第三章_通信原理《随机过程》

主要内容：
3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程(了解） 3.6 正弦波加窄带高斯噪声（了解） 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 3.8 小结
3.1 随机过程的基本概念
一、随机过程 二、随机过程的分布函数 三、随机过程的数字特征
思考：随机变量与随机过程有啥区别和联系？
随机变量的样本是一个实数值的集合；而随机过程 的样本是时间函数的集合。
随机过程在某一确定时刻的值是一个随机变量。
二、随机过程的分布函数
设 表t示一个随机过程 ，则在任一时刻 上t的1 值 是t1 一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概
率密度函数来描述。并把它们定义为随机过程的一 维分布函数和一维概率密度函数。
第三章 随机过程
在通信系统中，随机过程是非常重要的数学工具。 因为通信中的信号与噪声都具有一定的随机性，它们 不能用一个确定的时间函数来表示，而必须根据随机 过程的理论来描述。
本章在介绍随机过程的分布及其数字特征等基本概 念的基础上，着重介绍通信系统中常见的几种重要的 随机过程的统计特性，以及随机过程通过线性系统的 情况。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
§(t)的n维分布函数:
Fn x1, x2 , , xn;t1, t2 , tn p t1 x1, t2 x2 , , tn xn
一、随机过程 什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化的过程， 它不能用确切的时间函数描述。随机是指取 值不定，仅有取某值的可能而无确切的取值； 过程是指其为时间t的函数。 可从两种不同角度看：
角度1：随机过程是所有样本函数的集合。
我们以通信机为例，理解随机过程的定义。
例如：有N台性能完全相同的通信机,工作条件相同,用 n部记录仪同时记录它们的输出噪声。
随机过程的数字特征是由随机变量的数字特征推 广而得到的，其中最常用的是均值（数学期望）、方 差和相关函数。
1、均值（数学期望）
设随机过程 在t给 定瞬时的值为 ，它t1 是 一个随机
变望意指量定，的它E，对 直应t1 接的t1，写概x显为率f1然密x，,度t1则函dx上是数式时为改间写的为，E函：其f数1t数1xt，, t学1由 期于 是t1任
一维分布函数： F1x1, t1 p t1 x1
一维概率密度函数：f1x1, t1
F1x1, t1
x1
F1
x1 ,t1
f x1
1
x1' ,t1 dx1'
一般情况下：
一维分布函数： F1x,t p t x
一维概率密度函数：
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
§(t)的n维概率密度函数:
fn x1, x2 , , xn;t1, t2 , tn Fn x1, x2 , , xn;t1, t2 , tn
x1 , x2 xn
• n越大，对随机过程的描述越充分。
三、随机过程的数字特征
在大多数情况下，往往不容易或不需要确定随机 过程的整个统计特性，而只需要知道它的一些数字 特征就可以了。
即随机过程在任意时 刻上的取值是一个随 机变量。
因此，我们得到随 机过程的另一种定义: 随机过程是在时间进程 中处于不同时刻的随机 变量的集合。
t1
随机过程的定义： 角度1：随机过程是所有样本函数的集合。 角度2：随机过程是在时间进程中处于不同时
刻的随机变量的集合。
随机过程的基本特征：首先它是时间的函数，其次 它在任意时刻上的取值是一个随机变量。
E
t
x
f1
x,
t
dx
E
t
x
f1( x, t)dx
上式定义为随机过程的均值（数学期望）。显然它
是时间 的t函数，记为：
E t
x
f1( x, t)dx
at
t,at
a (t )
0
t1
t
上图画出了3个样本函数（细线）及它的数学期
望（实线）。均值表示随机过程的n个样本函数曲
线的摆动中心 。
2、方差：
E 2t 2a2t a2t
E 2t a2t 2t
均方值
均值平方
方差
即： 2t E 2t a2t
所以随机过程的方差也等于随机过程均方值减去 均值的平方。
3、相关函数
数学期望和方差是随机过程的重要数字特征， 但它们仅与随机过程的一维概率密度函数有关。只 描述了随机过程在各个孤立时刻的特性。为了衡量 随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的 而关联程度，常采用相关函数或协方差函数。
随机过程的方差为：
D ( t ) E t at2
x
a
t
2
f
1
x
,
t
dx
显然，方差也是时间 t的函数，记为;
D (t) 2t
它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度， 是一维统计特性，总是正数。
因为： D (t) E t at 2
E 2t 2 t at a2t
E 2t 2E tat Ea2t
或随机过程的一次实现。 全部样本函数构成的总
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过ห้องสมุดไป่ตู้，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。