奥数 比和比例
六年级奥数题比和比1
六年级奥数题比和比1比和比例(一)11、小明和小方各走一段路程，小明走的路程比小方多，小方用的时间比小明 51多。
小明和小方的速度之比是多少？ 82、东街小学六年级有学生46人，分成三个课外科技小组。
第一组与第二组人数比是2:3，第一组与第三组的人数比是3:4。
三个组各有多少人？3、一列火车3小时行驶150千米。
从A地到B地有240千米，需要行几小时？如果速度加快20%，要行多少小时？4、有一自助餐厅，规定每次每人用餐费是：先生交30元，女士交20元，儿童交10元。
某一天前来用餐的先生与女士人数之比是2:9，女士与儿童的人数之比是3:7，共收到所交的用餐费9450元。
求这一天用餐的先生、女士和儿童的人数。
125、圆A和圆B一局部重叠,重叠局部的面积是圆A的,也是圆B的,求A、B 515的面积比。
6、某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。
某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5:6，小客车与小轿车之比是4:11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。
求这天三种车辆通过的数量。
比和比例〔二〕111、小军行走的路程比小红多，而小红行走所用的时间却比小军多，求小军 410和小红的速度比。
2、甲、乙两个正方体棱长的比是1:2，求他们的外表积的比和体积的比。
3、白玉兰学校有运发动108人，分成甲、乙、丙三个队进行训练，甲队与乙队人数之比为2:3，乙队与丙队的人数之比为3:4，求各队的人数。
14、三个运输队，A队有载重3吨的汽车8辆，B队有载重4吨的汽车5辆，C 2队有载重5吨的汽车4辆。
把运输612吨货物的任务按他们的运输能力分配给三个队，各应分配多少吨？5、甲、乙、丙三人共同种树，他们种树棵数的比是3：4：5，丙比甲多种6棵？问三人各种树多少棵？6、海水中水与盐的比是183：17。
现在要使它改变成水与盐之比为19:1，在400千克海水中应掺入多少千克清水？7、一根木材，据成四段，付锯板费8.4元，如果锯成5段，应付锯板费多少元？8、一次爬山活动，路程为18千米，分为上坡、平路和下坡三段，各段路长之比是2：1：3，而走各段路程所用的时间之比为5：4：6。
小学奥数应用题讲义 6-比和比例
六年级（应用题专题能力进阶七级）比和比例本讲主要内容：一．比例的基本性质比是表示两个数相除，有两项。
比例是一个等式，表示两个比相等，有四项性质1. 若a：b=c：d，则（a+c）：(b +d)=a：b=c：d性质2. 若a：b=c：d, 则（a－c）：（b－d）=a：b=c：d性质3. 若a：b=c：d, 则a×d=b×c （即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数) 则称 a、b 成正比反比例：如果a×b=k(k为常数) 则称 a、b 成正比二．按比分配根据所给条件的不同，有的给单比或连比，有的给两个比要化为连比。
之后找到总份数，求出一份的量，进而得到每个量的具体值。
三．比和比例的基本应用四．抓住比例里的“不变量”五．“和不变”的应用六．“差不变”的应用七．用比例解行程问题一比例的基本性质【例1】某单位买甲、乙两种钢笔共100支，已知甲钢笔每支3元，乙钢笔每支2元，且甲、乙两种钢笔所用钱数一样多，求甲、乙两种钢笔各买了多少支？二按比分配【例2】某种产品由A、B、C三个部件组成，一个工人每天可生产5个A，或者生产3个B，或者生产6个C，要使工厂每天生产的产品尽量多，该厂的210名工人应如何分工?该厂一天最多可生产多少个这种产品？三比和比例的基本应用【例3】某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。
某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5：6，小客车与小轿车之比是4：11，收取小轿车的通行费比大客车多210元，求这天这三种车辆通过的数量。
四抓住比例里的“不变量”【例4】六（一）班图书角原来科技书与文艺书本数的比是5：6，现在借出10本科技书后，科技书与文艺书本数之比是2：3。
科技书原有多少本？五“和不变”的应用【例5】小芳读一本故事书，读了几天后，已读的页数与未读的页数之比是3：5，后来又读27页，这时已读页数与未读页数之比是9：7。
小学奥数知识点：比和比例
小学奥数知识点：比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。
比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外)，比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。
a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时)，则A 与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时)，则A 与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
(完整版)小学奥数-比和比例(教师版)
比和比例【例1】★已知3 :（x -1）=7:9，求x . 【解析】764=x 【小试牛刀】某班的男、女生之比为3:2，又来了4名女生后，全班共有44人。
求现在的男、女生人数之比。
【解析】原有40人，男生有40×3÷5=24人，女生40-24=16人，现在男女人数之比24:20=6:5【例2】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。
甲的长与宽之比是3:2，乙的长与宽之比是7:3，那么甲与乙的面积之比是多少？【解析】长+宽相等。
甲的长:宽=6:4，乙的长:宽=7:3.所以甲乙的面积比为(64):(73)8:7⨯⨯=【例3】★★两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？【解析】两个瓶子体积相同。
第一个瓶子酒精:水=3:1=15:5，第二个瓶子酒精:水=4:1=16:4，于是混合后酒精:水=(15+16):(5+4)=31:9【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5.如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个。
问:水果店运来的西瓜有多少个？【解析】卖的瓜的总数比为西瓜:白兰瓜=5:4=25:20,原有西瓜:白兰瓜=7:5=28:20,西瓜剩3份36个,每份12个，所以原有西瓜28×12=336个。
【例4】★★商店购进甲乙两种不同糖果，所用费用之比为2:1，甲种糖果每千克6元，乙种每千克2元。
如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？【解析】费用比2:1，单价比3:1，重量比212331=：：，平均价格为6223 3.623⨯+⨯=+(元/千克) 【例5】★★甲乙二人共加工零件400个，甲加工一个零件用9分钟，乙加工一个零件用15分钟。
完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？【解析】工效之比15:9=5:3，甲比乙多加工5340010053-⨯=+（个）【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用40分和30分，甲先走5分后乙再追，乙几分钟才能追上甲?【解析】甲乙速度之比3:4，设乙x 分追上甲，则甲用(5+x )分，3(5+x )=4x ，x =15【例6】★★甲走的路比乙多31，乙用的时间却比甲多41，则甲乙两人的速度比是多少? 【解析】甲乙路程之比是4:3，甲乙时间之比是4:5，所以甲乙速度之比是5:3【例7】★★从A 地到B 地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是4:5，如果甲、乙两人同时分别从A 、B 两地相对骑出，40分钟相遇。
(完整版)六年级奥数比和比例
1例题 1 有三盒珠子，每盒的珠子的数目互不同样。
小王从第一个盒子内拿出该盒珠子数目的 3 ，又从第1 1二个盒子内拿出该盒珠子数目的 4 ，再从第三个盒子内拿出该盒珠子数目 5 。
最后，这三个盒子内剩下的珠子的数目都相等。
请问小王从这三个盒子内所拿出的珠子数目之总和的最小可能的值是什么？2 3 4剖析依照题意有 3 A= 4 B= 5C,则 A:B:C=18:16:15例题 2 甲、乙两校原有图书的比是 7：5，假如甲校给乙校 650 本，甲、乙两校的图书籍数的比就是 3：4，本来甲校友图书多少本？随堂练习（1）有一个长方体， 长和宽的比是 2：1，宽与高的比是 3:2。
已知这个长方体的所有棱长之和是 220cm ，求这个长方体的体积。
11 （ 2）小明和小方各走一段路，小明走的行程比小方多 5 ，小方用的时间比小明多8 。
小明和小方的速度之比 是多少？（ 3）甲、乙两库房存货吨数比为 4： 3，假如由甲库中提取 8 吨放到乙库中，则甲、乙两库房存货吨数比为 4： 5。
两库房原存货总吨数是多少吨？ 例题 3 如图（见黑板），正方形 ABCD 的边 AB 与正方形 MNPQ 的边 PQ 平行且相等。
试求暗影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比。
例题 4 如图，三个齐心圆，他们的半径之比是 3：4：5，假如大圆的面积是 100 平方厘米，那么中圆和小圆之间的圆环面积是多少？练习(1)如图在四边形ABCD 中，AC 和BD 订交于O 点。
三个小三角形的面积分别是20、 16、 32。
那么暗影三角形BOC的面积是多少？ABO DC(2)如下图梯形ABCD 的上底 AD 长 12 厘米，高BD 长 18 厘米， BE=2DE, 则下底 BC 长多少厘米？A DB C1、六年级一班的男、女生比率是 3： 2，又来了 4 名女生后，全班共有 44 人，求此刻的男、女生人数之比。
2、师徒二人共加工部件 400 个，师傅加工一个部件用 9 分钟，徒弟加工一个部件用 15 分钟。
小学六年级奥数ppt：比和比例
（3）AB两种商品的价格差是70÷（7/3-7/4)=120（元） （4）原A商品的价格是120÷（7-3）×7=210（元） （5）原B商品的价格是120÷（7-3）×3=90（元）
①三个儿子分牛头数的连比：12 ：31 ：19 ＝9：6：2 ②总份数：9+6+2＝17
③三个儿子各分得牛的头数：
17×197 ＝9（头） 17×167 ＝6（头） 17×127 ＝2（头）
练习
1. 图书室取出一批书，按照一年级得12 ，二年级得13 ，三 年级得17 ，正好是 41 本，各年级各得多少本？ 2. 甲、乙、丙三人共做零件 900 个。甲做总数的 30％， 乙比丙多做13 。三人各做多少个？
甲、乙两校原有图书本数的比是 7：5，如果甲校给乙校
650 本，甲、乙两校图书本数的比就是 3：4。原来甲校
有图书多少本？
分析：由甲、乙两校原有图书本数的比是 7：5 可知，
原来甲校图书的本数是两校图书总数的7+75 ，由于甲校
给了乙校 650 本，这时甲校的图书占两校图书总数的
3 3+4
，甲校给乙校的 650
比和比例（一）
专题简析：
我们已经学过比的知识，都知道比和 分数、除法其实是一回事，所有比与分数 能互相转化。运用这种方法解决一些实际 问题可以化难为易，化繁为简。
2
4
甲数是乙数的3 ，乙数是丙数的5 ，甲、乙、丙
三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
分析：甲、乙两数的比 乙、丙两数的比
2：3=8:12 4：5=12:15
4 1+4
六年级奥数题比和比例【三篇】
【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。
以下是为⼤家整理的《六年级奥数题⽐和⽐例【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】
习题：
政府为建设新农村修了新路，这条路全长有60千⽶，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的⽐例是1：2：3，⼩刚回家⾛各段路程所⽤时间之⽐是4：5：6，已知他上坡的速度是每⼩时3千⽶，问⼩刚⾛完全程⽤了多少时间？
解析：
分析：要求⼩刚⾛完全程⽤了多少时间，必须先求出他⾛上坡路⽤了多少时间，必须知道⾛上坡路的速度和上坡路的路程，已知全程60千⽶，⼜知道上坡、平破、下坡三段路程⽐是1：2：3，就可以求出上坡路的路程。
【第⼆篇】
习题：
⽔果店⾥西⽠个数与⽩兰⽠个数的⽐为7：5。
如果每天卖⽩兰⽠40个，西⽠50个，若⼲天后，⽩兰⽠正好卖完，西⽠还剩36个。
⽔果店⾥原有西⽠多少个？
解析：
设各运来7X和5X个
(7X-36)/50=5X/40
4(7X-36)=5*5X
28X-156=25X
3X=156
X=52
西⽠：52*7=364个
【第三篇】
习题：
有两袋⼤⽶共重440千克，甲袋⽶吃了三分之⼀，⼄袋⽶吃了⼆分之⼀，这时甲袋⽶与⼄袋⽶重量之⽐为8：5，甲袋⽶与⼄袋⽶各重多少千克？
解析：
设甲袋⽶重X千克，⼄袋⽶重Y千克，就可以列出X+Y=440，[（2/3）X]/[（1/2）Y]=8/5，可以解出X=240千克，Y=200千克。
小学奥数例题大全(13、比和比例问题)
比和比例问题一．内容精要比例的意义a ：b=c ：d 比例的性质：两内向之积等于两外向之积 比例尺=图上距离：实际距离二．典型例题例1．甲行的路程比乙多41，而乙行的时间比甲多101，甲与乙速度的最简整数比是多少？ 例2．已知a ：b=3：2，b ：c =3：2，则a ：b ：c=例3．两个相同的瓶子装满酒精溶液。
一个瓶中的酒精与水的体积之比是3：1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。
若把两瓶酒精溶液混合，则混合溶液中酒精和水的体积之比是多少？例4．小华准备用60厘米长的铁丝围成一个长方形，若围成的长方形的长与宽之比是3：2，那么这个长方形的面积是多少？例5．丽丽、贝贝、甜甜三个小朋友共收集废旧电池420节，其中甜甜收集的比贝贝的少31，贝贝与丽丽的废旧电池的比是4：5，那么三个人各收集废旧电池多少节？例6．加工一个零件，甲、乙、丙所需的时间比为6：7：8，现在有3650个零件要加工，如果规定3人用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个零件？例7．从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿子分得21，二儿子分得31，小儿子分得91，但不能把牛杀掉或卖掉。
三个儿子按照老人的要求怎么也分不好。
后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底怎么回事吗？ 例8．甲数的43等于乙数的54，甲、乙两数的比是（ ）：（ ） 例9．在一幅比例尺是1：200000的地图上，量的甲、乙两地相距20厘米。
如果在另一幅地图上，甲、乙两地相距10厘米，另一幅地图的比例尺是多少？例10．判断：下面各题中的两种量是否成比例？成什么比例？（1）小红从甲去学校，她行走的时间和速度。
（2）车轮的直径一定，所行使的路程和车轮转数。
（3）3x=51y ，x 和y （4）正方形的面积和边长。
（5）三角形的面积一定，底和这条底上的高。
例11．一间房子要用方砖铺地，用面积是9平方分米的方砖，需要960块。
如果改用面积是4 平方分米的方砖，需要多少块？例12．用一种方砖铺地，铺10平方米需要这种方砖40块，铺完面积是60平方米的房间，需要这种方砖多少块？例13．一根木料锯成5段要8分钟，那么锯成6段需要多少分钟？例14．一架飞机所带燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米，这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞？ 例15．客车和火车分别从甲、乙两地同时相对开出，经过若干小时在途中相遇，相遇后又行5小时货车到达甲地，这时车到乙地后又掉头行了甲、乙两地距离的25%，客车和货车从出发到相遇用了多少小时？例16．当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米，比丙领先20米。
奥数比和比例含答案
比和比例 月 日 姓 名【知识要点】一、比和比例的性质性质1：若a : b =c ：d ，则(a + c )：(b + d )= a ：b =c ：d ；性质2：若a : b =c ：d ，则(a - c )：(b - d )= a ：b =c ：d ；性质3：若a : b =c ：d ，则(a +x c )：(b +x d )=a ：b =c ：d ；(x 为常数)性质4：若a : b =c ：d ，则a ×d = b ×c ；(即外项积等于内项积)正比例：如果a ÷b =k (k 为常数)，则称a 、b 成正比；反比例：如果a ×b =k (k 为常数)，则称a 、b 成反比．二、主要比例转化实例①x a y b = ⇒ y b x a =； x y a b =； a b x y =；② x a y b = ⇒ mx a my b =； x ma y mb =(其中0m ≠)； ③x a y b = ⇒ x a x y a b =++； x y a b x a --=； x y a b x y a b ++=-- ； ④ x a y b =，y c z d = ⇒ x ac z bd=；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的ca 等于y 的d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad ． 三、按比例分配与和差关系⑴按比例分配例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bx a b+个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为ax a b -，B 的元素数量为bx a b -，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值． 四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。
五年级奥数-比和比例
比和比例
模块1：比和比的化简
1.（1）两个数相除又叫做这两个数的；4 5写成比的形式为；比
号前面的数叫
；比号后面的数叫
；比的结果叫。
（2）比的基本性质：
（3）五年级一班有男生12人，女生7人，那么男女人数之比为；男生人数与全班总人数之比为；女生人数与全班总人数之比是；男女生人
数差与全班总人数之比是。
（4）艾迪今年12岁，薇儿今年8岁，则艾迪与薇儿年龄之比为；艾迪
与薇儿年龄的比值为。
2.（1）把下面的比化为最简整数比12：8=21：56=
1.2：3.6=
2.4：4.8=31：4
1=52：3
1
=（2）求比值15:3=12:8=
1.2:
2.4=51:3
2=（3）化连比
如果甲：乙=2：3，乙：丙=3：5，那么甲：乙：丙=如果甲：乙=2：3，乙：丙=4：5，那么甲：乙：丙=
模块2：比的计算
3.甲乙之和是45，且甲:乙=4：5，那么甲乙分别是多少？
模块3：比例和比例方程4.（1）填空完成比例式13：5=（）：1597=（）
21
214=（）
12（2）解下列比例方程
4：x =5:7
7x =8
3(2x +1):3=11x :15
1337 x =2
x。
奥数：比和比例关系
第九讲 比的比例的关系比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础。
有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多。
我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解。
这一讲分三个内容： 一、比和比的分配； 二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题。
一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值。
从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比。
例1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等。
甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5。
求甲与乙的面积之比。
例2 如右图，ABCD 是一个梯形，E 是AD 的中点，直线CE 把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7。
求上底AB 与下底CD 的长度。
例3 大、中、小三钟杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4示2大杯、3中杯、4之比。
例4 甲、乙、丙三人同去商场购物，甲花钱数的21等于乙花钱数的31，乙花钱数的43等于丙花钱数的74，结果丙比甲多花钱93元，问他们三人共花了多少钱？例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度之比是6∶5，甲钉子的32钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5∶4，而它们留在墙外的部分一样长。
问：甲、乙、丙的长度之比是多少？例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元。
某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这三种糖果每千克的平均价是多少元？例7 一个分数，分子与分母之和是100。
如果分子加23，分母加32，新的分数约分后是32，原来的分数是多少？例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？例9 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多。
各组男会员与女会员人数之比是：甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，那么丙有多少名男会员？例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3。
小学六年级奥数 第二十章 比和比例
第二十章比和比例知识要点一、比的意义两个数相除，又叫做两个数的比。
比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以相同的不为0的数，比值不变。
二、比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。
比例的基本性质：在比例里两个外项的积等于两个内项的积。
三、求比例的应用题的主要技巧1.正反比例的条件比较直接，可以根据题中的已知条件列出比例式。
2.分数应用题，通过转化把分数化成比，用解比例的方法来解决。
3.两个数量发生增减变化，比也随着变化，可以根据变化的情况列出比例式。
4.比较复杂的比例应用题，要善于从比较隐蔽的数量关系中找出比例关系，列出比例式。
典例巧解例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)已知a：b＝32：1.2，b：c＝0.75：12，那么c:a＝。
点拨先求出a，b，c之间的整数比，再按要求得c:a。
解 a:b＝32：1.2＝32：65＝5：4＝15：12b：c＝0.75：12＝34：12＝3：2＝12：8所以c：a＝8：15例2 (第五届“希望杯”邀请赛试题)今年儿子的年龄是父亲年龄的14，15年后，儿子的年龄是父亲年龄的511。
今年儿子岁。
点拨本题已知两次年龄比，可考虑用比的知识求解。
解法一设今年父亲x岁，儿子y岁，由题设知x ：y＝4：1得 (x－y)：y＝3：1＝6：215年后，有 (x＋15)：(y＋15)＝11：5得 (x－y)：(y＋15)＝6：5所以 y：(y＋15)＝2：5即 y ：15＝2：3y ＝10解法二 设今年儿子x 岁，则父亲今年4x 岁。
15年后，儿子(x ＋15)岁，则父亲(4cx ＋15)岁。
由题设知 (4x ＋15)：(x ＋15)＝11：5于是 (4x ＋15)：(4.x ＋60)＝11：20解得x ＝10例3 一个分数的分子加上2可约简为35，分子减去1可约简为25。
这个分数是多少？ 点拨 分子加上2可约简为35，可以直接知道原分数的分母没有变化，约简的结果使原分母缩小若干倍。
六年级上册奥数试题：第12讲 比和比例 全国通用(含答案)
第12讲比和比例知识网络比和比例问题是一类与数量之间的正反比例关系相关的应用题。
它包括以下几个主要内容：（1）两个数的比实际就是这两上数的商。
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数叫做比例的项，比例中两个外项的积等于两个内项的积。
（2）如果两种相关量x、y，可以写成，其中k是一个定值，那么称x、y为成正比例的量。
（3）如果两种相关联的量x、y，可以写成x×y=k，其中k是一个定值，那么称x、y 为成反比例的量。
（4）两上以上的数的比叫做连比。
连比满足比例的基本性质，也就是a∶b∶c=na∶nd∶nc(n≠0)。
重点·难点比和比例问题的重点在于正确找出两种相关的量，并明确二者之间的比例关系。
例如：1．常见的正比例关系（1）亩产量一定时，播种面积和总产量成正比例的关系，即（2）工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例的关系，即（3）速度一定时，路程与时间成正比例的关系，即2．常见的反比例关系（1）平行四边形的面积一定时，它的底和高成反比例的关系，即底×高=平行四边形的面积（一定）（2）总时间一定时，制造成零件个数和制造每个零件所用的时间成反比例的关系，即制造每个零件所用的时间×零件个数=总时间（一定）（3）两上互相啮合的齿轮，当齿轮转过的齿数一定时，齿数与转数成反比例的关系，即齿轮的齿数×转数=齿轮转过的齿数（一定）学法指导解答正、反比例的应用题时，首先要找出题中相关联的量，即两个变量，再确定题中隐含着的定量，判断两个变量间的比例关系，建立正确的比例式。
经典例题[例1]猎犬发现在离它10米远的前方有一只狂跑着的野兔，立刻追赶。
猎犬的步子大，它跑2步的路程，兔子要跑3步；但是兔子的动作快，猎犬跑3步的时间，兔子能跑4步。
问猎犬至少要跑多少米方能追上野兔？思路剖析从猎犬开始追兔子到追上兔子，猎犬和兔子所用的时间相等，即时间一定，因此，它们跑的速度与距离成正比例的关系。
小学六年级奥数比和比例【五篇】
小学六年级奥数比和比例【五篇】导读：本文小学六年级奥数比和比例【五篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
【第一篇】习题：甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走。
甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙。
已知甲、乙的速度比是3：2，湖的周长是600米，求丙的速度。
解析：甲乙两人的速度和600÷（5/4+15/4))=120甲的速度120÷（1+2/3)=72乙的速度120-72=48甲和丙的速度和600÷（5/4+15/4+5/4)=96丙的速度96-72=24 【第二篇】习题：一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9：7；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7：5。
这群羊原来有多少只？解析：设跑出一只公羊后，公羊9x只，则母羊7x只（9x+1）：（7x-1）=7：57（7x-1）=5（9x+1）49x-7=45x+549x-45x=7+54x=12x=3所以：原有公羊=9x+1=27+1=28只原有母羊=7x=21只原有：群羊=28+21=49只【第三篇】习题：一个运输队运送一批货，第一天，运了全部的30%，第一天和第二天运量的比是3：2，还剩520吨没运走，这批货原有多少吨？解析：第一天运送30%，第一天与第二天运量比例是3：2，则第二天运了20%，共计50%，剩余50%，为520吨，故总共有520*2=1040吨【第四篇】习题：有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是多少升？解析：此题的关键是抓住不变量：差不变。
这样原来两桶水差13-8=5升，往两个桶中加进同样多的水后，后来还是差5升，所以后来一桶为5÷(7-5)×5=12.5，所以加入水量为4.5升。
第五课 六年级比和比例奥数.
第五课比与比例一、知识总结1、比： k ba b a b a ==÷=:；比的性质：(0::≠=c bc ac b a 2、比例式： d c b a ::= (外项、内项比例性质：bc ad d c b a =⇔= 比例改写： a b c d a c b d d b c a d c b a ::::::::=⇔=⇔=⇔=(比例性质的应用3、比例中项： ac b c b b a =⇔=2::4、比例方程：含有未知项的比例叫做比例方程。
5、正比例、反比例①正比例：若两个量之间的比值固定不变，则这两个量成正比例。
若k b a =:（k 一定），则a 、b 成正比例②反比例：若两个量的乘积固定不变，则这两个量成反比例。
若k ab =（k 一定），则a 、b 成反比例。
6、比例的应用：①图形缩放：将图形按照给定比放大或缩小，对应边长、高之比等于给定比。
面积比等于给定比的平方。
②比例尺：比例尺=图上距离÷实际距离；图上距离=实际距离×比例尺；实际距离=图上距离÷比例尺。
缩小，比例尺＜1；放大，比例尺＞1③比例应用题：整理题中的数量组成比例，求出比例中的未知项。
二、巩固练习比的计算1、化成最简整数比：211:1. 2:57= 2、求比值：602cm ：602dm =3、解比例 8:x =3224、若整数x 能与2、6、15这三个数组成比例，求x 的值。
5、若5:2:=b a 且ac b =2，则c b :=6、已知y x 32=，①求：y x : ②求yx y x +-22的值③若x 比y 大4，求x 和y 的值比例的应用7、比例尺通常写成前项是（）的比。
除数值比例尺之外，还有（）比例尺。
8、学校操场长800米，宽500米，如果画在比例尺是1：1000的图纸上，长应画（）厘米，宽应画（）厘米，图形面积是实际面积的（）。
9、一张设计图的比例尺是20：1，在图纸上量得一个零件长40厘米，这个零件实际长（）。
奥数题-专题训练之比和比例应用题
比和比例比和比例比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一,其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如:a:ｂ）；比例,由至少两个称为比的式子由等号连接而成,且这两个比的比值是相同(如：a:b=c:d)。
所以,比和比例的联系就可以说成是:比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组和而成的。
比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的是叫做比例。
比是表示两个数相除,有两项；比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。
比和比例的意义也不同。
比和比例应用题［例1]、生产队饲养的鸡与猪的只数比为26∶5，羊与马的只数比为２5∶9,猪与马的只数比为10∶3。
求鸡、猪、马和羊的只数比。
[分析］该题给出了三个单比，要求写出它们的连比。
将几个单比写成连比，关键是利用比的基本性质将各个比中表示同一个量的值化为相同的值。
ﻫ [解］由题设，鸡∶猪＝26∶5，羊∶马=25∶９，猪∶马=10∶3,由比的基本性质可得:ﻫ猪∶马=１0∶3=30∶9,羊：马=２5∶９，鸡:猪=26∶5＝156∶3０,从而鸡∶猪∶马∶羊=1５6：30∶9∶２5。
ﻫ答:鸡、猪、马、羊的只数比为1５6∶30∶９∶２5。
[注] 将单比化为连比时，还可先化为三个量的连比，再化为四个量的连比。
如，鸡∶猪=２6∶５，猪∶马=1０∶3，由此可得，鸡∶猪∶马=５2∶１0∶３；再注意到羊∶马=25∶9可得,鸡∶猪∶马∶羊=156∶30∶9∶2５。
ﻫ[例2]．下列各题中的两个量是否成比例？若成比例，请说明成正比例还是成反比例。
(１)路程一定时，速度与时间；(2)速度一定时,路程与时间;(3)播种面积一定时，总产量与单位面积的产量；（4)圆的面积与该圆的半径；ﻫ (5)两个相互啮合的大小齿轮,它们的转速与齿数。
[分析] 利用正比例、反比例的概念进行判定与说明。
ﻫ [解] (１）由于速度与时间的乘积等于路程,所以，当路程一定时,速度与时间成反比例。
小升初奥数比、比例
比与比例1、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比。
2、求比值的方法（单位不一样时先统一单位）用比的前项除以比的后项所得的商就是这个比的比值。
注：比值可以用分数表示，也可以用小数或整数表示。
3、比与除法、分数之间的联系。
比前项 ：（比号） 后项 比值 除法被除数 ÷（除号） 除数 商 分数 分子 -（分数线）分母 分数值 4、比和比例5、比例尺一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
即：图上距离：实际距离=比例尺 或 比例尺实际距离图上距离= 例1、（ 6 ）÷8=0.75= )16(12=（9 ）：12举一反三、0.6=3：（ 5 ）=（ 9 ）÷15=（6 ）成=（ 60 ）％例2、用一根60m 长的铁丝制成一个长方体框架，长、宽、高的比是2:2:1，这个长方体的体积是多少立方米？设每一份长为x2x*4+2x*4+4x=6020x=60X=3V=2x*2x*x=2*3*2*3*3=108举一反三、专业户刘大伯家养鸡、鸭、鹅共1800只，这三种家禽的只数比是5：3：1。
刘大伯家养鸡、鸭、鹅各多少只 ？例2、有一种混凝土所用的材料水泥、河沙、石子之比是2:3:5。
（1）已知配制这种混凝土用了40吨水泥，求河沙和石子各用了多少吨？（2）已知配制这种混凝土中的石子比河沙重30吨，求混凝土中各有材料多少吨？例3、在一幅1:600000的地图上，甲乙两地的距离是7cm ，那么，甲乙两地的实际距离是多少千米？例4、解比例752.125x ＝ 441x 25：＝： x 4110181：＝： 6x 328.0：＝：例题5、甲数是乙数的23 ，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
举一反三、甲数是乙数的45 ，乙数是丙数的58 ，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
例题6、甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3：4。
奥数：比和比例关系
第九讲比的比例的关系比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础。
有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多。
我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解。
这一讲分三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题。
一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值。
从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比。
例1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等。
甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5。
求甲与乙的面积之比。
例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7。
求上底AB与下底CD的长度。
例3 大、中、小三钟杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯。
如果记2大杯、3中杯、4之比。
例4 甲、乙、丙三人同去商场购物，甲花钱数的21等于乙花钱数的31，乙花钱数的43等于丙花钱数的74，结果丙比甲多花钱93元，问他们三人共花了多少钱？例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度之比是6∶5，甲钉子的32钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5∶4，而它们留在墙外的部分一样长。
问：甲、乙、丙的长度之比是多少？例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元。
某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这三种糖果每千克的平均价是多少元？例7 一个分数，分子与分母之和是100。
如果分子加23，分母加32，新的分数约分后是32，原来的分数是多少？例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？例9 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多。
各组男会员与女会员人数之比是：甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，那么丙有多少名男会员？例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3。
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六年奥数综合练习题十二答案（比和比例关系）比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.这一讲分三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题.一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是2.甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面积之比是864∶875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.求上底AB与下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.答：AB∶CD=3∶14.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.解：大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，中杯与小杯容量之比是4∶3，大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.∶=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）=44∶75.答：两者容量之比是44∶75.把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，3∶5=3×7∶5×7=21∶35，7∶4=7×5∶4×5=35∶20，甲∶乙∶丙=21∶35∶20.花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，连比后是甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2=32∶48∶63.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是6份.∶x=5∶4.乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是6∶5=30∶25.甲∶乙∶丙=30∶25∶26.答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.平均数是（15+11+10）÷3=12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是700×3=2100分钟）=35小时.答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题.例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，那么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是100÷2=50（人）.乙、丙两组男会员人数是56-24=32 （人）.答：丙组有12名男会员.上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全程用了10小时25分.上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时设小龙走完全程用x小时.可列出比例式二、比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来甲得22.5÷5×20=90（分），乙得22.5÷5×16=72（分）.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7即5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=12×22.5x=18.甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.解：其他球的数量没有改变.增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（14-5）=5∶9.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.现在总球数是答：现在共有球224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：（x+8）∶2x=5∶9.例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有240∶x=8∶5，x=150（元）.实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.我们画出一个示意图：张家开支的3倍是（8份-240）×3.李家开支的8倍是（5份-270）×8.从图上可以看出5×8-8×3=16份，相当于270×8-240×3=1440（元）.因此每份是1440÷16=90（元）.张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.本题也可以列出比例式：（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.A数是17×8=136，B数是17×5=85.答：A，B两数分别是136与85.本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.例15小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-1×4=11（张）.小明原有图画纸11×5-15=40（张），小强原有图画纸11×2+8=30（张）.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4∶3=20∶155∶2=20∶8.但现在是20∶8，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）.因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点等需要时间是答：这两支蜡烛点了3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.例17箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取7×3＝21只，最后应剩3×3＝9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝7（次）.红球有15×7＋53＝158（只）.白球有7×7＋3＝52（只）.原来红球比白球多158-52＝106（只）.答：箱子里原有红球数比白球数多106只.三、比例的其他问题，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：（甲-7）∶乙= 2∶3.因此，有些分数问题，就是比例问题.加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？答：这些画片有261张.解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是样重，就有因此原有水的重量是答：容器中原来有8.4千克水.例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些.例20 有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比.现在A堆已有黑子350＋100＝450个），与已有白子500个，相差从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是50÷（3-1）＝25（个）.再要拿出黑子数是25×3＝75（个）.答：从B堆拿出黑子175个，白子25个.人，问高、初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图：6-5＝1，相当于图中相差17-12＝5（份），初中总人数是5×6＝30份，因此，每份人数是520÷（30-17）= 40（人）.因此，高、初中毕业生共有40×（17＋12）＝1160（人）.答：高、初中毕业生共1160人.计算出每份是例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用.下的钱共有多少元？解：设钢笔的价格是1.这样就可以求出，钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答：张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（1707～1783）提出的问题.们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使（1＋5）×A＋（3＋2）×B＝100，或简写成6A＋5B＝100.就恰好符合均价是1.类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5，B＝4，6×5＋5×4＝50，50是100的约数，符合要求.A＝5，猪5头，绵羊25头，B=4，山羊12头，绵羊8头.猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶（25＋8）.现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比.要注意，这样的问题常常有多种解答.A= 5，B＝14或A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧.通常求混合比可列下表：下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.例24某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买1件按定价，买2件降价10％，买3件降价20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售，那么买3件的顾客有多少人？解：题目已给出平均数85％，可作比较的基准.1人买3件少5％×3；1人买2件多5％×2；1人买1件多15％×1.1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.A组是2人买4件，每人平均买2件.B组是5人买12件，每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.B组人数是（76-2×33）÷（24-2）＝25（人），A组人数是33-25＝8（人），其中买3件4人，买1件4人.10＋4＝14（人）.答：买3件的顾客有14位.建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B＝33，还要从买的件数考虑满足4A＋12B＝76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.。