一元二次方程的解法直接开平方优秀课件
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一元二次方程的解法(一)直接开平方法(课件)数学九年级上册(人教版)
即 x-5=1或x-5=-1
∴x1=6,x2=4.
（4）8x2-8x+2=-6
解： 4x2-4x+1=-3，
(2x-1)2=-3，
∵ (2x-1)2≥0，
∴ (2x-1)2≠-3，
∴此方程无实数根.
15.已知关于x的方程(x＋1)2=k2+3的一个根是x=2，求k的值及另
一个根.
解:把x=2代入原方程得k2+3=9，
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝± .
C.当n≥0时，有两个解=± −
D.当n≤0时，无实数解
B
)
2=1则x=_________.
±8
-1或-3
7.若x2=64，则x=______;若(x+2)
m≥1
8.若关于x的方程2(x-1)2=m-1有实数根，则m的取值范围是_______.
2−4
9.当x=_____时，分式
值为零.
−2
∴k2=6.解得k=± 6.
把k2=6代入原方程，得(x+1)2=9,可解得方程的另一个根为x=—4.
A.10cm
B）
B.5cm
C.±10cm
5.下列方程可以用直接开方法求解的有(
①(x-1)2-1=O
A.①和②
②x2-2=0
B.①和③
D.±5cm
∴x1=6,x2=4.
（4）8x2-8x+2=-6
解： 4x2-4x+1=-3，
(2x-1)2=-3，
∵ (2x-1)2≥0，
∴ (2x-1)2≠-3，
∴此方程无实数根.
15.已知关于x的方程(x＋1)2=k2+3的一个根是x=2，求k的值及另
一个根.
解:把x=2代入原方程得k2+3=9，
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝± .
C.当n≥0时，有两个解=± −
D.当n≤0时，无实数解
B
)
2=1则x=_________.
±8
-1或-3
7.若x2=64，则x=______;若(x+2)
m≥1
8.若关于x的方程2(x-1)2=m-1有实数根，则m的取值范围是_______.
2−4
9.当x=_____时，分式
值为零.
−2
∴k2=6.解得k=± 6.
把k2=6代入原方程，得(x+1)2=9,可解得方程的另一个根为x=—4.
A.10cm
B）
B.5cm
C.±10cm
5.下列方程可以用直接开方法求解的有(
①(x-1)2-1=O
A.①和②
②x2-2=0
B.①和③
D.±5cm
一元二次方程的解法直接开平方法PPT课件
2
2 ，x2=-1- 2
例2解下列方程： ⑵ （ x － 1） 2 － 4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0 分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同 第1小题一样地解； 解：（2）移项，得（x-1）2=4 ∵x-1是4的平方根 ∴x-1=±2
典型例题
即x1=3，x2=-1
典型例题 例2解下列方程：
⑶ 12（3－2x）2－3 = 0 分析：第3小题先将－3移到方程的右边，再 两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后 两边都除以-2即可。 解：(3)移项，得12（3-2x）2=3 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25 ∵3-2x是0.25的平方根 ∴3-2x=±0.5 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
首先将一元二次方程化为左边是含有未 知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式， 然后用平方根的概念求解
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平 方法求解吗？请举例说明
1、下列解方程的过程中，正确的是（D ） (A)x2=-2,解方程，得x=±
练一练
2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
试一试：
已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方 程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根， 则m、n必须满足的条件是（ B ） A.n=0 C.n是m的整数倍 B.m、n异号 D.m、n同号
例1解下列方程 （1）x2-1.21=0
典型例题
（2）4x2-1=0
解（1）移项，得x2=1.21 ∵x是1.21的平方根 ∴x=±1.1 即 x1=1.1，x2=-1.1 （2）移项，得4x2=1 1 2 两边都除以4，得x = 1 4 ∵x是 4 的平方根 ∴x=
直接开平方法解一元二次方程课件
求
p
的值。
课堂小结
1、你学会了解什么形式的一元二次方程？
2、这堂课你有哪些收获，还有那些困惑?
P6.练习
谢谢合作！
用最少的浪费面对现 在，用最美的梦想面 对未来。
1.平方根的定义
2.25的平方根是＿＿＿＿ 81的平方根是＿＿＿＿ 0的平方根是＿＿＿＿ -5的平方根是＿＿＿＿
关于平方根。我 们总结得到：
问题1： 一桶油漆可刷的面积为1500 dm ，李林用这桶 油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能求出盒子的棱长吗？
2
解：设正方体的棱长为 xdm 列方程 10 6 x 2 1500
2
x 5
2
思考：方程
x p
2
的解是多少呢？
将 x 2 25 这个方程稍作变形，例如给定方 程x 2 25 0 ，你认为这个方程怎么解呢？ 若 x 2 8 0 ，3x 2 6 ， 2x 2 4 呢？
变式训练1
将 x 2 25 这一方程中的未知数 x 考虑“换元”， 2 y 若 25 你会确定方程的解吗？
由此可得 所以
即
x 2 25
x 5
x1 5, x2 5
我们得到的方程是一元二 次方程吗？其中二次项的 系数，一次项的系数，常 数项各是多少？
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5 dm类似的，你能求Fra bibliotek以下方程的解吗?
x 16
2
x 0
2
x 81
“换元”在数学上是一种很重 要的思想哦！
若 *2 25 ， * 可以代表什么？
知识迁移
解方程
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
人教版九年级数学上册：21.2.1直接开平方法解一元二次方程(共11张PPT)
(a≥0)形式的一元二次方程的
２、对比x2=4 的求解过程，一元二次方程
求解。 x 这里的 2 、 x2+6x+9=25
直接开平方适合的一元二次方程的形式；
既可以是字母，单项式，也可以是含有未
24 （ ）；
知数的多项式。换言之：只要经过变 1用求平方根的方法解一元二次方程的方法叫__________.
形可以转化为x2=a(a≥0)形式的一元二次方程都
2、你能求出一元二次方程 - x2+3=0 和 x2+1=0的解
3、x2=4，则x=______ .
形可以转化为x =a(a≥0) 一元二次方程都 2 形式的 直接开平方法的概念及依据；
市区内有一块边长为１５米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到3００平方米，请问这块绿
（二）复习与诊断
1、 如果有
则x叫a的平方根，也可以表示为x=
。
2、将下列各数的平方根写在旁边的括号里
A： 9 （ ）； 5 （ ）；
（ ）；
B： 8 （
）； 24 （ ）；
（
）；
C： ( ) ； 1.2 （ ）
3、x2=4，则x=______ .
想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？
4.转化、化归、分类、类比的数学思想和方法
(七)分层检测与评价
A层
1用求平方根的方法解一元二次方程的方法叫__________.
2. 如果x2=121,那么x1=__________,x2=___________. 3. 如果3x2=18那么x1=__________,x2=___________. 4. 如果25x2-16=0那么x1=__________,x2=___________. 5. 如果x2=a(a≥0)那么 x1=__________,x2=___________. B层
(精编课件)直接开平方法解一元二次方程PPT.ppt
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学以致用
1.判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解 并说明理由.
1） x2=2 2） p2 - 49=0 3） 6 x2=3
( √) (√ ) (√ )
4）(5x+9）2+x=0
(× )
5 ) 121-(y+3) 2 =0
(√ )
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x1 2, x2 2 x 2 x1 2, x2 2
x 2 x1 2, x2 2
概括：一元二次方程ax2+b=0可以转化为x2=a的形 式，然后用直接开平方法解方程。
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探究（三）：如何解方程：（ax+b）2=c?
举一反三：如何解下列方程？ （1）（x-3)2-4=0 （2）3(2x+1)2=12 （3）x2+4x+4=1
2、解下列方程：
（1）x2-9=0
(2)6t2-40=0
(3)16x2+45=0
(4)(2x-3)2=5
(5)(x-5)2+36=0
(6)(6x-1)2 -25(x+1)2=0
注意：解方程时， “左平方，右常数”，
应先把方程变形 常数为负，方程无解；
为：
或“左平方，右平方”。
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（2）（2x+3)2 -5=0 （4）（x-3)2=(3x-2)2
Excellent courseware
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若一元二次方程方 程有两根,则分别
记为χ1,χ2
探究新知:
探究（一）：如何解方程： x2=a ？
学以致用
1.判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解 并说明理由.
1） x2=2 2） p2 - 49=0 3） 6 x2=3
( √) (√ ) (√ )
4）(5x+9）2+x=0
(× )
5 ) 121-(y+3) 2 =0
(√ )
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x1 2, x2 2 x 2 x1 2, x2 2
x 2 x1 2, x2 2
概括：一元二次方程ax2+b=0可以转化为x2=a的形 式，然后用直接开平方法解方程。
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探究（三）：如何解方程：（ax+b）2=c?
举一反三：如何解下列方程？ （1）（x-3)2-4=0 （2）3(2x+1)2=12 （3）x2+4x+4=1
2、解下列方程：
（1）x2-9=0
(2)6t2-40=0
(3)16x2+45=0
(4)(2x-3)2=5
(5)(x-5)2+36=0
(6)(6x-1)2 -25(x+1)2=0
注意：解方程时， “左平方，右常数”，
应先把方程变形 常数为负，方程无解；
为：
或“左平方，右平方”。
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（2）（2x+3)2 -5=0 （4）（x-3)2=(3x-2)2
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若一元二次方程方 程有两根,则分别
记为χ1,χ2
探究新知:
探究（一）：如何解方程： x2=a ？
《用直接开平方法解一元二次方程》PPT课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
第1课时 用直接开平方法 解一元二次方程
学习目标
1 课时讲解 形如x2=p ( p≥0 ) 型方程的解法
形如(mx+n)2=p ( p≥0 ) 型方程的解法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元 一次方程组
开平方降次
感悟新知
总结
知1－讲
用直接开平方法解一元二次方程的方法：首先 将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边 是非负数，然后化完全平方式的系数为1，最后根 据平方根的定义求解．
感悟新知
1 方程x2－3＝0的根是__x______3.
知1－练
2 对于方程x2＝m－1. (1)若方程有两个不相等的实数根，则m___＞__1___； (2)若方程有两个相等的实数根，则m__＝__1____； (3)若方程无实数根，则m__＜__1____．
感悟新知
3 下列方程中，没有实数根的是( D )
A．2x＋3＝0
C.
2 x＋1
＝1
B．x2－1＝0 D．x2＋x＋1＝0
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
探究 对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解 方程(x＋3)2＝5? 在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5. 由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，② 得 x＋3＝± 5，即 x＋3＝ 5，或x＋3＝－ 5 ，③ 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋ 5 ，x2＝－3－ 5 .
பைடு நூலகம்
21.2 解一元二次方程
第1课时 用直接开平方法 解一元二次方程
学习目标
1 课时讲解 形如x2=p ( p≥0 ) 型方程的解法
形如(mx+n)2=p ( p≥0 ) 型方程的解法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元 一次方程组
开平方降次
感悟新知
总结
知1－讲
用直接开平方法解一元二次方程的方法：首先 将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边 是非负数，然后化完全平方式的系数为1，最后根 据平方根的定义求解．
感悟新知
1 方程x2－3＝0的根是__x______3.
知1－练
2 对于方程x2＝m－1. (1)若方程有两个不相等的实数根，则m___＞__1___； (2)若方程有两个相等的实数根，则m__＝__1____； (3)若方程无实数根，则m__＜__1____．
感悟新知
3 下列方程中，没有实数根的是( D )
A．2x＋3＝0
C.
2 x＋1
＝1
B．x2－1＝0 D．x2＋x＋1＝0
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
探究 对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解 方程(x＋3)2＝5? 在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5. 由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，② 得 x＋3＝± 5，即 x＋3＝ 5，或x＋3＝－ 5 ，③ 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋ 5 ，x2＝－3－ 5 .
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(上)一元二次方程的解法(1)——直接开平方法(最新)人教版九年级数学全一册课件(16张)-公开课
★11.解方程： (1)2(2x－1)2－50＝0; (2)(x－2)2＝(3－2x)2. (1)x1＝3，x2＝－2 (2)x1＝1，x2＝53
【名师示范课】上册第21章 第2课时 一元二次方程的解法(1)——直接开平方 法-202 0秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共16张 PPT)- 公开课 课件（ 推荐）
【名师示范课】上册第21章 第2课时 一元二次方程的解法(1)——直接开平方 法-202 0秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共16张 PPT)- 公开课 课件（ 推荐）
2.解方程： (1)(x＋1)2＝16; (2)(x－2)2＝3；(3)(x－1)2－25＝0.
(1)x1＝3，x2＝－5 (2)x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3 (3)x1＝－4，x2＝6
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9.解方程： (1)4x2－20＝0; (2)12x2－18＝0. (1)x＝± 5 (2)x＝±6
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知识点三：形如(mx＋n)2＝p(m，n，p为已知数，其中m≠0)
的一元二次方程的解法
(1)当p>0时，mx＋n＝± p，
－n＋ p
－n－ p
则有x1＝ m ，x2＝ m ；
(2)当p＝0时，x1＝x2＝－mn ；
(3)当p<0时，方程无实数根．
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【名师示范课】上册第21章 第2课时 一元二次方程的解法(1)——直接开平方 法-202 0秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共16张 PPT)- 公开课 课件（ 推荐）
2.解方程： (1)(x＋1)2＝16; (2)(x－2)2＝3；(3)(x－1)2－25＝0.
(1)x1＝3，x2＝－5 (2)x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3 (3)x1＝－4，x2＝6
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9.解方程： (1)4x2－20＝0; (2)12x2－18＝0. (1)x＝± 5 (2)x＝±6
【名师示范课】上册第21章 第2课时 一元二次方程的解法(1)——直接开平方 法-202 0秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共16张 PPT)- 公开课 课件（ 推荐）
知识点三：形如(mx＋n)2＝p(m，n，p为已知数，其中m≠0)
的一元二次方程的解法
(1)当p>0时，mx＋n＝± p，
－n＋ p
－n－ p
则有x1＝ m ，x2＝ m ；
(2)当p＝0时，x1＝x2＝－mn ；
(3)当p<0时，方程无实数根．
【名师示范课】上册第21章 第2课时 一元二次方程的解法(1)——直接开平方 法-202 0秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共16张 PPT)- 公开课 课件（ 推荐）
华东师大版数学九年级上册：用直接开平方法解一元二次方程优质PPT
(3)(x＋1)2=4
(4)x2＋2 5 x＋5=0
答案：(1).
(3)x1 1, x2 3.(4)x1 x2 5.
华东师大版数学九年级上册：用直接 开平方 法解一 元二次 方程优 质PPT
华东师大版数学九年级上册：用直接 开平方 法解一 元二次 方程优 质PPT
教学目标
会用因式分解法解数字系数的一元二次方程
华东师大版数学九年级上册：用直接 开平方 法解一 元二次 方程优 质PPT
华东师大版数学九年级上册：用直接 开平方 法解一 元二次 方程优 质PPT
自学指导
1.自学时间：10分钟 2.自学方法：自主学习 3.自学内容：课本21--24页，例2，例3 4.自学要求：独立完成课本第25页练习，思考下列
华东师大版数学九年级上册：用直接 开平方 法解一 元二次 方程优 质PPT
什么叫因式分解
• 把一个多项式写成几个整式乘积的形式， • 叫做把这个多项式分解因式
． 分解因式的常用方法：提取公因式，利用公式
• am+bm=m(a+b) • 平方差公式a²-b²=（a+b)(a-b) • 完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b）² a²-2ab+b²=（a+b)²
A.x=2 B.x=-3 C.x1=-2，x2=3 D.x1=2，x2=-3
华东师大版数学九年级上册：用直接 开平方 法解一 元二次 方程优 质PPT
华东师大版数学九年级上册：用直接 开平方 法解一 元二次 方程优 质PPT
用因式分解法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2);(3)x2+6x-7=0
解 : 1.5x2 4x 0,
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x2=-1-
3
典型例题
例2 解下列方程： ⑵ （x－1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0 分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同 第1小题一样地解；
解：（2）移项，得（x-1）2=4 ∵x-1是4的平方根 ∴x-1=±2
即x1=3，x2=-1
2021/2/3
4
典型例题
例2 解下列方程： ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有（x＋h）2= k（k≥0）
的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数 的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后 用平方根的概念求解
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平 方法求解吗？请举例说明
2021/2/3
6
练一练
2、解下列方程： （1）x2=16 （2）x2-0.81=0 （3）9x2=4 （4）y2-144=0
2021/2/3
7
练一练
3、解下列方程： （1）（x-1）2 =4 （2）（x+2）2 =3 （3）（x-4）2-25=0 （4）（2x+3）2-5=0 （5）（2x-1）2 =（3-x）2
2021/2/3
8
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法
来求解? (x h)2 k
方程可化为一边是 含__未__知__数__的_完__全__平__方__式___, 另一边是__一_个__常__数_____,那么就可以用直接开 平方法来求解.
2、直接开平方法的理论依据是什么? 平方根的定义及性质
18.2 （1）一元二次方程的 解法
直接开平方法
2021/2/3
1
概括总结
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次 方程的方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或 （x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方根的 意义求解
2021/2/3
9
2021/2/3
10
分析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两 边都除以12，再同第1小题一样地去解。
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3
两边都除以12，得（3-2x）2=0.25
∵3-2x是0.25的平方根
∴3-2x=±0.5
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
2021/2/3
∴4
5
讨论
2021/2/3
2
典型例题
例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个 整体，就可以运用直接开平方法求解；
解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1= 2
2 即x1=-1+ 2 ，
2021/2/3