晶体几何基础

Li1
Li2
Li3
Li4
Li6
（5）映转轴（旋转反映轴Lsn）
映转轴是由一根假想的直线和垂直于此直线的 一个平面构成，晶体围绕此直线旋转一定角度后， 再对此平面反应，可使相等部分重复即晶体复原。 旋转反映轴的对称操作是围绕一根直线旋转和对垂 直此直线的平面反映。
映转轴的符号 Lsn ，n代表轴次。n可以为1、2、 3、4、6，相应的基转角为360°、180 °、120 °、 90 °、60 °
（2）晶
胞
点阵常数（晶胞参数）：
棱边长a，b，c
棱边夹角， ， 坐标参数： （ x， y， z ）
图1.3 晶胞的空间坐标表示法
三 、晶体结构的对称性
宏观对称性
—— 点群
微观对称性 —— 空间群 1、晶体的宏观对称性，点群
对称操作
使物体的相等部分重复所进行的操作称为对称 操作，包括：反映、旋转、反伸（反演）、旋转反 伸等。
2、晶体的微观对称性，空间群
晶体结构中的微观对称性具有下列三个特点： 1）在晶体结构中任何一种微观对称元素不仅具有 方向性，而且具有严格的位置；2）在微观对称元 素中，除了具有宏观对称操作中的旋转、反映和 倒反外，还有平移操作；3）当平移距离为零时， 微观对称元素为同类型的宏观对称元素。 对称操作: 对称元素:
得到七种有心点阵，合称14种空间点阵， 1850年
Bravais用数学的方法推导出空间点阵只有上述14
种，因此也称为Bravais点阵。它们分属于四种
点阵类型（立方、四方、正交、单斜）。
底心点阵，C
除八个顶点上有阵点外， 两个相对的面心上也有阵
点，这两个阵点分别为两
个相邻的平行六面体所共
有。因此，每个阵胞占有
a c

b
单胞
3）正交（斜方）晶系（ Orthorhombic ）： a≠b≠c ， = = =90o
4）六方晶系（Hexagonal ） ： a=b≠c ， = = 90o, =120o
c
5）菱方（三方）晶系（ Rhombohedral ） ： a=b=c ， = = ≠ 90o 6）四方（正方）晶系（Tetragonal ）： a=b≠c ， = = =90o
两个阵点。阵点坐标为000， 1/2 1/2 0
体心点阵，I
除8个顶点外，体心上 还有一个阵点，因此，
每个阵胞含有两个阵
点，阵点坐标为000，
1/2 1/2 1/2
面心点阵， F
除8个顶点外，每个面心
上有一个阵点，这六个阵
点分别为三对相邻的平行
六面体共有，因此每个阵
胞上有4个阵点，其坐标 分别为000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2
对称要素
在进行对称操作时，所借助的几何要素称为对 称要素，包括：点、线、面。
（1）对称中心（C）
对称中心是晶体中心的一个假
想点，任意通过此点的直线的等距 离两端，必定找到对应的点。对称 中心的对称操作是对此点的反伸 （倒反、反演）。
（2）对称面（P）
对称面是通过晶体中心的 一个假想平面，它将晶体平分 为互为镜像的两个相等部分。 对称面的操作是对此平面的反 映。
空间点阵：由晶体结构抽象而得到的几何图形
晶胞：由实际晶体的基元构成 晶体结构：是将原子、离子、分子或分子团等结 构基元放在空间点阵的阵点上而形成的，即：
晶体结构=空间点阵+基元
3、点阵描述
（1）空间点阵
平移失量： r = ua + vb + wc
u，v，w 为任意整数，
a，b，c 为平移基失
图1.4 空间点阵及其平移基失
平移
平移轴
旋转+平移
螺旋轴
反映+平移
滑移面
（1）平移轴
平移轴是一根假想的直线。相应的对称变 换为，沿此直线平移一个或数个节点间距。
平移对称式最基本的微观对称性，由平移 对称操作得到的对称群称为平移群，14种 Bravais点阵就是14种平移群。
初基平移 ，P
底心平移 ，C
a
b
c
a， b， c
1/2（a+b）
Ls1 =P=Li2， Ls2 =C=Li1， Ls3 =L3+P（P⊥L3）=Li6， Ls4 =Li4， Ls6 =L3+C=Li3
晶体的宏观对称要素只有八种是独立的， 即：L1，L2 ， L3 ， L4 ， L6 ，C，P， Li4，其 相应的常用记号如下表所示：
32种点群：
晶体的这些宏观对称要素的组合，构成了晶 体的各种宏观对称性。 由于晶体周期性的制约和封闭的几何外形， 对称元素组合的数目是有限的，只有32种，即32 种点群。根据晶体中是否存在高次轴及高次轴数 目，分属于七个晶系。
① =(1/2)a的滑移面，符号a
1 a 2
滑 移 面
a
② =(1/2)b的滑移面，符号b
1 b 2
滑 移 面
b
③ =(1/2)c的滑移面，符号c
1 2
c
滑 移 面
c
④ =1/2（a+b)或1/2(b+c)或1/2(c+a)或 1/2(a+b+c)的滑移面，符号n
1 a b 2
2、晶胞
空间格子
平行六面体单元
平行六面体的划分原则：
＊ 反映空间点阵的对称性；
＊ 直角尽量多；
＊ 体积最小、阵点最少；
晶胞
晶体结构
空间格子（单位平行六面体）
晶胞：反映晶体周期性、对称性的最小重复单元。 ◆ 初基晶胞（简单晶胞）：含有一个阵点 ◆ 非初基晶胞：含有两个或两个以上的阵点
晶胞与空间点阵的比较（区别）：
体心平移 ，I
面心平移 ，F
1 a c 2
a b
1 a b c 2
a b
c
c
1/2（a+b） 1/2（b+c） 1/2（a+b+c） 1/2（a+c）
（2）螺旋轴
螺旋轴是一种复合的对称要素。其辅助几 何要素为：一根假想的直线及与之平行的直线 方向。相应的对称变换为，围绕此直线旋转一 定的角度和此直线方向平移的联合。螺旋轴的 周次n只能等于1、2、3、4、6，所包含的平移 变换其平移距离t应等于沿螺旋轴方向结点间距 （T）的m/n，m为小于n的自然数。螺旋轴的 国际符号一般为nm
a b
c
7）立方（等轴）晶系（ Cubic ）： a=b=c ， = = =90o
a

b
单胞
3、14种布拉维格子（ Bravais点阵） 简单（初基）点阵，P
只有8个顶点上有阵点 每个阵胞含有一个阵点 阵点坐标为： 000
为了反映晶体的对称性，七种初基点阵（P）
经加心操作（底心A、B、C，面心F和体心I）后
各种旋转对称轴如图所示：
t T
1 t T 2
1 t T 3
2 t T 3
43
42 41 61
62
1 t T 6
2 t T 6
65 64 63
3 t T 6
（3）滑移面 滑移面是一复合的对称要素。其辅助 对称要素有两个：一个是假想的平面和平 行此平面的某一直线方向。相应的对称变 换为：对于此平面的反映和沿此直线方向 平移的联合。根据平移成分τ的方向和大小， 滑移面一般有a、b、c、n、d五种。
名 称 一次对称 二次对称 三次对称 四次对称 六次对称 符 号 基 转 角（） 轴 次（n）作图符号 L1 L2 L3 L4 L6 360 ° 180 ° 120 ° 90 ° 60 ° 1 2 3 4 6
L2
L3
L4
L6
晶体对称定律：
在晶体中，只可能出现轴次为一次、二 次、三次、和六次的对称轴，而不可能存 在五次和高于六次的对称轴。
四、晶族与晶系、布拉维晶胞
1、晶族
根据晶体中是否存在高次轴及其数目对晶体 进行划分： 1）高级晶族： 高次轴多于一个，n > 2 2）中级晶族： 高次轴只有一个 3）低级晶族： 无高次轴
2、晶系
每一晶族按对称轴和倒转轴的轴次和数目把晶 体分为七大晶系： 1）三斜晶系（ Triclinic ） ： a≠b≠c ， ≠ ≠ ≠90o 2）单斜晶系（ Monoclinic ） ： a≠b≠c ， = =90o ≠ a≠b≠c ， = =90o≠
[1/2,0,1/2]
四方（正方） (tetragonal) 立方 (cubic) 三方（菱方） (rhombohedral) 六方 (hexagonal)
a=bc o ===90 a=b=c o ===90 a=b=c o ==90 a=b=dc (a=bc) o ==90 o =120
图1.1 食盐（NaCl）的晶体结构 其中大球代表Cl，小球代表Na
2、晶体的基本性质 ＊自限性：自发形成封闭的几何外形
＊结晶均一性：宏观性质相同
＊各向异性：物理性质的方向性
＊对称性：内部质点规则排列的无限重复
＊最小内能性：晶体是最稳定的
晶体结构的基本特性： 周期性：
周期性
对称性
晶体中微粒（质点）的排列不断地按一定的 方式作周期性重复的性质，叫晶体结构的周期性， 是晶体最基本的性质。
（4）倒转轴（旋转反伸轴、反轴， Lin） 倒转轴是通过晶体中心的一根假想的直线，晶
体围绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上的 一点反伸，可使相等部分重复即晶体复原。旋转 反伸轴的对称操作是围绕一根直线旋转和对此直 线上一点反伸。
旋转反伸轴的符号 Lin ，n代表轴次。n可以为 1、2、3、4、6，相应的基转角为360°、180 °、 120 °、90 °、60 °，倒转轴的作用如下图所示：
[1/2,0,1/2]
五、晶体定向
1、晶体定向 为了用数字具体表示晶体中点、线、面 的相对位置关系，就在晶体中引入一个坐标 系统，这一过程称为晶体定向。具体地说， 晶体定向就是在晶体中确定坐标轴（称晶轴） 及轴单位或轴率（轴单位之比）。
（3）对称轴（旋转轴Ln） 对称轴是通过晶体中心的一根假想直线，
晶体围绕此直线旋转一定角度后，可使相等部 分重复或者说使晶体复原。对称轴的对称操作 是围绕一根直线旋转。旋转一周重复的次数称 为周次（n），重复时所旋转的最小角度称为 基转角（），周次与基转角之间的关系为 n=360°/
对称轴的种类
第一章 结晶学基础
晶体几何基础 晶体化学基本原理
第一节 晶体几何基础
• 晶体及晶体的基本性质 • 空间点阵与晶胞 • 晶体结构的对称性 • 晶族、晶系与布拉维晶胞 • 晶体定向
一、晶体的基本性质
1、晶体的定义
晶体是内部质点在三维空间按周期性重
复排列的固体，或者说晶体是具有格子构 造的固体。
滑 移 面
n
⑤ =1/4(a+b)或1/4(b+c)或1/4(c+a)或 1/4(a+b+c)的滑移面，符号d
1 a b 4
滑 移 面
d
230种空间群： 点式空间群：
由32种点群和14种Bravais点阵直接组 合而成，共有73种。 非点式空间群：
含有非点式操作的对称元素螺旋轴和滑 移面，有157种。
立方晶系：
立方原始格子
立方面心格子
立方体心格子
四方晶系：
四方原始格子
四方体心格子
六方晶系：
菱方晶系：
六方原始格子
三方菱面体格子
正交晶系：
正交原始格子
正交底心格子
正交体心格子
正交面心格子
单斜晶系：
单斜原始格子
单斜底心格子
三斜晶系：
三斜原始格子
空间点阵
晶系 三斜 (triclinic) 单斜 (monoclinic) 斜方（正交） (orthorhombic) 晶胞参数关 系 abc o 90 abc o ==90 abc o ===90 点阵名称 简单三斜 简单单斜 底心单斜 简单斜方 体心斜方 底心斜方 面心斜方 简单四方 体心四方 简单立方 体心立方 面心立方 简单三方 简单六方 阵点坐标 [0,0,0] [0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,0,0] [1/2,1/2,0] [0,1/2 ,1/2] [0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2,1/2] [0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,1/2 ,1/2] [0,0,0] [0,0,0]
对称性：
晶体的对称性，是指晶体经过某些对称操作后， 仍能回复原状的特性。
二、空间点阵和晶胞
1、空间点阵
NaCl晶体结构
选取等同点
点阵
行列、一维点阵
结点间距： a
面网、二维点阵
ห้องสมุดไป่ตู้
空间格子、三维空间点阵
空间点阵： 在三维空间规则排列的阵点构成空间 点阵，每个阵点有完全相同的周围环境。 又称为空间格子。