第四章习题解答及参考答案

(x y ), (x , y ) 。对于准单色点光源，其强度可表为：
1, 1 2 2
I (α , β ) = I 0δ (α − a1 , β − β1 )
在近轴近似条件下。由范希特-泽尼克定理得：
∞ 2π eiϕ ∫ ∫ I 0δ (α − α1 , β − β1 ) exp −i dα dβ ( ∆xα + ∆yβ ) −∞ λz u (P 1, P 2) = ∞ ∫ ∫ I 0δ (α − α1 , β − β1 ) dα dβ −∞
∑ δ (v − v
0
+ n∆v )
其中 ∆v 是纵模间隔， v0 为中心频率；为简洁起见，假定 N 为奇数。 ⑴证明复相干度的模为： γ (τ ) = ⑵若 N=3，且 0 ≤ τ ≤ 解： ⑴ γ (τ ) =
sin ( Nπ∆vτ ) N sin (π∆vτ )
1 ，画出 γ (τ ) 和 ∆vτ 的关系曲线。 ∆v
[
]
∆v = v2 − v1
①
所以
γ (τ ) = sinc (δvτ ) cos(π∆ντ ) Lc λ = = 58930. λ δλ
⑵可见到的条纹总数为 N =
⑶在复相干度的模的表示式①中，由于 ∆v >> δv ，故其第一个因子是 τ 的慢变化非周期函 数，第二个因子则是 τ 的快变化周期函数，其变化周期为 τ = 1 / ∆v ，故条纹对比度的变化
所以
γ (τ ) =
N sin ( π∆vτ )
⑵当 N=3 时
γ (τ ) =
sin ( 3π∆vτ ) 3sin (π∆vτ )
[4-4]在图 X4-1 所示的杨氏双缝干涉实验中，采用缝宽为 a 的准单色扩展缝光源，并假设此 缝光源具有均匀的辐射强度 I 0 ，中心波长为 λ = 600 nm ⑴写出 Q1 , Q2 点的复空间相干度； ⑵若 a=0.1mm, z=1m, d=3mm, 求观察屏上杨氏干涉条纹的对比度； ⑶若 z 和 d 仍取上述值， 要求观察屏上的条纹对比度为 0.41， 问缝光源的宽度 a 应为多 少？
故 Q1 , Q2 的复相干度为:
µ ( d ) = sinc ( ad / λ z )
⑵在观察屏上干涉条纹的对比度由 Q1 , Q2 点的复相干度的模决定，即
V = µ ( d ) = sinc ( ad / λ z ) = 0.637
⑶ 由 题 设 要 求 V = µ ( d ) = sinc ad / λ z = 0.41 ， 查 表 可 知 相 应 的
∆λ c c = 1.5 × 10 Hz , Lc = cτ 0 = = 20 × 103 m 2 λ ∆v
[4-2]设迈克耳逊干涉仪所用的光源为 λ1 = 589.0nm, λ2 = 589.6nm 的纳双线，每一谱线的 宽度设为 0.01nm。试求： ⑴光场复相干度的模； ⑵当移动干涉仪的一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？ ⑶条纹对比度有多少个变化周期？每个周期有多少条纹？ 解：假设谱线分布为矩形线型，光源的归一化功率谱为：
第四章 部分相干理论
部分习题解答及参考答案
[4-1]若光源所辐射的频率宽度为 ∆ν ，波长宽度为 ∆λ ，试证明：
∆v ∆λ = v λ
−8 设光波波长 λ = 632.8nm, ∆λ = 2 × 10 nm ，试计算它的频宽 ∆v ；若把光谱分布看成
是图 4-1-7 的矩形线型，则相干长度 Lc 等于多少？ 参考答案： ∆v =
∫
a
于是，只有当
1 d − ξ0 =0，即 d = λ zξ 0 时，上式的极限值为最大且等于 。也就是说， 2 λz
对于一个很大的非相干光源，在其上叠加一个正弦光栅，当其空间频率 ξ 0 与双缝间距 d 满 足关系
d = λ zξ 0 时，也可得到较大的干涉条纹对比度。
[4-6]在衍射实验中采用一个均匀强度的非相干光源，其波长 λ = 550 nm ，紧靠光源之前放 置一个直径为 1mm 的小圆孔，若希望对远处直径为 1mm 的圆孔产生近似相干的照明，求 衍射孔径到光源的最小距离。 参考答案： 5.68m [4-7]用准单色点光源照明与其相距为 z 的平面上任意两点 P 1, P 2 ，试求在近轴近似条件下这 两点之间的复相干度的模 u (P 1, P 2) 。 解 ： 设 光 源 所 在 平 面 的 坐 标 为 α , β ； 孔 平 面 的 坐 标 为 x,y; 点 P 1, P 2 的坐标分别为
图 X4-1
习题[4-4]图示杨氏双缝
解： ⑴由范希特-泽尼克定理式 （4-4-13） ， 注意到双缝的对称分布 （ϕ = 0 ） ， 且不考虑 Q1 , Q2 的尺度，在光源是一维分布的情况下有：
u ( ∆ξ ) =
∫
∞
0
x 2π a∆ξ I 0 rect exp −i ∆ξ x dx sin π a λz = λ z = sinc a∆ξ ∞ a ∆ξ x λz π I rect d x ∫−∞ 0 λz a
e i 2π v0τ N
( N −1) / 2
n =−( N −1) / 2
∫
∞
0
1 N
( N −1) / 2
n =−( N −1) / 2
∑
δ ( v − v0 + n∆v ) e i 2π vτ dv =
sin ( N π∆vτ )
∑
e − i 2π n∆vτ =
sin ( N π∆vτ ) i 2π v0τ e N sin ( π∆vτ )
F (v ) =
2
1 v − v2 v − v1 rect + rect 2δv δv δv
⑴ 光场的复相干度可按式（4-3-8） ， （4-3-9）表示成：
∞ 1 2 γ (τ ) = ∫ F (v ) ei 2πvτ dv = sinc (δvτ )e i 2πv1τ 1 + ei 2π∆vτ ， 0 2
π 2π 2 2 x2 = exp i + y2 − x12 − y12 ) exp − ( ∆xα1 + ∆yβ1 ) ( λz λz
遂得 u (P 1, P 2 ) = 1 ，即由点光源发出的准单色光是完全相干的。
(
)
ad 2 = ，遂得 λz 3
a=
2λ z ≈ 0.133mm. 3d
[4-5]在上题的图示装置中，如果用一个很大的均匀发光光源与一个空间频率为 ξ 0 的正弦光 栅相叠加来代替缝光源，且正弦光栅的强度透过率为 t ( x ) = 的条纹对比度， ξ 0 与两缝间距 d 应满足什么条件？ 解： 由于光源和正弦光栅的尺寸很大， 可近似视为无穷大。 先假设光栅尺寸为 2a,再让 a → ∞ 求极限。由范希特-泽尼克定理可得双缝上的复相干度为：
τ 0 ∆v ∆λ = = = 60 τ δv δλ N 58930 每个周期内的条纹数为： n0 = = = 94-3]假设某气体激光器以 N 个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为；
1 ~ Γ11 (v ) = N
( N −1 ) / 2
n = − ( N −1) / 2
1 (1 + cos 2πξ0 x ) ，为了获得高 2
I0 2π 1 + cos ( 2πξ 0 x ) ) exp −i xd dx ( lim − a 2 λz µ12 = a I a→∞ 1 + cos ( 2πξ0 x ) dx ∫−a 20 d d sin 2π + ξ0 a sin 2π − ξ0 a 2π λz λz λ z sin ad + + 4π ( d / λ z + ξ0 ) 4π ( d / λ z − ξ0 ) λz lim 2π d = a → ∞ a + sin ( 2πξ 0 a ) / 2πξ 0 d sin 2π − ξ0 a lim λz = a→∞ d 4π − ξ0 a λz