高等数学函数的单调性和凹凸性模板
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3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
10
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
高数第三章第四次函数单调性凹凸性
b
o a
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设y f ( x )在 [a , b] 上连续，在(a , b)内可导.
（1） 若在(a , b)内f ( x ) 0， f ( x ) 在 [a , b] 上单调增加； ( 2)若在 (a , b)内 f ( x ) 0， f ( x ) 在 [a , b] 上单调减少 .
三、曲线凹凸的判定
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理2 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
一阶和二阶导数, 若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的.
1 (x ) x4 x4 4 (x ) 4! 8 12 x4 1 lim lim x 0 x 0 x4 1 ( x2 ) 6 2 2 x (x ) 2 2 x2
4
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
）
f ( x ) 0
三、曲线凹凸的判定
例5 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 解： y 3 x 2 , y 6x , 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的；
o a
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设y f ( x )在 [a , b] 上连续，在(a , b)内可导.
（1） 若在(a , b)内f ( x ) 0， f ( x ) 在 [a , b] 上单调增加； ( 2)若在 (a , b)内 f ( x ) 0， f ( x ) 在 [a , b] 上单调减少 .
三、曲线凹凸的判定
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理2 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
一阶和二阶导数, 若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的.
1 (x ) x4 x4 4 (x ) 4! 8 12 x4 1 lim lim x 0 x 0 x4 1 ( x2 ) 6 2 2 x (x ) 2 2 x2
4
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
）
f ( x ) 0
三、曲线凹凸的判定
例5 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 解： y 3 x 2 , y 6x , 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的；
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法定理1 设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导．（1）如果在(),a b 内()0f x '≥，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 上单调增加；（2）如果在(),a b 内()0f x '≤，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 单调减少．例1 判定函数sin y x x =-在[],ππ-上的单调性． 解 因为函数sin y x x =-在[],ππ-上连续，当x ∈(),ππ-时， 1cos 0y x '=-≥，且等号仅在0x =处成立，所以函数sin y x x =-在[],ππ-上单调增加． 例2 讨论函数1x y e x =--的单调性．解 函数1x y e x =--的定义域为(),-∞+∞， 1.x y e '=- 因为在(),0-∞内0y '<，在()0,+∞内0y '>，所以1x y e x =--在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．例3 讨论函数y解 的定义域为(),-∞+∞．当0x ≠时，y '=而函数在0x =处不可导．在(),0-∞内，0y '<，在()0,+∞内0y '>，因此函数y =在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．该函数的图象如下图所示．例4 确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间．解 该函数的定义域为(),-∞+∞．()()()261812611.f x x x x x '=-+=--方程()0f x '=的全部根为121, 2.x x ==这两个根把区间(),-∞+∞分为三个部分区间：(][][),1,1,2,2,.-∞+∞在区间(),1-∞内()0f x '>，函数()f x 在(],1-∞单调增加．在区间()1,2内，()0f x '<，函数()f x 在区间[]1,2单调减少．在区间()2,+∞内()0f x '>，函数()f x 在区间[)2,+∞单调增加．例5 证明：当1x >时，13.x-证 令()13f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()22111.f x x x '== ()f x 在[)1,+∞上连续，在()1,+∞内()0f x '>，因此在[)1,+∞上函数()f x 单调增加，于是当1x >时，()()10f x f >=，即130,x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 13.x- 二、曲线的凹凸性与拐点定义 设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x ，恒有()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭那么称()f x 在I 上的图形是凹的；如果恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 那么称()f x 在I 上是凸的．定理2 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(),a b 内()0f x ''>，则()f x 在[],a b 上的图形是凹的；（2）若在(),a b 内()0f x ''<，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的． 例6 判定曲线ln y x =的凹凸性．解 因为211,y y x x'''==-，所以函数ln y x =在定义域()0,+∞内，0y ''<，故曲线ln y x =是凸的．例7 判定曲线3y x =的凹凸性．解 因为23,6.y x y x '''==当0x <时，0y ''<，所以曲线在(],0-∞是凸的；当0x >时，0y ''>，曲线在[)0,+∞是凹的．例8 求曲线32231214y x x x =+-+的拐点．解 216612,126122y x x y x x ⎛⎫'''=+-=+=+ ⎪⎝⎭． 解方程0y ''=，得1.2x =-当12x <-时，0y ''<；当12x >-时，0y ''>．因此点11,2022⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点．例9 求曲线43341y x x =-+的拐点及凸凹区间． 解 函数43341y x x =-+的定义域为(),-∞+∞．321212,y x x '=-22362436.3y x x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭ 解方程0y ''=，得1220,.3x x == 在(),0-∞内，0y ''>，曲线在区间(),0-∞凹的．在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0y ''<，曲线在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦是凸的．在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，0y ''>，曲线在区间2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是凹的． 当0x =时，1y =．当23x =时，11.27y = 点()0,1和211,327⎛⎫ ⎪⎝⎭是这曲线的两个拐点． 习题3-41.判定函数()arctan f x x x =-的单调性．解 ()22211011x f x x x '=-=-≤++且仅在0x =时成立．因此函数()arctan f x x x =-在(),-∞+∞内单调减少．2.判定函数()cos f x x x =+的单调性．解 ()1sin 0f x x '=-≥，且当()20,1,2,2x n n ππ=+=±± 时，()0f x '=．因此函数()cos f x x x =+在(),-∞+∞内单调增加．3.确定下列函数的单调区间：（1）3226187y x x x =---；解 函数的定义域为(),-∞+∞，在(),-∞+∞内可导，且 ()()261218631.y x x x x '=--=-+令0y '=，得驻点121, 3.x x =-=当时1x <- 时，0y '>，函数在(],1-∞-单调增加； 当13x -<<时，0y '<，函数在[]1,3-单调减少； 当3x >时，0y '>，函数在()3,+∞单调增加．（2）()820y x x x=+>；解 函数的定义域为()0,+∞，在()0,+∞内可导，且()()22222228282.x x x y x x x -+-'=-== 令0y '=，得驻点12x =-（舍去），22x = 当02x <<时，0y '<，函数在(]0,2单调减少；当2x >时，0y '>，函数在[)2,+∞单调增加．。
高数第五版3-4函数单调性与曲线的凹凸性
x
2 3
,
y
4
x
5 3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
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四、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
又f ''(x0 )=0,则f ''(x )=f '(f '(x))在x0两边变号,因此 f '(x)在x0取得极值,故 f ''(x0 )=0
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又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点, 则 f ( x) [ f ( x)]在x0两边变号, f ( x)在x0取得极值由 , 可导函数取得极值的条件, f ( x) 0.
利用泰勒公式]
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练习题一答案
一、1、(,1],[3,)单调增加,[1,3] 单调减少； 2、增加,(,1],[1,) 3、(,1],[1,) ；[1,0),(0,1];(,1],(0,1].
二、1、在(,0),(0, 1],[1,) 内单调减少, 2
1 x2 ；
四、方程 ln x ax (a 0)有几个实根.
五、设 f ( x)在[a, b ]上连续，在(a, b )内 f ( x) ,试证
明：对于[a, b ]上任意两x1 ，x2 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) [提示：方法（1）
2 3
,
y
4
x
5 3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
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四、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
又f ''(x0 )=0,则f ''(x )=f '(f '(x))在x0两边变号,因此 f '(x)在x0取得极值,故 f ''(x0 )=0
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又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点, 则 f ( x) [ f ( x)]在x0两边变号, f ( x)在x0取得极值由 , 可导函数取得极值的条件, f ( x) 0.
利用泰勒公式]
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练习题一答案
一、1、(,1],[3,)单调增加,[1,3] 单调减少； 2、增加,(,1],[1,) 3、(,1],[1,) ；[1,0),(0,1];(,1],(0,1].
二、1、在(,0),(0, 1],[1,) 内单调减少, 2
1 x2 ；
四、方程 ln x ax (a 0)有几个实根.
五、设 f ( x)在[a, b ]上连续，在(a, b )内 f ( x) ,试证
明：对于[a, b ]上任意两x1 ，x2 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) [提示：方法（1）
函数的单调性与曲线的凹凸性
例如,
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
例2. 证明 证: 令
时, 成立不等式
且
证
从而
因此
证明
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .
则称
则称
的凹凸区间及拐点.
2) 求拐点可疑点坐标
令
得
3) 列表判别
对应
凹
故该曲线在
及
向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及
凸
凹
上向上凹, 均为拐点.
内容小结
1. 可导函数单调性判别
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
思考与练习
1. 设在 或
拐点
定理2.(凹凸判定法)设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
两式相加
说明 (1) 成立; (2) 证毕
例3. 判断曲线 解:
的凹凸性.
故曲线
在
上是向上凹的.
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但
在 两侧异号, 则点
是曲线
的一个拐点.
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
例2. 证明 证: 令
时, 成立不等式
且
证
从而
因此
证明
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .
则称
则称
的凹凸区间及拐点.
2) 求拐点可疑点坐标
令
得
3) 列表判别
对应
凹
故该曲线在
及
向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及
凸
凹
上向上凹, 均为拐点.
内容小结
1. 可导函数单调性判别
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
思考与练习
1. 设在 或
拐点
定理2.(凹凸判定法)设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
两式相加
说明 (1) 成立; (2) 证毕
例3. 判断曲线 解:
的凹凸性.
故曲线
在
上是向上凹的.
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但
在 两侧异号, 则点
是曲线
的一个拐点.
函数的单调性与曲线的凹凸性
f [ x1 (1 )) x2 ] f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ),
则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的， 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
x2
的凹凸性．
（详细解答过程可参见课本 P108）
例 3.4.8 判别曲线 y x3 的凹凸性． （详细解答过程可参见课本 P109）
3、拐点的定义
在例 3.4.8 中，点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点， 称为曲线的拐点．
一般地，连续曲线 y f ( x) 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点．
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
x
( , 1)
1
0
(1, 1)
1
(1, )
y
y
0
凸的
凹的
拐点
拐点
凹的
曲线 y e
x2 2
: 在 ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 .
当 x 0 时， f ( x) 0 ， (,0] 上单调减少；
当 0 x 时， f ( x) 0 ， [0, ] 上单调增加；
[0, ). 单调区间为( ,0]，
注意：学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例 3.4.4 确定函数 f ( x) (2x 5) x
2、曲线凹凸性的判定
定理 3.4.3 设 f ( x) 在区间 I 上具有二阶导数 . （1）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凹的； （2）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凸的．
则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的， 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
x2
的凹凸性．
（详细解答过程可参见课本 P108）
例 3.4.8 判别曲线 y x3 的凹凸性． （详细解答过程可参见课本 P109）
3、拐点的定义
在例 3.4.8 中，点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点， 称为曲线的拐点．
一般地，连续曲线 y f ( x) 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点．
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
x
( , 1)
1
0
(1, 1)
1
(1, )
y
y
0
凸的
凹的
拐点
拐点
凹的
曲线 y e
x2 2
: 在 ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 .
当 x 0 时， f ( x) 0 ， (,0] 上单调减少；
当 0 x 时， f ( x) 0 ， [0, ] 上单调增加；
[0, ). 单调区间为( ,0]，
注意：学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例 3.4.4 确定函数 f ( x) (2x 5) x
2、曲线凹凸性的判定
定理 3.4.3 设 f ( x) 在区间 I 上具有二阶导数 . （1）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凹的； （2）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凸的．
4.4 函数的单调性与凹凸性
由定义 4.2, 对任何 x1, x2 (, ),
任何正数 q1, q2 , q1 q2 1
有
eq1x1q2x2 q1e x1 q2e x2
(4 18)
因此对任何 x, y (0, ), p 0, q 0, p q 1,
取
x1
ln x p
,
x2
ln y q
,
q1 p,
q2 q
当x 0时, g( x) cos x x sin x cos x x sin x 0 则g( x)在[0, x]上严格单减， g( x) g(0) x cos x sin x 0
自证：证明f ( x)在[0,a]上二阶可导,且f (0) 0, f ( x) 0 则g( x) f ( x)在[0,a]内严格增加. x
例. 求曲线 y 3 x 的拐点.
解 当x 0时,
y
1 3
2
x 3,
y
2 9
5
x 3,
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是下凸的;
在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是上凸的.
0是 y 3 x的拐点.
这里f ( x)不存在的点为拐点。 拐点可能的点：f ( x) 0及f ( x)不存在的点
证明 即证g( x) 0 ( x [0,a]) g( x) xf ( x) f ( x) 下证xf ( x) f ( x) 0 x2 设h( x) xf ( x) f ( x) 且h(0) f (0) 0
h( x) f ( x) xf ( x) f ( x) xf ( x) 0( x 0)
f ( x)在[ x1, x2 ]上满足拉氏定理，故
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ), x1 x2 由于 f ( x) 0, x (a,b), 因此 f ( ) 0, 从而
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
函数的单调性极值及凹凸性拐点
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
2、曲线的拐点及其求法
2．单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点． 方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
极大值 f ( 1) 10,
极小值 f ( 3) 22.
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
定理3(第二充分条件)设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 '' f (1)当 ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; '' (2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
高等数学3-4单调性+凹凸性
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2
则称 f ( x ) 在区间 I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧) 凸 凸
曲线凹凸的判定
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
y 0 f ( x )
y 0 f ( x )
2 2
又 lim f ( x ) , lim f ( x ) ,
x x
由连续函数的零点定理 知，f ( x ) 0有实根.
则方程x 2ax 3bx 4c 0有唯一的实根 .
5 3
* 证明
x tan x 0
令 ( x ) x tan x , 则
sin x x cos x sin x cos x( x tan x ) ( x ) f 0 x 2 2 x x
sin x 所以 f ( x ) ， 从而有， x
sin x sin t lim 1. 当 0 x 时， t 0 x t 2
2
利用单调性来证明不等 式
例5.设b a e, 证明：a b .
b a
ln a ln b 证 只要证明b ln a a ln b即可，即 a b .
ln x 设f ( x ) , x (e ,) x 1 ln x f ( x ) 0, x e , x
( 1)( n 1)
n!
x n o( x n )
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (2) 利用多项式逼近函数 (3) 其他应用
则称 f ( x ) 在区间 I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧) 凸 凸
曲线凹凸的判定
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
y 0 f ( x )
y 0 f ( x )
2 2
又 lim f ( x ) , lim f ( x ) ,
x x
由连续函数的零点定理 知，f ( x ) 0有实根.
则方程x 2ax 3bx 4c 0有唯一的实根 .
5 3
* 证明
x tan x 0
令 ( x ) x tan x , 则
sin x x cos x sin x cos x( x tan x ) ( x ) f 0 x 2 2 x x
sin x 所以 f ( x ) ， 从而有， x
sin x sin t lim 1. 当 0 x 时， t 0 x t 2
2
利用单调性来证明不等 式
例5.设b a e, 证明：a b .
b a
ln a ln b 证 只要证明b ln a a ln b即可，即 a b .
ln x 设f ( x ) , x (e ,) x 1 ln x f ( x ) 0, x e , x
( 1)( n 1)
n!
x n o( x n )
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (2) 利用多项式逼近函数 (3) 其他应用
函数单调性和凹凸性-PPT文档资料
第四节 函数单调性与凹凸性
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一、函数的单调性
定理1 设 f ( x ) 在区间 I上连续, 在区间 I内可导.
)0 , 则 f ( x ) 在区间 I 上单调增加. (1) 若在 I 内 f'(x (2) 若在 I 内 f'(x )0 , 则 f ( x ) 在区间 I 上单调减少.
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o ax1
定义 设 f ( x ) 在区间 I 上连续. 如果对于任意两点 x ,x I 都有 1 2
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 f ( ) 2 2
()
则称函数 f ( x ) 在区间 I 上 ( 的图形 )是凹的. (凸)
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例3
证明:
当 x (0, ) 时, 2
有 tan x x
分析: 即证
tan x x 0
令 f ( x ) tan x x 即
f( x )f( 0 )
所以,只需证:
f(x ) 在 [ 0 , ) 上是单调增加的 ,即可 . 2
2
即
即
tan x x0
tan x x
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二. 函数的凹凸性与拐点 先看两条曲线: 它们有何不同？ 弯曲的方向不同
向上弯 （凹的）
向性
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y
3 2 例2 讨论函数 f 的单调性 ( x ) x 3 x 9 x 5
解 定义域: ( , )
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一、函数的单调性
定理1 设 f ( x ) 在区间 I上连续, 在区间 I内可导.
)0 , 则 f ( x ) 在区间 I 上单调增加. (1) 若在 I 内 f'(x (2) 若在 I 内 f'(x )0 , 则 f ( x ) 在区间 I 上单调减少.
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o ax1
定义 设 f ( x ) 在区间 I 上连续. 如果对于任意两点 x ,x I 都有 1 2
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 f ( ) 2 2
()
则称函数 f ( x ) 在区间 I 上 ( 的图形 )是凹的. (凸)
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例3
证明:
当 x (0, ) 时, 2
有 tan x x
分析: 即证
tan x x 0
令 f ( x ) tan x x 即
f( x )f( 0 )
所以,只需证:
f(x ) 在 [ 0 , ) 上是单调增加的 ,即可 . 2
2
即
即
tan x x0
tan x x
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二. 函数的凹凸性与拐点 先看两条曲线: 它们有何不同？ 弯曲的方向不同
向上弯 （凹的）
向性
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y
3 2 例2 讨论函数 f 的单调性 ( x ) x 3 x 9 x 5
解 定义域: ( , )
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点
4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.
高等数学函数的单调性和凹凸性
)
均为拐点
.
27
例8 讨论 y ? ( x的? 1凹)3 凸x 2性及拐点 .
y
解： y??
5
2
x3
?
2
?1
x 3,
3
3
· ? 1 5
o
2
5
1
x
y???
10
?1
x3
?
2
?
x
4
3
?
9
9
2(5 x ? 1)
4
,
9x 3
令y??? 0解得
x
?
?
1 ;
当x
?
0时 ,
y?不? 存在 .
现列表如下：
5
x
( ??
2
x1 ? ?1 ? x0
x0 ? ? 2 ? x2
这说明
在 I 内单调递减 . f ?(?1 ) ? f ?(?2 )
20
例 5 判断曲线 y ? ln x 的凹凸性 .
解 函数y ? ln x的定义域为(0, ? ? )
y???
?
1
x2
.
y?? 1 , x
在定义域内y??? 0,
故曲线y ? x4 在(0 , ? ? )上是凸的 .
y
y? f (x)
y
y ? f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位于
所张弦的下方。
o x1
x2 x
图形上任意弧段位于
所张弦的上方。
16
定义 1 设函数
在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
图形是 凹的 ; (2) 若恒有
图形是 凸的 .
函数的单调性与曲线的凹凸性
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
证
x1,x2I,
记
x
0
x1x2 2
,利用一阶泰勒公式将
f ( x ) 在点 x 0 展开 f(x ) f(x 0 ) f(x 0 )(x x 0 ) f2 (!)(x x 0 )2
分别取 x x1, x2 可得
由拉格朗日中值定理得
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) x 2 ( x 1 ) 0
(x1,x2)I
故 f(x 1)f(x2).这说明 f (x) 在 I 内单调递增.
类似地可以证明 f (x) 0 的情形.
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
y1
6 3 25
5,
y2
0
令 y 0 得 x1
1 5
,
且x2
0
为二阶不可导的点.
3) 列表判别
x (,1/5) 1 / 5 (1/5, 0) 0
y
0
(0, )
y
凸
6 35 25
凹
0
凹
故该曲线在 (,1/5) 上是凸的, 在(1/5,)上是凹的 ,
点
(
1 5
,
6 25
3
5)
为拐点,
而
(
0
,
0
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
说明：
1）如上例，函数在定义区间上不是单调的，但 在各个部分区间上单调．
2）若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
函数的单调性和曲线的凹凸性
故在(0, +)上 f (x)单增.
例4. 证明不等式 ex – (1+x) > 1– cosx, (x > 0)
证明思路: 用两次单调性
证: 设 F(x) = ex – (1+x) – (1– cosx)
= ex –x +cosx –2
则 F(0)=0. 要证F(x) > 0 (x > 0)
故曲线在(0, +)上是凹的.
即有 f (tx +(1– t) y) < t f (x) + (1– t) f (y) 即
定义2. 设f (x)C(U(x0)), 若曲线 y = f (x)在点 (x0, f (x0))的左右两侧凹凸性相反, 则称点(x0, f (x0))为该曲线的拐点.
= t f (x1)+(1– t) f (x2)
= t x1+(1– t) x2 x = x2+(x1– x2)t
弦上对应点的纵坐标B: y2+(y1– y2)t = t y1+(1– t)y2
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
故得如下定义.
定义1. 设 f (x)在[a, b]上有定义,x1, x2[a, b](x1x2) 和t(0, 1), 若有
凹凸性标志着图形弯曲的方向.
如图(a), (b)
y=f (x)
o
y
x
x1
x2
A
B
(x1, y1)
(x2, y2)
x
x
o
y
x1
x2
A
B
y=f (x)
(x2, y2)
(x1, y1)
高等数学函数的单调性和凹凸性模板
f ( x ) 在 [0, ) 上 连 续 、 在 (0, ) 上 可 导 且 x f ( x ) 0, 1 x 又 f (0) 0 , f ( x ) 在 [0, ) 上单调增；
1 x ) 0, 当 x 0 时， f ( x ) x ln(
A
E
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向?
y y
y f ( x)
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位于 所张弦的下方。
图形上任意弧段位于 所张弦的上方。
定义1
设函数
在区间 I 上连续 , 则称
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形是凸的 .
则称
y
y
证 f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
f ( x )在x0取得极值,
f ( x ) 0.
由费马引理知 ,
注意:
(1) 满足 f ( x0 ) 0的点( x0 , f ( x0 )) 不一定是 连续曲线y f ( x ) 的拐点 .
所以函数单调递减 ;
o
x
当0 x 时, f ( x ) 0,
所以函数单调递增 ;
说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.
总结求单调区间的步骤
1．写出函数的定义域，并求出函数的导数
2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点)
3．以导数等于零的点、不可导点为分点， 把函数的定义域区间分成若干个区间， 并确定导函数在各个区间内的符号， 从而确定函数在每个区间内的单调性。
1 x ) 0, 当 x 0 时， f ( x ) x ln(
A
E
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向?
y y
y f ( x)
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位于 所张弦的下方。
图形上任意弧段位于 所张弦的上方。
定义1
设函数
在区间 I 上连续 , 则称
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形是凸的 .
则称
y
y
证 f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
f ( x )在x0取得极值,
f ( x ) 0.
由费马引理知 ,
注意:
(1) 满足 f ( x0 ) 0的点( x0 , f ( x0 )) 不一定是 连续曲线y f ( x ) 的拐点 .
所以函数单调递减 ;
o
x
当0 x 时, f ( x ) 0,
所以函数单调递增 ;
说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.
总结求单调区间的步骤
1．写出函数的定义域，并求出函数的导数
2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点)
3．以导数等于零的点、不可导点为分点， 把函数的定义域区间分成若干个区间， 并确定导函数在各个区间内的符号， 从而确定函数在每个区间内的单调性。
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y
y
o x1 x1 x2 x2 x
2
o x1 x1 x2 x2 x
2
曲线凹凸的判定
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
f(x)递增y 0
oa
bx
f(x)递减y 0
定理2 如果f(x)在[a,b]上连,续 在(a,b)内具有
二阶导,数 若在(a,b)内
(1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是;凹的
f (x)
2
1
y
故
f
(x)
的单调增区间为
(,1),(2,);
2 1
f (x)的单调减区间为(1, 2).
o 12x
练习 确定 f(x)(x1)3 x2 的单调.区间
解 Df ( , ).
f(x)5x2 的零点2为 ，不存在的点0为 。
33 x
5
将f的符号与 f 的单调性列表如下：
x (- ,0) 0 (0,2/5) 2/5 (2/5,+ )
2
2
f(x)xcoxx2ssixncxo2xs(xtanx)0
因此f(x)在0,2内单调递 , 减
因此 从而
f(x)f()0
sx
1
二、曲线的凹凸与拐点
C
B
D
A
E
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向?
y
yf(x)
y yf(x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位于
(1) 在 I 内f(x)0,则 f ( x)在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 f(x)0,则 f ( x)在 I 内图形是凸的 .
证: 只证(2) x1,x2I, 且x1x2,
x0
由定义只须证：f(x1 2x2)f(x1) 2f(x2)
注意: (1)定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结
论仍然成立； (2)区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性.
例如, y x3, yx00, 但在(,)上严格单调增 . 加
例1. 讨论y函 ex 数 x1的单. 调性
解 函数的定 D:( 义 ,域 ),又yex1, 令 f(x)0,得 x0把 ( ,)分成两个区间 当 x0时 , f(x)0, (,0],[0,)
y 2 33 x
y在x0点不可导
当x0时 , f(x)0,
y y 3 x2
o
x
所以函数单调递减;
当 0x 时, f(x)0,
所以函数单调递增; 说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.
总结求单调区间的步骤
1．写出函数的定义域，并求出函数的导数 2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点) 3．以导数等于零的点、不可导点为分点，
(2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是.凸的
17
定理2.(凹凸判定法) 设函数 f ( x)在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内f(x)0,则 f ( x)在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 f(x)0,则 f ( x)在 I 内图形是凸的 .
证: 只证(2) x1,x2I, 且x1x2,
由定义只须证：f(x1x2)f(x1)f(x2) x0
2
2
只须证：f(x 1 2x 2)f(x 1 2x 2)f(x 1 )f(x 2) 只须证：f(x 1 2x 2)f(x 1 )f(x 2)f(x 1 2x 2)
只须证： f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 0 )
定理2.(凹凸判定法) 设函数 f ( x)在区间I 上有二阶导数
所函 以数 (在 ,0]内单调 ; 递减
当 0x时 , f(x)0,
所函 以数 [0,在 )内单调 ; 递增
注意:函数的单调性是一个区间上的性质, 要用 导数在这一区间上的符号来判定, 而不能用
一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.
例2. 确定函f数 (x)3 x2 的单调区 . 间
解: 函数的定D义 :(域 ,),
从导数的几何意义考察函数的单调性：
y
y
y f(x)
f (x) 0
oa
bx
90, 单调上升
y f(x) f(x)0
oa
b
x
90, 单调下降
y
yf(x) B
A
oa
bx
f(x)0
严格单调
yA yf(x)
B
oa
bx
f(x)0
定理1 如果 f(x)在[a,b]上连续(， a,b)在 内可,导 若在 (a,b)内 (1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上单调;增加 (2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上单调.减少
f(x) x 0, 1x
f(x)在[0,)上单调增 又 ；f(0)0,
当x 0时，f(x ) x ln 1 x () 0 ,
即 xln 1 (x).
练习. 证明 0 x
2
时,
成立不等式
sin x x
2
.
则证f(:x)令在(f0(,x)]上 sixnx连 ,2在 续 , (0,)上可， 导且
所张弦的下方。
o x1
x2 x
图形上任意弧段位于 所张弦的上方。
定义1 设函数 f (x) 在区间 I 上连续 ,x1,x2I,
(1) 若恒有 f(x1x2)f(x1)f(x2),则称 f (x)的
2
2
图形是凹的;
(2) 若恒有 f(x1x2)f(x1)f(x2),则称 f (x)的
2
2
图形是凸的 .
把函数的定义域区间分成若干个区间， 并确定导函数在各个区间内的符号， 从而确定函数在每个区间内的单调性。
例 3 确定 f(x 函 )2x数 39x21x 23的单.调
解: f(x)6x21x812 6 (x 1 )x ( 2 )
令 f(x)0,得 x1,x2
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2,) f (x) 0 0
f + 不 存 在 - 0 +
f
连 续
连 续
f在 ( , 0上 ] 单调[增 02,]上 ；单 在调[2减 , ； )
5
5
上单调增。
5/21
注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明 一些不等式。 例4 当 x0 时 ,试x 证 ln 1x ()成 . 立
证 设 f(x )x ln 1 x (), f(x)在 [0,)上连在 续 (0, 、 )上可导
函数的单调性与 曲线的凹凸性
主要内容：
一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸与拐点
一、 函数单调性的判定法
对于I上 区任 间意 x1x 两 2,恒 点 f有 (x1)f(x2), 则f称 (x)在区 I上 间 是单.调增加的
对于I上 区任 间意 x1x 两 2,恒 点 f有 (x1)f(x2), 则f称 (x)在区 I上 间 是单.调减少的