机电控制工程基础课程辅导-2

第2章 自动控制系统的数学模型辅导

[ 学习目标 ]

熟练掌握：传递函数的概念和性质，典型环节的传递函数； 掌握：利用系统动态结构图的等效变换来求取传递函数的方法； 了解：建立动态系统微分方程的一般方法

控制系统微分方程的建立

一. 机械系统

机械系统一般分为两大类，即直线运动系统和旋转运动系统，其基本组成器件是质量、弹簧和阻尼器等，支配机械系统的基本定律是牛顿运动定律和力、力矩平衡定律。

如图2-1所示为一具有弹簧、阻尼器的机械平移系统。当外力作用于系统时，系统产生位移为x o 。求该系统以x i (t)为输入量，x o (t)为输出量的运动微分方程式。

解

取A 、B 两点分别进行受力分析。

得 02B

0A A

A i 1x k )x x

f()x x (k =-=- 由 A 1A i 1x k )x x (k =- 解出01

2

i A x k k x x -

= 代入B 等式，得 02001

2

i x k )x x k k x

f(=-- 得

()i 1021021x fk x k k x

k k f =++ 式中：k1——弹簧1的弹性系数；

k2——弹簧2的弹性系数；

f ——阻尼器的阻尼系数。

二. 电气系统

电气系统的基本元件是电阻、电容、电感以及电动机等，支配电气系统的基本定律是基尔霍夫电路定律。

图2-3为一具有电阻－电感－电容的无源网络，求以电压u 为输入，u c 为输出的系统微分方程式。

解 根据基尔霍夫电路定律，有 C u R i dt

di

L t u +⋅+⋅

=)( 而 dt

du C

i c

=，则上式可写成如下形式

2

2

u dt du RC dt

u d LC

C c

c =++ 上式表示了RLC 电路的输入量和输出量之间的关系。

编写控制系统微分方程的一般步骤为： (l) 首先确定系统的输入量和输出量；

(2) 将系统划分为若干个环节，确定每一环节的输入量和输出量。确定输入量和输出量时，应使前一环节的输出量是后一环节的输入量。

(3) 写出每一环节(或元件)描述输出信号和输入信号相互关系的运动方程式；找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。而这些物理定律的数学表达式就是环节(或元件)的原始方程式。在此同时再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性化。考虑忽略一些次要因素。使方程简化的可能性和容许程度。

(4) 消去中间变量，列出各变量间的关系式。设法消去中间变量，最后得到只包含输入量和输出量的方程式。于是，就得到所要建立的元件或系统的数学模型了。

非线性数学模型的线性化

线性化问题的提出

但实际上，自然界中真正的线性系统是不存在的。即使对所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内才保持真正的线性关系。许多机电系统、液压系统、气动系统等，在变量之间都包含着非线性关系。例如：元件的死区、传动的间隙和摩擦，在大输入信号作用下元件的输出量的饱和以及元件存在的非线性函数关系等等。因此，精确地反映各种因素对系统或元件的动态影响就变得很复杂，以致难于获得解析解。在这种情况下，就不得不首先略去某些对控制过程的进行不会产生重大影响的因素，以便使方程简化。此外，有时系统中所发生的过程是用非线性方程来描述的。这样，为了用线性理论对系统进行分析和设计，就必

须绕过由非线性系统而造成的数学上的困难。在这种情况下可采用一种方法，将这些非线性方程式在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替。这种近似的转化过程，称之为线性化。当非线性系统近似地用线性化数学模型表示以后，就可以采用一些线性的方法来分析和设计系统了。虽然线性化后所得的结果是近似地、有条件地反映过程进行的真实特性，但可以使我们顺利地解决一些复杂问题，在一定范围内能够反映系统运动情况的一般性质。也就是说，如果我们能够作某种近似，或者缩小一些研究问题的范围，那么大部分非线性特性都可以近似地作为线性特性来处理.可见，系统或元件运动方程式的线性化是我们建立数学模型分析研究系统性能的重要一步。

非线性微分方程的线性化

。

非线性函数的线性化

线性化这一概念用数学方法来处理，就是将一个非线性函数在其工作点展开成泰勒（Taytor ）级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。

(1) 一元函数的线性化

设系统的工作点为（x0, y0），那么y=f(x)在额定工作点附近展开成泰勒级数为

+-+

-+

=202200)()

(!21)()

()(0

x x dx x f d x x dx

x df x f y x x (2-8)

因函数y=f(x)在工作点很小的范围内变化，可忽略二次以上的各项，则方程为

)()()

()(00000

x x k y x x dx

x df x f y x -+=-+= (2-9)

这就是非线性元件或系统的线性化数学模型。 (2) 二元函数或多元函数的线性化

设有二元非线性函数y=f(x1,x2)，为了得到这一非线性函数的线性增量方程，将函数在其工作点（x 10,x 20）附近展开成泰勒级数，得

)]()([

),(2022

10112010x x x f x x x f x x f y -∂∂+-∂∂+= +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-∂∂+--∂∂∂+-∂∂+22022

222021012122101212)()())(()(2)()(!21x x x x f x x x x x x x f x x x x f (2-10) 式中，偏导数均在工作点上求取。忽略二次以上各项，上式可写成

)()(),(2022

10112010x x x f x x x f x x f y -∂∂+-∂∂+

= (2-11) 或

)()(202210110x x k x x k y y -+-+= (2-12)

式中，),(20100x x f y =，11x f k ∂∂=，2

2x f k ∂∂=

线性化有如下特点：