无限增 大时，如何趋近是不重要的，重要的是 无限趋近。
（2）不是任何数列都有极限，但如果有 极限，则极限是唯一的。
（3）掌握数列极限的性质和结论。
.
20
作业
1教材第76页习题 2.2 2 探究 ： 人们想象，一艘太空飞船飞回地球，第一次观察时 发现地球上
…
… …
.
17
(四)分层练习、巩固创新
3 [探索性练习] ：
（1）公比为q的无穷等比数列，它的前n项和为 S
足什么条件时，
lim
n
S
n
存在？
，当q满
n
（2）在边长为R的正六边形内，依次连结各边的中点，得一
正六边形，又在这一正六边形内，依次连结各边的中点，又
得一正六边形，这样无限地继续下去，试求所有正六边形的
n
lim10 lim (1)p. 0(p>0)
12
n n
n n
(三)尝试探究，深化概念
[猜想，探究]：
例2判断以下推理过程正确与否： lim1n 1 ，而0.99很接近于1
n
lim0.99n 1 是否正确？ n
猜想数列 0.99n 的极限，再用计算器计算
0 .9 9 1 0 0 0,0 .9 9 5 0 0 0,0 .9 9 1 0 0 0 0,0 .9 92 0 0 0 0 .
直径为1的圆：
正三角形
正六边形
正十二边形
.
3
（一）结合实际，动画导入：
内接正多边形边数
正多边形周长
6
3.00000000
12
3.10582854
24
3.13262861
48
3.13935020
96
3.14103194
192
3.14145247
384
3.14155761
768
3.14158389
1536
(三)尝试探究，深化概念:
[应用举例]： 揭示共同规律，形成概念。
11
1
（1） 1, , , 8 27
, n3 ,
;
（2） 6.5,6.95,6.995, 75, ; 10n
（3） 1,1,1, 24 8
1 ,(2)n ,
.
（4） 1,2,3, ,n,
（5） 1,1,1, 1, .
结 论 : lim C C C 为 常 数
y
0a
b
x
.
6
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
.
7
（二）感知实例，归纳概念
1、 [观察思考]：考察以下数列的 变化趋势。
（1）
(2)
(3)
.
8
（二）感知实例，归纳概念
2 [揭示本质]：观察变化趋势，总结规律。