数学分析(华东师大)第四章函数的连续性

第四章函数的连续性

§1 连续性概念

连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数.

从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性.

一函数在一点的连续性

定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若

lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1)

则称f 在点x0 连续.

例如, 函数f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续,因为

又如,函数li

m

x →

2

f ( x) =

lim

x →2

( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) .

f ( x) =

x sin 1

x

, x ≠ 0,

0 , x = 0

在点x = 0 连续,因为

lim x →0f ( x) = lim

x →0

x sin 1

x= 0 = f ( 0) .

为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为

Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 .

注自变量的增量Δx或函数的增量Δy 可以是正数,也可以是0 或负数.

引进了增量的概念之后,易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于

lim Δy = 0 .

Δx→0

70 第四章函数的连续性

由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的,因而也可直接用ε- δ方式来叙述,即:若对任给的ε> 0 , 存在δ> 0 , 使得当|x - x0 | < δ时有

| f ( x) - f ( x0 ) | < ε, ( 2)则称函数f 在点x0 连续.

由上述定义,我们可得出函数f 在点x0 有极限与f 在x0 连续这两个概念

之间的联系.首先, f 在点x0 有极限是f 在x0 连续的必要条件;进一步说“, f 在点x0 连续”不仅要求f 在点x0 有极限, 而且其极限值应等于f 在x0 的函数值f ( x0 ) .其次, 在讨论极限时, 我们假定f 在点x0 的某空心邻域U°( x0 ) 内有定义( f 在点x0 可以没有定义) , 而“f 在点x0 连续”则要求f 在某U( x0 ) 内( 包括点x0 ) 有定义, 此时由于(2 ) 式当x = x0 时总是成立的, 所以在极限定义中的“0

< |x - x0 | < δ”换成了在连续定义中的“|x - x0 | < δ”.最后, (1 ) 式又可表示为

lim

x → x

0f ( x) = f lim x ,

x → x

可见“f 在点x0 连续”意味着极限运算l im

x → x 与对应法则f 的可交换性.

例1证明函数f ( x ) = x D( x ) 在点x = 0 连续,其中D ( x ) 为狄利克雷函数.

证由f (0 ) = 0 及|D( x ) | ≤1, 对任给的ε> 0 , 为使

| f ( x ) - f ( 0) | = | xD( x ) | ≤ | x | < ε,

只要取δ= ε, 即可按ε- δ定义推得f 在x = 0 连续. □相应于f 在点x0 的左、右极限的概念,我们给出左、右连续的定义如下:定义2 设函数f 在某U + ( x0 ) ( U - ( x0 ) ) 内有定义.若

lim x → x +

0f ( x) = f ( x0 ) lim

-

x → x

f ( x) = f ( x0 ) ,

则称f 在点x0 右(左)连续.

根据上述定义1 与定义2 , 不难推出如下定理.

定理4.1 函数f 在点x0 连续的充要条件是:f 在点x0 既是右连续,又是左连续.

例2 讨论函数

在点x = 0 的连续性.

解因为

f ( x )

=

x + 2 , x ≥

0 , x - 2 , x

< 0

lim

x → 0 +

lim

x → 0 -

f ( x ) =

lim

x → 0 +

f ( x) = lim

x → 0 -

( x + 2 ) = 2

,

( x - 2) = -

2 ,

而f (0 ) = 2 , 所以f 在点x = 0 右连续,但不左连续,从而它在x = 0 不连续(见●

§1 连续性概念71图 4 - 1 ) . □

二间断点及其分类

定义3 设函数f 在某U°( x0 ) 内有定义.若f 在点

x0 无定义, 或f 在点x0 有定义而不连续, 则称点x0 为

函数f 的间断点或不连续点.

按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的

讨论,若x0 为函数f 的间断点,则必出现下列情形之一:图 4 - 1

( i) f 在点x0 无定义或极限l im

x→ x f ( x ) 不存在;

( ii) f 在点x0 有定义且极限lim

x → x

0f ( x ) 存在①, 但

lim

x → x

f ( x) ≠ f ( x0 ) .

据此,我们对函数的间断点作如下分类: 1. 可去间断点若

lim x → x f ( x ) = A ,

而f 在点x0 无定义, 或有定义但f ( x0 ) ≠A , 则称x0 为f 的可去间断点.

例如, 对于函数f ( x ) = | sgn x | , 因f ( 0) = 0 , 而

lim

x →0

f ( x) = 1 ≠ f (0 ) ,

故x = 0 为f ( x ) = | sgn x | 的可去间断点. 又如函数g ( x ) = sin x , 由于

x

li

m

x →

g ( x ) = 1 , 而g 在x = 0 无定义, 所以x = 0 是函数g 的可去间断点.

设x0 为函数f 的可去间断点, 且l im

x→ x f ( x ) = A .我们按如下方法定义一个

函数f^: 当x ≠x0 时, f^( x ) = f ( x) ; 当x = x0 时,f^( x0 ) = A .易见,对于函数

f^, x0 是它的连续点.例如, 对上述的g( x) = sin x , 我们定义

x

则g^在x = 0 连续.g^( x)

=

sin x

x , x ≠ 0,

1 , x = 0 ,

2. 跳跃间断点若函数f 在点x0 的左、右极限都存在,但

lim x → x +

0f ( x) ≠ lim

x → x -

f ( x) ,

则称点x0 为函数f 的跳跃间断点.