初中数学教师学科知识竞赛

初中数学教师学科知识竞赛
初中数学教师学科知识竞赛试卷
一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分．每
小题的四个选项中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）
1．如图，一个大长方形被两条线段AB ，CD 分成
积分别为8，6，5( )
A . 92
B . 7
2
C . 10
3
D .
158
2．如图，C 在以AB 为直径的半圆⊙O 上，I 是ABC
∆的内心，,AI BI
的延长线分别交半圆⊙O 于点D ，E ，AB =6，则的长为（ ）
A ．3
B C
3．对于每个x ，函数y
是 1232,
2,y
x y x y ==+这三个函数中的最小值. 则函数y 的最大值是( )
A ．4
B ．6
C ．8
B
(第2题)
(第1题)
B
D．48
7
4．设有一几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（）
A．4+5
2
πB．
C．4+πD．4+
2
π
5．已知一个半径为R，高为h（h>2R）的无盖圆柱形容器装满水，缓缓倾斜︒45后，剩在圆柱形容器里的水恰好装满一个半径也为R的球形容器（球体的体积公式：3
4
3
V R
π
=），若R=3，则圆柱形容器的高h为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．当x=时,代数式()()()()()
12345
x x x x x x
+++++的值为．
7．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF，则△ABC
主视图左视图俯视图
8．两条渡轮分别从江的两岸同时开出，它们各自
的速度分别是固定的，
第一次相遇在距一岸800米处，相遇后继续前
行，到对岸后立即返
回（转向时间不计），第二次相遇在距另一岸300
米处，则江面宽是 米.
9．如图，在直角梯形ABCD
AC ⊥BD ，AB =3CD ，
则AC BD = .
10．已知关于x 的一元二次方程02
＝＋＋a cx x 的两个整
数根恰好比
方程02
＝＋＋b ax x 的两个根都大1，则a ＋b ＋c 的值
为 .
三、解答题（共4题，满分50分）
11．（12分）已知抛物线2:(0)
l y ax bx c abc =++≠，它的顶
点P 的坐标是
2
4(,)24b ac b a a
--，与y 轴的交点是(0,)M c .我们称以M 为
顶点，对称轴是y 轴且过点P 的抛物线为抛物线l 的伴随抛物线，直线PM 为l 的伴随直线.
(第9题)
（1）请直接写出抛物线2241
=-+的伴随抛物线和
y x x
伴随直线的解析式：
伴随抛物线：，伴随直线：；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别
是23
=--和3
y x
=--，请直接写出这条抛物线
y x
的解析式
是；
（3）求抛物线2
=++≠的伴随抛物线和伴
l y ax bx c abc
:(0)
随直线的解析式.
12．（12分）“要想富，先修路”某地政府为实施辖区内偏远地区的开发，把一条原有的铁路延伸了一段，并在沿途设立了一些新的车站，因此铁路局要印制46种新车票，这段路上新老车
站加起来不超过20个，那么该地新建几个车站？该地原有几个车站？
13．（12分）如图，四边形ABCD
满足AB=AC，
（1）过点A作AF⊥BD交BD
BF=CD+DF．
（2）若CD//AB，过点D作DE⊥AB交AB于点E，且DE=DC．
①求证：22
AD AE AB
=⋅；
②求DC
AB 的值．
(第13题)
14.（15分）按《省初中毕业生学业考试说明》中
的要求进行编题，并给出答案。

编一道选择题，难度值：0.6左右，主要知识点：相似三角形.
15．（14分）如图所示，现有一张边长为4的正方
形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一
点（不与点A，D
使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC
于点H，折痕为EF，连结BP,BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH．
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在
最小值？若存在，求出这个最小值；若不
存在，请说明理由．
（第14题）
温州市第四届初中数学教师学科知识竞赛——参考答案一、选择题1．C 2．B 3．B 4．A 5．B
二、填空题6．－15 7．84 8．2100 9．
10．29或-3
3
三、解答题11. （1）2
21
y x
=-+， （2分）
21
y x =-+； （2分） （
2
）
223
y x x =--；
（2分）
（3）伴随抛物线是：
2y ax c
=-+
（3分）
伴
随直线是：
2
b
y x c =
+
（3分）
12. 解：设原有车站x 个，新车站有y 个．则每个
新车站需要印制的车票有（x +y －1）种，y 个新车站要印（x +y －1)y 种新车票，对于x 个老车站，要印xy 种新车票．
根据题意，有(x +y －1)y +xy =46，
（4分）
即y (2x +y －1)=46． 由于46=1×46=2×23， ∴
2146212312(1)(2)x y x y y y +-=+-===⎧⎧⎨
⎨
⎩⎩，，．
．
（4分）
因为x ，y 必须取正整数，加之新车站合起
来不超过20个，则有21232x y y +-==⎧⎨
⎩
，
．
符合题意，解得
（4分）
即新建2个，原有11个．
13.
（1）证明：在BF 上截取BK =CD ，∵∠1=∠2，CA =BA ，
∴△DCA ≌△KBA ，∴AK =AD ，∵AF ⊥BD ，∴DF =KF ，
∴BF =BK +KF =CD +DF ；
（3分）
（2）①证明：过A 作AH ⊥BC 交BC 于点H ，∵CD//AB ，∴AD=BC,∴∠DAE =∠ABH ，
∵AB =AC ∴AD =BC =2BH ，且Rt △
DAE ∽Rt △ABH ，
∴DA AB AE BH =，∵2
AD BH = ， ∴2
2AD AE AB
=⋅
（4分）
②设CD =
x
，AB =
y
，则DE =
x
，
AE =11
()()22
AB CD y x -=-在Rt △DAE 中， 222
2AE AB AD AE DE ⋅==+，即2
2
11
2()[()]22
y x y y x x ⨯-⋅=-+
∴2
25230()(53)0
x xy y x y x y +-=⇒+-=
∴
53x y
=，
∴
3
5
CD x AB y ==，
（5分）
15. （1）解：如图1，∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．（3分）（2）△PHD的周长不变为定值8．（1分）
证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
(第15题)
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP．（2分）
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH．∴CH=QH．
∴△PHD 的周长为：
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8． （2分）
（3）如图3，过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB ． 又∵EF 为折痕， ∴EF ⊥BP ．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°， ∴∠EFM=∠ABP ． 又∵∠A=∠EMF=90°，
∴△EFM ≌△PBA ． ∴EM=AP=x ． ∴在Rt △APE 中，（4﹣BE ）2+x 2=BE 2． 解得，2
28
x BE =+
． （2分）
∴
2
28
x CF BE ME x
=-=+-．又四边形PEFG 与四边形BEFC
全等， ∴
222
11()(22)42822882
x x x s CF BE BC x x =+⨯=+-++⨯=-+． （2分）
配方得，
21
(2)62
s x =-+，
∴当2x =时，S 有最小值
6． （2分）
(第15题)。