现代控制理论课件状态空间与状态方程

现代控制理论
第二节 状态空间与状态方程
第二节 状态空间与状态方程
2.1 状态与状态空间 2.2 状态方程和输出方程 2.3 状态方程的导出
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第二节 状态ห้องสมุดไป่ตู้间与状态方程
2.1 状态与状态空间 2.2 状态方程和输出方程 2.3 状态方程的导出
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2.1 状态与状态空间
状态变量：构成系统状态的变量。
状态向量：若完全描述系统行为需要n个状态 变量 x1(t), x2 (t),...,xn (t)， 将其视为向量 X (t) 的分量，则向量 X (t) 称为状态向量，记为
x1(t)
u1(t) R1
,
i1 (t )
i2
(t
)
C1
du1 (t ) dt
i2
u1(t) u2 (t) R2
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2.1 状态与状态空间
若 u1(t),u2 (t),u(t) 已知，则 i1(t)和i2 (t) 确定，
故 u1(t)和u2 (t) 是一组状态。
n
l
xi (t) aij x j (t) bikuk (t)
j 1
k 1
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2.2 状态方程和输出方程
当A和B为常数矩阵时，称状态方程为定常的； 当其包含有时变元时，称之为时变的。
线性输出方程的标准形式为
Y t CX t Du t
X
(t)
1 C1
1 R1
1 R2
1
R2C2
1
R2C1 1
R2C2
X
(t
)
1
R1C1 0
u
(t
)
Y
(t)
1
R1 1
R2
0
1
1 R2
X
(t)
R1 0
u(t)
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2.1 状态与状态空间
X
(t)
1 C1
其中 Y Rm , C Rmn , D Rml
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2.2 状态方程和输出方程
非线性时变状态方程的一般表示为：
X (t) f (X ,u,t)
其第i行为
xi (t) fi (x1(t), x2 (t),...,xn (t);u1(t),u2 (t),...,ul (t);t)
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2.3 状态方程的导出
即
X
(t
)
x1 x2
(t )
(t)
0
k
m
1
0
h
X
(t)
1
f
(t)
m
m
令
0 1
0
A
k
h
,
B
1
m m
m
则
X (t) AX (t) Bf (t)
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2.1 状态与状态空间
例2
R1
R2
u
1 R1
1 R2
1
R2C2
A
1
R2C1 1
R2C2
X
(t
)
1
R1C1 0
B
u
(t
)
Y (t)
1
R1 1
R2
0
1 R2
C
X (t)
1
R1 0
u
(t
)
D
则
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X (t) AX (t) Bu(t) Y (t) CX (t) Du(t)
令
x1 x2
y β0u x1 β1u
y
β0u
β1u
(2)
x3 x2 β2u y β0u β1u β2u
其中待定系数 β0 , β1, β2的推导过程如下：
由(2)式有：
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y x1 β0u
y
x2
β0u
β1u
y x3 β0u β1u β2u
β0 β1
b0 b1
a1
β0
(5)
β2
b2
a1 β1
a2 β
β3 b3 a1 β2 a2 β1 a3 β0
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2.3 状态方程的导出
由此可得状态方程：
x1 x2
x2 x3
1u 2u
x3 x4 3u a1x3 a2 x2 a3x1 3u
运动方程 = 状态方程（1阶微分方程组）
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+输出方程（代数方程组）
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2.3 状态方程的导出
输出向量
u2 (t)
i2 (t)
有
du1 u u1 u1 u2
dt R1C1 R2C1
1 C1
1 R1
1 R2
u1
1 R2C1
u2
1 R1C1
u
du2 u1 u2 dt R2C2
1
1
R2C2 u1 R2C2 u2
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2.1 状态与状态空间
i1 C1
u1 i2 C2 u2
i2 (t)
C2
du2 dt
,
i1 (t
)
i2
(t)
C1
du1 dt
i1
u
u1 R1
,
i2
u1 u2 R2
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2.1 状态与状态空间
令
u1 (t ) X (t)
状态向量,
i1 (t ) Y (t)
若 u1(t),u1(t) u2 (t),u(t)已知，则i1(t)和i2 (t) 确定 故 u1(t)和u1(t) u2 (t)是一组状态。
……
？可否选取 i1和u1为状态。 (为什么？)
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2.1 状态与状态空间
对于一给定的系统，状态变量的选取不是唯 一的。
算法1：（一种能控标准型）
x1 0 1
x2
0
0
x3 a3 a2
y b2 b1 b0
0 x1 0
1
x2
0u
a1 x3 1
Why?
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2.3 状态方程的导出
y a1y a2 y a3 y b0u b1u b2u b3u (1) 算法2 ：
x2 (t) X (t)
xn (t)
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2.1 状态与状态空间
例1
f(t) k
y(t) h
m
如图所示的机械系统的运动方程为
m
d2 dt
y
2
f (t) ky(t) h dy dt
即
d2 y m dt 2
h dy dt
ky(t)
f (t)
非线性时变输出方程的一般形式为
Y t h(X ,U ,t)
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2.2 状态方程和输出方程
将状态方程和输出方程合称为运动方程。
线性系统的运动方程可写成：
X A B X Y C DU
简记为 (A, B,C, D), 当D = 0时，记为 (A, B,C)。
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2.1 状态与状态空间
在 u(t)(t [t0 ,))已知时，能唯一地确定系统 运动（或行为）的在时刻 t0 的初始信息，称为 该系统在 t0 时的状态。
状态： 在未来外部输入已知时，为完全描述系统 行为（或运动）所需的最小一组变量。
系统的行为由某一时刻的状态以及该时刻之后的外 部输入唯一地确定。
将状态向量全体所构成的集合称为状态空间。 当输入量有多个时，其构成的列向量称为输
入向量。 可量测的量（其为状态和输入的函数）所构
成的向量称为输出向量。
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2.1 状态与状态空间 2.2 状态方程和输出方程 2.3 状态方程的导出
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2.1 状态与状态空间
在古典控制理论中，用传递函数来描述系统
y G(s)u
这里假设系统的初始条件是零。
当系统的初始条件非零时，则需要外部输入
u(t)(t [t0,)) 和初始条件的信息，才能确定 系统的输出 y(t)(t [t0 ,))。
(3)
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2.3 状态方程的导出
引入中间变量 x4 x3 β3u 从而有 x4 y β0u β1u β2u β3u 即 y x4 β0u β1u β2u β3u
（4）
将(3)(4)代入式(1)，比较等号两边 u的同次幂的系数有：
x4 a1x3 a2 x2 a3x1 0
d2x dt 2
2
dx dt
x
u
2
du dt
以u为输入，x为输出，写出其运动方程。
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2.2 状态方程和输出方程
状态变量的一阶微分方程组称为状态方程。
线性状态方程的标准形式为：
X (t) AX (t) Bu(t)
其中 X (t) Rn, u(t) Rl , 状态矩阵A是n×n矩阵,输入 矩阵B是n×l 矩阵。
状态方程的第i行为
x1 0 1 0 x1 1
x2
0
0
1
x2
2
u
x3 a3 a2 a1 x3 3
x1
y 1
0
0
x2
0u
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x3
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第二节 状态空间与状态方程
2.1 状态空间与状态方程 2.2 状态方程和输出方程 2.3 状态方程的导出
x1(t) y(t) X (t)
x2 (t) y(t)
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2.1 状态与状态空间
例2 考虑图所示的RC 电路。 R1
u i1 C1
由电路原理，知
R2 u1 i2 C2 u2
i2 (t)
C2
du2 (t) dt
,
i1 (t )
u(t)
整理得 x1 x2 x3
x2 x3
x3 x1 x2 x3 u
令
X x1 x2 x3 T
则
0 1 1 0
X
0
0
1 X 0u
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1 1 1 1
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2.3 状态方程的导出
例4： y a1y a2 y a3 y b0u b1u b2u 其中y为输出， u为输入
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作业1
2.1 对于下图所示的RC网络，取u1和u2为状态，
ui 和uo分别为输入和输出，写出其运动方程。 u1
C1
ui
R1
R2
uo
C2 u2
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作业1
2.2 设一系统由如下微分方程描述：
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2.3 状态方程的导出
例3： 设一系统由如下微分方程组描述：
x1 x2 x2 x1 x2 x1 u
令
x3 x2
则
x1 x3 x2 x1 x3 x1 u
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2.3 状态方程的导出
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2.1 状态与状态空间
也可选取 u1和u1 u2 为状态，即令
u1(t)
X (t)
u1(t) u2 (t)
则
X
(t)
1 R1C1
1 R1C2
1 R2C1
1 R2
1 C1
1 C2
X
(t)
1
R1C1 1
R1C1
u(t)
注意：不能选取 i1和u1为状态。 (为什么？)
例1
f(t)
k
y(t) h
m
d2 y dy
m
dt 2
h dt
ky(t)
f (t)
x1(t) y(t) X (t)
x2 (t) y(t)
则
x1(t) y(t) x2 (t)
x2 (t)
y(t)
k m
x1(t)
h m
x2 (t)
1 m
f
(t)
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2.1 状态与状态空间
当 (1) f(t)(t t0) 给定;
(2) y(t) 和dy(t)/dt 在t0 时的值已知; 时，则上述常微分方程的解唯一地被确定。因此， 可以认为y(t) 和dy(t)/dt 是该系统的一组状态变量， 相应的状态向量为