数学周考试题(文)
2022年高考全国乙卷数学(文)真题—试卷分析
0.94
识记
根据循环结构框图计算输出结果；
8
0.65
理解
识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）；根据函数图象选择解析式；
9
0.65
理解
证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直；空间位置关系的向量证明；
10
0.65
理解
等比数列通项公式的基本量计算；等比数列前n项和的基本量计算；利用等比数列的通项公式求数列中的项；
2022年高考全国乙卷数学（文）真题—试卷分析
整体难度：一般
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、平面向量、计数原理与概率统计、等式与不等式、平面解析几何、算法与框图、三角函数与解三角形、函数与导数、空间向量与立体几何、数列、坐标系与参数方程、不等式选讲
细 / 目 / 表 / 分 / 析
题号
难度系数
能力维度分析
21
0.4
理解
根据椭圆过的点求标准方程；椭圆中的直线过定点问题；
22
0.65
理解
普通方程与极坐标方程的互化；利用圆锥曲线的参数方程求最值问题；参数方程综合；
23
0.65
理解
三元基本（均值）不等式；利用基本不等式证明不等式；
知 / 识 / 点 / 分 / 析
知识模块
题量
题号
难度系数
详细知识点
集合与常用逻辑用语
1
1
0.94
交集的概念及运算；复数ຫໍສະໝຸດ 120.94
复数的相等；复数代数形式的乘法运算；
平面向量
1
3
0.94
平面向量线性运算的坐标表示；向量模的坐标表示；
计数原理与概率统计
3
4
0.94
(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文) 试卷 全国甲卷(含部分解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文） 试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。
做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。
1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=； （2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。
2024年高考数学试卷(文)(全国甲卷)(含答案)
绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+Î，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B Ç=.故选：A2. 设z =，则z z ×=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=.故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，则5z x y =-最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=ìí+-=î，解得321x y ì=ïíï=î，即3,12A æöç÷èø，则min 375122z =-´=-.故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ）A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D 【解析】的【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ´=+=Û+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==Þ=，则371229a a a +==.故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=.故选：B6. 已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A.16B.C.12D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x =¢+，所以()03f ¢=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236´´=故选：A.8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef æöæö=-+->-+-=-->->ç÷ç÷èøèø，故可排除D.故选：B.9. 已知cos cos sin a a a =-πtan 4a æö+=ç÷èø（ ）A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin aa -a弦化切求得tan a ，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin aa a=-，所以11tan =-a ，tan 1Þa =，所以tan 1tan 11tan 4a +p æö==a +ç÷-aèø，故选：B .原10题略10. 设a b 、是两个平面，m n 、是两条直线，且m a b =I .下列四个命题：①若//m n ，则//n a 或//n b ②若m n ^，则,n n a b^^③若//n a ，且//n b ，则//m n ④若n 与a 和b 所成的角相等，则m n^其中所有真命题的编号是（ ）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n Ìa ，因为//m n ，m b Ì，则//n b ，当n b Ì，因为//m n ，m a Ì，则//n a ，当n 既不在a 也不在b 内，因为//m n ，,m m a b ÌÌ，则//n a 且//n b ，故①正确；对②，若m n ^，则n 与,a b 不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,a b 分别相交于直线s 和直线t ，因为//n a ，过直线n 的平面与平面a 的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s Ë平面b ，t Ì平面b ，则//s 平面b ，因为s Ì平面a ，m a b =I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n a b Ç=与a 和b 所成的角相等，如果//,//a b n n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac p==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x æö==-ç÷èø，当[]0,πx Î时，ππ2π,333x éù-Î-êúëû，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a Þ=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案：64.为14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,¥+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-¢，令()()00g x x ¢=>得1x =，当()0,1x Î时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，当()1,x ¥Î+时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,¥+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a Î-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 通项公式.【答案】（1）153n n a -æö=ç÷èø的（2）353232næö-ç÷èø【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，所以()12332n n n a a a n +=-³即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =-=´-=-，故11a =，故153n n a -æö=ç÷èø.【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213n nn S éùæö´-êúç÷èøêúæöëû==-ç÷èø-.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.【答案】（1）证明见详解； （2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD，进而得证；（2）作FO AD ^，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因BM Ë平面CDE ，CD Ì平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ^交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM V 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM V 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ^，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ^，所以,,OB OD OF 互相垂直，由等体积法可得M ABF F ABM V V --=，2112333F ABM ABM V S FO -=×=×=△，222cos 2FA AB FBFAB FAB FA AB+-Ð===Ð=×11sin 222FAB S FA AB FAB =××Ð==△，设点M 到FAB的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d --==××==△解得d =M 到ABF .为17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a £时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+¥，11()ax f x a x x¢-=-=当0a £时，1()0ax f x x -¢=<，故()f x 在(0,)+¥上单调递减；当0a >时，1,x a ¥æöÎ+ç÷èø时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当10,x a æöÎç÷èø时，()0f x ¢<，()f x 单调递减.综上所述，当0a £时，()f x 在(0,)+¥上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ¥æö+ç÷èø上单调递增，在10,a æöç÷èø上单调递减.【小问2详解】2a £，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-³-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -¢=-+，再令()()h x g x ¢=，则121()e x h x x-¢=-，显然()h x ¢在(1,)+¥上递增，则0()(1)e 10h x h ¢¢>=-=，即()()g x h x =¢在(1,)+¥上递增，故0()(1)e 210g x g ¢¢>=-+=，即()g x 在(1,)+¥上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M æöç÷èø在C 上，且MF x ^轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ^轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ^x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ^轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =，故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ì+=í=-î可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k =-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++，而5,02N æöç÷èø，故直线225:522y BN y x x æö=-ç÷èø-，故22223325252Q y y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ´-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -´-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -´-´+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ^轴.（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意D 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1r r q =+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x t y t a=ìí=+î（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos xr r q ìï=í=ïî可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1r r q =+，将cos xr r q ìï=í=ïîcos 1r r q =+，1x =+，两边平方后可得曲线直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1故直线的参数方程可设为x y ì=ïïíïïî，s ÎR .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s ，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s\=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x a y x =+ìí=+î，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，的设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a \+=-=-，则AB ==2=，解得34a =20. 实数,ab 满足3a b +³．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-³．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +³+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=³，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +³+，因为3a b +³，所以22222()a b a b a b +³+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-³-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+³+-+=++-³´=。
四川省遂宁市2021届高三数学第三次诊断性考试题 文(含解析)
四川省遂宁市2021届高三第三次诊断性考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知复数z满足（1+i）z=3+i，则复数z的模是（）A. 1B.C. 2D. 43.已知函数，则f（f（-3））的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.若抛物线y=ax2的焦点坐标是（0，1），则a=（）A. 1B.C. 2D.5.“x＜1”是“log2x＜0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知角α在第二象限，若，则tan2α=（）A. B. C. D.7.《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈．现有一刍甍，其三视图如图所示，设网格纸上每个小正方形的边长为2丈，那么该刍甍的体积为（）A. 5立方丈B. 20立方丈C. 40立方丈D. 80立方丈8.执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为b，则过定点（4，2）的直线l与圆（x-b）2+y2=16截得的最短弦长为（）A.B.C.D.9.已知点P的坐标（x，y）满足，则的最大值（）10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，，sin C=2sin B，则△ABC的周长为（）A. B. C. D.11.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=PA=4，PA⊥面ABCD，则球O的体积为（）A. B. C. D.12.设函数有三个零点，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设两个非零平面向量与的夹角为θ，则将（）叫做向量在向量方向上的投影．已知平面向量，=（1，0），则向量在向量方向上的投影为______．14.曲线在点（4，2）处的切线的斜率为______．15.将函数f（x）=2cos（2x+）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为______．16.已知函数，函数g（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值与最小值的和为a，若函数f（x）=ax|x|，且对任意的x∈[0，2]，不等式f （x-2k）＜2k恒成立，则实数k的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数在x∈（0，1）上的零点为等差数列{a n}（n∈N*）的首项a1，且数列{a n}的公差d=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是邻边相等的矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）判断直线PA与EB的位置关系（不需证明）；（2）证明：PB⊥ED；（3）求三棱锥A-PBE的体积．19.2021年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”．如表为202X年至2021年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）年份202X 202X 202X 2021 2021 线下销售额90 170 210 280 340为了解“祈福观音、永保平安”活动的支持度．某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人．（1）从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；（2）请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关．附：，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.已知直线l1：x+y+1=0与直线l2：x+y+3=0的距离为a，椭圆C：的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线D：y2=2px（p＞0）的焦点F与点关于y轴上某点对称，且抛物线D与椭圆C在第四象限交于点Q，过点Q作抛物线D的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积．21.已知函数f（x）=ax lnx+b，g（x）=x2+kx+3，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（1）求f（x）在x∈[m，n]（0＜m＜n）上的最小值；（2）若存在使关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0成立，求k的取值范围．22.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，又在直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）已知点P在曲线C1上，点Q在曲线C2上，若，求此时点P的直角坐标．23.已知函数．（1）解不等式f（x）；（2）若正数a，b，c，满足a+2b+4c=f（）+2，求的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，2，3}，B={x||x|≤1}={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={1}．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵（1+i）z=3+i，∴z=，则|z|=．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，f（-3）=lg（32+1）=lg10=1，则f（f（-3））=f（1）=1+-3=0，故选：A．根据题意，由函数的解析式求出f（-3）的值，即可得f（f（-3））=f（1），由解析式计算可得答案．本题考查分段函数的求值，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：抛物线y=ax2的标准方程为x2=y，∵抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，1），∴=1，∴a=．故选：D．先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a的值．本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质．属基础题．5.【答案】B解：由log2x＜0得0＜x＜1，则“x＜1”是“log2x＜0”的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．6.【答案】C【解析】解：∵角α在第二象限，若，∴cosα=-=-，tanα==-，∴tan2α==-．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分，如图：直三棱柱的侧棱长为8，底面三角形的底边长为6，底边上的高为2，消去的三棱锥的高为2，∴几何体的体积V=6×2×8-2×××6×2×2=40．故选：C．几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长及底面三角形的相关几何量的数据，判断消去三棱锥的高，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键．8.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1S=1，不满足条件S＞6，执行循环体，k=2，S=2，不满足条件S＞6，执行循环体，k=3，S=6，不满足条件S＞6，执行循环体，k=4，S=15，满足条件S＞6，退出循环，输出k的值为4，由题意，b=4，由题意过圆内定点P（4，2）的弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短，定点P（4，2）是弦|AB|的中点，由勾股定理得，|AB|=2=4．弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短，解三角形即可得解．本题考查程序框图的应用问题，考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，确定直线恒过定点是关键，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由点P的坐标（x，y）满足，作出可行域如图，A（0，2）z═的几何意义为可行域内的动点与定点D（-1，0）连线的斜率，∵k DA==2，∴z=的最大值是：2．故选：A．由约束条件作出可行域，由z=的几何意义可知，z为可行域内的动点与定点D（-1，0）连线的斜率，求出DO的斜率得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.【答案】C【解析】解：在△ABC中，∵sinC=2sinB，∴由正弦定理可得：c=2b，又∵a=3，，∴由余弦定理可得：9=b2+c2-bc=b2+（2b）2-b•2b，解得：b=，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=3++2=3+3．故选：C．由已知利用正弦定理可得：c=2b，利用余弦定理可得9=b2+c2-bc，联立解得b，c的值，即可得解△ABC的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：如图，由题意，ABCD为等腰梯形，作AE⊥BC，DF⊥BC与E，F，则BE=CF=1，可得AE=，取BC中点M，连接AM，易得AM=2，故M到A，B，C，D距离相等，为球小圆的圆心，取PA中点N，则ANOM为矩形，在等腰直角三角形AMO中，得球半径OA=2，故球O的体积为：=，故选：B．利用ABCD为等腰梯形找到球小圆的圆心M恰为BC中点，取PA中点N，在矩形ANOM中，求得半径OA，得解．此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中．12.【答案】D【解析】解：函数的定义域为（0，+∞），由函数有三个零点，得=ax，有三个根，则必有a＞0，即=ax，则=a2，有三个根，设h（x）==，则当x≥时，h′（x）===，由h′（x）＞0得-2-3lnx＞0得lnx＜，得≤x＜，此时为增函数，由h′（x）＜0得-2-3lnx＜0得lnx＞，得x＞，此时为减函数，此时x=取得极大值，极大值为h（）===，当x→+∞，f（x）→0，h（）=0，当0＜x＜时，h（x）=-，则h′（x）=-=-=-（）=，当0＜x＜时，lnx＜-1，则2+3lnx＜2-3=-1＜0，即此时h′（x）＜0，且h（）=0，作出函数h（x）的图象如图：要使=a2，有三个根，即h（x）=，与y=a2，有三个不同的交点，则满足0＜a2＜，即0＜a＜，即实数a的取值范围是（0，）．故选：D．由题意知a＞0，x＞0，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．13.【答案】1【解析】解：两个非零平面向量与的夹角为θ，则将（）叫做向量在向量方向上的投影．平面向量，=（1，0），则向量在向量方向上的投影为：==1．故答案为：1．利用平面向量的数量积转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量在向量方向上的投影是求法，考查计算能力．14.【答案】解：曲线的导数为y′=，可得曲线在点（4，2）处的切线的斜率：k=，故答案为：．运用函数的导数运算法则，可得曲线的导数，再由导数的几何意义，代入x=4，即可得到所求斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意复合函数的导数的运算法则，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：将函数f（x）=2cos（2x+）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，可得y=2cos （2x+2t+）的图象，再根据所得图象对应的函数为奇函数，可得2t+=kπ+，求得t=+，k∈Z，则t的最小值为，故答案为：．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求出t的最小值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．16.【答案】（）【解析】解：令，则有y=h（x）在[-m，m上为奇函数．∴h（x）max+h（x）=0．min∴．又∵函数g（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值与最小值的和为a，∴a=1．∴，∴y=f（x）在x∈[0，2]上为增加的．又∵对任意的x∈[0，2]，不等式f（x-2k）＜2k恒成立，∴f（2-2k）＜2k，即（2-2k）2＜2k，解得．故答案为：（）．可用奇函数的几何性质，先求a的值，再利用函数的单调性来解答不等式恒成立问题，从而求出k的取值范围．本题考查了函数的奇偶性，不等式恒成立问题；判断函数的单调性来求最值，从而解答17.【答案】（本小题满分12分）解：（1）因为…………（1分）所以，由题意有…………（3分）由于x∈（0，1），所以{a n}是以为首项，1为公差的等差数列…………（4分）所以…………（6分）（2）=…………（7分）…①…………（8分）…②…………（9分）则①-②得：，所以…………（12分）【解析】（1）通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数在x∈（0，1）上的零点为等差数列{a n}（n∈N*）的首项a1，求出首项，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列得和即可．本题考查数列求和，数列与函数相结合，考查发现问题解决问题的能力．18.【答案】（本小题满分12分）解：（1）直线PA与EB是异面直线…………（2分）（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．同理可证PD⊥BC…………（3分）∵PD=DC可知△PDC是等腰直角三形，而E是斜边PC的中点，∴DE⊥PC．∵底面ABCD是邻边相等的矩形，即四边形ABCD为正方形．∴BC⊥DC，又PD⊥BC，PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，又DE⊂平面PDC…………（5分）∴BC⊥DE，又DE⊥PC，且PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC∴PB⊥ED…………（7分）（3）因为E为PC中点，所以…………（8分）又PD⊥底面ABCD，而底面ABCD是邻边相等的矩形，即底面ABCD是正方形…………（9分）故…………（12分）【解析】（1）真假判断直线PA与EB是异面直线；（2证明PD⊥DC．PD⊥BC，说明BC⊥DC，又PD⊥BC，推出BC⊥平面PDC，得到BC⊥DE，又DE⊥PC，证明DE⊥平面PBC，即可证明PB⊥ED．（3）通过转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：（1）分别记“202X年、202X年、202X年、2021年、2021年”为“a，b，c，d，e”从以上5年中任选2年，其基本事件为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）（c，d）（c，e）（e，f）；…………（4分）其中销售额均超过200万元的有：（c，d）（c，e）（e，f）；…………（5分）故所求的概率为；…………（6分）（2）根据题意，整理数据得如下2×2列联表；年轻市民老年市民合计支持15 10 25很支持25 30 55合计40 40 80计算K2=≈1.455＜2.072，所以没有85%的把握认为支持程度与年龄有关．【解析】（1）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（2）根据列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．20.【答案】解：（1）两平行直线间的距离，∴a2=2，…………（2分）离心率，故c=1，b=1，…………（4分）∴椭圆C的标准方程为；…………（5分）（2）由题意，抛物线D焦点为，故其方程为．…………（7分）联立方程组，解得x=1或x=-2（舍去），∴．……（8分）设抛物线在点处的切线为，联立方程组，整理得，由△=0，解之得，∴所求的切线方程为．即是．…………（10分）令x=0，得；令y=0，得x=-1．…………（11分）故所求三角形的面积为．…………（12分）【解析】（1）求出两平行直线间的距离，得到a2=2，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b则椭圆C的标准方程可求；（2）由抛物线D焦点，可得抛物线方程，联立抛物线方程与椭圆方程，求得Q的坐标，写出抛物线在点处的切线为，再与抛物线方程联立求得切线斜率，得到切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．本题是圆锥曲线综合题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与抛物线、椭圆与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解（1）f'（x）=a（ln x+1），根据题意得，计算得出：…………（2分）故f'（x）=ln x+1，当f'（x）＞0，即时，f（x）递增，当f'（x）＜0，即时，f（x）递减，…………（3分）①当时，函数f（x）在[m，n]上单调递减，此时f（x）最小值为f（n）=n lnn；②当时，函数f（x）在上递减，在上递增，此时f（x）最小值为；③当时，函数f（x）在[m，n]上递增，此时f（x）最小值为f（m）=m lnm…………（6分）（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0存在成立等价于不等式在有解…………（7分）设，，…………（8分）当h'（x）＞0即时，h（x）递增，当h'（x）＜0，即1＜x＜e时，h（x）递减…………（9分）又，，∵…………（10分）∴…………（12分）【解析】根据导数的几何意义以及切线方程可得a=1，b=0；（1）先用导数的符号求出f（x）在{0，+∞）上的单调性，再对n进行讨论可得f（x）在[m，n]上的单调性，根据单调性求得最小值；（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0存在成立等价于不等式在有解，再构造函数求得最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的最值，属难题．22.【答案】解：（1）由得，即ρ2+2（ρcosθ）2=3，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，得，故曲线C1的直角坐标方程为；因为曲线C2的参数方程为（t为参数）．消去参数t得曲线C2的普通方程为x+y-6=0．……………………（4分）（2）由题意，曲线C1的参数方程为（α为参数），可设点P的直角坐标为，因为曲线C2是直线，又∴|PQ|即为点P到直线x+y-6=0的距离……………………（6分）易得点P到直线x+y-6=0的距离为，……………………（7分）所以，所以，此时点P的直角坐标为．……………………（10分）【解析】（1）由得，即ρ2+2（ρcosθ）2=3，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，得，故曲线C1的直角坐标方程为；因为曲线C2的参数方程为（t为参数）．消去参数t得曲线C2的普通方程为x+y-6=0．（2）利用椭圆的参数方程设P的坐标，根据点到直线距离求得|PQ|的最小值列等式可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）因为，所以f（x）=|x-2|-|x-1|，①当x≤1时，f（x）=2-x-（1-x）=1，由，解得x≤1；②当1＜x＜2时，f（x）=3-2x，由，即，解得，又1＜x＜2，所以；③当x≥2时，f（x）=-1不满足，此时不等式无解．综上，不等式的解集为．（2）由题意得，所以=．当且仅当时等号成立．所以的最小值为．【解析】（1）去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集，（2）由题意可得a+2b+4c=3，再根据基本不等式即可求出．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。
英语数学题(中英文)
英语数学题班级： 姓名：1、今天是星期四，101000天后是星期几？TodayisThursday,whatdayis101000dayslater?2、某班男女人数相等，喜欢足球的学生中51是女生，喜欢足球的男生占全班人数的41。
已知不喜欢足球的女生有21人，喜欢足球的男生有（ ）人。
Thenumberofboysandgirlsinaclassisequal,onefifthofthestudentswholikefootballaregirls,andtheboyslikefootballa350s ’4数是5、A 、B A 与D 6、将Subtractonehalfof1999fromit,andthensubtractonethirdoftherest,andthensubtractonequarteroftheremaining,......,finallysubtractone1999th oftheremaining,thentheresultis().7、现有大小油桶40个，每个大油桶可装油5千克，每个小油桶可装油3千克，大桶比小桶共多装油24千克，那么大油桶有（ ）个，小油桶有（ ）个。
Therearefortydrums,eachbigdrumscanholdoil5kg,eachsmalloilcanhold3kg,bigdrumsholdmorethan24kgthansm alldrums,sobigdrumshave(),smalloilhave().8、甲、乙、丙三人同时同向出发，沿着周长为900米的环行跑道跑步。
甲每分钟跑360米，乙每分钟跑300米，丙每分钟跑210米。
他们至少各绕甲（）圈，乙（）圈，丙（）圈后才能再次相遇。
A,B,Cruntowardsthesamedirectionatthesametimealongthecirculartrackwhichcircumferenceis900meters.Arun3 60metersperminute,Brun300metersperminute,Crun210metersperminute.Theywillmeet,atleastArun()ring,Brun( )ring,Crun()ring.9、将200拆成两个自然数的和，其中一个是17的倍数，另一个是23的倍数，那么这两个自然数10olepool.11、2倍，小12（yuan.13、将一些半径相同的小圆按下图所示的规律摆放，第1个图形中有6个小圆，第2个图形中有10个小圆，第3个图形中有16个小圆，第4个图形中有24个小圆，……，依次规律，第6个图形中有()个小圆。
2023年全国乙卷高考数学(文)真题及答案
2023年全国乙卷高考数学(文)真题及答案一、选择题 1. （ ）232i 2i ++=A. 1B. 2 D. 5 2. 设全集，集合，则（ ）{}0,1,2,4,6,8U ={}{}0,4,6,0,1,6M N ==U M N ⋃=ðA. B. C. D.{}0,2,4,6,8{}0,1,4,6,8{}1,2,4,6,8U 3. 如图，网格纸上绘制的是个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积（ ）A. 24B. 26C. 28D. 304. 在中，内角的对边分别是，若，且，ABC A ,,A B C ,,a b c cos cos a B b A c -=5C π=则（ ）B ∠=A. B. C. D. 10π5π310π25π5. 已知是偶函数，则（ ） e ()e 1xax x f x =-=a A. B. C. 1 D. 22-1-6. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ）ABCD E AB EC ED ⋅=B. 3C.D. 5 7. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点A ，则直(){}22,14x y x y ≤+≤线OA 的倾斜角不大于的概率为（ ） π4A. B. C. D. 181614128. 函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）()32f x x ax =++a A. B. C. D.(),2-∞-(),3-∞-()4,1--()3,0-9. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A. B. C. D. 5623121310. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数()sin()f x x ωϕ=+π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭π6x =2π3x =的图像的两条对称轴，则（ ）()y f x =5π12f ⎛⎫-=⎪⎝⎭A. B. C. 12-1211. 已知实数满足，则的最大值是（ ）,x y 224240x yx y +---=x y -A. B. 4 C. D. 7 1+1+12. 设A ，B 为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） 2219y x -=A . B. C. D. ()1,1()1,2-()1,3()1,4--二、填空题13. 已知点在抛物线C ：上，则A 到C 的准线的距离为______. (A 22y px =14. 若，则________． π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθsin cos θθ-=15. 若x ，y 满足约束条件，则的最大值为______.312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩2z x y =-16. 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平,,,S A B C ABC A SA ⊥面，则________．ABC SA =三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：i x ()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅试验序号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10伸缩率 i x 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548伸缩率 i y 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536记，记的样本平均数为，样本方差为．()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅1210,,,z z z ⋅⋅⋅z 2s （1）求，；z 2s （2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）18. 记为等差数列的前项和，已知．n S {}n a n 21011,40a S ==（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和．{}n a n n T19. 如图，在三棱锥中，，，-P ABC AB BC ⊥2AB =BC =PB PC ==，的中点分别为，点在上，． ,,BP AP BC ,,D E O F AC BF AO ⊥（1）求证：//平面；EF ADO （2）若，求三棱锥的体积．120POF ∠=︒-P ABC 20. 已知函数． ()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）当时，求曲线在点处的切线方程． 1a =-()y f x =()()1,f x（2）若函数在单调递增，求的取值范围．()f x ()0,∞+a21. 已知椭圆，点在上． 2222:1(0)C b b x a a y +>>=()2,0A -C （1）求的方程；C （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证()2,3-C ,P Q ,AP AQ y ,M N 明：线段的中点为定点．MN 【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOy O x 的极坐标方程为，曲线：（为参数，1C 2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭2C 2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩α）. 2απ<<π（1）写出的直角坐标方程；1C （2）若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围．y x m =+1C 2C m 【选修4-5】（10分）23. 已知()22f x x x =+-（1）求不等式的解集；()6x f x ≤-（2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积． xOy ()60f x y x y ⎧≤⎨+-≤⎩参考答案一、选择题【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】D【11题答案】【答案】C【12题答案】【答案】D二、填空题【13题答案】 【答案】 94【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】8【16题答案】【答案】2三、解答题【17题答案】【答案】（1），；11z =261s =（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【18题答案】【答案】（1）152n a n =-（2）2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2 【20题答案】【答案】（1）；()ln 2ln 20x y +-=（2）. 1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【21题答案】【答案】（1） 22194y x +=（2）证明见详解【选修4-4】（10分）【22题答案】【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),0-∞+∞ 【选修4-5】（10分）【23题答案】【答案】（1）；[2,2]-（2）6.。
五年级上册周周清试卷
五年级上册语文第九周周周清试卷一、我会拼也会写。
（16分）yòu huòài mùjué zéwū yán dào qièbào jǐng shuāi lǎoɡuò lǜ（）（）（）（）（）（）（）（）二、我能把下列词语补充完整。
（8分）（）天（）地风（）雪（）（）书（）画（）（）不绝（）（）大雨毫不（）（）不容（）（）安（）无（）三、我会补充诗句。
（18分，每空1分）（1）浮云终日行，。
（2），处处细留心。
（3）书，善读之可以。
（4），人在天涯鬓已斑。
（5）冬风似虎狂，。
（6），梅花香自苦寒来。
（7）一本你的书就是，也是一处你随时。
（8）这梅花，是我们中国最有名的花。
旁的花，大抵是春暖才开花，她却不一样，愈是，愈是，花开得愈，愈。
（9）家在梦中何日到，？（10）复恐匆匆说不尽，。
（11）山一程，水一程，，。
四、我能读句子，按要求填写。
（8分）1、你喜爱的书就像是一个朋友，就像你的家。
书，被人们称为人类文明的“长生果”。
以上的句子中，作者分别把书比作（）、（）和（）。
（每空1分）关于书，你肯定也有一些自创的比喻，请大胆地把它们写出来吧！（2分）2、松鼠不像山鼠那样，一到冬天就蛰伏不动，它们是十分警觉的。
(每空1分)这句话为了突出松鼠的警觉，将松鼠和山鼠（）。
这种说明方法比较常见，我会照样子补写。
（1）松鼠的叫声很响亮，比（）还要尖些。
（2）鲸的嘴巴真大，（）。
五、我会根据课文内容填空。
（17分,1--4题每空1分）1、急忙打开书，一页，两页，我像（），贪婪地读着。
我很（），也很（）——这种（）的滋味。
2、读了《新型玻璃》，我知道博物馆、银行等存放重要文件或珍贵物品的建筑物可以采用（）；高层建筑为了安全起见，外部门窗可以采用（）；为了使室内有一个舒适、安静的环境，我们可以给窗子装上（）和（）。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2． ３． ２ ４．arctanln x c + ５．２ 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e -(B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy t t t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）. A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x lnC 、⎰+=C x xdx sin cosD 、⎰++=C x xdx 211tan7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x xx ； 3、dx x x 221)1(1-- ；4、C x ++ln 22 ；5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略。
山西省2022年高考[文数]考试真题与答案解析
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山西省2022年高考[文科数学]考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，则（ ）{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<M N = A. B. C. D. {2,4}{2,4,6}{2,4,6,8}{2,4,6,8,10}【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为，，所以．{}2,4,6,8,10M ={}|16N x x =-<<{}2,4M N = 故选：A.2. 设，其中为实数，则（ ）(12i)2i a b ++=,a b A. B. C. D. 1,1a b ==-1,1a b ==1,1a b =-=1,1a b =-=-【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为R ，，所以，解得：．,a b Î()2i 2i a b a ++=0,22a b a +==1,1a b ==-故选：A.3. 已知向量，则（ ）(2,1)(2,4)a b ==-，a b -r r A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】【分析】先求得，然后求得.a b -a b -r r【详解】因为，所以.()()()2,12,44,3a b -=--=- 5-== a b 故选：D4. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（ ）A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C 【解析】【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A 选项结7.37.57.42+=论正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：，6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，860.3750.416=<C 选项结论错误.对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，8130.81250.616=>D 选项结论正确.故选：C5. 若x ，y 满足约束条件则的最大值是（ ）2,24,0,x y x y y +⎧⎪+⎨⎪⎩………2z x y =-A. B. 4C. 8D. 122-【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，2z x y =-2y x z =-上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z 最大，2y x z =-()4,0所以.max 2408z =⨯-=故选：C.6. 设F 为抛物线的焦点，点A 在C 上，点，若，则（）2:4C y x=(3,0)B AFBF =AB =A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点A A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，()1,0F 2AF BF ==即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，A 1x =-A 121-+=不妨设点在轴上方，代入得，，A x ()1,2A所以.AB ==故选：B7. 执行下边的程序框图，输出的（）n =A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=；222231220.0124b a -=-=>执行第二次循环，，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=；222271220.01525b a -=-=>执行第三次循环，，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，此时输出.2222171220.0112144b a -=-=<4n =故选：B8. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）[3,3]-A. B. C. D. 3231x x y x -+=+321x xy x -=+22cos 1x x y x =+22sin 1x y x =+【答案】A 【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;()321x xf x x -=+()10f =设，当时，，()22cos 1x x h x x =+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0cos 1x <<所以，故排除C;()222cos 2111x x xh x x x =<≤++设，则，故排除D.()22sin 1x g x x =+()2sin 33010g =>故选：A.9. 在正方体中，E ，F 分别为的中点，则（）1111ABCD A B C D -,AB BCA. 平面平面B. 平面平面1B EF ⊥1BDD 1B EF ⊥1A BDC. 平面平面D. 平面平面1//B EF 1A AC 1//B EF 11AC D【答案】A 【解析】【分析】证明平面，即可判断A ；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设EF ⊥1BDD D ，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.2AB =1B EF 1A BD 11AC D 【详解】解：在正方体中，1111ABCD A B C D -且平面，AC BD ⊥1DD ⊥ABCD 又平面，所以，EF ⊂ABCD 1EF DD ⊥因为分别为的中点，,E F ,AB BC 所以，所以，EF AC EF BD ⊥又，1BD DD D = 所以平面，EF ⊥1BDD 又平面，EF ⊂1B EF 所以平面平面，故A 正确；1B EF ⊥1BDD 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，D 2AB =则，()()()()()()()112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0B E F B A A C ，()10,2,2C 则，，()()11,1,0,0,1,2EF EB =-= ()()12,2,0,2,0,2DB DA ==()()()1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AA AC A C ==-=-设平面的法向量为，1B EF ()111,,m x y z =则有，可取，11111020m EF x y m EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩()2,2,1m =- 同理可得平面的法向量为，1A BD ()11,1,1n =--平面的法向量为，1A AC ()21,1,0n =平面的法向量为，11AC D ()31,1,1n =-则，122110m n ⋅=-+=≠所以平面与平面不垂直，故B 错误；1B EF 1A BD 因为与不平行，m 2n uu r 所以平面与平面不平行，故C 错误；1B EF 1A AC 因为与不平行，m 3n所以平面与平面不平行，故D 错误，1B EF 11AC D 故选：A.10. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）{}n a 2542a a -=6a =A. 14 B. 12C. 6D. 3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等{}n a ,0q q ≠1q ≠比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，{}n a ,0q q ≠若，则，与题意矛盾，1q =250a a -=所以，1q ≠则，解得，()31123425111168142a q a a a q a a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以.5613a a q ==故选：D.11. 函数在区间的最小值、最大值分别为（）()()cos 1sin 1f x x x x =+++[]0,2πA. B. C. D. ππ22-，3ππ22-，ππ222-+，3ππ222-+，【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.()f x ()f x []0,2π【详解】，()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x '=-+++=+所以在区间和上，即单调递增；()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 在区间上，即单调递减，π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '<()f x 又，，，()()02π2f f ==ππ222f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在区间上的最小值为，最大值为.()f x []0,2π3π2-π22+故选：D12. 已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.B.C.D.1312【答案】C 【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到22r 当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为，α则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r rα=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又22r h 1+=则2123O ABCDV r h -=⋅⋅=≤=当且仅当即时等号成立，故选：C222r h =h 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 记为等差数列的前n 项和．若，则公差_______．n S {}n a 32236S S =+d =【答案】2【解析】【分析】转化条件为，即可得解.()112+226a d a d =++【详解】由可得，化简得，32236S S =+()()123122+36a a a a a +=++31226a a a =++即，解得.()112+226a d a d =++2d =故答案为：2.14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】##0.3310【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率13C 3=310P =故答案为：31015. 过四点中的三点的一个圆的方程为____________．(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-【答案】或或或()()222313x y -+-=()()22215x y -+-=224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；220x y Dx Ey F ++++=【详解】解：依题意设圆的方程为，220x y Dx Ey F ++++=若过，，，则，解得，()0,0()4,0()1,1-01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以圆的方程为，即；22460x y x y +--=()()222313x y -+-=若过，，，则，解得，()0,0()4,0()4,201640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以圆的方程为，即；22420x y x y +--=()()22215x y -+-=若过，，，则，解得，()0,0()4,2()1,1-0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩所以圆的方程为，即；22814033x y x y +--=224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若过，，，则，解得，()1,1-()4,0()4,21101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩所以圆的方程为，即；2216162055x y x y +---=()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭故答案为：或或或()()222313x y -+-=()()22215x y -+-=224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭16. 若是奇函数，则_____，______．()1ln 1f x a b x++-==a b =【答案】①. ； 12-②. ．ln 2【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．()1ln 1f x a b x++-=由可得，，所以，解得：，即函数的定义101a x +≠-()()110x a ax -+-≠11a x a +==-12a =-域为，再由可得，．即()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞()00f =ln 2b =，在定义域内满足，符合题意．()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--()()f x f x -=-故答案为：；．12-ln 2三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知ABC ．()()sin sin sin sin C A B B C A -=-（1）若，求C ；2A B =（2）证明：2222a b c =+【答案】（1）； 5π8（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出； ()sin sin C C A =-（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-即可证出．【小问1详解】由，可得，，而，2A B =()()sin sin sin sin C A B B C A -=-()sin sin sin sin C B B C A =-π02B <<所以，即有，而，显然，所()sin 0,1B ∈()sin sin 0C C A =->0π,0πC C A <<<-<C C A ≠-以，，而，，所以．πC C A +-=2A B =πA B C ++=5π8C =【小问2详解】由可得，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，再由正弦定理可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，然后根据余弦定理可知，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，化简得：()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，故原等式成立．2222a b c =+18. 如图，四面体中，，E 为AC 的中点．ABCD ,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠（1）证明：平面平面ACD ；BED ⊥（2）设，点F 在BD 上，当的面积最小时，求三棱锥2,60AB BD ACB ==∠=︒AFC △F ABC -的体积．【答案】（1）证明详见解析 （2）【解析】【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.AC ⊥BED BED ⊥ACD （2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从AFC F F ABC 而求得三棱锥的体积.F ABC -【小问1详解】由于，是的中点，所以.AD CD =E AC AC DE ⊥由于，所以，AD CDBD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADB CDB ≅△△所以，故，AB CB =AC BD ⊥由于，平面，DE BD D ⋂=,DE BD ÌBED 所以平面，AC ⊥BED 由于平面，所以平面平面.AC ⊂ACD BED ⊥ACD 【小问2详解】依题意，，三角形是等边三角形，2AB BD BC ===60ACB ∠=︒ABC 所以2,1,AC AE CE BE ====由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.,AD CD AD CD =⊥ACD 1DE =，所以，222DE BE BD +=DE BE ⊥由于，平面，所以平面.AC BE E ⋂=,AC BE ⊂ABC DE ⊥ABC 由于，所以，ADB CDB ≅△△FBA FBC ∠=∠由于，所以，BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩FBA FBC ≅ 所以，所以，AF CF =EF AC ⊥由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.12AFC S AC EF =⋅⋅ EF AFC 过作，垂足为，E EF BD ⊥F 在中，，解得Rt BED △1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅EF =所以，13,222DF BF DF ===-=所以.34BF BD =过作，垂足为，则，所以平面，且，F FH BE ⊥H //FH DE FH ⊥ABC34FH BF DE BD==所以,34FH =所以111323324F ABC ABC V S FH -=⋅⋅=⨯⨯=19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：2m ），得到如下数据：3m 样本号ｉ12345678910总和根部横截面积ix 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y ===∑∑∑（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种2186m 树木的总材积量的估计值．附：相关系数．1.377r =≈【答案】（1）； 20.06m 30.39m （2） 0.97（3）31209m 【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x ==样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y ==据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，20.06m 平均一棵的材积量为30.39m 【小问2详解】101010x x y y x y xyr ---==0.01340.970.01377==≈≈则0.97r ≈【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为，3m Y 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得．0.06186=0.39Y 3=1209m Y 则该林区这种树木的总材积量估计为31209m 20. 已知函数．1()(1)ln f x ax a x x=--+（1）当时，求的最大值；0a =()f x （2）若恰有一个零点，求a 的取值范围．()f x 【答案】（1） 1-（2）()0,+∞【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求()()()211ax x f x x--'=0a ≤01a <<1a >得函数的极值，即可得解.【小问1详解】当时，，则，0a =()1ln ,0f x x x x =-->()22111xf x x x x-'=-=当时，，单调递增；()0,1∈x ()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减；()1,x ∈+∞()0f x ¢<()f x 所以；()()max 11f x f ==-【小问2详解】，则，()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=当时，，所以当时，，单调递增；0a ≤10-≤ax ()0,1∈x ()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减；()1,x ∈+∞()0f x ¢<()f x 所以，此时函数无零点，不合题意；()()max 110f x f a ==-<当时，，在上，，单调递增；01a <<11a >()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 在上，，单调递减；11,a ⎛⎫⎪⎝⎭()0f x ¢<()f x 又，当x 趋近正无穷大时，趋近于正无穷大，()110f a =-<()f x 所以仅在有唯一零点，符合题意；()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，，所以单调递增，又，1a =()()2210x f x x-'=≥()f x ()110f a =-=所以有唯一零点，符合题意；()f x 当时，，在上，，单调递增；1a >11a <()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x在上，，单调递减；此时，1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭()0f x ¢<()f x ()110f a =->又，当n 趋近正无穷大时，趋近负无穷，()1111ln n n n f a n a a aa-⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1n f a ⎛⎫⎪⎝⎭所以在有一个零点，在无零点，()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以有唯一零点，符合题意；()f x 综上，a 的取值范围为.()0,+∞【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.21. 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过两点．()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭（1）求E 的方程；（2）设过点的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点()1,2P -T ，点H 满足．证明：直线HN 过定点．MT TH =【答案】（1） 22143y x +=（2）(0,2)-【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小问1详解】解：设椭圆E 的方程为，过，221mx ny +=()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭则，解得，，41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩13m =14n =所以椭圆E 的方程为：.22143y x +=【小问2详解】，所以，3(0,2),(,1)2A B --2:23+=AB y x ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，(1,2)P -1x =22134x y+=可得，，代入AB 方程，可得M (1,N 223y x =-，由得到.求得HN方程：T MTTH =H +，过点.(22y x =--(0,2)-②若过点的直线斜率存在，设.(1,2)P -1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=联立得，22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=可得，，1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立可得1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时，1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--将，代入整理得，(0,2)-12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=将代入，得(*)222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（二）选考题共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为，（t 为参数），以坐标原点为极xOy 22sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=（1）写出l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】（1 20++=y m （2）195122-≤≤m 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可.【小问1详解】因为l ：，所以，sin 03m πρθ⎛⎫⎪⎝+⎭+=1sin cos 02ρθρθ⋅+⋅+=m又因为，所以化简为，sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=102+=y x m整理得l 20++=y m 【小问2详解】联立l 与C 的方程，即将，代入2=x t 2sin y t =中，可得，20++=y m 3cos 22sin 20++=t t m 所以，23(12sin )2sin 20-++=t t m 化简为，26sin 2sin 320-+++=t t m 要使l 与C 有公共点，则有解，226sin 2sin 3=--m t t令，则，令，，sin =t a []1,1a ∈-2()623=--f a a a (11)a -≤≤对称轴为，开口向上，所以，16a =(1)623()5=-=+-=max f f a ，所以，m 的取值范围为.min 11219(()36666==--=-f f a 19256-≤≤m 195122-≤≤m [选修4—5：不等式选讲]23. 已知a ，b ，c 都是正数，且，证明：3332221a b c ++=（1）；19abc ≤（2）；a b c b c a c a b ++≤+++【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．【小问1详解】证明：因为，，，则，，，0a >0b >0c >320a >320b >320c >所以，3332223a b c ++≥即，所以，当且仅当，即时取等号．()1213abc ≤19abc ≤333222a b c ==a b c ===【小问2详解】证明：因为，，，0a >0b>0c >所以，，，bc +≥a c +≥a b +≥所以，a b c≤=+ba c ≤=+c a b≤=+a b c b c a c a b ++≤==+++当且仅当时取等号。
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案学好高考数学的技巧高考数学题目的总结比较。
建立自己的题库。
多做。
主要是指做高考数学习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。
养成好的学习习惯，做好预习，把预习没看懂的东西，第二天上课着重听。
抓住课堂。
高考数学理科学习重在平日功夫，不适于突击复习。
高质量完成作业。
所谓高质量是指高正确率和高速度。
翻译：把中文翻译成为数学语言，包括：字母表示未知数、图像表示函数式或几何题目、概率语言等等。
该方法常用于函数，几何以及不等式等题目。
特殊化：在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目。
该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论。
盯住目标：把高考数学目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法。
在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用!各省高考用卷情况1、新高考一卷(8个省份)适用省份：山东、河北、湖北、福建、湖南、广东、江苏，浙江考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息技术等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省是综合改革3+3省份。
2、新高考二卷(3个省份)适用省份：海南、辽宁、重庆考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中辽宁、重庆两省市是3+1+2省份，海南是综合改革3+3省份。
3、全国甲卷(5个省份)适用省份：云南、贵州、四川、西藏、广西考试科目：语文、数学、外语、文综、理综特点：语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。
精品解析：2023年高考全国乙卷数学(文)真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学一、选择题1.232i 2i ++=（）A.1B.2C.D.5【答案】C 【解析】【分析】由题意首先化简232i 2i ++，然后计算其模即可.【详解】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则232i 2i 12i ++=-==.故选：C.2.设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U【答案】A 【解析】【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.30【答案】D【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=.故选：D.4.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5π C.310π D.25π【答案】C 【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A ∠的值，最后利用三角形内角和定理可得A ∠的值.【详解】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2A A ==，则ππ3πππ2510B AC =--=--=.5.已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax ax x x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.6.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A.B.3C. D.5【答案】B 【解析】【分析】方法一：以{},AB AD 为基底向量表示,EC ED uu u r uu u r，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos DEC ∠，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos25DE CE DC DEC DE CE +-∠===⋅，所以3cos 35EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.7.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18 B.16C.14D.12【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=，结合对称性可得所求概率13π143π4P ⨯==.故选：C.8.函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A.(),2-∞- B.(),3-∞- C.()4,1-- D.()3,0-【答案】B 【解析】【分析】写出2()3f x x a '=+，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】3()2f x x ax =++，则2()3f x x a '=+，若()f x 要存在3个零点，则()f x 要存在极大值和极小值，则a<0，令2()30f x x a '=+=，解得3a x -=3a -，且当,,33a ax ⎛⎫--∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当33a a x ⎛--∈ ⎝，()0f x '<，故()f x 的极大值为3f a ⎛ -⎝，极小值为3f a -，若()f x 要存在3个零点，则0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即2033320333a a a a a a ⎧-->⎪⎪⎨---⎪++<⎪⎩，解得3a <-，故选：B.9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A.56B.23C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：乙甲1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36个不同结果，它们等可能，其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率305366P ==.故选：A10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5π3sin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.11.已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A.12+B.4C.1+D.7【答案】C 【解析】【分析】法一：令x y k -=，利用判别式法即可；法二：通过整理得()()22219x y -+-=，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x y k -=，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得11k -≤≤+故x y -的最大值是1+，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 114x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈ ，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值1，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离3d =≤，解得11k -≤≤+故选：C.12.设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x =-，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.14.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】55-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或5sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.15.若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为______.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.16.已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =________．【答案】2【解析】【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图，将三棱锥S ABC -转化为直三棱柱SMN ABC -，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则2sin 32AB r ACB ==∠，可得r =，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，连接1,OA OO ，则112,2OA OO SA ==，因为22211OA OO O A =+，即21434SA =+，解得2SA =.故答案为：2.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）【答案】（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出,x y ，再得到所有的i z 值，最后计算出方差即可；（2）根据公式计算出的值，和z 比较大小即可.【小问1详解】545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =-=-=，i i i z x y =-的值分别为:9,6,8,8,15,11,19,18,20,12-，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s -+-+-+--+-++-+-+-+-==【小问2详解】由（1）知:11z =，==，故有z ≥所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】（1）152n a n=-（2）2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【解析】【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果；（2）先求n S ，讨论n a 的符号去绝对值，结合n S 运算求解.【小问1详解】设等差数列的公差为d ，由题意可得211011110910402a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，即1111298a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1132a d =⎧⎨=-⎩，所以()1321152n a n n =--=-，【小问2详解】因为()213152142n n n S n n +-==-，令1520n a n =->，解得152n <，且*n ∈N ，当7n ≤时，则0n a >，可得2121214n n n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==-；当8n ≥时，则0n a <，可得()()121278n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+()()()222777221477141498n n S S S S S n n n n =--=-=⨯---=-+；综上所述：2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩.19.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥-P ABC 的体积．【答案】（1）证明见解析（2）263【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）作出并证明PM 为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.【小问1详解】连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=-+ ，12AO BA BC =-+，BF AO ⊥，则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+= ，解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，//,EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .【小问2详解】过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，因为,PB PC O =是BC 中点，所以PO BC ⊥，在Rt PBO △中，12PB BO BC ===，所以2PO ===，因为,//AB BC OF AB ⊥，所以OF BC ⊥，又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ，所以BC⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC PM ⊥，又BC FM O = ，,BC FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥-P ABC 的高为PM ，因为120POF ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以3sin 6022PM PO =︒=⨯=，又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以11333P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯=△.20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程．（2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．【答案】（1）()ln 2ln 20x y +-=；（2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立，整理变形可得()()()21ln 10g x ax x x x =+-++≥在区间()0,∞+上恒成立，然后分类讨论110,,022a a a ≤≥<<三种情况即可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】当1a =-时，()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=-+>-⎪⎝⎭，则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭，据此可得()()10,1ln 2f f '==-，所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--，即()ln 2ln 20x y +-=.【小问2详解】由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'-+++⨯>- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立.令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax -++++≥，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()2ln 1g x ax x '=-+，当0a ≤时，由于()20,ln 10ax x ≤+>，故()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，不合题意;令()()()2ln 1h x g x ax x '==-+，则()121h x a x -'=+，当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增，即()g x '在区间()0,∞+上单调递增，所以()()>00g x g ''=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，满足题意.当102a <<时，由()1201h x a x =-=+'可得1=12x a-，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，即()g x '单调递减，注意到()00g '=，故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()00g x g ''<=，()g x 单调递减，由于()00g =，故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合题意.综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【点睛】方法点睛：（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法①函数在区间(),a b 上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)恒成立．②函数在区间(),a b 上存在单调区间，实际上就是()0f x '≥(或()0f x '≤)在该区间上存在解集．21.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是53，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，进而可得结果；（2）设直线PQ 的方程，进而可求点,M N 的坐标，结合韦达定理验证2M Ny y +为定值即可.【小问1详解】由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段MN 的中点是定点()0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),0-∞+∞ 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y 的取值范围；（2）根据曲线12,C C 的方程，结合图形通过平移直线y x m =+分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.【小问2详解】因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞ .【点睛】【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-.（1）求不等式()6f x x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积.【答案】（1）[2,2]-；（2）8.【解析】【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-【小问2详解】作出不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩,解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= .。
英语数学题(中英文)
英语数学题班级： 姓名：1、今天是星期四，101000天后是星期几？Today is Thursday, what day is 101000 days later?2、某班男女人数相等，喜欢足球的学生中51是女生，喜欢足球的男生占全班人数的41。
已知不喜欢足球的女生有21人，喜欢足球的男生有（ ）人。
The number of boys and girls in a class is equal, one fifth of the students who like football are girls, and the boys like football are one quarter of the whole class. There are 21 girls who are not fond of football, then ( ) boys like football.3、某列火车通过长为82米的铁桥用了22秒，如果火车速度加快一倍，它通过706米的铁桥就用50秒，火车的长度是（ ）。
The train go through a bridge with 22 seconds which length is 82 meters , if the train ’s speed double, it go through 706 meters ’ bridge with 50 seconds, the length of the train is ( ).4、在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数1,2,3,4,……,后来擦掉其中一个，剩下数的平均数是13139,擦掉的自然数是（ ）。
Written on the blackboard several consecutive natural numbers from the beginning of 1 1,2,3,4,...... , then wipe one of them, the average number of the remaining number is 13139, the wiped natural number is ( ). 5、A 、B 、C 、D 、E 五人在一次满分为100分的考试中，A 得94分，B 是第一名，C 的得分是A 与D 的平均分,D 得了五人的平均分，E 比C 多2分，是第二名，则B 得了（ ）分。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。
2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。
3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。
6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。
7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。
8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。
9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。
10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。
11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。
12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。
13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。
18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。
20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
2020高考数学(文数)考点测试刷题本30 等差数列前n项和公式(含答案解析)
12.答案为：16；
( ) 3
76
81
解析：设{an}的公差为 d，由 a12=8a5＞0，得 a1=- 5 d，d＜0，所以 an= n－ 5 d，
从而可知当 1≤n≤16 时，an＞0；当 n≥17 时，an＜0.
从而 b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，
b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，故 S14＞S13＞…＞S1，S14＞S15，S15＜S16，S16＞S17＞S18＞….
3 12.数列{an}是等差数列，数列{bn}满足 bn=anan＋1an＋2(n∈N*)，设 Sn 为{bn}的前 n 项和．若 a12=8a5
＞0，则当 Sn 取得最大值时 n 的值为________． 三、解答题 13.已知等差数列{an}的公差 d>0，前 n 项和为 Sn，且 a2·a3=45，S4=28．
所以 S4
035=
2
=4
035a2
018>0，S4
036=
2
=
4 036a2 018＋a2 019
<0， 2
所以使得 Sn>0 的 n 的最大值为 4 035，故选 C.
8.答案为：D； 因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数 y=x2－10x 的图象上，所以 Sn=n2－10n，所以 an=2n－11， 又 bn＋bn＋1=an(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，设公差为 d，
A．18
B．20
C．21
D．25
3.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1=S3=3，则 S4 的值为( )
A．－3
B．0
C．3
D．6
4.已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10=8，则 a100=( )
2021年全国高考乙卷数学(文)试题(解析版)
河南省2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()UM N ⋃=（ ）A. {}5B. {}1,2C. {}3,4D. {}1,2,3,4【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：{}1,2,3,4M N =，则(){}5UM N =.故选：A.2. 设i 43i z =+，则z =（ ） A. –34i - B. 34i -+C. 34i -D. 34i +【答案】C 【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值. 【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.3. 已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. ()p q ⌝∨【答案】A 【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin 0=0，所以命题p真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题； 所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．4. 函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A .3π和2 B. 3π和2C. 6π和2D. 6π和2【答案】C 【解析】【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，22()sin cos 2sin co 2sin 3s 33334x x x x f x x π⎛⎫=+=+ ⎛⎪ ⎪+⎫⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T，最大值为2.故选：C ．5. 若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为（ ）A. 18B. 10C. 6D. 4【答案】C 【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为3y x z =-+，数形结合即可得解. 【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由43x y y +=⎧⎨=⎩可得点()1,3A ,转换目标函数3z x y =+为3y x z =-+，上下平移直线3y x z =-+，数形结合可得当直线过点A 时,z 取最小值， 此时min 3136z =⨯+=. 故选：C. 6. 22π5πcoscos 1212-=（ ） A.12【答案】D 【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos26π==故选：D.7. 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（ ）A.34B.23C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设Ω=“区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭随机取1个数”，对应集合为： 102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，区间长度为12， A =“取到的数小于13”， 对应集合为：103x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，区间长度为13， 所以()()()10231302l A P A l -===Ω-． 故选：B ．【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于13”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出．8. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. 224y x x =++B. 4sin sin y x x=+C. 222x x y -=+D. 4ln ln y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242xxx x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 9. 设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. ()11f x -- B. ()11f x -+C. ()11f x +-D. ()11f x ++【答案】B 【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.10. 在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ） A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】D 【解析】【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ， 所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥， 设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B ===， 1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D11. 设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（ ）A.52B. 6C. 5D. 2【答案】A 【解析】【分析】设点()00,P x y ，由依题意可知，()0,1B ，220015x y +=，再根据两点间的距离公式得到2PB ，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．【详解】设点()00,P x y ，因为()0,1B ，220015x y +=，所以()()()222222200000001251511426424PB x y y y y y y ⎛⎫=+-=-+-=--+=--+ ⎪⎝⎭，而011y -≤≤，所以当012y =时，PB 的最大值为52．故选：A ．【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B 最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.． 12. 设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ）A. a b <B. a b >C. 2ab a <D. 2ab a >【答案】D 【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab .()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >. 综上所述，2ab a >成立. 故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________． 【答案】85【解析】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=. 故答案：85. 14. 双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【解析】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c =，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.15. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60B =︒，223a c ac +=，则b =________．【答案】【解析】【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，1sin 2ABCSac B === 所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得b =.故答案为：16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】③④（答案不唯一） 【解析】【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可. 【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体1111ABCD A BC D -中，12,1AB BC BB ===， ,E F 分别为棱11,BC BC 的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E ADF -. 故答案为：③④.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21S 和22S ． （1）求x ，y ，21S ，22S ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1）221210,10.3,0.036,0.04x y S S ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差. （2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610S +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410S +++++++++==.（2）依题意，0.320.15y x -==⨯==，=y x -≥. 18. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）23． 【解析】【分析】（1）由PD ⊥底面ABCD 可得PD AM ⊥，又PB AM ⊥，由线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面PBD ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM ⊥平面PBD ；（2）由（1）可知，AM BD ⊥，由平面知识可知，~DAB ABM ，由相似比可求出AD ，再根据四棱锥P ABCD -的体积公式即可求出．【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ， 所以PD AM ⊥， 又PB AM ⊥，PBPD P =，所以AM ⊥平面PBD ， 而AM ⊂平面PAM ， 所以平面PAM ⊥平面PBD ．（2）由（1）可知，AM ⊥平面PBD ，所以AM BD ⊥， 从而~DAB ABM ，设BM x =，2AD x =， 则BM AB AB AD =，即221x =，解得22x =，所以2AD 因为PD ⊥底面ABCD ， 故四棱锥P ABCD -的体积为(1212133V =⨯⨯=． 【点睛】本题第一问解题关键是找到平面PAM 或平面PBD 的垂线，结合题目条件PB AM ⊥，所以垂线可以从,PB AM 中产生，稍加分析即可判断出AM ⊥平面PBD ，从而证出；第二问关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出~DAB ABM ，从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积．19. 设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析.【解析】【分析】利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； 利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n nT --=++++，①231112133333n n n n nT +-=++++，② ①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n----=-<⋅⋅， 所以2n n ST <.【点晴】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.20. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13. 【解析】【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，进而可得20025910y x +=，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭， 所以该抛物线的方程为24y x =；（2）设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -， 由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++， 当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+， 当00y >时，因为0092530y y +≥=，此时103OQk <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立； 当00y <时，0OQ k <； 综上，直线OQ 的斜率的最大值为13. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点Q 坐标的关系，在求斜率的最值时要注意对0y 取值范围的讨论.21. 已知函数32()1f x x x ax =-++． （1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和()11a ---，. 【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()232f x x x a '=-+，导函数的判别式412a ∆=-， 当14120,3a a ∆=-≤≥时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增， 当时，的解为：12113113,32a ax x --+-==， 当113,3a x ⎛⎫--∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；当113113,33a a x ⎛⎫--+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递减；当113,a x ⎛⎫+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在113a ⎛---∞ ⎝⎭，113a⎫+-+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在113113,33a a ⎡⎤⎢⎥⎣-+-⎦-上单调递减. (2)由题意可得：()3200001f x x x ax =-++，()200032f x x x a '=-+，则切线方程为：()()()322000000132y x x ax x x ax x --++=-+-，切线过坐标原点，则：()()()32200000001320x x ax x x ax --++=-+-,整理可得：3200210x x --=，即：()()20001210x x x -++=，解得：，则，()0'()11f x f a '==+切线方程为：()1y a x =+, 与联立得321(1)x x ax a x -++=+，化简得3210x x x --+=,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，()1x ∴-是321x x x --+的一个因式，∴该方程可以分解因式为()()2110,x x --=解得121,1x x ==-,()11f a -=--，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和()11a ---，. 【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】（1）2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）；（2）2cos()43πρθ+=-2cos()43πρθ-=+【解析】【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可. 【详解】（1）由题意，C 的普通方程为22(2)(1)1x y -+-=，所以C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)y k x -=-，即140kx y k -+-=，由圆心到直线的距离等于11=，解得k =330y -+-=330y +--=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得2cos()43πρθ+=-2cos()43πρθ-=+【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.[选修4—5:不等式选讲]23. 已知函数()3f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围． 【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x 的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.。
数学文博士试卷六年级上册
随着新学期的开始，六年级的同学们迎来了新的挑战——数学文博士试卷。
这份试卷旨在检测同学们在上学期的学习成果，同时也为即将到来的期末考试做好充分的准备。
以下是针对这份试卷的详细解析。
一、试卷概述本次数学文博士试卷共分为三个部分，分别考察了同学们对基础知识、应用能力和创新能力的掌握程度。
1. 基础知识部分：主要考察同学们对数的认识、数的运算、图形的认识、几何证明等方面的知识。
2. 应用能力部分：主要考察同学们在实际问题中运用所学知识解决问题的能力。
3. 创新能力部分：主要考察同学们在遇到新问题时，能否灵活运用所学知识，提出新颖的解题思路。
二、试题解析1. 基础知识部分（1）数的认识：例如，写出下列各数的倒数：1/2、2/3、3/4。
这类题目主要考察同学们对分数的认识，解题思路为：将分数的分子与分母互换位置。
（2）数的运算：例如，计算下列各式的值：3/4 + 1/2 - 1/3。
这类题目主要考察同学们对分数加减乘除运算的掌握程度，解题思路为：先通分，再按照运算顺序进行计算。
（3）图形的认识：例如，判断下列图形是否为轴对称图形。
这类题目主要考察同学们对轴对称图形的认识，解题思路为：观察图形，找出对称轴，判断图形两侧是否完全相同。
2. 应用能力部分（1）实际问题：例如，小明家养了10只鸡和8只鸭，共重100千克。
鸡和鸭的平均重量分别是多少？这类题目主要考察同学们将数学知识应用于实际问题的能力，解题思路为：先列出方程，然后求解。
（2）几何问题：例如，已知直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
这类题目主要考察同学们对勾股定理的掌握程度，解题思路为：根据勾股定理，计算斜边长度。
3. 创新能力部分（1）开放性问题：例如，如何用最少的绳子围成一个面积最大的正方形？这类题目主要考察同学们的创新思维，解题思路为：先分析问题，再提出解决方案。
（2）数学探究：例如，探究三角形内角和的性质。
这类题目主要考察同学们对数学知识的探究能力，解题思路为：观察、猜想、验证。
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数学周考试题(文)C . -1「1 12.已知全集 U=R ，集合 A ={x| —2<xc0}, B =2x|2X」V-，，则 C R (^ B)=(L4JC . T2f(x) =1 n(x+1)-—的零点所在的区间是Xxyk < X +4y •若p A q 为真,则实数k 的取值范围是i 31 .复数 一(i 为虚数单位)的实部是1 +iA .(亠,-2]U(-1,均B . (=,-2)U [一1,址 C. (-=c ,+=c )D . (―2,兄)兀3.在 MBC 中N B =—，三边长a , b , c 成等差数列，且ac = 6 ,3b 的值是(B . >/3V 54•已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为1 Sn =a ”2n° +-,则a 的值为6C ._丄25 •已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 它的最小正周期为「则4)的值为6.函数1 (2,1)B . (1,e-1)C . (e-1,2)D .7.已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主视图和俯视图如下，则它的左A.(2,e)8 .已知命题P: 3x 壬R,使得k + X —2 > X —1 ;命题q ：V X,沪fey1,有A (侧)视图是DA . [1,9]1 1②若a Ab 且一 >-,则a>0且b<0;a b2③已知函数f （x ）=x —ax —2a,若存在xqT,1］，使f （x ）>0成立，则av1; ④在 MBC 中，a , b , c 分别是角A 、B 、C 的对边，若acosA=bcosB ,贝ABC 为 等腰直角三角形。
其中正确的有 __________ 。
（填上所有正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出证明过程或演算步骤）D . [1,8]29.若不等式x +ax +1 >0对一切X 亡0 都成立, 「3」则实数a 的取值范围是（）A . (M,0)C .10.函数f （x ）■的导函数 f '（X ）的.图像如右图所示，则 f （）的函数图yrXyu ■■\lXyiOX第II 卷非选择题（共100 分）二、填空题：本大题共11.设函数f （x ）5分，共25分。
5小题，每小题 x 3cosx+sinx+1.若 f(a) =11，贝U f (—a)=12.当0<xM1时，不等式si n^<kx 成立，则实数k 的取值范2围是 __________ .13.阅读右边的程序：如果输入x = -2，则输出结果y 为（ ）输入x ；If X c 0 Then兀-x + 3 2Els eX > 0 Then兀y = — X +52 Else y = 0 End If End If2y.14.已知F 1、F 2是双曲线F 1F 2为边作正三角形曲线的离心率是15•有下列说法:2 2笃—与=1（a >0,b 〉0）的两焦点，以线段a bMF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双①S n 是数列｛aj 的前n 项和，若S n =n +n +1，则数列｛aj 是等差数列；像可能是A XB()XD16.（本小题满分12 分）记关于x 的不等式>0的解集为P ， 不等式(x-1 ) 2< 1的解集为Q.X +1［来源:学科网4 n)若Q C P ,求正数a 的取值范围.17.(本小题12分)已知函数 f(x)=sinx+cosx ，F(x) = f ©).[ f (x) + f 0) ] —1,「(x)是 f (x)的 导函数.1u )若tanx=3，求F(x)的值；(n)求F(x)的单调减区间.18.(本题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对［25,55］岁的人群随 机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合 低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和 各年龄段人数频率分布直方图：补全频率分布直方图并求n 、a 、 (n)从年龄段在［40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在［40,45)岁的概率 19、如图，平行四边形 ABCD 中，BC=6正方形ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直，G H 分别(I)若 a =3，求 P ；组数低碳族的人数占本组的频率囱耳)120第二组 罚195P第三组Q40) iOO0.5 [40.45) a0.4[4\50)30 0.3［兄罚150.3频宰为DF, BE的中点，若CD=2 DB=4J2。
(3),求四棱锥F-HEG的体积20.(本小题满分13分)已知数列｛a n｝中，印=1,a2 =2,a卄=2a n +3a n」(n >2且n^ N*).(I)证明数列｛a n +&时｝是等比数列;(II)求q +&2 + ||)a2n(n€ N )21.(本题满分14分)已知直线I与函数f(x)=lnx的图象相切于点(1 , 0)，且I与函数17g(x) =— X2+mx + —(m C 0)的图象也相切。
2 2(I)求直线l的方程及m的值；(n)若h(x) = f(X+1) - kg'(X)有最大值，求k的取值范围，并试求函数h(x) 的最大值；(1)求证：GH//平面CDE (2)求证：HGI平面DEB答案、选择题：1—5 ABCDA 6 —10 CABCB、填空题：11. -9 12. k >- 13.3-；! 14. 73+1 15. 2一 2 ------------------------------------ x-316.解：(1 )由 ------- x +1Q = X X —(O1$={x 0 < x< 2}.={x —1 c X c a },又 Q J P ，所以 a > 2,18 解：(I)第二组的频率为 1 -(0.04 +0.04 + 0.03 + 0.02 +0.01)x 5 = 0.3 ,，所以 n =^0^=1000 .0.2由题可知，第二组的频率为0. 3,所以第二组的人数为1000X0.3 = 300 , 所以 P=195=0.65 .300 第四组的频率为 0.03貝0. 1,所以第四 组的人数为1000 0. 15 150所以 a =1 5 0咒0. 4= 6.0............< 0，得 P = {x —1<x <3}.由a A O ，得P即a 的取值范围是 (2,+K ).12 分17.解：(1)v ・ L , 、 J f '(X)= cosx -sin X••• FWWIf^ + f/g]-1=2(cosx -sin x) cosx -1=cos2x -sin 2x1 -ta n 2x 1 +tan 2 X 4 _3 5 52ta n x 1 +tan 2X(2)由 _1—5 ... 6分(1)知: F(x) =cos2x —sin2x =72cos(2x +兰).4兀 3兀k 兀一—<x <k 兀+ ——，k € Z 8 83辽T + K u Z ....... 12 ^分 8」令2k 兀＜ 2X +工＜ 2k 兀+兀，k € Z 得： 4 二F (x)的单调减区间为［k 兀—兀，心 L 8. 2分.. 4 ■分.. 6分(n)因为［40,45)岁年龄段的“低碳族”与-［45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30 =2:1，所以采用分层抽样法抽取6人，【40,45）岁中有4人，【45,50）岁中有2人.所以选取的2名领队中恰有1人年龄在【40,45）岁的概率为-……12分21.（本小趣满分W分）解；（I ｝山应曲=2碍+3&一3＞卽得 J=3（% +气-）即％+叫=3 （當数｝（fj＞2）叫•卜％I战数列｛化+ £是1'人《=3为打项*金比为工前零比数列L （I, iH I 1 ｝社扛口+叫"=:r:ri=3" 1丈叫+产2% + 3叫7缶＞2H3 %厂3叫二一他-3%）即他二色L二_]｛常数）（叶＞2）% -加,1故数刈｛%厂九」融rm?-弟二-1为『「顼*公比为7的薯比敌列* 远=（一1）”2：和空啊二——（-ly4 4121.解：(1) - f(X),直线l是函数f (X) =1 nx的图象在点(1, 0)处的切线。
X/.其斜率为k = f '(1) = 1,二直线I的方程为y = X -1・又因为直线I与g(X)的图象相切，|y=x-1 1 9/. { 1 27= —x2+(m-1)x + -=0,-X2+mx + 7 2 2I 2 2得A=(m-1)2-9 = 0= m =-2(m =4 不题意,舍去)：17(2)由(1)知g(x) = —X2-2x+—,2 2/. h(x) = f(x +1) —kg'(x) =ln(x +1) —kx + 2k(x > -1), h(x) _k J-kx-k^〉-X +1[来源:学科网ZXXK]1).X +1 [来源:学科网ZXXK]。