中考数学知识点重难点突破与训练4---初中数学动点问题7大类20小类全梳理
初中动点问题的方法归纳
初中动点问题的方法归纳动点问题是初中生学习数学时常遇到的难题之一。
这类问题需要学生掌握一定的解题方法和技巧才能够解决。
本文将从动点问题的基本概念、解题思路和常见解题方法等方面进行详细的归纳和总结，希望能够帮助学生更好地掌握动点问题的解题技巧。
一、动点问题的基本概念动点问题是数学中的一个重要课题，在初中数学中占据着重要的地位。
动点问题通常是指以点的运动规律为基础，通过分析和推理，确定动点在一定条件下的运动轨迹或者位置。
动点问题涉及到数学中的线性代数、平面几何等多个知识领域，对学生的逻辑思维和解决问题的能力提出了较高的要求。
动点问题的基本概念可以概括为以下几个方面：1.动点的定义：动点是指在一定条件下，按照一定的规律进行运动的点。
动点的轨迹、速度等都是动点问题的研究对象。
2.动点的运动规律：动点在其运动过程中会遵循一定的规律，这种规律可以是直线运动、曲线运动、周期性运动等。
了解动点的运动规律是解决动点问题的基础。
3.动点问题的应用：动点问题在生活和工作中有着广泛的应用，如汽车在高速公路上行驶的轨迹、射击运动中子弹的轨迹等，都可以通过动点问题进行模拟和分析。
二、动点问题的解题思路解动点问题需要遵循一定的思维逻辑和解题方法，下面将对解题思路进行详细的介绍：1.熟悉动点的运动规律：在解动点问题之前，首先需要了解动点所遵循的运动规律。
这包括动点的速度、加速度、运动轨迹等相关信息。
只有了解了动点的运动规律，才能够有针对性地解决动点问题。
2.建立数学模型：解动点问题需要建立适当的数学模型，根据动点的运动规律和条件进行建模。
这包括建立坐标系、确定参照物、建立方程等步骤，通过数学模型能够更清晰地描述动点的运动状态。
3.运用数学知识进行推理：在建立数学模型之后，需要通过数学知识进行推理和分析。
这包括运用几何知识、代数知识、函数知识等进行推导和计算，找出动点在不同条件下的位置和轨迹。
4.检验和求解：在进行推理之后，需要对所得的结果进行检验和求解，验证计算结果的正确性，并对结果进行解释和讨论，这样才能够得出准确的结论。
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总训练
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。
通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。
数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。
（1）去伪存真。
刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。
（2）科学选择。
捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。
（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。
中考数学重难考点突破—动态题型分类解析(动点、动线、动面)
中考数学重难考点突破—动态题型分类解析解决动态几何间题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变从结论入手，分析结论要成立需具备的典型特征条件是什么？然后利用函数与方程的思想和方法将这个需具备的典型特征条件(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。
类型一点动型动态题1．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s 的速度移动(不与点C重合)．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过___3__秒，四边形APQC的面积最小．图1解：设经过x秒四边形APQCD面积最小由题意得：AP=2x，BQ=4x，则PB=12—2x，△PBQ的面积=1/2×BQ×PB=1/2×4x×(12—2x)=—4(x—3)2+36当x=3时，△PBQ的面积的最大值是36mm2，此时四边形APQC的面积最小。
点评：本题中由于四边形APQC在动点运动中，无法确定其形态，也就无法应用面积公式。
而P、B、Q三点，根据题意始终组成一个直角三角形△PBQ，故从求直角三角形面积入手便可解决问题。
2．如图2，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在哪条边上相遇？图2解：(1)①∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝3×1＝3(厘米)．∵AB＝10厘米，点D为AB的中点，∴BD＝5厘米．又∵PC＝BC－BP，BC＝8厘米，∴PC＝8－3＝5(厘米)，∴PC＝BD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP.②∵v P ≠v Q ，∴BP ≠CQ .又∵△BPD 与△CQP 全等，∠B ＝∠C ，则BP ＝PC ＝4，CQ ＝BD ＝5， ∴点P ，点Q 运动的时间t ＝BP 3＝43(秒)， ∴v Q ＝CQ t ＝543＝154(厘米/秒)．(2)设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得154x ＝3x ＋2×10，解得x ＝803(秒)． ∴点P 共运动了803×3＝80(厘米)．∵80＝2×28＋24，∴点P 、Q 在AB 边上相遇， ∴经过803 秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． 类型二 线动型动态题3．已知二次函数y ＝x 2－(2m ＋2)x ＋(m 2＋4m －3)中，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于点A 和点B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点C 是抛物线与y 轴的交点，已知AD ＝AC (D 在线段AB 上)，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q 从点C 出发，以某一速度沿线段CB 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求t 的值．图3解：(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴Δ＝[]－2m＋22－4(m2＋4m－3)＝－8m＋16＞0，∴m＜2.∵m为不小于0的整数，∴m取0、1.当m＝1时，y＝x2－4x＋2，图象与x轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去；当m＝0时，y＝x2－2x－3，符合题意．∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.(2)∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD.∵CD垂直平分PQ，∴DP＝DQ，∴∠ADC＝∠CDQ.∴∠ACD＝∠CDQ，∴DQ∥AC，∴△BDQ∽△BAC，∴DQAC＝BDAB.∵AC＝10，BD＝4－10，AB＝4.∴DQ＝10－52，∴PD＝10－52.∴AP＝AD－PD＝52，∴t＝52÷1＝52.类型三面动型动态题4．如图4，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D 与点F重合，点B，D(F)，H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H 重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是( B)图4解析：正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分主要分为3个部分，是个分段函数，分别对应三种情况中的对应函数求出来即可得到正确答案。
(完整版)初中数学动点问题归纳
BB动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S=t2当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
初中数学动点问题解题技巧,动点题解题三步骤,初三数学动点解题思路
双动点问题动点问题是初中数学中的热门问题，也是让人欢喜让人忧的一类问题．其中的数学模型隐藏在变化的运动背后，很多同学容易被这类问题的已知条件迷惑，虽练习很多仍然“闻动色变”，实在爱不起来．但如果会透过现象看本质，找到运动过程中不变的规律，这一类问题又会让人感觉精彩绝伦，回味无穷。
本文就动点问题中如何找到双动点类型中的运动轨迹与大家分享．动点题有时不止一个点在动，如果有两个动点，其中一个随着另一个的运动而运动，题目往往研究第二个动点的一些规律，比如最大最小值，经过的路径长等．解决问题的关键是找到第二个动点的运动轨迹．一、直线型运动1．如图，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE。
如图①，在点D从点B开始移动至点C的过程中，求点E移动的路径长．分析：要求点E移动的路径长，首先要确定点E的运动轨迹。
连结CE，如图②,易证△ABD≌△ACE，得∠B=∠ACE=60°，因为∠ACB=60°，所以∠ECF=60°=∠B，所以EC∥AB，故在点D从点B开始移动至点C的过程中,点E的运动轨迹是过点C且平行于AB的一条线段，确定了轨迹，再确定起始与终止位置就可求出路径长．答案：42．已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，点G移动的路径长是_____．分析：延长AC、BD相交于点E，因为∠A=∠DPB=60°，所以PD∥EA，同理PC∥EB，所以四边形CPDE是平行四边形，连结EP，所以EP、CD互相平分，因为点G为CD的中点，所以EG=PG，所以点G是EP的中点，当点P从点A运动到点B时，点G的运动轨迹是△EAB的中位线MN．答案：5双动点的运动问题中，第二动点的运动轨迹如果是直线型，通常可以找到第二动点所在直线与已知直线的位置关系如平行、垂直等，或者是某一条特殊的直线（或直线上的一部分）如中位线、角平分线等．试一试：1.如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB－BC向终点C 运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E 运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．答案：C在数学中，静中找动，实现从特殊到一般的转化。
中考数学动点问题专题讲解(22页)
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中消失一个或多个动点,它们在线段.射线或弧线上活动的一类凋谢性标题.解决这类问题的症结是动中求静,灵巧应用有关数学常识解决问题.症结:动中求静.数学思惟：分类思惟函数思惟方程思惟数形联合思惟转化思惟重视对几何图形活动变更才能的考察从变换的角度和活动变更来研讨三角形.四边形.函数图像等图形,经由过程“对称.动点的活动”等研讨手腕和办法,来摸索与发明图形性质及图形变更,在解题进程中渗入渗出空间不雅念和合情推理.选择根本的几何图形,让学生阅历摸索的进程,以才能立意,考察学生的自立探讨才能,促进造就学生解决问题的才能．图形在动点的活动进程中不雅察图形的变更情形,须要懂得图形在不合地位的情形,才干做好盘算推理的进程.在变更中找到不变的性质是解决数学“动点”探讨题的根本思绪,这也是动态几何数学问题中最焦点的数学本质.二期课改后数学卷中的数学压轴性题正慢慢转向数形联合.动态几何.着手操纵.试验探讨等偏向成长．这些压轴题题型繁多.题意创新,目标是考察学生的剖析问题.解决问题的才能,内容包含空间不雅念.应用意识.推理才能等．从数学思惟的层面上讲：（1）活动不雅点;（2）方程思惟;（3）数形联合思惟;（4）分类思惟;（5）转化思惟等．研讨积年来各区的压轴性试题,就能找到本年中考数学试题的热门的形成和命题的动向,它有利于我们教师在教授教养中研讨对策,掌控偏向．只的如许,才干更好的造就学生解题素养,在本质教导的布景下更明白地表现课程尺度的导向．本文拟就压轴题的题型布景和区分度测量点的消失性和区分度小题处理手段提出本身的不雅点．函数揭示了活动变更进程中量与量之间的变更纪律,是初中数学的重要内容.动点问题反应的是一种函数思惟,因为某一个点或某图形的有前提地活动变更,引起未知量与已知量间的一种变更关系,这种变更关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们如何树立这种函数解析式呢?下面联合中测验题举例剖析.一.应用勾股定理树立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上活动时,线段GO.GP.GH 中,有无长度保持不变的线段?假如有,请指出如许的线段,并求出响应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的界说域(即自变量x 的取值规模).(3)假如△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上活动时,OP 保持不变,于是线段GO.GP.GH 中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=,∴2362121x OH MH -==.在Rt △MPH 中, .HM NGPO AB图1x y∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情形: ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经磨练,6=x 是原方程的根,且相符题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经磨练,0=x 是原方程的根,但不相符题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,假如△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二.应用比例式树立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,BD=,x CE=y . (1)假如∠BAC=30°,∠DAE=105°,试肯定y 与x 之间的函数解析式;(2)假如∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β知足如何的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试解释来由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CEAB =,∴11x y =, ∴xy 1=.(2)因为∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,AED CB图2 3(1)∴290α-︒=αβ-, 整顿得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的界说域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)贯穿连接OD.依据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =,∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE ADAP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时,①若EP 交线段CB 的延伸线于点F,如图3(1),则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE.A3(2)∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三.应用求图形面积的办法树立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上活动(与点B.C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的界说域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. 动态几何特色----问题布景是特别图形,考察询题也是特别图形,所以要掌控好一般与特别的关系;剖析进程中,特别要存眷图形的特点（特别角.ACO 图8HC特别图形的性质.图形的特别地位.）动点问题一向是中考热门,近几年考察探讨活动中的特别性：等腰三角形.直角三角形.类似三角形.平行四边形.梯形.特别角或其三角函数.线段或面积的最值.下面就此问题的罕有题型作简略介绍,解题办法.症结给以点拨. 一.以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．1．（09年徐汇区）如图,ABC ∆中,10==AC AB ,12=BC ,点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为极点作B EDF ∠=∠,分离交边AB 于点E ,交射线CA 于点F ．（1）当6=AE 时,求AF 的长;（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE 的长． [题型布景和区分度测量点]本题改编改过教材九上《类似形》24.5(4)例六,典范的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基本上改编出第一小题,当E 点在AB 边上活动时,渗入渗出入圆与圆的地位关系(相切问题)的消失性的研讨形成了第二小题,参加直AB CDEOlA ′线与圆的地位关系(相切问题)的消失性的研讨形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的地位关系和圆与圆的地位关系,从而应用方程思惟来求解．[区分度性小题处理手段]1．直线与圆的相切的消失性的处理办法：应用d=r 树立方程．2．圆与圆的地位关系的消失性(相切问题)的处理办法：应用d=R ±r(r R >)树立方程．3．解题的症结是用含x 的代数式暗示出相干的线段. [ 略解]解：（1） 证实CDF ∆∽EBD ∆∴BECDBD CF =,代入数据得8=CF ,∴AF=2 （2）设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=应用（1）的办法xCF 32=,相切时特别切和内切两种情形斟酌： 外切,xx 321010+-=,24=x ;内切,xx 321010--=,17210±=x ．100<<x∴当⊙C 和⊙A 相切时,BE 的长为24或17210-． （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,320=BE ． （二）线动问题在矩形ABCD 中,AB ＝3,点O 在对角线AC 上,直线l 过点O,且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形ABCD 的对称中间A ＇重合,求BC 的长;(2)若直线l 与AB 订交于点F,且AO ＝41AC,设AD 的长为x ,五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式,并指出x 的取值规模;ABCDE O lF ②摸索：是否消失如许的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若消失,请求出x 的值;若不消失,请解释来由．[题型布景和区分度测量点]本题以矩形为布景,联合轴对称.类似.三角等相干常识编制得到．第一小题考察了学生轴对称.矩形.勾股定理三小块常识内容;当直线l 沿AB 边向上平移时,寻找面积函数解析式为区分测量点一.参加直线与圆的地位关系(相切问题)的消失性的研讨形成了区分度测量点二．[区分度性小题处理手段]1．找面积关系的函数解析式,规矩图形套用公式或用割补法,不规矩图形用割补法．2．直线与圆的相切的消失性的处理办法：应用d=r 树立方程． 3．解题的症结是用含x 的代数式暗示出相干的线段. [ 略解](1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中间∴A ’B ＝AA ’＝21AC∵AB ＝A ’B,AB ＝3∴AC ＝6 33=BC(2)①92+=x AC ,9412+=x AO ,)9(1212+=x AF ,x x AE 492+=∴AF 21⋅=∆AE S AEFx x 96)9(22+=,xx x S 96)9(322+-=xx x S 968127024-+-= (333<<x )②若圆A 与直线l 相切,则941432+=-x x ,01=x (舍去),582=x ∵3582<=x ∴不消失如许的x ,使圆A 与直线l 相切．（三）面动问题如图,在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D .E 分离是边AB .AC 上的两个动点（D 不与A .B 重合）,且保持BC DE ∥,认为DE 边,在点A 的异侧作正方形DEFG .（1）试求ABC ∆的面积;（2）当边FG 与BC 重应时,求正方形DEFG 的边长;（3）设x AD =,ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出界说域;（4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长． [题型布景和区分度测量点]本题改编改过教材九上《类似形》24.5(4)例七,典范的共角类似三角形问题,试题为了形成坡度,在原题的基本上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D 点在AB 边上活动时,正方形DEFG 整体动起来,GF 边落在BC 边上时,正好和教材中的例题对应,可以说是类似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边,探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD 的关系的函数解析式形成了第三小题,仍然属于面积类习题来设置区分测量点一,用等腰三角形的消失性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手段]1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的症结,如上图3-1.3-2重叠部分分离为正方形和矩形包含两种情形．2．准确的抓住等腰三角形的腰与底的分类,如上图3-3.3-4.3-5用方程思惟解决．C3．解题的症结是用含x 的代数式暗示出相干的线段. [ 略解]解：（1）12=∆ABC S .（2）令此时正方形的边长为a ,则446a a -=,解得512=a . （3）当20≤x 时, 22253656x x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=, 当52 x 时, ()2252452455456x x x x y -=-⋅=. （4）720,1125,73125=AD . [类题]改编自09奉贤3月考25题,将前提（2）“当点M .N 分离在边BA .CA 上时”,去失落,同时加到第（3）题中.已知：在△ABC 中,AB =AC ,∠B =30º,BC =6,点D 在边BC 上,点E 在线段DC上,DE =3,△DEF 是等边三角形,边DF .EF 与边BA .CA 分离订交于点M .N ． （1）求证：△BDM ∽△CEN ;（2）设BD =x ,△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出界说域．（3）当点M .N 分离在边BA .CA 上时,是否消失点D ,使以M 为圆心,BM 为半径的圆与直线EF 相切,假如消失,请求出x 的值;如不消失,请解释来由．例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径,点C 在⊙O 上变更（不与A.B ）重合,求∠ACB 的大小 .ABF DEMNC剖析：点C 的变更是否影响∠ACB 的大小的变更呢?我们无妨将点C 转变一下,若何变更呢？可能在优弧AB 上,也可能在劣弧AB 上变更,显然这两者的成果不一样.那么,当点C 在优弧AB 上变更时,∠ACB 所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB 的一半,是以很天然地想到它的圆心角,贯穿连接AO.BO,则因为AB=OA=OB,即三角形ABC 为等边三角形,则∠AOB=600,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=21∠AOB=300,当点C 在劣弧AB 上变更时,∠ACB 所对的弧是优弧AB,它的大小为优弧AB 的一半,由∠AOB=600得,优弧AB的度数为3600-600=3000,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500,是以,本题的答案有两个,分离为300或1500.反思：本题经由过程点C 在圆上活动的不肯定性而引起成果的不独一性.从而须要分类评论辩论.如许由点C的活动变更性而引起的分类评论辩论在解题中经常消失.变式1：已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形,若32=AB ,求∠C 的大小.本题与例1的差别只是AB 与圆的半径的关系产生了一些变更,其解题办法与上面一致,在三角形AOB中,232121sin ==∠OB AB AOB ,则06021=∠AOB ,即0120=∠AOB , 从而当点C 在优弧AB 上变更时,∠C 所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB 的一半,即060=∠C ,当点C 在劣弧AB 上变更时,∠C 所对的弧是优弧AB,它的大小为优弧AB 的一半,由∠AOB=1200得,优弧AB的度数为3600-1200=2400,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200,是以060=∠C 或∠C=1200.变式2: 如图,半经为1的半圆O 上有两个动点A.B,若AB=1,断定∠AOB 的大小是否会随点A.B 的变更而变更,若变更,求出变更规模,若不变更,求出它的值.四边形ABCD 的面积的最大值.解：（1）因为AB=OA=OB,所以三角形AOB 为等边三角形,则∠AOB=600,即∠AOB 的大小不会随点A.B 的变更而变更.（2）四边形ABCD 的面积由三个三角形构成,个中三角形AOB 的面积为43,而三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和为)(212121BG AF BG OC AF OD +=⨯+⨯,又由梯形的中位线定理得三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和EH BG AF =+)(21,要四边形ABCD 的面积最大,只需EH 最大,显然EH ≤OE=23,当AB ∥CD 时,EH=OE,是以四边形ABCD 的面积最大值为43+23=433.对于本题同窗们还可以持续思虑:四边形ABCD 的周长的变更规模.变式3:别为A.B,另一个极点C 在半圆上,问如何截取才干使截出的三角形的面积最大？请求解释来由（广州市2000年考题）剖析：要使三角形ABC 的面积最大,而三角形ABC 的底边AB 为圆的直径为常量,只需AB 边上的高最大即可.过点C 作CD ⊥AB于点D,贯穿连接CO,因为CD ≤CO,当O 与D 重合,CD=CO,是以,当CO 与AB垂直时,即C 为半圆弧的中点时,其三角形ABC 的面积最大.本题也可以先猜测,点C 为半圆弧的中点时,三角形ABC 的面积最大,故只需另选一个地位C1（不与C 重合）,,证实三角形ABC 的面积大于三角形ABC1的面积即可.如图显然三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D,而C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D<21AB ×C1O=三角形 ABC 的面积,是以,对于除点C 外的随意率性点C1,都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形 ABC 的面积,故点C 为半圆中点时,三角形ABC 面积最大.本题还可研讨三角形ABC 的周长何时最大的问题.提醒：应用周长与面积之间的关系.要三角形ABC 的周长最大,AB 为常数,只需AC+BC 最大,而（AC+BC ）2=AC2+CB2+2AC ×BC=AB2+4×ΔABC 的面积,是以ΔABC 的面积最大时,AC+BC 最大,从而ΔABC 的周长最大.从以上一道题及其三个变式的研讨我们不难发明,解决动态几何问题的罕有办法有:一、 特别探路,一般推证例2：（2004年广州市中考题第11题）如图,⊙O1和⊙O2内切于A,⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为2,点P 为⊙O1上的任一点（与点A 不重合）,直线PA 交⊙O2于点C,PB 切⊙O2于点B,则PC BP 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）23（D ）26剖析：本题是一道选择题,给出四个答案有且只有一个是准确的,是以可以取一个特别地位进行研讨,当点P 知足PB ⊥AB 时,可以经由过程盘算得出PB=221322=- BC ×AP=BP ×AB,是以 BC=62462288162822==+=+⨯BP AB BPAB ,在三角形BPC 中,PC=36222=-BC BP , 所以,PC BP =3选（B ） 当然,本题还可以依据三角形类似得BP AP PC BP =,即可盘算出结论.作为一道选择题,到此已经完成,但假如是一道解答题,我们得出的结论只是一个特别情形,还要进一步证实对一般情形也成立.AA例3：如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=4,OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分离在边AB.AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A.C重合,点E 不与B.A 重合.断定∆OEF 的外形,并加以证实.断定四边形AEOF 的面积是否随点E.F 的变更而变更,若变更,求其变更规模,若不变更,求它的值.∆AEF 的面积是否跟着点 E.F 的变更而变更,若变更,求其变更规模,若不变更,求它的值.剖析：本题结论很难发明,先从特别情形入手.最特别情形为E.F 分离为AB.AC 中点,显然有ΔEOF 为等腰直角三角形.还可发明当点E 与A 无穷接近时,点F 与点C 无穷接近,此时ΔEOF 无穷接近ΔAOC,而ΔAOC 为等腰直角三角形,几种特别情形都可以得出ΔEOF 为等腰直角三角形.一般情形下成立吗？OE 与OF 相等吗？∠EOF 为直角吗？可否证实.假如它们成立,即可以推出三角形OFC 与三角形OEA 全等,一般情形下这两个三角形全等吗？不难从标题标前提可得：OA=OC,∠OCF=∠OAE,而AE=CF,则ΔOEA ≌ΔOFC,则OE=OF,且∠FOC=∠EOA,所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900,则∠EOF 为直角,故ΔEOF 为等腰直角三角形.二、着手实践,操纵确认例4（2003年广州市中测验题）在⊙O 中,C 为弧AB 的中点,D 为弧AC 上任一点（与A.C 不重合）,则（A ）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB<AD+DB(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB 与AD+DB 的大小关系不肯定剖析:本题可以经由过程着手操纵一下,器量AC.CB.AD.DB 的长度,可以F E O C B A测验测验换几个地位量一量,得出结论（C ）例5：如图,过两齐心圆的小圆上任一点C 分离作小圆的直径CA 和非直径的弦CD,延伸CA 和CD 与大圆分离交于点B.E,则下列结论中准确的是（ * ）（A ）AB DE = （B ）AB DE >（C ）AB DE <（D ）AB DE ,的大小不肯定剖析：本题可以经由过程器量的办法进行,选（B ）本题也可以可以证实得出结论,贯穿连接DO.EO,则在三角形OED 中,因为双方之差小于第三边,则 OE —OD<DE,即OB —OA<DE,是以ED AB <,即AB DE >三、 树立接洽,盘算解释例6：如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在边DC 上,且DM=1,N 为对角线AC 上随意率性一点,则DN+MN 的最小值为 .剖析：可否将DN 和NM 进行转化,与树立三角形双方之和大于第三边等问题,很天然地想到轴对称问题,因为ABCD 为正方形,是以贯穿连接BN,显然有ND=NB,则问题就转化为BN+NM 的最小值问题了,一般情形下：BN+NM ≥BM,只有在B.N.M 三点共线时,BN+NM=BM,是以DN+MN 的最小值为BM=522=+CM BC 本题经由过程树立平面上三个点中构成的三角形中的双方之和大于第三边及共线时的双方之和等于第三边的特别情形求最小值,最后经由过程勾股定理盘算得出结论.例7：如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=4,OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分离在边AB.AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A.C 重合,点E 不与B.A 重合.断定四边形AEOF 的面积是否随点E.F 的变更而变更,若变更,求其变更规模,若不变更,求它的值.∆AEF 的面积是否跟着点E.F 的变更而变更,若变更,求其变更规模,若不变更,求它的值. （即例3的第2.第3问）剖析：(2)本题的办法许多,其一,可以树立四边形AEOF 与AE 长的函数关系式,如设AE=x,则AF=x -22, 而三角形AOB 的面积与三角形AOE 的面积B M N DC B A F E O C B A之比=x 22,而三角形AOB 的面积=221=⨯⨯OA OB ,则三角形AOE 的面积=2x ,同理三角形AOF 的面积=222x-,是以四边形AEOF 的面积=22)22(=-+x x ;即AEOF 的面积不会随点E.F 的变更而变更,是一个定值,且为2.当然,本题也可以如许思虑,因为三角形AOE 与三角形COF 全等,则四边形AEOF 的面积与三角形AOC 的面积相等,而AOC 的面积为2,是以AEOF 的面积不会随点E.F 的变更而变更,是一个定值,且为2.本题经由过程树立函数关系或有关图形之间的关系,然后经由过程简略的盘算得出结论的办法应用比较普遍.第(3)问,也可以经由过程树立函数关系求得,∆AEF 的面积=1)2(21)22(212+--=-x x x ,又x 的变更规模为220<<x ,由二次函数常识得∆AEF 的面积的规模为:<0∆AEF 的面积1≤.本题也可以依据三角形AEF 与三角形OEF 的面积关系肯定∆AEF 的面积规模:不难证实∆AEF 的面积≤∆OEF 的面积,它们公用边EF,取EF 的中点H,显然因为∆OEF 为等腰直角三角形,则OH ⊥EF,作AG ⊥EF,显然AG ≤AH=AG （=EF 21）,所以∆AEF 的面积≤∆OEF 的面积,而它们的和为2,是以<0∆AEF 的面积1≤.本题包涵的内在十分丰硕,还可以提出许多问题研讨：比方,比较线段EF 与AO 长度大小等（可以经由过程A.E.O.F 四点在以EF 为直径的圆上得出许多结论）例8：如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点P 沿AB 边从点A 开端向点B 以2厘米/秒的速度移动;点Q 沿DA 边从点D 开端向点A 以1厘米/秒的速度移动.假如Ｐ.Ｑ同时动身,用t 秒暗示移动的时光（0≤ t ≤6）,那么：（1）当t 为何值时,三角形QAP 为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积,提出一个与盘算成果有关的结论;（3）当t 为何值时,以点Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似？剖析：（1）当三角形QAP 为等腰三角形时,因为∠A 为直角,只能是AQ=AP,树立等量关系,t t -=62,即2=t 时,三角形QAP 为等腰三角形;（2）四边形QAPC 的面积=ABCD 的面积—三角形QDC 的面积—三角形PBC 的面积 =6)212(211221612⨯--⨯⨯-⨯x x =36,即当P.Q 活动时,四边形QAPC 的面积不变.（3）显然有两种情形：△PAQ ∽△ABC,△QAP ∽△ABC, 由类似关系得61262=-x x 或12662=-x x ,解之得3=x 或2.1=x树立关系求解,包含的内容多,可所以函数关系,可所以方程组或不等式等,经由过程解方程.或函数的最大值最小值,自变量的取值规模等方面来解决问题;也可所以经由过程一些几何上的关系,描写图形的特点,如全等.类似.共圆等方面的常识求解.作为练习同窗们可以分解上述办法求解：点动.线动.形动构成的问题称之为动态几何问题. 它重要以几何图形为载体,活动变更为主线,集多个常识点为一体,集多种解题思惟于一题. 这类题分解性强,才能请求高,它能周全的考察学生的实践操纵才能,空间想象才能以及剖析问题息争决问题的才能. 个中以灵巧多变而著称的双动点问题更成为本年中测验题的热门,现采撷几例加以分类浅析,供读者观赏. 1 以双动点为载体,寻找函数图象问题 例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD 中,∠C=90°,高CD=6cm(如图1). 动点P,Q 同时从点B 动身,点P 沿BA,AD,DC 活动到点C 停滞,点Q 沿BC 活动到点C 停滞,两点活动时的速度都是1cm/s. 而当点P 到达点A 时,点Q 正好到达点C. 设P,Q 同时从点B 动身,经由的时光为t(s)时,△BPQ 的面积为y(cm)2(如图2). 分离以t,y 为横.纵坐标树立直角坐标系,已知点P 在AD 边上从A 到D 活动时,y 与t 的函数图象是图3中的线段MN.(1)分离求出梯形中BA,AD 的长度;(2)写出图3中M,N 两点的坐标;(3)分离写出点P 在BA 边上和DC 边上活动时,y 与t 的函数关系式(注明自变量的取值规模),并在图3中补全全部活动中y关于x的函数关系的大致图象.评析本题将点的活动进程中形成的函数解析式与其响应的函数图象有机的联合在一路,二者相辅相成,给人以清爽.淡雅之感. 本题彰显数形联合.分类评论辩论.函数建模与参数思惟在解题进程中的灵巧应用. 解决本题的症结是从函数图象中肯定线段AB.梯形的高与t的函数关系式,树立起y与t的函数关系式,进而依据函数关系式填补函数图象.2 以双动点为载体,寻找结论凋谢性问题例2 (2007年泰州市)如图5,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30°.它的极点A的坐标为(10,0),极点B的坐标为(5,53),AB=10,点P从点A动身,沿A→B→C的偏向匀速活动,同时点Q从点D(0,2)动身,沿y轴正偏向以雷同速度活动,当点P到达点C时,两点同时停滞活动,设活动的时光为t秒.(1)求∠BAO的度数.(2)当点P在AB上活动时,△OPQ的面积S(平地契位)与时光t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图6),求点P的活动速度.(3)求(2)中面积S与时光t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.(4)假如点P,Q保持(2)中的速度不变,那么点P沿AB边活动时,∠OPQ的大小跟着时光t的增大而增大;沿着BC边活动时,∠OPQ的大小跟着时光t的增大而减小,当点P沿这双方活动时,使∠OPQ=90°的点P有几个?请解释来由.解 (1)∠BAO=60°.(2)点P的活动速度为2个单位/秒. 评析本题是以双点活动构建的集函数.凋谢.最值问题于一体的分解题. 试题有难度.有梯度也有区分度,是一道具有很好的提拔功效的好题. 解决本题的症结是从图象中获取P的速度为2,然后树立S与t的函数关系式,应用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4),考生要从标题标信息中肯定树立以B为直角极点的三角形,以B为临界点进行分类评论辩论,进而肯定点的个数问题.3 以双动点为载体,寻找消失性问题例3 (2007年扬州市)如图8,矩形ABCD中,AD=3厘米,AB=a厘米(a>3).动点M,N同时从B点动身,分离沿B→A,B→C活动,速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB,分离交AN,CD于P,Q.当点N到达终点C时,点M也随之停滞活动.设活动时光为t秒.(1)若a=4厘米,t=1秒,则PM=厘米;(2)若a=5厘米,求时光t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的类似比;(3)若在活动进程中,消失某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值规模;(4)是否消失如许的矩形：在活动进程中,消失某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等?若消失,求a的值;若不消失,请解释来由.评析本题是以双动点为载体,矩形为布景创设的消失性问题.试题由浅入深.层层递进,将几何与代数常识完善的分解为一题,侧重对类似和梯形面积等常识点的考察,本题的难点主如果题(3),解决此题的症结是应用类似三角形的性质用t的代数式暗示PM,进而应用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式,再应用t的规模肯定的a取值规模. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用,在解决此问题的进程中,要有全局不雅念以及对问题的整体掌控.4 以双动点为载体,寻找函数最值问题例4 (2007年吉林省)如图9,在边长为82cm的正方形ABCD中,E.F是对角线AC上的两个动点,它们分离从点。
人教版七年级上册《动点问题》知识点总结
人教版七年级上册《动点问题》知识点总结
动点问题是贯穿整个中学的重点问题与难点问题，在每个学期，动点问题的考察背景也随之变化，在三角形、四边形、一次函数、二次函数等背景中都有可能出现，对同学们而言是一个挑战。
对于初中数学考试而言，压轴题是为了考查学生综合运用知识的技能而设计的题型，具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活等特点。
而动点最值问题则永远都是试卷中最难的压轴类题目，所以会有很多同学都反应不知道该怎么下手。
但是，俗话说得好，只要功夫深铁杵磨成针！把题出出来不就是让人来解的吗？所以，同学们，别怕别怕，千万别怕！
动点问题怎么解？有一个万能的方法，那就是化动为静，根据行程问题的公式，速度x时间=距离，然后根据题意所求，设未知数，构造方程来接，其实是非常简单的。
今天老师就把“动点问题”的几个相关知识点总结一下，全部为手稿，大家可以下载打印或自己抄写一遍，更能加深印象。
数轴上的动点问题
数轴上的动点问题
数轴上的动点问题
数轴上的动点问题。
(完整word)初中数学动点问题归纳,推荐文档
图(1) 图(2) 图(3)题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系； 分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点31、( 2009年齐齐哈尔市)直线 y x 6与坐标轴分别交于 A B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，4同时到达A 点，运动停止•点 Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 7 yB位长度，点P 沿路线O T B T A 运动. (1) 直接写出A 、B 两点的坐标； (2)设点Q 的运动时间为t 秒，△ OPQ 的面积为S ,求出S 与t 之间 _ .- O「 48(3)当S 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点 O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的5坐标.解：1、A ( 8, 0) B (0, 6)r , 22、当 0 v t v 3 时，S=t当 3 v t v 8 时，S=3/ 8(8-t)t提示：第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;第(3)问是分类讨论：已知三定点 O 、P 、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不 同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后 画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、(2009年衡阳市)如图，AB 是O O 的直径，弦 BC=2cm , / ABC=60 o .(1) 求O O 的直径；(2) 若D 是AB 延长线上一点，连结 CD ，当BD 长为多少时，CD 与O O 相切；(3) 若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点 F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿动点问题的函数关系式;P tQBC方向运动，设运动时间为t(s)(0 t 2)，连结EF，当t为何值时，△ BEF为直角三角形. 注意：第(3)问按直角位置分类讨论D共3、(2009重庆綦江)如图，已知抛物线y a(x 1)2 3. 3(a 0)经过点A( 2, 0)，抛物线的顶点为D , 过O作射线OM// AD •过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC •(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若OC OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒 1 单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t (s)，连接PQ ,当t为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.注意：发现并充分运用特殊角/ DAB=60 °当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。
中考数学复习专题二---动点问题题型方法归纳
长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和
BO 运动，当其中一个点停止运动时另一
个点也随之停止运动．设它们的运动的时
间 为 t ( s) ， 连 接 y D
M
C PQ ， 当
3
P
A O
Q Bx
（这里规定：点和线段是面积为 形），解答下列问题：
O 的三角
（ 1）点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是
3 时，求 m的取值范围 ( 写出答案即可 ) ．
注 意：发现特殊性， DE∥OA
6
动．
（ 1）直接写出 A、 B 两点的坐标；
（ 2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， △OPQ
的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系
式；
（ 3）当 S 48 时，求出点 P 的坐标，并 5
直接写出以点 O、 P、Q 为顶点的平行四边
形的第四个顶点 M 的坐标．
y B
提示：第（ 2 ）问按点 P 到拐点 B 所有时 间分段分类； 第（ 3 ）问是分类讨论：已知三定点 O 、 P、 Q ， 探究第四点构成平行四 边形时按已知线段身份不同分类 ---- ① OP 为 边 、 OQ 为 边 ， ② OP 为 边 、 OQ 为 对 角 线 ， ③ OP 为 对 角 线、 OQ 为边。然后画出各类的图 形，根据图形性质求顶点坐标。
动时间为 t( s)(0 t 2) ，连结 EF，当 t 为
何值时，△ BEF 为直角三角形． 注意：第（ 3 ）问按直角位置分类讨论
C F
A
OEB
图
2
t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？ 并求出最小值及此时 PQ 的长．
注意：发现并充分运用特殊角∠ DAB=60 ° 当 △OPQ 面 积 最 大 时 ， 四 边 形
(完整版)初中数学动点问题归纳
BB动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S=t2当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
中考数学 重难点突破：初中数学动点问题7大类20小类全梳理
重难点突破：初中数学动点问题全梳理动点问题一直是中考热点题型，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数值、线段或面积的最值问题等，下面就此问题的常见题型作简单介绍。
题型一动点形成的面积问题1．面积公式：三角形面积用12S ah =来表示，利用未知数的代数式来表示底和高。
2．面积比等于相似比的平方：面积无法用底和高表示时，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解，只需要知道相似比和另一个三角形面积即可表示。
3．相似三角形：当面积公式和面积比等于相似比的平方不能有效解题时，利用相似三角形的比例关系求解。
角度1：利用公式法解决动点面积问题例题1：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点30A （，）和23B （，）．过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且1tan 3CAO ∠=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB 、BC ，求ABC ∠的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当ABC ADC S S ∆∆=时，求点D 的坐标．变式1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(,3)a （其中4a >），射线OA 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x=的图像上，且//AB x 轴，//AC y 轴．（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB BO =时，求点A 坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想：ABP ACP S S ∆∆的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABP ACPSS ∆∆的值；如果变化，请说明理由．Oxy（备用图）Oxy解析：（1）∵反比例函数12y x=的图像经过横坐标为6的点P ，∴点P 的坐标为（6，2）．设直线AO 的表达式为y kx =（0k ≠）．将点P （6，2）代入y kx =，解得13k =．∴所求反比例函数的解析式为13y x =．（2）∵AB //x 轴，∴点B 纵坐标为3，将3y =代入12y x=，得4x =．∴B 坐标为（4，3）．∵AB =BO ，∴224(40)(30)a -=-+-9a =．∴点A 坐标为（9，3）．（3）不变．延长AB 交y 轴于点D ，延长AC 交x 轴于点E ，∴32ADO AEO S S a ∆∆==．∵点C 坐标为（a ，12a）．∴6CEO S ∆=，同理6BDO S ∆=，∴ADO BDO AEO CEO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ABO ACO S S ∆∆=．∵△ABP 与△ABO 同高，∴ABP ABO S AP S AO ∆∆=．同理ACP ACO S APS AO ∆∆=．∴1ABP ACPS S ∆∆=．即当a 变化时，ABPACPS S ∆∆的值不变，且恒为1变式2：如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(3,0)B ，(0,4)C ，点A 在x 轴的负半轴上，4OC OA =；（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作//PM BC 交射线AC 于点M ，联结CP ，若CPM ∆的面积为2，则请求出点P 的坐标；解析：（1）设这条抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠它的顶点坐标为16(1,)3（2）过点P 作PH AC ⊥，垂足为H .∵P 点在x 轴的正半轴上，∴设0P x （，）.∵A )0,1(-，∴1PA x =+.∵在Rt AOC ∆中，222OA OC AC +=；又∵14OA OC ==，∴17AC =90sin 117PH PH PHA CAO AP x ∠=︒∴∠===+ 17PH =//BP CMPM BC AB AC∴= ；300B P x （，），（，）1点P 在点B 的左侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)4x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)14(1)22417x -=解得110x .P =∴（，）2点P 在点B 的右侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)4x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)122417x -=解得1122x =+，2122x =-（不合题意，舍去）∴P （122+0）.综上所述，P 的坐标为（1，0）或（122+0）角度2：利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题例题2：如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AB DC ==，4AD =．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且//ME DN ，//MF AN ，联结EF ．（1）如图1，如果//EF BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是ADN ∆的面积的38，求AM 的长；A BCDM NEF（图1）A BCD MNEF解析：（1）∵AD //BC ，EF //BC ，∴EF //A D ．又∵ME //DN ，∴四边形EF DM 是平行四边形．∴EF =DM ．同理可证，EF =AM ．∴AM =DM ．∵AD =4，∴122EF AM AD ===．（2）∵38ADNMENF S S ∆=四边形，∴58AME DMF ADN S S S ∆∆∆+=．即得58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=．∵ME //DN ，∴△AME ∽△AN D ．∴22AME ADN S AM S AD ∆∆=．同理可证，△DM F ∽△DN A ．即得22DMF ADN S DM S AD ∆∆=．设AM =x ，则4DM AD AM x =-=-．∴22(4)516168x x -+=．即得2430x x -+=．解得11x =，23x =．∴AM 的长为1或3．变式3：已知直线1l 、2l ，12//l l ，点A 是1l 上的点，B 、C 是2l 上的点，AC BC ⊥，60ABC ∠=︒，4AB =，O 是AB 的中点，D 是CB 延长线上的点，将DOC ∆沿直线CO翻折，点D 与'D 重合．（1）如图1，当点'D 落在直线1l 上时，求DB 的长；（2）延长DO 交1l 于点E ，直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N ．①如图2，当点E 在线段AM 上时，设x AE =，y DN =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；②若DON ∆的面积为323时，求AE 的长．解析：变式4：如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BC AC ⊥，4AD =cm ，︒=∠45D ，3=BC cm ．（1）求B ∠cos 的值；（2）点E 为BC 延长线上的动点，点F 在线段CD 上（点F 与点C 不重合），且满足ADE AFC ∠=∠，如图2，设x BE =，y DF =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点E 为射线BC 上的动点，点F 在射线CD 上，仍然满足ADE AFC ∠=∠，当AFD ∆的面积为2cm 2时，求BE 的长．解析：（1）∵//AD BC ，∴ACB DAC ∠=∠.∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒.∴90DAC ∠=︒.∵45D ∠=︒，∴45ACD ∠=︒.∴AD AC =.∵4AD =，∴4AC =.∵3=BC ，∴5AB ==.∴3cos 5BC B AB ∠==.（2）∵//AD BC ，∴ADF DCE ∠=∠.∵AFC FDA FAD ∠=∠+∠，ADE FDA EDC ∠=∠+∠，又AFC ADE ∠=∠，∴FAD EDC ∠=∠.∴ADF DCE ∆~∆.∴AD DFDC CE=.在Rt ADC ∆中，222AC AD DC +=，又4==AC AD ，∴24=DC .∵x BE =，∴3-=x CE .y DF =，∴3244-=x y.22322-=x y .定义域为113<<x .（3）当点E 在BC 的延长线上，由（2）可得：ADF DCE ∆~∆，∴2)(DCAD S S DCE ADF =∆∆.∵2AFD S ∆=，4=AD ，24=DC ，∴4=∆DCE S .∵AC CE S DCE ⨯⨯=∆21，∴44)3(21=⨯-⨯BE ，∴5BE =.当点E 在线段BC 上，同理可得：44)3(21=⨯-⨯BE .∴1BE =.所以BE 的长为5或1.角度3：利用锐角三角比法解决动点面积问题例题3：已知在平面直角坐标系xoy （如图）中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A 、点(0,4)C -，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称；（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为(0)m m >，过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果QPO BCO ∠=∠，求m 的值；解析：变式5：已知在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>与x 轴相交于(1,0),(3,0)A B -两点，对称轴l 与x 轴相交于点C ，顶点为点D ，且ADC ∠的正切值为12．（1）求顶点D 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF ，若FAC ADC ∠=∠，求F 点的坐标．解析：（1）∵抛物线与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，∴对称轴l ：直线1x =，2AC =∵90ACD ∠=︒，1tan 2ADC ∠=，∴4CD =，∵0a >，∴()1,4D -（2）设()214y a x =--将1,0x y =-=代入上式，得，1a =所以，这条抛物线的表达为223y x x =--（3）过点F 作FH x ⊥轴，垂足为点H设()2,23F x x x --，∵FAC ADC ∠=∠，∴tan tan FAC ADC ∠=∠，∵1tan 2ADC ∠=，∴1tan 2FH FAC AH ∠==∵223FH x x =--，1AH x =+，∴223112x x x --=+解得172x =，21x =-（舍），∴79,24F ⎛⎫⎪⎝⎭巩固1：如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线c ax ax y +-=22与x 轴的正半轴相交于点A 、与y 轴的正半轴相交于点B ，它的对称轴与x 轴相交于点C ，且OBC OAB ∠=∠，3AC =．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF OA ⊥，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且2:3:=∆∆AFG ADG S S ，求点D 的坐标．A C BO y x解析：（1）∵抛物线c ax ax y +-=22的对称轴为直线12=--=aax ，∴OC =1，OA =OC +AC =4，∴点A （4，0）．∵∠OBC =∠OAB ，∴tan ∠OAB =tan ∠OBC ，∴OBOCOA OB =，∴OB OB 14=，∴OB =2，∴点B （0，2），∴⎩⎨⎧+-==,8160,2c a a c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,41c a ∴此抛物线的表达式为221412++-=x x y ．（2）由2:3:=∆∆AFG ADG S S 得DG ：FG =3：2，DF ：FG =5：2，设m OF =，得m AF -=4，221412++-=m m DF ，由FG //OB ，得OA AF OB FG =，∴24m FG -=，∴2:524:)22141(2=-++-mm m ，∴01272=+-m m ，∴4,321==m m （不符合题意，舍去），∴点D 的坐标是（3，45）巩固2：如图，已知ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ．（1）求证：BCD DAF ∆∆∽；（2）若1BC =，设CD x =，AF y =；①求y 关于x 的函数解析式及定义域；②当x 为何值时，79BEF BCD S S ∆∆=？（1）证明：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60A C BDE ∠=∠=∠=︒∵ADF BDE C DBC ∠+∠=∠+∠，∴ADF DBC ∠=∠，∴BCD ∆∽DAF∆（2）∵BCD ∆∽DAF ∆，∴BC CDAD AF=∵1BC =，设CD x =，AF y =，∴11x x y =-，∴()201y x x x =-<<（3）解法一：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD ∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∴BE BFBC BD=，∵BE BD =，1BC =，∴2BE BF =∵EBF ∆∽CBD ∆，79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==，∴279BE BF ==，∴29AF =∴229x x -=，解得1221,33x x ==，∴当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=解法二：∵△ABC 与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∵79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==∵1BC =，BE BD =，∴279BD =过点B 作BH AC ⊥于点H ，∵60C ∠=︒，∴2BH =，∴16DH =，12CH =当点D 在线段CH 上时，111263CD CH DH =-=-=当点D 在线段CH 的延长线上时，112263CD CH DH =+=+=综上所述，当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=．巩固3：在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上一动点，将三角板直角顶点重合于点P ，三角板两直角边中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．（1）判断EAP ∆与PDC ∆一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P ，是EAP ∆周长等于PDC ∆周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．解析：（1）△EAP ∽△PDC①当P 在AD 边上时，如图（1）：∵矩形ABCD ，==90D A ∠∠ ，∴1+2=90∠∠据题意=90CPE ∠ ∴3+2=90∠∠ ，∴1=3∠∠，∴△EAP ∽△PDC ②当P 在AD 边上时，如图（2）：同理可得△EAP ∽△PDC （2）若点P 在边AD 上，据题意：PD x =6PA x =-4DC =AE y=又∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y xx -=，∴22613442x x y x x -==-+()06x <<若点P 在边DA 延长线上时，据题意PD x =，则6PA x =-，4DC =，AE y =，∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴()2664x x y x -=>（3）假如存在这样的点P ，使△EAP 周长等于PDC ∆的2倍①若点P 在边AD 上∵△EAP ∽△PDC ∴():6:4EAPPDCCCx =-，∴()6:42x -=，∴2x =-不合题意舍去；②若点P 在边DA 延长线上，同理得()6:42x -=，∴14x =综上所述：存在这样的点P 满足题意，此时14PD =巩固4：如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M 在y 轴上，OMB OAB ACB ∠+∠=∠，求点M的坐标．解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ∴44201640c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得方程组的解为1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴这个抛物线的解析式为：2142y x x =--顶点为9(1,2-（2）如图：取OA 的中点，记为点N ∵OA =OC =4，∠AOC =90°∴∠ACB =45°∵点N 是OA 的中点∴ON =2又∵OB =2∴OB =ON 又∵∠BON =90°∴∠ONB =45°∴∠ACB =∠ONB∵∠OMB +∠OAB =∠ACB ∠NBA +∠OAB =∠ONB ∴∠OMB =∠NBA1°当点M 在点N 的上方时，记为M 1∵∠BAN =∠M 1AB ，∠NBA =∠OM 1B ，∴△ABN ∽△AM 1B ∴1AN ABAB AM =又∵AN =2，AB =∴110AM =又∵A （0，—4）∴1(0,6)M 2°当点M 在点N 的下方时，记为M 2，点M 1与点M 2关于x 轴对称，∴2(0,6)M -综上所述，点M 的坐标为(0,6)或(0,6)-题型二动点形成的相切问题1．直线和圆相切：圆心到直线距离等于半径构造直角三角形，利用三角比、勾股定理等来表示圆心到直线距离及半径，建立等量关系2．圆和圆相切：两圆半径和等于圆心距．利用平行线分线段成比例、勾股定理、三角比、相似等表示相关线段，建立等量关系角度4：直线与圆相切问题例题4：如图，在ABC ∆中，10,12,AB AC BC ===点E F 、分别在边BC AC 、上（点F 不与点A 、C 重合）//EF AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC x =．（1）求B ∠的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE DF 、分别交AB 于M 、N ，若MN y =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E 为圆心、BE 长为半径的E 与边AC1没有公共点时，求x 的取值范围．2一个公共点时，求x 的取值范围．3两个公共点时，求x 的取值范围．AECBFAB DGC EF 变式6：已知：矩形ABCD 中，过点B 作BG ⊥AC 交AC 于点E ，分别交射线AD 于F 点、交射线CD 于G 点，BC ＝6．（1）当点F 为AD 中点时，求AB 的长；（2）联结AG ，设AFG AB x S y ∆==,,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）是否存在x 的值，使以D 为圆心的圆与BC 、BG 都相切？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵点F 为AD 中点，且AD =BC =6，∴AF =3∵矩形ABCD 中，∠ABC =90°，BG ⊥AC 于点E ，∴∠ABE +∠EBC =90°，∠AC ∠EBC =90°∴∠ABE =∠ACB ，∴△ABF ∽△BCF ，∴ABAFBC AB =∴AB =23（2）由（1）可得△ABF ∽△BCF ∴ABAFBC AB =∵AB ＝x ，BC ＝6∴AF =62x ；同理可得：CG =x 36①当F 点在线段AD 上时DG =CG -CD =xx x x 23636-=-∴S ⊿AFG =1236213x x CG AF -=⋅。
初中数学动点问题的归类解析
初中数学动点问题的归类解析摘要：动点问题是初中数学的重难点，一般也是中考的压轴题，动点问题情境复杂、图形和数量关系多变、综合性强、蕴含知识点多，学生学习和教师教学都有一定的难度。
文章对动点问题与二次函数结合、图形与几何结合以及化“动”为“静”三类动点问题用中考经典例题进行解法分析，提供一般的解题策略。
希望能给教师提供一定的参考价值，也希望学生对动点问题能够理解，提高数学成绩和数学核心素养。
关键词：动点问题解题策略初中数学1.前言2022年颁布的《义务教育数学课程标准》中指明注重培养学生的空间观念、几何直观、数据分析观念、模型思想、应用意识、创新意识。
人教版教材（2013）没有对“动点问题”进行定义和解释，在中国知网输入主题“初中数学动点问题”进行搜索，结果有学术期刊14篇，学位论文33篇，会议论文11篇。
笔者查阅了大量资料，普遍认为“动点问题是指在几何图形中，含有动点元素，一般指一个或多个点沿某一路径移动的过程中所形成的图形位置关系与数量关系等。
它是动态几何的一类构成元素，是关于点动的问题”。
文章主要从四个方面对初中动点问题进行研究，初中动点问题的教学研究、初中动点问解题困难和思维障碍的研究、初中动点问题借助几何画板辅助教学。
同时，学习理论和教学理论在初中动点问题学习中也广泛的应用。
动点题涉及的知识点多，结合函数和图形几何来考，通常是中考的压轴题，有时题目中没有明显的动点，而是要找到“特殊点”，学生首先要判断是否是动点，再考虑与函数、图形和几何还是两者，对学生的基础知识、数学思想和动手实践能力有一定的要求。
1.基于二次函数的动点问题二次函数具有一定的抽象性和综合性，需要学生具备一定的数学抽象、逻辑推理、数学模型等能力，符合动点问题抽象的特点。
同时，动点与二次函数结合是中考的热点问题，甚至是中考压轴题。
通常涉及了线段问题，面积问题，中点问题，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、特殊角等存在性问题，这些存在性问题都涉及了动点。
动点问题重难点知识点归纳
动点问题重难点知识点归纳
哇塞！今天我要来和大家聊聊动点问题，这可真是个让人又爱又恨的重难点呢！
你们想想看，动点就像是在数学世界里调皮捣蛋的小精灵，一会儿跑到这儿，一会儿跑到那儿，让我们这些解题的小伙伴们头疼不已。
比如说，在一个长方形的图形里，有一个点P 从长方形的一个顶点出发，沿着边按照一定的速度移动。
这时候，我们就得瞪大了眼睛，紧紧地盯着这个调皮的点P ，看看它到底跑到了哪里。
这就好像我们在玩捉迷藏，点P 藏起来了，我们得想方设法把它找出来。
还有那种在数轴上移动的点，哎呀，那更是让人眼花缭乱！就像一群小蜜蜂在数轴这条“花道”上飞来飞去。
我们得搞清楚它们的起始位置、移动方向和速度，才能算出它们最终停在哪里。
有时候，老师会给我们出一些超级难的动点问题，比如说多个动点同时移动，这简直就是一场“动点大混战”！我们得把每个动点的情况都分析清楚，就像指挥一场复杂的战斗一样。
还记得有一次，我和同桌一起研究一道动点问题，我俩都快把脑袋想破了，还是没搞明白。
我们互相争论，我说应该这样算，他说应该那样算，争得面红耳赤。
最后，还是请教了老师才弄明白。
还有啊，有些动点问题会和函数结合起来，这就像是给动点穿上了一件更复杂的“外衣”。
我们不仅要考虑动点的位置，还要想到函数的变化，这可真是太难啦！
但是，大家可别被动点问题吓倒！只要我们多做练习，多思考，就一定能把这些调皮的动点给制服。
就像孙悟空有了火眼金睛，什么妖怪都逃不过他的眼睛一样，我们也要有看穿动点问题的本领！
总之，动点问题虽然难，但只要我们不怕困难，勇敢挑战，就一定能攻克这个难关！让我们一起加油吧！。
中考数学动点问题专题讲解(22页)
中考动点专题之巴公井开创作所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变动能力的考查从变换的角度和运动变动来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变动,在解题过程中渗透空间观念和合情推理.选择基本的几何图形,让学生经历探索的过程,以能力立意,考查学生的自主探究能力,增进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变动情况,需要理解图形在分歧位置的情况,才华做好计算推理的过程.在变动中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是静态几何数学问题中最核心的数学实质.二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、静态几何、入手把持、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意立异,目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题,就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的意向,它有利于我们教师在教学中研究对策,掌控方向．只的这样,才华更好的培养学生解题素养,在素质教育的布景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型布景和区分度丈量点的存在性和区分度小题处置手法提出自己的观点．函数揭示了运动变动过程中量与量之间的变动规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变动,引起未知量与已知量间的一种变动关系,这种变动关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度坚持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x=,GP y=,求y关于x的函数解析式,并写出函数的界说域(即自变量x的取值范围).(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.B 解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP坚持不变,于Py是线段GO 、GP 、GH 中,有长度坚持不变的线段,这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中,22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中, .∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验,6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,BD=,x CE=y .(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CEAB =,∴11x y =, ∴xy 1=.(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 那时=-2αβ︒90,函数解析式xy 1=成立.例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的界说域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠A3(2)3(1)ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =,∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AEADAP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516=(8250≤<x ). (3)当BF=1时,①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1),则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的界说域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,ABCO 图8H△AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x .此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x .此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.静态几何特点----问题布景是特殊图形,考查询题也是特殊图形,所以要掌控好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.）动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值.下面就此问题的罕见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨. 一、以静态几何为主线的压轴题C（一）点动问题．1．（09年徐汇区）如图,ABC ∆中,10==AC AB ,12=BC ,点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为极点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ,交射线CA 于点F ．（1）那时6=AE ,求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE 的长． [题型布景和区分度丈量点]本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典范的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动时,渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度丈量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处置手法]1．直线与圆的相切的存在性的处置方法：利用d=r 建立方程．2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处置方法：利用d=R ±r(r R >)建立方程．3．解题的关键是用含x 的代数式暗示出相关的线段. [ 略解]解：（1） 证明CDF ∆∽EBD ∆∴BECDBD CF = ,代入数据得8=CF ,∴AF=2（2）设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法xCF 32=, 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切,xx 321010+-=,24=x ； 内切,xx 321010--=,17210±=x ．100<<x∴当⊙C 和⊙A 相切时,BE 的长为24或17210-． （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,320=BE ． （二）线动问题在矩形ABCD 中,AB ＝3,点O 在对角线AC 上,直线l 过点O,且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合,求BC 的长；AB CDEOlA ′ABCDE O lF (2)若直线l 与AB 相交于点F,且AO ＝41AC,设AD 的长为x ,五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式,并指出x 的取值范围；②探索：是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由． [题型布景和区分度丈量点]本题以矩形为布景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制获得．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l 沿AB 边向上平移时,探求面积函数解析式为区分丈量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度丈量点二． [区分度性小题处置手法]1．找面积关系的函数解析式,规则图形套用公式或用割补法,不规则图形用割补法．2．直线与圆的相切的存在性的处置方法：利用d=r 建立方程．3．解题的关键是用含x 的代数式暗示出相关的线段. [ 略解](1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B ＝AA ’＝21AC∵AB ＝A ’B,AB ＝3∴AC ＝6 33=BC(2)①92+=x AC ,9412+=x AO ,)9(1212+=x AF ,x x AE 492+=∴AF 21⋅=∆AE S AEFx x 96)9(22+=,xx x S 96)9(322+-=xx x S 968127024-+-= (333<<x )②若圆A 与直线l 相切,则941432+=-x x ,01=x (舍去),582=x ∵3582<=x ∴不存在这样的x ,使圆A 与直线l 相切． （三）面动问题如图,在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合）,且坚持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .（1）试求ABC ∆的面积；（2）当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长；（3）设x AD =,ABC ∆与正方形DEFG 重叠部份的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出界说域；（4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长． [题型布景和区分度丈量点]本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典范的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度,在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D 点在AB 边上运动时,正方形DEFG 整体动起来,GF 边落在BC 边上时,恰好和教材中的例题对应,可以说是相似三角形对应的小高比年夜高=对应的小边比年夜边,探寻正方形和三角形的重叠部份的面积与线段AD 的关系的函数解析式C形成了第三小题,仍然属于面积类习题来设置区分丈量点一,用等腰三角形的存在性来设置区分丈量点二．[区分度性小题处置手法]1．找到三角形与正方形的重叠部份是解决本题的关键,如上图3-1、3-2重叠部份分别为正方形和矩形包括两种情况．2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类,如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决．3．解题的关键是用含x 的代数式暗示出相关的线段.[ 略解]解：（1）12=∆ABC S .（2）令此时正方形的边长为a ,则446a a -=,解得512=a . （3）那时20≤x , 22253656x x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=, 那时52 x , ()2252452455456x x x x y -=-⋅=. （4）720,1125,73125=AD . [类题]改编自09奉贤3月考25题,将条件（2）“当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时”,去失落,同时加到第（3）题中.已知：在△ABC 中,AB =AC ,∠B =30º,BC =6,点D 在边BC 上,点E 在线段DC上,DE =3,△DEF 是等边三角形,边DF 、EF与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ．（1）求证：△BDM ∽△CEN ；A B F D E M NC（2）设BD =x ,△ABC 与△DEF 重叠部份的面积为y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出界说域．（3）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,是否存在点D ,使以M 为圆心,BM 为半径的圆与直线EF 相切,如果存在,请求出x的值；如不存在,请说明理由．例1：已知⊙O 的弦AB 的长即是⊙O 的半径,点C 在⊙O 上变动（不与A 、B ）重合,求∠ACB 的年夜小 .分析：点C 的变动是否影响∠ACB 的年夜小的变动呢?我们无妨将点C 改变一下,如何变动呢？可能在优弧AB 上,也可能在劣弧AB 上变动,显然这两者的结果纷歧样.那么,当点C 在优弧AB 上变动时,∠ACB 所对的弧是劣弧AB,它的年夜小为劣弧AB 的一半,因此很自然地想到它的圆心角,连结AO 、BO,则由于AB=OA=OB,即三角形ABC 为等边三角形,则∠AOB=600,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=21∠AOB=300,当点C 在劣弧AB 上变动时,∠ACB 所对的弧是优弧AB,它的年夜小为优弧AB 的一半,由∠AOB=600得,优弧AB 的度数为3600-600=3000,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500,因此,本题的谜底有两个,分别为300或1500.反思：本题通过点C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不惟一性.从而需要分类讨论.这样由点C 的运动变动性而引起的分类讨论在解题中经常呈现.变式1：已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形,若32=AB ,求∠C 的年夜小.本题与例1的区别只是AB 与圆的半径的关系发生了一些变动,其解题方法与上面一致,在三角形AOB中,232121sin ==∠OB AB AOB ,则6021=∠AOB ,即0120=∠AOB , 从而当点C 在优弧AB 上变动时,∠C 所对的弧是劣弧AB,它的年夜小为劣弧AB 的一半,即060=∠C ,当点C 在劣弧AB 上变动时,∠C 所对的弧是优弧AB,它的年夜小为优弧AB 的一半,由∠AOB=1200得,优弧AB 的度数为3600-1200=2400,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200,因此060=∠C 或∠C=1200.变式2: 如图,半经为1的半圆O 上有两个动点A 、B,若AB=1,判断∠AOB 的年夜小是否会随点A 、B 的变动而变动,若变动,求出变动范围,若不变动,求出它的值.四边形ABCD 的面积的最年夜值.解：（1）由于AB=OA=OB,所以三角形AOB 为等边三角形,则∠AOB=600,即∠AOB 的年夜小不会随点A 、B 的变动而变动.（2）四边形ABCD 的面积由三个三角形组成,其中三角形AOB 的面积为43,而三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和为)(212121BG AF BG OC AF OD +=⨯+⨯,又由梯形 的中位线定理得三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和EH BG AF =+)(21,要四边形ABCD 的面积最年夜,只需EH 最年夜,显然EH ≤OE=23,当AB ∥CD时,EH=OE,因此四边形ABCD 的面积最年夜值为43+23=433. 对本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD 的周长的变动范围.变式3:别为A 、B,另一个极点C 在半圆上,问怎样截取才华使截出的三角形的面积最年夜？要求说明理由（广州市2000年考题）分析：要使三角形ABC 的面积最年夜,而三角形ABC 的底边AB 为圆的直径为常量,只需AB 边上的高最年夜即可.过点C 作CD ⊥AB 于点D,连结CO,由于CD ≤CO,当O 与D 重合,CD=CO,因此,当CO 与AB 垂直时,即C 为半圆弧的中点时,其三角形ABC 的面积最年夜.本题也可以先猜想,点C 为半圆弧的中点时,三角形ABC 的面积最年夜,故只需另选一个位置C1（不与C 重合）,,证明三角形ABC 的面积年夜于三角形ABC1的面积即可.如图显然三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D,而C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D<21AB ×C1O=三角形 ABC的面积,因此,对除点C 外的任意点C1,都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形 ABC 的面积,故点C 为半圆中点时,三角形ABC 面积最年夜. 本题还可研究三角形ABC 的周长何时最年夜的问题.提示：利用周长与面积之间的关系.要三角形ABC 的周长最年夜,AB 为常数,只需AC+BC 最年夜,而（AC+BC ）2=AC2+CB2+2AC ×BC=AB2+4×ΔABC 的面积,因此ΔABC的面积最年夜时,AC+BC 最年夜,从而ΔABC 的周长最年夜.从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决静态几何问题的罕见方法有:一、特殊探路,一般推证例2：（2004年广州市中考题第11题）如图,⊙O1和⊙O2内切于A,⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为2,点P 为⊙O1上的任一点（与点A 不重合）,直线PA 交⊙O2于点C,PB 切⊙O2于点B,则PC BP的值为（A ）2 （B ）3 （C ）23（D ）26分析：本题是一道选择题,给出四个谜底有且只有一个是正确的,因此可以取一个特殊位置进行研究,当点P 满足PB ⊥AB 时,可以通过计算得出PB=221322=- BC ×AP=BP ×AB,因此 BC=62462288162822==+=+⨯BP AB BPAB ,在三角形BPC 中,PC=36222=-BC BP , 所以,PC BP =3选（B ） 固然,本题还可以根据三角形相似得BP AP PC BP =,即可计算出结论. 作为一道选择题,到此已经完成,但如果是一道解答题,我们得出的结论只是一个特殊情况,还要进一步证明对一般情况也成立. 例3：如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=4,OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并坚持AE=CF,但点F 不与A 、C 重合,点E 不与B 、A 重合.判断∆OEF 的形状,并加以证明.判断四边形AEOF 的面积是否随点E 、F 的变动而变动,若变动,求其变动范围,若不变动,求它的值.∆AEF 的面积是否随着点E 、F 的变动而变动,若变动,求其变动范围,若不变动,求它的值.AA F E O CB A分析：本题结论很难发现,先从特殊情况入手.最特殊情况为E 、F 分别为AB 、AC 中点,显然有ΔEOF 为等腰直角三角形.还可发现当点E 与A 无限接近时,点F 与点C 无限接近,此时ΔEOF 无限接近ΔAOC,而ΔAOC 为等腰直角三角形,几种特殊情况都可以得出ΔEOF 为等腰直角三角形.一般情况下成立吗？OE 与OF 相等吗？∠EOF 为直角吗？能否证明.如果它们成立,即可以推出三角形OFC 与三角形OEA 全等,一般情况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得：OA=OC,∠OCF=∠OAE,而AE=CF,则ΔOEA ≌ΔOFC,则OE=OF,且∠FOC=∠EOA,所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900,则∠EOF 为直角,故ΔEOF 为等腰直角三角形.二、 入手实践,把持确认例4（2003年广州市中考试题）在⊙O 中,C 为弧AB 的中点,D 为弧AC 上任一点（与A 、C 不重合）,则（A ）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB<AD+DB(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB 与AD+DB 的年夜小关系不确定分析:本题可以通过入手把持一下,怀抱AC 、CB 、AD 、DB 的长度,可以检验考试换几个位置量一量,得出结论（C ）例5：如图,过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD,延长CA 和CD 与年夜圆分别交于点B 、E,则下列结论中正确的是（ * ）（A ）AB DE = （B ）AB DE >（C ）AB DE <（D ）AB DE ,的年夜小不确定分析：本题可以通过怀抱的方法进行,选（B ） 本题也可以可以证明得出结论,连结DO 、EO,则在三角形OED 中,由于两边之差小于第三边,则OE —OD<DE,即OB —OA<DE,因此ED AB <,即AB DE >B三、 建立联系,计算说明例6：如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在边DC 上,且DM=1,N 为对角线AC 上任意一点,则DN+MN 的最小值为 . 分析：能否将DN 和NM 进行转化,与建立三角形两边之和年夜于第三边等问题,很自然地想到轴对称问题,由于ABCD 为正方形,因此连结BN,显然有ND=NB,则问题就转化为BN+NM 的最小值问题了,一般情况下：BN+NM ≥BM,只有在B 、N 、M 三点共线时,BN+NM=BM,因此DN+MN 的最小值为BM=522=+CM BC本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和年夜于第三边及共线时的两边之和即是第三边的特殊情况求最小值,最后通过勾股定理计算得出结论.例7：如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=4,OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并坚持AE=CF,但点F 不与A 、C 重合,点E 不与B 、A 重合.判断四边形AEOF 的面积是否随点E 、F 的变动而变动,若变动,求其变动范围,若不变动,求它的值.∆AEF 的面积是否随着点E 、F 的变动而变动,若变动,求其变动范围,若不变动,求它的值. （即例3的第2、第3问）分析：(2)本题的方法很多,其一,可以建立四边形AEOF 与AE 长的函数关系式,如设AE=x,则AF=x -22, 而三角形AOB 的面积与三角形AOE 的面积之比=x 22,而三角形AOB 的面积=221=⨯⨯OA OB ,则三角形AOE的面积=2x ,同理三角形AOF 的面积=222x-,因此四边形AEOF 的面积=22)22(=-+x x ；即AEOF 的面积不会随点E 、F 的变动而变动,是一个定值,且为2.固然,本题也可以这样思考,由于三角形AOE 与三角形COF 全等,则四边形AEOF 的面积与三角形AOC 的面积相等,而AOC 的面积为2,因此AEOF 的面积不会随点E 、F 的变动而变动,是一个定值,且为2.M N D C B A F E O CB A本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比力广泛.第(3)问,也可以通过建立函数关系求得,∆AEF 的面积=1)2(21)22(212+--=-x x x ,又x 的变动范围为220<<x ,由二次函数知识得∆AEF 的面积的范围为:<0∆AEF 的面积1≤.本题也可以根据三角形AEF 与三角形OEF 的面积关系确定∆AEF 的面积范围:不难证明∆AEF 的面积≤∆OEF 的面积,它们公用边EF,取EF 的中点H,显然由于∆OEF 为等腰直角三角形,则OH ⊥EF,作AG ⊥EF,显然AG ≤AH=AG （=EF 21）,所以∆AEF 的面积≤∆OEF 的面积,而它们的和为2,因此<0∆AEF 的面积1≤.本题包容的内涵十分丰富,还可以提出很多问题研究：比如,比力线段EF 与AO 长度年夜小等（可以通过A 、E 、O 、F 四点在以EF 为直径的圆上得出很多结论）例8：如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动.如果Ｐ、Ｑ同时动身,用t 秒暗示移动的时间（0≤ t ≤6）,那么：（1）当t 为何值时,三角形QAP 为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积,提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t 为何值时,以点Q 、A 、P 为极点的三角形与△ABC 相似？分析：（1）当三角形QAP 为等腰三角形时,由于∠A 为直角,只能是AQ=AP,建立等量关系,t t -=62,即2=t 时,三角形QAP 为等腰三角形；（2）四边形QAPC 的面积=ABCD 的面积—三角形QDC 的面积—三角形PBC 的面积 =6)212(211221612⨯--⨯⨯-⨯x x =36,即当P 、Q 运动时,四边形QAPC 的面积不变.（3）显然有两种情况：△PAQ ∽△ABC,△QAP ∽△ABC,由相似关系得61262=-x x 或12662=-x x ,解之得3=x 或2.1=x建立关系求解,包括的内容多,可以是函数关系,可以是方程组或不等式等,通过解方程、或函数的最年夜值最小值,自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系,描述图形的特征,如全等、相似、共圆等方面的知识求解. 作为训练同学们可以综合上述方法求解：点动、线动、形动构成的问题称之为静态几何问题. 它主要以几何图形为载体,运动变动为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题. 这类题综合性强,能力要求高,它能全面的考查学生的实践把持能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点,现采撷几例加以分类浅析,供读者欣赏.1 以双动点为载体,探求函数图象问题 例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD 中,∠C=90°,高CD=6cm(如图1). 动点P,Q 同时从点B 动身,点P 沿BA,AD,DC 运动到点C 停止,点Q 沿BC 运动到点C 停止,两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P 达到点A 时,点Q 正好达到点C. 设P,Q 同时从点B 动身,经过的时间为t(s)时,△BPQ 的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t,y 为横、纵坐标建立直角坐标系,已知点P 在AD 边上从A 到D 运动时,y 与t 的函数图象是图3中的线段MN.(1)分别求出梯形中BA,AD 的长度；(2)写出图3中M,N 两点的坐标；(3)分别写出点P 在BA 边上和DC 边上运动时,y 与t 的函数关系式(注明自变量的取值范围),并在图3中补全整个运动中y关于x 的函数关系的年夜致图象.评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起,二者相辅相成,给人以清新、浓艳之感.本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式,建立起y与t的函数关系式,进而根据函数关系式弥补函数图象.2 以双动点为载体,探求结论开放性问题例2 (2007年泰州市)如图5,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30°.它的极点A的坐标为(10,0),极点B的坐标为(5,53),AB=10,点P从点A动身,沿A→B→C的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)动身,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P达到点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.(1)求∠BAO的度数.(2)当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S(平方单元)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部份,(如图6),求点P的运动速度.(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最年夜值时点P的坐标.(4)如果点P,Q坚持(2)中的速度不变,那么点P沿AB边运动时,∠OPQ的年夜小随着时间t的增年夜而增年夜；沿着BC边运动时,∠OPQ的年夜小随着时间t的增年夜而减小,当点P沿这两边运动时,使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.解 (1)∠BAO=60°.(2)点P的运动速度为2个单元/秒. 评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、有梯度也有区分度,是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P的速度为2,然后建立S与t的函数关系式,利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4),考生要从题目的信息中确定建立以B为直角极点的三角形,以B为临界点进行分类讨论,进而确定点的个数问题.3 以双动点为载体,探求存在性问题例3 (2007年扬州市)如图8,矩形ABCD中,AD=3厘米,AB=a厘米(a>3).动点M,N同时从B点动身,分别沿B→A,B→C运动,速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB,分别交AN,CD于P,Q.当点N达到终点C时,点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)若a=4厘米,t=1秒,则PM=厘米；(2)若a=5厘米,求时间t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等?若存在,求a的值；若不存在,请说明理由. 评析本题是以双动点为载体,矩形为布景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进,将几何与代数知识完美的综。
七年级数学动点问题，难住90%的学生，只因为不懂“动态几何”
七年级数学动点问题，难住90%的学生，只因为不懂“动态几
何”
动点问题是初中阶段的一个重难点，90%的学生都难以解决，不过幸好分数不高，要不然将是初中数学的重灾区。
这几年动态几何问题也成为中考的一大热点题型．而且一般是以压轴题的形式出现，这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。
解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解。
对于几何图形问题，通常需要根据相似、三角函数、勾股定理以及图形面积建立方程等数学模型计算。
今天老师以下面这些题型为例，谈谈此类问题的思路突破与解题反思，希望能帮助同学们提高数学成绩。
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此抛物线的表达式为 y =
1 4
x2
+
1 2
x
+
2
a=
1 4
,
c = 2.
2 由 S ADG : S AFG = 3 : 2 得 DG FG=3 2，DF FG=5 2，
设 OF = m ，得 AF = 4
m ， DF =
1 4
m2
+
1 2
m
+
2
，
由
FG
//OB，得
FG OB
=
AF OA
，
FG
=
4
m 2
DON
的面积为
3 2
3 时，求 AE 的长
解析
5 / 70
变式4
如图 1，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，对角线 AC BC ，AD = 4 cm， D = 45° ，
BC = 3cm
1 求 cos B 的值；
2 点 E 为 BC 延长线上的动点，点 F 在线段 CD 上 点 F 与点 C 不重合），且满足
6，2
代入
y
=
kx
，解得
k
=
1 3
所求反比例函数的解析式为
y
=
1 3
x
2
AB//x 轴，
点
B
纵坐标为
3，将
y
=
3
代入
y
=
12 x
，得
x
=
4
B 坐标为 4，3
AB=BO， a 4 = (4 0)2 + (3 0)2 解得 a = 9 点 A 坐标为 9，3
2 / 70
3 不变 延长 AB 交 y 轴于点 D，延长 AC 交 x 轴于点 E，
A( 1, 0), B(3, 0) 两点，对称轴 l 与 x 轴相交于点 C ，顶点为点 D ，且 ADC 的正切值为 1 2
1 求顶点 D 的坐标；
2 求抛物线的表达式；
8 / 70
3 F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结 AF ，若 FAC = ADC ，求 F 点的坐 标
解析 1 抛物线与 x 轴相交于 A( 1,0) ， B (3,0) 两点，
坐标
1 / 70
变式1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 的坐标为 (a,3) 其中 a > 4 ），射线 OA 与
反比例函数
y
=
12 x
的图像交于点
P，点
B、C
分别在函数
y
=
12 x
的图像上，且
AB
//
x
轴，AC
//
y
轴
1 当点 P 横坐标为 6，求直线 AO 的表达式；
2 联结 BO，当 AB = BO 时，求点 A 坐标；
当点
E
在线段
BC
上，同理可得：
1 2
×
(3
BE) × 4 = 4 .∴ BE = 1.所以 BE 的长为 5 或1.
角度3：利用锐角三角比法解决动点面积问题
例题3
已知在平面直角坐标系 xoy
如图
中，抛物线
y
=
1 2
x2
+
bx
+
c
经过点
A(4, 0)
、点
C(0, 4) ，点 B 与点 A 关于这条抛物线的对称轴对称；
例题1 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = x2 + bx + c 经过点 A 3，0 和 B 2，3
的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C，且 tan
CAO
=
1 3
y
1 求这条抛物线的表达式及对称轴；
过点 A
B
2 连接 AB、BC，求 ABC 的正切值；
O
A
x
C
3 若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当 S ABC = S ADC 时，求点 D 的
联结 CP ，若 CPM 的面积为 2，则请求出点 P 的坐标；
解析：（1）设这条抛物线的解析式为 y = ax2 + bx + c(a
0)
它的顶点坐标为
(1,
16 3
)
（2）过点 P 作 PH AC ，垂足为 H. ∵P 点在 x 轴的正半轴上，∴设 P x，0 .∵A ( 1,0) ，∴ PA = x +1. ∵在 Rt AOC 中， OA2 +OC2 = AC2 ；又∵ OA = 1，OC = 4 ∴ AC = 17
( ) 设 F x, x2 2x 3 ， FAC = ADC ， tan FAC = tan ADC ，
tan
ADC
=
1 2
，
tan
FAC
=
FH AH
=
1 2
FH = x2 2x 3 ， AH = x +1，
x2 2x 3 1 x+1 = 2
解得
x1
=
7 2
，
x2
=
1
舍），
F 7,9 24
巩固1
如图，在直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2 2ax + c 与 x 轴的正半轴相交于点
x2 ( 4 x )2 5 16 + 16 = 8
即得 x2 4x + 3 = 0 解得 x1= 1 ， x 2= 3
AM 的长为 1 或 3
变式3
已知直线 l1 、 l2 ， l1 // l2 ，点 A 是 l1 上的点，B、C 是 l2 上的点， AC BC ，
ABC = 60° ，AB = 4 ，O 是 AB 的中点，D 是 CB 延长线上的点，将 DOC 沿直线 CO 翻折，
2
∴
1 2
CM
PH
=
2
，∴
1 2
17(3 4
x)
4(x +1) 17
=
2
解得
x
=
1.
P 1，0
② 点 P 在点 B 的右侧时， BP = x
3 ，∴
x3 4
=
CM 17
∴ CM
=
17( x 4
3)
∵ S△PCM
=
2
∴
1 2
CM
PH
=
2
，∴
1 2
17( x 4
3)
4(x +1) 17
=2ຫໍສະໝຸດ 解得 x1 = 1+ 2 2 ， x2 = 1 2 2 （不合题意，舍去） ∴P（1+ 2 2 ，0）. 综上所述，P 的坐标为（1，0）或（1+ 2 2 ，0） 角度2：利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题
y B
OC
Ax
解析 1
抛物线 y = ax2 2ax + c 的对称轴为直线 x =
2a a
=
1，
OC=1，OA=OC+AC=4， 点 A 4，0
∠OBC=∠OAB， tan∠OAB=tan∠OBC，
OB OA
=
OC OB
，
OB 4
=
1 OB
，
OB=2，
点B
0，2），
2 = c, 0 = 16a 8a + c,
又 AFC = ADE ，∴ FAD = EDC .∴ ADF
DCE
.∴
AD DC
=
DF CE
.
在 Rt ADC 中， DC2 = AD2 + AC2 ，又 AD = AC = 4 ，∴ DC = 4 2 .
∵ BE = x ，∴ CE = x
3
.
DF
=
y
，∴
4 42
=
x
y
3
.
y
=
2x 2
32 2
.定义域为
点 D 与 D ' 重合
1 如图 1，当点 D' 落在直线 l1 上时，求 DB 的长；
2 延长 DO 交 l1 于点 E，直线 OD' 分别交 l1 、 l2 于点 M、N
①如图 2，当点 E 在线段 AM 上时，设 AE = x ， DN = y ，求 y 关于 x 的函数解析式及其定义
域；②若
，
(
1 4
m2
+
1 2
m
+
2)
:
4
m 2
=
AD
=
2
2
， S
四边形MENF
=
3 8
S
ADN
S
AME + S
DMF =
5 8
S
ADN
即得 S
S
AME ADN
+
S S
DMF ADN
=
5 8
ME//DN，∴△AME∽△AND
S S
AME ADN
AM 2 = AD2
同理可证，△DMF∽△DNA
即得 S
S
DMF ADN
DM 2 = AD2
设 AM=x，则 DM = AD AM = 4 x
3 联结 BP、CP，试猜想 S ABP 的值是否随 a 的变化而变化？如果不变，求出 S ABP 的
S ACP
S ACP
值；如果变化，请说明理由
y
y
B
A
P
C
O
x
O
备用图
x
解析 1
反比例函数
y
=
12 x
的图像经过横坐标为
6
的点
P，
点 P 的坐标为