几何体与球的切接问题专项练习

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A O'

O

B E D

C

A 空间几何体的三视图与球专项练习

专题一.空间几何体的三视图

1.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体的体积是__________，表面积是__________

2.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

A.81

B.71

C.61

D.5

1

3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 4.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，

侧视图

是等腰三角形. 则该几何体的表面积为（ ） A ．88 B ．98 C ．108 D ．158

专题二.几何体及它的外接球 1.柱体外接球 （1）长方体与外接球

2222(2R)a b c =++

练习：【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________ （2）三棱柱、圆柱与外接球

①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点

222OA OE AE =+,其中OA=R

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o

A

B

2233

3323AE AD AB AB ==⨯

=

求三角形ABC 外接圆半径R ：正弦定理

2sin sin sin a b c R A B C ===

求三角形ABC 内切圆半径r ：面积法1()2ABC S a b c r ∆=++⨯= 1

sin 2ab C

练习：1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

（A ）2a π （B ）27

3

a π （C ）2113a π （D ）2

5a π

2.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）

A ．π

B ．

3π4

C ．π2

D ．π4

②底面有一角为直角的直三棱柱外接球求法

方法一：由①可知球心在AB 的中点，半径算法同

①

方法二：如图所以，将三棱柱补成长方体，半径

算法与长方体半径算法相同

练习：已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，

2BC =O 的表面积等于（ ）

（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 2.锥体外接球 (1)正棱锥与圆锥外接球

B

A

C

H

O

H

A

C

O

H

O

222222(PH R)OB OH BH R AH =+⇒=-+

练习：1.求棱长为a 的正四面体外接球的半径．（正四面体外接球半径是高的3

4

）

2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面

积．

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思考：已知一个棱长为1的正方体，

（1）试探究如何切割可以得到一个棱长为2的正四面体

（2）求出这个正四面体的外接球的半径.

(2)底面为直角三角形，一侧棱与底面垂直的三棱锥：补成长方体

练习：1.已知三棱锥S-ABC，从S点出发的三条棱两两垂直且SA=1，SB=2，SC=3，则该

三棱锥的外接球的半径为（）

2.网格纸上的小正方形边长是1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外

接球的表面积为（）

ππππ

专题三.几何体及它的内切球

1.正三棱柱，直三棱柱，圆柱内切球

球的大圆与底面多边形的内切圆全等，且柱

体的高度与球的直接相等

2.棱锥的内切球：等体积法，

1

3

V S r

表面积

（r为内切球半径）

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练习：求棱长为a 的正四面体内切球的半径．（正四面体内切球半径是高的1

4

）

3.圆锥的内切球 求法：利用轴截面结合平面几何知识求解 sin r PH r θ=

-或1

2

PAB S r ∆=⨯周长

r 为内切球半径，周长为三角形PAB 周长

专题练习

练习：1.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）

()A 26 ()B 36 ()C 23 ()D 2

2

3.【2017江苏，6】 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则

1

2

V V 的值是_______.

4.已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球

面得

到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________.

5.某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______

6.（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为_______.

7.已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．

8.直三棱柱

111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若

O O 1

O 2 ⋅

⋅ ⋅

A

H

M

O