高等数学函数的单调性和凹凸性

(-, 0) +
0 不存在 连续
(0, 2/5) -
2/5 0 连续
(2/5, +) +
2 2 f 在 ( , 0] 上 单 调 增 ； 在 [0, ]上 单 调 减 ； 在 [ , ) 5 5 上单调增。
5/21
注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明 一些不等式。 例4 当 x 0 时, 试证 x ln( 1 x) 成立. 证 设 f ( x ) x ln( 1 x) ,
例如, o x
y
y x4
(2) 若 f ( x0 ) 不存在 , 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线y f ( x ) 的拐点 .
例如, y
o
x
注意 改变凹凸性的点只可能是二阶导数为零及二阶
导数不存在的点.
判断曲线的凹凸性和拐点的步骤：
1．写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数
A
E
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向?
y y
y f ( x)
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位于 所张弦的下方。
图形上任意弧段位于 所张弦的上方。
定义1
设函数
在区间 I 上连续 , 则称
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形是凸的 .
则称
y
y
2 x2 x1 f ( x2 ) f ( x0 ) f ( 2 )( x2 x0 ) f ( 2 ) x0 2 x 2 2 这说明 在 I 内单调递减. f (1 ) f ( 2 )
例5 判断曲线 y ln x 的凹凸性.
(0, ) 解 函数y ln x的定义域为
证 . x1 , x2 [a , b] , 且 x1 x2 ,
在 [ x1 , x2 ] 上应用 Lagrange中值定理得 :
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 ) ( x1 x2 )
如果在 (a , b) 内 f ( x ) 0 , f ( ) 0 ,
的单调减区间为(1 , 2).
o
1 2
x
练习 确定 f ( x ) ( x 1) 3 x 2 的单调区间 . 解 D f (,).
2 5x 2 的 零 点 为 ，不存在的点为0 。 3 5 3 x 将 f 的符号与f 的单调性列表如下：
f ( x )
x f f
即 x ln(1 x ).
练习. 证明
时, 成立不等式
sin x 2 证: 令 f ( x ) , x
且
x cos x sin x cos x f ( x) 2 ( x tan x) 0 2 x x
x 1
tan x
因此
从而
二、曲线的凹凸与拐点
C
B D
f ( x ) 在 [0, ) 上 连 续 、 在 (0, ) 上 可 导 且 x f ( x ) 0, 1 x 又 f (0) 0 , f ( x ) 在 [0, ) 上单调增；
1 x ) 0, 当 x 0 时， f ( x ) x ln(
x
1 ( , ) 5

1 5
(
1 ,0) 5
0 不存在 非拐点
(0, )
y ( x )
y
－ 凸
拐点
0
1 6 1 ( , 3 ) 5 5 25
＋ 凹
＋ 凹
注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。
曲线的凹凸性反映的是不等式关系：
(1) 若曲线的图形是凹的（即 f ( x ) 0），则有
2 解: f ( x) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
x
f ( x) f ( x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)


2 0 1
( 2 , )
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1
只须证：
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x0 )
定理2.(凹凸判定法) 设函数 (1) 在 I 内 (2) 在 I 内 证: 只证(2) 则 则
在区间I 上有二阶导数 在 I 内图形是凹的 ; 在 I 内图形是凸的 .

x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 由定义只须证： 2 2 只须证： f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x0 ) 分别在区间[ x1 , x0 ], [ x0 , x2 ] 上应用拉格朗日中值定理 得 x2 x1 f ( x0 ) f ( x1 ) f (1 )( x0 x1 ) f (1 ) x1 1 x0
证 f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
f ( x )在x0取得极值,
f ( x ) 0.
由费马引理知 ,
注意:
(1) 满足 f ( x0 ) 0的点( x0 , f ( x0 )) 不一定是 连续曲线y f ( x ) 的拐点 .
x
令 f ( x ) 0 , 得
x0
当 x 0时,
( , )分成两个区间 f ( x ) 0, ( , 0],[0 , )
把
所以函数在( ,0]内单调递减;
当0 x 时,
f ( x ) 0,
所以函数在[0, )内单调递增;
在区间I 上有二阶导数 在 I 内图形是凹的 ; 在 I 内图形是凸的 .

x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 由定义只须证： 2 2 x1 x2 x1 x2 只须证：f ( ) f ( ) f ( x1 ) f ( x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 只须证：f ( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
o
x1
x1 x2 2
x2 x
o
x1
x1 x2 2
x2 x
曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增 y 0 f ( x ) 递减 y 0 定理2 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
例8 讨论 y ( x 1)3 x 2 的凹凸性及拐点. y 解： y 5 x 2 x ,
3 3
1 4 10 3 2 3 2( 5 x 1) , y x x 4 9 9 9x 3
2 3
1 3
1 5
o
·
2 5
1 x
1 令y 0解得 x ; 当x 0时, y不存在. 现列表如下： 5
曲线在[0,)为凹的 .
(0,0)是曲线的凹凸性发生了 改变. 注意到, 在点
22
定义2 若连续曲线 y f ( x) 在其上一点 ( x0 , f ( x0 )) 的两侧凹凸性相反，则称此点为曲线 y f ( x) 的拐点. y y =f (x)
o
x0
x
注：拐点是凹弧与凸弧的分界点
定理 3 如果 f ( x ) 在( x0 , x0 ) 内存在二阶导数,则 点 x0 , f ( x0 ) 是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) 0 .
2．求出二阶导函数的零点、和不存在的点
3．检查这些点左右两侧符号，从而判定曲线的凹凸性
例7. 求曲线 解: 1) 求 y
的凹凸区间及拐点.
y 12 x3 12 x 2 ,
36 x( x 2 ) 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27 y1 1 , y2 2 11 27
1 1 y 2 . y , 在定义域内y 0, x x
上是凸的. 故曲线y x 在(0 , )
4
21
例6 判断曲线y x3 的凹凸性 .
解 y 3x2, y 6 x ,
y 0, 当x 0时，
Байду номын сангаас
曲线在 (,0]为凸的；
当x 0时，y 0,
b
x
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的 ; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
18
定理2.(凹凸判定法) 设函数 (1) 在 I 内 (2) 在 I 内 证: 只证(2) 则 则
注意: (1)定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结 论仍然成立； (2)区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性.
3 . y x , y x 0 0, 但在(,)上严格单调增加 例如,
例1.讨论函数 y e x 1 的单调性. 解 函数的定义域 D : ( , ),
b x
f ( x ) 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续，在(a , b) 内可导 ,
若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上单调增加; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上单调减少.
3
2) 求拐点可疑点坐标
, 令 y 0 得 x1 0 , x2 2 3 对应 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3

(2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
2) 上 2 在 ( 0 , ( , 0 ) 上向上凹 , 故该曲线在 及 ( 3 , ) 3 2 , 11 ) 均为拐点. ( 点 ( 0 , 1 ) 及 向上凸 , 3 27
则 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 , y f ( x ) 在 [a , b] 上单调增加 .
如果在 (a , b) 内 f ( x ) 0 , f ( ) 0 ,
则 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 , y f ( x ) 在 [a , b] 上单调减少 .
所以函数单调递减 ;
o
x
当0 x 时, f ( x ) 0,
所以函数单调递增 ;
说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.
总结求单调区间的步骤
1．写出函数的定义域，并求出函数的导数
2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点)
3．以导数等于零的点、不可导点为分点， 把函数的定义域区间分成若干个区间， 并确定导函数在各个区间内的符号， 从而确定函数在每个区间内的单调性。
注意:函数的单调性是一个区间上的性质, 要用 导数在这一区间上的符号来判定, 而不能用 一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性
.
例2. 确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间 .
D : (,), 解: 函数的定义域
y y 3 x2
当 x 0时, f ( x ) 0,
函数的单调性与 曲线的凹凸性
主要内容：
一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸与拐点
一、 函数单调性的判定法
对于区间I上任意两点 x1 x2 , 恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则称 f ( x ) 在区间I 上是单调增加的.
对于区间I上任意两点 x1 x2 , 恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则称 f ( x ) 在区间I 上是单调减少的.
从导数的几何意义考察函数的单调性：
y
y f ( x)
y
f ( x) 0
f ( x) 0

y f ( x)

o
a
b
x
o a
b
x
90 , 单调上升
90 , 单调下降
严格单调
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a