切割线定理(一)(含解析)

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一、解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）

1、（10分）（2010•江汉区）如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC 的外接圆的半径为r．

（1）若∠E=30°，求证：BC•BD=r•ED；

（2）若BD=3，DE=4，求AE的长．

2、（10分）（2009•淄博）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．

（1）求BD的长；

（2）求∠ABE+2∠D的度数；

（3）求的值．

3、（10分）（2008•苏州）如图，在△ABC中，∠BAC=90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作MT⊥BC于T．

（1）求证：AK=MT；

（2）求证：AD⊥BC；

（3）当AK=BD时，求证：．

4、（10分）（2008•濮阳）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．（1）求证：AB=AC；

（2）当时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值．

5、（10分）（2007•厦门）已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，

（1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数；

（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，

①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD；

②连接CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

6、（10分）（2007•天津）如图，⊙O和⊙O′都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作⊙O的割线PCD交⊙O于

C、D两点，作⊙O′的切线PE切⊙O′于点E．若PC=4，CD=8，⊙O的半径为5．

（1）求PE的长；

（2）求△COD的面积．

7、（10分）（2007•庆阳）如图EB是⊙O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作⊙O的切线AC，切点为D，过B 作⊙O的切线BC，交AC于点C，若EB=BC=6，求：AD，AE的长．

8、（10分）（2007•河池）如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点

（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．

（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；

（2）求四边形CDPF的周长；

（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF•FG=CF•OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．

9、（10分）（2007•安顺）如图，A，B，C，D四点在⊙O上，AD，BC的延长线相交于点E，直径AD=10，OE=13，且∠EDC=∠ABC．

（1）计算；

（2）计算CE•BE的值；

（3）探究：BE的取值范围．

10、（10分）（2006•日照）阅读下面的材料：

如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．

求证：AP•AC+BP•BD=AB2．

证明：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，

∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．

由割线定理得：AP•AC=AM•AB，BP•BD=BM•BA，

所以，AP•AC+BP•BD=AM•AB+BM•AB=AB•（AM+BM）=AB2．

当点P在半圆周上时，也有AP•AC+BP•BD=AP2+BP2=AB2成立，那么：

（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP•AC+BP•BD=AB2是否成立？为什么？

（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．

答案与评分标准

一、解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）

1、（10分）（2010•江汉区）如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC 的外接圆的半径为r．

（1）若∠E=30°，求证：BC•BD=r•ED；

（2）若BD=3，DE=4，求AE的长．

考点：切割线定理；直角三角形全等的判定；勾股定理；切线的判定。

专题：计算题；证明题。

分析：（1）取AB中点O，由题意得△ABC是Rt△，O是外接圆心，连接CO，可证得OC∥DB，则，即

OC•DE=CE•BD；作CF⊥BE，然后证得∠CBE=∠E=30°，根据等角对等边的性质可得CE=BC，则可得BC•BD=r•ED；（2）根据勾股定理求出BE，设CE=x，则BC=x，在Rt△BCD中，根据勾股定理求出x，再推得CE为圆的切线，利用切割线定理求出AE的值．

解答：解：（1）取AB中点O，△ABC是Rt△，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，

∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，

∵BC是∠DBE平分线，

∴∠DBC=∠CBA，

∴∠OCB=∠DBC，

∴OC∥DB，（内错角相等，两直线平行），

∴，把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC，

∵OC=r，

∴BD•CE=DE•r．

∵∠D=90°，∠E=30°，

∴∠DBE=60°，

∴∠CBE=∠DBE=30°，

∴∠CBE=∠E，

∴CE=BC，

∴BC•BD=r•ED．

（2）BD=3，DE=4，根据勾股定理，BE=5，

设CE=x，BC=CE=，BD2+CD2=BC2，32+（4﹣x）2=x2，x=，

由前所述，OC∥BD，BD⊥DE，故OC⊥DE，

CE是圆O切线，CE2=AE•BE，