浅谈几个著名的大数定律及应用
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
四种大数定律
四种大数定律导语：大数定律是概率论中的重要概念，它描述了在重复进行某个实验的过程中，随着实验次数的增加，实验结果会趋近于某个稳定值的现象。
本文将介绍四种常见的大数定律。
一、大数定律之弱大数定律弱大数定律，也称为大数定律的弱收敛形式，是概率论中最早被发现和证明的大数定律之一。
它指出，对于独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|<ε)=1，即随着样本容量的增加，样本均值趋近于总体均值。
例如，我们进行了n次掷硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据弱大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率将逐渐收敛于p。
二、大数定律之强大数定律强大数定律是大数定律中的一种更为强大的形式，也称为大数定律的强收敛形式。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值。
以赌场为例，假设我们进行了n次抛硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据强大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率几乎以概率1收敛于p。
三、大数定律之伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律中的一种特殊形式，适用于二项分布的随机变量序列。
它指出，对于独立同分布的伯努利试验序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的概率p存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-p|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值p。
以制造业为例，假设我们对某个产品进行了n次质量检测，不合格的概率为p。
根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，不合格品的比例几乎以概率1收敛于p。
四、大数定律之中心极限定理中心极限定理是大数定律中的一种重要形式，它描述了随机变量序列的和在一定条件下服从近似正态分布的现象。
数学史著名定理
数学著名定理阿蒂亚-辛格指标定理阿贝尔定理安达尔定理阿贝尔二项式定理阿贝尔曲线定理艾森斯坦定理奥尔定理阿基米德中点定理波尔查诺-魏尔施特拉斯定理巴拿赫-塔斯基悖论伯特兰-切比雪夫定理贝亚蒂定理贝叶斯定理博特周期性定理闭图像定理伯恩斯坦定理不动点定理布列安桑定理布朗定理贝祖定理博苏克-乌拉姆定理垂径定理陈氏定理采样定理迪尼定理等周定理代数基本定理多项式余数定理大数定律狄利克雷定理棣美弗定理棣美弗-拉普拉斯定理笛卡儿定理多项式定理笛沙格定理二项式定理富比尼定理范德瓦尔登定理费马大定理法图引理费马平方和定理法伊特-汤普森定理弗罗贝尼乌斯定理费马小定理凡·奥贝尔定理芬斯勒-哈德维格尔定理反函数定理费马多边形数定理格林公式鸽巢原理吉洪诺夫定理高斯-马尔可夫定理谷山-志村定理哥德尔完备性定理惯性定理哥德尔不完备定理广义正交定理古尔丁定理高斯散度定理古斯塔夫森定理共轭复根定理高斯-卢卡斯定理哥德巴赫-欧拉定理勾股定理格尔丰德-施奈德定理赫尔不兰特定理黑林格-特普利茨定理华勒斯-波埃伊-格维也纳定理霍普夫-里诺定理海涅-波莱尔定理亥姆霍兹定理赫尔德定理蝴蝶定理绝妙定理介值定理积分第一中值定理紧致性定理积分第二中值定理夹挤定理卷积定理极值定理基尔霍夫定理角平分线定理柯西定理克莱尼不动点定理康托尔定理柯西中值定理可靠性定理克莱姆法则柯西-利普希茨定理戡根定理康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理凯莱-哈密顿定理克纳斯特-塔斯基定理卡迈克尔定理柯西积分定理克罗内克尔定理克罗内克尔-韦伯定理卡诺定理零一律卢辛定理勒贝格控制收敛定理勒文海姆-斯科伦定理罗尔定理拉格朗日定理(群论) 拉格朗日中值定理拉姆齐定理拉克斯-米尔格拉姆定理黎曼映射定理吕利耶定理勒让德定理拉格朗日定理(数论) 勒贝格微分定理雷维收敛定理刘维尔定理六指数定理黎曼级数定理林德曼-魏尔斯特拉斯定理毛球定理莫雷角三分线定理迈尔斯定理米迪定理Myhill-Nerode定理马勒定理闵可夫斯基定理莫尔-马歇罗尼定理密克定理梅涅劳斯定理莫雷拉定理纳什嵌入定理拿破仑定理欧拉定理(数论)欧拉旋转定理欧几里德定理欧拉定理(几何学) 庞加莱-霍普夫定理皮克定理谱定理婆罗摩笈多定理帕斯卡定理帕普斯定理普罗斯定理皮卡定理切消定理齐肯多夫定理曲线基本定理四色定理算术基本定理斯坦纳-雷姆斯定理四顶点定理四平方和定理斯托克斯定理素数定理斯托尔兹-切萨罗定理Stone布尔代数表示定理Sun-Ni定理斯图尔特定理塞瓦定理射影定理泰勒斯定理同构基本定理泰勒中值定理泰勒公式Turán定理泰博定理图厄定理托勒密定理无限猴子定理威尔逊定理魏尔施特拉斯逼近定理微积分基本定理韦达定理维维亚尼定理五色定理韦伯定理西罗定理西姆松定理西尔维斯特-加莱定理线性代数基本定理线性同余定理有噪信道编码定理有限简单群分类演绎定理圆幂定理友谊定理因式定理隐函数定理有理根定理余弦定理中国剩余定理证明所有素数的倒数之和发散秩-零度定理祖暅原理中心极限定理中值定理詹姆斯定理最大流最小割定理主轴定理中线定理正切定理正弦定理数学著名定理阿蒂亚-辛格指标定理阿贝尔定理安达尔定理阿贝尔二项式定理阿贝尔曲线定理艾森斯坦定理奥尔定理阿基米德中点定理波尔查诺-魏尔施特拉斯定理巴拿赫-塔斯基悖论伯特兰-切比雪夫定理贝亚蒂定理贝叶斯定理博特周期性定理闭图像定理伯恩斯坦定理不动点定理布列安桑定理布朗定理贝祖定理博苏克-乌拉姆定理垂径定理陈氏定理采样定理迪尼定理等周定理代数基本定理多项式余数定理大数定律狄利克雷定理棣美弗定理棣美弗-拉普拉斯定理笛卡儿定理多项式定理笛沙格定理二项式定理富比尼定理范德瓦尔登定理费马大定理法图引理费马平方和定理法伊特-汤普森定理弗罗贝尼乌斯定理费马小定理凡·奥贝尔定理芬斯勒-哈德维格尔定理反函数定理费马多边形数定理格林公式鸽巢原理吉洪诺夫定理高斯-马尔可夫定理谷山-志村定理哥德尔完备性定理惯性定理哥德尔不完备定理广义正交定理古尔丁定理高斯散度定理古斯塔夫森定理共轭复根定理高斯-卢卡斯定理哥德巴赫-欧拉定理勾股定理格尔丰德-施奈德定理赫尔不兰特定理黑林格-特普利茨定理华勒斯-波埃伊-格维也纳定理霍普夫-里诺定理海涅-波莱尔定理亥姆霍兹定理赫尔德定理蝴蝶定理绝妙定理介值定理积分第一中值定理紧致性定理积分第二中值定理夹挤定理卷积定理极值定理基尔霍夫定理角平分线定理柯西定理克莱尼不动点定理康托尔定理柯西中值定理可靠性定理克莱姆法则柯西-利普希茨定理戡根定理康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理凯莱-哈密顿定理克纳斯特-塔斯基定理卡迈克尔定理柯西积分定理克罗内克尔定理克罗内克尔-韦伯定理卡诺定理零一律卢辛定理勒贝格控制收敛定理勒文海姆-斯科伦定理罗尔定理拉格朗日定理(群论)拉格朗日中值定理拉姆齐定理拉克斯-米尔格拉姆定理黎曼映射定理吕利耶定理勒让德定理拉格朗日定理(数论)勒贝格微分定理雷维收敛定理刘维尔定理六指数定理黎曼级数定理林德曼-魏尔斯特拉斯定理毛球定理莫雷角三分线定理迈尔斯定理米迪定理Myhill-Nerode定理马勒定理闵可夫斯基定理莫尔-马歇罗尼定理密克定理梅涅劳斯定理莫雷拉定理纳什嵌入定理拿破仑定理欧拉定理(数论)欧拉旋转定理欧几里德定理欧拉定理(几何学) 庞加莱-霍普夫定理皮克定理谱定理婆罗摩笈多定理帕斯卡定理帕普斯定理普罗斯定理皮卡定理切消定理齐肯多夫定理曲线基本定理四色定理算术基本定理斯坦纳-雷姆斯定理四顶点定理四平方和定理斯托克斯定理素数定理斯托尔兹-切萨罗定理Stone布尔代数表示定理Sun-Ni定理斯图尔特定理塞瓦定理射影定理泰勒斯定理同构基本定理泰勒中值定理泰勒公式Turán定理泰博定理图厄定理托勒密定理无限猴子定理威尔逊定理魏尔施特拉斯逼近定理微积分基本定理韦达定理维维亚尼定理五色定理韦伯定理西罗定理西姆松定理西尔维斯特-加莱定理线性代数基本定理线性同余定理有噪信道编码定理有限简单群分类演绎定理圆幂定理友谊定理因式定理隐函数定理有理根定理余弦定理中国剩余定理证明所有素数的倒数之和发散秩-零度定理祖暅原理中心极限定理中值定理詹姆斯定理最大流最小割定理主轴定理中线定理正切定理正弦定理。
大数法则及其应用
大数法则何以形成，我们以排队为例。我们在超市购物，形成队伍的因素往往是偶然的，但只要是加入该队伍的人数达到一定数量，个别人如果要形成排队行为讯号是什么，一旦建立的队伍，就会从这个现存的队伍本身导出一套排队的规则，或者透过那些发挥非正式的’管理者职能’的排队者的指示，而使其他人获悉此一规则。”[15]并且，有一些人会基于自身利益的维护而自动充当起了维持大数队伍秩序的角色，并且这种角色仅仅因为人数较多就轻易地获得了正当性和有效性。而那些想插队或者想另辟蹊径的人基于多数人的心理压力往往只能选择跟从，并且随着跟从的人数越来越多，队伍的稳定性也就越来越强。当然，如果破坏队伍的人数达到一定数量并成为一种多数人的行为时，原本的多数法则就不再是大数法则了，或者说一种新的大数法则替代了原来的大数法则。 再以交通规则形成为例，人们在行车时都有约定：或者都靠道路的左侧行驶，或者都沿沿右边行进。虽然，这种约定现在看来是以法律的形式确立的，但这样的法律无非是给予早已存在的社会规范以正式地位而已。[16]这种规范最初是如何形成的呢？比如，沿着一条过道向相反方向行走的许多人会趋向于自行组织起来，形成两股方向相反的人流，由是为了避开相撞而迂回地行动。这种分行通道的形成是自动出现的，但哪条通道向什么方向通行却纯属偶然。[17]而一旦形成，想通行的人则只能加入既定的人流中。在各国道路交通规则的例子中，有两种可能的习俗：向左驶和向右驶。他们在每个人看来都是同样的好。英国司机靠左行驶而不是靠右，这是任意的历史事件，和不公平无关。[18]只要能保证足够的人数遵从，那么，少数人就只能按照多数人选择的方向行驶，否则就违反了大数法则而被制度所否定。在交通行动中，向左行还是向右行原本与道德无关，但一旦形成为某一方向的大数法则，那么，与大数法则相反的行动就构成了不道德的行为，道德的评价与人数的多寡在这里发生了勾连。因此，一个人的行为之所以不道德在很大程度上是源于其行为者在人数上的少，而不是源于其在动机上的恶。 从上述例子，我们发现，大数法则的形成与人们之间的相互模仿的社会关系有关。人是社会性的动物，必然要与他人发生关系。“社会关系’这个概念的基本特征，就在于行动者和他人间存在着最低限度的相互关联。”[19]这种相互关联是建立在彼此信任的基础之上。信任是社会交往的前提，是社会内聚的粘合剂，否则人类生活与动物生活无异，因此，信任与合作对于人类物种的延续具有进化的作用。信任与合作的天性首先发生在家庭成员之间。家庭成员之间普遍存在着互惠关系和信任关系，这是一个无需证明的先定的生物性事实。但是，当陌生人成功地摹仿了我们的亲人或朋友的行为时，我们就将这种信任与互惠关系延及到了陌生人。[20]于是，与陌生人之间的交往也由是开始，社会关系得以展开，人类社会得以形成并延续。人类得之于上帝的模仿天性催生了人类行为彼此的相似性、稳定性与连续性。 模仿是人类文化主要的传播方式。[21]模仿意味着服从对方或表达尊敬之意，[22]目的是为了取得对方的信任并希望被对方接纳，以融入对方的群体之中。所谓入乡随俗、到什么山上唱什么歌，从而形成了群体成员行为的相似性，这种相似性为个体之间彼此的行为提供了可资预测的根据。这种模仿不只是发生于小孩对大人世界的行为规则的模仿，也经常发生在个体与群体的关系上。模仿是一种简便易行且非常实用的交际方式。如果其他人已经全体一致采取了共同的决定，那么，个体可能会忽略自己的观点，别人怎么做就跟着怎么做。这并不是说跟着别人做的人是一个没有主见的人，而是因为别人的行为毕竟是一个非常有用的可以参考的信息来源。别人怎么说就怎么做总是比自己劳心费神琢磨出来的办法简便得多，有用得多。[23]因为每一个人都是一个经验主义者，对于未来的预测，经验总比理性在人们的心理上感觉更为可靠。此外，部分原因也还因为如果大家有错，也是有很多人的错，个人因继续犯错而受到的社会压力和道德压力也因为人数的众多而趋于减弱。并且有时，如果违背群体意识认可的规则还需要具备很大的勇气。当然模仿也可能发生在个体与权威者的关系上，当权威者的行为被大数人所模仿时，群体行为的大数法则便已形成。而一旦形成群体行为的大数法则，个体屈于群体意识的压力，自觉不自觉地选择遵从，甚至是盲从。因为在群体中，具备强大的个性足以抵制那种集体意识暗示的个人几乎没有。[24]因此，在强大的群体意识的支配下，自觉的个性往往消失。这也就可以解释，现实生活中有很多陈规陋俗，比如农村习俗中的婚礼，虽然从理性上判断并无太多的道理，但仅仅因为是群体意识所强烈支持的大数法则，那么后代就会自觉与不自觉地模仿和沿袭，因而也就具有着极强的生命力。在群体意识的支配下，人类模仿的天性有效地保证了大数法则的历史延续性。 人类生活是一个集体生活，任何人都无可逃避。生活是不能选择自己的世界的，它从一开始就只能在一个既定的、无法改变的世界中发现自己。在集体生活中，对集体生活的有效形式进行选择和决定，根源于在社会中占统治地位的大众人。[25]对团体生活有害的东西往往作为禁忌规则来要求个体予以抵制，因而大多数人的生活习性与生活规则对集体生活中的个体构成了压倒性的影响。因此，人的意识反映出来的往往首先是团体意识而不是个体意识。在这样的群体社会里，人类的整体性往往作为神秘的力量而为人们所意识并为人们所坚持，这是不需要更多理性考虑的。整体意识对个人行为的要求是不需要理由的，它本身就已经构成了对个体意识的要求甚至是压迫，个体意识只能寻求与整体意识的一致才可以被团体所接受。对制度经济学颇有研究的康芒斯认为，大家所共有的原则或多或少是个体行动受集体行动的控制，因此，制度可以解释为集体行动对个人行动的一种控制。[26]习俗就是这样一种社会强制，是那些同样感觉和同样行动的人的集体意见对个人的强制。[27]多数人坚持的制度与习俗就是大数法则的载体。 现代社会是典型的陌生人社会。在陌生人社会里，陌生人之间如何能发生信任与合作的关系取决于陌生人是否会根据我们日常生活经验中归纳出来的大数法则而行动。换言之，人们是根据大数法则来对陌生人的可能行为作出预测的。大数法则可以使人们生活得简单而有序，它在人际关系中提供了成本最小化的约束机制。为了确保合作的不成为不道德的侵略者的“猎物”，霍布斯主义者认为，在一个共同体中道德行为必须成为一个约定俗成的规范，以致每个人都能期待：如果他合作地行动，其他人也会同样行动，反之亦然。这些约定（习俗）组成了一个社会的道德制度。[28]当这种约定为多数人所遵循时，就构成了多数法则的内容。商业法律的产生就是源于商人们基于彼此交易的需要而自发形成的，而对于那些不守老规矩、违反条例规定的商人惟一和最终的惩治措施就是所有的商人都不再与其进行任何交易，因而，商人之间的规则在多数商人的有效执行下得以延续并完善。当然，人们之所以采纳某些规则，是因为每个人都会从别人按照某些规则行事中那里得到好处。[29]这也是商业法律能够得到普遍遵守而成为大数法则的原因之一。
大数定理详解（转载）
⼤数定理详解（转载）注：此⽂出处来⾃/s/blog_5ecbb4950101kzhu.html1、⼤数法则⼀位数学家调查发现，欧洲各地男婴与⼥婴的出⽣⽐例是22:21，只有巴黎是25:24，这极⼩的差别使他决⼼去查个究竟。
最后发现，当时的巴黎的风尚是重⼥轻男，有些⼈会丢弃⽣下的男婴，经过⼀番修正后，依然是22:21。
中国的历次⼈⼝普查的结果也是22:21。
⼈⼝⽐例所体现的，就是⼤数法则。
⼤数法则（Lawoflargenumbers）⼜称“⼤数定律”或“平均法则”。
在随机事件的⼤量重复出现中，往往呈现⼏乎必然的规律，这类规律就是⼤数法则。
在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的概率近似于它的概率。
⼤数法则反映了这世界的⼀个基本规律：在⼀个包含众多个体的⼤群体中，由于偶然性⽽产⽣的个体差异，着眼在⼀个个的个体上看，是杂乱⽆章、毫⽆规律、难于预测的。
但由于⼤数法则的作⽤，整个群体却能呈现某种稳定的形态。
花瓶是由分⼦组成，每个分⼦都不规律地剧烈震动。
你可曾见过⼀只放在桌⼦上的花瓶，突然⾃⼰跳起来？电流是由电⼦运动形成的，每个电⼦的⾏为杂乱⽽不可预测，但整体看呈现⼀个稳定的电流强度。
⼀个封闭容器中的⽓体，它包含⼤量的分⼦，它们各⾃在每时每刻的位置、速度和⽅向，都以⼀种偶然的⽅式在变化着，但容器中的⽓体仍能保有⼀个稳定的压⼒和温度。
某个⼈乘飞机遇难，概率不可预料，对于他个⼈来说，飞机失事具有随机性。
但是对每年100万⼈次所有乘机者⽽⾔，这⾥的100万⼈可以理解这100万次的重复试验，其中，总有10⼈死于飞⾏事故。
那么根据⼤数法则，乘飞机出事故的概率⼤约为⼗万分之⼀。
这就为保险公司收取保险费提供了理论依据。
对个⼈来说，出险是不确定的，对保险公司来说，众多的保单出险的概率是确定的。
根据⼤数法则的定律，承保危险的单位越多，损失概率的偏差越⼩，反之，承保危险的单位越少，损失概率的偏差越⼤。
因此，保险公司运⽤⼤数法则就可以⽐较精确地预测危险，合理保险费率。
概率论大数定律及其应用
概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者：信计1301班王彩云130350119摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。
本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。
偶然之中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。
这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。
深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。
概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。
然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。
大数定律及
大数定律及
大数定律是数学和经济学中一个重要的概念，又称极限定理，它发现地仅仅是
一堆数据的偏差之和会随着样本量的增加而根据它的定义趋于0。
大数定律是关于
概率的一般结果，最早是由拉格朗日概率论推导出来的，旨在证明随着样本容量的增加，平均值将非常接近总体的均值，即偏差的和将会无限趋近于0。
大数定律的发现极大的改变了数学家们理解和量化概率的方式，它也被用于证
明其他许多结果，其中包括中心极限定理，贝叶斯不确定原理，Kolmogorov统计
不确定性等等。
大数定律更加广泛的应用莫过于经济学了，它的应用出现在许多经济学家的研究中，典型的应用例子包括卡尔曼滤波器，蒙特卡洛模拟，决策分析，利率测量，风险管理，市场价格模型构建以及货币经济学等等。
大数定律对研究人员有着重要的意义，因为它确保在实践中遵循它们所估计的，预期的结果。
大数定律也有助于理解概率分配的细节，以及它们可能如何在实践中变化。
然而，虽然大数定律可以应用于复杂的概率和经济学，但它的结果通常有许多细节，因此可能无法适用于某些特定的系统。
因此，在实施大数定律之前，应当对所研究的系统做更细致的分析，以确定它是否符合大数定律的依据。
最后，大数定律是一个概念非常普遍和重要的数学理论，它在证明多种经典概
率理论中扮演着重要的角色，同时，它也对经济学和决策分析有着重要的应用，因此，我们有必要深入了解它，结合有事实研究它的适用性，以有效地运用大数定律。
三个大数定律之间的关系
三个大数定律之间的关系
三个大数定律指的是大数定律、中心极限定理和大偏差理论。
它们之间的关系可以用以下方式总结：
1. 大数定律是基础。
大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列，随着样本容量的增大，样本平均值趋近于总体均值。
大数定律是统计学的基础定理，它为后面的中心极限定理和大偏差理论提供了理论基础。
2. 中心极限定理是应用广泛。
中心极限定理指出，对于随机变量的和或平均值，当样本容量足够大时，它们的分布趋近于正态分布。
中心极限定理的应用范围非常广泛，如在财务、经济、医学等领域中的抽样调查中，可以用来检验假设，作出决策和预测。
3. 大偏差理论是极限极限理论。
大偏差理论指出，在大样本容量情况下，极端事件的概率非常小，但是不为零。
大偏差理论是极限理论的一种，它在实际应用中可以用来估计极端事件的概率，帮助决策者进行风险控制和管理。
其实在大数定律和中心极限定理的背景下，大偏差理论主要是微观性质的，也即是对一些统计量随机变化范围的描述，可以供一些极端情况的评估。
总的来说，大数定律、中心极限定理和大偏差理论是统计学的三大重要定律，它们之间虽有相互独立的地方，但又相互依存、相互补充。
无论是理论分析还是实
际应用，都需要三个定律相互配合，共同构建统计学的理论体系。
概率论中的大数定律
概率论中的大数定律是指在一系列独立重复试验中，随着试验次数的增加，所得到的结果趋近于某个确定值的规律。
在概率论的发展过程中，大数定律是一项重要的理论成果，对于统计学和应用数学等领域有着深远的影响。
大数定律的核心思想是，虽然单次试验的结果是随机的，但当试验次数足够多时，随机性的影响将逐渐减小，最终会趋于一个固定的数值。
这个固定值被称为随机变量或概率的数学期望。
大数定律不仅能够解释频率的概念，还可以用来估计事件发生的可能性。
最著名的大数定律有大数定律（弱大数定律）和中心极限定理。
在概率论的早期研究中，人们发现了很多有关大数定律的理论结果，但直到18世纪才取得了突破性的进展。
1733年，瑞士数学家马可夫尼(Marquis de Laplace)发表了一篇名为《Probalite des Causes》的论文，其中提出了频率的概念，并且证明了大数定律的一个特例。
弱大数定律表明，对于任意小的正数ε，当试验次数足够多时，随机变量X与其数学期望的差值小于ε的概率趋于1。
这意味着在长时间的观察中，试验结果将趋于某个确定的值。
然而，弱大数定律并不能给出统计平均值的具体值，只能给出其取值接近真实数值的概率。
中心极限定理则更加深入地研究了大数定律。
它指出，当试验次数足够多时，大量独立试验的和会近似服从正态分布。
这一定理的发现，不仅解决了大数定律无法给出具体数值的问题，还为统计学的发展提供了理论依据。
中心极限定理的应用广泛，例如在抽样调查中，通过对样本进行观察和测量，可以推断出总体的特征。
概率论中的大数定律不仅在理论研究中具有重要意义，还在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在金融领域中，大数定律可以用来解释投资风险和收益的关系，以及对未来市场趋势的预测。
在工程设计中，大数定律可以用来评估系统的可靠性和稳定性。
在医学研究中，大数定律可以用来解释疾病的发病率和治疗效果的统计规律。
总之，概率论中的大数定律是一项重要的理论成果，揭示了随机试验结果的规律性。
三个大数定律之间的关系
三个大数定律之间的关系标题：三个大数定律之间的关系与应用概述：在概率论和统计学中，三个大数定律（大数定律、大数法则、大数定理）被广泛应用于分析和预测各种现象。
尽管它们各自描述了不同的现象，但在许多情况下，这些定律之间存在着密切的关系。
本文将深入探讨大数定律、弱大数定理和中心极限定理之间的联系，并通过实例展示它们在现实生活中的应用。
一、大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是概率论的基本定律之一，描述了在重复实验中，当试验次数无限增加时，样本的平均值趋近于真实概率的稳定值。
具体而言，根据大数定律，如果随机变量X的均值存在且有限，那么对于任意给定的正小数ε，有：P(|(X1+X2+...+Xn)/n - E(X)| ≤ ε) → 1 (n → ∞)大数定律说明在样本规模足够大的情况下，平均值的波动将逐渐减小，趋于一个确定的值，并且该值接近于总体的均值。
二、弱大数定理（Weak Law of Large Numbers）弱大数定理是大数定律的一种特殊情况，它给出了样本均值逐渐趋近于总体均值的概率上界。
弱大数定理指出，对于一个具有有限方差的独立同分布随机变量序列X1, X2, ..., Xn，样本均值X_bar与总体均值μ之间的差异可以用数学概率表示：lim(n → ∞) P(|X_bar - μ| > ε) = 0弱大数定理表明，样本均值与总体均值的差异随着样本规模的增加而逐渐减小，但它并未指明样本均值会无限逼近总体均值。
三、中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是统计学中最重要和广泛应用的定理之一。
它指出，当独立同分布的随机变量X1, X2, ..., Xn满足一定条件时，它们的和或平均值的分布将趋于一个正态分布，即使原始分布不是正态分布。
具体而言，中心极限定理表明：lim(n → ∞) P((X1+X2+...+Xn - nμ)/sqrt(nσ^2) ≤ x) = Φ(x)其中，μ和σ分别为随机变量Xi的均值和标准差，Φ(x)是标准正态分布的累积分布函数。
概率论大数定律及其应用
概率论大数定律及其应用(总17页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者：信计1301班王彩云 130350119摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。
本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。
偶然之中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。
这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。
深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问题。
概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。
三个大数定律的条件和结论
三个大数定律的条件和结论【正文】1. 引言在概率论和统计学中，大数定律是一组关于随机变量的定理，描述了随着样本数量的增加，样本平均值趋近于总体平均值的现象。
在这篇文章中，我们将讨论三个重要的大数定律：弱大数定律、强大数定律和中心极限定理。
我们将深入探讨每个定律的条件和结论，以帮助您更全面地理解这些定律在实际中的应用。
2. 弱大数定律弱大数定律（也称为大数法则）是大数定律中最基本的一条。
它规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值趋近于它们的期望值。
如果我们有一组独立同分布的随机变量X1，X2，X3，...，Xn，并且它们的期望值为E(X)，那么随着n的增加，这些随机变量的算术平均值（即样本平均值）X̄将以概率1趋近于E(X)。
3. 弱大数定律的条件和结论要应用弱大数定律，我们需要满足以下两个条件：3.1 独立性：随机变量Xi之间必须是相互独立的，即一个变量的取值对其他变量的取值没有影响。
3.2 同分布性：随机变量Xi必须是相同分布的，即它们具有相同的概率密度函数或累积分布函数。
在满足以上两个条件的情况下，弱大数定律可以得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄趋近于期望值E(X)。
4. 强大数定律除了弱大数定律，我们还有一个更强的定律，即强大数定律。
强大数定律规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值几乎以概率1收敛于它们的期望值。
这意味着样本平均值几乎总是接近于总体平均值。
5. 强大数定律的条件和结论强大数定律相对于弱大数定律，对条件有更严格的要求。
5.1 独立同分布：和弱大数定律一样，随机变量Xi之间必须是相互独立的，并且具有相同的分布。
5.2 方差条件：随机变量的方差必须有限。
这意味着方差不能趋近于无穷大。
在满足以上两个条件的情况下，强大数定律得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄几乎以概率1趋近于期望值E(X)。
6. 中心极限定理中心极限定理是大数定律中最重要的定理之一。
概率论中的大数定理及应用
概率论中的大数定理及应用概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件发生的规律和概率分布。
大数定理是概率论中的基本理论之一，用来描述随机事件的长期平均性质。
本文将简要介绍大数定理的基本原理，并阐述其在实际应用中的重要性。
一、大数定理的基本原理大数定理是概率论中的一组定理，主要描述了当随机事件重复进行多次时，其平均结果逐渐逼近其期望值的现象。
大数定理可以分为弱大数定理和强大数定理两种形式。
1. 弱大数定理弱大数定理也叫伯努利大数定理，是大数定理的一种弱形式。
它指出，对于一系列相互独立的随机变量，它们的算术平均值当样本量趋近于无穷大时，接近于其期望值。
简单来说，弱大数定理表明随着试验次数的增加，事件产生的频率将逐渐接近其概率。
2. 强大数定理强大数定理也叫辛钦大数定理，是大数定理的一种强形式。
它指出，对于一系列相互独立同分布的随机变量，它们的算术平均值当样本量趋近于无穷大时，几乎必然收敛于其期望值。
强大数定理更加严格，要求样本之间不仅是独立的，还要具有同分布的性质。
二、大数定理的应用大数定理在实际应用中具有广泛的意义，涉及到多个领域。
1. 统计学在统计学中，大数定理为我们提供了从有限样本中推断总体性质的理论基础。
通过采样和测量，我们可以利用大数定理来估计总体参数，并评估估计的准确性。
例如，在民意调查中，通过抽取一定数量的样本进行调查，利用大数定理可以推断出全体人口的某一属性的概率。
2. 金融学在金融学中，大数定理被广泛应用于风险管理和投资决策。
通过收集大量的历史数据，可以利用大数定理计算出某种金融工具的预期收益和风险。
基于大数定理，投资者可以对市场行为进行合理预期，从而更好地进行投资决策。
3. 信号处理在信号处理领域，大数定理用于解决噪声问题。
通过多次观测同一信号，并对观测结果进行平均处理，可以去除随机噪声的影响，提取出真实信号。
大数定理保证了平均处理的结果逐渐趋近于真实信号，从而提高了信号处理的准确性和稳定性。
大数定律举例说明
大数定律举例说明大数定律是概率论中的一个重要定律，它描述了在独立重复试验中，随着试验次数的增加，相对频率会趋近于概率的现象。
下面将以不同领域的例子来说明大数定律的应用。
1. 股票市场假设某只股票的涨跌情况是独立的，每天都有50%的概率上涨，50%的概率下跌。
根据大数定律，当我们观察的时间足够长时，股票的涨跌幅度的相对频率会趋近于50%。
这意味着长期来看，股票市场是随机的，我们不能凭借短期的涨跌来预测未来的走势。
2. 投掷硬币假设我们用一个均匀的硬币投掷，每次投掷的结果是独立的，有50%的概率正面朝上，50%的概率反面朝上。
根据大数定律，当我们进行足够多次的投掷时，正面和反面出现的频率会趋近于50%。
这意味着长期来看，投掷硬币的结果是随机的，无法通过短期的观察来预测未来的结果。
3. 人口统计在一座城市中，某种疾病的发病率是1%，每个人是否患病是独立的。
根据大数定律，当我们观察的人口数量足够大时，患病的人数与总人口的比例会趋近于1%。
这意味着长期来看，我们可以通过大量观察来估计整个城市的疾病发病率。
4. 调查统计在进行民意调查时，要保证样本的代表性和随机性，以确保结果的准确性。
根据大数定律，当我们的样本足够大时，调查结果与整个群体的比例会趋近于相同。
这意味着我们可以通过对足够多的人进行调查来推断整个群体的态度或看法。
5. 游戏概率在一款赌博游戏中，每次玩家有50%的概率赢得游戏，50%的概率输掉游戏。
根据大数定律，当玩家进行足够多次游戏时，赢得游戏的频率会趋近于50%。
这意味着长期来看，玩家不能通过短期的结果来预测游戏的胜负。
6. 网络广告点击率在互联网广告中，点击率是衡量广告效果的重要指标。
假设某个广告的点击率是1%，每次点击是独立的。
根据大数定律，当广告被展示的次数足够多时，点击率会趋近于1%。
这意味着我们可以通过大量的广告展示来估计广告的点击率。
7. 随机抽样在进行统计调查时，为了保证结果的准确性，需要进行随机抽样。
概率论中的大数定律与中心极限定理的应用
概率论中的大数定律与中心极限定理的应用概率论是一门研究随机事件发生规律的学问，其定理与应用广泛应用于统计学、金融学、生产管理、人工智能等领域。
在概率论中，大数定律和中心极限定理是最为基础和重要的定理之一，它们有着广泛的应用和深远的影响。
一、大数定律大数定律是指在某一条件下，重复试验的结果越多，这些结果统计平均后越趋近于一个确定的值。
大数定律可以帮助我们理解并预测某些随机事件的出现概率，从而制定更好的决策。
例如，翻硬币的结果是正面朝上还是反面朝上，这是一个具有随机性的试验。
用大数定律来解释，如果连续翻硬币1000次，正面朝上的次数大约为500次。
但是，如果连续翻硬币10000次，正面朝上的次数就会非常接近5000次。
这是因为随着试验次数的增加，正反两面朝上的出现概率逐渐趋近于50%，从而平均值逐渐稳定。
大数定律还可以应用于金融和经济领域。
在股票市场中，如果一个股票在长期内表现良好，那么其价值也会随着时间的增加而逐步稳定。
这就可以用大数定律来解释：由于牛市和熊市等因素的干扰，每日的股票价格可能会有波动，但随着时间的增加，这些波动相互抵消，从而使得该股票的总体价格与预期价值趋向于一致。
二、中心极限定理中心极限定理是指，如果连续进行多次随机试验，独立的结果会呈现出一种特殊的分布规律——正态分布。
正态分布有着明确的数学规律，可以通过概率计算和模型预测来描述和解释随机事件的统计特征。
例如，某一工厂每天生产的零件数量是不确定的，但是我们可以假设每种零件的生产概率分布相同，并应用中心极限定理来描述其总体分布规律。
在经过大量试验之后，我们可以发现，当零件数量充分大时，每天的生产总量的分布大致呈现出正态分布的特征，其中大部分零件的生产数量集中在平均值周围。
我们可以用这种分布规律来制定生产管理策略，从而提高生产效率和质量。
中心极限定理还可以应用于汇率和金融市场的预测。
在汇率市场中，每日的汇率涨跌幅度往往是不确定的，但是我们可以通过历史交易数据来计算总体波动率，并利用中心极限定理来预测未来一段时间内的汇率波动规律。
几个著名大数定理
几个著名大数定理大数定理是数理统计学的重要基础，用于解释实际生活中的现象。
这一理论在数学家费马的著名著作《费马小定理》中就有提及。
大数定理有很多，这里将介绍几个最重要的定理，它们都有自己独特的数学意义，具有重要的现实意义。
第一个大数定理是极限定理。
这一定理指出，如果一个随机变量在无限次重复的实验中的均值趋于某一数，那么这一数就是期望值。
极限定理的最重要的意义在于，直接提供了一个可靠的概率模型，可以用来预测在一定时间内某种事件发生的可能性。
第二个大数定理是中心极限定理。
这是一个解释为什么变量的均值会随着样本量的增加而变得越来越接近正态分布的理论，也就是著名的正态分布定理。
中心极限定理是统计学中最重要的定理之一，它为统计预测提供了可靠的基础。
第三个大数定理是拉格朗日中心极限定理。
它是拉格朗日在1713年发表的一篇文章，指出在无限次简单随机实验中，随机变量均值会趋于一定的值。
它是中心极限定理的一个泛化，又称为拉格朗日自由度定理。
第四个大数定理是伯努利定理。
这是一个关于概率的定理，它认为，如果对同一种事件进行n次实验，其中k次结果为A，则结果A的概率 = k/n。
伯努利定理是一个重要的统计定理，绝大多数可以描述不同的概率分布的定理都可以归结为伯努利定理。
最后一个大数定理是费马小定理。
费马小定理是1796年由费马提出的，它指出，如果一个大于1的整数可以表示为一个乘积形式，那么它必然有一个非1因子是一个质数，而且它一定可以分解成费马乘积。
费马小定理可以用来确定两个数字之间的关系，是高等数学中一个非常重要的定理。
回顾以上几个定理，可以看出它们各自具有特定的数学意义和应用，它们都是概率模型的重要基石，对将来的研究和应用都有着重要的意义。
它们的研究为数学家和统计学家打开了新的思路，有助于更好地理解实际问题，进而更有效地解决实际问题。
浅谈几个著名的大数定律及应用
浅谈⼏个著名的⼤数定律及应⽤2010.No34 4摘要⼤数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性，是随机现象统计规律性的具体表现，本⽂介绍了⼏种常⽤的⼤数定律，并给出⼀些简单应⽤。
关键词⼤数定律随机变量数学期望概率1 引⾔“⼤数定律”本来是⼀个数学概念，⼜叫做“平均法则”。
在随机事件的⼤量重复出现中，往往呈现⼏乎必然的规律，这个规律就是⼤数定律，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。
⽐如，我们向上抛⼀枚硬币，硬币落下后哪⼀⾯朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数⾜够多时，达到上万次甚⾄⼏⼗万⼏百万次之后，我们就会发现，硬币向上的次数约占总次数的⼆分之⼀。
偶然中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：⼀个事件发⽣的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近．⼈们在实践中观察其他⼀些随机现象时，也常常会发现⼤量随机个体的平均效果的稳定性。
这就是说，⽆论个别随机个体以及它们在试验进⾏过程中的个别特征如何，⼤量随机个体的平均效果与每⼀个体的特征⽆关，且不再是随机的深⼊考虑后，⼈们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是⼤数要研究的问题。
2 ⼏个⼤数定律在介绍⼤数定律之前，先介绍⼏个相关定义。
定义1[1]设ξn (n=1,2,……)为概率空间(Ω,F,P)上定义的随机变量序列（简称随机序列），若存在随机变数ξ，使对任意ε>0，恒有：则称随机序列依概率收敛于随机变量ξ（ξ也可以是⼀个常数），并⽤下⾯的符号表⽰：定义2[2]设为⼀随机序列，数学期望E（ξn ）存在，令，若，则称随机序列服从⼤数定律，或者说⼤数法则成⽴。
切⽐雪夫不等式设随机变量X的数学期望E（X）与⽅差D（X）存在，则对于任意正数ε，不等式都成⽴。
不等式(1)和(2)称为切⽐雪夫不等式。
切⽐雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下，只利⽤J的数学期望和⽅差即可对J的概率分布进⾏估值的⽅法，这就是切⽐雪夫不等式的重要性所在。
马尔科夫大数定律
马尔科夫大数定律引言马尔科夫大数定律是概率论中的一个重要定律，它描述了随机事件的频率趋于其概率的稳定现象。
这个定律对于很多领域都有着广泛的应用，如统计学、经济学、工程学等。
本文将详细介绍马尔科夫大数定律的定义、推导过程以及相关应用。
定义马尔科夫大数定律是指对于一个满足马尔科夫性质的随机过程，其状态的频率会以个别事件的概率为极限而稳定。
简单来说，马尔科夫大数定律解释了在大量重复独立试验中，某一事件发生的频率会接近其概率。
证明过程马尔科夫大数定律的证明需要借助极限定理，其中最著名的是切比雪夫大数定理和伯努利大数定理。
这里我们以伯努利大数定理为例，证明马尔科夫大数定律。
1. 伯努利大数定理设有一系列相互独立的重复实验，每次实验中事件A发生的概率为p（0<p<1），实验次数为n。
令X表示事件A在n次实验中发生的次数，那么对于任意正数ε，有： P(|X/n - p| < ε) 随着n的增大而趋于1。
2. 马尔科夫大数定律的推导设有一系列独立的马尔科夫链状态转移，每次转移中事件A发生的概率为p（0<p<1），转移次数为n。
令X表示事件A在n次转移中发生的次数，那么对于任意正数ε，有： P(|X/n - p| < ε) 随着n的增大而趋于1。
我们可以看出，马尔科夫大数定律的推导过程与伯努利大数定理非常相似。
这是因为马尔科夫链的状态转移满足独立性的性质，所以可以用类似的证明方法得到马尔科夫大数定律。
应用领域马尔科夫大数定律在很多领域都有广泛的应用，下面我们将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 统计学在统计学中，马尔科夫大数定律被用于解释样本均值的稳定性。
根据大数定律，随着样本量的增大，样本均值会趋于总体均值。
这个定律在统计推断和假设检验中起着重要的理论基础作用。
2. 经济学在经济学中，马尔科夫大数定律被用于分析经济数据序列的长期平稳性。
例如，通过分析商品价格的时间序列数据，可以评估价格的长期趋势和波动性，为经济政策制定提供参考依据。
切比雪夫大数定理
切比雪夫大数定理数学上有一个定律，又称马尔可夫大数定律。
它的内容是：任何大于零的偶数都能被写成两个素数之和，并且这两个素数相差一。
它常被用来表示很难用计算的随机性现象，例如：切比雪夫大数定理：1、同义词不同(1)辛钦大数定律：就是说，每一个不小于1的自然数，都能写成不小于它本身的两个素数的乘积。
(2)切比雪夫大数定律：它反映了自然数与非零整数的依存关系。
它说明任何一个不等式都可以化成这样一个式子，如果等号右边各项的系数依次为1，则所得到的新的不等式正好是原不等式的左边项的平方和加上其余系数的代数和，即两边的数的和为0。
(3)在西方也叫做多项式的函数。
(3)在西方也叫做多项式的函数。
辛钦大数定律的基本思想是“两个变量的线性组合”，这种思想源自对分式运算的研究，辛钦大数定律把分式运算放到定律中，这就使这种定律有了“一般性”，它体现了某些普遍规律。
切比雪夫大数定律是大数定律发展的第二阶段。
切比雪夫在这个定律的基础上又作出了新的推广，使大数定律得到进一步发展。
(4)切比雪夫大数定律：说明任何一个不等式都可以化成这样一个式子，如果等号右边各项的系数依次为1，则所得到的新的不等式正好是原不等式的左边项的平方和加上其余系数的代数和，即两边的数的和为0。
如果用一般形式表示，即α1+α2α+α3+…+αn=0，这个式子可以变形为：(1)现实中人们所指的大数定律，是指数的大数定律。
它是一条重要的数学结论。
它的发现者是法国数学家贝努瓦。
在巴黎的一家小餐馆里，贝努瓦遇见了几位会拉小提琴的穷兄弟，他们对贝努瓦说：“老板，我们真没钱付饭钱。
”贝努瓦立刻联想起了牛顿的名言：“世界上最美丽的东西是看不见的”。
贝努瓦为什么不让餐馆老板赔偿呢？餐馆老板向法国著名的数学家，几何学家切比雪夫求助，而切比雪夫立刻从他的微积分计算出了α1+α2α+α3+…+αn=0，当时，他虽然不知道这个定理，但是贝努瓦在第一眼看到他时就认出他来了，他不禁脱口而出：“您就是切比雪夫教授！”(1)现实中人们所指的大数定律，是指数的大数定律。
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2010.No34 4
摘 要 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性，是随机现象统计规律性的具体表现，本文介绍了几种常用的大数定律，并给出一些简单应用。
关键词 大数定律 随机变量 数学期望 概率
1 引言
“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们就会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一。
偶然中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近．人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。
这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关，且不再是随机的深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是大数要研究的问题。
2 几个大数定律
在介绍大数定律之前，先介绍几个相关定义。
定义1[1]设ξn (n=1,2,……)为概率空间(Ω,F,P)上定义的随机变量序列（简称随机序列），若存在随机变数ξ，使对任意ε>0，恒有： 则称随机序列 依概率收敛于随机变量ξ（ξ也可以是一个常数），并用下面的符号表示：
定义2[2]设 为一随机序列，数学期望E（ξn ）存在，令 ，若 ，则称随机序列 服从大数定律，或者说大数法则成立。
切比雪夫不等式
设随机变量X的数学期望E（X）与方差D（X）存在，则对于任意正数ε，不等式
都成立。
不等式(1)和(2)称为切比雪夫不等式。
切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下，只利用J的数学期望和方差即可对J的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。
大数定律形式很多，我们仅介绍几种最常用的大数定律。
定理1[1] （切比雪夫大数定律）
设随机变量ξ1,ξ2,…ξn 相互独立，它们的数学期望依次为a 1,a 2,…a n 方差依次为σ12,σ22,…σn 2而且存在正常数k，使得对一切i=1，2，…，有σi 2<k则对任意给定的数ε，恒有
切比雪夫大数定律说明：独立随机变量序列ξ1,ξ2,…ξn
的数学期望与方差都存在，且方差一致有上界，则经过算术平浅谈几个著名的大数定律及应用
李 蕊
(青海大学成教学院，青海 西宁，810001)
均后得到的随机变量 ，当n充分大时， 以概率1趋于。
这样，切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性科学的描述。
推论1[1]：设随机变量ξ1,ξ2,…ξn 相互独立，它们具有相同的数学期望和方差，Eξi =a,Dξi =σ2(i=1,2,…)则对于任意给定的正数ε，有
此推论表明：n个相互独立的具有相同数学期望和方差的随机变量，当n很大时，它们的算术平均值几乎是一个常数，这个常数就是它们的数学期望。
定理2[2](贝努力大数定律)
设是u n 次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意给定的正数ε，有
此定理表明：当n很大时，n重贝努力试验中事件A发生的频率几乎等于事件A在每次试验中发生的概率，这个定理以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
贝努力大数定律是切贝晓夫大数定律的特例，在它们的证明中：都是以切贝晓夫不等式为基础的，所以要求随机变量具有方差，但是进一步的研究表明，方差这个条件并不是必要的。
定理3[2](辛钦大数定律)
设ξ1,ξ2,…ξn 是相互独立的随机变量，而且有相同的分布，具有有限的数学期望Eξi (i=1,2,…)，则对任意给定的正数ε，有 ，其中 a=Eξi
前面说过贝努力大数定律表明了当n很大时，事件发生的频率会“靠近”概率，而这里的辛钦大数定律表明，当n很大时，随机变量在n次观察中的算术平均值会靠近它的期望。
定理4[1] (泊松大数定律)
设ξ1,ξ2,…ξn 是相互独立的随机变量，
（其中p n =1-q n ），则 服从大数定律。
泊松大数定律是贝努力大数定律的推广，贝努利大数定律证明了事件在完全相同条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性，而泊松定理表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性．随着n的无限增大，在n次独立试验中，事件A的频率在各次试验中事件A出现概率的算术平均值处取得稳定值。
定理5[1](马尔可夫大数定律)
设｛ξi ｝是随机变量序列，若 ，则｛ξi ｝服从大数定律。
3 应用
3.1 误差领域的应用
例1 仪器测量已知量A时，设n次独立得到的测量数据为 x 1,x 2…x n 如果仪器无系统误差，问：当n充分大时，是否可取
作为仪器测量误差的方差的值?
解：把x i 视作n个独立同分布的随机变量(i=1，2…n)的观察值，则E(X i )=u,D(X i )=σ2
(i=1,2,…,n)，仪器第i次测量的
2010.No34
误差X i -A的数学期望E(X i -A)=u-A，方差D(X i -A)=σ2，设y i =(X i -A)2,i=1,2…n，则y i ，也相互独立服从于统一分布。
在仪器无系统误差时E(X i -A)=0，既有u=A
E(y i )=E[(X i -A)2]=E[(X i -E Xi )2],D(X i )=σ2,i=1,2,…n 由切比雪夫定律，可得：
即 。
从而，当n→∞时，随机变量 依概率收敛于σ2，即当n充分大时，可以取 作为仪器测量误差的方差。
根据大数定律，对于随机误差ξ1,ξ2,…ξn ，应有 这说明当测量次数较多时，实测数据的平均值 和预测真值的差以很大概率趋于0，因此，用求样本数据平均值的方法来进行测量是可行的。
3.2 在分布型未知的情况下估计数学期望E(ξ)及方差D(ξ)
若ξ及{ξk }都是随机变量，则有：
3.3 在数学分析中的应用
例2.计算定积分 的近似值。
为了解这种近似计算的依据，先进行如下分析：
若令 为均匀分布的概率密度函数，即若令 为均匀分布的概率密度函数，即 ，则 而函数g(x)的数学期望 根据大数定律应用可对该数学期望值进行估计，即
故可用
这种近似计算的具体过程如下：
欲计算定积分 的近似值，则应先取样本数列{X i }→求函数序列（x i )→求出 ，即作为J的近
似值。
例3［3］.假设 求其极限。
解：假设随机变量ξn (n=1,2,…n)，在[0,1]上均匀分布，而且相互独立，有
由ξ1,ξ2,…ξn 独立同分布，可见ξ12…ξ22…独立同分布，根据辛钦大数定律知：
例4［3］.在贝努力试验中，事件A出现的概率率为p，令x n =1，若在第n次及第n+1次试验中A都出现；x n =0其他证明{x n }服从大数定律。
证：{x n }为同分布随机变量序列，其共同分布为p(x n =0)=1-p 2,p(x n =1)=p 2
且E(x n )=E(x n 2)=p 2，从而Var(x n )=p 2(1-p 2
)<1,又当│i-j│>2 时，x i 与x j 独立所以
即马尔可夫条件成立，故服从大数定律。
参考文献
［1］黄清龙，阮宏顺.概率论与数理统计［M］.北京：北京大学出版社，2005.
［2］杨亚非.概率与数理统计基础［M］.北京：北京工业出版社，2003.
［3］峁诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程习题与解答［M］.北京：高等教育出版社，2005-7.
低的条件，在这三个限制条件下选择最佳的承台安全经济高度。
从以上的承台材料费用计算表中的计算结果可知，该桩基实例承台的安全经济高度在1.0 ～1.05 左右。
大于此高度时，虽然降低了承台配筋数量，但承台抗冲切满足系数超过3.3，抗剪切满足系数k B1>3.8，k B2>3.1，这说明承台高度设计，十分保守，增大了混凝土材料用量，致使材料总费用偏高；当设计的承台高度小于此高度时，虽然抗冲切系数及抗剪切系数都大于1，满足规范要求，但没有合理地利用承台高度的抗弯能力，使得承台配筋量大为增加，也导致承台材料费用偏高。
根据笔者研究，当采用C15、C20、C25、C30、C35强度等级的混凝土，承台的抗冲切满足系数在分别为(3.05～3.3)、
(3.68～4.0)、(4.25～4.64)、(4.79～5.23) 、(5.26～5.74)时的每立方米混凝土含筋率为0.2664～0.2736%(采用HRB335热轧钢筋)，(当采用HPB235热轧钢筋时每立方米混凝土含筋率为0.360～0.371%)，桩基承台材料费用最低，此时相应的承台高度为安全经济高度。
笔者认为，轴心受压矩形承台的安全经济高度可由公式 初步计算确定(F为竖向力设计值，b c 、h c 为柱截面尺寸)；偏心受压矩形承台的安全经济高度一般可用公式
初步计算确定；三角形三桩承台的安全经济高度
可由公式
初步计算确定。
（上接第63页）。