2020高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列学案5

第1课时 等比数列学习目标：1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．等比数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)．(2)符号语言：a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0，n ∈N *)． 思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示] 不能． 2．等比中项(1)前提：三个数a ，G ，b 成等比数列． (2)结论：G 叫做a ，b 的等比中项． (3)满足的关系式：G 2＝ab .思考：当G 2＝ab 时，G 一定是a ，b 的等比中项吗？ [提示] 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． 3．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1·q n －1.这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q·q n，而y ＝a 1q·q x(q ≠1)是一个不为0的常数a 1q与指数函数q x的乘积，从图象上看，表示数列a 1q·q n中的各项的点是函数y ＝a 1q·q x的图象上的孤立点．思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法． 当n >2时，a n a n －1＝q ，a n －1a n －2＝q ，…，a 2a 1＝q ， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2……a n －1a n －2·a n a n －1＝a 1·q n －1. [基础自测]1．思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( ) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( ) (3)常数列一定为等比数列．( ) (4)任何两个数都有等比中项．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×提示：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．2．下列数列为等比数列的序号是________．①2,22,3×22；②1a ，1a 2，1a 3，1a 4，1a5(a ≠0)；③s －1，(s －1)2，(s －1)3，(s －1)4，(s －1)5；④0,0,0,0,0.② [222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a ，公比为1a 的等比数列；③中，当s ＝1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]3．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝________.【导学号：91432189】12 [由定义知a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝a 5a 4＝q ，则a 2＝a 1q ＝2，① a 5＝a 4q ＝a 3q 2＝a 2q 3＝a 1q 4＝14，②所以②÷①得q 3＝18，所以q ＝12.]4．在等比数列{a n }中，a 4＝27，q ＝－3，则a 7＝________. －729 [由等比数列定义知a 7a 6＝a 6a 5＝a 5a 4＝q . 所以a 5＝a 4q ＝27×(－3)＝－81，a 6＝a 5q ＝－81×(－3)＝243， a 7＝a 6q ＝243×(－3)＝－729.][合 作 探 究·攻 重 难]等比数列的通项公式及应用在等比数列{a n }中． (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n .【导学号：91432190】[解] (1)由等比数列的通项公式得，a 6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1qn －1＝5×2n －1.[规律方法]1．等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a 1和q 的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．1．在等比数列{a n }中，(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5； (2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n . [解] (1)∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3，∴a 5＝405. (2)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝22n －53.等比中项(1)等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( )A ．±4B ．4C ．±14 D.14(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项.【导学号：91432191】思路探究：(1)用定义求等比中项． (2)证明(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)即可．(1)A [由a n ＝18·2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24，所以a 4与a 8的等比中项为±4.](2)证明：b 是a ，c 的等比中项，则b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零， 又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，(ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)·(b 2＋c 2)，即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．[规律方法] 等比中项应用的三点注意：(1)由等比中项的定义可知G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0). 2．若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则ab的值为( ) A ．±12 B.12 C ．1 D ．±1D [由题知2a ＝1＋3， ∴a ＝2.由b 2＝4得b ＝±2 ∴a b＝±1.]3．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )【导学号：91432192】A ．2B ．4C ．6D ．8B [∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)，k ＝4.]等比数列的判断与证明[探究问题]1．若数列{a n }是等比数列，易知有a n ＋1a n＝q (q 为常数，且q ≠0)或a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)成立．反之，能说明数列{a n }是等比数列吗？提示：能．若数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)或a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)都能说明{a n }是等比数列． 2．若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则它的通项公式为a n ＝a 1·q n －1(a ，q 为非零常数，n ∈N *)．反之，能说明数列{a n }是等比数列吗？提示：能．根据等比数列的定义可知．已知数列的前n 项和为S n ＝2n＋a ，试判断{a n }是否是等比数列．思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a 1是否适合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)？需要检验吗？[解] a n ＝S n －S n －1＝2n＋a －2n －1－a ＝2n －1(n ≥2)．当n ≥2时a n ＋1a n ＝2n2n －1＝2；当n ＝1时，a n ＋1a n ＝a 2a 1＝22＋a. 故当a ＝－1时，数列{a n }成等比数列，其首项为1，公比为2；当a ≠－1时，数列{a n }不是等比数列． 母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“S n ＝2n＋a ”变为“S n ＝2－a n ”．求证数列{a n }是等比数列． [证明] ∵S n ＝2－a n ， ∴S n ＋1＝2－a n ＋1，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1， ∴a n ＋1＝12a n .又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12， ∴{a n }是等比数列．2．(变条件变结论)将例题中的条件“S n ＝2n＋a ”变为“a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”证明数列{a n ＋1}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．[解] 因为a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 由a 1＝1，知a 1＋1≠0， 从而a n ＋1≠0. 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N ＋)，所以数列{a n ＋1}是等比数列． 所以{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，即a n ＝2n－1.[规律方法] 判断一个数列{a n }是等比数列的方法： (1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a na n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列.(3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1qn －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列.1．下列数列是等比数列的是( )【导学号：91432193】A ．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…B ．－1,1，－1,1，－1，…C ．0,2,4,6,8,10，…D ．a 1，a 2，a 3，a 4，…B [A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A. B ．由等比数列定义知该数列为等比数列．C ．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列．D ．当a ＝0时，该数列不是等比数列；当a ≠0时，该数列为等比数列．]2．若2a ，b,2c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．0或2B [由题意，得b 2＝4ac ，故函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相切．] 3．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )【导学号：91432194】A ．±12B ．±2 C.12D ．－2D [因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2.]4．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________. 4n －1[由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以通项公式a n ＝4n －1.]5．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式.【导学号：91432195】[解] 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，于是b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n.而b nb n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n⎝ ⎛⎭⎪⎫124－n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2. ∴数列{b n }是公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3.。