中考数学知识点重难点突破与训练4---初中数学动点问题7大类20小类全梳理

点 D 与 D ' 重合
1 如图 1，当点 D' 落在直线 l1 上时，求 DB 的长；
2 延长 DO 交 l1 于点 E，直线 OD' 分别交 l1 、 l2 于点 M、N
①如图 2，当点 E 在线段 AM 上时，设 AE = x ， DN = y ，求 y 关于 x 的函数解析式及其定义
域；②若
例题2 如图，已知在梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB = DC = 5 ， AD = 4 M、N 分别是边
AD、BC 上的任意一点，联结 AN、DN 点 E、F 分别在线段 AN、DN 上，且 ME // DN ，MF // AN ，
联结 EF
1 如图 1，如果 EF // BC ，求 EF 的长；
例题1 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = x2 + bx + c 经过点 A 3，0 和 B 2，3
的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C，且 tan
CAO
=
1 3
y
1 求这条抛物线的表达式及对称轴；
过点 A
B
2 连接 AB、BC，求 ABC 的正切值；
O
A
x
C
3 若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当 S ABC = S ADC 时，求点 D 的
点 C 坐标为
a
，
12 a
S CEO = 6 ，同理 S BDO = 6 ，
S
ADO
=
S
AEO
=
3a 2
，即 S ADO S BDO = S AEO S CEO
S ABO = S ACO
△ABP 与△ABO 同高，
S S
ABP ABO
=
AP AO
同理 S
S
ACP ACO
=
AP AO
即当 a 变化时， S ABP 的值不变，且恒为 1
A、与 y 轴的正半轴相交于点 B，它的对称轴与 x 轴相交于点 C，且 OBC = OAB ，
9 / 70
AC = 3 1 求此抛物线的表达式； 2 如果点 D 在此抛物线上， DF OA ，垂足为 F，DF 与线段 AB 相交于点 G，
且 S ADG : S AFG = 3 : 2 ，求点 D 的坐标
此抛物线的表达式为 y =
1 4
x2
+
1 2
x
+
2
a=
1 4
,
c = 2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 由 S ADG : S AFG = 3 : 2 得 DG FG=3 2，DF FG=5 2，
设 OF = m ，得 AF = 4
m ， DF =
1 4
m2
+
1 2
m
+
2
，
由
FG
//OB，得
FG OB
=
AF OA
，
FG
=
4
m 2
A( 1, 0), B(3, 0) 两点，对称轴 l 与 x 轴相交于点 C ，顶点为点 D ，且 ADC 的正切值为 1 2
1 求顶点 D 的坐标；
2 求抛物线的表达式；
8 / 70
3 F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结 AF ，若 FAC = ADC ，求 F 点的坐 标
解析 1 抛物线与 x 轴相交于 A( 1,0) ， B (3,0) 两点，
2
∴
1 2
CM
PH
=
2
，∴
1 2
17(3 4
x)
4(x +1) 17
=
2
解得
x
=
1.
P 1，0
② 点 P 在点 B 的右侧时， BP = x
3 ，∴
x3 4
=
CM 17
∴ CM
=
17( x 4
3)
∵ S△PCM
=
2
∴
1 2
CM
PH
=
2
，∴
1 2
17( x 4
3)
4(x +1) 17
=
2
解得 x1 = 1+ 2 2 ， x2 = 1 2 2 （不合题意，舍去） ∴P（1+ 2 2 ，0）. 综上所述，P 的坐标为（1，0）或（1+ 2 2 ，0） 角度2：利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题
S ACP
S S
ABP ACP
=1
变式2
如图，在直角坐标系中，一条抛物线与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，
其中 B(3,0) ， C(0, 4) ，点 A 在 x 轴的负半轴上， OC = 4OA；
1 求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；
2 联结 AC 、BC ，点 P 是 x 轴正半轴上一个动点，过点 P 作 PM // BC 交射线 AC 于点 M ，
联结 CP ，若 CPM 的面积为 2，则请求出点 P 的坐标；
解析：（1）设这条抛物线的解析式为 y = ax2 + bx + c(a
0)
它的顶点坐标为
(1,
16 3
)
（2）过点 P 作 PH AC ，垂足为 H. ∵P 点在 x 轴的正半轴上，∴设 P x，0 .∵A ( 1,0) ，∴ PA = x +1. ∵在 Rt AOC 中， OA2 +OC2 = AC2 ；又∵ OA = 1，OC = 4 ∴ AC = 17
x2 ( 4 x )2 5 16 + 16 = 8
即得 x2 4x + 3 = 0 解得 x1= 1 ， x 2= 3
AM 的长为 1 或 3
变式3
已知直线 l1 、 l2 ， l1 // l2 ，点 A 是 l1 上的点，B、C 是 l2 上的点， AC BC ，
ABC = 60° ，AB = 4 ，O 是 AB 的中点，D 是 CB 延长线上的点，将 DOC 沿直线 CO 翻折，
AD
=
2
2
， S
四边形MENF
=
3 8
S
ADN
S
AME + S
DMF =
5 8
S
ADN
即得 S
S
AME ADN
+
S S
DMF ADN
=
5 8
ME//DN，∴△AME∽△AND
S S
AME ADN
AM 2 = AD2
同理可证，△DMF∽△DNA
即得 S
S
DMF ADN
DM 2 = AD2
设 AM=x，则 DM = AD AM = 4 x
AFC = ADE ，如图 2，设 BE = x ， DF = y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定
义域；
3 点 E 为射线 BC 上的动点，点 F 在射线 CD 上，仍然满足 AFC = ADE ，当 AFD 的
面积为 2cm 2 时，求 BE 的长
6 / 70
解析：（1）∵ AD // BC ，∴ ACB = DAC .∵ AC BC ，∴ ACB = 90° .∴ DAC = 90° .∵
当点
E
在线段
BC
上，同理可得：
1 2
×
(3
BE) × 4 = 4 .∴ BE = 1.所以 BE 的长为 5 或1.
角度3：利用锐角三角比法解决动点面积问题
例题3
已知在平面直角坐标系 xoy
如图
中，抛物线
y
=
1 2
x2
+
bx
+
c
经过点
A(4, 0)
、点
C(0, 4) ，点 B 与点 A 关于这条抛物线的对称轴对称；
坐标
1 / 70
变式1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 的坐标为 (a,3) 其中 a > 4 ），射线 OA 与
反比例函数
y
=
12 x
的图像交于点
P，点
B、C
分别在函数
y
=
12 x
的图像上，且
AB
//
x
轴，AC
//
y
轴
1 当点 P 横坐标为 6，求直线 AO 的表达式；
2 联结 BO，当 AB = BO 时，求点 A 坐标；
3 联结 BP、CP，试猜想 S ABP 的值是否随 a 的变化而变化？如果不变，求出 S ABP 的
S ACP
S ACP
值；如果变化，请说明理由
y
y
B
A
P
C
O
x
O
备用图
x
解析 1
反比例函数
y
=
12 x
的图像经过横坐标为
6
的点
P，
点 P 的坐标为
6，2
设
直线 AO 的表达式为 y = kx k 0
将点 P
，
(
1 4
m2
+
1 2
m
+
2)
:
4
m 2
=
又 AFC = ADE ，∴ FAD = EDC .∴ ADF
DCE
.∴
AD DC
=
DF CE
.
在 Rt ADC 中， DC2 = AD2 + AC2 ，又 AD = AC = 4 ，∴ DC = 4 2 .
∵ BE = x ，∴ CE = x
3
.
DF
=
y
，∴
4 42
=
x
y
3
.
y
=
2x 2
32 2
.定义域为
DON
的面积为
3 2
3 时，求 AE 的长
解析
5 / 70
变式4
如图 1，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，对角线 AC BC ，AD = 4 cm， D = 45° ，
BC = 3cm
1 求 cos B 的值；
2 点 E 为 BC 延长线上的动点，点 F 在线段 CD 上 点 F 与点 C 不重合），且满足
3 / 70
Q
PHA = 90°
sin
CAO
=
PH AP
=
PH x +1
=
4 17
，∴
PH
=
4(x +1) 17
Q PM // BC
BP AB
=
CM AC
；Q B
3，0
，P x，0
① 点 P 在点 B 的左侧时， BP = 3
x ，∴
3x 4
=
CM 17
∴ CM
=
17( 3 4
x)
∵ S△PCM
=
1 用配方法求这条抛物线的顶点坐标；
2 联结 AC、BC，求 ACB 的正弦值；
3 点 P 是这条抛物线上的一个动点，设点 P 的横坐标为 m(m > 0) ，过点 P 作 y 轴的垂线
7 / 70
PQ，垂足为 Q，如果 QPO = BCO ，求 m 的值； 解析
变式5
已知在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 抛 物 线 y = ax2 + bx + c(a > 0) 与 x 轴 相 交 于
( ) 设 F x, x2 2x 3 ， FAC = ADC ， tan FAC = tan ADC ，
tan
ADC
=
1 2
，
tan
FAC
=
FH AH
=
1 2
FH = x2 2x 3 ， AH = x +1，
x2 2x 3 1 x+1 = 2
解得
x1
=
7 2
，
x2
=
1
舍），
F 7,9 24
巩固1
如图，在直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2 2ax + c 与 x 轴的正半轴相交于点
D = 45° ，∴ ACD = 45° .∴ AD = AC .∵ AD = 4 ，∴ AC = 4 .
∵ BC = 3，∴ AB =
AC 2 + BC 2 = 5 .∴ cos
B
=
BC AB
=
3 5
.
（2）∵ AD // BC ，∴ ADF = DCE .
∵ AFC = FDA + FAD ， ADE = FDA + EDC ，
3
<
x
<
11
.
（3）当点 E 在 BC 的延长线上，由（2）可得： ADF
DCE
，∴
S S
ADF DCE
=
(
AD DC
)
2
.
∵ S AFD = 2 ， AD = 4 ， DC = 4 2 ，∴ S DCE = 4 .
∵S
DCE
=
1 2
×
CE
×
AC
，∴
1 2
×
(
BE
3) × 4 = 4 ，∴ BE = 5 .
6，2
代入
y
=
kx
，解得
k
=
1 3
所求反比例函数的解析式为
y
=
1 3
x
2
AB//x 轴，
点
B
纵坐标为
3，将
y
=
3
代入
y
=
12 x
，得
x
=
4
B 坐标为 4，3
AB=BO， a 4 = (4 0)2 + (3 0)2 解得 a = 9 点 A 坐标为 9，3
2 / 70
3 不变 延长 AB 交 y 轴于点 D，延长 AC 交 x 轴于点 E，
对称轴 l 直线 x =1 ， AC = 2
ACD = 90° ， tan
ADC
=
1 2
，
CD = 4 ，
a>0，
D(1, 4)
2 设 y = a( x 1)2 4
将 x = 1, y = 0 代入上式，得， a =1
所以，这条抛物线的表达为 y = x2 2x 3
3 过点 F 作 FH x 轴，垂足为点 H
中考数学知识点重难点突破与训练 初中数学动点问题全梳理
动点问题一直是中考热点题型，近几年考察探究运动中的特殊性 等腰三角形、直角三 角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数值、线段或面积的最值问题等， 下面就此问题的常见题型作简单介绍
题型一 动点形成的面积问题
1
面积公式
三角形面积用
S
=
1 2
ah
来表示，利用未知数的代数式来表示底和高
2 面积比等于相似比的平方 面积无法用底和高表示时，利用相似三角形的面积比等
于相似比的平方来求解，只需要知道相似比和另一个三角形面积即可表示
3 相似三角形 当面积公式和面积比等于相似比的平方不能有效解题时，利用相似三
角形的比例关系求解
角度1：利用公式法解决动点面积问题
2 如果四边形 MENF 的面积是 ADN 的面积的 3 ，求 AM 的长；
8
AM
D
A
M
D
E F
B
N
E
F
CB
N
C
图1
解析 1 AD//BC，EF//BC， EF//AD
4 / 70
又 ME//DN， 四边形 EFDM 是平行四边形 EF=DM
同理可证，EF=AM
AM=DM
AD=4，
EF
=
AM
=
1 2
y B
OC
Ax
解析 1
抛物线 y = ax2 2ax + c 的对称轴为直线 x =
2a a
=
1，
OC=1，OA=OC+AC=4， 点 A 4，0
∠OBC=∠OAB， tan∠OAB=tan∠OBC，
OB OA
=
OC OB
，
OB 4
=
1 OB
，
OB=2，
点B
0，2），
2 = c, 0 = 16a 8a + c,