隐函数的偏导数.
隐函数的导数(一个方程)
隐函数的导数（一）),(.1=y x F 由一个方程确定的隐函数隐函数存在定理1 设函数),(y x F 在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，0),(00≠y x F y ，则方程0),(=y x F 在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 yxF F dx dy -=.000P ()x y ，000P ()x y ，隐函数的求导公式(,)0()F x y y y x =−−→=则[],()0F x y x ≡x 等式两边同时对求导隐函数存在性的证明细微而复杂（从略）隐函数我们仅在隐函数存在的前提下推导导数公式0=⋅+=dxdyF F dx dF y x Fxy x（0）y F ≠.yx F F dx dy-=利用复合函数微分法例１ 验证方程0122=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导 数在0=x 的值.解令1),(22-+=y x y x F 则,2x F x =,2y F y =,0)1,0(=F ,02)1,0(≠=y F 依定理知方程0122=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时1=y 的函数)(x f y =．函数的一阶和二阶导数为yxF F dx dy -=,y x -=,00==x dx dy222y y x y dx y d '--=2yy x x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=,13y-=.1022-==x dx yd例2 已知x yy x a r c t a n ln 22=+，求dxdy .解令则,arctan ln ),(22xyy x y x F -+=,),(22y x y x y x F x ++=,),(22y x xy y x F y +-=yxF F dx dy -=.x y y x -+-=隐函数存在定理2 设函数),,(z y x F 在点,(0x P ),00z y 的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0x F 0),00=z y ，0),,(000≠z y x F z ，则方程,,(y x F 0)=z 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有 zxF F x z -=∂∂， z y F F y z -=∂∂.),,(.2=z y x F设F(x,y,z)=0确定z 是x,y 的函数=∂∂⋅+xzF F z x 0=∂∂⋅+yzF F z y 0)(≠z F .,zy z x F F y zF F x z-=∂∂-=∂∂Fx yzx y例3 设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解令则,4),,(222z z y x z y x F -++=,2x F x =,42-=z F z ,2zx F F x z z x -=-=∂∂22x z ∂∂2)2()2(z x z x z -∂∂+-=2)2(2)2(z z x x z --⋅+-=.)2()2(322z xz -+-=例4 设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy∂∂.思路：把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z∂∂，把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得y x∂∂，把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得zy∂∂.解令,z y x u ++=,xyz v =则),,(v u f z =把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得 x z ∂∂)1(xz f u ∂∂+⋅=),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得x z ∂∂,1vu v u xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y x yz xz f v ∂∂+⋅+整理得,v u v u yzf f xzf f ++-=yx ∂∂把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=zy f u ),(z y xz xy f v ∂∂+⋅+整理得zy ∂∂.1v u v u xzf f xyf f +--=小结一个方程确定的隐函数的导数0),,(.2=z y x F 0),(.1=y x F。
隐函数的求导方法总结Word版
河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪2016年05月27日摘要 (3)一．隐函数的概念 (3)二．隐函数求偏导 (3)1.隐函数存在定理1 (3)2.隐函数存在定理2 (3)3.隐函数存在定理3 (3)三. 隐函数求偏导的方法 (3)1.公式法 (3)2.直接法 (3)3.全微分法 (3)参考文献 (3)摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法一．隐函数的概念一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。
例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。
如等时时321,10=-===y x y x 。
二．隐函数求偏导1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。
，y 。
）在某一领域内具有连续偏导数，且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。
，y 。
）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有yxy F F d d x -=。
例1:验证方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dxdy在x=1处的值。
解 令),(y x F =2x -2y ,则x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有dx dy =y x F F -=y x 22=yx故1=x dxdy =)1,(!yx=1 2.隐函数存在定理 2 设函数()z y x F ,,在点）（ z y x P ,,的某一邻域内具有连续偏导数，且）（ z y x F ,,=0，0,,≠）（ z y x F z ，则方程()0,,=z y x F 在点() z y x ,,的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数()y x f z ,=,它满足条件() y x f z ,=并有zy z x F F y zF F x z -=∂∂-=∂∂,。
6.3 复合函数和隐函数的偏导数
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
2011年1月6日星期四 20
目录 上页 下页 返回
则
F(x, y , f (x, y ) ) ≡ 0
两边对 x 求偏导
Fx + Fz
Fx ∂z =− ∂x Fz
同样可得
2011年1月6日星期四
≡0
21
目录
上页
下页
返回
例6 设 z = f ( x, y ) 是由方程 z − y − x + xe z− y−x = 0 所确定的二元函数, 所确定的二元函数,求 dz .
d z = fu (u , v) d u + fv (u , v) d v
课后练习 习题 －3 习题6－
2011年1月6日星期四 15
目录 上页 下页 返回
二、隐函数的偏导数
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 方程在什么条件 什么条件下才能确定隐函数 例如, 例如 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时 研究其连续性、可微性 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性 连续性、 求导方法问题 及求导方法问题 .
−2 xz ∂u y 2 + z 2 − x 2 u ∂u vdu − udvxy −2 (v ≠ 0). ∂u d(uv) = udv + vdu , d 2 = = 22 2 2 2 = 2 = 2 2 2 v ∂x ( x + y + z ) v ∂y ( x + y + z ) ∂z ( x + y 2 + z 2 )2
说明: 说明 若定理中
复合函数与隐函数的偏导数-PPT
z x
0,
Fy
Fz
z y
0.
因为 Fz 连续,且Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，所以存在
点( x0 , y0 ,
于就是得
z0 ) 得一个邻域,在这个邻域内 z Fx , z Fy .
Fz
0,
x Fz y Fz
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
(2) F (0,0) 0; (3) Fy (0,0) 1 0, 隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 当x 0时y 0得隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y x
e e
x y
.
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点( x, y)
u
v
w
得两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
ux
z y
z u u y
z v
v y
z w
w y
zv wy
多元复合函数的求导法则
例 设z
u2
1 v2
w2
,u
x2
y2,v
x2
x
x
z y z x x y
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
y
z
z
z(
x,
y),
试求
2z x 2
高数隐函数偏导数的求法及其应用
隐函数具有连续性、可微性等性质， 这些性质使得我们可以对其进行微积 分运算。
偏导数定义及几何意义
偏导数定义
偏导数是指多元函数中，一个自变量变化而其余自变量保持不变时，因变量相对于该自变量的变化率 。
偏导数几何意义
偏导数在几何上表示多元函数在某一点处沿某一坐标轴方向的变化率，即切线斜率。
隐函数存在定理
04
隐函数偏导数在物理中的应用
速度、加速度与位移关系
隐函数偏导数在描述质点运动学中的速度、加速度与位移关系时具有重要作用。
通过求解隐函数的偏导数，可以得到质点在各个方向上的速度分量，进而求得质点 的合速度。
同样地，通过对速度进行偏微分，可以得到质点在各个方向上的加速度分量，从而 了解质点的运动状态。
收益函数
收益函数表示产量与收益之间的关系。通过求隐函数的收 益函数偏导数，可以得到边际收益，即增加一单位产量所 引起的总收益的变动。这些边际量在经济学中对于分析生 产者的行为和市场均衡具有重要意义。
06
总结与展望
隐函数偏导数求解方法总结
直接法
通过对方程两边同时求偏导数，得到包含未知偏导数的等式， 然后解出未知偏导数。这种方法适用于较简单的隐函数方程。
03
隐函数偏导数在几何中的应用
切线斜率与法线斜率
切线斜率
隐函数在某点的切线斜率可以由该点的偏导数求得。对于二元隐函数 $F(x,y)=0$，在点$(x_0,y_0)$处的切线斜率为$frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}$。
法线斜率
法线是与切线垂直的直线，因此法线的斜率与切线的斜率互为负倒数。在点 $(x_0,y_0)$处的法线斜率为$frac{F_y(x_0,y_0)}{F_x(x_0,y_0)}$。
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式首先，我们假设存在一个方程f(x,y)=0，其中y是x的函数，即y=g(x)。
我们希望求解函数g(x)的导数。
为了实现这一目标，我们需要对方程两边同时对x求导。
首先，我们对方程f(x,y)=0两边对x求导，得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0在这个方程中，∂f/∂x 是 f(x, y) 对 x 的偏导数，∂f/∂y 是 f(x, y) 对 y 的偏导数，dy/dx 是 y 对 x 的导数，也就是 g'(x)。
然后，我们将其整理成关于g'(x)的方程：dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)最终，我们得到了隐函数的求导公式，即：g'(x)=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这个公式告诉我们，要求隐函数的导数，只需对方程中的偏导数进行求解并代入到公式中即可。
我们来看几个求解隐函数导数的例子。
例子1：求解方程x^2+y^2=1的导数。
首先，我们对方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0然后，我们整理得到：dy/dx = -2x / 2y = -x / y所以，方程 x^2 + y^2 = 1 的导数为 dy/dx = -x / y。
例子2：求解方程x^2+y^2-x*y=0的导数。
首先，我们对方程两边求偏导数，得到：2x - y - x * dy/dx + dy/dx = 0然后，我们整理得到：dy/dx = (2x - y) / (y - x)所以，方程 x^2 + y^2 - x * y = 0 的导数为 dy/dx = (2x - y) / (y - x)。
通过这些例子，我们可以看出，在求解隐函数的导数时，我们需要根据具体的方程进行偏导数的计算，然后将其代入到隐函数的求导公式中。
总结起来，隐函数的求导公式为g'(x)=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)，其中f(x,y)=0是隐函数所满足的方程，∂f/∂x和∂f/∂y分别是方程对x和y的偏导数。
隐函数求导的详细解析（实例分析）
第五节 隐函数的求导法则教学目的：使学生掌握隐函数存在定理，掌握隐函数的求导法则 教学重点：一个方程的隐函数的求导法则教学过程：一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F (x , f (x ))≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -=. 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值. 解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dy y x -=-=, 00==x dx dy ;332222221)(yy x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=,1022-==x dx yd .隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0,将上式两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22xz∂∂. 解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,z x z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422, 3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂. 二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 22y x x v +=. 事实上, xu -yv =0 ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22y x y u +=, 如何根据原方程组求u , v 的偏导数？隐函数存在定理3设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:vG u Gv F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),( 在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有vu v u v x vx G G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u x u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u y u y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1.隐函数的偏导数:设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则 偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定; 偏导数y u ∂∂, y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定.例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x u ∂∂, xv ∂∂, y u ∂∂和y v ∂∂. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于x u ∂∂和xv ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v xu y x v y x u x u , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yv xu x u ++-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂. 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于y u ∂∂和yv ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂, 22yx yv xu y v ++-=∂∂. 另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udx vdy ydv xdu . 解之得 dy yx yu xv dx y x yv xu du 2222+-+++-=, dy yx yv xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=. 于是 22yx yv xu x u ++-=∂∂, 22y x yu xv y u +-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂, 22yx yv xu y v ++-=∂∂. 例 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又0),(),(≠∂∂v u y x . (1)证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x 在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数.解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F , 则按假设 .0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J 由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论.(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7), 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x , 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=xvv y x u u y x v v x x u u x 01. 由于J ≠0, 故可解得v y J x u ∂∂=∂∂1, uy J x v ∂∂-=∂∂1. 同理, 可得v x J y u ∂∂-=∂∂1, ux J y v ∂∂=∂∂1.。
理论：求隐函数的一阶和二阶偏导数X
理论：求隐函数的一阶和二阶偏导数一些函数的值是由方程组确定的，不能写出表达式，这种函数就是隐函数。
这里介绍计算隐函数的一阶和二阶偏导数的方法。
假设f 1和f 2是由以下方程确定的隐函数，x 1,x 2是函数的参数：{g 1(f 1,f 2,x 1,x 2)=0g 2(f 1,f 2,x 1,x 2)=0(eqs0) 下面计算∂f 1∂x 1 和 ∂f2∂x 1，以上方程组的两边同时对x 1求导得： {∂g 1∂x 1+∂g 1∂f 1∂f 1∂x 1+∂g 1∂f 2∂f 2∂x 1=0∂g 2∂x 1+∂g 2∂f 1∂f 1∂x 1+∂g 2∂f 2∂f 2∂x 1=0 移项得：{∂g 1∂f 1∂f 1∂x 1+∂g 1∂f 2∂f 2∂x 1=−∂g 1∂x 1∂g 2∂f 1∂f 1∂x 1+∂g 2∂f 2∂f 2∂x 1=−∂g 2∂x 1 (eqs1). ∂f 1∂x 1 和 ∂f 2∂x 1的值可以从以上方程组求解得出。
按照同样的方法可以求得隐函数对x 2的偏导数。
下面计算∂2f 1∂x 1∂x 2 和 ∂2f 2∂x 1∂x 2，方程组(eqs1)的两边同时对x 2求导得：{ ∂∂g 1∂f 1∂x 2∂f 1∂x 1+∂g 1∂f 1∂∂f 1∂x 1∂x 2+∂∂g 1∂f 2∂x 2∂f 2∂x 1+∂g 1∂f 2∂∂f 2∂x 1∂x 2=−∂∂g 1∂x 1∂x 2∂∂g 2∂f 1∂x 2∂f 1∂x 1+∂g 2∂f 1∂∂f 1∂x 1∂x 2+∂∂g 2∂f 2∂x 2∂f 2∂x 1+∂g 2∂f 2∂∂f 2∂x 1∂x 2=−∂∂g 2∂x 1∂x 2将上式中的项展开后得：{ (∂2g 1∂f 1∂x 2+∂2g 1∂f 1∂f 1∂f 1∂x 2+∂2g 1∂f 1∂f 2∂f 2∂x 2)∂f 1∂x 1+∂g 1∂f 1∂2f 1∂x 1∂x 2+(∂2g 1∂f 2∂x 2+∂2g 1∂f 2∂f 1∂f 1∂x 2+∂2g 1∂f 2∂f 2∂f 2∂x 2)∂f 2∂x 1+∂g 1∂f 2∂2f 2∂x 1∂x 2=−(∂2g 1∂x 1∂x 2+∂2g 1∂x 1∂f 1∂f 1∂x 2+∂2g 1∂x 1∂f 2∂f 2∂x 2)(∂2g 2∂f 1∂x 2+∂2g 2∂f 1∂f 1∂f 1∂x 2+∂2g 2∂f 1∂f 2∂f 2∂x 2)∂f 1∂x 1+∂g 2∂f 1∂2f 1∂x 1∂x 2+(∂2g 2∂f 2∂x 2+∂2g 2∂f 2∂f 1∂f 1∂x 2+∂2g 2∂f 2∂f 2∂f 2∂x 2)∂f 2∂x 1+∂g 2∂f 2∂2f 2∂x 1∂x 2=−(∂2g 2∂x 1∂x 2+∂2g 2∂x 1∂f 1∂f 1∂x 2+∂2g 2∂x 1∂f 2∂f 2∂x 2)移项得：{ ∂g 1∂f 1∂2f 1∂x 1∂x 2+∂g 1∂f 2∂2f 2∂x 1∂x 2=−∂2g 1∂x 1∂x 2− ∂2g 1∂x 1∂f 1∂f 1∂x 2−∂2g 1∂x 1∂f 2∂f 2∂x 2 − ∂2g 1∂f 1∂x 2∂f 1∂x 1−∂2g 1∂f 2∂x 2∂f 2∂x 1 − ∂2g 1∂f 1∂f 1∂f 1∂x 2∂f 1∂x 1−∂2g 1∂f 1∂f 2∂f 2∂x 2∂f 1∂x 1−∂2g 1∂f 2∂f 1∂f 1∂x 2∂f 2∂x 1−∂2g 1∂f 2∂f 2∂f 2∂x 2∂f 2∂x 1∂g 2∂f 1∂2f 1∂x 1∂x 2+∂g 2∂f 2∂2f 2∂x 1∂x 2=−∂2g 2∂x 1∂x 2− ∂2g 2∂x 1∂f 1∂f 1∂x 2−∂2g 2∂x 1∂f 2∂f 2∂x 2 − ∂2g 2∂f 1∂x 2∂f 1∂x 1−∂2g 2∂f 2∂x 2∂f 2∂x 1 − ∂2g 2∂f 1∂f 1∂f 1∂x 2∂f 1∂x 1−∂2g 2∂f 1∂f 2∂f 2∂x 2∂f 1∂x 1−∂2g 2∂f 2∂f 1∂f 1∂x 2∂f 2∂x 1−∂2g 2∂f 2∂f 2∂f 2∂x 2∂f 2∂x 1由于∂f 1∂x 1 和 ∂f 2∂x 1已经算得，通过以上方程组就可以解出∂2f 1∂x 1∂x 2 和 ∂2f 2∂x 1∂x 2的值，其他的二阶偏导数也可以通过相同的方法求得。
8.5_隐函数的求导公式
dx dx
x x
的方法相同.
26
8.5 隐函数的求导公式
例
设 xx2yy 2 z 1 2z22,(y0,z0)求ddxy
, dz 及 dx
dy dz
,
.
dxx1 dxx1
F F
(F ,G) (u, v )
u G
y = f (x), 它满足条件y0 = f (x0), 并有
dy Fx(x, y) 隐函数的求导公式 dx Fy(x, y)
(证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F(x,f (x))0
两边关于x求导, 由链导法则, 得
4
8.5 隐函数的求导公式
F(x,f (x))0
Fx(x,y)Fy(x,y)
d d
一个隐函数y
=
f
(x),
并求
dy dx
.
证 记 F (x ,y ) x y e x ey,则
(1) F x(x,y)yex与 F y(x,y)xey在点 (0,0) 的邻域内连续;
(2) F(0,0)0;
(3) F y(0,0)10, 隐函数存在定理1
所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数、
当 x0时 y0的隐函数 y = f (x), 且
隐函数的求导公式 dy Fx(x, y) dx Fy(x, y)
8
8.5 隐函数的求导公式
2. 由三元方程F(x, y, z) = 0确定二元隐函数
z = f (x, y), 求 z , z . x y
隐函数存在定理2 若三元函数F (x, y, z)满足:
(1) 在点P (x0, y0, z0)的某一邻域内具有连续
zz
求 z , z . x y
湖南高等数学教材答案详解
湖南高等数学教材答案详解一、函数与极限1. 函数的定义及表示法在数学中，函数是一种将一个集合映射到另一个集合的关系。
表示函数的常用方式有算式表示、图像表示和表格表示等。
例如，对于函数f(x)，我们可以用以下方式表示：- 算式表示：f(x) = x^2 + 1- 图像表示：在坐标系中绘制f(x) = x^2 + 1的曲线- 表格表示：列出不同的x值和相应的f(x)值2. 极限的定义及性质在数学分析中，极限是研究函数趋于某个值时的行为和性质。
极限的定义如下：给定一个函数f(x)，当自变量x无限接近某个值a时，如果对于任意一个给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - A| < ε成立，那么我们就说当x趋于a时，函数f(x)的极限是A。
3. 求函数的极限求函数的极限需要根据极限的定义方法进行推导和计算。
常用的极限计算方法有代数运算法、夹逼法和无穷小量法。
4. 极限的性质在计算极限时，可以利用一些基本的极限性质简化计算过程。
常用的极限性质有四则运算性质、复合函数极限性质和函数极限的保号性等。
二、导数与微分1. 导数的定义及性质在微积分中，导数表示函数在某一点的变化率或斜率。
导数的定义如下：给定一个函数y = f(x)，如果函数在点x处的导数存在，那么导数定义为f'(x) = lim┤(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)]/Δx。
导数的几何意义是函数曲线在该点的切线的斜率。
2. 使用导数求函数的极值和凹凸性通过求函数的导数，可以找到函数的极值点和凹凸性。
如果函数在某一点的导数为零，那么该点就是函数的极值点；如果函数的导数单调递增或递减，那么函数就具有凹性或凸性。
3. 高阶导数及其应用高阶导数表示对函数的导数再次求导的结果。
高阶导数在函数的加速度、曲率等问题中具有重要的应用。
4. 微分的定义及性质微分是导数的一种应用，表示函数在某个点处的变化量。
《高等数学》例题解析-第十五讲 隐函数的偏导数的求法及偏导数的应用
(
0,1)
2 3
dx
1 3
dy
三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）
13 ． 设 方 程 ex y sin(x z) 0 确 定
z z(x, y) 求 dz
解：（1）令 F ex y sin(x z),
Fx' exy sin(x z) cos(x z)
Fy' ex y sin(x z), Fz' ex y cos(x z)
则 2z 2z = 2x 2y
解：方程两边全微分： 2 cos(x 2 y 3z)(dx 2dy 3dz) dx 2dy 3dz
(dx 2dy 3dz)[2 cos(x 2 y 3z) 1] 0
V 02 (2)(2) 4 0 有极值
A 2 0 有极大值 f (0, 0) 5
（2） z x
Fx' Fz'
sin(x z) cos(x cos(x z)
z)
1 tan(x z)
z Fy' sin(x z) tan(x z) y Fz' cos(x z)
dz 1 tan x z dx tan(x z)dy
（2） z x
Fx' Fz'
2 yz 2z 2x 2xy
z)
z x
z
z Fy' z2 y Fz' y(x z)
16 ． 设 方 程 x2 y2 z2 4z 0 确 定
14．设 z z(x, y) 由方程 2xz 2xyz ln(xyz) 0 所确定，求 z ， z ， dz
f
' x
(
x0
,
y0 )
和
f
' y
隐函数求导公式
隐函数求导公式隐函数求导是数学分析学中十分重要的一个内容，它是指求取拓展又称多元函数在任意变量上导数的过程。
隐函数求导公式是数学分析学课程中经常提及的一个概念，它用来解释多元函数在任意变量上的导数，是多元函数求导学习中必不可少的。
隐函数求导公式是一类多元函数求导方法，可以有效地计算多元函数在任意变量上的导数。
它是由哥本哈根大学教授L.C.Young于1896年提出的，由此可以看出，隐函数求导的概念具有很长的历史。
隐函数求导的方法一共有四种：基本公式、偏导数法、极限法和高等切线法。
以下是基本隐函数求导公式：设y=f(x1,x2,...,xn)，则其在任意变量xk上的导数为：(y)/(xk)=(f(x1,x2,...,xn))/(xk)=f/xk由此可见，导数的运算规则极其简单：先对所有的变量求偏导数，即把其它变量看做常数，再把求出的偏导数累加起来，便可得到在任意变量上的导数。
这就是隐函数求导的基本原理。
除此之外，偏导数法是求取隐函数导数的重要方法之一。
它的思想是：假设其它变量都为常数，关于一个变量求取其偏导数，使用应用问题可以更加具体地解释偏导数的概念和意义。
例如，设y=x^2+2x，求x的偏导数：(y)/(x)=(x^2+2x)/(x)=2x+2从这里可以看出，偏导数即可以描述函数在某一特定点处的性质，也可以表示函数在任意点上的变化率。
极限法是另外一种重要的求取隐函数导数的方法。
它的意思是：把不同变量的变化率的极限纳入计算，从而得到在任意变量上的导数。
极限法的应用范围并不局限于求取隐函数导数，同样也能用来求取某一函数的极限。
例如：设f(x)=x^2+2x，求lim(x→1) f(x)lim(x→1) f(x)=lim(x→1) (x^2+2x)=1+2=3最后，高等切线法是一种求取隐函数导数的高等数学方法，它是由柯西公式发展而来的。
柯西公式是一种将变量从函数定义域扩展到实数域的一种切线法，其中每条切线也就是一个变量与另一变量的函数，而柯西公式的核心就是求取函数在其变量上的导数。
隐函数二阶偏导数公式法
隐函数二阶偏导数公式法好嘞，以下是为您生成的关于“隐函数二阶偏导数公式法”的文章：在咱们数学的奇妙世界里，隐函数二阶偏导数公式法就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开复杂问题的大门。
记得有一次，我给学生们讲这部分内容。
当时，课堂上的气氛有点紧张，大家都皱着眉头，感觉这是个超级大难题。
我就拿了一个简单的例子来引导他们。
比如说，有一个隐函数方程 F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 ，咱们要找出y 对 x 的二阶偏导数。
首先，咱们通过对这个方程两边同时对 x 求导，得到 2x + 2y * y' = 0 ，然后解出 y' = -x / y 。
这只是第一步哦，接下来才是关键。
要找二阶偏导数，那得再次对 x 求导。
这时候就得小心啦，因为 y' 里面也含有 x 和 y 呢。
咱们把 y' 对 x 求导，就得到 y'' = [(-1) * y - (-x) * y'] / y^2 。
然后把之前求出的 y' 代入进去，经过一番整理和计算，就能得出最终的二阶偏导数啦。
在这个过程中，大家可得细心再细心，一步错就可能全盘皆输。
而且这里面的计算可不能马虎，一个小符号的错误都能让结果相差十万八千里。
咱们再深入说说这个公式法。
它其实就像是一个有规律的步骤指南，只要咱们按照这个指南一步步走，就能找到答案。
但是，这可不是说死记硬背公式就行，得理解每个步骤的道理。
比如说，为什么要先对隐函数方程两边求导？这是因为只有这样，咱们才能把隐藏在里面的导数关系给找出来。
就像在黑暗中摸索，这一求导，就像是点亮了一盏灯，让那些隐藏的东西现了形。
还有啊，计算过程中那些约分、化简，可都是有技巧的。
不能瞎弄，得有章法。
这就需要咱们平时多做练习，积累经验。
有时候，同学们会觉得这个公式法太复杂，想要放弃。
但其实，只要多练几次，掌握了其中的诀窍，就会发现它并没有那么可怕。
总之，隐函数二阶偏导数公式法虽然有点难，但只要咱们用心去学，多练习，多思考，就一定能攻克这个难关。
多元隐函数求偏导数公式法
多元隐函数求偏导数公式法在多元隐函数中，我们经常需要计算偏导数。
偏导数是指在多元函数中，对于某一个变量的偏导数，而将其他变量视为常数。
下面我将介绍一种常用的求偏导数的方法，即偏导数公式法。
假设我们有一个多元函数F(x1, x2, ..., xn) = 0，其中x1, x2, ..., xn 是函数的自变量，而F(x1, x2, ..., xn) 是一个关于自变量的方程。
我们想要求解这个方程，并计算出其中某个变量的偏导数。
首先，我们需要假设这个方程可以表示出一个隐函数，例如x1 = f(x2, ..., xn) 或x2 = g(x1, x3, ..., xn)。
然后，我们可以通过求偏导数的方法来求解这个方程。
假设我们要求解的是变量x1 的偏导数。
我们可以先对方程两边同时对x1 求偏导数，得到：∂F/∂x1 + (∂F/∂x2) * (∂x2/∂x1) + ... + (∂F/∂xn) * (∂xn/∂x1) = 0其中∂F/∂xi 表示对F(x1, x2, ..., xn) 对变量xi 求偏导数，而(∂xi/∂x1) 表示对变量xi 对x1 求偏导数。
接下来，我们可以将这个方程进一步整理，将(∂x2/∂x1), (∂x3/∂x1), ..., (∂xn/∂x1) 表达为其他已知偏导数的形式。
这样，我们可以将方程表示为一个关于(∂F/∂x1) 和已知偏导数的方程。
最后，我们可以解这个方程，得到(∂F/∂x1) 的表达式。
这样，我们就求得了变量x1 的偏导数。
需要注意的是，这种方法仅适用于可以表示为隐函数的方程，并且需要已知其他变量的偏导数。
如果方程不满足这些条件，我们可能需要使用其他方法来求解偏导数。
希望以上解释能够满足你的要求。
如果还有其他问题，请随时提问。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
隐函数的偏导数
1.一元隐函数的偏导数：
满足条件
定理1：若函数
i)在点的某一邻域內具有连续偏导数，
ii)
在点的邻域內确定单值连续偏导数满足并且具
则方程
有连续导数：
例：
2．二元函数的偏导数：
满足条件：
定理2：若函数
1)在点
的某一邻域內具有连续偏导数，
2)
则方程
在点的邻域內确定单值连续函数，满足
证：由于方程
确定单值连续函数则有：
两端求导：
例：
解法一：
解法二：
3．一元隐函数组求导：
满足条件：
定理3：若函数
1) 在点
的某一邻域內具有连续偏导数，
2)
3)
则方程
在点的邻域內确定单值连续函数
并且具有连续偏导数：
例：求
解法一：
解法二：
对x求导?sub> 是x的函数
得：
得：
代入
4．二元隐函数组的偏导数：
满足条件：
定理4：若函数
1)在点的某一邻域內具有连续偏导数，
2)
行列式
3)
则方程组：
在点的邻域內唯一确定一组单值连续函，满足且具有连续偏导数：
两端对x求导：
例：
解法一：
求导，是的函数。
解法二：方程对
对x求导：
5.参数方程的导数：
设由参数方程给定：
给定u,v是参数，则：
导出：由参数方程：
，则：
由x,y两方程解出u,v是x,y的函数
由复合函数微分法：
其中由隐式方程给定，即由：
例：。