X2检验公式
医学统计学之卡方x2检验
举例
买彩票
奖项 中奖概率
T
A
一等 1% 10 0
0
二等 5% 50 0
0
三等 10% 100 20
2%
四等 20% 200 180
18%
五等 64% 640 800
80%
二、基本原理
基本思想是检验实际频数和理论频数的差别是否 由抽样误差所引起的，由样本率来推断总体率。
x2反映了实际频数于理论频数的吻合程度，x2值
α=0.05。
T11 =44(41/70)=25.8 T12=44(29/70)=18.2 T21=26(41/70)=15.2 T22 = 26(29/70)=10.8
（2）求检验统计量值
2 (20 25.8)2 (24 18.2)2 (21 15.2)2 (5 10.8)2 8.40
作χ2检验后所得概率P接近检验水准α，需要
计数资料的统计推断
卡方检验是χ2检验(Chi-square test) 是现代统计学的创始人之一，英国人K . Pearson（1857-1936）于1900年提出的 一种具有广泛用途的统计方法，是分类 计数资料的假设检验方法,可用于两个 或多个率间或构成比之间的比较，计数 资料的关联度分析，拟合优度检验等等。
2 检验的应用
①检验两个样本率之间差别的显著性； ②检验多个样本率或构成比之间差别的
显著性； ③配对计数资料的比较； ④检验两个双向无序分类变量是否存在
关联。
某医生想观察一种新药对流感的预防效 果，进行了如下的研究，问此药是否有 效？
组别 实验组 对照组 合计
发病人数 14 30 44
未 发 病人数 86 90 176
观察例数 100 120 220
第7章 x2检验
例7-3：某实验室采用两种方法对58名可疑 红斑狼疮患者的血清抗体进行测定，问：两 方法测定结果阳性检出率是否有差别？
表7-3 两种方法的检测结果 免疫荧光法 ＋ － 乳胶凝集法
合计
＋ 11（a） 2（c） 13
－ 12（b） 33（d） 45
合计 23 35
58
检测结果一致: （a）免+乳+ ，（d) 免-乳检测结果不一致:(b) 免+乳- ， (c)免-乳+ 比较两种检测方法有无差异时，只需比较不一致的 结果 。
感染率 18.18 45.45 27.27
一、基本思想
1.各组合概率Pi的计算 周边合计不变的条件下，表内4个实际频数 变动的组合数共有“周边合计中最小数+1”
表7-4 两组新生儿HBV感染率的比较 组别 阳性 阴性 合计 感染率（%） 预防注射组 4 18 22 18.18 非预防组 5 6 11 45.45 合计 9 24 33 27.27
公式：
b c 40
2 ( b c ) 2 x , bc b c 40
v 1
(7 7)
(| b c | 1) x , bc
2 2
v 1
(7 8)
1.建立检验的假设，确定检验水准 H0：b=c ；H1：b c =0.05 2.计算 χ2 统计量
b+c=2+12=14<40
(a b)! (c d )! (a c)! (b d )! pi a!b!c!d!n!
(7 9)
(a b)! (c d )! (a c)! (b d )! pi a!b!c!d!n!
(7 9)
2.累计概率P的计算 1）单侧检验：现有样本四格表及其以左的所 有四格表组合的累积概率为左侧概率（PL）; 现有样本四格表及其以右的所有四格表组合的 累积概率为右侧概率(PR)。 H1为π1>π2，则P单侧 =PR； 若H1为π1<π2，则P单侧=PL 2.双侧检验： 计算满足Pi ≤P*条件下的各种组合之四格表 的累计概率。
x2检验 医学统计学
基本思想
所谓两属性X和Y互相独立，是指属性X的概 率和属性Y的概率分布无关，否则称这两种 属性之间存在关联性。即
ij
ri cj
( nri n
)( ncj n
)
Tij
n ij
nri ncj n
1. 建立假设 H0：两种属性之间相互独立 H1：两种属性之间相互不独立
α=0.05
2. 计算检验统计
表10-1 两种药治疗急性下呼吸道感染有效率比较
处理
有效例数
无效例数
合计
有效率（%）
A药 B药 合计
68（64.818）a 52（55.182）c
120 (a+c)
6（9.182）b
74 (a+b)
11（7.818）d
63 (c+d)
17 (b+d)
137 (n=a+b+c+d)
91.89 82.54 87.59
P=0.01， x2 =6.63 ▪ P=0.05时， v=1， x2 =3.84
v=2， x2 =5.99
四格表χ2检验公式
当n≥40，T≥5时
2
( ARC TRC )2 TRC
2
ad bc2 n
a ca bc db d
1. 建立假设 H0：两药疗效相同 H1：两药疗效不相同
为两组疗效之间的差异有统计学意义。
观察组和对照组疗效比较
组别 显效 有效 无效
观察组 58
44
18
对照组 56
43
35
合计
114
87
53
配对四格表χ2检验
▪ 一般形式
甲属性
乙属性
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算x2检验（chi-square test）或称卡方检验x2检验（chi-square test）或称卡方检验，是一种用途较广的假设检验方法。
可以分为成组比较（不配对资料）和个别比较（配对，或同一对象两种处理的比较）两类。
一、四格表资料的x2检验例20.7某医院分别用化学疗法和化疗结合放射治疗卵巢癌肿患者，结果如表20-11，问两种疗法有无差别？表20-11 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较组别有效无效合计有效率（%）化疗组19 24 43 44.2 化疗加放疗组34 10 44 77.3合计53 34 87 60.9表内用虚线隔开的这四个数据是整个表中的基本资料，其余数据均由此推算出来；这四格资料表就专称四格表（fourfold table），或称2行2列表（2×2 contingency table）从该资料算出的两种疗法有效率分别为44.2%和77.3%，两者的差别可能是抽样误差所致，亦可能是两种治疗有效率（总体率）确有所不同。
这里可通过x2检验来区别其差异有无统计学意义，检验的基本公式为：式中A为实际数，以上四格表的四个数据就是实际数。
T为理论数，是根据检验假设推断出来的；即假设这两种卵巢癌治疗的有效率本无不同，差别仅是由抽样误差所致。
这里可将两种疗法合计有效率作为理论上的有效率，即53/87=60.9%，以此为依据便可推算出四格表中相应的四格的理论数。
兹以表20-11资料为例检验如下。
检验步骤：1.建立检验假设：H0：π1=π2H1：π1≠π2α=0.052.计算理论数（TRC），计算公式为：TRC=nR.nc/n 公式（20.13）式中TRC是表示第R行C列格子的理论数，nR为理论数同行的合计数，nC为与理论数同列的合计数，n为总例数。
第1行1列： 43×53/87=26.2第1行2列： 43×34/87=16.8第2行1列： 44×53/87=26.8第2行2列： 4×34/87=17.2以推算结果，可与原四项实际数并列成表20-12：表20-12 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较因为上表每行和每列合计数都是固定的，所以只要用TRC式求得其中一项理论数（例如T1.1=26.2），则其余三项理论数都可用同行或同列合计数相减，直接求出，示范如下：T1.1=26.2T1.2=43-26.2=16.8T2.1=53-26.2=26.8T2.2=44-26.2=17.23.计算x2值按公式20.12代入4.查x2值表求P值在查表之前应知本题自由度。
第六章 χ2检验
二、计算检验统计量：
2 1 4 1 3
2
2 2 2 2 2 2 2 2 30 38 32 12 19 30 19 9 189 1 0 . 69 112 49 112 68 112 51 112 21 77 49 77 68 77 51 77 21
统计：按照α=0.05的检验水准，拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义。 专业：结合本例，可以认为三种方法治疗慢性支气管炎的效果不同或 不全相同。
2.两组或多组样本构成比的比较
例6-4：欲了解儿童白血病患者的血型分布是否与成 年患者有所不同，资料见表6-4。试分析儿童白血病 患者与成年患者的血型分布构成比有无差别？
第六章 χ2检验
《医学统计学》余松林主编
本章内容
第三节 独立性检验 第四节 趋势检验 第五节 多个四格表的联合分析 第六节 四格表的费歇尔精确概率检验
第三节 独立性检验
本节介绍应用χ2检验推断两个或两个以 上总体率（或构成比）之间有无差别及 两分类变量间有无相关关系。
一、四格表资料的χ2检验 （两个样本率的比较）
表6-4 儿童急性白血病患者与成人急性白血病患者的血型分布
分组
儿童 成人 合计
A型 30
19 49
B型 38
30 68
O型 32
19 51
AB型 12
9 21
合计 112
77 189
解：
一、建立假设，确定检验水准：
H0：儿童白血病患者与成人患者的血型分布构成比相同 H1：儿童白血病患者与成人患者的血型分布构成比不相同 检验水准α=0.05。
二、计算检验统计量：
第七章 X2检验(医学统计学)
∵ P＝0.2668>0.05，∴ 在α＝0.05水准上，不拒
绝H0，故尚不能两型患者的反应阳性率有差别。 四格表检验小结 1、当T>5（所有格子），且 n>40时，应用 2 ( A T ) x2 T 或
2 ( ad bc ) n 2 x (a b)(c d )(a c )(b d )
α=0.05
按公式
X2=2.56
2 A x 2 n( 1) n R nC
计算
2 2 x0 2 . 37 x V=(2-1)(4-1)=3 ， ， .5, 3 0.25, 3 4.11 ，0.5>P>0.25
──────────────────── ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
1、建立假设
Ｈ0：π1＝π2
Ｈ1：π1≠π2 α＝0.05
2、计算X2值
因T11=3.84<5, 故需要使用校正公式
用专用公式：a=1、 b=14 、 c=10 、 d=18
x
2
( ad bc n / 2) n
|A－T|值的四格表的P值，将其相加，即得到检验
概率P。
双侧检验：
对所有 |A－T|值等于及大于样本
|A－T|值的四格表P值相加；
单侧检验：按检验目的，取阳性数增大或减小一
侧的|A－T|值等于及大于样本|A－T|值四格表；
四格表概率P的计算公式
(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)! P＝──────────── a!b!c!d!n!
各种组合的四格表： 样本四格表
0 15 15 1 14 15 2 13 15 3 12 15 4 11 15
医学统计学x2检验公式
医学统计学x2检验公式1. 首先，让我们来了解什么是医学统计学中的x2检验。
x2检验是一种用于比较两个或多个类别变量之间差异的统计方法。
它的目的是确定观察到的频数与期望的频数之间的差异是否显著。
2. 在x2检验中，我们需要计算一个统计值x2（chi-square），它表示观察到的频数与期望的频数之间的偏离程度。
x2值越大，说明观察到的频数与期望的频数之间的差异越大。
3. x2检验的公式如下：x2 = Σ(（观察值-期望值）^2 / 期望值）其中，Σ表示对所有类别进行求和，观察值是指实际观察到的频数，期望值是指根据某种假设或模型计算得到的频数。
4. 为了更好地理解x2检验的公式，让我们通过一个简单的例子来说明。
假设我们研究了两种不同的治疗方法对某种疾病的疗效，观察了200名患者的治疗结果，得到以下数据：治疗方法疾病痊愈未痊愈方法A 120 30方法B 50 05. 在这个例子中，我们对两种治疗方法的疗效进行比较。
我们假设两种方法的疗效相同，即期望的频数是根据总样本数和各个类别的比例计算得到的。
6. 首先，我们需要计算每个类别的期望频数。
对于方法A的疾病痊愈类别，期望频数计算公式为：（方法A总样本数/总样本数）* 总痊愈人数= （150/200）* 170 = 127.5。
7. 同样地，对于未痊愈类别，期望频数计算公式为：（方法A总样本数/总样本数）* 总未痊愈人数= （150/200）* 30 = 22.5。
8. 对于方法B的疾病痊愈类别，期望频数计算公式为：（方法B总样本数/总样本数）* 总痊愈人数= （50/200）* 170 = 42.5。
9. 同样地，对于未痊愈类别，期望频数计算公式为：（方法B总样本数/总样本数）* 总未痊愈人数= （50/200）* 30 = 7.5。
10. 现在，我们可以使用x2检验的公式来计算统计值x2了。
根据上述公式，我们将计算每个类别的（观察值-期望值）^2 / 期望值，并对所有类别求和。
χ2检验的公式
χ2检验的公式χ2检验是一种常用的统计方法，用于检验两个分类变量之间是否存在相关性。
它的全称是卡方检验，是由卡方分布衍生而来的统计检验方法。
χ2检验的公式如下：χ2 = Σ ( (Oij - Eij)^2 / Eij )其中，χ2表示卡方值，Oij表示观察到的频数，Eij表示期望的频数。
在χ2检验中，我们需要先确定一个原假设和备择假设，然后根据实际观察到的频数和期望频数，计算出卡方值。
最后，根据卡方值和自由度的关系，确定拒绝域，从而判断原假设的可信程度。
χ2检验可以用于比较两个分类变量的分布情况，例如比较两组样本在不同类别上的分布是否存在差异。
这种差异可能源于不同类别之间的关联性，也可能是由于其他因素导致的。
χ2检验的目的就是通过计算卡方值，判断这种差异是否显著。
在进行χ2检验时，需要注意以下几点：1. 样本容量要足够大。
当样本容量较小时，χ2检验的结果可能不准确。
2. 数据应该是独立的。
χ2检验要求样本观测值之间是相互独立的，否则会导致结果的偏差。
3. 期望频数要大于5。
当期望频数小于5时，χ2检验的结果可能不可靠。
4. 自由度的确定。
在计算卡方值时，需要根据分类变量的类别数和样本容量来确定自由度的取值。
χ2检验的步骤如下：1. 建立假设。
根据研究问题，确定原假设和备择假设。
2. 收集数据。
根据研究问题，收集相应的数据样本。
3. 计算期望频数。
根据总体分布的假设，计算出每个类别的期望频数。
4. 计算卡方值。
根据观察频数和期望频数，使用χ2检验公式计算出卡方值。
5. 确定拒绝域。
根据显著性水平和自由度的关系，确定拒绝域的边界。
6. 做出判断。
比较计算得到的卡方值和拒绝域的边界，判断原假设的接受或拒绝。
χ2检验的应用非常广泛，特别是在医学、社会科学和市场研究等领域。
例如，医学研究可以使用χ2检验来比较不同治疗组的治愈率是否存在差异；社会科学研究可以使用χ2检验来分析不同人群之间的社会行为是否存在关联；市场研究可以使用χ2检验来分析不同产品的偏好是否存在差异。
χ2值计算公式
χ2值计算公式χ2值，全称为卡方检验统计量（chi-square statistic），是一种用于衡量观察值与理论值之间偏离程度的统计量。
它适用于分析两个或多个分类变量之间的关系，并判断这些变量是否独立。
在进行χ2值的计算之前，我们首先需要明确两个概念：观察频数和期望频数。
观察频数是指我们在实际调查或实验中观察到的各个分类变量的频数，而期望频数则是指根据某种假设或理论模型计算得到的各个分类变量的预期频数。
χ2值的计算公式如下：χ2 = Σ [(观察频数 - 期望频数)² / 期望频数]其中，Σ表示对所有分类变量进行求和运算。
假设我们有一个研究问题：想要了解男女性别与是否喜欢篮球之间是否存在关联。
我们进行了一项调查，共有1000名男性和1000名女性参与，他们被要求回答是否喜欢篮球。
我们将调查结果整理如下：喜欢篮球不喜欢篮球总计男性 600 400 1000女性 400 600 1000总计 1000 1000 2000我们可以根据以上观察频数计算期望频数。
在独立性假设（即男女性别与喜欢篮球之间无关联）下，我们可以使用以下公式计算期望频数：期望频数 = (各行总计× 各列总计) / 总样本数以男性喜欢篮球为例，其期望频数计算如下：期望频数= (1000 × 1000) / 2000 = 500同样地，我们可以计算其他分类变量的期望频数。
接下来，我们可以根据观察频数和期望频数，使用χ2值的计算公式计算出χ2值。
根据上述数据，我们可以得到如下计算过程：χ2 = [(600-500)²/500] + [(400-500)²/500] + [(400-500)²/500] + [(600-500)²/500] = 40在进行卡方检验时，我们需要根据自由度和显著性水平查找χ2临界值，以判断计算得到的χ2值是否显著。
自由度的计算公式为自由度 = (行数-1) × (列数-1)。
第七章X2检验
第七章X2检验X2（称卡方）检验用途较广，但主要用于检验两个或两个以上样本率或构成比之间差别的显著性，也可检验两类事物之间是否存在一定的关系。
一、两个率的比较（一）X2检验的基本公式下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较，见表3.5，其中对照组未用抗凝药。
两组病人的病死率不同，抗凝药组为25.33%，对照组为40.8%。
造成这种不同的原因可能有两种：一种是仅由抽样误差所致；另一种是两个总体病死率确实有所不同。
为了区别这两种情况，应当进行X2检验。
其基本步骤如下：1．首先将资料写成四格表形式，如表3.6。
将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分，各占四格表中的一格，这些数字称为实际频数，符号为A，即实际观察得来的数字。
2.建立检验假设为了进行检验，首先作检验假设：两种疗法的两总体病死率相等，为35%（即70/200），记为H0：π1=π2。
即不论用或不用抗凝药，病死率都是35%，所以亦可以换一种说法：病死率与疗法无关。
上述假设经过下面步骤的检验后，可以被接受也可以被拒绝。
当H0被拒绝时，就意味着接受其对立假设即备择假设H1。
此例备择假设为两总体病死率不相等，记为H1：π1≠π2因为我们观察的是随机现象，所以无论是接受或拒绝H0都冒有一定风险，即存在着错判的可能性。
一般要求，当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值，如5%（或0.05），此值称为检验水准，记为α=0.05。
3．计算理论频数根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数，符号为T。
计算方法如下：假设两总体病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血组治疗75人，其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人，而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。
用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数，前者为43.75人。
后者为81.25人。
然后，把这些理论频数填入相应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。
计算理论频数也可用下式（3.4）TRC=nRnC/N (3.4)式中，TRC为R行与C列相交格子的理论频数，nR为与计算的理论频数同行的合计数，nC为与该理论频数同列的合计数，N为总例数。
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算x2检验（chi-square test）或称卡方检验x2检验（chi-square test）或称卡方检验，是一种用途较广的假设检验方法。
可以分为成组比较（不配对资料）和个别比较（配对，或同一对象两种处理的比较）两类。
一、四格表资料的x2检验例20.7某医院分别用化学疗法和化疗结合放射治疗卵巢癌肿患者，结果如表20-11，问两种疗法有无差别？表20-11 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较表内用虚线隔开的这四个数据是整个表中的基本资料，其余数据均由此推算出来；这四格资料表就专称四格表（fourfold table），或称2行2列表（2×2 contingency table）从该资料算出的两种疗法有效率分别为44.2%和77.3%，两者的差别可能是抽样误差所致，亦可能是两种治疗有效率（总体率）确有所不同。
这里可通过x2检验来区别其差异有无统计学意义，检验的基本公式为：式中A为实际数，以上四格表的四个数据就是实际数。
T为理论数，是根据检验假设推断出来的；即假设这两种卵巢癌治疗的有效率本无不同，差别仅是由抽样误差所致。
这里可将两种疗法合计有效率作为理论上的有效率，即53/87=60.9%，以此为依据便可推算出四格表中相应的四格的理论数。
兹以表20-11资料为例检验如下。
检验步骤：1.建立检验假设：H0：π1=π2H1：π1≠π2α=0.052.计算理论数（TRC），计算公式为：TRC=nR.nc/n 公式（20.13）式中TRC是表示第R行C列格子的理论数，nR为理论数同行的合计数，nC为与理论数同列的合计数，n为总例数。
第1行1列：43×53/87=26.2第1行2列：43×34/87=16.8第2行1列：44×53/87=26.8第2行2列：4×34/87=17.2以推算结果，可与原四项实际数并列成表20-12：表20-12 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较因为上表每行和每列合计数都是固定的，所以只要用TRC式求得其中一项理论数（例如T1.1=26.2），则其余三项理论数都可用同行或同列合计数相减，直接求出，示范如下：T1.1=26.2T1.2=43-26.2=16.8T2.1=53-26.2=26.8T2.2=44-26.2=17.23.计算x2值按公式20.12代入4.查x2值表求P值在查表之前应知本题自由度。
X2检验的基本思想
x2=∑
（A-T）2 T
3、确定概率P值：根据x2的自由度υ=（R-1）（C-1）， 查x2界值表。
4、判断结果 如果不能拒绝H0，则认为两个样本来自相同的总体，两 样本率的差异在统计学上无显著性；若拒绝H0，认为两样本 来自不同总体，两样本率的差异在统计学上具有显著性。
x2界值与检验假设的关系
x2值反映了实际频数与理论频数的吻合程度。若检验假
17
4
7
-33
7
6
16
3
8
0
8
7
15
2
9
33
9
8
14
1
10
66 0.09120390
10 9
13
0
11
99 0.01289752
χ2检验的基本思想 1899年统计学家K.Pearson提出一种度量实际观察计数
与原假设条件下的期望频数间偏差的统计量，称为 pearson’s χ2检验计量。该统计量定义为：
式中χ为希腊字母，读为“chi”，x2表示Pearson’s x2检验统 计量。为了与其他x2统计量的公式相区别，常称其为x2检 验统计量的基本公式。O表示实际观察的频数。E表示无效 假设下的期望频数。
x2C=∑（1A-T1T－0.5）2
x2C=∑
（1ad－bc1－
(n) 2
）2
(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)
注意，最小理论频数TRC的判断：R行与C列中， 行合计数中的最小值与列合计中的最小值所对应格子 的理论频数最小。
配对四格表资料的x2检验 配对设计是将受试对象按某些特征或条件配成对子，
75(83.52)c 21(12.48)d 96(c+d)
007 第七章 X2检验
表7-4 两种方法检验结果 甲法(病理) ＋ ＋ － 合计 130(a) 11（c） 141 乙 法（超声） － 75（b） 41 (d) 116 205 52 257 合计
这是配对设计计数资料，表中两法的差别是由b和 c 两格数据来反映。总体中 b 和 c 对应的数据可用 B 和C 表示。
配对X2检验计算公式：
合
计
H0 :胃十二指肠疾病患者与健康输血员血型总体构成比相同 H1 :胃十二指肠疾病患者与健康输血员血型总体构成比不同 α=0.05 按公式
有效率（%）
治疗组 对照组 合 计
200 190 390 160 148
160 148 308 160 148
80.00 77.89 78.97 40 42
200 190
二、X2检验基本思想 X2 值的计算方法（通用公式）：
2 ( A T ) x2 T
式中A为实际数，T为理论数，是根据H0的假设 推算出来。
2 ( b c ) x2 , v 1 bc
若b+c<40:
2 (| b c | 1) x2 , v 1 bc
H0：两种方法总体检出率相等，即B=C； H1：两种方法总体检出率不相等，即B≠C； α=0.05
2 2 ( b c ) (75 11) x2 47.63 bc 75 11
疗法 阴转人数 未阴转人数 合计 阴转率(%)
───────────────────────────── 甲 30 14 44 68.2 乙 9 36 45 20.0 丙 32 12 44 72.7 ───────────────────────────── 合计 71 62 133 53.4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
χ2检验公式例题
χ2检验公式例题
#### 例题:
假设抽查一批玩具，该批玩具总共有500件，其中有50件不符合标准。
下表给出有关它们的质量合格率的资料：
| 产地 | 合格（件） | 不合格（件） |
| :- | :- | :- |
| 国产 | 300 | 20 |
| 进口 | 200 | 30 |
在此假设该批玩具的质量合格率是一样的，请使用χ2检验公式进行检验。
#### 解析:
* 为了检验这一假设，需要构建观测值的全概率分布（即期望值）比较实际观测值。
* 所检测的总体变量分为二类：质量合格和质量不合格，故构建2×2表，其各个单元计算如下：
n=500，μ11=μ22=μ=500×0.9=450，μ12=μ21=n-μ=50
观测计数X11=300，X22=200，X12=20，X21=30
* 根据X^2检验的计算公式如下：
X^2=Σ((Xij-μij)^2/μij)
=(300-450)^2/450+(20-50)^2/50+(200-450)^2/450+(30-50)^2/50
=25+40+25+40=130
* 根据χ2检验表，自由度为1，α=0.05时，检验结果X^2≤3.84，由于130>3.84，故在α=0.05的显著性水平上，拒绝零假设，认为此批玩具的质量合格率不相同。
第八章 x2检验
实际频数A (actual frequency) ( a、b、c、d) 理论频数T ( theoretical frequency)
2检验的基本思想:
(A T) 基本公式： T
2 2
式中A代表每个格子的实际频数( actual
frequency )，即表中的基本数据；T代表每个格子的
(三）四格表专用公式
当总例数n≥40且所有格子的T ≥5时, 可用χ2检 验的基本公式，也可用下面的专用公式：
(ad bc) n (a b)(c d )(a c)(b d )
2 2
1
疗法 盐酸苯乙双胍 安慰剂 合 计
பைடு நூலகம்
死亡 26 (a) 2 (c) 28 (a+c.)
3.R×C列联表的分割
季节 感染人数 未感染人数 合计 感染率（%）
春 夏
秋 冬 合计 季节 春 感染人 数 12
12 12
29 35 88 未感染 人数 699
699 666
665 717 2747 合计 711
711 678
694 752 2835
1.69 1.77
4.18 4.65 3.10
二、独立样本R×C列联表资料的χ2检验
1. 多个独立样本率的比较（R×2表）
2.多个样本的构成比比较（R×C表）
3.两个样本的构成比比较（2×C表）
R×C表的χ2检验通用公式
基本公式
2
通用公式
2
(A T) A 2 n( 1) T nR nC
2
1.多个独立样本率的比较
( b c 1) 2 , 1 bc
2
（b+c＜40）
χ2值计算公式
χ2值计算公式摘要：一、χ2 值计算公式简介1.χ2 值的定义2.χ2 值在假设检验中的应用二、χ2 值的计算公式1.卡方分布2.自由度3.χ2 值的计算公式3.1.观测值3.2.期望值3.3.χ2 值的计算三、χ2 值与假设检验的关系1.零假设和备择假设2.观测值与期望值之间的差异3.χ2 值与P 值四、χ2 值在实际应用中的例子1.独立性检验2.拟合优度检验正文：一、χ2 值计算公式简介χ2 值计算公式，也被称为卡方分布，是用于假设检验的一种统计方法。
在假设检验中，我们通常会根据样本数据来推断总体参数，而χ2 值可以帮助我们判断观测值与期望值之间的差异是否显著，从而做出关于总体参数的推断。
二、χ2 值的计算公式要计算χ2 值，首先需要了解卡方分布。
卡方分布是一种特殊的连续型概率分布，其概率密度函数为：f(x) = (1/((2π)^(n/2) * |Σ|^(1/2))) * exp(-1/2 * (x - μ)" Σ^(-1) (x - μ))其中，n 为自由度，μ为均值，Σ为协方差矩阵，x 为随机变量。
自由度表示χ2 分布的自由程度，与观测值和参数的数量有关。
自由度计算公式为：df = (行数- 1) * (列数- 1)当观测值和期望值之间存在差异时，我们可以计算出χ2 值。
χ2 值的计算公式为：χ2 = Σ [ (Oij - Eij)2 / Eij ]其中，Oij 为观测值，Eij 为期望值。
三、χ2 值与假设检验的关系在假设检验中，我们通常会提出零假设（H0）和备择假设（H1）。
零假设通常表示样本数据与总体参数之间存在某种关系，而备择假设则表示样本数据与总体参数之间不存在这种关系。
我们可以根据观测值和期望值之间的差异（即χ2 值），来判断零假设是否成立。
通常，我们会根据χ2 值和相应的临界值进行比较，如果χ2 值大于临界值，我们就会拒绝零假设，认为观测值与期望值之间的差异显著，从而接受备择假设。
四格表x2检验的应用条件
（1）首先应分清是两样本率比较的四格表资料还是配对设计的四格表资料.
(2）对于两样本率比较的四格表资料，就根据各格的理论值T和总例数n的大小选择不同的χ2计算公式：①当n≥40且所有的T≥5时，用χ2检验的基本公式χ2=
或四格表资料检验的专用公式χ2=［(ad—bc)2＊n]/[（a+b)（c+d）（a+c）(b+d）]；②当n ≥40但有1≤T＜5时，用四格表资料χ2检验的校正公式χc2=Σ［(|A-T|—0.5)/T]或改用四格表资料的Fisher确切概率法;③当n＜40或T＜1时,用四格表资料的Fisher确切概率法.或资料满足两样本率的u检验的条件，也可用u检验。
（3）对于配对设计的四格表资料,若检验两种方法的检测结果无差别时：①当（b+c）≥40时,χ2=（b-c)2/（b+c)；②当（b+c）＜40时，χc2=（｜b-c|-1)2/（b+c）.。
X2检验
第七章X2检验Chi-square testX2分布——计数资料第一节四格表资料的X2检验一、X2检验的基本思想1、X2分布（1）X2分布是一种连续型分布：X2分布（chi-squaredistribution）只有一个参数，即自由度。
当自由度V《2时，曲线呈L形随着V的增加，曲线逐渐趋于对称当自由度V—00无穷时，X2分布趋近正态分布（2）X2分布的一个基本性质是它的可加性：（X1+X2）——X2（V1+V2）（3）X2分布的界值：X2值愈大，P值愈小；反之，X2值愈小，P值愈大。
2、X2检验的基本思想四格表（fourfold table）资料PearsonX2——X2={Σ（A-T）2/T } V =(行数-1）（列数-1）A为实际频数（actual frequency）T为理论频数（theoretical frequency）——根据检验假设H0：π1=π2确定的。
T（RC）=nRnC/nT（RC）为第R行（row）第C列（column）的理论频数，nR为相应行的合计，nC为相应列的合计，n为总列数。
X2值反映了实际频数与理论频数的吻合程度。
3、X2检验的步骤H0：:π1=π2，即试验组与对照组——总体有效率相等H1：:π1≠π2，即——————————————不等ɑ=0.05——T值——V——P值二、四格表资料X2检验的专用公式X2=（ad-bc)2n/(a+b)(a+c)(d+b)(d+c)a,b,c,d为四格表的实际频数；(a+b)(a+c)(d+b)(d+c)是周边合计数；n为总例数，n=a+b+c+d.四格表资料X2检验的校正公式三、X2C=（Iad-bcI-n/2)2n/(a+b)(a+c)(d+b)(d+c)（1）当n》40且所有的T》5时，用X2检验的基本公式或四格表资料X2检验的专有公式；（2）当n》40但有1《T《5时，用四格表资料X2检验的校正公式。
（3）当n<40，或T<1时，用四格表资料的Fisher确切概率法。
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算x2检验（chi-square test）或称卡方检验x2检验（chi-square test）或称卡方检验，是一种用途较广的假设检验方法。
可以分为成组比较（不配对资料）和个别比较（配对，或同一对象两种处理的比较）两类。
一、四格表资料的x2检验例20.7某医院分别用化学疗法和化疗结合放射治疗卵巢癌肿患者，结果如表20-11，问两种疗法有无差别？表20-11 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较表内用虚线隔开的这四个数据是整个表中的基本资料，其余数据均由此推算出来；这四格资料表就专称四格表（fourfold table），或称2行2列表（2×2 contingency table）从该资料算出的两种疗法有效率分别为44.2%和77.3%，两者的差别可能是抽样误差所致，亦可能是两种治疗有效率（总体率）确有所不同。
这里可通过x2检验来区别其差异有无统计学意义，检验的基本公式为：式中A为实际数，以上四格表的四个数据就是实际数。
T为理论数，是根据检验假设推断出来的；即假设这两种卵巢癌治疗的有效率本无不同，差别仅是由抽样误差所致。
这里可将两种疗法合计有效率作为理论上的有效率，即53/87=60.9%，以此为依据便可推算出四格表中相应的四格的理论数。
兹以表20-11资料为例检验如下。
检验步骤：1.建立检验假设：H0：π1=π2H1：π1≠π2α=0.052.计算理论数（TRC），计算公式为：TRC=nR.nc/n 公式（20.13）式中TRC是表示第R行C列格子的理论数，nR为理论数同行的合计数，nC为与理论数同列的合计数，n为总例数。
第1行1列： 43×53/87=26.2第1行2列： 43×34/87=16.8第2行1列： 44×53/87=26.8第2行2列： 4×34/87=17.2以推算结果，可与原四项实际数并列成表20-12：表20-12 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较因为上表每行和每列合计数都是固定的，所以只要用TRC式求得其中一项理论数（例如T1.1=26.2），则其余三项理论数都可用同行或同列合计数相减，直接求出，示范如下：T1.1=26.2T1.2=43-26.2=16.8T2.1=53-26.2=26.8T2.2=44-26.2=17.23.计算x2值按公式20.12代入4.查x2值表求P值在查表之前应知本题自由度。