2012北京邮电大学概率论与随机过程试题

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(完整word版)随机过程试题及答案

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则这个随机过程的状态空间。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

北邮概率论与随机过程—学学期期末A卷

北京邮电大学2010——2011学年第2 学期3学时《概率论与随机过程》期末考试（A ）一．填空题.1 设随机事件,A B 满足()( )P AB P A B =, 且()P A p =, 则()P B = 1-p2. 设每次实验中事件A 出现的概率为p ,在三次独立重复试验中, A 至少出现一次的概率为1927, 则p = 1/3 3. 随机变量X 服从参数为1的泊松分布(1)π,则2(())P X E X ==112e - 4. 设随机变量X 服从正态分布2(10,0.02)N ，记22()u xx du -Φ=⎰，且已知(2.5)0.9938Φ=，则((9.95,10.05))P x ∈= ０．９８７６5. 已知随机变量X 服从均匀分布(1,6)U ，则矩阵20001010A X⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值全为实根的概率为４／５6. 已知随机变量X 的密度函数为||1(),2x f x e x -=-∞<<+∞，则(01)P X <<= 11(1)2e -- 7. 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则0y >时，2ln(())Y F X =-的概率密度函数()Y f y ＝ 212y e - 8. 已知随机变量X 服从均值为１的指数分布，则min{,2}Y X =的分布函数()F y ＝0,0,1,02,1, 2.xx e x x -≤⎧⎪-<<⎨⎪≥⎩9. 已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(1,2,1,2,0.5)，则21Z X Y =++的概率密度函数()f z 2(5)x --10. 设,X Y 的联合概率密度为(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，, 则概率(1,2)P X Y ><=14(1)e e --- 11. 设随机过程2()X t X Yt Zt =++, 其中,,X Y Z 是相互独立的随机变量, 且均值都为零, 方差都为1, 则相关函数(,)X R s t = 221st s t ++12. 设{(),0}W t t ≤<+∞是参数为2σ的维纳过程, 则[((3)(1))((4)(1))]E W W W W --=22σ13. 设平稳高斯过程{().0}X t t ≥的均值为零, 相关函数为2||1()4X R e ττ-=, 则对任意固定的0t , 0()X t 的概率密度函数()f x 22x - 14. 设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{}n X 的状态空间是{0,1,2},平稳分布为111,,244π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 若000111(0),(1),(2)244P X P X P X ======, 则方差100()D X = 11/1615. 设}),({+∞<<-∞t t X 为平稳随机过程，功率谱密度为212)(ωω+=X S , 则其平均功率为 1二. （１5分）设某餐厅每天接待300名顾客, 并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布(40,100)U , 且顾客的消费相互独立. 求:(1) 该餐厅的日营业额的期望和方差; (2) 平均每天有多少位顾客消费额超过50元;(3) 用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率. 解. (1) 设,1,2,...,300i X i =是第i 位顾客的消费额, 则由题意,1,40100,()600,ix X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，设X表示该餐厅的日消费额, 则3001.ii X X ==∑ 因为 ()70i E X =, 则21300300(60/12)90000.DY DX =⨯==21000EX =(5’) (2 ) 设Y 是消费额超过50元的顾客数. 则1(300,(50))(300,5/6)YB P X B >=, 所以300(5/6)250.EY =⨯= (5’)(3) 由中心极限定理得12300(...21750)1(2.5)0.0062.P X X X P +++>⎛⎫=>=-Φ= (5’) 三．（１5分）设二维随机变量(,)X Y 具有概率密度(1), 0,0,(,)3x y k ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨求(1)系数k ; (2)边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并问,X Y 是否独立, 为什么? (3)求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y . 解.(1) 0,01(,)3x Y f x y dxdy k >>=⇒=⎰⎰(3’)(2) (1)0,0,()(,)0,0,x y x X xedy e x f x f x y dy x +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰(1)201,0,(1)()(,)0,0,x y Y xe dx y y f y f x y dx y +∞-++∞-∞⎧=>⎪+==⎨⎪≤⎩⎰⎰(6’)由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠,所以不独立.(3) 当0x >时, (1)|(,)(|)()x y xy Y X xX f x y xe f y x xe f x e-+--===, 当0y >时, (1)2(1)|2(,)(|)(1)1()(1)x y x y X Y Y f x y xe f x y y xe f y y -+-+===++ (6’)四．（１5分）设齐次马氏链}0,{≥n X n 的状态空间为}2,1,0{=E ，一步转移概率矩阵为110221102211022P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，初始分布为0001{0}{1}{2}3P X P X P X ====== (1) 求124 {1,1,2}P X X X ===;(2) 求02,X X 的相关系数02X X ρ;(3) 证明马氏链}0,{≥n X n 具有遍历性，并求其极限分布．解 (1) 2111244111(2)424111442P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,124 {1,1,2}P X X X ====20111120()(2)0i i P X i p p p ===∑ (5’)(2) 2X 的分布率(2)(0)(2)(1/3,1/3,1/3)p p P ==02,X X 的联合分布率02021,2/3EX EX DX DX ==== 027/6EX X =1/4ρ== (5’)(3) 由P(2)知马氏链遍历,由01210,0,1,2,iP i ππππππ=⎧⎪++=⎨⎪≥=⎩得平稳分布为(1/3,1/3,1/3). (5’) 五．（１0分）设某线性系统的脉冲响应函数为22,0()0,0t e t h t t -⎧≥=⎨<⎩，将平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t X 输入到该系统后, 输出平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t Y 的谱密度为424()1336Y S ωωω=++，求：(1)输入平稳过程的{})()(∞+-∞∈，，t t X 的谱密度)(ωX S ； (2)自相关函数)(τX R ； (3)输入与输出的互谱密度)(ωXY S ．解： 2222,024()(),|()|240,0t e t h t H H i t ωωωω-⎧≥=↔==⎨++<⎩，(1) 22()1(),|()|(9)Y X S S H ωωωω==+ (4分) (2) 3||11()(),26i X X R S e d e ωτττωωπ+∞--∞==⎰ (3分) (3) 22()()()(2)(9)X Y X S H S i ωωωωω==++． (3分)。

随机过程考试题及答案

Kfc=l解：先求X （r ）的均值函数：町X （r ）卜E 工“ t=i而：4\~左（広2怎），则:2JT *£[严3）]二J"讪厶如=（） =02010级硕士生《随机过程》考试题212设随机过程x Jt 中少为常瓶人为第k 牛信号的隣机振幅，中出是在上一’{a 加）上均匀分命的随机相位「所以随机变星如 ①上仕“2…川）以及它们2间都足相互独粧的，求*（『）的均值和协方差瞬数.因九 5（—12…用）之间相互独立*则；E x （t ）\ = X E [M E[所以：£[x ⑴]二 X E[A ]E [严5 几=0当“j 吋，q 与込相互独立，则蛊1 /巩q %）+（ % ®） d =严 g 7 y [严当&=/时，£（严-恥宀）1匸严 EN则X ⑴的协方差函数B x 匕山）=严r ）£ E（出）"『）的协方差函数心（片加）=心（也）"[5）*（胡=e t\e^ E £州严叫）=ttE\1=]>1壮奸勺w 』#（&4）解：状态转移概率如下图所示:集，三个集合中的状态同类，全是正常返；周期全为1（2）（i）1f ii2⑷ 12 11112 1 2f ii ————————23332333 27（3）由于三个集合都是闭集，所以平稳分布分布在各个闭集中求解。

平稳分布的计算公式为：i p ij1, 对C1: {1 ,2,3}13 31 匚，2 — ,3 —488解得：对C2: {4 ,5}14 5 _2解得：对C3: {6}易得：6 1(4) C1: {1 ,2,3}中，各状态的平均返回时间分别是:11 81 8142亠3亠12333C2: {4 ,5}中，11425 — 245C3: {6}中，1 ,6161.设有随机过程 X(“ = Acos((wt) + Bsin(^/),r~i■其中⑵为常数，A,B^和互独立且服从匸态分舟/V(0t r72)的随机变Lb求随机过程的均值和柿关函数。

(完整版)工程数学(概率)综合练习题整理

北京邮电大学高等函授教育、远程教育《工程数学》综合练习题通信工程、计算机科学与技术专业（本科）《概率论与随机过程》部分一、设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 运算关系表示下列事件：1． A 发生，B 与C 不发生：_______________________ 2． A 、B 、C 中至少有一个发生：___________________ 3． A 、B 、C 中至少有两个发生：___________________ 4． A 、B 、C 中不多于一个发生。

_____________________ 二、填空1．设A 、B 为两个事件，且5.0)()(,7.0)(===B P A P B A P Y ，则（1）=)(B A P ___________，（2）=)(B A P __________;2．若事件A 发生必导致事件B 发生，且==)(,4.0)(A B P A P 则____,=)(AB P ____; 3．若A 、B 为任意两随机事件，若)(),(),(AB P B P A P 已知，则=)(B A P Y ______________，=)(A P _______________;4．设有三事件A 1、A 2、A 3相互独立，发生的概率分别为1p 、2p 、3p ，则这三事件中至少有一个发生的概率为__________________,这三事件中至少有一个不发生的概率为_______;5．若随机变量X ～B （5，0.3）,则P ｛X =3｝=___________________________,P ｛X ≥4｝=__________________________________________; 6．设随机变量X ～B ),(p n ，且EX =2.4,DX =1.44,则X 的分布列为{}==k X P __________________________________________, {}==3X P __________________________________________;7．已知随机变量X 的概率密度函数为),(221)(8)1(2∞-∞=--x e x f π则EX =______，DX =______，X 的分布函数=)(x F __________________;8．设X ～N （1.5,4）,则P ｛︱X ︱＜3｝＝_________________;(已知)9878.)25.2(,7734.0)75.0(=Φ=Φ9．若X ～N （==-)(,22222Y E eY e x则），且，μμσμ___________;10．设随机变量X 的概率密度为=⎩⎨⎧≤>=-k x x ke x f x 则常数0,00,)(3_________。

《概率论与随机过程》概率论部分习题答案

《概率论与随机过程》概率论部分习题解答参考一、ABC BC A C B A C AB C B A C B A .3;.2;.1C B A C B A C B A C B A .4 二、填空1．（1）0.2, (2)52; 2．1 0.4 3．P （A ）+P （B ）－P （AB ）， 1－P （A ）；4．3213211,)1)(1)(1(1p p p p p p ----- ；5．)002.0028.0()3.0()7.0()3.0(,)135.0()7.0()3.0(55514452335++或或C C C ； 6．3125864)6.0()4.0(,6,,2,1,0,)6.0()4.0(333666或C k C k k k =- ； 7．1 ， 4，+∞<<∞---∞-⎰x dt et x,2218)1(2π ；8．0.7612 ; 9．1 ； 10．3 ； 11．3ln 21； 12．1 ；13．σπ2； 14．91,92 ； 15． 2， 0。

三、单项选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 四、计算题1. 解：设A 1、A 2表示第一、二次取出的为合格品{}{}{}{}{}72960495119532321)()(1)(1132121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⨯-=-=-=-==三批全拒收收三批中至少有一批被接接收接收拒收P P A P A P A A P P P P2. 解：（1）22535523,51288883=⨯⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛===⨯⨯=ΩA N N44.0512225)(===ΩN N A P A（2）1802334523,336678131538=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⨯⨯=ΩA A N A N A 54.05630381325)(54.0336180)(==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====ΩA P N N A P A 或3. 解：令{}个盒子各有一球恰有n A =,!!()nA nnN N N N N N N n n N n n P A N Ω⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=因此4. 解：令{}{}有效系统有效系统b B a A ==829.093.01862.092.0)(1)()()(1)()()()()2(988.0862.093.092.0)(862.085.0)92.01(93.0)()()()()()()()()()()()1(85.0)(93.0)(92.0)(=--=--=--===-+==--=-=-=-=-+====B P AB P A P B P AB A P B P B A P B A P B A P A B P A P B P A B P B P A B B P AB P AB P B P A P B A P A B P B P A P 所以其中5. 解：设A 1、A 2、A 3分别为甲、乙、丙的产品，B 表示产品是次品，显然12312311(),()()24()()2%()4%P A P A P A P B A P B A P B A ====== 1111(1)()()()2%1%2P A B P B A P A ==⨯=由乘法公式 025.041%441%221%2)()()()2(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A P A B P B P 由全概率公式（3）由Bayes 公式 4.0025.021%2)()()()()(31111=⨯==∑=i ii A P A B P A P A B P B A P 6. 解：设A 表示原为正品 )(A P =96% )(A P =4% 设B 表示简易验收法认为是正品 )(A B P =98% )(A B P =5% 所求概率为998.004.005.096.098.098.096.0)()()()()()()()()(≈⨯+⨯⨯=+==A P AB P A P A B P A B P A P B P AB P B A P7. 解：设A =｛机器调整良好｝ B =｛合格品｝)(A P =75% )(A P =25% )(A B P =90% )(A B P =30% 因此 )(B A P =)()()()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P +=%90%30%25%90%75%90%75=⨯+⨯⨯=8. 解：设A 1、A 2分别表示第一次取到有次品产品的事件和无次品产品的事件，B 为第一次取出的合格品，显然有1)(,43)(,21)()(2121====A B P A B P A P A P由Bayes 公式111112213()()324()131()()()()71242P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+⨯+⨯ 设C 表示第二次取出次品的事件2834173)(=⨯=C P9. 解：设A =｛甲出现雨天｝，B =｛乙出现雨天｝由题意可知 )(A P =0.2, )(B P =0.18, )(A B P =0.6所求概率为P (A ∪B )=P (A )+P (B )－P (AB )=P (A )+(B )－P (A )P (B ︱A ) =0.2+0.18－0.2×0.6=0.26 10. 解：令{},3,2,1==i i A i 次取出为正品第所求概率为0084.0989099910010)()()()()()(21312121321321=⨯⨯===A A A P A A P A P A A A P A A P A A A P11. 解：设{}3,2,1==i i A i 人能译出第 A =｛密码被译出｝,则123A A A A =123123()()1()P A P A A A P A A A ==- 1234231()()()10.6534P A P A P A =-=-⨯⨯= 12. 解：设X 表示卖出的一包产品中的次品数（1）X ～B （10，0.01）于是 P ｛卖出的一包被退回｝ =P {X ＞1｝=1－P ｛X ≤1｝=1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝=004.0)99.0()01.0(99.0()01.0(191110100010≈--C C ）（2）X ～B （20，0.01）P ｛卖出的一包被退回｝ =P ｛X ＞2｝=1－P ｛X ≤2｝ =1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝－P ｛X =2｝=001.0)99.0()01.0()99.0()01.0(99.0()01.0(1182220191120200020≈---C C C ）13. 解：先研究一人负责维修20台设备的情况。

随机过程习题及答案

随机过程习题及答案第二章随机过程分析1.1学习指导1.1.1要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1.随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。

可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2.随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。

ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ξ(t 1)≤x 1]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1,t 1)=P [ξ(t 1)≤x 1](2-1)如果F 1(x 1,t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1)≤x 1和ξ(t 2)≤x 2同时成立的概率称为随机过程?(t )的二维分布函数。

如果存在，则称f 2(x 1,x 2;t 1,t 2)为随机过程?(t )的二维概率密度函数。

对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程?(t )的n 维分布函数。

如果存在，则称f n (x 1,x 2,…,x n ;t 1,t 2,…,t n )为随机过程?(t )的n 维概率密度函数。

3.随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。

随机过程?(t )在任意给定时刻t 的取值?(t )是一个随机变量，其均值为其中，f 1(x ,t )为?(t )的概率密度函数。

随机过程?(t )的均值是时间的确定函数，记作a (t )，它表示随机过程?(t )的n 个样本函数曲线的摆动中心。

随机过程习题和答案

解：(1)一、 1.1 设二维随机变量 (,) 的联合概率密度函数为：试求: 在时, 求。

解：当时，＝1.2 设离散型随机变量 X 服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差解：所以：2.1 袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确定的 t 对应随机变量X(t) 3t如果对 t 时取得红球 e t如果对 t 时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程与无关2)所以3)只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3设随机过程 X(t) U cos2t，其中 U是随机变量，且 E(U) 5，D(U ) 5.求：1)均值函数；( 2)协方差函数；( 3)方差函数2.4设有两个随机过程 X(t) Ut2，Y(t) Ut3,其中U是随机变量，且 D(U) 5. 试求它们的互协方差函数2.5 设A, B是两个随机变量 ,试求随机过程 X (t) At 3B，t T ( , )的均值函数和自相关函数 .若A, B相互独立,且A~ N(1,4), B ~U(0,2),则m X(t)及R X(t1,t2) 为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为 2 分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则 1 小时平均有多少学生接受过体检？在这 1 小时最多有 40 名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多，医生不会空闲) 解：令N(t)表示(0,t)时间的体检人数，则N(t)为参数为30的 poisson 过程。

以小时为单位。

则E(N (1)) 30。

40 (30) k30P(N(1) 40) e 30。

k 0 k !3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐 1,2 路公共汽车的强度分别为1，2，当 1 路公共汽车有N1人乘坐后出发； 2路公共汽车在有N2人乘坐后出发。

北邮概率论期末考试卷(附答案)

第1章概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。

2012年考研数学概率论真题与答案--WORD版

2012年概率论考研真题与答案1. （2012年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与4的指数分布，则{}P X Y <=_________. 【A 】A ．15 B. 13 C. 25 D. 45解：X 与Y 的概率密度函数分别为：,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩， 44,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ 因为X 与Y 相互独立，所以X 与Y 的联合密度函数为44,0,0(,)()()0,x y X Y e x y f x y f x f y --⎧>>=⋅=⎨⎩其他 {}40(,)4x y xx yP X Y f x y dxdy dx e dy +∞+∞--<∴<==⎰⎰⎰⎰450145xyx xe dx edy e dx +∞+∞+∞---===⎰⎰⎰2. （2012年数学一）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为______.A ．1 B.12 C. 12- D. 1- 答案：D.解：设两段长度分别为X 和Y ，显然满足1X Y +=，即1Y X =-+，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为1-.3. （2012年数学三）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，{}221P X Y +≤=_________. 【D 】A ．14 B. 12 C. 8π D. 4π解：X 与Y 的概率密度函数分别为：1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他， 1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他又X 与Y 相互独立，所以X 与Y 的联合密度函数为1,0,1(,)()()0,X Y x y f x y f x f y <<⎧=⋅=⎨⎩其他，从而 {}222211(,)4D x y P X Y f x y dxdy S π+≤+≤===⎰⎰.4. （2012年数学三）设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)(0)N σσ>的简单随机样本，则统计量12342X X X X -+- 的分布为_________. 【B 】A. (0,1)NB. (1)tC.2(1)χ D. (1,1)F解：因为2(1,)i X N σ ，所以212(0,2)X X N σ-(0,1)N 234(2,2)X X N σ+(0,1)N ，22342(2)(1)2X X χσ+- . 因为1234,,,X X X X2342(2)2X X σ+-也相互独立，从而1234(1)2X X t X X -=+-5. （2012年数学一、三）设,,A B C 是随机事件，A 与C 互不相容，11(),()23P AB P C ==，则()____P AB C =. 【34】解：由于A 与C 互不相容，所以AC φ=，则ABC φ=，从而()0P ABC =;10()()()32()14()()13P ABC P AB P ABC P AB C P C P C --====-6. （2012年数学一、三）设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布为（1）求{}2P X Y =；（2）求(,)Cov X Y Y -.解：（1）{}{}{}120,02,14P X Y P X Y P X Y ====+===.（2）由(,)X Y 的概率分布可得,,X Y XY 的概率分布分别为，，所以 23EX =,1EY =,2522,,()333EY DY E XY ===(,)()0Cov X Y E XY EX EY =-⋅=故： 2(,)(,)3Cov X Y Y Cov X Y DY -=-=-7. （2012年数学一）设随机变量X 和Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ和2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且0σ>. 设Z X Y =-. （1）求Z 的概率密度2(,)f z σ；（2）设12,,,n Z Z Z 是来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ；（3）证明 2σ是2σ的无偏估计量. 解：（1）因为2(,)X N μσ ，2(,2)Y N μσ ，且X 和Y 相互独立，故2(0,3)Z X Y N σ=-2226(;),z f z z R σσ-∴=∈（2）似然函数为 2116221()(;)ni i nz i i L f z σσσ=-=∑==∏两边取对数，得222211l n ()l n 26nii nL n zσσσ==--∑关于2σ求导，得2222221ln ()1+26()nii d L n z d σσσσ=-=∑ 令22ln ()0,d L d σσ= 解得λ的最大似然估计值 22113n i i z n σ==∑ 因此，λ的最大似然估计量 22113n i i Z n σ==∑（3） 2221111()()()33n n i i i i E E Z E Z n n σ====∑∑2221111[()()]333n n i i i i E Z D Z n n σσ===+==∑∑ 故 2σ是2σ的无偏估计量. 8. （2012年数学三）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数为1的指数分布. 记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则（1）求V 的概率密度()V f v ；（2）求()E U V +. 解：（1） X 与Y 的分布函数均为1,0()0,0x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩{}min ,V X Y =的分布函数为{}{}{}{}()min ,1min ,V F v P X Y v P X Y v =≤=-> {}21,1(1())P X v Y v F v =->>=--21,00,0v e v v -⎧-≥=⎨<⎩故V 的概率密度为22,0()()0,0v V V e v f v F v v -⎧>'==⎨≤⎩（2） min(,)max(,)U V X Y X Y X Y +=+=+()()()()2E U V E X Y E X E Y ∴+=+=+=.。

北邮概率论研究生试题答案定稿

北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程试卷》期末考试试卷答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试卷答题纸上，做在试卷纸上一律无效。

在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是.A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A 。

（B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A 。

（C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈A 。

（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃,则1n n A ∞=∈A .2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是.c（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃，则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++；（D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，11()()n n n n P P A A ∞∞===∑.3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为1000()k A k f kI ω==∑，其中1000,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=，则fdP Ω=⎰；若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰. 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他，则[[|]]E E X Y =.2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x =；（2）20(())E X t dt π=⎰.,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t=，则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞=；（2）()33n n p ∞==∑.1/2,2 二. 概率题（共30分）1.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1）解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得|,,u x v y v ⎧⎪=⎨⎪⎩≤=所以雅可比行列式220J u v ==-, 故2221||,(,)(,)||20,u e v u g u v f x y J σπσ-⎧≤⎪==⎨⎪⎩其他.……5分（2）对0u >，2221(,))2(u u U ug u e gu v d d v v σπσ-∞-∞-==⎰⎰22222222u u u e e u u σσπσσ---==⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.（10分）设(,)U V 的概率密度,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他.……4分（1）101{1}|10111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。

北邮研究生概率论与随机过程-试题及标准答案

北邮研究生概率论与随机过程-试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。

在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈U A ;（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1n n A ∞=∈I A .2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ，则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==I ；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++U U ；（D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，11()()n n n n P P A A ∞∞===∑U .3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为1000()k A k f kI ω==∑，其中100,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=U ，则fdP Ω=⎰ ；4若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰ . 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他，则[[|]]E E X Y = .2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；（2）20(())E X t dt π=⎰ .,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t=，则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞= ；（2）()33n n p ∞==∑ . 1/2,2 二. 概率题（共30分）51.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1）解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,||,,v u x u v y v ⎧⎪=±⎨⎪⎩≤=- 所以雅可比行列式22222222201u uJ u v u v u vv±==±---m, 故222221,||,(,)(,)||20,u u e v u g u v f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩其他. ……5分（2）对0u >，222221(,))2(u u U uu g u e g u v d d u vv v σπσ-∞-∞-=-=⎰⎰22222222212u uu ue dv e u v u u σσπσσ---==-⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.（10分）设(,)U V 的概率密度6,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他. ……4分（1）101{1}|1111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

第1章概率论的基本概念§1 .1 随机试验与随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A=；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为：.(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为：.(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为：.(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为：. (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为：.(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为：. 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则 (1)=)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃=.2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P =.§1 .4古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。

概率统计随机过程习题

习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。

2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。

习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。

4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。

习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。

2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。

概率论与随机过程习题集(北邮研一专硕)

+
2ωτ
+
2θ
)
1 2π
dθ
=
0
则：
RY
(t,t
+τ
)
=
A4 E
⎡⎣⎢1 −
cos
( 2ωt
+
2Θ)
−
cos
( 2ωt
+
2ωτ
+
2Θ)
+
1 2
cos
( 4ωt
+
2ωτ
+
4Θ )
+
1 2
cos
( 2ωτ
)⎤⎥⎦
=
1 4
A4 E
⎡⎢⎣1 +
1 2
cos
( 2ωτ
)⎤⎥⎦
=
1 4
A4
⎡⎢⎣1 +
1 2
cos
则： mX (t ) = E ⎡⎣ X (t )⎤⎦ = E ⎡⎣ Acos (ωt ) + B sin (ωt )⎤⎦ = cos (ωt ) E ( A) + sin (ωt ) E ( B) = 0 X (t ) 的相关函数为：
RX (t1,t2 ) = E ⎡⎣ X (t1 ) X (t2 )⎤⎦ = E ⎡⎣ A cos (ωt1 ) + B sin (ωt1 )⎤⎦ ⎡⎣ A cos (ωt2 ) + B sin (ωt2 )⎤⎦
i1 2
⎞ ⎟⎠
+
2i1⎤⎥⎦
=
1 2
方差σ
2 X
(t
)
=
E
⎣⎡ X
2
(t
)⎦⎤
−
⎡⎣mX

随机过程试题带答案

随机过程试题带答案1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 __________2 ?设随机过程X(t)⼆Acos( ? ? t+G),-：：⽴的随机变量，且A和门服从在区间10,1 1上的均匀分布，贝U X(t)的数学期望为______________ 。

3?强度为⼊的泊松过程的点间间距是相互独⽴的随机变量，且服从均值为丄____ 的同⼀指数分布。

4?设:W n,n 是与泊松过程1X(t),t ⼀0?对应的⼀个等待时间序列，则W n服从-分布。

5?袋中放有⼀个⽩球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取⼀球，取后放回，f t对每⼀个确定的t对应随机变量x(t)⼆3,如果t时取得红球，则这个随机过e t, 如果t时取得⽩球程的状态空间_________ 。

6?设马⽒链的⼀步转移概率矩阵P=(P j)，n步转移矩阵P(n)，⼆者之间的关系为—P(n) =P n—。

7?设:X n,n ⼀0?为马⽒链，状态空间I，初始概率P i⼆P(X。

⼆i)，绝对概率P j(n) =P(X n⼆j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为P j(n)⼋P i p j n)。

8 .设｛X(t),t - 0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则1. 设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

1.为e，(e -1)。

2. (sin(?t+1)-sin t)。

3. _ 2 ■1 24. - 5 . -1,—t,|l| ;e,e2"l 。

6 . P(n^ P n。

7 . P j(n) 7 P i p j n) <—13 3 J ------------ 阳6t a8. 18e 9。

K t i；=H t］⼇i0K t — sdM s 10.2. 设｛X(t), t_0｝是独⽴增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是⼀个马尔科夫过程。

概率统计与随机过程习题册解答

解：以A表示事件“白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶”
P( A)
C1100C43C32 C1175
1 4 3 17 8
3 34
a
9பைடு நூலகம்
8
4.已知在10只晶体管中有2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
(1)两只都是正品解：以A表示事件“两只都是正品
P( A) 8 7 ”28
1
S {v | v 0}
Aa {v | 60 v 80}
1
2.设A、B、C 为三个事件试用A、B、C 表示下列事件
(1)A与B 不发生，而C 发生
ABC
(2)A，B，C 都不发生
ABC
(3)A、B、C 至少有一个发生
A B C
(4)A、B、C中恰有一个发生 ABC ABC ABC
(5)A、B、C 中恰有两个发生 ABC ABC ABC
解：以A表示事件“系统的可靠性 ”
P( A) [1 (1 p)2]2 p2(2 p)2
(2,1)和(4,4)
P( A) 2 1 36 18
a
11
10
练习三
1. (1)已知 P( A) 0.3, P(B) 0.4, P( AB) 0.5,求 P(B | A B)
。解：
P(B | A B)
P(B ( A B)) P(A B)
P( AB) P( A) P(B) P( AB)
0.002
0.3223
a
13
12
3.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25 %是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则
(1)此人是色盲患者的概率
解：以A表示事件“色盲患者”，以B表示事件“所

北邮研究生概率论与随机过程-试题及标准答案

北邮研究生概率论与随机过程-试题及答案———————————————————————————————————————————————————————————————— 作者：作者： ———————————————————————————————————————————————————————————————— 日期：日期：北京邮电大学20122012——————20132013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。

在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1. 1.设设A 是定义在非空集合Ω上的集代数上的集代数,,则下面正确的是则下面正确的是 .A （（A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （（B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ;（（C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈U A ; （（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1n n A ∞=∈I A .2.2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是确的是 .c（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ，则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==I ；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++U U ；（D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，11()()n n n n P P A A ∞∞===∑U .3.3.设设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100()k A k f kI ω==，其中100,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=U ，则fdP Ω= ；若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰ . 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他，则[[|]]E E X Y = .2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；（2）20(())E X t dt π=⎰.,0,(;1)01,x cos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t =，则相关函数2(1,(1,2)2)2X R σ=.7. 7. 设齐次马氏链的状态空间为设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞= ；（2）()33n n p ∞==∑. 1/2,2二. 概率题（共30分）1.(10分) ) 设设(,)X Y 的概率密度为的概率密度为22122221(,)2x x f x y eσπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1）解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,||,,v u x u v y v ⎧⎪=±⎨⎪⎩≤=- 所以雅可比行列式22222222201u uJ u vu v u vv±==±---m, 故222221,||,(,)(,)||20,uu e v u g u v f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩其他其他..……5分（（2）对0u >，222221(,))2(u u Uuu g u eg u v d d u v v v σπσ-∞-∞-=-=⎰⎰22222222212u u uuedv eu v uu σσπσσ---==-⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.2.（（10分）设(,)U V 的概率密度的概率密度,0,0,(,)0,ue u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I>=，其中{1}{1,(}),10V V Iωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U . 解 U 的边缘概率密度为的边缘概率密度为0,0,,0,()(,)0,,0,,u u uu U e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他所以条件概率密度所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u u g g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他其他.. ……4分（1）101{1}|1111()(1|10).102|10(|10)V V UE I P V U U v u gdv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则 (1)=)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃=.2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P =.§1 .4古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。

2012年_随机过程试题

2010级计算机应用技术专业研究生《随机过程》课程试题1 设电话总机在(0，t )内接到电话呼叫数X (t )是具有强度(每分钟)为λ的泊松过程，求 (1) 两分钟内接到3次呼叫的概率；(2) “第二分钟内收到第三次呼叫”的概率。

2 设到达某路口的绿、黑、灰色汽车的到达率分别为λl ，λ2，λ3，且均为怕松过程，它们相互独立。

若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度，无延时)，求 (1) 相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度； (2) 汽车之间的不同到达时刻的间隔概率密度。

3 某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加，在8时顾客平均到达率为5人／时，11时到达率达最高峰20人／时。

从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人／时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人。

假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30一9：30问无顾客到达商店的概率是多少?在这段时间内到达商店的顾客数的数学期望是多少? 第3章264 设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居，即λ＝2。

如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一户二人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。

5 已知随机游动的转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.005.05.05.0005.05.0P求三步转移概率矩阵P (3)及当初始分布为{}{}{}13021000======X P X P X P ，时，经三步转移后处于状态3的概率。

6 已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==6.02.02.02.07.01.01.01.08.0)4.0,2.0,4.0()0(P P T，；(2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07.0)3.0,3.0,2.0,2.0()0(P P T ，；求下一、二个月的销售状态分布。

2012北京邮电大学概率论与随机过程试题

北邮人：一、填空题1. 设事件,A B 满足()0.7,()0.3P A P AB ==, 则()P AB =2. 袋中有10个球，其中1个红球，10个人不放回地依次抽取，每次抽取一个，问最后一个人取到红球的概率是3. 设平面区域D 由1,0,x y y x ===围成，平面区域1D 由21,0,x y y x ===围成。

现向D 内依次随机地投掷质点，问第3次投掷的质点首次落在1D 内的概率是4. 设随机变量(1,2),(2,4)X N Y N 且相互独立，求23X Y +-的概率密度函数()f x =5. 设平稳过程{(),0}X t t ≤≤+∞的功率谱密度为28()+14X S ωω=+，则其自相关函数为6.设一灯管的使用寿命X 服从均值为1/λ的指数分布，现已知该灯管用了10小时还没有坏，该灯管恰好还能再用10小时的概率为7.设电话总机在(0,]t 内接受到电话呼叫次数()N t 是强度（每分钟）为0λ>的泊松过程，(0)0N =，则2分钟收到3次呼叫的概率8.设随机过程(),0X t tY t =≥，其中Y 服从正态分布，即(1,4)Y N ，求103()E tX t dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 二、设二维随机变量(X,Y)具有概率密度, 0(,)0, 其他y e x y f x y -⎧<<=⎨⎩(1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，(2) 求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y ，(3)求条件概率(1|1),{1}P Y X P X Y ≤≤+<.三、在某交通路口设置了一个车辆计数器，记录南行北行的车辆总数。

设X(t)和Y(t)分别表示在[0,t]内南行和北行的车辆数，它们是强度分别为1λ和2λ的possion 过程，且相互独立。

如果在t(>0)时记录的车辆总数为n ，求其中南行车辆有k(0<k<n)辆的概率。

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北邮人：
一、填空题
1. 设事件,A B 满足()0.7,()0.3P A P AB ==, 则()P AB =
2. 袋中有10个球，其中1个红球，10个人不放回地依次抽取，每次抽取一个，问最后一个人取到红球的概率是
3. 设平面区域D 由1,0,x y y x ===围成，平面区域1D 由21,0,x y y x ===围成。

现向D 内依次随机地投掷质点，问第3次投掷的质点首次落在1D 内的概率是
4. 设随机变量(1,2),(2,4)X N Y N 且相互独立，求23X Y +-的概率密度函数()f x =
5. 设平稳过程{(),0}X t t ≤≤+∞的功率谱密度为28()+14X S ωω=
+，则其自相关函数为
6.设一灯管的使用寿命X 服从均值为1/λ的指数分布，现已知该灯管用了10小时还没有坏，该灯管恰好还能再用10小时的概率为
7.设电话总机在(0,]t 内接受到电话呼叫次数()N t 是强度（每分钟）为0λ>的泊松过程，(0)0N =，则2分钟收到3次呼叫的概率
8.设随机过程(),0X t tY t =≥，其中Y 服从正态分布，即(1,4)Y N ，求103()E tX t dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭
⎰ 二、设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
, 0(,)0, 其他
y e x y f x y -⎧<<=⎨⎩
(1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，(2) 求条件概率密度|(|)Y X f y x ，
|(|)X Y f x y ，(3)求条件概率(1|1),{1}P Y X P X Y ≤≤+<.
三、在某交通路口设置了一个车辆计数器，记录南行北行的车辆总数。

设X(t)和Y(t)分别表示在[0,t]内南行和北行的车辆数，它们是强度分别为1λ和2λ的possion 过程，且相互独立。

如果在t(>0)时记录的车辆总
数为n ，求其中南行车辆有k(0<k<n)辆的概率。

四、有三个黑球和三个白球。

把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态，则有四个状态：0，1，2，
3。

现每次从甲、乙两袋中各取一球，然后相互交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过n 次交换，过程的状态为() 4,3,2,1,=n n X 。

（1）试问该过程是否为马尔可夫链；
（2）计算它的一步转移概率矩阵。

五、设马氏链的状态空间I={1,2,3,4，5},转移概率矩阵为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00001032310000100
000212
10004341P 讨论其状态分类，并求其常返闭集的平稳分布。

六、设随机过程()t Y t X t Z cos sin +=，其中X 和Y 是相互独立的二元随机变量，它们都分别以32和3
1的概率取值为-1和2
（1）求()t Z 的均值和自相关函数；
（2）证明()t Z 是宽平稳过程。

（3）判断Z （t ）是否是各态历经过程。

7、设随机过程0()()cos()Y t X t t ω=+Θ, 0ω为常数，),(+∞-∞=∈T t ,其中)(t X 是平稳过程，自相关函数为)(τX R ，谱密度为)(ωX S ，Θ服从]2,0[π上的均匀分布且)(t X 与Θ独立。

证明)(t Y 是平稳过程并求其谱密度。

8. 设一平稳过程)(t X 先通过一个微分器，其输出过程为)()(t X dt
d t Y =,然后过程()Y t 再输入到另一脉冲响应函数为,0()0,t
e t h t -⎧>=⎨⎩其他
的线性系
统, 输出过程记为()Z t .若测得()Z t 的功率谱密度为2424()54
Z S ωωωω=++,试求(),()()X t Y t Z t 和的自相关函数. （注：若)(t f 的傅里叶变换为)(ωF ，则dt t df )(的傅里叶变换为)(ωωF i ）。