《第一节平面向量的概念及其线性运算》教案

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高中数学 2.2 平面向量的线性运算教案2 新人教版必修4

平面向量的基本概念与线性运算（一）【教学目标】1.了解平面向量的实际背景。

2.理解平面向量的概念及向量相等的含义。

3.理解向量的几何表示。

4.掌握向量加法，加法的运算，并理解其几何意义。

【教学重难点】1．理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。

2．掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。

3. 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

4. 掌握向量减法的三角形法则。

【课前预习】基本知识点：(1)既有又有的量叫做向量，向量可以用来表示． (2)向量AB 的大小，也就是向量AB 的 (或称 )，记作AB(3)长度向量叫做零向量，记作0；长度为_ 的向量叫做单位向量． (4)方向或的两个向量叫做平行向量，也叫做．规定：0与平行．(5)长度且方向的向量叫做相等向量；与a长度且方向的向量叫做相反向量．规定：0的相反向量是．(6)向量的加法和减法：如图所示，已知在中设,,b AD a AB==则=+b a ，=-b a(7)向量的分解：已知向量AB ，O 为平面内任意一点，则OB AO AB +=；OA OB AB -=。

基本练习：1.（必修4课本57页）下列结论中正确的是________ （1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则a =b ；（4）两个相等向量的模相等。

2.（必修4课本57页）设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AO BO CO 是_________向量（相等，共线，模相等，共起点）3.（必修4课本57页）判断题： 1）长度相等的向量是相等向量。

（） 2）相等向量是共线向量。

( )3) 平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量。

（） 4. 在ABCD 中，BC CD BA -+=5.在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =________【典型例题】例1．如图，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与DA 的模相等的向量以及方向相同的向量。

第1节平面向量的概念及线性运算--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第一节平面向量的概念及线性运算课标解读考向预测1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.预计2025年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度属中、低档.必备知识——强基础1．向量的有关概念名称定义表示向量在平面中，既有大小又有方向的量用a ，b ，c ，…或AB →，BC →，…表示向量的模向量a 的大小，也就是表示向量a 的有向线段AB →的长度(或称模)|a |或|AB →|零向量长度为0的向量用0表示单位向量长度等于1个单位的向量用e 表示，|e |＝1平行向量方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)a ∥b 相等向量长度相等且方向相同的向量a ＝b相反向量长度相等，方向相反的向量向量a 的相反向量是－a说明：零向量的方向是不确定的、任意的．规定：零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝01b ＋a ；结合律：(a ＋b)＋c ＝02a＋(b ＋c )减法a －b ＝03a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向04相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向05相反；当λ＝0时，λa ＝060λ(μa )＝07(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝08λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝09λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .提醒：当a ≠0时，定理中的实数λ才唯一．1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．()(2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .()(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是()A ．EF →＝CD →B ．AB →与DE →共线C ．BD →与CD →是相反向量D ．AE →＝12|AC →|答案D解析AE →＝12AC →，故D 错误．故选D.(2)(人教B 必修第二册6.2.1例3改编)设向量a ，b 不共线，向量λa ＋b 与a ＋2b 共线，则实数λ＝________．答案12解析∵λa ＋b 与a ＋2b 共线，∴存在实数μ使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )＝μ，＝2μ，＝12，＝12.(3)(人教A 必修第二册6.2例6改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)答案b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .(4)(人教A 必修第二册习题6.2T10改编)若a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为________，最小值为________．答案82解析|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8，当且仅当a ，b 同向时取等号，所以|a ＋b |max ＝8.又|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|3－5|＝2，当且仅当a ，b 反向时取等号，所以|a ＋b |min ＝2.考点探究——提素养考点一平面向量的有关概念例1(多选)下列命题中的真命题是()A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b 答案BC解析A 是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B 是真命题，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →；C 是真命题，∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；D 是假命题，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC.【通性通法】平面向量有关概念的四个关注点关注点一非零向量的平行具有传递性关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量关注点四a|a |是与a 同方向的单位向量【巩固迁移】1．(多选)下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案BC解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 反向共线时才成立，故C 正确；若b ＝0，则不共线的a ，c 也有a ∥0，c ∥0，故D 错误．考点二平面向量的线性运算(多考向探究)考向1平面向量加、减运算的几何意义例2设P 为▱ABCD 对角线的交点，O 为平面ABCD 内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝()A ．OP →B ．2OP →C ．3OP →D ．4OP→答案D解析由题意知，P 为AC ，BD 的中点，所以在△OAC 中，OP →＝12(OA →＋OC →)，即OA →＋OC →＝2OP →，在△OBD 中，OP →＝12(OB →＋OD →)，即OB →＋OD →＝2OP →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OP →.故选D.【通性通法】1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．三种运算法则的要点(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．【巩固迁移】2．(2024·山东青岛二中月考)若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．答案23解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝23.考向2平面向量的线性运算例3(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.【通性通法】平面向量的线性运算的求解策略【巩固迁移】3．(2023·江苏南通二模)在平行四边形ABCD 中，BE →＝12BC →，AF →＝13AE →.若AB →＝mDF →＋nAE →，则m ＋n ＝()A ．12B ．34C ．56D ．43答案D解析由题意可得AB →＝AE →＋EB →＝AE →＋12DA →＝AE →＋12(DF →＋FA →)＝AE→＋12(DF →－13AE →)＝12DF →＋56AE →，所以m ＝12，n ＝56，所以m ＋n ＝43.故选D.考点三向量共线定理的应用(多考向探究)考向1判定向量共线、三点共线例4设两个非零向量a 与b 不共线．若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．【通性通法】共线向量定理的三个应用【巩固迁移】4．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在()A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案B解析由CB →＝λPA →＋PB →，得CB →－PB →＝λPA →，CP →＝λPA →，则CP →，PA →为共线向量，又CP →，PA →有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线，即点P 在AC 边所在直线上．故选B.考向2利用向量共线定理求参数例5若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k ＝()A ．－1B ．1C ．32D ．2答案B解析由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.【通性通法】一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．【巩固迁移】5．如图，在△ABC 中，AD →＝λDC →，E 是BD 上一点，若AE →＝1116→＋14AC →，则实数λ的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案B解析由AD →＝λDC →，得AC →＝λ＋1λAD →，因为AE →＝1116AB →＋14AC →，所以AE →＝1116AB →＋14·λ＋1λAD →，因为E ，B ，D 三点共线，所以1116＋λ＋14λ＝1，解得λ＝4.故选B.课时作业一、单项选择题1．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．故选B.2．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A ．a ∥bB ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案B解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b成立，所以A 正确；因为a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；因为|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．故选B.3．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－3a ＋6b ，CD →＝4a －b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案A解析由题意得BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ＝AB →，又BD →，AB →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.4．(2024·安徽铜陵三模)在平行四边形ABCD 中，M 是CD 边上的中点，则2AM →＝()A ．AC →－2AB →B ．AC →＋2AB →C ．2AC →－AB →D ．2AC →＋AB→答案C解析因为M 是平行四边形ABCD 的CD 边上的中点，所以CM →＝－12AB →，所以AM →＝AC →＋CM→＝AC →－12AB →，所以2AM →＝2AC →－AB →.故选C.5．已知向量a 和b 不共线，向量AB →＝a ＋m b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，若A ，B ，D 三点共线，则m ＝()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案A解析因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得BD →＝λAB →，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ，所以2a ＋6b ＝λa ＋mλb ，＝λ，＝mλ，解得m ＝3.故选A.6．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A ．58B ．14C ．1D ．516答案A解析DE →＝AE →－AD →＝14AC →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34.∴λ2＋μ2＝116＋916＝58.故选A.7．正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF →＝()A ．13AB →＋23AD→B ．34AB →＋14AD→C ．14AB →＋34AD→D ．13AD →＋AB→答案C解析如图，∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，∴DE ＝13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，可得EF AF ＝13，可得AF ＝34AE ，∴AF →＝34AE →＝34(AD→＋DE →)＋13AB ＝14AB →＋34AD →.故选C.8．(2023·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为()A ．3B ．23C ．33D ．43答案B解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →.由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.故选B.二、多项选择题9．下列式子中，结果为零向量的是()A ．AB →＋BC →＋CA →B ．AB →＋MB →＋BO →＋OM →C ．OA →＋OB →＋BO →＋CO →D ．AB →－AC →＋BD →－CD →答案AD解析利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．故选AD.10．点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案AD解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，所以|CB →|－|(PB→－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．故选AD.11．(2023·安徽合肥期末)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下列结论中正确的是()A ．AB →－BC →＝CA →B ．AG →＝13(AB →＋AC →)C ．AF →＋BD →＋CE →＝0D ．GA →＋GB →＋GC →＝0答案BCD解析如图，对于A ，AB →－BC →＝AB →＋CB →＝2EB →≠CA →，故A 错误；对于B ，点G 为△ABC 的重心，则AG →＝23→＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，故B 正确；对于C ，AF →＋BD →＋CE →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0，故C 正确；对于D ，GA →＝－2GD →＝－2×12(GB →＋GC →)，故GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选BCD.三、填空题12．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．答案12解析∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，＝μ，＝2μ，解得λ＝μ＝12.13．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________．答案②③④解析BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12AB →＋12AC →＝12(AC →＋CB →)＋12AC →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错误；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD→＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．14．(2024·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4＋23解析由题意知，点D 满足AD →＝13AC →，故AQ →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋3yAD →，由Q ，B ，D 三点共线，可得x ＋3y ＝1，x >0，y >0，则1x ＋1y＝x ＋3y )＝4＋3y x ＋x y ≥4＋23，当且仅当3yx ＝x y ，即x ＝3－12，y ＝3－36时等号成立．所以1x ＋1y 的最小值为4＋2 3.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝2AE →，AF →＝FD →，点G 为CE 与BF 的交点，则AG →＝()A ．25AB →＋15AC→B ．15AB →＋25AC→C ．15AB →＋415AC→D ．310AB →＋25AC→答案A解析由AB →＝2AE →，AF →＝FD →，知E ，F 分别为AB ，AD 的中点．如图，设AC 与BF 的交点为P ，易得△APF ∽△CPB ，所以AP CP ＝AF CB ＝AF AD ＝12，所以AP →＝13AC →.因为E 是AB 的中点，所以AE →＝12AB →.由P ，G ，B 三点共线知，存在m ∈R ，满足AG →＝mAP →＋(1－m )AB →＝13mAC →＋(1－m )AB →.由C ，G ，E 三点共线知，存在n ∈R ，满足AG →＝nAE →＋(1－n )AC →＝12nAB →＋(1－n )AC →，所以13mAC →＋(1－m )AB →＝12nAB →＋(1－n )AC →.又因为AC →，AB →为不共线的非零向量，所以m ＝12n ，＝1－n ，＝35，＝45，所以AG →＝25AB →＋15AC →.16．(多选)(2024·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O ，H ，G 分别是其外心、垂心、重心，BC 边的中点为D ，则下列结论中正确的是()A ．GH →＝2OG →B ．OD ∥AHC ．AH →＝3OD →D ．OA →＝OB →＝OC→答案AB解析由题意作图，如图所示，易知BC 的中点D 与A ，G 共线．对于A ，由题意，得AG →＝2GD →，OD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以OD ∥AH ，所以GH →＝2OG →，所以A ，B 正确；对于C ，由题意，知AG ＝2GD ，又GH ＝2OG ，∠AGH ＝∠DGO ，所以△AGH ∽△DGO ，所以AH →＝2OD →，所以C 错误；对于D ，向量OA →，OB →，OC →的模相等，方向不同，所以D 错误．故选AB.17.如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CNCE＝r ，则B ，M ，N 三点共线时，r 的值为________．答案33解析连接AD ，交EC 于点G ，设正六边形的边长为a ，由正六边形的性质知，AD ⊥CE ，AD ∥CB ，G 为EC 的中点，且AG ＝32a ，则CA →＝CG →＋GA →＝12CE →＋32CB →，又AM AC ＝CNCE ＝r (r >0)，则CA →＝CM →1－r ，CE →＝CN →r ，故CM →1－r ＝CN →2r ＋32CB →，即CM →＝1－r 2r CN →＋3（1－r ）2CB →，若B ，M ，N三点共线，则1－r 2r ＋3（1－r ）2＝1，解得r ＝33或r ＝－33(舍去)．18．经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m >0，n >0，则m ＋n 的最小值为________．答案43解析设OA →＝a ，OB →＝b .由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG→＝OG →－OP →＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝＋13λb ，m ＝＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.于是m ＋nm ＋n )＋n m ＋≥13×(2＋2)＝43，当且仅当m ＝n ＝23时，m ＋n 取得最小值，为43.。

平面向量的概念及线性运算(优质课)教案

1.6平面向量的基本概念与线性运算（优质课）教案教学目标：1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.教学过程：*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．BaA图7－22、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．6、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．二、平面向量的基本运算：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0；（2）a ＋b =b ＋a ；图7－7ACBaba +bab图7－9ADCB（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =OA ，b =OB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA −=+−+=+=．即 OA OB −=BA （7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=−=−a a a a ，　；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４　．aAa -bBbO图7－13题型1 平面向量的基本概念例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点．（1）找出与向量DA 相等的向量；（2）找出向量DC 的负向量；（3）找出与向量AB 平行的向量．分析要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解由平行四边形的性质，得（1）CB =DA ；（2）BA =DC −,CD DC =−；（3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．练习：1．如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出ADCB图7－5O（1）与EF 相等的向量；（2）与AD 共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出（1）与OC 相等的向量；（2）OC 的负向量；（3）与OC题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．解如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC =+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒1．即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．分析由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以12F F =．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以12F F k +=−.解利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以12cos k F =θ．练习：1．如图，已知a ，b ，求a ＋b ．F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 A BDC图7－10F 1F 2kθ 图7－112．填空（向量如图所示）：（1）a ＋b =_____________ ,答案：→AC （2）b ＋c =_____________ ,答案：→BD （3）a ＋b ＋c =_____________ ．答案：→AD 3．计算：（1）AB ＋BC ＋CD ；（2）OB ＋BC ＋CA ．答案：（1）→AD （2）→OA例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．解如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ．练习：1．填空：（1）AB AD −=_______________，答案：→DABbOaAba（1）（2）图7－14（图1－15）bbaa（1）（2）第1题图（2）BC BA −=______________，答案：→AC （3）OD OA −=______________．答案：→AD2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．解：AC =a+b ，BD =b-a,DB =a －b例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD . 解：AC ＝a ＋b ,BD ＝b −a ，因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以 1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ．练习：1．计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．解：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）=3a -6b-4a-2b=4 b-a （2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）=-11b2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）．解：如图所示。

高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思

《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。

正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。

二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。

学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。

六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________．考点二平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于（）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。

平面向量的线性运算教案

平面向量的线性运算教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，具有广泛的应用领域。

本教案旨在通过线性运算的教学来帮助学生深入理解平面向量的概念和运算法则。

二、知识点梳理1. 平面向量的定义和表示方法2. 平面向量的加法和减法运算3. 数乘运算及其性质4. 平面向量的数量积及其性质5. 平面向量的分解与合成三、教学步骤1. 概念讲解(1) 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。

常用的表示方法有坐标表示和向量符号表示。

2. 加法和减法运算(1) 加法运算- 向量的加法满足交换律和结合律。

- 加法运算可以通过平行四边形法则进行计算。

(2) 减法运算- 向量的减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。

- 通过平行四边形法则可以将减法运算转化为加法运算。

3. 数乘运算及其性质(1) 数乘运算- 数乘运算指的是将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量。

- 数乘运算可以改变向量的大小和方向。

(2) 数乘运算的性质- 数乘的加法法则：(k1 + k2)a = k1a + k2a- 数乘的数乘法则：(k1k2)a = k1(k2a)4. 数量积及其性质(1) 数量积的定义- 数量积，也称点积或内积，是两个向量的乘积，结果是一个实数。

- 数量积的计算方法为两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值。

(2) 数量积的性质- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c5. 分解与合成(1) 向量的分解- 分解是将一个向量表示为多个已知向量的线性组合。

- 可以使用平行四边形法则或三角函数来进行向量的分解。

(2) 向量的合成- 合成是根据给定向量和它们的系数，通过线性组合得到一个新的向量。

四、案例演练1. 解决实际问题(1) 给定向量A(-3, 4)和向量B(2, 5)，求A + B和2A - B的结果。

《41第一节平面向量的概念及其线性运算》教案

教学过程课堂导入以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海.20XX年7月4日，两岸直航包机启航．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．想一想，向量a、b、c有何关系？复习预习1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________．知识讲解考点1 向量的有关概念考点2 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ) a(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λb考点3 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.例题精析【例题1】【题干】设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.【例题2】【题干】如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB .设OA uu u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，用a ，b 表示向量OC u u u r ，DC u u u r .【解析】OC u u u r ＝OB uuu r ＋BC uuu r ＝OB uuu r ＋2BA uu u r＝OB uuu r ＋2(OA uu u r －OB uuu r )＝2OA uu u r －OB uuu r＝2a －b . DC u u u r ＝OC u u u r －OD u u u r ＝OC u u u r －23OB uuu r＝(2a －b )－23b＝2a －53b .【例题3】【题干】已知a ，b 不共线，OA uu u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，OC u u u r ＝c ，OD u u u r ＝d ，OE uuu r＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．【解析】由题设知，CD uuu r ＝d －c ＝2b －3a ，CE uuu r＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE uuu r ＝k CD uuu r，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．课堂运用【基础】1.如图，已知AB u u u r ＝a ，AC uuu r ＝b ，BD u u u r ＝3DC u u u r ，用a ，b 表示AD u u u r ，则AD u u u r＝( ) A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14bD.34a ＋14b解析：选B ∵CB u u u r ＝AB u u u r －AC uuu r ＝a －b ，又BD u u u r＝3DC u u u r ，∴CD uuu r ＝14CB u u u r ＝14(a －b )，∴AD u u u r ＝AC uuu r ＋CD uuu r ＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .2．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0,1] C ．(0,2]D ．[0,2]解析：选D a |a |与b|b |均为单位向量，当它们同向时，|p |取得最值2，当它们反向时，|p |取得最小值0.故|p |∈[0,2]．3．(2013·保定模拟)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AMu u u u r＝x AB u u u r ，AN uuu r ＝y AC uuu r ，则x ·y x ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13.【巩固】4．在▱ABCD 中，AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，AN uuu r ＝3NC uuu r ，M 为BC 的中点，则MN u u u u r ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN uuu r ＝3NC uuu r 得4AN uuu r ＝3AC uuu r ＝3(a ＋b )，AM u u u u r ＝a ＋12b ，所以MN u u u u r ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b5．(2013·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u u u r ＝0.若存在实数m 使得AB u u u r ＋AC uuu r ＝m AM u u u u r 成立，则m ＝________.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM u u u u r ＝23AD u u u r ，因为AD 为中线，则ABu u u r ＋AC uuu r ＝2AD u u u r ＝3AM u u u u r ，所以m ＝3.答案：3【拔高】6.如图所示，在五边形ABCDE 中，点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 和L 分别是MN 和PQ 的中点，求证：KL uu u r ＝14AE u u u r.证明：任取一点O ，KL uu u r ＝OL u u u r －OK uuu r .∵K 、L 为MN 、PQ 的中点．∴OK uuu r ＝12(OM uu u u r ＋ON uuu r )，OL u u u r ＝12(OP uuu r ＋OQ uuu r)．又∵M ，N ，P ，Q 分别为AB ，CD ，BC ，DE 中点，∴OM u u u u r ＝12(OA u u u r ＋OB uuu r )，ON uuu r ＝12(OC uuu r ＋OD uuu r)，OP uuu r ＝12(OB uuu r ＋OC uuu r )，OQ uuu r ＝12(OD uuu r ＋OE uuu r)．∴KL uu u r ＝OL u u u r －OK uuu r ＝12[－(OM u u u u r ＋ON uuu r )＋(OP uuu r ＋OQ uuu r)]＝14[－(OA u u u r ＋OB uuu r ＋OC uuu r ＋OD uuu r )＋(OB uuu r ＋OC uuu r ＋OD uuu r ＋OE uuu r)]＝14(－OA u u u r ＋OE uuu r )＝14AE u u u r .7．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB u u u r ＝e 1－e 2，BC uuu r ＝3e 1＋2e 2，CD uuu r ＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；(2)如果AB u u u r ＝e 1＋e 2，BC uuu r ＝2e 1－3e 2，CD uuu r ＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：∵AB u u u r ＝e 1－e 2，BC uuu r ＝3e 1＋2e 2，CD uuu r ＝－8e 1－2e 2，∴AC uuu r ＝AB u u u r ＋BC uuu r ＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD uuu r ，∴AC uuu r 与CD uuu r 共线．又∵AC uuu r 与CD uuu r 有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．(2) AC uuu r ＝AB u u u r ＋BC uuu r ＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC uuu r 与CD uuu r 共线，从而存在实数λ使得AC uuu r ＝λCD uuu r ，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.课程小结(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．。

第一节平面向量的概念及线性运算

第一节平面向量的概念及线性运算考试要求1．了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．[知识排查·微点淘金]知识点1平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位长度的向量单位向量记作a0，a0＝±a|a|平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a，b为相反向量，则a＝－b(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．知识点2平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫作a 与b 的差三角形法则 (3)a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(4)|λa |＝|λ||a |. (5)当λ＞0时，λa 与a的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0(6)结合律：λ(μ a )＝(λμ)_a ＝μ(λa )；(7)第一分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ；(8)第二分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb[微提醒] 向量线性运算的3点提醒 (1)两个向量的和仍然是一个向量．(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连；利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用． [微拓展]对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |；②|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系.常用结论向量线性运算的常用结论(1)在△ABC 中，若D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)；(2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0；(3)四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB →＋DC →＝2EF →. 知识点3 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa ． [微思考]共线向量定理中为什么限定a ≠0?提示：共线向量定理中限定a ≠0，这是因为如果a ＝0，则λa ＝0，当b ≠0时，定理中的λ不存在；当b ＝0时，定理中的λ不唯一．因此限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． [微拓展]1．a ∥b ⇔存在不全为零的x ，y ∈R ，使x a ＋y b ＝0.2．A ，B ，C 三点共线，O 为A ，B ，C 所在直线外任意一点，则OA →＝λOB →＋μOC →且 λ＋μ＝1.[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．(×) (2)AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(√)(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×)(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(×) (5)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(×)(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(√)2．(共线向量定理掌握不准确)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A3．(向量加减法则用错)点D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →答案：A4．(链接教材必修4 P 86例4)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .答案：b －a －a －b5．(链接教材必修4 P 108B 组T 5)在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________．解析：如图所示，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．答案：矩形一、基础探究点——向量的有关概念(题组练透)1．下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若|a |>|b |，则a >b C ．若a ＝b ，则a ∥b D ．若|a |＝0，则a ＝0解析：选C 对于A ，当|a |＝|b |，即向量a ，b 的模相等时，方向不一定相同，则a ＝b 不一定成立，故A 不正确；对于B ，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B 不正确；C 显然正确；对于D ，若|a |＝0，则a ＝0，故D 不正确，故选C.2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时a 与b 可以是任意向量，故错误的命题有3个，故选D.3．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；②若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |，且a ∥b .其中真命题的序号是________．解析：①正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，且AB →∥DC →. 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →与DC →的方向相同，且|AB →|＝|DC →|，因此AB →＝DC →；②不正确．相等向量的起点和终点可以都不同；③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b . 综上所述，真命题的序号是①. 答案：①向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．二、综合探究点——平面向量的线性运算(多向思维)[典例剖析]思维点1 向量的线性运算[例1] (1)如图所示，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →＝( )A.AC →－AD →B ．2AC →－2AD → C.AD →－AC →D ．2AD →－2AC →解析：连接CD (图略)，因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，所以AB →＝2CD →＝2(AD →－AC →)＝2AD →－2AC →，故选D.答案：D(2)[一题多解]已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA →－12OB →－3OC →＝0，则( ) A.OA →＝12AB →＋3AC → B.OA →＝12AB →－3AC → C.OA →＝－12AB →＋3AC → D.OA →＝－12AB →－3AC →解析：解法一：对于A ，OA →＝12AB →＋3AC →＝12(OB →－OA →)＋3(OC →－OA →)＝12OB →＋3OC →－15OA →，整理，可得16OA →－12OB →－3OC →＝0，这与题干中条件相符合，故选A.解法二：已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA →－12OB →－3OC →＝0，所以OA →＋12(OA →－OB →)＋3(OA →－OC →)＝0，即OA →＋12BA →＋3CA →＝0，所以OA →＝12AB →＋3AC →，故选A.答案：A向量线性运算的解题策略常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．思维点2 根据向量线性运算求参数[例2] 如图所示，在平行四边形ABCD 中E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________．解析：由题图可设CG →＝x CE →(0<x <1)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝⎛⎭⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.答案：12与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．[学会用活]1．(2021·福建高三质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PTAT ＝5－12.下列关系中正确的是( )A ．BP →－TS →＝5＋12RS →B ．CQ →＋TP →＝5＋12TS →C ．ES →－AP →＝5－12BQ →D ．AT →＋BQ →＝5－12CR →解析：选A 由题意得，BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →＝RS →5－12＝5＋12RS →，所以A 正确；CQ→＋TP →＝P A →＋TP →＝TA →＝5＋12ST →，所以B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，所以C错误；AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →，则SD →＝0，不合题意，所以D 错误．故选A ．2．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A ，B ，C ，其中OA →·OB →＝0，存在实数λ，μ满足OC →＋λOA →＋μOB →＝0，则实数λ，μ的关系为( )A ．λ2＋μ2＝1B ．1λ＋1μ＝1C ．λμ＝1D ．λ＋μ＝1解析：选A 解法一：取特殊点，取C 为优弧AB 的中点，此时由平面向量基本定理易得λ＝μ＝22，只有选项A 符合．故选A ．解法二：依题意得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，－OC →＝λOA →＋μOB →，两边同时平方，得1＝λ2＋μ2.故选A ．三、应用探究点——共线向量定理及应用(思维拓展)[典例剖析][例3] 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解：(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，又他们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)B ．又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. [拓展变式]1．[变条件]若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m ＝________时，A ，B ，D 三点共线．解析：BD →＝BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →.即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )，∴4a ＋(m －3)b ＝λa ＋λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7. 故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．答案：72．[变结论]若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 的值为________．解析：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ＜0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ＜0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线．答案：－1利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．[学会用活]3．(2021·河北六校第一次联考)已知点O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋mOC →＝0，S △AOB S △ABC ＝47，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4解析：选D 由OA →＋2OB →＝－mOC →得，13OA →＋23OB →＝－m 3OC →，如图所示，设－m 3OC →＝OD →，则13OA →＋23OB →＝OD →，∴A ，B ，D 三点共线，∴OC →与OD →反向共线，m >0， ∴|OD →||OC →|＝m 3，∴|OD →||CD →|＝m3m 3＋1＝m m ＋3，∴S △AOB S △ABC ＝|OD →||CD →| ＝m m ＋3＝47，解得m ＝4.故选D ．限时规范训练基础夯实练1．(2021·山东烟台期中)若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB →＝3AM →，则CB →＝( ) A ．3CM →－2CA →B ．3CA →－2CM →C ．3CM →＋2CA →D ．3CA →＋2CM →解析：选A 根据题意作出图形，如图，所以CM →＝CB →＋BM →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23(CA →－CB →)＝13CB →＋23CA →，所以CB →＝3CM →－2CA →.故选A ．2．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：选C ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn＝－2.3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1B ．12C ．13D ．23解析：选D 由题意易得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，则2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.所以λ＝12，μ＝16，故λ＋μ＝12＋16＝23.4．(2021·云南曲靖一中月考)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝( )A ．13a ＋512bB ．13a －1312bC ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b解析：选C DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA →＝13(AC →－AB →)－34AC →＝－13AB →－512AC →＝－13a －512B ．5．(2021·潍坊模拟)若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为( )A ．12B ．13C ．14D ．2解析：选A 设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →＝2BM →，即M 为BD 的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD＝BM 2MD ＝12.6．在△ABC 中，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．解析：由题意可得A ，D ，B 共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23.答案：23综合提升练7．(2021·广西名校联考)在△ABC 中，D 是AB 边的中点，点E 在BC 边上，且BE ＝2EC ，则ED →＝( )A ．16AB →－23AC →B ．16AB →＋23AC →C ．－16AB →＋13AC →D ．－16AB →＋23AC →解析：选A ED →＝BD →－BE →＝－12AB →－23BC →＝－12AB →－23(AC →－AB →)＝16AB →－23AC →，故选A ．8．(2021·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ＝( )A ．－2B ．－12C ．－ 2D ． 2解析：选A DO →＝DA →＋AO →＝CB →＋AO →＝AB →－AC →＋12AC →＝AB →－12AC →，∴λ＝1，μ＝－12，∴λμ＝－2. 9．如图所示，在△ABC 中，D 为线段BC 的中点，E ，F ，G 依次为线段AD 从上至下的3个四等分点，若AB →＋AC →＝4AP →，则( )A ．点P 与图中的点D 重合B ．点P 与图中的点E 重合C ．点P 与图中的点F 重合D ．点P 与图中的点G 重合解析：选C ∵在△ABC 中，D 为线段BC 的中点，E ，F ，G 依次为线段AD 从上至下的3个四等分点，∴AB →＋AC →＝2AD →，AD →＝2AF →，∴AB →＋AC →＝4AF →，∴点P 与图中的点F 重合．故选C ．10．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则实数λ的值为( )A ．－4B ．－14C ．14D ．4解析：选B 因为向量a ，b 是两个不共线的向量，向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，所以存在实数μ，使得4a ＋b ＝μ(a －λb )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝μ，1＝－λμ，解得λ＝－14，故选B ．11．在△ABC 中，点D 是线段BC (不包括端点)上的动点．若AB →＝xAC →＋yAD →，则( ) A ．x >1 B ．y >1 C ．x ＋y >1D ．xy >1解析：选B 设BD →＝λBC →(0<λ<1)，所以AD →－AB →＝λAC →－λAB →，所以(1－λ)AB →＝AD →－λAC →，所以AB →＝11－λAD →－λ1－λAC →，所以x ＝－λ1－λ<0，y ＝11－λ＝1－λ＋λ1－λ＝1＋λ1－λ>1，又x ＋y ＝1－λ1－λ＝1，xy ＝－λ（1－λ）2<0，故选B ． 12．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →. ∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 创新应用练13．(2021·山东省师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则a ＝2b 是a |a |＝b|b |成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由a ＝2b 可知，a ，b 方向相同，a |a |，b|b |表示a ，b 方向上的单位向量，所以a |a |＝b|b |成立；反之则不成立，故选B ． 14．在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心．若aMA →＋bMB →＋33cMC→＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________．解析：由aMA →＋bMB →＋33cMC →＝aMA →＋bMB →＋33c (－MA →－MB →)＝⎝⎛⎭⎫a －33c MA →＋⎝⎛⎭⎫b －33c MB →＝0，且MA →与MB →不共线，∴a －33c ＝b －33c ＝0，∴a ＝b ＝33C ．△ABC 中，由余弦定理可求得cos A ＝32，∴A ＝π6.若a ＝3，则b ＝3，c ＝33，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.答案：π6 934。

平面向量的线性运算教案

平面向量的线性运算教案教案标题：平面向量的线性运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。

2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够应用线性运算解决平面向量相关的问题。

教学重点：1. 平面向量的线性运算的定义和性质。

2. 向量的加法、减法、数乘和点乘的运算规则。

3. 运用线性运算解决平面向量的问题。

教学难点：1. 点乘的概念和应用。

2. 运用线性运算解决复杂的平面向量问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、平面向量的示意图、习题集。

2. 学生准备：纸笔、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和基本性质，与学生进行互动讨论，激发学生的学习兴趣。

2. 回顾向量的表示方法和坐标表示，确保学生对向量的基本概念有清晰的理解。

二、讲解平面向量的线性运算（15分钟）1. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

2. 向量的数乘：介绍向量的数乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

3. 向量的点乘：介绍向量的点乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

三、练习与讨论（20分钟）1. 给出一些简单的练习题，让学生进行个别或小组练习。

2. 针对学生的问题和困惑进行解答和讲解，引导学生理解和掌握平面向量的线性运算。

四、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的线性运算解决问题。

2. 分组讨论和展示解题过程和结果，促进学生的思维发散和创新。

五、归纳总结（5分钟）1. 对平面向量的线性运算进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。

2. 指导学生将所学知识进行整理和梳理，形成学习笔记或思维导图。

六、作业布置（5分钟）1. 布置适量的练习题，巩固学生对平面向量的线性运算的掌握。

2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识，提高问题解决能力。

教学反思：在教学过程中，要注重理论与实践的结合，通过示意图和实际问题的引导，帮助学生理解和应用平面向量的线性运算。

《4.1第一节平面向量的概念及其线性运算》教案

③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( A．0 B．1 C．2 D．3
)
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【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若
a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.
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证明：任取一点 O， KL ＝ OL － OK . ∵K、L 为 MN、PQ 的中点． 1 1 ∴ OK ＝2( OM ＋ ON )， OL ＝2( OP ＋ OQ )．又∵M，N，P，Q 分别为 AB，CD，BC，DE 中点， 1 1 ∴ OM ＝2( OA ＋ OB )， ON ＝2( OC ＋ OD )， 1 1 OP ＝2( OB ＋ OC )， OQ ＝2( OD ＋ OE )． 1 ∴ KL ＝ OL － OK ＝2[－( OM ＋ ON )＋( OP ＋ OQ )] 1 ＝ [－( OA ＋ OB ＋ OC ＋ OD )＋( OB ＋ OC ＋ OD ＋ OE )] 4 1 1 ＝4(－ OA ＋ OE )＝4 AE .
复习预习 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________． 2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________．
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【例题 2】【题干】如图，在△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AC＝BA，在 OB 上取点 D，使 DB＝ OB.设 OA ＝a，

高考数学复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算教案文苏教版

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念2．向量的线性运算平行四边形法则向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa. [小题体验]1．在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点D 满足BD ―→＝2DC ―→，则AD ―→＝________. 解析：如图，因为在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，且点D 满足BD ―→＝2DC ―→，所以AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝23AC ―→＋ 13AB―→＝23b ＋13c. 答案：23b ＋13c2．下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ； ②若|a|＝|b|，则a ＝b ； ③若|a|＝|b|，则a ∥b;④若a ＝b ，则|a|＝|b|.其中正确命题的序号是________．答案：④3．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.答案：121．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [小题纠偏]1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b|＝|a|＋|b|，则p 是q 的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：若a ＝b ，则|a ＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p ⇒q .若|a ＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ＞0，故q p ．所以p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知向量i 与j 不共线，且AB ―→＝i ＋m j ，AD ―→＝n i ＋j.若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是________．(填序号)①m ＋n ＝1；②m ＋n ＝－1；③mn ＝1；④mn ＝－1.解析：由A ，B ，D 共线可设AB ―→＝λAD ―→，于是有i ＋m j ＝λ(n i ＋j)＝λn i ＋λj.又i ，j 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，λ＝m ，即有mn ＝1.答案：③考点一平面向量的有关概念基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若AB ―→＝DC ―→，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB ―→＝DC ―→； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中错误的命题是________．(填序号)解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确；AB ―→＝DC ―→，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，故③不正确；零向量与任一向量平行，故当a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．答案：①②③⑥ 2．给出以下命题：①对于实数p 和向量a ，b ，恒有p (a －b)＝p a －p b ； ②对于实数p ，q 和向量a ，恒有(p －q )a ＝p a －q a ； ③若 p a ＝p b(p ∈R)，则a ＝b ； ④若p a ＝q a(p ，q ∈R ，a ≠0)，则p ＝q .其中正确的命题是________．(填序号)解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律，可知①②④正确；当p ＝0时，p a ＝p b ＝0，而不一定有a ＝b ，故③不正确．答案：①②④[谨记通法]有关平面向量概念的6个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a|的关系：a |a|是与a 同方向的单位向量，－a|a|是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．考点二向量的线性运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．如图，在△ABC 中，CD DA ＝AE EB ＝12，若DE ―→＝λCA ―→＋μCB ―→，则λ＋μ＝________.解析：由题意，DA ―→＝23CA ―→，AE ―→＝13AB ―→，∴DE ―→＝DA ―→＋AE ―→＝23CA ―→＋13AB ―→＝23CA ―→＋13(CB ―→－CA ―→)＝13CA ―→＋13CB ―→.又DE ―→＝λCA ―→＋μCB ―→， ∴λ＝μ＝13，λ＋μ＝23.答案：232．(2019·苏州调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝________OM ―→.解析：因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→.答案：43．(2019·海门中学检测)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝________(用AB ―→，AD ―→表示)．解析：因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→. 答案：34AB ―→＋12AD ―→[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三共线向量定理的应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：因为AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB ―→.所以AB ―→，BD ―→共线，又因为它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 同向，所以存在实数λ(λ＞0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b)，即k a ＋b ＝λa ＋λk b.所以(k －λ)a ＝(λk －1)b. 因为a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又因为λ＞0，所以k ＝1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]1．(2018·南京第十三中学测试)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM―→＝34AB ―→，由AB ＝4，得AN ＝AM ＝3，又因为AM ―→＋AN ―→＝AD ―→，所以(AM ―→＋AN ―→)2＝ |AD ―→|2，所以AD 2＝27，AD ＝3 3.答案：3 32．(2019·天一中学检测)如图，在△ABC 中，D 为BC 的四等分点，且靠近B 点，E ，F 分别为AC ，AD 的三等分点，且分别靠近A ，D 两点，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b.(1)试用a ，b 表示BC ―→，AD ―→，BE ―→； (2)证明：B ，E ，F 三点共线．解：(1)在△ABC 中，∵AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，∴BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝b －a ，AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋14BC ―→ ＝a ＋14(b －a)＝34a ＋ 14b ，BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝－AB ―→＋13AC ―→＝－a ＋13b.(2)证明：∵BE ―→＝－a ＋13b ，BF ―→＝BA ―→＋AF ―→＝－AB ―→＋23AD ―→＝－a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ＋14b ＝－12a ＋16b ＝12(－a ＋13b)，∴BF ―→＝12BE ―→，∴BF ―→与BE ―→共线，且有公共点B ， ∴B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB ―→＋AD ―→＝λAO ―→，则λ＝________.解析：根据向量加法的运算法则可知，AB ―→＋AD ―→＝AC ―→＝2AO ―→，故λ＝2. 答案：22．(2019·海门中学检测)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ―→＝23OA ―→＋13OB ―→，则|AC ―→||AB ―→|＝________. 解析：因为OC ―→＝23OA ―→＋13OB ―→，所以AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝－13OA ―→＋13OB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)，所以AC ―→＝13AB ―→，所以|AC ―→||AB ―→|＝13.答案：133．(2018·启东期末)在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若AB ―→＝λAE ―→＋μAD ―→，则λ＋μ＝________.解析：由已知，得AE ―→＝AB ―→＋12AD ―→，所以AB ―→＝AE ―→－12AD ―→，又AB ―→＝λAE ―→＋μAD ―→，所以λ＝1，μ＝－12，则λ＋μ＝12.答案：124．(2018·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.答案：135．(2019·张家港模拟)如图所示，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的终点A ，B ，C 在一条直线上，且AC ―→＝－3CB ―→，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，若c ＝m a ＋n b ，则m －n ＝________.解析：由向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的终点A ，B ，C 在一条直线上，且AC ―→＝－3CB ―→，得OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→－3CB ―→＝OA ―→－3(CO ―→＋OB ―→)，即OC ―→＝OA ―→＋3OC ―→－3OB ―→，则c ＝－12a ＋32b.又c ＝m a ＋n b ，所以m ＝－12，n ＝32，所以m －n ＝－2. 答案：－26．(2018·江阴高级中学测试)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________.解析：依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b)－(b ＋c)＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a.又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.答案：0二保高考，全练题型做到高考达标1．已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实数m ，使得AB ―→＋AC ―→＝m AM ―→成立，则m ＝________.解析：由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0得点M 是△ABC 的重心，可知AM ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)，即AB―→＋AC ―→＝3AM ―→，则m ＝3.答案：32．(2019·江阴期中)若a ，b 不共线，且a ＋m b 与2a －b 共线，则实数m 的值为________．解析：∵a ＋m b 与2a －b 共线，∴存在实数k ，使得a ＋m b ＝k (2a －b)＝2k a －k b ，又a ，b 不共线， ∴1＝2k ，m ＝－k ，解得m ＝－12.答案：－123．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0； ②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝0，其中一定正确的结论个数是________．解析：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确； ②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CB ―→＋BC ―→＝0，③正确；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故正确的结论个数为3. 答案：34．(2018·南汇中学检测)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ―→＝2DB ―→，CD ―→＝r AB―→＋s AC ―→，则r ＋s ＝________.解析：如图，因为CD ―→＝2DB ―→，所以CD ―→＝23CB ―→.又因为CB ―→＝AB ―→－AC ―→，所以CD ―→＝23AB ―→－23AC ―→.又CD ―→＝r AB ―→＋s AC ―→，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.答案：05．(2018·海安中学检测)如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AD ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：连结CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD ―→＝12AB ―→＝12a ，所以AD―→＝AC ―→＋CD ―→＝b ＋12a.答案：12a ＋b6．(2019·常州调研)已知矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，点E 为线段AO 的中点，若DE ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，则m ＋n 的值为________．解析：如图所示，因为点E 为线段AO 的中点，所以DE ―→＝12(DA ―→＋DO ―→)＝12DA ―→＋14DB ―→＝－12AD ―→＋14AB ―→－14AD ―→＝14AB ―→－34AD ―→，又DE ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，所以m ＝14，n ＝－34，故m ＋n ＝14－34＝－12.答案：－127．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝ |AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________.解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2. 答案：28．(2019·启东期中)在△ABC 中，D 为边AB 上一点，M 为△ABC 内一点，且满足AD ―→＝34AB ―→，AM ―→＝AD ―→＋35BC ―→，则S △AMD S △ABC＝________. 解析：如图，∵AD ―→＝34AB ―→，AM ―→＝AD ―→＋35BC ―→，AM ―→＝AD ―→＋DM ―→，∴AD ＝34AB ，DM ＝35BC ，且DM ∥BC ， ∴S △AMD S △ABC ＝34×35＝920. 答案：9209．如图所示，在△OAB 中，点C 是以点A 为对称中心的点B 的对称点，点D 是把OB ―→分成2∶1的一个三等分点，DC 交OA 于点E ，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b.(1)用a 和b 表示向量OC ―→，DC ―→；(2)若OE ―→＝λOA ―→，求实数λ的值．解：(1)依题意，A 是BC 的中点，所以2OA ―→＝OB ―→＋OC ―→，即OC ―→＝2OA ―→－OB ―→＝2a －b ，DC ―→＝OC ―→－OD ―→＝OC ―→－23OB ―→＝2a －b －23b ＝2a －53b. (2)若OE ―→＝λOA ―→，则CE ―→＝OE ―→－OC ―→＝λa －(2a －b)＝(λ－2)a ＋b.因为CE ―→与DC ―→共线．所以存在实数k ，使CE ―→＝k DC ―→.即(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b ，因为a ，b 是不共线的两个非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ－2＝2k ，1＝－53k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－35，λ＝45.10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝ 2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，因为AB ―→＝2e 1－8e 2，所以AB ―→＝2BD ―→.又因为AB ―→与BD ―→有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，因为BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，所以BF ―→＝λBD ―→ (λ∈R)，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·汇龙中学检测)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO的延长线与线段AB 交于圆内一点D .若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，则x ＋y 的取值范围是________．解析：由于A ，B ，D 三点共线，设AD ―→＝αAB ―→，则OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝OA ―→＋αAB ―→＝OA ―→＋α(OB ―→－OA ―→)＝(1－α)OA ―→＋αOB ―→.由于O ，C ，D 三点共线，且点D在圆内，点C 在圆上，OC ―→与OD ―→方向相反，则存在λ＜－1，使得OC ―→＝λOD ―→＝λ[(1－α)·OA ―→＋αOB ―→]＝λ(1－α)OA ―→＋λαOB ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，因此x ＝λ(1－α)，y ＝λα，所以x ＋y ＝λ＜－1.答案：(－∞，－1)2．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→ (m ，n ∈R)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)，所以OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)，即BP ―→＝m BA ―→，所以BP ―→与BA ―→共线．又因为BP ―→与BA ―→有公共点B ，所以A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→，所以OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→，即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA ―→，OB ―→不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，所以m ＋n ＝1.。

平面向量的基本概念及线性运算教案

【教学建议】
一.易忽视零向量这一特殊向量
二.准确理解向量的基本概念是解决类题目的关键.1.相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.共线向量平行向量和相等向量均与向量的起点无关.
三.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.
四.进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解.
对于B，由题意得，又，所以共线，从而得到A、B、D三点共线，故B正确．
对于C，由题意得，又，所以不共线，故A、C、D三点不共线，所以C不正确．
对于D，由题意得不共线，所以B、C、D三点不共线．
故选B．
3.设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
巧用系数判共线
＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1；反之，也成立．
【题干】给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等.则所有正确命题的序号是()
A.①B.③C.①③D.①②
【题干】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()
A.1B. C. D.
【答案】B
【解析】∵E＋＝λ ＋μ ，
∴λ＋μ＝＋＝ .
【题干】设平面向量不共线，若＝＋5 ，＝－2 ＋8 ，＝3( )，则
平面向量的基本概念及线性运算
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2022年《高三数学第一节平面向量的概念及其线性运算》优秀教案

第一节平面向量的概念及其线性运算教学目标知识与技能：1.掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义；2.掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线.过程与方法: 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念; 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.情感态度与价值观：培养学生认识客观事物的数学本质的能力及渗透类比的数学方法.[备考方向要明了]1．向量的有关概念23.向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[例1] 给出以下命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②假设A，B，C，D是不共线的四点，那么＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③假设a与b同向，且|a|>|b|，那么a>b；④λ，μ为实数，假设λa＝μb，那么a与b共线．其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4[自主解答] ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵＝，∴||＝||且∥.又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，假设四边形ABCD 是平行四边形，那么AB 綊DC 且与方向相同，因此＝.③不正确．两向量不能比拟大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． [答案] C[冲关锦囊]涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否认也是行之有效的方法．[巧练模拟]1．给出以下命题：①向量与向量的长度相等，方向相反； ②＋＝0；③a 与b 平行，那么a 与b 的方向相同或相反； ④两个相等向量的起点相同，那么其终点必相同； ⑤与是共线向量，那么A ，B ，C ，D 四点共线．其中假命题的个数是( B ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选B ①正确；②中＋＝0，而不等于0，故②错误；③中a 或b 为零向量时满足a 与b 平行，但不能说a 与b 方向相同或相反，因为零向量的方向是任意的，故③错误；④正确；⑤中当与是共线向量时，与所在直线可能平行、可能重合，故⑤错误．因此假命题的个数为3.[例2] (1)(2021A ．0 B ． C ． D ．(2)如图，在△ABC 中，＝13，P 是BN 上的一点，假设＝m ＋211，那么实数m 的值为________．[自主解答] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，＝，＝，那么＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝. (2)由＝13，得＝14. ＝＋＝＋n＝＋n(－)＝(1－n) ＋14n＝m＋211，由14n＝211，得m＝1－n＝3 11 .[答案] (1)D (2)311[冲关锦囊]1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用向量表示出来．2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用，运用上述法那么可简化运算．[例3] (1)(2021·南昌模拟)向量a，b不共线，c＝k a＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( ) A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向(2)假设A，P，B三点共线，且＝m＋n (m，n∈R)，那么m＋n＝________.[自主解答] (1)∵c∥d，∴c＝λd.即k a＋b＝λ(a－b)．∴k＝λ＝－1.∴c＝－d，即c与d反向．(2)∵A，P，B三点共线∴存在λ∈R使＝λ.那么＝＋λ(－)＝(1－λ) ＋λ，∴m＋n＝1－λ＋λ＝1[答案] (1)D (2)1[冲关锦囊]1．向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，求解时要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．[巧练模拟]2．设两个非零向量a与b不共线．(1)假设＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．解：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵k a＋b与a＋k b共线，∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即k a＋b＝λa＋λk b.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.板书设计：教学反思：。

(浙江专用)高考数学第五章平面向量第一节平面向量的概念其线性运算教案(含解析)

第一节平面向量的看法及其线性运算1．向量的有关看法名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小平面向量是自由向量叫做向量的长度(或称模)零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量a 非零向量a的单位向量为±|a|平行向量方向同样或相反的非零向量(又叫做0与任一直量平行或共线共线向量)相等向量长度相等且方向同样的向量两向量只有相等或不等，不可以比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法规(或几何意义)运算律求两个向量和的加法运算求a与b的相反向减法量－b的和的运算叫做a与b的差务实数λ与向量数乘a的积的运算三角形法规平行四边形法规三角形法规(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向同样；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)a－b＝a＋(－b)λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有独一一个实数λ，使得b＝λa.[小题体验]1．以下四个命题中，正确的命题是( )A．若a∥b，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若|a|＝|b|，则a∥b D．若a＝b，则|a| ＝|b| 答案：D2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )A．共线B．不共线C．共线且同向D．不必定共线答案：D3．若D是△ABC的边AB上的中点，则向量―→) CD等于(―→1―→―→ 1 ―→A．－BC＋2BA B．－BC－2 BA―→1―→―→1 ―→C．BC－2BA D．BC＋2 BA答案：A4．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的序次，从而求得所求向量的相反向量，以致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，不然λ可能不存在，也可能有无数个．3．要注意向量共线与三点共线的差别与联系．[小题纠偏]1．若菱形ABCD的边长为―→―→―→2，则| AB －CB ＋CD|＝________.―→―→―→―→―→―→―→分析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.答案：22．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________ 条件．分析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ＞0，故q?/p.∴p是q的充分不用要条件．答案：充分不用要考点一平面向量的有关看法基础送分型考点——自主练透[ 题组练透]1．设a为单位向量，以下命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a；②若0 0a与a平行，则a＝|a|a0 ；③若a与a平行且|a| ＝1，则a＝a.假命题的个数是( )0 0 0A．0 B．1C．2 D．3分析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a 0的模同样，但方向不必定同样，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种状况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.2．以下说法中错误的选项是( )A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B．若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量C．长度相等但方向相反的两个向量不必定共线D．方向相反的两个非零向量必不相等分析：选C 选项A中向量与有向线段是两个完整不一样的看法，故正确；选项B中零向量与任意向量共线，故a，b都是非零向量，故正确；选项C中是共线向量，故错误；选项D中既然方向相反就必定不相等，故正确．3．(易错题)给出以下命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；―→―→②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.此中正确命题的序号是________．分析：①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向同样，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向同样，∴a，c的长度相等且方向同样，故a＝c.―→―→②正确．∵AB＝DC，∴| ―→AB| ＝| ―→―→―→DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，―→―→―→―→―→―→则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，所以，AB ＝DC .③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不可以获取 a ＝b ，故|a|＝|b| 且a∥ b 不是a ＝b 的充要条件，而是必需不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这类特别状况．综上所述，正确命题的序号是①②.答案：①②[牢记通法]向量有关看法的5个要点点(1) 向量：方向、长度．(2) 非零共线向量：方向同样或相反． (3) 单位向量：长度是一个单位长度． (4) 零向量：方向没有限制，长度是0. (5) 相等相量：方向同样且长度相等．考点二向量的线性运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·武汉调研)设M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点，则―→ ―→ ―→ ―→ )OA ＋OB ＋OC ＋OD 等于( ―→―→A ．OMB ．2OM ―→―→C ．3OMD ．4OM分析：选D 因为M 是平行四边形―→ ―→―→ ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ＋OC ＝2 OM ， ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ OB ＋ OD ＝ 2 OM ，所以 OA ＋OB ＋OC ＋OD ＝4OM .2．(2018·温州模拟)在等腰梯形―→ ＝－2 ―→ 的中点，则 ―→ ) 中， AB ，为＝(ABCDCDM BCAMA. 1―→＋ 1―→B. 3―→＋ 1―→2AB 2AD4AB 2AD3―→1―→1―→ 3―→C.4AB ＋4ADD.2AB ＋4AD―→ ―→―→―→―→ 1 ―→分析：选B 因为AB ＝－2CD ，所以AB ＝2DC .又M 是BC 的中点，所以AM ＝2(AB ―→ 1―→ ―→ ―→ 1 ―→―→ 1―→ 3―→ 1―→＋AC )＝ ( AB ＋AD ＋DC )＝2 AB ＋AD ＋AB ＝ AB ＋ 2 AD .22 43．(2019·郑州第一次质量展望 )如图，在△ ABC 中，N 为线段AC 上凑近点 A 的三均分点，点 P 在线段上且 ―→＝m ＋2 ―→＋2―→，则实数的值为( )BN AP11 AB 11BCm1A ．1B.395C.11D.11―→ 2 ―→ 2―→ 2 ―→ 2 ―→ ―→ ―→ 2分析：选DAP ＝m ＋11 AB ＋ 11 BC ＝m ＋11 AB ＋ 11 (AC － AB )＝mAB ＋ 11 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→―→ ―→ ―→ AC ，设BP ＝λBN (0≤λ≤1)，则 AP ＝AB ＋λBN ＝AB ＋λ(AN －AB )＝(1－―→―→ ―→ 1―→―→―→1 ―→m ＝1－λ，21λ) AB ＋λAN ，因为AN ＝AC ，所以AP ＝(1－λ) AB ＋ λAC ，则3311＝3λ，6λ＝11，解得应选D.5m ＝11，[牢记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1) 不含图形的状况：可直接运用相应运算法规求解．(2) 含图形的状况：将它们转变到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1) 没有图形的正确作出图形，确立每一个点的地址．(2) 利用平行四边形法规或三角形法规进行转变，转变成要求的向量形式． (3) 比较、观察可知所求．考点三共线向量定理的应用要点保分型考点——师生共研[典例引领]―→ ―→CD 上(与点C ，1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3 CD ，点O 在线段 D 不重合)，若 ―→＝ ―→＋(1－)·―→，则 x 的取值范围是( )AO xABxAC1B.0，1A.0，3211C.－，0D.－，023分析：选D 设―→＝―→，∵ ―→＝―→ ＋ ―→＝ ―→＋ ―→＝ ―→＋ ( ―→－ ―→ )＝CO yBC AOACCO AC yBC ACyAC AB―→―→ ―→ ―→ 1 －yAB ＋(1＋y ) AC ，∵BC ＝3CD ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈0，3 ，∵ ―→＝―→＋(1－ ) ―→，∴x ∈－1，0.AO xABxAC32．设两个非零向量 a 与b 不共线，―→ ―→―→(1) 若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2) 试确立实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：∵ ―→―→―→AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3a －3b ，―→―→―→―→∴ BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB . ―→―→∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2) ∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ＞0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b)，即k a ＋b ＝λa ＋λk b.∴(k －λ)a ＝(λk －1)b. ∵a ，b 是不共线的两个非零向量， k －λ＝0， k ＝1， k ＝－1，解得 λ＝1 或λk －1＝0， λ＝－1，又∵λ＞0，∴k ＝1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1) 证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数―→ ―→λ，使AB ＝λAC ，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程 (组)求参数的值．[提示]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]―→―→ ―→ 1．设向量a ，b 不共线，AB ＝2a ＋p b ，BC ＝a ＋b ，CD ＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为()A ．－2B ．－1C ．1D ．2―→ ―→―→ ―→ ―→ 分析：选B 因为BC ＝a ＋b ，CD ＝a －2b ，所以BD ＝BC ＋CD ＝2a －b.又因为A ，―→ ―→ ―→ ―→B ，D 三点共线，所以AB ，BD 共线．设 AB ＝λ BD ，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b)，所以2＝ 2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.―→2―→2．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝3AD，―→―→AB＝a，AC＝b.―→―→―→―→―→(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)延长AD到G，―→1―→使AD＝AG，2连接BG，CG，获取?ABGC，―→所以AG＝a＋b，―→1―→1AD＝2AG＝2(a＋b)，―→2―→1 ―→1―→1AE＝3AD＝3(a＋b)，AF＝2 AC＝2b，―→―→―→ 1 1BE＝AE－AB＝3(a＋b)－a＝3(b－2a)，―→―→―→ 1 12a)．BF＝AF －AB ＝b－a＝(b－2 2―→2―→(2)证明：由(1)可知BE＝3BF，―→―→又因为BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知，，是同一平面内的三个点，直线上有一点C 满足2―→＋―→＝0，则O AB AB AC CB ―→)OC＝(―→―→―→―→A．2OA－OB B．－OA＋2 OB2―→ 1 ―→1―→2―→C.3OA－3OB D．－3 OA＋3 OB分析：选A 依题意，得―→―→―→＝―→―→＝―→＋2(―→－―→)，所以―→＝＋BC OB＋2AC OB OC OA OC OC OB―→―→＝2OA－OB.2．(2019·石家庄质检)在△中，点在边上，且―→＝1―→，设―→＝a，―→ABC D AB BD 2 DA CB CA ―→)＝b，则CD＝(1 2 2 1A.3a＋3bB.3a＋3b3 4 4 3C.a＋bD.a＋b5 5 5 5―→1 ―→―→1―→―→―→―→―→1―→―→分析：选B ∵BD＝2 DA，∴BD＝3BA ，∴CD＝CB＋BD＝CB＋3BA＝CB＋1―→―→2―→1―→2 13(CA－CB)＝3CB＋3CA＝3a＋3b.3．在四边形中，―→＝a＋2b，―→＝－4a－b，―→＝－5a－3b，则四边形ABCDABCD AB BC CD 的形状是( )A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对分析：选C 由已知，得―→＝―→＋―→＋―→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2―→，故―→AD AB BC CD BC AD―→∥BC.―→―→又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形．―→1―→4．(2018·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且AN＝2NC，P是BN上一点，若―→＝―→＋2―→，则实数的值是________．AP mAB 9AC m―→1―→―→―→1―→分析：如图，因为AN＝2NC，P是BN上一点．所以AN＝3AC，―→＝―→＋2―→＝―→＋2―→，因为，，三点共线，所以＋ 2AP mAB 9AC mAB 3AN BPN m 31＝1，则m＝3.1答案：35．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的均分线交BC于点D，若―→AB＝4，且AD＝1―→―→AC＋λAB4(λ∈R)，则AD的长为________．分析：因为B ，D ，C 三点共线，所以1＋λ＝1，解得λ＝3，如图，4 4―→1―→―→过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ＝4 AC ，AM3 ―→D ，所以四边形ANDM 为菱形，＝ AB ，因为在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的均分线交BC 于点4因为AB ＝4，所以AN ＝AM ＝3，AD ＝33.答案：33二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量―→ ―→ ―→a ，b ，且 AB ＝a ＋2b ， BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则必定共线的三点是( )A ．，，B ．，，C ABDAB C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D分析：选A―→＝ ―→ ＋―→＋―→＝3a ＋6b ＝3 ―→.因为―→与 ―→有公共点，所以ADABBCCDAB ABAD AA ，B ，D 三点共线．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为()A ．1B ．－1211C ．1或－2D ．－1或－2分析：选B因为c 与d 共线反向，则存在实数 k 使c ＝k d(k ＜0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋λ－b ].整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b. 因为a ，b 不共线，所以有λ＝k ，2λk －k ＝1，21整理得2λ－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－2. 又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－1.23．(2019·浙江六校联考)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点 ―→ ―→―→ )为F ，设 AB ＝a ，AD ＝b ，则向量BF ＝(1212A.3a ＋3bB ．－3a －3b1212C ．－3a ＋3bD.3a －3b分析：选C如图，因为点E 为CD 的中点，CD ∥AB ，所以BF AB＝＝EF EC―→ 2―→2―→ ―→211 22，所以BF ＝3 BE ＝3(b －a＝－3a ＋3b.BC ＋CE )＝324．(2018·遂昌期初)已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a ，t b ， 1t 3(a ＋b)三向量的终点在同向来线上，则实数的值为()A ．2B ．121C ．D ．3211分析：选D由题可设3(a ＋b)＝λa ＋μt b ，因为a ，tb ，3(a ＋b)三向量的终点在同一121 21直线上，所以有 λ＋μ＝1.所以3＝λ，μ＝3，所以3＝3t，解得t ＝2.5．(2019·丹东五校协作体联考)P 是△所在平面上的一点，满足 ―→＋ ―→＋ ―→＝ABCPAPBPC2―→，若△ABC＝6，则△ 的面积为()ABSPABA ．2B ．3C ．4D ．8分析：选A―→ ―→―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→∵PA ＋PB ＋PC ＝2AB ＝2(PB －PA )，∴3PA ＝PB －PC ＝CB ，―→―→S △ABC BC | ―→∴ ，且方向同样，∴ CB | ＝3，PA ∥ CB ＝＝―→ S △PAB AP |PA |∴△ABCS36．已知O 为△ABC 内一点，且2 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→AO ＝OB ＋OC ，AD ＝tAC ，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为________．―→ ―→―→ 分析：设线段BC 的中点为M ，则OB ＋OC ＝2OM .因为 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→2AO ＝OB ＋OC ，所以AO ＝ OM ，―→1―→1 ―→ ―→1 ―→ 1―→ ＝ 1 ―→ 1―→则 AO ＝AM ＝( AB ＋ AC )＝ 4 AB ＋ AD 4 AB ＋ 4t AD .2 4 t由，，三点共线，得 1＋1＝1，解得 t ＝1.B O D 44t 31答案：37．设点M是线段BC的中点，点A在直线―→2―→―→BC外，BC＝16，|AB＋AC|＝| ―→―→AB－AC|，则|―→AM|＝________.分析：由| ―→―→―→―→AB＋AC|＝|AB－AC| 可知，―→―→AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，所以，|―→1 AM|＝2| ―→BC|＝2.答案：28．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且―→―→BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①―→1AD＝2a－b；②―→1BE＝a＋2b；③―→11CF＝－2a＋2b；④―→AD＋―→BE＋―→CF＝0.此中正确命题的个数为________．分析：―→BC＝a，―→CA＝b，―→1―→AD＝2CB＋―→1AC＝－2a－b，故①错；―→―→1―→1BE＝BC＋CA＝a＋22b，故②正确；―→1CF＝2( ―→―→111CB＋CA)＝2(－a＋b)＝－2a＋2b，故③正确；―→―→―→AD＋BE＋CF＝－b－ 1 a＋a＋2 111b＋b－a＝0，故④正确．222∴正确命题为②③④.答案：39．设e1，e2是两个不共线的向量，已知―→―→―→AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；―→，且B，D，F三点共线，求k的值．(2)若BF＝3e1－k e2解：(1)证明：由已知得―→―→―→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，BD ＝CD －CB―→∵AB＝2e1－8e2，―→―→∴AB＝2BD.―→―→又∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．―→(2)由(1)可知BD＝e1－4e2，―→∵BF＝3e1－k e2，且B，D，F三点共线，―→―→∴BF＝λBD ( λ∈R)，即3e1－k e2＝λe1－4λe2，λ＝3，得－k＝－4λ.解得k＝12.10．已知a，b不共线，―→―→―→―→OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE―→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，能否存在实数出实数t的值，若不存在，请说明原由．t 使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求―→―→解：由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋t b，C，D，E三点在一条―→―→直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋t b＝－3k a＋2k b，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.t －3＋3＝0， 6k因为a，b不共线，所以有t －2k＝0，解得t＝5.6故存在实数t＝5使C，D，E三点在一条直线上．三登台阶，自主选做志在冲刺名校11．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝2DC，过点―→―→―→D的直线分别交直线AB，AC于不一样的两点M，N，若AM＝mAB，AN＝―→nAC，则( )A．m＋n是定值，定值为2B．2m＋n是定值，定值为31 1C.＋是定值，定值为2mn2 1D.＋是定值，定值为3mn分析：选D 因为M，D，N三点共线，所以―→―→―→―→―→AD＝λAM＋(1－λ)AN.又AM＝mAB，―→―→―→―→―→―→1―→―→―→1―→1 AN＝nAC，所以AD＝λmAB＋(1－λ)nAC.又BD＝2 DC，所以AD－AB＝2AC－2―→，所以―→＝1―→＋2―→ 2 1 2 1AD AD 3AC 3AB .比较系数知λ＝，(1－λ)＝，所以＋＝3，应选D.m3 n3 m n2．(2019·长沙模拟)在平行四边形―→―→―→ABCD中，M为BC的中点．若AB＝λAM＋μDB，则λ－μ＝________.分析：如图，在平行四边形―→ ―→ ―→ ―→ ―→ABCD 中，AB ＝ DC ，所以AB ＝AM ＋ MB―→1―→ ―→ 1―→ ―→―→ 1 ―→ ―→―→1―→＝AM ＋2CB ＝AM ＋2(DB －DC )＝AM ＋2( DB － AB )＝ AM ＋2 DB－1―→，所以 3―→＝ ―→＋1―→，所以 ―→＝2―→＋1―→，所以λ＝2，μ＝1，所以λ2AB2AB AM 2DBAB3AM 3DB331－μ＝3.1答案：33．已知，，是不共线的三点，且―→＝―→＋ ―→ ( ，∈R)．OABOP mOA nOB mn(1) 若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2) 若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若＋＝1，mn则―→＝ ―→＋(1－)―→ ＝―→ ＋(―→－ ―→)，OP mOAmOB OBmOAOB―→ ―→ ―→ ―→∴OP － OB ＝ m ( OA － OB )， ―→ ―→ ―→ ―→ 即BP ＝mBA ，∴ BP 与BA 共线．―→ ―→ B ，又∵BP 与BA 有公共点 ∴，， B 三点共线．AP(2) 若A ，P ，B 三点共线，―→―→则存在实数λ，使BP ＝λBA ， ―→―→―→―→∴OP －OB ＝λ(OA －OB )． ―→―→―→又OP ＝mOA ＋nOB .―→―→―→―→故有 mOA ＋(n －1) OB ＝λ OA －λ OB ，―→―→即(m －λ)OA ＋(n ＋λ－1)OB ＝0.―→―→∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB 不共线，m －λ＝0， ∴∴m ＋n ＝1.n ＋λ－1＝0，。

高三数学《平面向量的概念及线性运算》教案

课题第1讲平面向量的概念及线性运算（一）教学目标知识与技能1.了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2. 理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．过程与方法情感态度价值观教学重点与难点教学过程集体备课个性设计（手写补充）一、考纲要求：1．了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与 a 的方向相反；当λ＝0时，λ a ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．三、双基练习：1.教材习题改编下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →2.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．.BC →＋12BA →3．(2017·东北三省四市联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4．已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．5. 已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．四、[典例]考点一平面向量的有关概念例1给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 变式训练1给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④若λa ＝μb (λ，μ为实数)，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点二平面向量的线性运算例1．(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →。

【教案】平面向量的概念及运算

平面向量的概念及运算一、【课标要求】1．平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；2．向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3．平面向量的数量积①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

4．向量的应用：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

二．【要点精讲】 1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。

向量的表示：ⅰ.几何表示：向量可以用一条有向线段来表示；ⅱ.字母表示：向量也可用小写英文字母带箭头c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB ；ⅲ.坐标表示法),(y x j y i x a =+=。

向量的大小即向量的模：有向线段AB 的长度(记作|AB |)即向量a的大小，记作｜a|=|AB | 。

两个向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。

零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

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