高等数学函数的单调性和凹凸性模板

函数的单调性与 曲线的凹凸性
主要内容：
一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸与拐点
一、 函数单调性的判定法
对于I上 区任 间意 x1x 两 2,恒 点 f有 (x1)f(x2), 则f称 (x)在区 I上 间 是单.调增加的
对于I上 区任 间意 x1x 两 2,恒 点 f有 (x1)f(x2), 则f称 (x)在区 I上 间 是单.调减少的
(1) 在 I 内f(x)0,则 f ( x)在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 f(x)0,则 f ( x)在 I 内图形是凸的 .
证: 只证(2) x1,x2I, 且x1x2,
x0
由定义只须证：f(x1 2x2)f(x1) 2f(x2)
f + 不 存 在 - 0 +
f
连 续
连 续
f在 ( , 0上 ] 单调[增 02,]上 ；单 在调[2减 , ； )
5
5
上单调增。
5/21
注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明 一些不等式。 例4 当 x0 时 ,试x 证 ln 1x ()成 . 立
证 设 f(x )x ln 1 x (), f(x)在 [0,)上连在 续 (0, 、 )上可导
从导数的几何意义考察函数的单调性：
y
y
y f(x)
f (x) 0
oa
bx
90, 单调上升
y f(x) f(x)0
oa
b
x
90, 单调下降
y
yf(x) B
A
oa
bx
f(x)0
严格单调
yA yf(x)
B
oa
bx
f(x)0
定理1 如果 f(x)在[a,b]上连续(， a,b)在 内可,导 若在 (a,b)内 (1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上单调;增加 (2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上单调.减少
y
y
o x1 x1 x2 x2 x
2
o x1 x1 x2 x2 x
2
曲线凹凸的判定
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
f(x)递增y 0
oa
bx
f(x)递减y 0
定理2 如果f(x)在[a,b]上连,续 在(a,b)内具有
二阶导,数 若在(a,b)内
(1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是;凹的
把函数的定义域区间分成若干个区间， 并确定导函数在各个区间内的符号， 从而确定函数在每个区间内的单调性。
例 3 确定 f(x 函 )2x数 39x21x 23的单.调
解: f(x)6x21x812 6 (x 1 )x ( 2 )
令 f(x)0,得 x1,x2
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2,) f (x) 0 0
f (x)
2
1
y
故
f
(x)
的单调增区间为
(,1),(2,);
2 1
f (x)的单调减区间为(1, 2).
o 12x
练习 确定 f(x)(x1)3 x2 的单调.区间
解 Df ( , ).
f(x)5x2 的零点2为 ，不存在的点0为 。
33 x
5
将f的符号与 f 的单调性列表如下：
x (- ,0) 0 (0,2/5) 2/5 (2/5,+ )
(2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是.凸的
17
定理2.(凹凸判定法) 设函数 f ( x)在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内f(x)0,则 f ( x)在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 f(x)0ห้องสมุดไป่ตู้则 f ( x)在 I 内图形是凸的 .
证: 只证(2) x1,x2I, 且x1x2,
所函 以数 (在 ,0]内单调 ; 递减
当 0x时 , f(x)0,
所函 以数 [0,在 )内单调 ; 递增
注意:函数的单调性是一个区间上的性质, 要用 导数在这一区间上的符号来判定, 而不能用
一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.
例2. 确定函f数 (x)3 x2 的单调区 . 间
解: 函数的定D义 :(域 ,),
2
2
f(x)xcoxx2ssixncxo2xs(xtanx)0
因此f(x)在0,2内单调递 , 减
因此 从而
f(x)f()0
sxixn2,2x(0,2]
tanx x
1
二、曲线的凹凸与拐点
C
B
D
A
E
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向?
y
yf(x)
y yf(x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位于
注意: (1)定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结
论仍然成立； (2)区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性.
例如, y x3, yx00, 但在(,)上严格单调增 . 加
例1. 讨论y函 ex 数 x1的单. 调性
解 函数的定 D:( 义 ,域 ),又yex1, 令 f(x)0,得 x0把 ( ,)分成两个区间 当 x0时 , f(x)0, (,0],[0,)
由定义只须证：f(x1x2)f(x1)f(x2) x0
2
2
只须证：f(x 1 2x 2)f(x 1 2x 2)f(x 1 )f(x 2) 只须证：f(x 1 2x 2)f(x 1 )f(x 2)f(x 1 2x 2)
只须证： f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 0 )
定理2.(凹凸判定法) 设函数 f ( x)在区间I 上有二阶导数
f(x) x 0, 1x
f(x)在[0,)上单调增 又 ；f(0)0,
当x 0时，f(x ) x ln 1 x () 0 ,
即 xln 1 (x).
练习. 证明 0 x
2
时,
成立不等式
sin x x
2
.
则证f(:x)令在(f0(,x)]上 sixnx连 ,2在 续 , (0,)上可， 导且
所张弦的下方。
o x1
x2 x
图形上任意弧段位于 所张弦的上方。
定义1 设函数 f (x) 在区间 I 上连续 ,x1,x2I,
(1) 若恒有 f(x1x2)f(x1)f(x2),则称 f (x)的
2
2
图形是凹的;
(2) 若恒有 f(x1x2)f(x1)f(x2),则称 f (x)的
2
2
图形是凸的 .
y 2 33 x
y在x0点不可导
当x0时 , f(x)0,
y y 3 x2
o
x
所以函数单调递减;
当 0x 时, f(x)0,
所以函数单调递增; 说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.
总结求单调区间的步骤
1．写出函数的定义域，并求出函数的导数 2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点) 3．以导数等于零的点、不可导点为分点，