2019秋金版学案数学选修2-3(人教A版)练习：章末评估验收(三)含解析
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：第三章3.1第1课时线性回归模型 含解析
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
(1)求 ， ；
(2)已知纯利y与每天销售件数x线性相关，试求出其回归方程．
解：(1) ＝ ＝6，
＝ ＝ .
(2)因为y与x有线性相关关系，
＝ －6×4.75＝ ≈51.36.
故回归方程为 ＝4.75x＋51.36.
B级 能力提升
1．某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如下表：
解析：因为b＞0时，两变量正相关，此时r＞0；b＜0时，两变量负相关，此时r＜0.
答案：A
3．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其回归直线方程是 ＝ x＋ ，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数 的值是()
A. B. C. D.
考试次数的平均数为x＝ (1＋2＋3＋4)＝2.5，
所减分数的平均数为y＝ (4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，
即直线应该过点(2.5，3.5)，代入验证可知直线y＝－0.7x＋5.25成立，故选D.
答案：D
2．已知x，y的取值如下表所示：若y与x线性相关，且 ＝0.95x＋ ，则 ＝________．
A．11.4万元B．11.8万元
C．12.0万元D．12.2万元
解析：由已知得 ＝ ＝10(万元)，
＝ ＝8(万元)，
故 ＝8－0.76×10＝0.4.
所以回归直线方程为 ＝0.76x＋0.4，社区一户年收入为15万元家庭年支出为 ＝0.76x＋0.4，社区一户年收入为15万元家庭支出为 ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：章末评估验收(三) Word版含解析
章末评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．下列关于K2的说法正确的是( )A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B．K2的值越大，两个事件的相关性就越大C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的，只对于两个分类变量适合D．K2的观测值k的计算公式为k＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解析：K2是用来判断两个分类变量是否有关的，故A错；K2的值越大，只能说明有更大地把握认为二者有关系，却不能判断相关性的大小，B错；D中(ad－bc)应为(ad－bc)2.答案：C2．如图所示的等高条形图可以说明的问题是( )A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握解析：由等高条形图知，“心脏搭桥术”和“血管清障”对“诱发心脏病”的影响程度不同，但没有100%的把握．答案：D3．两个变量x与y的回归模型中，分别选择了四个不同模型来拟合y与x之间的关系，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( )模型1234R20.980.800.500.25A.模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4解析：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果越好，所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，模型1拟合效果最好．答案：A4．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是( )A．l1和l2有交点(s，t)B．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)C．l1与l2必定平行D．l1与l2必定重合解析：由回归直线定义知选A.答案：A5．相关变量x ，y 的样本数据如下：x 12345y22356经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程＝1.1x ＋a ，则a ＝( )y ^A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4解析：由题意，＝＝3，x － 1＋2＋3＋4＋55＝＝3.6，y － 2＋2＋3＋5＋65因为回归直线方程＝1.1x ＋a 过样本中心点(，)，y ^x － y － 所以3.6＝1.1×3＋a ，所以a ＝0.3.故选C.答案：C6．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表(单位：人)：分类经常使用偶尔或不用总计30岁及以下703010030岁以上6040100总计13070200根据以上数据，认为A 市使用共享单车情况与年龄有关时犯错误的概率不超过( )A ．0.10B ．0.05C ．0.15D ．0.01参考公式：K 2＝，其中n ＝a ＋n （ad －bc）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）b ＋c ＋d .参考数据：P (K 2≥k 0)0.150.100.050.0250.010k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635解析：由列联表可知，K 2的观测值k ＝≈2.198.200×（70×40－30×60）2100×100×130×70因为2.198>2.072，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关．答案：C7．为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x ＋.已知x iy ^ b ^ a ^＝225， y i ＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身b ^高为( )A ．160B ．163C ．166D ．170解析：＝22.5，＝160，＝160－4×22.5＝70，则回归直线方程—x —y a ^为＝4x ＋70，所以当某学生的脚长为24时，该学生的身高为4×24＋y ^70＝166.答案：C8．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( )A ．总偏差平方和B ．残差平方和C ．回归平方D ．相关指数R 2解析：根据残差平方和的概念知选项B 正确．答案：B9．废品率x %与每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为＝234y ^＋3x ，表明( )A ．废品率每增加1%，生铁成本增加3x 元B ．废品率每增加1%，生铁成本每吨平均增加3元C ．废品率每增加1%，生铁成本增加234元D ．废品率不变，生铁成本为234元解析：回归直线方程表示废品率x %与每吨生铁成本y (元)之间的相关关系．故回归直线方程＝234＋3x 时，废品率每增加1%，生铁y ^成本每吨平均增加3元．答案：B10．在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，根据表中数据判断如下结论中正确的是( )性别说谎不说谎总计男6713女8917总计141630A.在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关B ．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关C ．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关D ．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关解析：由表中数据得k ＝≈0.00230×（6×9－8×7）214×16×13×1742<3.841.因此没有充分证据认为说谎与性别有关，故选D.答案：D11．两个相关变量满足如下关系：x 1015202530y1 003 1 005 1 010 1 011 1 014两变量的回归直线方程为( )A.＝0.56x ＋997.4 B.＝0.63x －231.2y ^y ^C.＝50.2x ＋501.4D.＝60.4x ＋400.7y ^y ^解析：利用公式＝997.4，所以回归直线方程为＝0.56x ＋997.4.y ^答案：A12．两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35.若认为X 与Y 有关系时犯错误的概率不超过0.025，则c 可以等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：列2×2列联表如下：项目x 1x 2总计y 1102131y 2cd35总计10＋c 21＋d66故K 2的观测值k ＝≥5.024.66×[10（35－c ）－21c ]231×35×（10＋c ）（56－c ）将c ＝3，4，5，6代入方程，只有c ＝3适合．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为________．y ^x 3456y2.5m44.5解析：因为根据所给的表格可以求出x ＝＝4.5，y ＝＝，3＋4＋5＋642.5＋m ＋4＋4.5411＋m 4因为这组数据的样本点的中心在线性回归直线上，所以＝0.7×4.5＋0.35，所以m ＝3.11＋m 4答案：314．某高校“统计专业”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到随机变量K 2的观测值k ＝≈4.844>3.841.50×（13×20－10×7）223×27×20×30因此，判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的概率不超过________．解析：根据k >3.841，可判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为主修统计专业与性别有关系．故出错的概率不超过0.05.答案：0.0515．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：温度x / ℃010205070溶解度y66.776.085.0112.3128.0由此得到回归直线的斜率是________．解析：把表中的数据代入公式＝＝0.880 9.b ^答案：0.880 916．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温/℃181310－1杯数24343864由表中数据算得线性回归方程＝x ＋中的≈－2，预测当气温y ^ b ^ a ^ b ^为－5℃时，热茶销售量为________杯．解析：根据表格中的数据可求得＝×(18＋13＋10－1)＝10，＝—x 14—y ×(24＋34＋38＋64)＝40.14所以＝－ ＝40－(－2)×10＝60，a ^ —yb ^ —x 所以＝－2x ＋60，y ^当x ＝－5时，＝－2×(－5)＋60＝70.y ^答案：70三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温/℃181310－1用电量/度24343864由表中数据得线性回归方程＝x ＋中，≈－2，预测当气温为y ^ b ^a ^b ^ －4℃时，用电量为多少．解：由题意得x ＝10，y ＝40，因为回归直线过点(x ，y )，所以40＝－2×10＋.a ^所以＝60，所以＝－2x ＋60.a ^ y ^令x ＝－4，得＝(－2)×(－4)＋60＝68.y ^所以当气温为－4 ℃时，预测用电量为68度．18．(本小题满分12分)某学校高三年级有学生1 000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A 类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B 类同学)，现用分层抽样方法(按A 类、B 类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165 cm 作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：分类身高达标身高不达标总计经常参加体育锻炼40不经常参加体育锻炼15总计100(1)完成上表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K 2的观测值精确到0.001)?解：(1)填写列联表如下：分类身高达标身高不达标总计经常参加体育锻炼403575不经常参加体育锻炼101525总计5050100(2)由列联表中的数据，得K 2的观测值为k ＝≈1.333＜3.841.100×（40×15－35×10）275×25×50×50所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系．19．(本小题满分12分)在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x (单位：分)与物理偏差y (单位：分)之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如表：学生序号12345678数学偏差x /分20151332－5－10－18物理偏差y /分6.5 3.5 3.5 1.50.5－0.5－2.5－3.5(1)已知x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程．(2)若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩．参考数据： x i y i ＝324， x ＝1 256.2i 解：＝＝，—x 20＋15＋13＋3＋2＋（－5）＋（－10）＋（－18）852＝—y 6.5＋3.5＋3.5＋1.5＋0.5＋（－0.5）＋（－2.5）＋（－3.5）8＝，98＝＝＝，b ^324－8×52×981 256－8×(52)214所以＝－ ＝－×＝，a ^ —yb ^ —x 98145212故线性回归方程为＝x ＋.y ^ 1412(2)由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为：ω－90.5.而数学偏差为126－118＝8，则由(1)的结论可得：ω－90.5＝×8＋，1412解得ω＝93，所以，可以预测这位同学的物理成绩为93分．20．(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：分类积极参加不太主动参总计班级工作加班级工作学习积极性高18725学习积极性一般61925总计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关，并说明理由．解：(1)积极参加班级工作的学生有24名，总人数为50名，概率为＝.24501225不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19名，概率为.1950(2)由K 2公式得K 2＝≈11.5.50×（18×19－6×7）225×25×24×26因为K 2＞10.828，所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．21．(本小题满分12分)“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额t (百元)的频率分布直方图如图所示：(1)求网民消费金额t的平均值t和中位数t0.(2)把下表中空格里的数填上，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为网购消费与性别有关．项目男女总计t≥t0t<t030总计45附表：P(K2≥k0)0.150.100.05k0 2.072 2.706 3.841K2的观测值k＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解：(1)以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额t 的平均值t＝2.5×0.2＋7.5×0.3＋12.5×0.2＋17.5×0.15＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝11.5.直方图中第一组，第二组的频率之和为0.04×5＋0.06×5＝0.5.所以t的中位数t0＝10.(2)列出2×2的列联表如下：项目男女总计t ≥t 0252550t <t 0203050总计4555100K 2的观测值k ＝＝≈1.01<2.706，100（25×30－25×20）250×50×45×5510099所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为网购消费与性别有关．22．(本小题满分12分)假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x 15.025.5830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x 为解释变量，y 为预报变量，作出散点图；(2)求y 与x 之间的回归直线方程，对于基本苗数56.7预报其有效穗；(3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R 2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几．解：(1)散点图如下：(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为＝x ＋，y ^ b ^ a ^由已知数据可求得＝30.316，＝43.5，— x —y所以R 2＝1－≈0.830.8.522 5950.18所以解释变量小麦基本苗数对总效应贡献了约83%.残差变量贡献了约1－83%＝17%.。
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：第一章1.2-1.2.2第1课时组合与组合数公式 Word版含解析
第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合第1课时组合与组合数公式[A级 基础巩固]一、选择题1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中属于组合问题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：①与顺序有关，是排列问题；②③均与顺序无关，是组合问题．答案：C2．C＋C的值为( )6979A ．36B ．45C ．120D ．720解析：C ＋C ＝C ＝C ＝＝120.697971031010×9×83×2×1答案：C3．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种解析：从5人中选派2人参加星期六的公益活动有C 种方法，再25从剩下的3人中选派2人参加周日的公益活动有C 种方法，故共有C23·C ＝30(种)．2523答案：C4．(C ＋C )÷A 的值为( )2100971003101A ．6 B. C ．101 D.161101解析：(C ＋C )÷A ＝(C ＋C )÷A ＝C ÷A ＝÷A ＝210097100310121003100310131013101A A3101＝.1A 16答案：B5．C ＋C ＋C ＋…＋C ＝( )22324216A ．C B ．C C ．C D ．C 215316317417解析：原式＝C ＋C ＋C ＋…＋C ＝C ＋C ＋…＋C ＝C ＋C 2232421634242163525＋…＋C ＝…＝C ＋C ＝C .216316216317答案：C二、填空题6．化简：C －C ＋C ＝________．9m 9m ＋18m 解析：C －C ＋C ＝(C ＋C )－C ＝C －C ＝0.9m 9m ＋18m 9m 8m 9m ＋19m ＋19m ＋1答案：07．已知圆上有9个点，每两点连一线段，则所有线段在圆内的交点最多有________个．解析：此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所以交点最多有C ＝126(个)．49答案：1268．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲会议需2人参加，乙、丙会议各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 种方法，对选出的4人具体安排410会议有C C 种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C C 2412410C ＝2 520(种)．2412答案：2 520三、解答题9．解方程3C ＝5A .7x －32x －4解：由排列数和组合数公式，原方程化为＝5·3（x －3）！（x －7）！4！，（x －4）！（x －6）！则＝，即为(x －3)(x －6)＝40.3（x －3）4！5x －6所以x 2－9x －22＝0，解之可得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的解，所以方程的解为x ＝11.10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线．(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C ＝＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线21010×92×1段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A ＝10×9＝90(条)，即以10个点中的2个点为端点的有向线段210共有90条．(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C ＝＝120(个)．31010×9×83×2×1B 级 能力提升1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )A ．120B ．84C ．52D ．48解析：用间接法可求得选法共有C －C ＝52(种)．3834答案：C2．(2018·江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．解析：从5人中选取2人有C ＝10种方法，25恰好选中2名女生有C ＝3种方法，23所以所求事件的概率P ＝＝.C C 310答案：3103．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)至少有1名女运动员；(2)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)法一(直接法) “至少1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246种选法．144624363426416法二(间接法) “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C510种．56所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246种选法．51056(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法．不选女队长49时，必选男队长，共有C种选法．其中不含女运动员的选法有C种，4845所以不选女队长时共有C－C种选法．4845所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191种选494845法．。
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：第三章3.2独立性检验的基本思想及其初步应用 Word版含解析
第三章统计案例3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用A级 基础巩固一、选择题1．下面是2×2列联表：变量y1y2总计x1a2173x222527总计b46100则表中a，b的值分别为( )A．94，96 B．52，50 C．52，54 D．54，52解析：因为a＋21＝73，所以a＝52，又a＋2＝b，所以b＝54.答案：C2．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是( ) A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有解析：这是独立性检验，犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.答案：D3．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取2 019人，计算发现K 2的观测值k ≈6.723，则根据这一数据，市政府断言“市民收入与旅游欲望有关系”犯错误的概率不超过( )A ．0.005B ．0.05C ．0.025D ．0.01解析：因为K 2的观测值k ≈6.723>6.635，所以断言“市民收入与旅游欲望有关系”犯错误的概率不超过0.01.答案：D4．在一次独立性检验中，得出列联表如下：分类A A 总计B 100400500B 90a 90＋a 总计190400＋a590＋a且最后发现，两个分类变量A 和B 没有任何关系，则a 的可能值是( )A ．720B ．360C ．180D ．90参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解析：因为两个分类变量A 和B 没有任何关系，所以k ＝<2.702，代入验证（590＋a ）（100a －90×400）2190×（400＋a ）（90＋a ）×500可知a ＝360满足．5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表：喜好程度男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K 2＝算得，n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）k ＝≈7.8.110×（40×30－20×20）260×50×60×50附表：P (K 2≥k 0)0.0500.0100.001k 03.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：由k ≈7.8及P (K 2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．二、填空题6．下列关于K2的说法中，正确的有________．①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；②若求出K2＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；③独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则做出拒绝H0的推断．解析：对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错误；根据独立性检验的概念和临界值表知②③正确．答案：②③7．某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式，了解读书和健身的人数，得到的数据如表：分类读书健身总计女243155男82634总计325789在犯错误的概率不超过________的前提下认为性别与休闲方式有关系．参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解析：由列联表中的数据，得K2的观测值为k ＝≈3.689>2.706，89×（24×26－31×8）255×34×32×57因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系．答案：0.108. 某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．解析：先作出如下糖尿病患者与遗传列联表(单位：人)：家族糖尿病发病糖尿病不发病总计阳性家族史1693109阴性家族史17240257总计33333366根据列联表中的数据，得到K 2的观测值为k ＝≈6.067＞5.024.故我们有97.5%的把366×（16×240－17×93）2109×257×33×333握认为糖尿病患者与遗传有关系．答案：97.5%三、解答题9．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者 男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)由表中数据，得K 2的观测值为k ＝≈9.967.500×（40×270－30×160）270×430×200×300因为9.967＞6.635，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．10．某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550(或等于550分)为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表：分类优秀非优秀总计一班3513二班1725总计(1)请完成列联表；(2)根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？参考数据：P (K 2≥k 0)0.150.100.050.0250.0100.005k 02.072 2.7063.841 5.024 6.6357.879K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)2×2的列联表如下：分类优秀非优秀总计一班351348二班172542总计523890(2)根据列联表中的数据，得到K 2的观测值k ＝≈9.66>7.879，90×（35×25－13×17）248×42×52×38则说明能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系．B 级 能力提升1．有两个分类变量x ，y ，其2×2列联表如下表．其中a ，15－a 均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“x 与y 之间有关系”，则a 的取值应为( )变量y 1y 2x 1a20－ax 215－a 30＋a A.5或6 B. 6或7C ．7 或8D ．8或9解析：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为K 2之间有关系，则K 2＞2.706，而K 2＝＝65[a （30＋a ）－（20－a ）（15－a ）]220×45×15×50＝，要使K 2＞2.706得a ＞7.19或a ＜2.04.13（65a －300）260×45×5013（13a －60）260又因为a ＞5且15－a ＞5，a ∈Z ，所以a ＝8或9，故当a 取8或9时在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“x 与y 之间有关系”．答案：D2．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：分类又发作过心脏病未发作过心脏病总计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196总计68324392试根据上述数据计算K 2＝________，比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别_________．解析：提出假设H 0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别．根据列联表中的数据，可以求得K 2的观测值．k ＝≈1.78.392×（39×167－29×157）268×324×196×196当H 0成立时，K 2＝1.78，又K 2＜2.072的概率为0.85.所以，不能否定假设H 0.也就是不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．答案：1.78 不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论3．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在30分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表．分数段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)男生人数39181569女生人数64510132(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；(2)规定80分以上为优秀(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为数学成绩与性别有关．性别优秀非优秀总计男生女生总计100解：男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95 x－×0.15＝71.5，女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95x－×0.05＝71.5，因为男＝女，所以从男、女生各自的平均分来看，并不能判断x － x －数学成绩与性别是否有关．(2)由频数分布表可知，在抽取的100名学生中，“男生组”中数学成绩优秀的有15人，“女生组”中数学成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下：性别优秀非优秀总计男生154560女生152540总计3070100可得K 2的观测值为k ＝＝≈1.79，100×（15×25－15×45）260×40×30×702514因为1.79＜2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为数学成绩与性别有关．。
数学教案 人教a版选修2_3 同步练习-第3章统计案例跟踪训练含解析
回归分析的基本思想及其初步应用[A 组 学业达标]1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( ) A ．角度和它的余弦值 B ．正方形的边长和面积 C ．正n 边形的边数和内角度数和 D ．人的年龄和身高解析：函数关系就是一种变量之间的确定性的关系．A ，B ，C 三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a 2，h(n)＝nπ－2π.D 选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高．故选D.答案：D2．设一个线性回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时( ) A.y ^平均增加1.5个单位 B.y ^平均增加2个单位 C.y ^平均减少1.5个单位 D.y ^平均减少2个单位解析：由线性回归方程y ^＝2－1.5x 中x 的系数为－1.5，知C 项正确． 答案：C 3．有下列数据：x 1 2 3 y35.9912.01A ．y ＝3×2x －1B ．y ＝log 2xC ．y ＝3xD ．y ＝x 2解析：当x ＝1,2,3时，分别代入求y 值，离y 最近的值模拟效果最好，可知A 模拟效果最好． 答案：A4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝－2.756x ＋7.325.②y 与x 负相关且y ^＝3.476x ＋5.648 ③y 与x 正相关且y ^＝－1.226x －6.578 ④y 与x 正相关且y ^＝8.967x ＋8.163 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：根据题意，依次分析4个结论：对于①，y 与x 负相关且y ^＝－2.756x ＋7.325，此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征； 对于②，y 与x 负相关且y ^＝3.476x ＋5.648，此结论错误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；对于③，y 与x 正相关且y ^＝－1.226x －6.578，此结论错误，由线性回归方程知，此两变量的关系是负相关；对于④，y 与x 正相关且y ^＝8.967x ＋8.163，此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；故②③一定错误．答案：B5．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表：x 2 4 5 6 8 y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y ^＝10.5x ＋a ^，据此模型来预测当x ＝20时，y 的估计值为________．解析：由已知得x －＝5，y －＝54，则(5,54)满足回归直线方程y ^＝10.5x ＋a ^，解得a ^＝1.5，因此y ^＝10.5x ＋1.5，当x ＝20时y ^＝10.5×20＋1.5＝211.5.答案：211.56．如图是x 和y 的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．解析：去掉D(3,10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大．答案：D(3,10)7．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝ebx ＋a的周围，令z ＝ln y ，求得回归直线方程为z ^＝0.25x －2.58，则该模型的回归方程为____________________．解析：由z ＝ln y ，z ^＝0.25x －2.58， 得ln y ^＝0.25x －2.58，∴y ^＝e 0.25x －2.58. 故该模型的回归方程为y ^＝e 0.25x －2.58. 答案：y ^＝e 0.25x －2.588．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，求社区一户年收入为15万元的家庭的年支出．解析：由题意可得x －＝15×(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9)＝10，y －＝15×(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8)＝8，可得a ^＝8－0.76×10＝0.4. ∴回归直线方程为y ^＝0.76x ＋0.4.把x ＝15代入可得y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8.故社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为11.8万元．9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求线性回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解析：(1)x －＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋96＝8.5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，∵b ^＝－20，a ^＝y －－b ^ x －， ∴a ^＝80＋20×8.5＝250， ∴线性回归方程y ^＝－20x ＋250；(2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x(－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，∴该产品的单价应定为8.25元，工厂获得的利润最大．[B 组 能力提升]10．对于给定的样本点所建立的模型A 和模型B ，它们的残差平方和分别是a 1，a 2，R 2的值分别为b 1，b 2，下列说法正确的是( )A ．若a 1＜a 2，则b 1＜b 2，A 的拟合效果更好B ．若a 1＜a 2，则b 1＜b 2，B 的拟合效果更好C ．若a 1＜a 2，则b 1＞b 2，A 的拟合效果更好D ．若a 1＜a 2，则b 1＞b 2，B 的拟合效果更好解析：由残差平方和以及R 2的定义式可得若a 1＜a 2，则b 1＞b 2，A 的拟合效果更好． 答案：C11．近10年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位：亿元)数据如下：A.y ^＝2.799 1x －27.248 552 B.y ^＝2.799 1x －23.548 452 C.y ^＝2.699 2x －23.749 352 D.y ^＝2.899 2x －23.749 452解析：x －＝41.72，y －＝93.23，代入验证可知B 选项正确． 答案：B12．已知方程y ^＝0.85x －82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x 的单位是cm ，y ^的单位是kg ，那么针对某个体(160,53)的残差是________．解析：将x ＝160代入y ^＝0.85x －82.71，得y ^＝0.85×160－82.71＝53.29， 所以残差e ^＝y －y ^＝53－53.29＝－0.29.答案：－0.2913．已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1,5,7,13,19}，则y －＝________. 解析：∵x －＝1＋5＋7＋13＋195＝9，且y ^＝1.5x ＋45， ∴y －＝1.5×9＋45＝58.5. 答案：58.514．假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如表统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0已知∑i ＝15x 2i＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3.b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ＝y －－b ^ x －. (1)求x －，y －.(2)x 与y 具有线性相关关系，求出线性回归方程． (3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ 解析：(1)x －＝4，y －＝5.(2)b ^＝∑i ＝15x i y i －5x － y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝1.23，a ^＝y －－b ^ x －＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.(3)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．15．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的统计表：x1 2 3 4 5y 58 54 39 29 10(1)令w ＝x 2，利用给出的参考数据求出y 关于w 的回归方程y ^＝b ^w ＋a ^.(a ^，b ^精确到0.1)参考数据：∑i ＝15w i ＝55，∑i ＝15(w i －w －)(y i －y －)＝－751，∑i ＝15(w i －w －)2＝374，其中w i ＝x 2i ，w －＝15∑i ＝15w i .(2)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量不高于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计至少需要用多少千克的清水清洗1千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据5≈2.24)附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i －u－v i －v－∑i ＝1nu i －u－2，α^＝v －－β^ u －.解析：(1)由题意得，w －＝11，y －＝38.b ^＝∑i ＝15w i －w－y i －y－∑i ＝15w i －w－2＝－751374≈－2.0，a ^＝y －－b ^w ＝60.0，所以y ^＝－2.0w ＋60.0. (2)由(1)得，y ^＝－2.0w ＋60.0， 所以y ^＝－2.0x 2＋60.0，当y ^≤20时，即－2.0x 2＋60.0≤20，解得x≥25≈4.5，所以为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗1千克蔬菜．独立性检验的基本思想及其初步应用[A组学业达标]1．在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用的数据分析方法应是( )A．频率分布直方图B．回归分析C．独立性检验D．用样本估计总体解析：根据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，求出K2观测值，对照数表可得出概率结论，这种分析数据的方法是独立性检验．答案：C2．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( )解析：观察等高条形图发现x1x1＋y1和x2x2＋y2相差越大，就判断两个分类变量之间关系越强．答案：D3．如表是一个2×2列联表：则表中a，b的值分别为( )y1y2总计x1 a 21 73x222 25 47总计 b 46 120A.94,72C．52,74 D．74,52解析：a＝73－21＝52，b＝a＋22＝74，故选C.答案：C4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果K2的观测值k＞5.024，那么在犯错误的概率不超过________的前提下认为“X与Y有关系”()P(K2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828A.0.25 B ．0.05 C ．0.1D ．0.025解析：因为K 2的观测值k ＞5.024，而在临界值表中对应于5.024的是0.025，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 和Y 有关系”．答案：D5．分类变量X 和Y 的列表如下，则下列说法判断正确的是( )y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋dA.ad －bc 越小，说明X 与Y 的关系越弱 B ．ad －bc 越大，说明X 与Y 的关系越强 C ．(ad －bc)2越大，说明X 与Y 的关系越强 D ．(ad －bc)2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强解析：列联表可以较为准确地判断两个变量之间的相关关系程度， 由K 2＝a ＋b ＋c ＋dad －bc2a ＋b a ＋cb ＋dc ＋d，当(ad －bc)2越大，K 2越大，表明X 与Y 的关系越强．(ad －bc)2越接近0，说明两个分类变量X 和Y 无关的可能性越大． 即所给说法判断正确的是C. 答案：C6.某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式，了解读书和健身的人数，得到的数据如表：读书 健身 总计 女 24 31 55 男 8 26 34 总计325789在犯错误的概率不超过________的前提下认为性别与休闲方式有关系． 解析：由列联表中的数据，得K 2的观测值为k ＝89×24×26－31×8255×34×32×57≈3.689＞2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系．答案：0.107．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天的结果如下表所示：死亡 存活 总计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 总计203050进行统计分析的统计假设是________，K 2＝________，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用________．(填“相同”或“不相同”)参考公式：K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d解析：统计假设是“小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量无关”，由列联表中数据得K 2＝5.33＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量有关．所以两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同．答案：小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量无关 5.33 不相同 8．下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：晚上 白天 总计 男婴 45 A B 女婴 E 35 C 总计98D180那么，A ＝________，B ＝E ＝________. 解析：由列联表知识得⎩⎪⎨⎪⎧ 45＋E ＝98，98＋D ＝180，A ＋35＝D ，E ＋35＝C ，B ＋C ＝180，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝47，B ＝92，C ＝88，D ＝82，E ＝53.答案：47 92 88 82 539．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗？解析：根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：经常上网 不经常上网总计 不及格80120200及格 120 680 800 总计2008001 000得出等高条形图如图所示：比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关．10．随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的25.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性中只有13的人的休闲方式是运动．(1)完成下列2×2列联表：运动 非运动总计 男性 女性 总计n(2)数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？ 解析：(1)补全2×2列联表如下：运动 非运动 总计 男性 15n 15n 25n 女性 15n 25n 35n 总计25n 35n n(2)则P(K 2≥k 0)＝3.841. 由于K 2的观测值k ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 5·2n 5－n 5·n 522n 5·3n 5·2n 5·3n 5＝n 36，故n36≥3.841，即n≥138.276. 又由15n ∈Z ，故n≥140.故若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的至少有140人．(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有25×140＝56(人)的休闲方式是运动．[B 组 能力提升]11．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，故在犯错误的概率不超过________的前提下认为糖尿病患者与遗传有关系．( )A ．0.001B ．0.005C ．0.01D ．0.025解析：可以先作出如下列联表(单位：人)： 糖尿病患者与遗传列联表糖尿病发病糖尿病不发病总计 阳性家族史 16 93 109 阴性家族史17 240 257 总计33333366根据列联表中的数据，得到K 2的观测值为 k ＝366×16×240－17×932109×257×33×333≈6.067＞5.024.故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为糖尿病患者与遗传有关系． 答案：D12．在研究性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的是________(填序号)． ①若K 2的观测值k ＝6.635，则我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误．解析：K 2的观测值是支持确定有多大把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值，所以由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误，故填③.答案：③13．根据下表计算：不看电视 看电视 男 37 85 女35143K 2的观测值k≈________(保留3位小数)． 解析：k ＝300×37×143－85×352122×178×72×228≈4.514.答案：4.51414．某学校为了解该校高三年级学生在市一练考试的数学成绩情况，随机从该校高三文科与理科各抽取50名学生的数学成绩，作出频率分布直方图如图，规定考试成绩在[120,150]内为优秀．(1)由以上频率分布直方图填写下列2×2列联表．若按是否优秀来判断，是否有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异.文科 理科 总计 优秀 非优秀 总计5050100(2)某高校派出2140分以上的学生进行自主招生面试，每位教授至少面试一人，每位学生只能被一位教授面试．若甲教授面试的学生人数为ξ，求ξ的分布列和均值．解析：(1)由频率分布直方图知，该校文科学生中数学成绩优秀的人数为(0.010＋0.004＋0.002)×10×50＝8，故非优秀人数为50－8＝42.该校理科学生中数学成绩优秀的人数为(0.020＋0.014＋0.006)×10×50＝20，故非优秀人数为50－20＝30.则2×2列联表如下：文科 理科 总计 优秀 8 20 28 非优秀 42 30 72 总计5050100∴K 2的观测值k ＝100×8×30－42×20250×50×28×72≈7.143＞6.635，故有99%的把握认为该校文理科数学成绩有差异．(2)由(1)知，该校随机抽取的学生成绩中一练数学成绩在140分以上的学生为4人，ξ的可能取值为1,2,3.将4人分给两名教授每名教授至少1名学生的不同分法种数为⎝⎛⎭⎪⎫C 34＋C 24C 22A 22A 22＝14，则P(ξ＝1)＝C 1414＝27，P(ξ＝2)＝C 2414＝37，P(ξ＝3)＝C 3414＝27.∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3 P273727∴E(ξ)＝1×27＋2×37＋3×27＝2.15．某校为了了解学生对消防知识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防知识竞赛．图(1)和图(2)分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图．(1)请计算高一年级和高二年级成绩小于60分的人数．(2)完成2×2列联表，并回答：在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”？成绩小于60分人数成绩不小于60分人数总计高一 高二 总计附：临界值表及参考公式： K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d ，n ＝a ＋b ＋c ＋d. P(K 2≥k 0)0.15 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：(1)高一年级成绩低于60分的人数为：(0.03＋0.04)×10×100＝70； 高二年级成绩低于60分的人数为： (0.035＋0.015)×10×100＝50. (2)2×2列联表如下：成绩小于60分人数成绩不小于60分人数总计 高一 70 30 100 高二 50 50 100 总计12080200由于K 2的观测值k ＝200×50×70－50×302100×100×120×80≈8.333＞7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“学生所在的年级与消防知识的了解存在相关性”．。
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：第二章2.2-2.2.1条件概率 含解析
则n(A)＝7，n(AB)＝4，所以P(B|A)＝ ＝ .
答案：
三、解答题
9．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选出3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
解：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.
则P(A)＝1－ ＝ ，解得x＝5，即白球的个数为5.
(2)令“第2次取得白球”为事件B，“第1次取得黑球”为事件C，则P(BC)＝ ＝ ＝ ，
P(B)＝ ＝ ＝ .
故P(C|B)＝ ＝ ＝ .
B级 能力提升
1．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为()
解析：令第二次取得一等品为事件A，第一次取得二等品为事件B，
则P(AB)＝ ＝ ，P(A)＝ ＝ .
所以P(B|A)＝ ＝ × ＝ .
答案：
3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
P(A)＝ ＝ ＝ ，P(AB)＝ ＝ ，
所以P(B|A)＝ ＝ .
10．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为 .
(1)求白球的个数；
(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．
解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球有x个．
所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝ .
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：第二章2.2-2.2.3独立重复试验与二项分布 Word版含解析
第二章 随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用2.2.3独立重复试验与二项分布A 级 基础巩固一、选择题1．若X ～B (10，0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C ×0.88×0.22B ．C ×0.82×0.28810810C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28解析：因为X ～B (10，0.8)，所以P (X ＝k )＝C 0.8k (1－0.8)10－k ，k 10所以P (X ＝8)＝C ×0.88×0.22.810答案：A2．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )6581A. B. C. D.13255634解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C p 0(1－p )4＝，所以1－p ＝，p ＝.0465812313答案：A3．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次后停止取球，取球次数为随机变量X ，则P (X ＝5)＝( )A. B. C. D.13316527881解析：X ＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球．则P (X ＝5)＝C ××＝.24(13)2 (23)2 13881答案：D4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶231的比分获胜的概率为( )A. B. C. D.82764814989解析：当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P ＝C ××＝3×××＝，故选A.23(23)2 (1－23)23491323827答案：A5．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n 次，12要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由1－C >0.9，得<0.1，所以n ≥4，所以n 的最0n (1－12)n(12)n小值为4.答案：B二、填空题6．下列说法正确的是________．①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10，0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B .(n ，12)解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，即前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②7．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是________．解析：由题意知C p (1－p )3≤C p 2(1－p )2，1424解得p ≥0.4.答案：[0.4，1]8．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝如果S n 为数列{－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，){a n }的前n 项和，那么S 5＝3的概率为________．解析：由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为5，这5次中有1次摸得红球．每次摸取红球的概率为，所以S 5＝3时，23概率为C ×＝.15(23)1 (13)410243答案：10243三、解答题9．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，5645求移栽的4棵大树中．(1)至少有1棵成活的概率；(2)两种大树各成活1棵的概率．解：设A k 表示第k 棵甲种大树成活，k ＝1，2，B l 表示第l 棵乙种大树成活，l ＝1，2，则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立，且P (A 1)＝P (A 2)＝，P (B 1)＝P (B 2)＝56.45(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为P ＝C 12·C ＝×＝＝.(56)(16)12(45)(15)10368258090044510. 一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.13设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列．解：依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果都是相互独立的，所以X ～B .13(6，13)故P (X ＝k )＝C ＝C ，k ＝0，1，2， (6)k 6(13)k (1－13)6－kk6(13)k (23)6－k因此所求X 的分布列为：X 0123456P6472964243802431607292024342431729B 级 能力提升1．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上和向右的概率都是，则12质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率是( )A. B ．C (12)5 25(12)5C ．CD ．C C 15(12)52535(12)5解析：点P 移动5次后位于点(2，3)，需在5次移动中，向右2次，向上3次．所以P ＝C ＝C .故选B.25(12)2 (12)3 25(12)5答案：B2．设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为，则事件A 恰好发生一次的6364概率为________．解析：设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，由题意得，事件A发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝，得p ＝，则事件A 恰636434好发生一次的概率为C ××＝.1334(1－34)2 964答案：9643．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列．解：(1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0，1，2，3)，则P (A 3)＝·＝.C C C C 15②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝·＋·＝，且A 2，A 3互斥，C C C C CC C C C 12所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝＋＝.1215710(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝＝，(1－710)2 9100P (X ＝1)＝C ××＝，12710(1－710)2150P (X ＝2)＝＝.(710)2 49100所以X的分布列为：X012P9100215049100。
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：第二章2.2-2.2.1条件概率 Word版含解析
第二章 随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用2.2.1条件概率[A 级 基础巩固]一、选择题1．在区间(0，1)内随机投掷一个点M (其坐标为x )，若A ＝，B ＝，则P (B |A )等于( ){x |0＜x ＜12)}{x |14＜x ＜34)}A. B. C. D.12141334解析：P (A )＝＝.12112因为A ∩B ＝，{x |14＜x ＜12)}所以P (AB )＝＝，14114所以P (B |A )＝＝＝.P （AB ）P （A ）141212答案：A2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )A. B. C. D.110210810910解析：记事件A 为第一次失败，事件B 为第二次成功，则P (A )＝，P (B |A )＝，91019所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝.110答案：A3．袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A 为“三次抽到的号码之和为6”，事件B 为“三次抽到的号码都是2”，则P (B |A )＝( )A. B. C. D.172716727解析：因为P (A )＝，P (AB )＝，A ＋133133所以P (B |A )＝＝.P （AB ）P （A ）17答案：A4．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为，用满8 000小时34不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还12能用满8 000小时的概率是( )A. B.3423C. D.1213解析：记事件A ：“用满3 000小时不坏”，P (A )＝；记事件B ：34“用满8 000小时不坏”，P (B )＝.因为B ⊆A ，所以P (AB )＝P (B )＝，1212P (B |A )＝＝＝÷＝.P （AB ）P （A ）P （B ）P （A ）123423答案：B5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )A ．0.72B ．0.8C ．0.86D ．0.9解析：设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，并成活而成长为幼苗)，则P (A )＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝0.9×0.8＝0.72.答案：A二、填空题6．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占，16而且三好学生中女生占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为________．解析：设事件A 表示“任选一名同学是男生”；事件B 为“任选一名同学为三好学生”，则所求概率为P (B |A )．依题意得P (A )＝＝，P (AB )＝＝.406023560112故P (B |A )＝＝＝.P （AB ）P （A ）1122318答案：187．已知P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，P (A |B )＝0.6，则P (B |A )为________．解析：因为P (A |B )＝，P （AB ）P （B ）所以P (AB )＝0.3，所以P (B |A )＝＝＝0.75.P （AB ）P （A ）0.30.4答案：0.758．分别用集合M ＝{2，4，5，6，7，8，11，12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是________．解析：设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A ，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B ，则n (A )＝7，n (AB )＝4，所以P (B |A )＝＝.n （AB ）n （A ）47答案：47三、解答题9．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选出3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．解：记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B .P (A )＝＝＝，P (AB )＝＝，C C 102012C C 15所以P (B |A )＝＝.P （AB ）P （A ）2510．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为.79(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球有x 个．则P (A )＝1－＝，解得x ＝5，即白球的个数为5.C C 79(2)令“第2次取得白球”为事件B ，“第1次取得黑球”为事件C ，则P (BC )＝＝＝，C·C C·C 2590518P (B )＝＝＝.C·C ＋C·C C·C 25＋209012故P (C |B )＝＝＝.P （BC ）P （B ）5181259B 级 能力提升1．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A. B. C. D.1191738419217解析：设事件A 表示“抽到2张都是假钞”，事件B 为“2张中至少有1张假钞”，所以所求概率为P (A |B )．而P (AB )＝，P (B )＝.C C C ＋CC C所以P (A |B )＝＝.P （AB ）P （B ）217答案：D2．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是________．解析：令第二次取得一等品为事件A ，第一次取得二等品为事件B ，则P (AB )＝＝，P (A )＝＝.C·C C·C 415C·C ＋CC C·C 23所以P (B |A )＝＝×＝.P （AB ）P （A ）4153225答案：253．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A ，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n (Ω)＝A ＝2630，根据分步计数原理n (A )＝A A ＝20，1415于是P (A )＝＝＝.n （A ）n （Ω）203023(2)因为n (AB )＝A ＝12，24于是P (AB )＝＝＝.n （AB ）n （Ω）123025(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝＝÷＝.P （AB ）P （A ）252335法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝20，所以P (B |A )＝＝＝.n （AB ）n （A ）122035。
2019秋金版学案高中数学必修2(人教A版)练习：第三章评估验收(三)含解析
评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：由3x ＋y ＋1＝0，知直线的斜率为－3， 所以tan α＝－3，则倾斜角α＝120°. 答案：D2．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则定点坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(3，1)D ．(3，－1)解析：直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，由直线系方程知，此直线系过两直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4＝0，2x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即定点为(3，－1)． 答案：D3．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 6 C ．2D. 2解析：由k AB ＝1，得b －a ＝1，所以|AB |＝（5－4）2＋（b －a ）2＝1＋1＝ 2. 答案：D4．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝( )A.23 B ．－1 C ．2D ．－1或2解析：由a ×1＋2×(a －1)＝0，得a ＝23.答案：A5．若直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x ＋3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：因为直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，故可设l 的方程为3x ＋2y ＋b ＝0，又因为直线l 过点(－1，2)，所以－3＋4＋b ＝0，即b ＝－1. 故所求直线l 的方程为3x ＋2y －1＝0. 答案：A6．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对解析：易知k PA ＝－4，k PB ＝34，画图观察可知k ≥34或k ≤－4.答案：A7．已知直线x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且两者之间的距离是5，则m ＋n 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由题意知所给两条直线平行，所以n ＝－2. 由两条平行直线间的距离公式， 得d ＝|m ＋3|12＋（－2）2＝|m ＋3|5＝ 5. 解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝0. 答案：B8．已知定点P (－2，0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：把直线l 的方程化为x ＋y －2＋λ(3x ＋2y －5)＝0， 则直线l 过直线x ＋y －2＝0与3x ＋2y －5＝0的交点． 设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，解得Q (1，1)， 所以点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝（1＋2）2＋12＝10. 故点P 到直线l 的距离的最大值为10. 答案：B9．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0，1)关于直线x ＝3的对称点(6，1)在直线PB 上，所以直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.答案：D10．直线l 1与直线l 2：2x －3y －10＝0的交点在x 轴上，且l 1⊥l 2，则直线l 1在y 轴上的截距是( )A ．5B ．－5 C.152D ．－152解析：依题意得直线l 2：2x －3y －10＝0与x 轴的交点为(5，0)，斜率kl 2＝23.因为l 1⊥l 2，所以直线l 1的斜率kl 1＝－32.于是直线l 1的方程为y ＝－32(x －5)，即3x ＋2y －15＝0.令x ＝0，得y ＝152，即直线l 1在y 轴上的截距是152.答案：C11．若在直线y ＝－2上有一点P ，它到点A (－3，1)和B (5，－1)的距离之和最小，则该最小值为( )A ．2 5B ．4 5C ．5 2D ．10 2解析：如图所示，点B (5，－1)关于直线y ＝－2的对称点为B ′(5，－3)，设AB ′交y ＝－2于点P ，因为|PB |＝|PB ′|，所以|PA |＋|PB |＝|PA |＋|PB ′|.所求最小值即为|AB′|，|AB′|＝（5＋3）2＋（－3－1）2＝4 5.答案：B12．如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．210 B．6C．3 3 D．2 5解析：易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A′(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A′(－2，0)两点间的距离．于是|A1A′|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P，Q两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．解析：设P(x，1)，则Q(2－x，－3)，将点Q的坐标代入x－y－7＝0，得2－x＋3－7＝0.所以x＝－2，所以P(－2，1)，所以k l ＝－23.答案：－2314．由点P (2，3)发出的光线射到直线x ＋y ＝－1上，反射后过点Q (1，1)，则反射光线所在直线的一般式方程为________________．解析：设点P 关于直线x ＋y ＝－1的对称点为P ′(x 0，y 0)，则P ′(x 0，y 0)满足条件⎩⎨⎧x 0＋22＋y 0＋32＝－1，y 0－3x 0－2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－3，所以点P ′的坐标为(－4，－3)．所以由直线的点斜式方程可求得反射光线所在直线方程为y －1＝－3－1－4－1·(x－1)，即4x －5y ＋1＝0. 答案：4x －5y ＋1＝015．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：设P (m ，n )，原点为O ，则|OP |2＝m 2＋n 2，显然|OP |的最小值即为点O 到直线ax ＋by ＋2c ＝0的距离d ，且d ＝|2c |a 2＋b 2＝2c a 2＋b2＝2cc ＝2.所以m 2＋n 2的最小值为4. 答案：416．已知平面上一点M (5，0)，若在某一直线上存在点P 使得|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝1；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：看所给直线上的点到定点M 的距离能否取4，可通过各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离d 来分析；①d ＝5＋12＝32＞4，故直线上不存在到点M 的距离等于4的点P ，该直线不是“切割型直线”；②d ＝1＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到M 的距离等于4，该直线是“切割型直线”；③d ＝205＝4，所以直线上存在一个点P ，到点M 的距离等于4，该直线是“切割型直线”；④d ＝115＝1155＞4，故直线上不存在到点M 的距离等于4的点P ，该直线不是“切割型直线”．答案：②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1满足下列条件？(1)倾斜角为45°； (2)在x 轴上的截距为1.解：(1)倾斜角为45°，则斜率为1.所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，解得m ＝－1或m ＝1(舍去)．直线方程为2x －2y －5＝0，符合题意，所以m ＝－1. (2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12或m ＝2，当m ＝－12或m ＝2时都符合题意，所以m ＝－12或m ＝2.18．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 过定点；(2)当－3＜x ＜3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围． 证明：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(－2，1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)．若当－3＜x ＜3时，直线上的点都在x 轴上方，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）≥0，f （3）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0.解得－15≤k ≤1.故实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1.19．(本小题满分12分)已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A (1，3)和点B (5，2)的距离相等，求直线l 的方程．解：法一 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －10＝0，x ＋y －2＝0，得交点为(3，－1)．设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)． 即kx －y －3k －1＝0.则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|k 2＋1，解得k ＝－14. 所以直线l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0.又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意，故所求的直线l 的方程为x ＋4y ＋1＝0或x ＝3.法二 同法一求得两直线的交点为(3，－1)．由直线l 与A ，B 的距离相等，可知l ∥AB 或l 过AB 的中点，所以由l ∥AB ，得l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0.由l 过AB 的中点，得l 的方程为x ＝3. 故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求．法三 设直线l 的方程为3x －y －10＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(3＋λ)x ＋(λ－1)y －10－2λ＝0， 由题意，得|（3＋λ）＋3（λ－1）－10－2λ|（3＋λ）2＋（λ－1）2＝ |5（3＋λ）＋2（λ－1）－10－2λ|（3＋λ）2＋（λ－1）2. 解得λ＝－133或λ＝1. 故所求的直线l 的方程为x ＋4y ＋1＝0或x ＝3.20．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以点A 的坐标为(－1，0)． 因为直线y ＝0为∠A 的平分线， 故k AC ＝－k AB ＝－2－01＋1＝－1.于是，直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.因为BC 边上的高所在直线的斜率为12，所以k BC ＝－2.于是BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)， 即2x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6.所以点C 的坐标为(5，－6)．21．(本小题满分12分)直线l 经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点．(1)若直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，求直线l 的方程； (2)点A (3，1)到直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，所以两直线的交点M (－2，2)．(1)设直线l 的方程为3x ＋y ＋c ＝0(c ≠－1)， 把点(－2，2)代入方程，得c ＝4， 所以直线l 的方程为3x ＋y ＋4＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－2， 此时点A (3，1)到直线l 的距离为5，满足题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋2＝0，则点A (3，1)到直线l 的距离d ＝|3k －1＋2k ＋2|k 2＋1＝|5k ＋1|k 2＋1＝5， 所以k ＝125，则直线l 的方程为12x －5y ＋34＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或12x －5y ＋34＝0.22．(本小题满分12分)已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点O (0，0)，M (0，3)，试在l 上找一点P ，使得||PO |－|PM ||的值最大，并求出这个最大值．解：如图，设点O (0，0)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点O ′(x ，y )，则y x ·2＝－1，且2·x 2－y 2＋1＝0，由此得O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，25， 则直线MO ′的方程为y －3＝134x ， 由⎩⎨⎧y －3＝134x ，2x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝－115，即P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－115， ||PO |－|PM ||≤|MO ′|＝1855， 即||PO |－|PM ||的最大值为1855.。
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：模块综合评价(一) Word版含解析
模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n 2的值为( )ξ0123P0.1mn0.1A ．－0.2B ．0.2C ．0.1D ．－0.1解析：由离散型随机变量分布列的性质，可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，所以m ＝0.4，n ＝0.4，所以m －＝0.2.n2答案：B2．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.＝－10x ＋200B.＝10x ＋200y ^y ^C.＝－10x －200D.＝10x －200y ^y ^解析：由于销售量y 与销售价格x 负相关，故排除B ，D.又当x ＝10时，A 中的y ＝100，而C 中y ＝－300，故C 不符合题意．答案：A3．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A ．24B ．48C ．72D ．120解析：A 参加时参赛方案有C A A ＝48(种)，A 不参加时参赛方34123案有A ＝24(种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C.4答案：C4．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35，若X 与Y 有关系的可信程度为90%，则c ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：列2×2列联表可知：X Y x 1x 2合计y 1a ＝10b ＝2131y 2cd35合计10＋c 21＋d66当c ＝5时，K 2＝≈3.024>2.706，66×（10×30－5×21）215×51×31×35所以c ＝5时，X 与Y 有关系的可信程度为90%，而其余的值c ＝4，c ＝6，c ＝7皆不满足．答案：B5.的展开式中常数项为( )(x ＋12x )8A.B.3516358C. D ．105354解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C ()8－k＝C x 4－k ，k8x(12x )k (12)kk8令4－k ＝0，解得k ＝4，所以T 5＝C ＝.(12)4 48358答案：B6．ξ，η为随机变量，且η＝aξ＋b ，若E (ξ)＝1.6，E (η)＝3.4，则a ，b 可能的值为( )A ．2，0.2B ．1，4C ．0.5，1.4D ．1.6，3.4解析：由E (η)＝E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝1.6a ＋b ＝3.4，把选项代入验证，只有A 满足．答案：A7．已知随机变量ξ的分布列为ξ＝－1，0，1，对应P ＝，，，121613且设η＝2ξ＋1，则η的期望为( )A ．－ B. C. D ．116232936解析：E (ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，12161316所以E (μ)＝E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝.23答案：B8．若随机变量ξ～N (－2，4)，ξ在下列区间上取值的概率与ξ在区间(－4，－2]上取值的概率相等的是( )A ．(2，4]B ．(0，2]C ．[－2，0)D ．(－4，4]解析：此正态曲线关于直线x ＝－2对称，所以ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2，0)上取值的概率．答案：C9．设随机变量X 服从二项分布B ，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X(5，12)存在零点的概率是( )A. B. C. D.564520213132解析：函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点，所以Δ＝16－4X ≥0，所以X ≤4，因为随机变量X 服从二项分布B ，(5，12)所以P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－＝.1253132答案：D10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：分类女男总计读营养说明162844不读营养说明20828总计363672请问性别和读营养说明之间有关系的程度为( )A ．99%的可能性B ．99.75%的可能性C ．99.5%的可能性D ．97.5%的可能性解析：由题意可知a ＝16，b ＝28，c ＝20，d ＝8，a ＋b ＝44，c ＋d ＝28，a ＋c ＝36，b ＋d ＝36，n ＝a ＋b ＋c ＋d ＝72.代入公式K 2＝，n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）得K 2＝≈8.42.72×（16×8－28×20）244×28×36×36由于K 2≈8.42＞7.879，我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．答案：C11．某日A ，B 两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A 市或B 市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X 表示这一天受台风袭击的城市个数，则E (X )＝( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4解析：设A ，B 两市受台风袭击的概率均为p ，则A 市或B 市都不受台风袭击的概率为(1－p )2＝1－0.36，解得p ＝0.2或p ＝1.8(舍去)．法一 P (X ＝0)＝1－0.36＝0.64.P (X ＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P (X ＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E (X )＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.法二 X ～B (2，0.2)，E (X )＝np ＝2×0.2＝0.4.答案：D12．设函数f (x )＝则当x >0时，f (f (x ))表达式的{(x －1x )6，x <0，－x ，x ≥0，)展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析：当x >0时，f (f (x ))＝＝，(－x ＋1x )6 (1x －x )6则展开式中常数项为C (－)3＝－20.36(1x )3x 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400＜X ＜450)＝0.3，则P (550＜X ＜600)＝________．解析：由下图可以看出P (550＜X ＜600)＝P (400＜X ＜450)＝0.3.答案：0.314．已知随机变量ξ～B (36，p )，且E (ξ)＝12，则D (ξ)＝________.解析：由E (ξ)＝36p ＝12，得p ＝，13所以D (ξ)＝36××＝8.1323答案：815.欧阳修《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，如图铜钱是直径为4 cm 的圆形，正中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴是直径为0.2 cm 的球)，记“油滴不出边界”为事件A ，“油滴整体正好落入孔中”为事件B .则P (B |A )________(不作近似值计算)．解析：因为铜钱的有效面积S ＝π·(2－0.1)2，能够滴入油的图形为边长为1－2×＝的正方形，面积为，110451625所以P (B |A )＝.64361π答案：64361π16．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的数学期望是________．解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P (ξ＝3)＝0.6，P (ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P (ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，E (ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋0.096＝2.376.答案：2.376三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n (m ，n ∈N *)展开式中x 的系数为19，求f (x )的展开式中x 2的系数的最小值．解：f (x )＝1＋C x ＋C x 2＋…＋C x m ＋1＋C x ＋C x 2＋…＋C x n ，1m2m m 1n 2n n 由题意知m ＋n ＝19，m ，n ∈N *，所以x 2项的系数为C ＋C ＝＋＝2m2n m （m －1）2n （n －1）2(m －192)2＋.19×174因为m ，n ∈N *，所以当m ＝9或m ＝10时，上式有最小值．所以当m ＝9，n ＝10或m ＝10，n ＝9时，x 2项的系数取得最小值，最小值为81.18．(本小题满分12分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望．解：(1)X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4，P (X ＝i )＝(i ＝0，1，2，3，CC C 4)，故X 的分布列为：X 01234P1708351835835170(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100，2 800，3 500，则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝，P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝，170835P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝，5370E (Y )＝3 500×＋2 800×＋2 100×＝2 280.1708355370所以新录用员工月工资的期望为2 280元．19．(本小题满分12分)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝××＝.56453412(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3，又P (X ＝1)＝，P (X ＝2)＝×＝，16561516P (X ＝3)＝××1＝.564523所以X 的分布列为：X 123P161623所以E (X )＝1×＋2×＋3×＝.1616235219．(本小题满分12分)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝××＝.56453412(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3，又P (X ＝1)＝，P (X ＝2)16＝×＝，P (X ＝3)＝××1＝.561516564523所以X 的分布列为：X 123P161623所以E (X )＝1×＋2×＋3×＝.1616235220．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得x i ＝80，y i ＝20，x i y i ＝184，x ＝720.∑10i ＝1∑10i ＝1∑10i ＝1∑10i ＝12i (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程＝x ＋；y ^ b ^ a ^ (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程＝x ＋中，b ＝，y ^ b ^ a ^∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x －n x2＝y －x ，其中x ，y 为样本平均值．a ^ b ^解：(1)由题意知n ＝10，x ＝x i＝＝8，1n ∑ni ＝18010y ＝y i＝＝2，1n ∑ni ＝12010又l xx ＝x －nx 2＝720－10×82＝80，∑ni ＝12i l xy ＝x i y i－nxy ＝184－10×8×2＝24，∑ni ＝1由此得＝＝＝0.3，＝y －x ＝2－0.3×8＝－0.4.b ^ l xy l xx 2480a ^ b ^故所求线性回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．21．(本小题满分12分)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．分类甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82 8(参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)解：(1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C＝10(个)，“抽到至少有一个87分25的同学”所组成的基本事件有C C＋C＝(7个)，所以P＝.13122710(2)2×2列联表如下：甲班乙班合计优秀61420不优秀14620合计202040K 2＝＝6.4＞5.024.40×（6×6－14×14）220×20×20×20因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．22．(本小题满分12分)在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．(1)求蜜蜂落入第二实验区的概率．(2)若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率．(3)记X 为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X 的数学期望E (X )．解：(1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A ，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B ，依题意得：P (A )＝＝＝，V 小锥体V圆锥体13·14·S 圆锥底面·12h圆锥13·S 圆锥底面·h 圆锥18所以P (B )＝1－P (A )＝，78所以蜜蜂落入第二实验区的概率为.78(2)记“蜜蜂被染上红色”为事件C ，则事件B ，C 为相互独立事件，又P (C )＝＝，P (B )＝.10401478则P (BC )＝P (B )P (C )＝×＝，1478732所以恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率为.732(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量X 服从二项分布，即X ～B ，(40，18)所以随机变量X 的数学期望E (X )＝40×＝5.18。
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：第三章章末复习课 Word版含解析
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．线性回归方程中的系数及相关指数R2，独立性检验统计量K2公式复杂，莫记混用错．2．相关系数r是判断两随机变量相关强度的统计量，相关指数R2是判断线性回归模型拟合效果好坏的统计量，而K2是判断两分类变量相关程度的量，应注意区分．3．在独立性检验中，当K2≥6.635时，我们有99.9%的把握认为两分类变量有关，是指“两分类变量有关”这一结论的可信度为99%而不是两分类变量有关系的概率为99%.专题一 回归分析思想的应用回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化．如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题．[例1] 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008—2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i ＝9.32，t i y i ＝40.17，＝∑7 i ＝1∑7 i ＝1∑7i ＝1（y i －y ）20.55，≈2.646.7参考公式：相关系数r ＝，∑ni ＝1（t i －t ）（y i －y ）∑n i ＝1（t i －t ）2∑n i ＝1（y i －y ）2回归方程＝＋t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝y ^ a ^ b ^ b ^，＝y －t .∑n i ＝1（t i －t ）（y i －y ）∑n i ＝1（t i －t ）2a ^ b ^解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，(t i－t )2＝28, ＝0.55，∑7 i ＝1∑7 i ＝1（y i －y ）2(t i －t )(y i －y )＝t i y i －t y i＝40.17－4×9.32＝2.89，∑7 i ＝1∑7 i ＝1∑7 i ＝1r ≈≈0.99.2.890.55×2× 2.646因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝≈1.331及(1)得＝＝≈9.327b ^ ∑7 i ＝1（t i －t ）（y i －y ）∑7 i ＝1（t i －t ）2 2.89280.10，＝－t ＝1.331－0.10×4≈0.93.a ^ y ^ b ^所以y 关于t 的回归方程为＝0.93＋0.10t .y ^将2018年对应的t ＝11代入回归方程得＝0.93＋0.10×11＝2.03.y ^所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量约为2.03亿吨．归纳升华解决回归分析问题的一般步骤1．画散点图．根据已知数据画出散点图．2．判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系．在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程．3．实际应用．依据求得的回归方程解决问题．[变式训练] 某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测该数学老师孙子的身高为________cm.解析：儿子和父亲的身高可列表如下：父亲身高(x )173170176儿子身高(y )170176182设回归直线方程＝＋x ，由表中的三组数据可求得＝1，故＝y ^ a ^ b ^ b ^ a ^－＝176－173＝3，故回归直线方程为＝3＋x ，将x ＝182代入y － b ^ x － y ^得孙子的身高为185 cm.答案：185专题二 独立性检验的应用独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．常用等高条形图来直观反映两个分类变量之间差异的大小；利用假设检验求随机变量K 2的值能更精确地判断两个分类变量间的相关关系．[例2] 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体育迷”与性别有关．性别非体育迷体育迷总计男女1055总计(2)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E (X )和方差D (X )．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中“体育迷”有(0.020＋0.005)×10×100＝25(人)．由独立性检验的知识得2×2列联表如下：性别非体育迷体育迷总计男301545女451055总计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2的观测值＝＝≈100×（30×10－45×15）275×25×45×55100333.030>2.706.所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为(0.020＋0.005)×10＝0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.14由题意知X ～B ，(3，14)从而X 的分布列为：X0123P 27642764964164由二项分布的期望与方差公式得E (X )＝np ＝3×＝，1434D (X )＝np (1－p )＝3××＝.1434916归纳升华独立性检验问题的求解方法1．等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．2．K 2统计量法：通过公式K 2＝，n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）先计算观测值k ，再与临界值表进行比较，最后得出结论．[变式训练] 学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：分类不关注关注总计男生301545女生451055总计7525100根据表中数据，通过计算统计量K 2＝并参考以下临界数据：n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）P (K 2≥k 0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k 00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过________．解析：由题意可得K 2＝≈100×（30×10－15×45）275×25×45×553.030>2.706，所以P (K 2≥2.706)＝0.10，由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过0.10.答案：0.10专题三 数形结合思想数形结合思想在统计中的应用主要是将收集到的数据利用图表的形式表示出来，直观地反映变量间的关系．[例3] 为了解铅中毒病人是否有尿棕色素增加现象，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下，问铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别？组别阳性数阴性数总计铅中毒病人29736对照组92837总计383573解： 由上述列联表可知，在铅中毒病人中尿棕色素为阳性的占80.56%，而对照组仅占24.32%.说明他们之间有较大差别．根据列联表作出等高条形图由图可知，铅中毒病人中与对照组相比较，尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性存在关联关系．归纳升华收集数据、整理数据是统计知识处理问题的两个基本步骤，将收集到的数据利用图表的形式整理出来，能够直观地反映变量之间的关系．在精确度要求不高的情况下，可以利用散点图、等高条形图等对两个变量之间的关系做出判断．[变式训练] 根据如下样本数据：x345678y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0^得到的回归方程为＝bx＋a，则( )yA．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0解析：根据题中表内数据画出散点图如图所示，由散点图可知b＜0，a＞0.答案：B。
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：第一章1.3-1.3.1二项式定理 Word版含解析
第一章 计数原理1.3 二项式定理1.3.1二项式定理A 级 基础巩固一、选择题1．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5解析：原式＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5.答案：D2．(2018·全国卷Ⅲ)的展开式中x 4的系数为( )(x 2＋2x )5A ．10B ．20C ．40D ．80解析：通项公式T r ＋1＝C (x 2)5－r ＝2r C x 10－3r ，r 5(2x )rr 5令10－3r ＝4可得r ＝2，则x 4的系数为22C ＝40.25答案：C 3．若的展开式中第四项为常数项，则n ＝( )(x －123x)nA ．4B ．5C ．6D ．7解析：由二项展开式可得T r ＋1＝C ()n －r＝(－1)r 2－r C x r n x (－123x )rr n ·x －，从而T 4＝T 3＋1＝(－1)32－3C x ，由题意可知＝0，n ＝n －r 2r33nn －52n －525.答案：B4．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是( )A ．－297 B ．－252C ．297D ．207解析：(1－x 3)(1＋x )10＝(1＋x )10－x 3(x ＋1)10展开式中含x 5的项的系数为：C －C ＝207.510210答案：D5．在(＋)12的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有( )x 3x A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项解析：(＋)12的展开式的通项为T r ＋1＝C ()12－r ()r ＝C x 6x 3x r 12x 3x r 12－(0≤r ≤12)，6－(0≤r ≤12)为正整数，有3项，即r ＝0，r ＝6，r ＝12x 6r6时．答案：B 二、填空题6．(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答)．解析：T r ＋1＝C ·16－r ·(－2x )r ＝(－2)r C ·x r ，令r ＝2，r6r 6得T 3＝(－2)2C x 2＝60x 2.故x 2的系数为60.26答案：607．若在(1＋ax )5的展开式中，x 3的系数为－80，则a ＝________．解析：T r ＋1＝C (ax )r ＝C a r x r ，r 5r 5x 3的系数为C a 3＝－80，解得a ＝－2.35答案：－28．如果的展开式中，x 2项为第三项，则自然数n ＝(3x 2＋1x )n________．解析：T r ＋1＝C ()n －r ＝C x ，由题意知r ＝2时，rn 3x 2(1x )rrn 2n －5r3＝2，所以n ＝8.2n －5r 3答案：8三、解答题9．若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10.(1)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2.解：(1)令f (x )＝(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 0＝f (0)＝25＝32，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝f (1)＝0，故a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(2)(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝f (1)·f (－1)＝0.10．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等(3x －123x )n差数列．(1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项．解：T r ＋1＝C ()n －r＝C x n －r .r n 3x (－123x )r(－12)r rn 1323由前三项系数的绝对值成等差数列，得C ＋C ＝2×C ，n (－12)22n121n 解得n ＝8或n ＝1(舍去)．(1)展开式的第四项为：T 4＝C x ＝－7.(－12)338233x 2(2)当－r ＝0，即r ＝4时，8323常数项为C ＝.(－12)448358B 级 能力提升1．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小(3x 2－2x3)n 值为( )A ．3B ．5C ．6D ．10解析：展开式的通项表达式为C (3x 2)n －r ·＝C 3n (3x 2－2x 3)n r n (－2x3)r r n －r (－2)r x 2n －5r ，若C 3n －r (－2)r x 2n －5r 为非零常数项，必有2n －5r ＝0，rn 得n ＝r ，所以正整数n 的最小值为5.52答案：B 2．设二项式(a ＞0)的展开式中，x 3的系数为A ，常数项为B ，(x －ax)6若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A＝C(－a)2，B＝C(－a)4，由B＝4A知，C(－a)2＝C(－a)4，26462646解得a＝2(舍去a＝－2)．答案：23．如果f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m，n∈N*)中，x项的系数为19，求f(x)中x2项系数的最小值．解：x项的系数为C＋C＝19，即m＋n＝19，1m1n当m，n都不为1时，x2项的系数为C＋C＝＋2m2nm（m－1）2（19－m）（18－m）2＝m2－19m＋171＝＋171－，(m－192)21924因为m∈N*，所以当m＝9或10时，x2项的系数最小，为81.当m为1或n为1时，x2项的系数为C＝153>81，218所以f(x)中x2项系数的最小值为81.。
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：第三章3.1第2课时线性回归分析 Word版含解析
第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用第2课时线性回归分析A级 基础巩固一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：分类甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性( )A．甲 B．乙C．丙D．丁解析：r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，所以选D正确．答案：D^2．已知回归方程＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，y7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是( )A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.04解析：因为残差i ＝y i －i ，所以残差的平方和为(4.9－5)2＋(7.1－e ^ y ^7)2＋(9.1－9)2＝0.03.答案：C3．若某地财政收入x 与支出y 满足线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元)，其中b ＝0.8，a ＝2，|e |<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )A ．10亿元B ．9亿元C ．10.5亿元D ．9.5亿元解析：x ＝10时，＝0.8×10＋2＝10.y ^因为|e |<0.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元．答案：C4．下列说法中正确的是( )①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r |越接近于1，相关性越弱；②回归直线＝x ＋一定经过样本点的中心(x ，y )；y ^ b ^ a ^③随机误差e 满足E (e )＝0，其方差D (e )的大小用来衡量预报的精确度；④相关指数R 2用来刻画回归的效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：①线性相关关系r 是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，|r |越接近于1，这两个变量线性相关关系越强，|r |越接近于0，线性相关关系越弱，①错误；②回归直线＝x ＋一定通过样本点的中心(x ，y ^ b ^ a ^y )，②正确；③随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E (e )＝0，③正确；④用相关指数R 2用来刻画回归的效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，④错误．答案：D5．如图所示，5个(x ，y )数据，去掉D (3，10)后，下列说法错误的是( )A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C ．相关指数R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强解析：由散点图知，去掉D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以r 变大，R 2变大，残差平方和变小．答案：B 二、填空题6．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝bx i ＋a ＋e i (i ＝1，2，…，n )，且e i 恒为0，则R 2为________．解析：由e i 恒为0，知y i ＝i ，即y i －i ＝0，y ^y ^答案：17．根据如下样本数据得到的回归方程为＝x ＋，若＝5.4，y ^ b ^ a ^ a ^则x 每增加1个单位，估计y ________个单位．x 34567y42.5－0.50.5－2解析：由题意可得，x ＝5，y ＝(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，因为15回归方程为＝x ＋，若＝5.4，且回归直线过点(5，0.9)，所以0.9＝5y ^ b ^ a ^ a ^＋5.4，解得＝－0.9，所以x 每增加一个单位，估计y 减少0.9个单b ^ b ^位．答案：减少0.98．已知方程＝0.85x －82.71是根据女大学生的身高预报她的体y ^重的回归方程，其中x 的单位是cm ，的单位是kg ，那么针对某个体y ^(160，53)的残差是________．解析：将x ＝160代入＝0.85x －82.71，得＝0.85×160－82.71＝y ^ y ^53.29，所以残差＝y －＝53－53.29＝－0.29.e ^ y ^答案：－0.29三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年到2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t^的值依次为1，2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010y年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：^＝99＋17.5t.y(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测^值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．y^利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝y 99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：方法一 从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t 可以较好地描述2010年以y ^后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．方法二 从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．10．关于x 与y 有以下数据：x 24568y3040605070已知x 与y 线性相关，由最小二乘法得＝6.5.b ^(1)求y 与x 的线性回归方程；(2)现有第二个线性模型：＝7x ＋17，且R 2＝0.82.若与(1)的线性y ^模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．解：(1)依题意设y 与x 的线性回归方程为＝6.5x ＋.y ^ a ^＝＝5，＝＝50，因为＝— x 2＋4＋5＋6＋85— y 30＋40＋60＋50＋705y ^ 6.5x ＋经过(，)，所以y 与x 的线性回归方程为＝6.5x ＋17.5 .所a ^ — x — y y ^ 以50＝6.5×5＋.所以＝17.5.a ^ a ^(2)由(1)的线性模型得y i －y i 与y i －的关系如下表所示：—yy i －y i －0.5－3.510－6.50.5y i －—y －20－101020由于R ＝0.845，R 2＝0.82知R ＞R 2，所以(1)的线性模型拟合效2121果比较好．B 级 能力提升1．根据如下样本数据：x 34567y4.02.5－0.50.5－2.0得到的回归方程为＝bx ＋a ，若a ＝7.9，则x 每增加 1个单位，yy ^就( )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加1.2个单位D ．减少1.2个单位解析：易知＝×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，—x 15＝×(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，—y 15所以样本点中心为(5，0.9)，所以0.9＝5b ＋7.9，所以b ＝－1.4，所以x 每增加1个单位，y 就减少1.4个单位．故选B.答案：B2．若某函数型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．解析：因为R 2＝1－，残差平方和总偏差平方和0．95＝1－，所以总偏差平方和为1 780；回归平方89总偏差平方和和＝总偏差平方和－残差平方和＝1 780－89＝1 691.答案：1 780 1 6913．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：次数x 3033353739444650成绩y 3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出回归方程；(3)作出残差图；(4)计算相关指数R 2；(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．解：(1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)＝39.25，＝40.875,＝— x —y 13 180，＝－＝－0.003 88.a ^ — yb ^ —x 所以回归方程为＝1.0415x －0.003 88.y ^(3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算得相关指数R 2＝0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．(5)由上述分析可知，我们可用回归方程＝1.041 5x －0.003 88作y ^为该运动员成绩的预报值．将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ≈49和y ≈57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.。
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：第二章2.2-2.2.2事件的相互独立性 含解析
则D＝B∪C，且B与C互斥，
又P(A)＝ ＝ ，P(AB)＝ ＝ ，
P(AC)＝ ＝ ，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝ ＋ ＝ .
答案：
3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ， ，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为 ， ，两人租车时间都不会超过四小时．
A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576
解析：可知K、A1、A2三类元件正常工作相互独立．所以当A1，A2至少有一个正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统正常工作的概率为PK·P＝0.9×0.96＝0.864.
答案：B
2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为()
A．1－a－bB．1－ab
C．(1－a)(1－b)D．1－(1－a)(1－b)
解析：设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“第二道工序的产品为正品”，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)．
答案：C
3．同时转动如Βιβλιοθήκη 所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为()
A．2个球不都是红球的概率
2019秋高中数学 章末评估验收(一)(含解析)新人教A版选修2-3.doc
章末评估验收(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．若A 3m ＝6C 4m ，则m 的值等于( ) A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由A 3m ＝6C 4m ，且m ≥4得6m （m －1）（m －2）（m －3）4×3×2×1＝m (m －1)(m －2)．所以m ＝7.答案：C2．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )A ．C 25 B ．25C ．52D ．A 25解析：“去”或“不去”，5个人中每个人都有两种选择，所以，出现的可能情况有2×2×2×2×2＝25(种)．答案：B3．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数有( )A ．120B ．240C ．360D ．720解析：首先确定3个球，有C 310种方法，要求与其所在盒子的标号不一致有2种放法，故共有2C 310＝240种方法．答案：B4．将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)，则不同的排列方法有( )A ．12种B ．20种C ．40种D ．60种解析：五个元素没有限制条件，全排列数为A 55，若A 、B 、C 的顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)， 则不同的排列方法为2·A 55A 33＝40.答案：C5．在(1－x )11的展开式中，含x 的奇次幂的各项系数的和是( ) A ．－210B ．210C ．－211D ．211解析：(1－x )11的展开式中，含x 的奇次幂的项即偶数项，由于偶数项的二项式系数和为210，偶数项的系数均为负数，故含x 的奇次幂的各项系数的和为－210.答案：A6．设f (x )＝(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1，则f (x )等于( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．(2x )5解析：f (x )＝C 05(2x ＋1)5(－1)0＋C 15(2x ＋1)4(－1)1＋C 25(2x ＋1)3(－1)2＋C 35(2x ＋1)2(－1)3＋C 45(2x ＋1)1(－1)4＋C 55(2x ＋1)0(－1)5＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5.答案：D7．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，则共有出场方案的种数是( )A ．6A 33 B ．3A 33 C ．2A 33D ．A 22A 14A 44解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A 14种选法，这两名女歌手有A 22种排法，再把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A 44种排法，根据分步乘法计数原理知，有A 14A 22A 44种出场方案．答案：D8．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －123x n的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为( ) A.112 B.124 C.116D.132解析：T 4＝C 3n (x )n －3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x 3＝－18C 3n x n －32－1，令n －32－1＝0，解得n ＝5，再令x ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝132. 答案：D9．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A ．1 B.1121 C.1021D.521解析：从袋中任取2个球共有C 215＝105种，其中恰好1个白球1个红球共有C 110C 15＝50(种)，所以恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.答案：C10．(2015·课标全国Ⅰ卷)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：在(x 2＋x ＋y )5的5个因式中，2个取因式中x 2剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故x 5y 2的系数为C 25C 13C 22＝30.答案：C11．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A ．300B ．216C ．180D ．162解析：由题意知可分为两类：(1)选0，共有C 23C 12C 13A 33＝108(个)；(2)不选0，共有C 23A 44＝72(个)．由分类加法计数原理得108＋72＝180(个)．答案：C12．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：在(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中，令x ＝1，得(2＋3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4，令x ＝－1，得(－2＋3)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4.两式相乘，得(2＋3)4·(－2＋3)4＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)． 所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(－4＋3)4＝1. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知⎝⎛⎭⎪⎫mx －1x 6的展开式中x 3的系数为15，则m 的值为________．解析：因为T r ＋1＝C r 6(mx )6－r(－x －12)r ＝(－1)r m 6－r ·C r6x 6－r －12r ，由6－r －12r ＝3，得r＝2.所以(－1)r m6－r·C r6＝m 4C 26＝15⇒m ＝±1.答案：±114．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种． 解析：甲、乙两人之间至少有一人，就是甲、乙两人不相邻，则有A 33A 24＝72(种)． 答案：7215．平面直角坐标系中有五个点，分别为O (0，0)，A (1，2)，B (2，4)，C (－1，2)，D (－2，4)．则这五个点可以确定不同的三角形个数为________．解析：五点中三点共线的有O ，A ，B 和O ，C ，D 两组．故可以确定的三角形有C 35－2＝10－2＝8(个)．答案：816．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8等于________． 解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10， 所以a 8＝C 810·22＝180. 答案：180三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)3名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？ (1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？(2)男生甲、乙相邻，有多少种排法？(结果用数字表示)解：(1)3名男生全排，再把4名女生插在男生的4个空中即可得A 33A 44＝144(种)． (2)“甲、乙”相邻，看成一个“元素集团”，与其余5个元素全排列数A 66，“元素集团”内部排法有A 22，所以共有A 22A 66＝1 440种排法．18．(本小题满分12分)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，求展开式中的常数项．解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n的展开式中只有第6项二项式系数最大．所以n ＝10.因此展开式通项T r ＋1＝C r 10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r＝2r ·C r 10x 5－52r ， 令5－52r ＝0，得r ＝2.所以展开式中的常数项为T 3＝4C 210＝180. 19．(本小题满分12分)设(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R)．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 013的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 013|的值． 解：(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 013＝(－1)2 013＝－1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 013＝32 013.②与①式联立，①－②得 2(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＝－1－32 013， 所以a 1＋a 3＋…＋a 2 013＝－1＋32 0132(3)T r －1＝C r2 013(－2x )r＝(－1)r.C r 2 013(2x )r， 所以a 2k －1＜0，a 2k ＞0(k ∈N *)．所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 013|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2 013＝32 013(令x ＝－1)．20．(本小题满分12分)10件不同厂家生产的同类产品．(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A 48＝1 680(或C 48·A 44)(种)．(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A 26种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A 48种方法，共有A 26·A 48＝50 400(或C 48·A 44)(种)．21．(本小题满分12分)把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况．(1)有几种不同的分配方法？(2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)男售票员和女售票员分别分组，有几种不同的分配方法？解：(1)男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一辆车，共有C 28种，再安排第二辆车共有C 26种，再安排第三辆车共有C 24种，最后安排第四辆车共有C 22种，这样不同的分配方法有C 28·C 26·C 24·C 22＝2 520(种)．(2)要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有A 44种不同方法，同理，女售票员也有A 44种方法，由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为A 44·A 44＝576(种)．(3)男女分别分组，4位男售票员平分成两组共有C 242＝3种不同分法，4位女售票员平分成两组也有C 242＝3种不同分法，这样分组方法就有3×3＝9(种)，对于其中每一种分法又有A 44种上车方法，因而不同的分配方法有9·A 44＝216(种)．22．(本小题满分12分)设a ＞0，若(1＋a ·x 12)n 的展开式中含x 2项的系数等于含x 项的系数的9倍，且展开式中第3项等于135x ，求a 的值．解：通项公式为T r ＋1＝C r na r x r2.若含x 2项，则r ＝4，此时的系数为C 4n ·a 4； 若含x 项，则r ＝2，此时的系数为C 2n ·a 2. 根据题意，有C 4n a 4＝9C 2n a 2， 即C 4n a 2＝9C 2n .①又T 3＝135x ，即有C 2n a 2＝135.② 由①②两式相除，得C 4n C 2n ＝9C 2n135.结合组合数公式，整理可得3n 2－23n ＋30＝0，解得n ＝6，或n ＝53(舍去)，将n ＝6代入②中，得15a 2＝135， 所以a 2＝9，因为a ＞0，所以a ＝3.。
2019秋金版学案数学选修2-3(人教A版)练习：第二章2.1-2.1.2第2课时两点分布与超几何分布含解析
第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.2 离散开明随机变量的分布列第2课时两点分布与超几何分布A级基础巩固一、选择题1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是()A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数解析：由超几何分布的定义知，B项正确．答案：B2．若随机变量X的概率分布列为且p 1＝12p 2，则p 1等于( )A.12B.13C.14D.16解析：由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1可解得p 1＝13.答案：B3．设随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝k )＝ck ＋1，k ＝0，1，2，3，则c＝( )A.1425B.1325C.1225D.1125解析：依题意c ＋c 2＋c 3＋c4＝1，所以c ＝1225.答案：C4．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1个是坏的B ．4个全是好的C ．恰有2个是好的D ．至多有2个是坏的解析：“X ＝k ”表示“取出的螺丝钉恰有k 个是好的”，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k3C 410(k ＝1，2，3，4)．所以P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16.答案：C5．一盒中有12个大小、形状完全相同的小球，其中9个红的，3个黑的，从盒中任取3球，x 表示取出的红球个数，P (x ＝1)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125解析：由题意知，取出3球必是一红二黑，故P (x ＝1)＝C 19C 23C 312＝27220，选C 项．答案：C 二、填空题6．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为1645，则a ＝________．解析：根据题意，得1645＝C 110－a C 1aC 210，解得a ＝2或a ＝8.答案：2或87．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为：ξ 0 12P________ ____解析：P (ξ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 02C 25＝310.答案：110 35 3108．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为________．解析：设选出4人中，会说日语的人数为X ，则X 服从N ＝10，M ＝6，n ＝4的超几何分布．所以有两人会说日语的概率为：P (X ＝2)＝C 26C 24C 410＝37.答案：37三、解答题9．某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参与数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数．求X 的分布列．解：依题意随机变量X 服从超几何分布，所以P (X ＝m )＝C m 6×C 4－m4C 410(m ＝0，1，2，3，4)． 所以P (X ＝0)＝C 06×C 44C 410＝1210，P (X ＝1)＝C 16×C 34C 410＝435， P (X ＝2)＝C 26×C 24C 410＝37，P (X ＝3)＝C 36×C 14C 410＝821， P (X ＝4)＝C 46×C 04C 410＝114.所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 P12104353782111410.收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P (X ≤1)，即P (X ≤1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245.综上该批产品被接收的概率是243245. B 级 能力提升1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%解析：设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x C 110－xC 210＝x （10－x ）45＝1645，解得x ＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x ＝2，所以次品率为210＝20%.答案：B2．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．解析：将50名学生看作一批产品，其中选修A 课程为不合格品，选修B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修A 课程的学生数，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝15，n ＝2.依题意所求概率为P (X ＝1)＝C 115C 2－150－15C 250＝37. 答案：373．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频率分布直方图及相应的消耗能量数据表如下．健步走步数/千步16171819消耗能量/卡路里400440480520(1)(2)从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．解：(1)小王这8天“健步走”步数的平均数为16×3＋17×2＋18×1＋19×28＝17.25(千步)．(2)X的各种取值可能为800，840，880，920.P(X＝800)＝C23C26＝15，P(X＝840)＝C13C12C26＝25，P(X＝880)＝C13C11＋C22C26＝415，P(X＝920)＝C12C11C26＝215.则X的分布列为：X 800840880920P 1525415215。
2019秋 金版学案 数学·选修2-3(人教A版)练习：第一章1.2-1.2.1第2课时排列的综合应用 Word版含解析
第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列第2课时排列的综合应用A级基础巩固一、选择题1．数列{a n}共有6项，其中4项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{a n}共有()A．30个B．31个C．60个D．61个解析：只需考查不是1的两项的位置．所以不同的数列共有A26＝30(个)．答案：A2．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有()A．48个B．36个C．24个D．18个解析：个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．答案：B3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!解析：此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3！种排法，三个家庭共有3！×3！×3！＝(3！)3种排法；再把三个家庭进行全排列有3！种排法，因此不同的坐法种数为(3！)4.答案：C4．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种B．18种C．24种D．48种解析：把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A22·A22种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A23种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A22·A22·A23＝24.答案：C5．世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁共四名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少一人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的分配方法有()A．12种B．10种C．8种D．6种解析：将甲、乙看作一个“元素”与另外两个组成三个“元素”，分配到三个展台，共有A33＝6种方法．答案：D二、填空题6．若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．解析：A25－1＝19.答案：197．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A44种方法，而A、B可交换位置，所以摆法有2A44＝48(种)．又当A、B相邻又满足A、C相邻，摆法有2A33＝12(种)．故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．答案：368．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙两人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析：文娱委员从甲、乙二人外的人员中选一人有A13种方法，则学习委员与体育委员有A24种方法，由分步乘法计数原理，共有A13A24＝36种选法．答案：36三、解答题9．7人站成一排．(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？(2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？解析：(1)法一7人的所有排列方法有A77种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又已知甲、乙、丙排序一定，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有A77A33＝840(种)．法二(插空法)7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故排法有A47＝7×6×5×4＝840(种)．(2)“甲在乙的左边”的7人排列数与“甲在乙的右边”的7人排列数相等，而7人的排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的排法有12A77＝2 520(种)．10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝1 440(种)．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37 440(种)．B级能力提升1．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则试验顺序的编排方法共有()A．24种B．48种C．96种D．144种解析：本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，所以从第一个位置和最后一个位置中选一个位置排A，编排方法有A12＝2(种)．因为程序B和C在实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间有2种排法，即编排方法共有A44A22＝48(种)．根据分步乘法计数原理知，编排方法共有2×48＝96(种)，故选C.答案：C2．将6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法有________种．解析：先排3个空位形成4个空隙，然后插入3个同学，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.答案：243．用1，2，3，4，5，6，7排成无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰好夹有一个奇数，没有偶数．解：(1)用插空法，共有A44A35＝1 440(个)．(2)先把偶数排在奇数位上有A34种排法，再排奇数有A44种排法．所以共有A34A44＝576(个)．(3)1和2的位置关系有A22种，在1和2之间放一个奇数有A13种方法，把1，2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有A55种排法，所以共有A22A13A55＝720(个)．。
2019秋 金版学案 数学·选修2-2(人教A版)练习：评估验收卷(三) Word版含解析
评估验收卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．复数i(2－i)＝( )A ．1＋2i B ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i解析：i(2－i)＝2i －i 2＝2i ＋1＝1＋2i.答案：A2．(2018·全国卷Ⅱ)＝( )1＋2i 1－2i A ．－－i B ．－＋i 45354535C ．－－i D ．－＋i 35453545解析：＝＝＝－＋i.1＋2i 1－2i （1＋2i ）2（1－2i ）（1＋2i ）－3＋4i 53545答案：D3．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2<0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2<0解析：举反例说明，若z ＝i ，则z 2＝－1<0.答案：C4．复数为纯虚数，则它的共轭复数是( )a ＋i 1－iA ．2iB ．－2iC ．iD ．－i解析：因为复数＝＝为纯虚a ＋i 1－i （a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）a －1＋（1＋a ）i 2数，所以＝0，≠0，解得a ＝1.所以＝i ，则它的共轭复数a －121＋a 2a ＋i 1－i 是－i.答案：D5．设f (n )＝＋(n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数(1＋i 1－i )n (1－i 1＋i )n 为( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个解析：f (n )＝＋＝i n ＋(－i)n ，(1＋i1－i )n (1－i 1＋i )nf (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…所以集合共有3个元素．答案：C6．若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )A.＋iB. 125C. D.5254解析：因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，则a ＝－，b ＝－1，故|a ＋b i|＝＝，选C.12|－12－i |52答案：C7．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：因为z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i ∈R.所以x ＋2＝0，所以x ＝－2.答案：A8．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4 D.45解析：由复数模的定义可得|4＋3i|＝5，从而(3－4i)z ＝5，则z ＝53－4i ＝，故z 的虚部为.3＋4i 545答案：D9．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ，y 分别为( )A ．x ＝－1，y ＝1B ．x ＝－1，y ＝2C ．x ＝1，y ＝1D ．x ＝1，y ＝2解析：因为(x ＋i)(1－i)＝(x ＋1)＋(1－x )i ，所以(x ＋1)＋(1－x )i ＝y .所以x ＋1＝y 且1－x ＝0，得x ＝1，y ＝2.答案：D10．已知3－i ＝z ·(－2i)，那么复数z 在复平面内对应的点应33位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为3－i ＝z ·(－2i)，33所以z ＝＝＝＝＋i.3－3i －23i （3－3i ）（23i ）（－23i ）（23i ）6＋63i 121232其对应的点的坐标为，在第一象限．(12，32)答案：A11．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为( )A ．1B. 34C. D ．－4334解析：z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]＝m ＋2m i ＋(m －1)i ＋2(m －1)i 2＝(m －2m ＋2)＋(2m ＋m －1)i ＝(2－m )＋(3m －1)i.所以2－m ＝3m －1，得m ＝.34答案：B12．设复数z 满足|z |<1且＝，则|z |等于( )|z － ＋1z |52A. B.4534C. D.2312解析：因为＝，即|z |2＋1＝|z |，所以|z |＝.|z ＋1z |525212答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知实数m 满足不等式|log 2m ＋4i|≤5，则m 的取值范围为________．解析：由题意知m >0，(log 2m )2＋16≤25，即(log 2m )2≤9，－3≤log 2m ≤3，所以2－3≤m ≤23，即≤m ≤8.18答案：[18，8]14．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________．解析：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i.因为其对应点在实轴上，所以a ＋1＝0，即a ＝－1.答案：－115．a 为正实数，i 为虚数单位，＝2，则a ＝________．|a ＋i i |解析：＝＝1－a i ，a ＋i i （a ＋i ）·（－i ）i·（－i ）则＝|1－a i|＝＝2，所以a 2＝3.|a ＋i i |a 2＋1又a 为正实数，所以a ＝.3答案：316．定义运算＝ad －bc ，若复数x ＝，y ＝，则y ＝|a b c d |1－i 1＋i |4i x i 2 x ＋i |________．解析：因为x ＝＝＝－i ，1－i 1＋i （1－i ）22所以y ＝＝＝－2.|4i x i 2 x ＋i ||4i 12 0|答案：－2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算＋＋－23＋i 1＋23i(21＋i )2 018 （4－8i ）2－（－4＋8i ）211－7i解：原式＝＋＋i （1＋23i ）1＋23i[(21＋i )2 ]1 009 ＝16－64i ＋64i 2－（16－64i ＋64i 2）11－7ii ＋(－i)1 009＋0＝0.18．(本小题满分12分)实数m 分别取什么数值时，复数z ＝m 2＋5m ＋6＋(m 2－2m －15)i ：(1)与复数2－12i 相等？(2)与复数12＋16i 互为共轭复数？(3)在复平面内对应的点在x 轴上方？解：(1)根据复数相等的充要条件得解得m ＝－1.{m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，)即m ＝－1时，复数z 与复数2－12i 相等．(2)复数12＋16i 的共轭复数为12－16i ，由题意得{m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，)即解得m ＝1.{m 2＋5m －6＝0，m 2－2m ＋1＝0，)故当m ＝1时，复数z 与复数12＋16i 互为共轭复数．(3)复数z ＝m 2＋5m ＋6＋(m 2－2m －15)i 在复平面内对应的点位于x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.所以m <－3或m >5时，复数z 在复平面内对应的x 轴上方．19．(本小题满分12分)已知复数z ＝.（1＋i ）2＋2（5－i ）3＋i (1)求|z |；(2)若z (z ＋a )＝b ＋i ，求实数a ，b 的值．解：(1)因为z ＝＝＝＝3－i ，2i ＋10－2i 3＋i 103＋i 10（3－i ）10所以|z |＝.10(2)因为(3－i)(3－i ＋a )＝(3－i)2＋(3－i)a ＝8＋3a －(a ＋6)i ＝b ＋i ，所以⇒{8＋3a ＝b ，－（a ＋6）＝1，){a＝－7，b ＝－13.)20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋<0，求z .1z 解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，由题意得x 2＋y 2＝1，则z 2＋2z ＋＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1z 1x ＋y i 1)i.因为y ≠0，z 2＋2z ＋<0，1z 所以解得x ＝－.{2x ＋1＝0，x 2－y 2＋3x <0，)12将x ＝－代入x 2＋y 2＝1，得y ＝±.1232所以z ＝－±i.123221．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝，求：15－5i （2＋i ）2(1)z 1·z 2.(2)若z ∈C ，且|z －z 1|＝1，求|z －z 2|的最大值．解：(1)因为z 2＝＝＝＝15－5i （2＋i ）215－5i 3＋4i （15－5i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝1－3i ，所以z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.25－75i 25(2)由|z －z 1|＝1知，z 在以(2，－3)为圆心，以1为半径的圆上，如图：z 2在复平面内对应的点为B (1，－3)，所以当z 对应的点为A (3，－3)时，|z －z 2|的最大值为2.22．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量，分别OZ 1→ OZ 2→对应复数z 1，z 2，且z 1＝＋(10－a 2)i ，z 2＝＋(2a －5)i ，a ∈R.3a ＋521－a若1＋z 2可以与任意实数比较大小，求·的值．—z OZ 1→ OZ 2→解：由题意，得1＝－(10－a 2)i ，—z 3a ＋5则1＋z 2＝－(10－a 2)i ＋＋(2a －5)i ＝＋(a 2—z 3a ＋521－a (3a ＋5＋21－a )＋2a －15)i.因为1＋z 2可以与任意实数比较大小，—z 所以1＋z 2是实数，—z 所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又因为a ＋5≠0，所以a ＝3.所以z 1＝＋i ，z 2＝－1＋i.38所以＝，＝(－1，1)．OZ 1→ (38，1)OZ 2→ 所以·＝×(－1)＋1×1＝.OZ 1→ OZ 2→ 3858。
2019版三维方案数学同步人教A版选修2-3 回扣验收特训(三) 统计案例
回扣验收特训（三） 统计案例1．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施( )A ．有关 C ．关系不明确D ．以上都不正确解析：选A 随机变量K 2的观测值 k ＝100×(48×12－38×2)250×50×86×14≈8.306>6.635，则有99%的把握认为“实验效果与教学措施有关”． 2．下列说法中正确的有：( ) ①若r >0，则x 增大时，y 也相应增大； ②若r <0，则x 增大时，y 也相应增大；③若r ＝1或r ＝－1，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 解析：选C 若r >0，表示两个相关变量正相关，x 增大时，y 也相应增大，故①正确．r <0，表示两个变量负相关，x 增大时，y 相应减小，故②错误．|r |越接近1，表示两个变量相关性越高，|r |＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．3．有下列数据( )A ．y ＝3×2x －1 B ．y ＝log 2x C ．y ＝3xD ．y ＝x 2解析：选A 分别把x ＝1,2,3，代入求值，求最接近y 的值．即为模拟效果最好．4．若两个变量的残差平方和是325，∑i ＝1n(y i －y )2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为( )A ．64.8%B ．60%C ．35.2%D ．40%解析：选C 由题意可知随机误差对预报变量的贡献率约为325923≈0.352.5．为了解儿子身高与其父亲身高之间的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 关于x 的线性回归方程为( ) A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝88＋12xD.y ^＝176 解析：选C 由表中数据可知x ＝176，y ＝176，代入选项知C 正确．6．收集一只棉铃虫的产卵数y 与温度x 的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y 与x 之间的回归方程，并算出了对应相关指数R 2如下表：则这组数据模型的回归方程的最好选择应是( ) A.y ^＝19.8x －463.7 B.y ^＝e 0.27x －3.84 C.y ^＝0.367x 2－202D.y ^＝(x －0.78)2－1解析：选B 用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越大，说明模型的拟合效果越好． 7．某学校对课程《人与自然》的选修情况进行了统计，得到如下数据：那么，在犯错误的概率不超过__________的前提下认为选修《人与自然》与性别有关．解析：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝163.794>10.828，即在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为选修《人与自然》与性别有关． 答案：0.0018．某研究机构对高中学段学生的记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下表数据：若y 与x 的回归直线方程y ^＝3x －32，则实数m 的值是________．解析：由题意，x ＝32，y ＝8＋m 4，所以样本中心点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，8＋m 4，因为回归直线必过样本中心点，y 与x 的回归直线方程为y ^＝3x －32，所以8＋m 4＝3×32－32，所以m ＝4.答案：49．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用过血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得k ≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，有以下四个结论：①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； ②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； ③这种血清预防感冒的有效率为95%； ④这种血清预防感冒的有效率为5%. 其中所有正确结论的序号是________．解析：由题意，因为k ≈3.918，P (K 2≥3.841)≈0.05，所以只有①正确，即有95%以上的把握认为这种血清能起到预防感冒的作用．答案：①10．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝b x＋a；(2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地2018年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得，x＝0，y＝3.2，又－4×(－21)＋(－2)×(－11)＋0×0＋2×19＋4×29＝260，(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40，＝6.5，a^＝y－b^x＝3.2.所以b^＝26040由上述计算结果，知所求回归直线方程为^－257＝b^(x－2012)＋a^＝6.5(x－2012)＋3.2，y即y^＝6.5(x－2012)＋260.2.(2)利用回归直线方程，可预测2018年的粮食需求量为^＝6.5(2018－2012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．y11．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生表二：女生(1)1人测评等级为合格的概率；(2)由表中统计数据填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考临界值表：解：(1)设从高一年级男生中抽出m 人，则m 500＝45500＋400，解得m ＝25，则从女生中抽取20人， 所以x ＝25－15－5＝5，y ＝20－15－3＝2.表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a ，b ，c ，尚待改进的2人为A ，B ，则从这5人中任选2人的所有可能结果为(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，(A ，B )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，共10种．记事件C 表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C 的结果为(a ，A )，(a ，B )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，共6种．所以P (C )＝610＝35，故所求概率为35.(2)列联表如下：因为1－0.9＝0.1，P (K 2≥2.706)＝0.10，而K 2＝45×(15×5－15×10)230×15×25×20＝1.125<2.706，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．。
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章末评估验收(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．下列关于K2的说法正确的是()A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B．K2的值越大，两个事件的相关性就越大C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的，只对于两个分类变量适合D．K2的观测值k的计算公式为k＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解析：K2是用来判断两个分类变量是否有关的，故A错；K2的值越大，只能说明有更大地把握认为二者有关系，却不能判断相关性的大小，B错；D中(ad－bc)应为(ad－bc)2.答案：C2．如图所示的等高条形图可以说明的问题是()A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握解析：由等高条形图知，“心脏搭桥术”和“血管清障”对“诱发心脏病”的影响程度不同，但没有100%的把握．答案：D3．两个变量x与y的回归模型中，分别选择了四个不同模型来拟合y 与x之间的关系，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()模型123 4R20.980.800.500.25A.模型1 B解析：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果越好，所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，模型1拟合效果最好．答案：A4．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是() A．l1和l2有交点(s，t)B．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)C．l1与l2必定平行D．l1与l2必定重合解析：由回归直线定义知选A.答案：A5．相关变量x，y的样本数据如下：经回归分析可得y y ^＝1.1x ＋a ，则a ＝( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4解析：由题意，x －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝2＋2＋3＋5＋65＝3.6，因为回归直线方程y ^＝1.1x ＋a 过样本中心点(x －，y －)， 所以3.6＝1.1×3＋a ， 所以a ＝0.3.故选C. 答案：C6．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表(单位：人)：分类 经常使用偶尔或不用总计 30岁及以下 70 30 100 30岁以上 60 40 100 总计13070200率不超过( )A ．0.10B ．0.05C ．0.15D ．0.01参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b＋c ＋d .参考数据：P (K 2≥k 0)0.150.100.05 0.025 0.010k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635解析：K 2的观测值k ＝200×（70×40－30×60）2100×100×130×70≈2.198.因为2.198>2.072，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关．答案：C7．为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.已知x i ＝225，y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( ) A ．160B ．163C ．166D ．170解析：x —＝22.5，y —＝160，a ^＝160－4×22.5＝70，则回归直线方程为y ^＝4x ＋70，所以当某学生的脚长为24时，该学生的身高为4×24＋70＝166.答案：C8．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( )A ．总偏差平方和B ．残差平方和C．回归平方D．相关指数R2解析：根据残差平方和的概念知选项B正确．答案：B9．废品率x%与每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为y^＝234＋3x，表明()A．废品率每增加1%，生铁成本增加3x元B．废品率每增加1%，生铁成本每吨平均增加3元C．废品率每增加1%，生铁成本增加234元D．废品率不变，生铁成本为234元解析：回归直线方程表示废品率x%与每吨生铁成本y(元)之间的相关关系．故回归直线方程y^＝234＋3x时，废品率每增加1%，生铁成本每吨平均增加3元．答案：B10．在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，根据表中数据判断如下结论中正确的是()性别说谎不说谎总计男6713女8917总计141630A.B．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关C．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关D．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关解析：由表中数据得k＝30×（6×9－8×7）214×16×13×17≈0.002 42<3.841.因此没有充分证据认为说谎与性别有关，故选D. 答案：D11．两个相关变量满足如下关系：x1015202530y 1 003 1 005 1 010 1 011 1 014A.y ^＝0.56x ＋997.4 B.y ^＝0.63x －231.2 C.y ^＝50.2x ＋501.4D.y ^＝60.4x ＋400.7解析：利用公式＝997.4，所以回归直线方程为y ^＝0.56x ＋997.4.答案：A12．两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35.若认为X 与Y 有关系时犯错误的概率不超过0.025，则c 可以等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：列2×2列联表如下：故K 2的观测值k ＝31×35×（10＋c ）（56－c ）≥5.024.将c ＝3，4，5，6代入方程，只有c ＝3适合． 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为________．x3456y 2.5 m 4 4.5解析：x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋m ＋4＋4.54＝11＋m4，因为这组数据的样本点的中心在线性回归直线上， 所以11＋m4＝0.7×4.5＋0.35，所以m ＝3.答案：314．某高校“统计专业”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：性别 非统计专业统计专业男 13 10 女720机变量K 2的观测值k ＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844>3.841.因此，判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的概率不超过________．解析：根据k >3.841，可判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为主修统计专业与性别有关系．故出错的概率不超过0.05.答案：0.0515．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：温度x / ℃ 0 10 20 50 70 溶解度y66.776.085.0112.3128.0解析：把表中的数据代入公式b ^＝＝0.880 9.答案：0.880 916．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温/℃ 18 13 10 －1 杯数24 34 3864由表中数据算得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯．解析：根据表格中的数据可求得x —＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y —＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.所以a ^＝y —－b ^ x —＝40－(－2)×10＝60，所以y^＝－2x＋60，当x＝－5时，y^＝－2×(－5)＋60＝70.答案：70三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温/℃181310－1用电量/度24343864由表中数据得线性回归方程y＝b x＋a中，b≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量为多少．解：由题意得x＝10，y＝40，因为回归直线过点(x，y)，所以40＝－2×10＋a^.所以a^＝60，所以y^＝－2x＋60.令x＝－4，得y^＝(－2)×(－4)＋60＝68.所以当气温为－4 ℃时，预测用电量为68度．18．(本小题满分12分)某学校高三年级有学生1 000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)，现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165 cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K2的观测值精确到0.001)?解：(1)填写列联表如下：分类身高达标身高不达标总计经常参加体育锻炼403575不经常参加体育锻炼101525总计5050100(2)k＝100×（40×15－35×10）275×25×50×50≈1.333＜3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系．19．(本小题满分12分)在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x(单位：分)与物理偏差y(单位：分)之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如表：(2)若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩．参考数据： x i y i ＝324， x 2i ＝1 256.解：x —＝20＋15＋13＋3＋2＋（－5）＋（－10）＋（－18）8＝52，y —＝6.5＋3.5＋3.5＋1.5＋0.5＋（－0.5）＋（－2.5）＋（－3.5）8＝98，b ^＝＝324－8×52×981 256－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝14，所以a ^＝y —－b ^ x —＝98－14×52＝12， 故线性回归方程为y ^＝14x ＋12.(2)由题意，设该同学的物理成绩为ω， 则物理偏差为：ω－90.5. 而数学偏差为126－118＝8，则由(1)的结论可得：ω－90.5＝14×8＋12，解得ω＝93，所以，可以预测这位同学的物理成绩为93分．20．(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：(1)生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关，并说明理由．解：(1)积极参加班级工作的学生有24名，总人数为50名，概率为24 50＝1225.不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19名，概率为1950.(2)由K2公式得K2＝50×（18×19－6×7）225×25×24×26≈11.5.因为K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．21．(本小题满分12分)“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额t(百元)的频率分布直方图如图所示：(1)求网民消费金额t的平均值t和中位数t0.(2)把下表中空格里的数填上，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为网购消费与性别有关．项目男女总计t≥t0t<t030总计45附表：P(K2≥k0)0.150.100.05k0 2.072 2.706 3.841K2的观测值k＝2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解：(1)以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额t的平均值t＝2.5×0.2＋7.5×0.3＋12.5×0.2＋17.5×0.15＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝11.5.直方图中第一组，第二组的频率之和为0.04×5＋0.06×5＝0.5.所以t的中位数t0＝10.(2)列出2×2的列联表如下：K 2的观测值k ＝10050×50×45×55＝10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为网购消费与性别有关．22．(本小题满分12分)假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x 15.0 25.58 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2(1)以x (2)求y 与x 之间的回归直线方程，对于基本苗数56.7预报其有效穗； (3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R 2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几． 解：(1)散点图如下：(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，由已知数据可求得— x ＝30.316，— y ＝43.5，所以R 2＝1－8.522 5950.18≈0.830.所以解释变量小麦基本苗数对总效应贡献了约83%. 残差变量贡献了约1－83%＝17%.。