第3章 静电场分析

qd cos p ar 2 4 0r 4 0r 2
取负梯度得电偶极子在P点处的电场强度为 p E (ar 2 cos a sin ) 3 4 0r
z
＞0
电力线
y 零电位面
电偶极子的电场线
＜0
3.2
静电场的基本方程
3.2.1 电通（量）和电通（量）密度 把一个试验电荷qt放入电场中， 让它自由移动， 作用在此 电荷上的静电力将使它按一定的路线移动，称这个路线为 力线（Line of Force）或通量线(Flux Line)。 若把电荷放在不同的位置， 就能描绘出任意多条力线。为 了不使区域内被无数条力线塞满，通常人为规定一个电荷 产生的力线条数等于用库仑表示的电荷的大小，于是说场 线(Field Line)表示电通量(Electric Flux)。虽然电通线实际 上不存在，但它们可以直观、形象地描绘电场的分布，如 下图所示。
外加电场 ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± (a) － － － － ＋ ＋ ＋ ＋ － － － － ＋ ＋ ＋ ＋ (b) － － － － ＋ ＋ ＋ ＋ － － － － ＋ ＋ ＋ ＋
外加电场
电介质的极化 (a) 正常状态下正负电荷中心重合 (b) 极化电介质的等效电偶极矩
3.1.2 电场
1. 点电荷的电场强度 设q为位于点S(x′, y′, z′)处的点 电荷，在其电场中点P(x,y, z) 处引入试验电荷qt，如图所示。 根据库仑定律，qt受到的作用 力为F，则该点处的电场强度 （ Ｅ electric Field Intensity ） 定义为
E lim F qR qt 0 q 4 0 R 3 t
返回
在外加电场力的作用下，无极分子正、负电荷的作用中心 不再重合，有极分子的电矩发生转向，这时它们的等效电偶 极矩的矢量和不再为零, 如下图（b)所示。
这种情况称为电介质的极化(Polarized)。极化的结果是在电 介质的内部和表面形成极化电荷，这些极化电荷在介质内激 发出与外电场方向相反的电场，从而使介质中的电场不同于 介质外的电场。
例 有限长直线l上均匀分布着线密度为ρl的线电荷, 如下图
所示，求线外一点的电场强度。
z
2
dz
dEz
dE dE

z
l 2
O
R
P(, , z)
y
l 2
1
有限长直线电荷的电场
无限长线电荷的场
3.1.3 电位函数
在静电场中，某点P处的电位定义为把单位正电荷从P点移 到参考点Q的过程中静电力所作的功。若正试验电荷qt从P 点移到Q点的过程中电场力作功为W，则P点处的电位为

S
D dS q
如果电荷的总量为Q， 并以体密度ρV分布在闭合面包围的体 积内，则有 D dS V dV Q
S V
该式表明，若已知封闭面上的电场强度或电通密度，通过高 斯定律便可求出封闭面内的总电荷。如果电荷呈对称分布， 则很容易选择一个恒电通密度的面，从而用高斯定律大大降 低分析电场问题的难度。应用散度定理， 上式也可写成
Z P q r2

d
r r1 y
O
x
电偶极子的场
当两电荷之间距相对于到观察点的距离非常小, r1, r2, r三者 近乎平行，因此r1-r2≈d cosθ， r1r2≈r2，将其代入上式得电 偶极子的电位表达式为
qd cos 2 4 0r
定义电偶极矩矢量的大小 为p=qd，方向由负电荷指向正电 荷，即 p=azqd 则P点的电位可以写成下列形式:
而电场强度除了大小与媒质的介电常数有关外，也满足 这些约束，故可以用电场强度定义电通密度D为 D=ε0 E 点电荷q在半径R处的电通密度为，D的单位为C/m2 q D aR 4R 2 由矢量分析得： 穿过某个曲面 S的电通量定义为
D dS
S
如果 D与d S方向相同，则穿过曲面 S的电通量最大。
E E 1 4 0 1 4 0

S
l
1 dS 3 S R 4 0 R l ( r) 1 1 Rdl l ( r) dl R3 4 0 l R RdS 1
S ( r)
S ( r)
称之为电场强度的矢量积分公式。当电荷分布已知时， 就可由它们求得其电场强度。
类似地可得电荷分布为ρS(r′)和ρl(r′)时电位函数的表达式分别 为 1 ( r)

4 0 1 4 0

S
S
l
R l ( r) dl R
dS
例 真空中一个带电导体球，半径为a，所带电量为Q，试计
算球内外的电位与电场强度。
z P r
等位体
R S (a, , )
E=E1+E2+…+En=

i 1
n
1 4 0 Ri qi
2. 分布电荷的电场强度 假设电荷是集中在一个点上，从宏观的角度讲，电荷是连续 的分布在一段线上、一个面上或一个体积内的。 线电荷密度（Charge Line Density）：当电荷分布在一细线 （其横向尺寸与长度的比值很小）上时，定义线电荷密度为 单位长度上的电荷 q l lim l 0 l 式中， Δq是长度元Δl上的电荷。
E E qt qt qt qt qt E E
早期研究发现，电通量有如下特性
(1) 与媒质无关 (2)大小仅与发出电通量的电荷有关 (3)如果点电荷被包围在半径为R的假 想球内，则电通量必将垂直并均匀 穿过球面 (4)单位面积上的电通量，即电通密 度，反比于R2
E
qt E E
qt qt E
孤立正电荷的电通
3.2.2 高斯定律
设在无限大真空中O点有一点电荷q，以任意曲面S包围该点 电荷，则穿出这个封闭曲面的电通量为

S来自百度文库
D dS
q 4

S
aR n q dS R2 4

S
d
式中dΩ是表面d S在O点所张的立体角。由于任何封闭面对曲 面内的一点所张的立体角都是４π，所以通过曲面 S的总电 通量为
就物质的分子结构来讲，电介质的分子可以分成无极分子和 有极分子两大类。在通常情况下，无极分子正负电荷的作用 中心是重合的，如下图（a）所示，有极分子正负电荷的作 用中心不相重合而形成一个电偶极子，但由于分子的热运动， 不同电偶极子的偶极矩的方向是不规则的，因此就宏观来说， 它们所有分子的等效电偶极矩的矢量和为零，因而对外不呈 现电性。
q V lim V 0 V
式中， Δq是体积元ΔV内所包含的电荷。
P(r) R
dV
V
r
r
O
体电荷产生的场
分布电荷所产生的电场强度 设电荷以体密度ρV(r′)分布在体积V内。在V内取一微小体积 元dV′如上图所示，其电荷量dq=ρV(r)dV′，其视为点电荷， 则它在场点P(r)处产生的电场为
设介质在外电场作用下发生了极化，为了描述介质极化的 状态，引入极化强度矢量。在极化电介质中取一小体积ΔV, 则ΔV内的电矩总和记为∑p，定义单位体积内的电偶极矩为 极化强度矢量(Polarization Intensity Vector), 即 p P lim V 0 V 如果pav表示ΔV内每个分子的平均偶极矩，N是每单位体积内 的分子数， 则极化强度也可以表示为P=Npav 在线性、均匀、各向同性的介质中，极化强度与电场强度满 足下列关系：P=χeε0E

因此， 有
V
DdV V dV
V
▽· D=ρV
如果在真空中，还可以写为
V E 0
在介电常数为ε的介质中有
V E
例 用高斯定律求无限长线电
荷ρl在任意P点产生的电场 强度。
l

P
D＝常量
l
无限长线电荷的场
3.2.3 电场强度的环量 设电场强度为E，l为场中任意闭合路径，电场强度沿闭合路 径的积分称为环量。根据斯托克斯定理有
R ( x x) 2 ( y y ) 2 ( z z) 2
1 1 R 1 aR aR 2 3 R R R R R
因此，上式又可以表达为
1 E 40 R q
当空间中同时有n个点电荷时，场点的电场等于各点电荷qi在 该点产生的电场强度的矢量和，即
dS
a
E＝0
a
O
导体内 导体球
孤立带电导体球的场
带电导体球的场分布
3.1.4 电偶极子 电偶极子是指相距很近的两个等值异号的电荷。 设每个电荷的电量为q，它们相距为d，如下图所示。选用 球坐标来求电偶极子在点P的电位及电场。 根据点电荷电位的表达式，电偶极子在P点的电位为
q 1 1 q r1 r2 4 0 r2 r1 4 0 r1r2
q 1 E 4 R 0
q
电位与电场强度有如下关系 E= -▽φ
如果电荷以体密度ρV(r′)分布于体积V内，将积分（对带撇的变 量积分）与微分（对不带撇的变量微分）符号互换， 得
1 E 4 0

V ( r)
R
V
dV
3.1.1 库仑定律 库仑定律（Coulom's Law） F a q1q2 q1q2 R 12 R 4 0 R 2 4 0 R 3 是静电现象的基本实验定律， 表明固定在真空中相距为R F1 2 的两点电荷q1 与q2 之间的作 q2 用力：正比于它们的电荷量 的乘积；反比于它们之间距 R 离的平方；作用力的方向沿 两者间的连线；两点电荷同 q1 性为斥力，异性为吸力（如 两个点电荷的相互作用返回 图所示），表达式为
z
( x, y, z)
源点
R r r
场点 ( x, y, z )
r
O x
r
y
场点与源点
将观察点P称为场点，其位置用坐标(x, y, z)或r来表示，把 点电荷所在的点S称为源点，其位置用坐标(x′, y′, z′)或r′来 表示，源点到场点的距离矢量可表示为R=r-r′。直角坐标 系中，R=ax(x-x′)+ay(y-y′)+az(z-z′)，其大小为
dq R V ( r) R dE dV 3 3 4 0 R 4 0 R
体积V内所有电荷在P(r)处所产生的总电场为
E 1 4 0

V ( r)
R3
V
RdV
1 4 0

V
V ( r) dV
1 R
用类似的方法可求得电荷分布为ρS(r′)和ρl(r′)时电场强 度的表达式分别为
第三章 静电场分析
3.1 电场强度与电位函数 （17.18学时） 3.2 静电场的基本方程 3.3 电介质的极化与电通量密度 （19.20学时） 3.4 导体的电容 3.5 静电场的边界条件 （21.22学时） 3.6 恒定电场 3.7 静电场边值问题（23.24学时） 习 题 返回
第17.18学时 3.1 电场强度与电位函数
Q W lim E dl P qt 0 q t
当电荷不延伸到无穷远处时，一般把电位参考点Q选在无限 远处，这将给电位的计算带来很大的方便。此时，任意P点 的电位为
E dl
P
则点电荷的电位表达式为
1 4 0 R
这就是点电荷产生的电位。上式中隐含无穷远处电位为 零。 则有：
面电荷密度（Charge Areal Density）： 当电荷分布在一个 表面上时， 定义面电荷密度为单位面积上的电荷
q S lim S 0 S
式中， Δq是面积元ΔS上的电荷。
体电荷密度（Charge Volume Density）：如果电荷分布在 一个体积空间内， 定义体电荷密度为单位体积内的电荷

即
l
E dl E dS ( ) dS 0
S S

l
E dl 0
E 0
第19.20学时 3.3 电介质的极化与电通量密度
理想的电介质（Ideal Dielectric）内部没有自由电子，它的 所有带电粒子受很强的内部约束力束缚着，因此称为束缚电 荷(Bound Charge)。