人大2016年量子力学考研回忆

（一）一个单轴量子转体的哈密顿量形式为I =H Z 220L ，其中I 为转动惯量Z L 是沿转轴方向的角动量算符。

（1）求解该转体所有的能量本征值和能量本征态。

（2）假设给该转体施加一个微扰，其形式为ϕcos A =H '，A 为实常数，ϕ是转子的角度，写出在0H 的能量本征态表象下的微扰哈密顿量的矩阵形式。

（3）假设我们只保留能量最低的三个态构成一组基函数，写出H '+H =H 0所有的能量本征值和能量本征态

（4）用合适的微扰理论求H '+H =H 0 的本征态和本征值，并讨论所得结果与上一问的结果的联系。

（二）

(1)证明实波函数的几率流密度为零

(2)证明不同能量本征值的能量本征态相互正交

(3)证明h a ip h a ip x

x ae e --=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡，x

(三)

(1)写出电子自旋算符的对易与反对易关系以及在Z 自旋方向分量的本征态的矩阵形式。

(2)计算h s i e R ϕϕ ⋅=算符在Z 自旋方向分量的本征态的矩阵形式，ϕ为一个经典矢量，算符的物理意义是什么？

(3)把电子置于沿Z 方向大小为B 的磁场中，写出自旋方向随时间演变的方程，如果同时施加一个沿x 轴方向形式为t cos 1ϖB 的交变磁场结果会如何

（四）

(1)两个电子，动量分别为1κ 和2κ ，自旋分别指向z +和方向z -，写出处于这个态上的态函数，并计算两个电子相距为r 的对应几率

(2)两个电子，总自旋为零，总动量也为零，写出处于这个态上的态函数的最一般形式

(3)用微扰理论求氦原子的