高教热统答案第六章

第六章 近独立粒子的最概然分布

习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度L 内，在ε到εεd +的能量范围

内，量 子态数为：

εεεεd m h L d D 2

1

22)(⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

证：一维自由粒子，x P 附近的量子态为

x dP h L dn =；x x x x x dP m dP m m m dP P d m P ε

εεε21222

+=⋅+==⇒=

于是。()εε

εεd m

h L d D 2+

= 而 ±P x 对应同一能量ε，于是：()m h L m h L D ε

εε2222=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯=

习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在长度L 2内，在ε到εεd +的能量范围

内， 量子态数为

()επεεmd h

L d D 22

2=

证：二维；在P x ,P y 附近dP x dP y 区间上内的粒子数。

ϕPdPd h

S

dP dP h S dn y x 22== (s －面积)

因m P 22

=ε只与P 有关（P >0）,故对ϕ积分可得：

()⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==m P h S PdP h S d D 222222ππεε，επd h mS m 22= ()2

2h

mS D πε=

⇒ (s=L 2

) 习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为cp =ε。试求在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。

解：φθθd dpd p h

V

dp dp dp h V dn z y x sin 233==

由于cp =ε只与p 有关，与θ、φ无关，于是

⎰⎰===ππ

εππφθθεε200

3

2

2323)(44sin )(hc V dp p h V d dpd p h V d D 以上已经代入了 c d p d cp =⇒=εε

于是， 3

2

)(4)(hc V D επε=

习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很

弱，可

看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试

证明， 在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：l

e

a l l βεαω--=和'

--'

='l e

a l l βεαω。其

中l ε和

'l ε是两种粒子的能级，l ω和'l ω是能级简并度。

证： 粒子A 能级，粒子数分布：l ε——{a l }——简并度l ω

粒子B 能级，粒子数分布：'l ε——{a ’l }——简并度'

l ω

由21Ω⋅Ω=Ω 21ln ln ln Ω+Ω=Ω

即使Ω最大，()11ln ΩΩ， ()22ln ΩΩ达到最大。 l e a l l βεαω--=⇒

l e a l l εβαω''-'-'=' （注：'

l a δ与l a δ在此情况下独立）

讨论，若将一系作为子系统，意味总能守恒，于是参照教材玻尔兹曼分布证

明 ……

0ln ln =⎪⎭⎫ ⎝⎛''+-''-'⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛''+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒∑∑∑∑∑∑l l l l l l l l l l

l l a a a a a a a a δεδεβδαδωδαδω 同一0β，原题得证。这也是满足热平衡的要求。