最新《两角和与差的余弦公式》教学设计

《两角和与差的正弦余弦正切公式》教学设计

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结学法：合作讨论，自主学习六、教学过程1．导入新课(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法转化为公式C（α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.2．推进新课提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出tan(α-β)=? tan（α+β）=？⑦分析观察公式T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？［-((-=cos(-+sin(-sin=_____.)=)=，据角)=)=都不能等于+k过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用T（α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(-β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-β)=来处理等.应用示例例1 已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C.D.4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.<,<<,cos(-)=,sin(+)=,。

(整理)《两角和与差的余弦公式》教学设计.

《两角和与差的余弦公式》教学设计一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。

二、教学目标：1、知识目标：①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。

2、能力目标：①、培养学生逆向思维的意识和习惯；②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3、情感目标：①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。

三、教学重点和难点：教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。

教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。

四、教学方法：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。

给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。

从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。

由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。

学法指导：1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。

(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。

)2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。

五、教学过程cos(2-sin(2-六、板书设计。

苏教版(两角和与差的余弦)教学设计方案.docx

《两角和与差的余弦》教学设计基于课堂演示型课件的教学媒体设计教学过程结构设计课题：两角和与差的余弦开始4JT组织观察课件1，温故知新观察周期运动的叠加（课件2）,质疑发现特例，引导探索一般规律，引出课题求值问题讲解, 黑板板书课堂小结教学过程设计详案［提问］点C在兀轴方向上是怎样运动的，是周期运动吗？可以用什么函数来刻画？题、讨论交流、总结并回答:点C在x轴方向的运动可以用三角函数来刻画，想，培养学生的观察能力及探究问题的能力［板书］点C 的坐标(cos x - sin x, cos x + sin x)cos x-— kV2sin4x -----4 \\))［提问］上述结果说明了什么？应该如何解读它?［提问］两个结果的形式不同，说明了什么？［板书］COS"®可以恒等变形为屁。

牛+ =即cosx-sinx = V2cos x + —,也可以把后者看成I 4丿是cos兀与sin x相加的结杲［陈述］对三角函数进行恒等变换是一种有用的变换，它是对三角函数研究的继续和深入，也是本章学习的内容［追问］(7l\ COS兀——I 4丿J7 J5也可以变换成——cos兀------- sin% ,2 2即cosV2 V2 . =——cos x ------ sin x2 2［追问］上式中两角差的余弦可以用两角的正余弦值表达，一般的，COS（Q±0）能否用0,0的三角函数来表示？引出课题［板书］引出课题引导学生分析运动背后的数学知识帮助学生将总结的结论顺利转化为数学语—倾听、思考、领悟、体会设计这样的引入承接了上一章对周期性变化进行研究的主题，突出三角函数刻画周期性变化的数学模型这一本质，它可以使学生体会到三角变换不仅仅是形式上的变换，而且是对三角函数研究的继续和深化，是在对周期性变化的研究中不可或缺的工具向量方法的立足点是：向量具有多种表示形式，因此就可以在不同的知识领域建立联系，上面的推导过程的实质就是用数量积的不同表达形式，沟通了不同的三角式中的联系；②向量和三角函数都是形数结合的数学模型，它们都可以把方向“数量化”，向量的夹角公式就起了这样的作用；③向量证法的关键是构造辅助向量，这是止确使用向量方法的关键，［展示］学生探索成果［板书］公式［追问］该公式对任意都成立吗?［分析］教师分析［讨论1］请用特殊角分别代替公式中a、B,你能求哪些非特殊角的值呢？(选择的特殊角：30。

两角和与差的余弦教案-许秋云

两角和与差的余弦教案-许秋云第一章：两角和与差的余弦概念引入1.1 教学目标让学生了解两角和与差的余弦概念。

能够运用三角函数的定义进行简单的计算。

1.2 教学内容两角和与差的余弦定义三角函数的定义与性质1.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学。

1.4 教学步骤1.4.1 引入概念通过示例，引导学生理解两角和与差的余弦概念。

1.4.2 讲解三角函数的定义与性质讲解正弦、余弦、正切函数的定义与性质。

1.4.3 练习计算让学生进行一些简单的两角和与差的余弦计算练习。

1.5 作业布置布置一些相关的练习题目，让学生巩固所学知识。

第二章：两角和与差的余弦公式推导2.1 教学目标让学生掌握两角和与差的余弦公式推导过程。

两角和与差的余弦公式公式推导过程2.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学。

2.4 教学步骤2.4.1 引入公式通过示例，引导学生理解两角和与差的余弦公式。

2.4.2 讲解公式推导过程讲解两角和与差的余弦公式的推导过程。

2.4.3 练习计算让学生进行一些简单的两角和与差的余弦计算练习。

2.5 作业布置布置一些相关的练习题目，让学生巩固所学知识。

第三章：两角和与差的余弦公式应用3.1 教学目标让学生能够运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。

3.2 教学内容两角和与差的余弦公式的应用实际问题的解决方法3.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学。

3.4.1 引入应用通过示例，引导学生理解两角和与差的余弦公式的应用。

3.4.2 讲解实际问题的解决方法讲解如何运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。

3.4.3 练习计算让学生解决一些实际问题，进行相关的计算练习。

3.5 作业布置布置一些相关的练习题目，让学生巩固所学知识。

第四章：两角和与差的余弦公式在三角函数图像中的应用4.1 教学目标让学生掌握两角和与差的余弦公式在三角函数图像中的应用。

4.2 教学内容三角函数图像的特点两角和与差的余弦公式在三角函数图像中的应用4.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学。

教学设计(两角和与差的余弦函数)

案例名称两角差的余弦公式科目数学教学对象高二年级学生提供者课时1课时学号一、教材内容分析（1）内容：两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值。

这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。

（2）内容解析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。

教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数，推出α，β，α－β均为锐角时公式成立。

对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。

基于这些分析，两角差的余弦公式的探索将是本节的重点。

二、教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）1、知识与技能：通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。

2、过程与方法：通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感、态度与价值：使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

三、学习者特征分析本课时面对的学生是高二年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。

《6.1.1两角和与差的余弦公式》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册

《两角和与差的余弦公式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在帮助学生深入理解并掌握两角和与差的余弦公式，能正确运用公式进行计算和推理，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

通过本次作业，学生应能理解并灵活运用余弦的两角和差公式进行计算。

二、作业内容1. 公式记忆要求学生能够熟练记忆并背诵两角和与差的余弦公式，理解公式的推导过程及在三角函数计算中的应用。

2. 基础练习（1）设计一系列选择题和填空题，考查学生对公式的记忆程度及对公式的理解情况。

（2）布置一些简单的计算题，让学生运用公式进行计算，加深对公式的理解。

3. 拓展应用（1）设计一些实际问题，如物理中的振动问题、工程中的角度计算等，要求学生运用余弦的两角和差公式进行解答。

（2）布置一些综合题，要求学生综合运用余弦的两角和差公式与其他知识点，解决较复杂的问题。

三、作业要求（1）学生在完成作业过程中应注重独立思考，培养自己解决问题的能力。

（2）要求学生按时完成作业，并在规定时间内提交。

（3）学生在解答过程中应书写清晰、规范，步骤完整，答案准确。

（4）对于拓展应用部分的题目，学生应积极思考，尝试多种解题方法，并比较不同方法的优劣。

四、作业评价（1）评价学生的作业完成情况，包括公式的记忆程度、计算准确性和解题思路的清晰度。

（2）针对学生在作业中出现的错误，进行及时的指导和纠正，帮助学生找出错误原因并改正。

（3）对于学生的优秀作业给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。

五、作业反馈（1）教师通过批改作业，了解学生的学习情况，及时调整教学计划和教学方法。

（2）针对学生在作业中普遍出现的问题，进行课堂讲解和答疑，帮助学生解决疑惑。

（3）鼓励学生之间互相交流学习心得和解题方法，促进同学之间的互动和学习氛围的形成。

通过以上作业设计方案，旨在通过系统的作业内容，帮助学生全面掌握两角和与差的余弦公式，并能够灵活运用。

在作业要求方面，强调学生的独立思考能力和规范解题习惯，旨在培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

《两角和与差的正弦余弦正切公式》教学设计

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结学法：合作讨论，自主学习六、教学过程1．导入新课(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法转化为公式C（α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.2．推进新课提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出tan(α-β)=? tan（α+β）=？⑦分析观察公式T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？［-((-=cos(-+sin(-sin=_____.)=)=，据角)=)=都不能等于+k过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用T（α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(-β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-β)=来处理等.应用示例例1 已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C.D.4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.<,<<,cos(-)=,sin(+)=,。

高中数学_两角和与差的余弦教学设计学情分析教材分析课后反思

《两角和与差的余弦》教学设计教学目标1.理解运用三角函数线推导两角和的余弦公式；掌握由和角余弦公式推导差角余弦公式；2.熟记两角和（差）的余弦公式，能运用公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明．3.培养学生运用旧知识探索新知识的能力，分析问题的能力和逻辑推理能力；培养学生的观察能力、变换能力、逆向思维和灵活运用知识的能力．教学重点与难点教学重点:两角和与差的余弦公式的探索过程及简单应用．教学难点:两角和与差的余弦公式推导过程的组织和引导．教学方法讲授法、启发引导式教学法教学过程1.提出问题如何计算 75的值？引导思考：)3045cos(75cos +=；学生猜想： 30cos 45cos )3045cos(75cos +=+=；即βαβαcos cos )cos(+=+，通过取特殊值o o 60,30否定猜想．能不能用o o45,30的三角函数值把)3045cos( +表示出来呢？将问题一般化：当αβ，是任意角时，能不能用αβ，的三角函数值把)cos(βα+表示出来呢？从而引出课题．2.尝试探索运用启发引导式教学法、学生自主探索法、建构思维、分类讨论思想完成整个探索的过程.思考1：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示。

思考2：设角α,α +β 和-β的终边与单位圆的交点分别为A 、B 、C ，则它们的坐标分别是什么？预备知识：由BD AC BOD AOC =⇒∆≅∆，所以||||BD AC =，结合两点间距离公式得出：()[]()()[]()[]2222sin sin cos cos sin 1cos αβαββαβα--+--=++-+，展开整理得：()βαβαβαsin sin cos cos 22)cos(22--=+-，化简得：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+3.得出结论对任意角αβ，有βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+，然后从公式的意义、名称和记忆三个方面加强对公式的理解．提出问题：你能由和角的余弦公式推导出两个角和的余弦值与这两个角的正弦，余弦值之间的关系吗？引导学生运用赋值法推导出两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.让学生从公式的意义、名称和记忆三个方面阐述对公式的理解．引导学生将以上两个公式联系起来记忆．培养学生的观察力和对数学的美感．4.公式应用例1．根据两角差的余弦公式求o cos15的值.思考：还有其他求解方法吗？例2.,54cos ,53sin ==βα 且βα,都是锐角，求)cos(βα+的值. 思考：若去掉条件“α是锐角”，则对结果及求解过程有什么影响？练习：1.求下列各式的值.(1) ?70sin 20sin 70cos 20cos =-(2) ?)sin()sin()cos()cos(=-++-+βαβαβαβα(3) ?53cos 32cos 37cos 58cos =+(4) ?15sin 15cos 22=-2.求解 75cos 的值.3.已知,53sin -=αα是第四象限角，求)4cos(),4cos(απαπ-+的值. 5.课堂小结两角和与差的余弦公式cos()=cos cos sin sin αβαβαβ±公式的推导：利用三角函数线的知识并结合图形，注意分类讨论思想的运用．公式的应用：进行简单三角函数式的化简、求值和证明（正用、逆用、活用）．6.布置作业分层作业：A 层：学案中的剩余练习，课本135页A 组 2、3，B 组1、2、4、5.B 层：课本135页探索与研究。

《3.1.1两角和与差的余弦》教学案

《3.1.1两角和与差的余弦》教学案●三维目标 1．知识与技能掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 2．过程与方法通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．●重点难点重点：灵活运用两角和与差的余弦公式．难点：用向量推导两角差的余弦公式．教学方案设计●教学建议1．关于探求公式C (α－β)的结果的教学教学时，建议教师先让学生自己动手验证，从而明确cos(α－β)＝cos α－cos β为什么错误，引导学生体会从特殊到一般的思考问题的方法，并应用这种方法通过特殊情境0＜α＜β＜π2探求出cos(α－β)的结果．2．关于公式C (α－β)证明的教学教学时，建议教师：(1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用． (2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备．(3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探寻，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)，其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要运用诱导公式．●教学流程创设问题情境，引出问题：cos α－β＝cos α－cos β为什么错误？⇒引导学生结合有关图形，运用向量方法推导出两角差的余弦公式，进而得到两角和的余弦公式.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决求值问题的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题的方法.⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式求解给值求角问题的解题步骤及注意事项.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学1．单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？【提示】 A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)． OA →与OB →的夹角是α－β.2．你能用哪几种方法计算OA →·OB →的数量积？【提示】 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. 3．根据上面的计算可以得出什么结论？【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.4．把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？【提示】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. cos(α＋β)＝cos__αcos_β－sin_αsin_β； cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. 这两个公式分别记作C (α＋β)，C (α－β)．课堂互动探究运用公式求值例1 (1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°. 【思路探究】 (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解． (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决．【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. (2)原式＝cos 15°－8°－sin 15°sin 8°cos 8° ＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8° ＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 规律方法1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．变式训练求下列各式的值：(1)cos 75°；(2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°. 【解】 (1)cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.给值求值例2 设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值．【思路探究】由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦．只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围．用两角和与差的三角函数公式展开即得结论．【自主解答】 ∵π2＜α＜π，0＜β＜π2， ∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2. 又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23. ∴sin(α－β2)＝1－cos 2α－β2＝459，cos(α2－β)＝1－sin2α2－β＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527.规律方法1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．变式训练α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．【解】 ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2， ∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2， ∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.给值求角例3 已知α，β均为锐角，cos α＝1，sin(α＋β)＝53，求角β的值．【思路探究】解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值．再由β＝(α＋β)－α求出cos α，从而可以根据β的范围求出β的值．【自主解答】 ∵0＜α＜π2，cos α＝17. ∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sin α，∴π2＜α＋β＜π， ∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12. 又∵0＜β＜π2， ∴β＝π3. 规律方法解答给值求角问题的步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内．互动探究将本题条件改为cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，如何求β的值？【解】由cos α＝17，0＜α＜π2，得 sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0＜β＜π2，∴β＝π3. 易错易误辨析忽略角的范围限制的隐含条件致误典例已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．【错解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角，∴sin β＝31010，cos α＝255.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22，又∵α，β∈(0，π2)， ∴－π2＜α－β＜π2， ∴α－β＝π4或α－β＝－π4.【错因分析】错解的原因在于忽视了利用三角函数值的大小判断α与β的大小关系．【防范措施】已知三角函数值求角的大小时，一定要注意判断角的范围，有时需利用三角函数值对角的范围进行精确化，以免产生增解．【正解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角， ∴sin β＝31010，cos α＝255. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵sin α＜sin β，∴α＜β. ∴－π2＜α－β＜0. ∴α－β＝－π4.对公式C (α－β)的理解： (1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开．因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角．(2)公式C (α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． ②把所得的积相加．当堂双基达标1．下列等式中，正确的个数为________． ①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(π2＋α)＝－sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；④cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 【解析】由两角和与差的余弦公式可知②④正确．【答案】 22．cos 105°＝________.【解析】 cos 105°＝cos(45°＋60°)＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝2－64. 【答案】2－643．计算：cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝________.【解析】原式＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝ cos 60°＝12. 【答案】 124．已知cos α＝－45，α∈(π，32π)，tan β＝－13，β∈(π2，π)，求cos(α＋β)．【解】 ∵α∈(π，32π)，cos α＝－45，∴sin α＝－35. ∵tan β＝－13，β∈(π2，π)， ∴cos β＝－31010，sin β＝1010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝(－45)×(－31010)－(－35)×1010＝31010. 课后知能检测一、填空题1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 【答案】 322．若α∈(0，π)，且cos(α＋π3)＝45，则cos α等于________．35∴sin(α＋π3)＝35. cos α＝cos[(α＋π3)－π3] ＝45×12＋35×32＝4＋3310. 【答案】 4＋33103．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于________ 【解析】由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 344．已知sin α＝12，α是锐角，则cos(α－π4)＝________.【解析】 cos(α－π4)＝cos α·22＋sin α·22＝32·22＋12·22＝6＋24. 【答案】6＋245．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________．【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝(1－32)2＋(12)2，∴cos(α－β)＝32.【答案】 326．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________. 【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20° ＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3. 【答案】37．(2013·成都高一检测)若cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，则cos(θ＋π4)＝________.132∴sin θ＝－513，∴cos(θ＋π4)＝cos θcos π4－sin θsin π4＝－1213×22－(－513)×22＝－7226. 【答案】－72268．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，则α－β的值为________．【解析】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即cos αcos β＋sin αsin β＝0，从而cos(α－β)＝0. ∵α，β∈(0，π)，∴－π＜α－β＜π，∴α－β＝π2或－π2. 【答案】 ±π2 二、解答题9．设α∈(π2，π)，若sin α＝35，求2cos(α＋34π)的值．【解】 ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴2cos(α＋34π)＝2(cos αcos 34π－sin αsin 34π)＝2(－cos αcos π4－sin αsin π4)＝－cos α－sin α＝45－35＝15.10．已知α，β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，求α＋β的值．【解】 ∵α，β为锐角，∴sin α＝310，sin β＝25，∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝110·15－310·25＝－550＝－22. 又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝3π4.11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α. 【解】 (1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．∵|a －b |＝255， ∴cos α－cos β2＋sin α－sin β2＝255，即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β＝35×1213－45×(－513)＝5665. 又0<α<π2，∴sin α＝1－cos 2α＝3365.教师备课资源备选例题在△ABC 中，若tan A (sin C －sin B )＝cos B －cos C ，试判断△ABC 的形状．【思路探究】将切化成弦，变形后应用差角公式就可得到角A ，B ，C 之间的关系．【自主解答】 ∵tan A (sin C －sin B )＝cos B －cos C ，∴sin A cos A ＝cos B －cos Csin C －sin B ，∴sin A sin C －sin A sin B ＝cos A cos B －cos A cos C ，即cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos B ＋sin A sin B ，∴cos(A －C )＝cos(A －B )．∵0°＜A ，B ，C ＜180°，∴－180°＜A －C ＜180°，－180°＜A －B ＜180°，∴A －C ＝A －B 或A －C ＝－(A －B )，即B ＝C 或2A ＝B ＋C .若B ＝C ，则△ABC 为等腰三角形；若2A ＝B ＋C ，则2A ＝180°－A ， A ＝60°. 综上所述，△ABC 为等腰三角形或A ＝60°的三角形．规律方法 1．利用和、差角公式判断三角形的形状时，应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角和的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意三角形内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件的运用．2．记住常用结论：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan(A ＋B )＝－tanC .备选变式在△ABC 中，已知tan A tan B ＜1，判断△ABC 的形状．【解】 ∵tan A tan B ＜1，∴sin A sin B cos A cos B ＜1，sin A sin B cos A cos B －1＜0，sin A sin B －cos A cos B cos A cos B＜0，－cos A ＋Bcos A cos B ＜0，cos Ccos A cos B ＜0，∴cos A ＜0或cos B ＜0或cos C ＜0，∴A 、B 、C 中有一个钝角，∴△ABC 为钝角三角形．。

公式延续,思维拓展——“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”教学设计

２０２４年３月上半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀公式延续,思维拓展两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式教学设计◉江苏省宿迁中学㊀王嘉琨１教材分析两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式是高中数学新教材(人教A版)必修第一册５．５．１的第２课时,是在第１课时两角差的余弦公式基础上的延续与拓展,也为后续三角恒等变换公式体系奠定基础．２学情分析学生在前面已经学习了诱导公式㊁两角差的余弦公式等,初步具备了三角函数式中变角与变名思维,这都为本节课研究两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式提供了知识㊁方法和思想上的准备．３教学目标(１)以两角差的余弦公式作为基础,自主发现推导两角和与差的正弦．余弦㊁正切公式,并理解这些公式之间的内在联系．(２)通过例题的训练,加深对公式的理解和应用．４重点㊁难点(１)教学重点:两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式的推导及其应用．(２)教学难点:灵活运用公式进行三角函数式的化简㊁求值等．５教学过程(１)复习回顾,问题引入问题１㊀上一节课我们学习了两角差的余弦公式C(α－β),你能说出这个公式以及它的推导过程吗?利用圆的旋转不变性来推导的,具体步骤如下:第一步,在坐标系中画出角度α,β,α－β与单位圆,并标出终边与单位圆的交点;第二步,根据三角函数的定义写出各点的坐标;第三步,利用圆的旋转不变性得到等量关系;第四步,代入化简得到公式．问题２㊀除了公式C(α－β)外,你还能提出一些新的研究问题吗?你打算如何研究这些问题?师生活动:教师引导学生提出新的研究问题,学生思考研究新问题的方法．引导语:对于其他几个公式,也可以利用单位圆来研究．不过,本书不采用这这种研究方法,而是利用公式C(α－β)来推导其他公式．数学上把这种将新问题转化成已经解决的问题的方法叫作化归与转化的思想方法．设计意图:通过问题１帮助学生回顾利用圆的旋转不变性推导两角差的余弦公式的过程,明确研究公式C(α－β)的方法．(２)公式探究,发现问题问题３㊀你能利用公式C(α－β)推导出两角和的余弦公式吗?师生活动:先让学生独立思考,然后请学生回答推导思路,鼓励学生用多种方法解决．方案一:注意到α＋β与α－β之间的关系,即α＋β＝α－(－β),再由公式C(α－β)推导;方案二:可以利用换元的观点来推导,用－β 替换公式C(α－β)中的 β 也能获得公式c o s(α＋β)＝c o sαc o sβ－s i nαs i nβ．设计意图:从加减法的关系和整体代换的方法体现了数学中的化归与转化以及换元的数学思想方法．(３)深入拓展,公式推导问题４㊀由C(α＋β)能推导出s i n(α＋β)的公式吗?师生活动:学生独立思考后,教师可以根据学生的反应追问下列问题．思考１㊀如何建立正弦与余弦值之间的关系呢?预设答案:利用诱导公式五(或六),即可实现正弦㊁余弦之间的相互转化．思考２㊀如何得到s i n(α＋β)的公式呢?预设答案:s i n(α＋β)＝c o sπ２－(α＋β)éëêêùûúú＝c o s(π２－α)－βéëêêùûúú＝c o s(π２－α)c o sβ＋s i n(π２－α) s i nβ＝s i nαc o sβ＋c o sαs i nβ．设计意图:利用两角和的余弦公式和诱导公式推导两角和的正弦公式．问题５㊀如何得到s i n(α－β)的公式呢?师生活动:学生独立完成,教师邀请学生展示和点评．预设答案:用－β 来替换s i n(α＋β)中的 β ,则有s i n(α－β)＝s i nαc o s(－β)＋c o sαs i n(－β)＝s i nαc o sβ－c o sαs i nβ．７２教学导航２０２４年３月上半月㊀㊀㊀引导语:把以上两角和的正弦公式和两角差的正弦公式分别记为S (α＋β)和S (α－β)．设计意图:通过整体化思维,以及化归与转化思想,利用两角和的正弦公式来推导两角差的正弦公式．问题６㊀已知任意角α,β的正切,你能推导出t a n (α＋β)和t a n (α－β)吗?师生活动:学生独立完成,教师邀请学生展示和点评．预设答案:由正切与正弦㊁余弦的关系,可知t a n (α＋β)＝s i n (α＋β)c o s (α＋β)＝s i n αc o s β＋c o s αs i n βc o s αc o s β－s i n αs i n β,分子㊁分母同时除以c o s αc o s β,整理得t a n (α＋β)＝t a n α＋t a n β１－t a n αt a n β．同理t a n (α－β)＝t a n α－t a n β１＋t a n αt a n β．引导语:把以上两角和的正切公式和两角差的正切公式分别记为T (α＋β)和T (α－β)．设计意图:利用正弦㊁余弦㊁正切之间的关系推导两角和与差的正切公式．问题７㊀和(差)角公式和我们以前学习的诱导公式之间有什么关系吗请用图示说明．师生活动:学生独立思考后,和同学交流自己的想法,教师展示图示,揭示它们之间的内在联系．诱导公式是和(差)角公式的特殊情况,如用S (α－β)推导诱导公式如图１所示．图１设计意图:比较和(差)角公式和诱导公式的异同,构建知识间的内在联系,加深对公式的理解．(４)公式应用,熟练掌握例１㊀已知s i n α＝－３５,α是第四象限的角,求s i n (π４－α),c o s (π４＋α),t a n (α－π４)的值．思考１:你打算如何求解?请说说你的思维过程．思考２:如果去掉 α是第四象限的角这个条件,结果和求解过程会有什么变化思考３:在以上解答中我们可以看到,在本题条件下,s i n(π４－α)＝c o s (π４＋α),那么对于任意角α,上式还成立吗你能想到几种方法来证明?预设答案:方案一:等式左右两边均使用和差公式展开．方案二:寻找π４－α与π４＋α之间的内在联系,再结合诱导公式来转化与处理,即s i n (π４－α)＝s i n π２－(π４＋α)éëêêùûúú＝c o s (π４＋α)．例２㊀利用和(差)角公式计算下列各式的值:①si n ７２ʎc o s ４２ʎ－c o s ７２ʎs i n ４２ʎ;②c o s ２０ʎc o s ７０ʎ－s i n ２０ʎs i n ７０ʎ;③１＋t a n １５ʎ１－t a n １５ʎ．思考４:从例１和例２可以看出和(差)角公式有什么作用?(预设答案:求值或化简．)设计意图:例１步步递进,逐层深入,充分展示数学思维的发散性;例２强化公式的理解和应用,规范解题格式,训练有序思维和逆向思维．(５)系统归纳,总结提升问题８㊀你能用图式来回顾本节课５个和(差)角公式的推导过程吗?师生活动:学生独立完成(如图２)后与同学交流．图２问题９㊀在和(差)角公式的推导过程中用到了什么数学思想方法预设答案:化归与转化的思想整体代换的思想等．设计意图:用框图回顾推导过程,建立知识之间的内在联系,归纳总结本节课的数学思想方法等．６教学反思(１)公式延续,深入应用本节课以两角差的余弦公式为基础,利用角的变换和函数名之间的转换,将要推导的公式转化为熟悉的公式来解决．整个推导过程不但能够培养学生逻辑推理数学素养,还能让学生领悟知识之间的内在联系,初步体会三角恒等变换的特点以及转化与化归思想在数学研究中的应用价值．(２)关注应用,能力提升我们应该改变以往公式教学中轻过程㊁重应用的方式,在关注公式的理解和应用的同时,更应该让学生全程参与到公式的发现和推导中来,因为推导过程所承载的数学育人功能是不可能只通过公式的应用来实现的;还可以鼓励学生课后选择一个公式作为基础,采用不同的研究路径重新研究这一过程,再一次经历解决问题的过程．Z８２。

两角和与差的正弦余弦正切公式教学案

两角和与差的正弦余弦正切公式教学案一、教学目标：1.知识与技能目标：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

2.过程与方法目标：鼓励学生积极思考、合作学习，培养学生的逻辑推理能力。

3.情感与态度目标：培养学生的数学兴趣，增强对数学的自信心。

二、教学重、难点：1.教学重点：学习正弦、余弦、正切两角和与差的公式，能够正确地应用到解题中。

2.教学难点：正弦、余弦、正切两角和与差的公式的推导与应用。

三、教学准备：1.教师准备：教案、笔记、教辅资料、教学媒体等。

2.学生准备：学习笔记、作业本。

四、教学步骤：Step 1 引入新课1.教师展示一幅图形，引导学生观察图形中的三角形，并提问：对于一个任意的三角形ABC，如何求角A和角C的两角和与差的正弦、余弦和正切？2.引导学生思考，并提醒学生复习正弦、余弦、正切的定义和性质。

Step 2 探究与讨论1.教师以角A和角C的两角和为例，引导学生分析角A和角C的三角函数之间可能存在的关系，并引导学生探究和讨论。

2.学生合作讨论，提出各自的思考结果并互相交流。

Step 3 运用公式解题1.教师给出两具体的角A和角C的数值，并提问学生如何求其两角和与差的正弦、余弦和正切的值。

2.学生运用公式计算，并与他人交流讨论结果，互相纠正错误。

Step 4 归纳总结1.教师总结学生的讨论结果，整理归纳出正弦、余弦、正切两角和与差的公式。

2.指导学生将这些公式整理成归纳表格或表格。

Step 5 拓展应用1.教师给出一些拓展应用题目，要求学生利用所学知识解答。

2.学生独立完成练习题，并互相交流讨论。

Step 6 小结与反思1.教师对本节课的内容进行小结，并引导学生参与总结。

2.向学生征求反馈意见，以便以后教学改进。

五、教学评价：1.学生通过合作探究和讨论，积极参与课堂活动。

2.学生能够利用正弦、余弦、正切两角和与差的公式解决实际问题。

3.学生对角度与三角函数之间的关系有了更深入的了解。

4.学生对本节课的教学内容和方式进行评价。

《两角和与差的余弦》说课稿

《两角和与差的余弦》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《两角和与差的余弦》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析《两角和与差的余弦》是高中数学必修 4 第三章《三角恒等变换》中的重要内容。

它是三角函数知识的延伸和拓展，也是后续学习其他三角恒等式的基础。

本节课在教材中的地位和作用十分重要。

通过对两角和与差的余弦公式的推导和应用，学生不仅能够加深对三角函数的理解，还能提高逻辑推理和数学运算能力。

二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了三角函数的基本定义和诱导公式，具备了一定的三角函数运算能力。

但对于两角和与差的余弦公式的推导和理解可能会存在一定的困难，需要通过引导和启发来帮助学生突破难点。

同时，学生在这个阶段的抽象思维能力和逻辑推理能力还有待提高，在教学过程中要注重培养学生的自主探究和合作交流能力。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解两角和与差的余弦公式的推导过程。

（2）掌握两角和与差的余弦公式，并能熟练运用公式进行三角函数的化简、求值和证明。

2、过程与方法目标（1）通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学建模能力。

（2）通过公式的应用，提高学生的数学运算能力和分析问题、解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在探究过程中体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。

（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，以及严谨的治学态度。

四、教学重难点1、教学重点两角和与差的余弦公式的推导和应用。

2、教学难点两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是向量法的应用。

五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性。

（2）探究式教学法：让学生参与公式的推导过程，培养学生的探究能力和创新精神。

（3）讲练结合法：通过例题讲解和练习巩固，让学生熟练掌握公式的应用。

(完整版)两角和与差的余弦公式教案

两角和与差的余弦公式教案【教学三维目标】1。

知识目标: 理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两角和与差的余弦公式,运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题.2能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3。

情感目标: 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【高考等级要求】 C 级【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。

【突破措施】先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。

【教材分析】这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。

教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式"在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线,推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时,补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。

【学情分析】本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识,对新知识充满探求的渴望。

他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识,掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。

【学具准备】小黑板圆规【学法设计】独立思考，生生交流探究，小组合作【知识链接】诱导公式平面向量的数量积一、产生对公式的需求引入新课（1分钟）首先让学生通过具体实例消除对“cos （α—β)=cos α-cos β”的误解，说明两角和(差）的三角函数不能按分配律展开.并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索.二、自主探究引发思考层层深入得出结论 (8分钟）独立思考以下问题：（1)向量的数量积__________b a =⋅),,a 11y x （=),b 22y x （= 则 __________b a =⋅ （2）单位圆上的点的坐标表示由图可知：==→a OP 1（） , ==→b 2OP （ )则=⋅b a_____________a =→ _____________b =→问题1 ： =︒-︒=∠)3045cos(P cos 21OP问题2 :由︒︒+︒︒=︒-︒30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？问题3 :两角和与差的余弦公式推导(一）两角差的余弦公式设),sin ,cos a αα（=),sin ,cos b ββ（= βαβαsin sin cos cos b a +=⋅θcos b a b a =⋅βαβαθsin sin cos cos cos +=∴如果],0[πβα∈-,那么βαθ-=故 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 实际上，当βα-为任意角时,由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。

《两角和与差的余弦》教学设计

《两角和与差的余弦》教学设计
（一）教学目标
知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能
力．
情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．
（三）学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
（四）教学过程
从知识、方法
３.1(２)
（一）教学目标
１．知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值．
２．能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力．３．情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
重点是公式的结构特点，会用公式求值．
难点是公式的逆向和变形运用．
（三）教学方法
教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中．
（四）教学过程
．围，三角函数值的正负．
（３）代入时，从左至右依次代入．
02,2π，再进一步参11
cos()14αβ+=-．确。

两角差的余弦公式详细教案

两角差的余弦公式详细教案第一章：两角差的余弦公式的引入1.1 教学目标理解两角差的余弦公式的概念掌握两角差的余弦公式的推导过程1.2 教学内容回顾角度的概念和单位引入两角差的概念引导学生思考如何表示两角差的余弦值1.3 教学方法使用图形和实例来引导学生理解两角差的余弦公式的概念通过推导过程培养学生的逻辑思维能力1.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的理解程度第二章：两角差的余弦公式的推导2.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的推导过程能够应用两角差的余弦公式进行计算2.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的推导过程引导学生通过图形和实例理解两角差的余弦公式的推导过程2.3 教学方法使用图形和实例引导学生理解两角差的余弦公式的推导过程通过练习题培养学生的计算能力2.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的推导过程的理解程度通过练习题评估学生的计算能力第三章：两角差的余弦公式的应用3.1 教学目标能够应用两角差的余弦公式解决实际问题能够应用两角差的余弦公式进行角度计算3.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的应用方法引导学生通过实例理解两角差的余弦公式的应用方法3.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式的应用方法通过练习题培养学生的应用能力3.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的应用方法的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第四章：两角差的余弦公式的拓展4.1 教学目标理解两角差的余弦公式的拓展内容能够应用两角差的余弦公式的拓展内容解决实际问题介绍两角差的余弦公式的拓展内容引导学生通过实例理解两角差的余弦公式的拓展内容4.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式的拓展内容通过练习题培养学生的应用能力4.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的拓展内容的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第五章：总结与复习5.1 教学目标总结两角差的余弦公式的知识点巩固学生对两角差的余弦公式的理解和应用能力5.2 教学内容回顾两角差的余弦公式的概念、推导过程和应用方法通过练习题巩固学生的理解和应用能力5.3 教学方法使用练习题和讨论的方式巩固学生的理解和应用能力5.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第六章：两角差的余弦公式的图形解释理解两角差的余弦公式可以通过图形来解释学会使用图形来帮助记忆和理解两角差的余弦公式6.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的图形解释方法通过图形展示两角差的余弦公式的推导过程6.3 教学方法使用图形和实例引导学生理解两角差的余弦公式的图形解释方法通过观察和分析图形，加深学生对两角差的余弦公式的理解6.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的图形解释方法的理解程度第七章：两角差的余弦公式在不同角度下的应用7.1 教学目标学会在不同角度下应用两角差的余弦公式进行计算理解在不同角度下应用两角差的余弦公式时的注意事项7.2 教学内容介绍在不同角度下应用两角差的余弦公式的方法通过实例展示在不同角度下应用两角差的余弦公式进行计算的步骤7.3 教学方法使用实例引导学生理解在不同角度下应用两角差的余弦公式的方法通过练习题培养学生的计算能力通过提问和讨论的方式检查学生对在不同角度下应用两角差的余弦公式的理解程度通过练习题评估学生的计算能力第八章：两角差的余弦公式在实际问题中的应用8.1 教学目标学会将两角差的余弦公式应用于实际问题中培养学生的实际问题解决能力8.2 教学内容介绍两角差的余弦公式在实际问题中的应用方法通过实例展示两角差的余弦公式在实际问题中的解题步骤8.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式在实际问题中的应用方法通过练习题培养学生的实际问题解决能力8.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式在实际问题中的应用程度通过练习题评估学生的实际问题解决能力第九章：两角差的余弦公式的推广9.1 教学目标理解两角差的余弦公式可以进行推广学会应用推广后的两角差的余弦公式解决问题9.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的推广形式通过实例展示如何应用推广后的两角差的余弦公式解决问题9.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式的推广形式通过练习题培养学生的应用能力9.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的推广形式的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第十章：总结与复习10.1 教学目标总结本节课所学的主要知识点巩固学生对两角差的余弦公式的理解和应用能力10.2 教学内容回顾本节课所学的两角差的余弦公式的概念、推导过程、应用和推广通过练习题巩固学生的理解和应用能力10.3 教学方法使用练习题和讨论的方式巩固学生的理解和应用能力10.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第十一章：两角差的余弦公式的综合应用11.1 教学目标能够综合运用两角差的余弦公式解决复杂角度问题培养学生的综合分析和解决问题的能力11.2 教学内容介绍两角差的余弦公式在解决复杂角度问题时的综合应用通过实例展示如何综合运用两角差的余弦公式解决实际问题11.3 教学方法使用实例引导学生综合运用两角差的余弦公式解决复杂角度问题通过练习题培养学生的综合应用能力11.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式综合应用的理解程度通过练习题评估学生的综合应用能力第十二章：两角差的余弦公式的逆用12.1 教学目标理解两角差的余弦公式可以进行逆用学会应用逆用后的两角差的余弦公式解决问题12.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的逆用方法通过实例展示如何应用逆用后的两角差的余弦公式解决问题12.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式的逆用方法通过练习题培养学生的应用能力12.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的逆用方法的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第十三章：两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用13.1 教学目标理解两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用学会应用两角差的余弦公式进行三角函数的变换13.2 教学内容介绍两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用方法通过实例展示如何应用两角差的余弦公式进行三角函数的变换13.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用方法通过练习题培养学生的应用能力13.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用程度通过练习题评估学生的应用能力第十四章：两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用14.1 教学目标理解两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用学会应用两角差的余弦公式解决工程和科学计算问题14.2 教学内容介绍两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用方法通过实例展示如何应用两角差的余弦公式解决工程和科学计算问题14.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用方法通过练习题培养学生的应用能力14.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用程度通过练习题评估学生的应用能力第十五章：总结与复习15.1 教学目标总结本节课所学的主要知识点巩固学生对两角差的余弦公式的理解和应用能力15.2 教学内容回顾本节课所学的两角差的余弦公式的概念、推导过程、应用和拓展通过练习题巩固学生的理解和应用能力15.3 教学方法使用练习题和讨论的方式巩固学生的理解和应用能力15.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的理解程度通过练习题评估学生的应用能力重点和难点解析重点：掌握两角差的余弦公式的概念、推导过程、应用方法和拓展内容。

两角和与差的余弦定理—教学设计【教学参考】

2、结构特点: ①CCSS ②+ -互换
3、公式的正用、逆用
五、作业书P106练习4,5,6
六、课后探究：
书P104利用两向量距离相等推导两角和与差的余弦公式。
例3
=
=-
=
变1:将转化
公式逆用、变用，加深对公式的记忆
通过变式1，变2要使学生明白公式逆用时前后角是同角
公式综合使用，要注意根据角的范围确定三角函数值的符号.
两角和与差的余弦定理—教学设计【教学参考】
个人教学设计模板：
个人教学设计
课题名称：两角和与差的余弦
姓名
工作单位
年级学科
高中数学
教材版本
苏教版
一、教学内容分析（简要说明课题来源、学习内容、知识结构图以及学习内容的重要性）
使学生了解用向量的方法推导两角差的余弦公式的过程，使学生掌握两角和与差的余弦公式，并能初步运用它们求三角函数值
教师活动
预设学生活动
设计意图
六、教学板书（本节课的教学板书）
如板书中含有特殊符号、图片等内容，为方便展示，可将板书以附件或图片形式上传。
教师活动
预设学生活动
设计意图
一、问题引入
问题1：已知点
设求
1.
引导学生从向量数量积的定义和坐标两个方向入手求数量积
二、数学建构
问题2：由问题1计算结果你能得到什么等式？
可以由夹角公式直接推导
二、数学建构
问题2：由问题1计算结果你能得到什么等式？
问题3：①上面等式对于任意角是否成立？
②若能对公式给出证明
问题4：在以上推导中
不满足向量夹角范围时，以上公式仍然成立吗？
2、
3、 =
证明：

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