第九讲 分布拟合检验
分布拟合检验
3、计算样本观测值 4、判断 p1 PH 0 ( D D0 ), p2 PH 0 ( A2 A02 ), p3 PH 0 (W 2 W02 )
当p , 拒绝H 0；p ，不能拒绝H 0
Hale Waihona Puke 正态性W检验方法专用正态性检验的方法 1、假设
H0:F(x)是正态分布函数，H1:F(x)不是正态分布函数 2、构造统计量 对称位置次序统计量的差
2、构造检验统计量
其中， mi和npi 频数 p1 F0 (a1 )
2 ( m np ) i 2 = i npi i 1 分别为第i组的样本频数和理论 l
pi F0 (ai ) F0 (ai 1 ), i 2， 3，， ... l 1 pl 1 F0 (al 1 )
数据分组为l个区间1提出假设01122构造检验统计量其中分别为第i组的样本频数和理论频数当原假设为真时该检验统计量的极限分布是k为理论分布中待估计参数的个数
数据的分布拟合检 验与正态性检验
总体分布服从正态分布或总体分布已知 条件下的统计检验，称为参数检验。 但是在数据探索分析中，我们需要拟合的 正是数据的分布。这就要用到非参数假设检 验——分布拟合检验（用于检验样本观测值 是否来自某种给定分布）。 常用的分布拟合检验方法有 2 检验， 经验分布拟合检验法，以及正态性W检验法 。
由于0<W<1，在H0为真时，W接近1，W值过小应拒 绝H0
p1 PH 0 (W W0 ) 当p , 拒绝H 0；p ，不能拒绝H 0
请看SAS实现部分
H0:F(x)=F0(x)，H1:F(x)≠F0(x)
经验分布拟合检验方法
2、构造检验统计量 统计量是以两个函数的距离为基础的，根据 不同的距离定义有不同的统计量。
概率论课件分布拟合检验
基因表达分析
通过分布拟合检验，可以 对基因表达数据进行统计 分析，了解基因表达模式 和功能。
临床试验数据分析
在临床试验中，分布拟合 检验可用于分析药物疗效、 疾病发病率等数据。
其他应用场景
环境监测
在环境监测领域，分布拟合检验可用 于分析空气质量、水质等环境指标的 分布特征。
社会调查
在社会调查中，分布拟合检验可用于 分析人口普查、民意调查等数据，了 解社会现象和趋势。
本研究还发现，不同分布拟合检验方法在拟合效 果上存在差异，其中QQ图和概率图在判断分布拟 合优劣方面表现较好，而直方图在可视化展示方 面更具优势。
研究展望
在未来的研究中，可以进一步 探讨其他理论分布与实际数据 的拟合程度，以寻找更合适的
分布模型。
可以结合机器学习和人工智能 算法，对数据进行更深入的挖 掘和分析，以提高分布拟合检
分析结果表明，所选理论分布与实际数据存在一 定的拟合程度，但也存在一定的偏差。其中，正 态分布和指数分布与实际数据的拟合效果较好， 而泊松分布和威布尔分布的拟合效果相对较差。
在本研究中，我们采用了多种分布拟合检验方法 ，包括直方图、QQ图、概率图和统计检验等方法 ，对实际数据进行了深入的分析和比较。
通过绘制直方图和QQ图，可 以直观地观察数据分布与理论 分布的拟合程度。同时，计算 峰度系数和偏度系数等统计指 标，可以量化地评估分布拟合 程度。
案例二：人口普查数据分布拟合检验
• 总结词：人口普查数据分布拟合检验是评估人口数据质量和预测人口发 展趋势的重要手段。
• 详细描述：通过对人口普查数据进行分布拟合检验，可以判断人口数据 是否符合预期的分布形态，如年龄、性别、地区分布等，从而评估数据 质量和预测未来人口发展趋势。
分布拟合
在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 .
然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
例如，从1500到1931年的432年间，每年 爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统 计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据 如下:
若有r个未知参数需用相应的估计量来代 替，自由度就减少r个. 此时统计量 渐近(k-r-1)个自由度的 分布.
2 2
根据这个定理，对给定的显著性水平 ， 2 2 查 分布表可得临界值 ，使得
P ( )
2 2
得拒绝域:
( k 1) (不需估计参数)
例1
在一个正二十面体的二十个面上,分别标有
数字0, 1, 2, …, 9. 每个数字在两个面上标出.
为检验其均匀性,作了800次投掷试验,数字0, 1,
2, …, 9朝正上方的次数如下: 数字 0 频数 74 1 92 2 83 3 79 4 80 5 73 6 77 7 75 8 76 9 91
2
使用 2检验法对总体分布进行检验时，
我们先提出原假设:
H0：总体X的分布函数为F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分 布之间的吻合程度来决定是否接受原假设. 这种检验通常称作拟合优度检验，它是一 种非参数检验.
在用 2检验法 检验假设H0时，若在H0下 分布类型已知，但其参数未知，这时需要先 用极大似然估计法估计参数，然后作检验.
K-S检验的优势和劣势
• • • • 作为一种非参数方法，具有稳健性； 不依赖均值的位置； 对尺度化不敏感； 适用范围广（不像 t 检验仅局限于正态分布， 当数据偏离正态分布太多时t 检验会失效； • 比卡方更有效； • 如果数据确实服从正态分布，没有 t 检验敏感 （或有效）。
分布拟合检验
ˆ ˆ ˆ 大似然估计θ 1 ,θ 2 ,⋯,θ r ;
ˆ (2) 在 F ( x ,θ 1 ,θ 2 ,⋯,θ r ) 中用 θ i 代替θ i ( i = 1, 2,⋯, r ),
则 F ( x ,θ 1 ,θ 2 ,⋯,θ r ) 就变成完全已知的分布函数
ˆ ˆ ˆ F ( x ,θ 1 ,θ 2 ,⋯,θ r );
ˆ λ = x = 0.69.
按参数为0.69的泊松分布, 计算事件 X = i 的概率 pi , 的泊松分布, 按参数为 的泊松分布 pi 的估计是 pi = e −0.69 0.69i / i! , i = 0,1,2,3,4 ˆ 根据引例所给数表, 将有关计算结果列表如下: 根据引例所给数表, 将有关计算结果列表如下:
H 0 : 总体 X 的分布律为 P{ X = xi } = pi , i = 1,2,⋯;
如果总体分布为连续型， 如果总体分布为连续型， 则假设具体为 连续型
Hale Waihona Puke H 0 : 总体 X 的概率密度函数为 f ( x ).
然后根据样本的经验分布和所假设的理论分布之间 的吻合程度来决定是否接受原假设, 这种检验通常 的吻合程度来决定是否接受原假设 称作拟合优度检验， 称作拟合优度检验， 它是一种非参数检验. 拟合优度检验 它是一种非参数检验 非参数检验 一般地， 我们总是根据样本观察值用直方图和经验 一般地， 分布函数， 推断出可能服从的分布， 然后作检验. 分布函数， 推断出可能服从的分布， 然后作检验
χ 2 检验法 1900年发表的一篇文章中引进的所谓 年发表的一篇文章中引进的所谓
不少人把此项工作视为近代统计学的开端. 不少人把此项工作视为近代统计学的开端
年的432年间 年间, 到 年的 一 引例 从1500到1931年的 年间 每年爆发战争的 次数可以看作一个随机变量, 椐统计, 次数可以看作一个随机变量 椐统计 这432年间共 年间共 爆发了299次战争 具体数据如下： 次战争, 具体数据如下： 爆发了 次战争
分布拟合检验
随机变量 x 的偏度和峰度指的是 x 的标准化变 量[x-E(x)]/ D( x ) 的三阶中心矩和四阶中心矩： x - E(x) 3 E[( x E ( x )) 3 ] v1=E[( ) ]= , 3/ 2 ( D( x )) D(x) x - E(x) 4 E[( x E ( x )) 4 ] v2=E[( ) ]= . 2 ( D( x )) D(x) 当随机变量 x 服从正态分布时，v1=0 且 v2=3. 设 x1,x2,…,xn 是来自总体 x 的样本，则 v1,v2 的矩估 计分别是 g1=B3/B 3/2 , g2=B4/B 2 . 2 2 其中 Bk(k=2,3,4)是样本 k 阶中心矩，并分别称 g1, g2 为样本偏度和样本峰度.
例 1 在一实验中，每隔一定时间观察一次由某 种铀所放射的到达计数器上的 粒子数 x，共观察了 100 次，得结果如下表所示： 表 8.2 铀放射的 粒子数的实验记录 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fi 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0 Ai A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 其中 fi 是观察到有 i 个 粒子的次数。从理论上考虑 知 x 应服从泊松分布
155 149 141 142 141 147 149 140
158 158 140 137 149 146 138 142
解 为了粗略了解这些数据的分布情况，我们先根 据所给的数据画出直方图，下面就来介绍直方图。 上述数据的最小值、最大值分别为126、158，即所 有数据落在区间[126，158]上现取区间[124.5，159.5] ，它能覆盖区间[126，158]。将区间[124.5，159.5]等 分为7个小区间，小区间的长度记为 , (159.5 124.5) / 7 5. 称为组距。小区间的端点称为组限。数出落在每个 小区间内的数据频数 f i ，算出频率 f i / n / n( n 84, i 1,2,,7) 如下表
分布拟合检验
可建立统计假设
1 1 1 1 H 0 : p1 = , p2 = , p3 = , p4 = p5 = 2 4 8 16 依题意n=100,k=5,因此
(ν i − npi ) χ =∑ = 3.2 npi i =1
2 5 2
给定 α = 0.05, 查表 χ 0.95 ( 4) = 9.488 由于 χ < χ 0.95 ( 4)
H 0 : F ( x ) = F0 ( x); H1 : F ( x ) ≠ F0 ( x)
这是分布检验问题，属于非参数假设检验 问题。从解决实际问题的角度来看，在获 得样本 (ξ1,L, ξn ) 的观察值后，应设法找 到一个分布函数，把它作为总体的分布是 与观察值相吻合的。这就是所谓的分布拟 合问题。因此，检验总体分布是否是某一 个确定的分布，也称为分布拟合检验。很 明显，分布拟合问题是难度很大的问题， 2 因为已知的东西太少，下面只介绍 χ 拟合 检验法，但不给出理论证明。
2 2
2
故不能拒绝原假设 H 0 ，即认为黑盒中白球与 黑球的个数相等。
例 根据63年的观察资料，上海每年夏季（5月 至9月）发生的暴雨的天数记录如下：
暴雨 天数
0 4
1 8
2
3
4
5
6 2
7 1
8 1
9 0
年 份 数
14 19 10 4
能否由此表明上海夏季发生暴雨的天数服从泊松 分布？ 解：总体 ξ 是上海夏季发生暴雨的天数。待检 验的假设是
ˆ i = F0 ( a i ; θˆ1 , L , θˆr ) − F0 ( a i −1 ; θˆ1 , L , θˆr ) p
令
ˆi ) (ν i − n p νi =∑ −n χ =∑ ˆi ˆi np i =1 i =1 n p
分布拟合检验-PPT课件
i1
(xi x)2
（ 0 W 1 ）
正态性W检验方法
3、计算样本观测统计量值 4、判断
由于0<W<1，在H0为真时，W接近1，W值过小应拒 绝H0
当 p , 拒 绝 H ； p ， 不 能 拒 绝 H 0 0
p PW ( W ) 1 H 0 0
请看SAS实现部分
当 p , 拒 绝 H ； p ， 不 能 拒 绝 H 0 0
p P ( ( l k1 ) )
2 2 0
经验分布拟合检验方法
2 拟合优度检验是针对， pF () a F ( a ) , i 1 , 2 , … , l i 0 i 0 i 1
即对各段概率正确性的检验，而经验分布拟合检验 是直接针对H0:F(x)=F0(x)的检验。 理论依据：经验分布函数Fn(x)依概率收敛于分 布函数F(x) 出发点：经验分布函数Fn(x)与原假设中理论 分布函数F0(x)之间的距离。 1、假设
数据的分布拟合检 验与正态性检验
总体分布服从正态分布或总体分布已知 条件下的统计检验，称为参数检验。 但是在数据探索分析中，我们需要拟合的 正是数据的分布。这就要用到非参数假设检 验——分布拟合检验（用于检验样本观测值 是否来自某种给定分布）。 常用的分布拟合检验方法有 2 检验， 经验分布拟合检验法，以及正态性W检验法 。
1、提出假设
H0:F(x)=F0(x)，H1:F(x)≠F0(x)
2、构造检验统计量
其中， m i 和 np i 频数 p F a ) 1 0( 1
2 ( m np ) i 2 = i npi i1 分别为第i组的样本频数和理论 l
p F a F a ) ,i 23... ， ， ， l 1 i 0( i) 0( i 1 p 1 F a ) l 0( l 1
概率论课件分布拟合检验
其中i=1,2, , k, a0 -; ak ，我们称npi (i 1, 2, k) 为第i个区间上的理论频数；pi为理论频率.
（3）抽取大样本，统计落在各个区间上的个体个数
ni (i 1, 2, , k), 称ni为第i个区间上的实际频数.
(4)选用检验H0的统计量，直观上，如果H0成立, 那么 npi与ni的差别不应该太大，因此可以利用ni与npi之间 的差异来检验H0.能够体现它们的差异大小的统计量 之一是
查表得
02.0（5 5） 11.071，拒绝域为 2 11.071 现 2的值没有落入拒绝域，故接受H0,即可认为这颗骰子
是均匀的.
2 (k
r
1)就拒绝H
，
0
否则就接受H0.
例1为检验一颗骰子的六个面是否均匀，掷骰子120次， 得到结果如下：
点数 1 2 3 4 5 6 频数ni 21 28 19 24 16 12
试在 =0.05的水平下对他作出检验.
解 一颗骰子的六个面是否均匀就是检验每个面出 现的概率是否都是1/6。即可做假设
H0
:
P{X
k} 1 (k 6 Nhomakorabea 1, 2,..., 6),我们分6组
并计算各组的理论频数120 1 20,从而得到统计量 2的值
6
2 （21 20）2 （28 20）2 （12 20）2 8
20
20
20
由于假设H0中无未知参数，所以r 0，对于 0.05，
5.5 分布拟合检验
前面几节讨论了关于总体分布中未知参数的假设检验， 在这些检验中总体的分布是已知的。然而在许多情况下，并 不知道总体分布的类型，此时需要根据样本提供的信息，对
分布拟合检验及秩和检验.ppt
✓若H0为真，且试验的次数又足够多时，fi/n与pi=P(Ai)
不应差异太大！！
4
采用形如
选择统计量
n
i 1
hi
fi n
pi
2
(6.4)
的程统 度计, 其量中来h度i(i=量1,样2,.本..,k与)是H给0中定所的假常设数的. 分布的吻合
皮义尔 的逊 统证 计明量近, 如似果服选从取h2(ik=n1/p)分i(i=布1,.2(,n...,k5)0则) (6.4)式定
k
2
fi2 n
i1 npˆi
(6.6)
作为检验统计量.近似地服从2(kr1)分布, 其中r是被估
计的参数的个数.
6
确定拒绝的原则
当H0为真时2不应太大 如2过分大就拒绝H0, 拒绝域的形式为
2G (G为正常数). 对于给定的显著性水平a, 确定G使
P{当H0为真拒绝H0 } PH0 { 2 G} a .
分布拟合检验
1
引入
前面介绍的各种检验法都是在总体分布形式为已知的前提 下进行讨论的. 在实际问题中, 有时不知道总体服从什么类型的分布 需要根据样本来检验关于分布的假设.
本节介绍χ2拟合检验法和专用于检验分布是否为正态的 "
偏度,峰度检验法".
2
χ2拟合检验法
在总体未知时, 根据样本X1,X2,...,Xn来检验关于总体分布
2
k i 1
n pi
fi n
pi
2
k i 1
f
2 i
npi
n
(6.5)
作为检验统计量 5
若H0中所假设的X的分布函数F(x)中包含未知参数
分布拟合检验
例 有 1000 人按性别和是否色盲分类如下： 男 正常 色盲 女
442
514
38
6
按照遗传学模型，这些数字应有下列相对的概率：
p , 2
p2 pq, 2
q , 2
q2 ， 2
其中 q 1 p ．问数据是否与模型相符合？
16
本题所要检验的假设为
p H 0 ： p1 , 2
其中 p1,
i 1 r
在 H 0 成立时， n 个个体中属于 Ai 类的“期望个数”应当为
n pi ， i 1, 2, , r ．在统计学中， n pi 称为理论频
数； ni 称为实际频数．在假设 H 0 为真时，实际频数 ni 应接近 于理论频数 n pi ．
7
Pearson 提出用
由于 1 r 1 0.95 3 7.81 0.47 ，所以不拒绝 H 0 ，可
2 2
315 312.75
2
2
108 104.25
2
以认为 Mendel 的理论是正确的．
12
为方便计算，可列出如下的表格： 表1 Mendel 豌豆试验的 2 检验计算表
2 i 1
r
ni n pi
n pi
2
作为衡量实际频数与理论频数的偏差的综合指标．在假设
H 0 为真时， 2 的值倾向于较小；否则，就倾向于取较大
的值．因此检验的拒绝域应当为
W1 x1, x2 , , xn : c ．
2
8
Pearson 证明了下面的极限定理，根据这个 定
因此检验的拒绝域为
W1 x1, x2 , , xn : 2 5.991 ．
分布拟合检验
8
p ˆ9F ˆ(A 9)1 F ˆ(A i)0.05,68
i1
216 .53 61 36 3 12 .56, 3k 38,r1,
2(k r 1 )0 2 .0(5 6 ) 1.5 29 1 .5 26 , 33
故在水平 0.05 下接受 H0 ,
认为样本服从指数分布.
例4 下面列出了84个依特拉斯坎人男子的头颅的最大宽度(mm), 试验证这些数据是否来自正态总体?
H0
:
X的概率密f度 (x)
1ex
,
0,
x 0, x 0.
由H 于 0 中在 参 未数 具 ,故 体 先 .给 估 出
由最大似然估计法得
ˆx22311.37,7
162
X 为连续型随机变量,
将 X可能取 [0 ,值 )分 区 k为 9 间 个互不 的子 [ai,区 ai1)i,间 1,2, ,9. (见下页表)
16.3
0.114
11.4
0.069
6.9
0.036
3.6
0.017
1.7
0.007
0.7
0.003
0.002
0.3 0.2
fi2 / npˆi
19.394 15.622 34.845 7.423 7.105 11.739
其中有 npˆi 些 5的组予,以 使合 得并 每组均 nip5,如表中第四示 列 . 化括号所
2. 2检验法的基本思想
将随机试验可能结果的 全体 分为 k 个互不
k
相容的事件 A1 , A2 ,, An ( Ai , Ai Aj , i j,
i1
i, j 1, 2,, k ). 于是在假设 H 0 下, 我们可以计算
分布拟合检验
分布拟合检验分布拟合检验是一种统计方法，用于验证一个随机变量是否符合某个特定的概率分布。
在许多实际问题中，我们常常需要根据观测数据来推断数据的分布情况，而分布拟合检验可以帮助我们判断观测数据是否与我们假设的分布相符合。
我们需要明确什么是分布拟合检验。
分布拟合检验通过计算观测数据与理论分布之间的差异程度，来判断观测数据是否服从某个特定的概率分布。
常用的分布拟合检验方法有卡方检验和Kolmogorov-Smirnov检验。
卡方检验是一种基于频数的检验方法，它将观测数据根据某个分布的概率密度函数进行分组，并计算观测频数与理论频数之间的差异。
通过比较观测频数和理论频数之间的差异程度，我们可以判断观测数据是否符合某个特定的概率分布。
Kolmogorov-Smirnov检验是一种基于累积分布函数的检验方法，它通过计算观测数据的经验分布函数与理论分布的累积分布函数之间的最大差异，来判断观测数据是否符合某个特定的概率分布。
下面以一个例子来说明分布拟合检验的具体步骤。
假设我们有一组观测数据，表示某种产品的寿命。
我们想要验证这些数据是否符合指数分布。
我们需要根据观测数据计算出经验分布函数。
经验分布函数是指在某个点上，小于或等于该点的观测值的比例。
通过计算观测数据的经验分布函数，我们可以得到一个累积分布函数的曲线。
然后，我们需要计算出指数分布的理论累积分布函数。
指数分布是一种常见的连续概率分布，它描述了独立随机事件发生的时间间隔的概率分布。
根据指数分布的参数估计，我们可以计算出理论累积分布函数的曲线。
接下来，我们使用Kolmogorov-Smirnov检验来比较观测数据的经验分布函数与指数分布的理论累积分布函数之间的差异。
具体来说，我们计算出两个分布函数之间的最大差异，并根据该差异值和显著性水平，来判断观测数据是否符合指数分布。
我们还可以使用卡方检验来验证观测数据是否符合指数分布。
卡方检验通过计算观测频数与理论频数之间的差异，来判断观测数据是否符合指数分布。
分布拟合检验
分布拟合检验1.检验数据是否服从正态分布一、图示法1、P-P图以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。
如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。
2、Q-Q图以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。
如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。
以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。
3、直方图判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。
4、箱式图判断方法：观测离群值和中位数。
5、茎叶图类似与直方图，但实质不同。
二、计算法1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis）计算公式：g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。
两种检验同时得出U<U0.05=1.96，即p>0.05的结论时，才可以认为该组资料服从正态分布。
由公式可见，部分文献中所说的“偏度和峰度都接近0……可以认为……近似服从正态分布”并不严谨。
2、非参数检验方法非参数检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验（D检验）和Shapiro- Wilk（W 检验）。
SAS中规定：当样本含量n≤2000时，结果以Shapiro – Wilk（W检验）为准，当样本含量n >2000时，结果以Kolmogorov – Smirnov（D检验）为准。
SPSS中则这样规定：（1）如果指定的是非整数权重，则在加权样本大小位于3和50之间时，计算Shapiro-Wilk统计量。
对于无权重或整数权重，在加权样本大小位于3和5000之间时，计算该统计量。
由此可见，部分SPSS教材里面关于“Shapiro –Wilk适用于样本量3-50之间的数据”的说法是在是理解片面，误人子弟。
（2）单样本Kolmogorov-Smirnov检验可用于检验变量（例如income）是否为正态分布。
09分布拟合检验-统计软件实践
09分布拟合检验-统计软件实践例7.4.2 卢琴福在2608个等时间间隔内观测一枚放射性物质放射的粒子数X，表7.4.1是观测结果的汇总，其中ni表示2608次观测中放射粒子数为i的次数I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ni 57 203 383 525 532 408 273 193 45 27 10 6试利用该组数检验该放射性物质在单位时间内放射出的粒子数是够服从指数分布。
主要内容：数据集：Eg7.4.2数据集说明：12条记录，2个变量数据表：质点数i 频数0 571 2032 3833 5254 5325 4086 2737 1398 459 2710 1011 6A.SAS实现a)Insight实现以数据集WORK.EG070402为例，在Insight中，要制作变量ni的经验分布，只需在调入数据集并由分析进入分布(Y)的菜单后，点击Output.然后在弹出的菜单选：1.cumulative distribution (累积分布)。
2.在弹出的累积分布窗口选Empirical(经验)，并在置信带（confidence band）下选定置信水平，取95%3.OK---> OK----> OK (确定-→确定--→确定)在显示的图形中，中间是经验分布曲线，两侧是置信限，图下面有一个表说明置信水平，若用光标拖动其中的滑动条，置信水平和置信限曲线都随之变动。
对于分布拟合检验，例如要得到检验变量ni的总体分布与正态分布是否有显著差异，在已经得到了常规的一些结果后，可在结果窗口中使用下拉菜单：1.Curves(曲线)-→Test for Dittribution（分布检验）2.然后在弹出的分布检验窗口中选指数，在它前面的圆圈选中3.OK（确定）随机提供该变量的应验分布和拟合分布的正态累计分布曲线，检验结果汇总在分布检验表中，其中列举了拟合正态分布的均值（217.3333，即样本均值），并提供了Kolmogorov统计量的数值为0.1860，相应的p值>1.5，可以接受总体分布为指数分布。
第九讲_分布拟合检验
选择显著水平0.2，发现渐近P值大于0.2， 说明该数据支持12岁儿童身高服从正态分布
1、构造思想简单直观
优点
出发点是样本频数与理论频数之差。如果零假设 为真，则差值绝对值应该偏小；否则，偏大。 2、适用性广 既适用于离散分布拟合，又适用于连续分布拟合 离散型：
血型分布检验、二项分布拟合检验、Poisson分
连续型：
布拟合检验
正态分布拟合检验、指数分布拟合检验
缺点 1、与区间的划分有关 相同的数据，按照不同的区间划分，可以得到不
同的P值 2、灵敏度不够高
对于连续型随机变量，我们希望F(x)与F0(x)处处 差别不大，而不仅仅从区间的角度进行判断
3、SPSS处理不方便
SPSS处理时涉及pi0的计算和输入，而计算比较 繁琐
第9讲 Kolmogorov -Smirnov分布拟 合检验
内容提要：
K.Pearson连续型分布拟合检验及优缺点 Kolmogorov -Smirnov检验的思想 Kolmogorov -Smirnov检验的SPSS实现
上一讲所讲述了分布拟合检验的一种方法—— K.Pearson Chi-square检验法
Ab sol u te Po si ti ve
Ne ga ti ve
Kolmogorov-Smirnov Z
Asymp. Sig. (2-tailed)
a. Test distribution is Normal.
b. Calculated from data.
VAR00001 50
2.310664 .401622 .042 .021 -.042 .295 1.000
2、方法选择
与正态拟合类似，所不同的是应在Poisson前打“√”：
第09章资料分布的拟合优度检验
第9章 资料分布的拟合优度检验统计资料的分布是统计描述与统计推断的基础。
统计资料是否服从某统计分布，或能否用某已知的分布或分布族拟合实际数据？拟合效果好坏的标准是什么？这就是资料分布拟合优度检验(goodness of fit test)要解决的问题。
分布的拟合优度检验方法非常丰富，本章重点介绍两种有代表性的适用于各种分布的拟合优度检验方法，即Pearson χ2检验及Kolmogorov 检验。
在9.3节介绍正态分布的矩法检验。
§ 9.1 Pearson χ 2检验在第7章介绍了用于率的比较和构成比比较的Pearson χ2检验，其理论公式是： ()∑=-=ki TT A 122χ (9.1)其中A 表示实际频数，T 表示理论频数。
因此，Pearson χ2检验实际上是用于实际频数与理论频数比较的一个检验统计量。
实际频数与理论频数相差愈大，则χ2值愈大，反之愈小。
由此可见，Pearson χ2检验可用于资料分布的拟合优度检验，统计量χ2服从自由度为： ν ＝组数－1－s (9.2) 的χ2分布。
其中s 为根据样本估计理论分布时所用参数的个数，这就是Fisher 在1942年提出的“增加一个估计参数，就减少一个自由度”的原则。
式(9.1)中要求理论频数大于5，但没有对理论分布形式提出要求，故Pearson χ2检验适用于任意分布的拟合优度检验。
例9.1 (多项分布的拟合) ABO 血型受控于A 、B 、O 三个等位基因。
据报道，汉族人的三个等位基因频率分别为：p =0.2019，q =0.2512和r =0.5469。
则根据遗传学中Hardy-Weinberg 平衡法则，估计得汉族人四种血型的理论频率为：O 型： P O ＝r 2=(0.5469)2=0.2991A 型： P A ＝p 2+2pr =0.20192+2⨯0.2019⨯0.5469=0.2616B 型： P B ＝q 2+2qr =0.25122+2⨯0.2512⨯0.5469=0.3379 AB 型： P AB ＝2pq =2⨯0.2019⨯0.2512=0.1014 且P O +P A +P B +P AB ＝(p +q +r ) 2＝1。
分布拟合检验.PPT文档43页
15、机会是不守纪律的。吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
分布拟合检验.
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
分布拟合检验简介
分布拟合检验简介重点：分布拟合检验方法在很多场合下，我们连总体服从什么分布也无法知道，这时我们需要对总体的分布进行检验，这正是分布拟合检验要解决的问题。
一、 分布拟合检验的方法二、 例题例1 在某一实验中，每隔一定时间观测一次某种铀所放射的到达计数器上的α粒子数X ，共观测了100次，得结果如下表所示其中n i 为观测到i 个粒子的次数。
从理论上考虑，X 应服从泊松分布，问这种理论上的推断是否符合实际（取显著性水平α=0.05）解：原假设H 0：X 服从泊松分布Λ,1,0,!}{===-i i e i X P iλλλ的极大似然估计值为2.4ˆ==x λ。
当H 0为真时，P{X=i}的估计值为Λ,1,0,!2.4ˆ2.4==-i i e p i 。
2χ的计算如下表所示。
查表可得592.12205.0=χ由于592.128215.62<=χ，故在显著性水平α=0.05下接受H 0，即认为理论上的推断符合实际例2 自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到的里氏震级4级和4级以上地震计162次，统计如下：试检验相继两次地震间隔天数是否服从指数分布？取显著性水平α=0.05解：原假设H 0：X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-0 x 00 x )(x e x f λλλ的极大似然估计值为0726.0ˆ=λX 是连续性随机变量，将X 可能取值的空间（0，+∞）分为k=9个互不重叠的子区间921,,,A A A Λ当H 0为真时，X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0 x 00 x 1)(ˆ0726.0x e x F 由上式可得概率p i =P{X ∈A i }的估计值i pˆ，将计算结果列表如下查表可得067.14)7(205.0=χ067.145631.12<=χ故在显著性水平α=0.05下接受H 0，即认为X 服从指数分布。
分布拟合检验例
例1 为检验某一骰子是否均匀，现将它投掷100次，记录各点出现的次数如下：问这枚骰子是否均匀？（10.0=α）解 设随机变量X ，i X =表示投掷这枚骰子出现点数i ，6,,2,1 =i ，若骰子均匀，则各点数出现的概率应相等，即应有{}16==P X i . 因此，设要检验的假设为 0H ： {}1,1,2,,66=== P X i i 在0H 成立的条件下，统计量()5~6626122χχ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i i n n n 由已知，()20.10100,0.10,59.236n αχ===计算可得2 1.49.236χ=<，即0H 是相容的，可以认为这枚骰子是均匀的.例2随机抽取某地50名新生男婴，测其体重如下表（单位：克）：2520 3510 2600 3320 3120 3400 2900 2420 3220 3100 2980 3160 3150 3460 2740 3060 3700 3460 3500 1600 3080 3700 3280 2880 3120 3800 3740 2940 3550 2980 3700 3460 2940 3300 2980 3480 3220 3060 3400 2680 3340 2500 2960 2900 4600 2710 3340 2500 3300 3640 试在显著水平05.0=α下，检验该地新生男婴体重是否服从正态分布？解 要检验的假设为0H ：总体X 服从正态分布.这里，由于假设没有给出X 的均值与方差，而仅说明它服从正态分布，因此需要先估计正态分布的两个参数2,μσ.在应用上，常使用易于计算的估计量，如用样本均值和样本方差来估计总体均值和方差，即采用22ˆ,ˆS X ==σμ根据测量数据计算得223160,465.5X S ==.在2χ检验中，一般要求对数据分组时每组中的观察个数不少于5个，现在我们选取6个数：2450，2700，2950，3200，3450，3700将()+∞∞-,分为7个区间，相应地将数据分为7组，得到各组的频数如下：下面计算相应的7,,2,1,ˆ =i pi 当0H 成立时，X 近似服从分布()25.465,3160N ，故 ()()()()()()()()()()()()()123.05.46531603700137001ˆ145.05.465316034505.4653160370034503700ˆ196.05.465316032005.4653160345032003450ˆ210.05.465316029505.4653160320029503200ˆ165.05.465316027005.4653160295027002950ˆ098.05.465316024505.4653160270024502700ˆ063.053.115.465316024502450ˆ7654321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=-==-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ==F p F F p F F p F F p F F p F F p F p 将以上计算结果代入（8.16）式，计算得统计量38.42=χ，自由度为4217=--，对水平05.0=α，查表得临界值()4988.94205.0=χ.由于4988.938.42<=χ，故接受假设0H ，即认为该地新生男婴的体重服从正态分布.。
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内容提要：
K.Pearson连续型分布拟合检验及优缺点 Kolmogorov -Smirnov检验的思想 Kolmogorov -Smirnov检验的SPSS实现
上一讲所讲述了分布拟合检验的一种方法—— K.Pearson Chi-square检验法
146.4
148.5 143.7 144.5
139.4
147.5 156.9 142.4
我们将身高看作连续型随机变量，要检验它是 否服从正态分布 首先对区间进行划分，可采用公式
k 1.87(n 1) 2 / 5 1.87(119) 0.4 12
数据的最大值为160.3，最小值为122.7，等 距离划分12个区间，每个区间的长度为 d=3.133
146.8
147.7 134.7 138.4 131.0 132.3 135.9 135.9 129.1 132.9 140.6 135.0 139.7
127.4
140.8 138.9 133.1
146.0
127.7 123.1 142.8
155.8
150.7 126.0 136.8
141.2
160.3 150.0 133.1
一、K.Pearson Chi-square离散分布拟合检验
2 p i 1 k
ni Ei
Ei
2
H 0 , 2 (k r 1) n
ni和Ei分别是实际频数和理论频数
P P( (k r 1) )
2 2 0
P , rej. H 0 P , acc. H 0
i 10
pi 0 C 0.1 (1 0.1)
i
10i
关键问题之二：r、k的确定 r表示未知独立参数的个数，参数需要用极 大似然估计替代 Poisson分布：r=1
ˆ X
1 n ˆ (X i X )2 n i 1
2
ˆ 正态分布：r=2 X k表示随机变量的取值区间（或点）数，保 证该区间上的理论频数不得小于5
血型分布检验、二项分布拟合检验、Poisson分 布拟合检验 连续型： 正态分布拟合检验、指数分布拟合检验
缺点 1、与区间的划分有关 相同的数据，按照不同的区间划分，可以得到不 同的P值 2、灵敏度不够高 对于连续型随机变量，我们希望F(x)与F0(x)处处 差别不大，而不仅仅从区间的角度进行判断 3、SPSS处理不方便 SPSS处理时涉及pi0的计算和输入，而计算比较 繁琐
130.3
122.7 139.0 141.6 140.6 136.4 138.9 145.2 135.7 138.4 138.3 142.7 143.8
146.3
131.8 132.3 141.0 140.2 134.5 136.1 128.2 139.8 138.1 135.3 136.2 138.1
两密度函数有差 别吗？
f0(x)，理论密度
a1
a2
a3
a4
f(x)，实际密度
各区间上两曲线下的面积近似相等 理论概率与实际概率相近 实际密度与理论密度无差别？
三、Kolmogorov -Smirnov分布拟合检验
(1) H 0 : F ( x) F0 ( x) H1 : F ( x) F0 ( x) (2) H 0 : F ( x) F0 ( x) H1 : F ( x) F0 ( x) (3) H 0 : F ( x) F0 ( x) H1 : F ( x) F0 ( x)
150.8 147.9 127.7
146.2 143.0 154.4
140.6 143.1 142.7
139.7 142.7 141.2
问 ： 否该 服地 从区 正 12 态岁 分男 布孩 ？身 高 是
126.0
133.4
142.7 135.8 138.4 145.1 150.4 152.7 140.3 140.2 141.4 142.9 142.2 154.3
k=8各区间理论频数表
≤1 2 3 4 5 6 7 ≥8
7.79 13.22 18.51 19.44 16.33 11.43 6.86 6.26
上节课我们所涉及到的都是离散型随机变量， 即随机变量取值为有限个或可数个 其分布拟合检验属于离散分布检验问题， 利用K.Pearsonχ2检验时，其区间的划分和 概率的计算相对比较容易
146－150 150－154 >154
利用Spss软件求解
数据输入格式
数据加权
选择非参数K.Pearsonχ2检验
选择区间作为检验指标 理论概率值（按比例放大）后作为期望值 （expected value)依次输入
结果
区 间 Observed N 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 Total 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120 Expected N 3.9 7.8 15.4 22.9 25.6 21.3 13.9 6.2 2.9 Residual 1.1 .2 -5.4 -.9 7.4 -1.3 -2.9 -.2 2.1
ˆ ˆ x 139.5, 1 120 ( xi x ) 2 7.3457 120 i 1
再通过正态分布求区间发生的概率pi0
pi 0 P( ai 1 X ai )
ai
1 ˆ 2
ai 1
e
ˆ ( x )2 ˆ 2
dx F ( ai ) F ( ai 1 )
160.3 122.7 d 12
数出落在各区间的个体数
1
2
7
3
5
4
5
6
7
8
9
8
10
2
11
4
12
1
12 19 24 23 10
发现有三个区间的实际例数小于5 经尝试发现，应当将区间个数缩小为9，实际 上，以等间隔4就能使实际例数大于5，见P91 表4.4
因此确定k=9
其次，计算参数的极大似然估计
对于连续型随机变量的分布拟合检验， K.Pearson Chi-square检验该怎么办？
二、K.Pearson Chi-square连续分布拟合检验 例如： 要检验某地区12岁男孩身高是否服从正态分布 随机抽取某地区120名12岁男孩，测得具体身高 如下：
128.1 134.1
144.4 124.3 125.6
D sup D sup
n n x
x
Fn ( x) F0 ( x) F0 ( x) Fn ( x)
记
Dn max( D , D )
n
n
Kolmogorov-Smirnov检验统计量
Z n n Dn
lim P( Z n x | H 0 ) 1 2 (1)
可利用Excel求值
Normdist(ai,139.5,7.3457）－ Normdist(ai-1,139.5,7.3457）
以书中等间隔4作区间划分，分为9个区间
利用EXCEL，可求出各pi0的值 pi0 对应区间
<126 126－130 130－134 134－138 138－142
142－146
0, k Fn x n 1
x X 1
X k x X k 1 ; k 1,2, n 1 x X n
如果样本值已知，给定任何一点x0的值， 我们能确定Fn(x0)的值。
零假设为真，Fn(x) 与F0(x) 的差应当小，因此构 造检验统计量如下： Kolmogorov检验统计量 右侧检验统计量 左侧检验统计量
右侧检验
关键的问题之一：Ei的计算
n
pi 0 pi 0
Ei npi 0 样本例数
在H0成立下(X=i)发生的概率
P( X i | H 0 )
有时直接给出
如例4.1.1，见P86表4.1;再如习题四6# 有时需要通过公式计算 如Poisson分布拟合 再如习题四3#
i pi 0 e i!
Test Statistics Chi-Square a df Asymp. Sig. 区 间 6.644 8 .576
a. 2 cells (22.2%) have expected frequencies less than 5. The minimum expected cell frequency is 2.9.
131.0
137.6 134.8 136.6 141.4 142.7 148.1 137.3 136.6 139.7 144.7 152.1 147.9
125.4
136.9 139.1 136.2 139.9 144.3 139.6 134.6 139.5 136.2 138.8 142.4 141.3
实际自由度自由度 df=9-2-1=6 调整渐近P值
P P( 2 (6) 6.644) 0.355027
正态分布有2个参数
结论 选择显著水平0.2，发现渐近P值大于0.2， 说明该数据支持12岁儿童身高服从正态分布
1、构造思想简单直观
优点
出发点是样本频数与理论频数之差。如果零假设 为真，则差值绝对值应该偏小；否则，偏大。 2、适用性广 既适用于离散分布拟合，又适用于连续分布拟合 离散型：
出发点：利用实际分布和理论分布之间的每一点上 的差别进行比较 问题1：实际分布是未知的，如何通过样本度量？
问题2：理论分布含有参数怎么办？
经验分布函数是总体分布函数的无偏、一致估计。 一种定义方法，以后用于计算Dn+ x＜X 1 0, k Fn x X k x＜X k 1 ; k 1,2, n 1 n x X n 1 另一种定义方法以后用于计算Dn-