图论讲义第2章-连通性

第二章 图的连通性

在第一章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。对于连通图，其连通的程度也有高有低。例如，下列三个图都是连通图。对于图G 1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G 2，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G 3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。

本章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的2连通和k 连通性。

§2.1 割点和割边

定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >−，则称v 为G 的一个割点。

（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。

例如，下图中u , v 两点是其割点。

定理2.1.1 如果点v 是简单图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。

证明留作习题。

推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G −不连通。 定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。 证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。 若0)(=v d ，则1K T ≅，显然v 不是割点。

若1)(=v d ，则v T −是有1)(−−v T ν条边的无圈图，故是树。从而)(1)(T w v T w ==−。因此v 不是割点。

以上均与条件矛盾。

充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。路uvw 是T 中一条),(w u 路。因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>−。故v 是割点。证毕。

推论2.1.2 每个非平凡无环连通图至少有两个顶点不是割点。

证明：设T 是G 的生成树，则T 至少有两个叶子u ,v ，由上一定理知，u ,v 都不是T 的割点，即1)()(==−T w u T w 。由于u T −是图u G −的生成树，故

)(1)()()(G w T w u T w u G w ===−=−，

因此u 不是G 的割点。同理v 也不是G 的割点。证毕。 定理2.1.3 设v 是连通图G 的一个顶点，则下列命题等价： （1） v 是G 的割点；

（2） 存在)(,G V w u ∈，使得v w u ≠,且v 在每条),(w u 路上；

（3） 存在}{\)(v G V 的一个划分：}{\)(v G V W U ∪=，φ=W U ∩，使得对U

u ∈∀和W w ∈∀，v 在每条),(w u 路上。

证明：（1）⇒（3）因v 是割点，故v G −至少有两个连通分支1G 、2G 。令)(1G V U =而

}){)((\)(1v G V G V W ∪=，则对U u ∈∀和W w ∈∀，u 、w 分别属于v G −的不同的连

通分支。可见G 中所有的),(w u 路必经过v （否则v G −中仍有),(w u 路，这与u 、w 分别属于v G −的不同的连通分支矛盾）。 （3）⇒（2）显然。

（2）⇒（1）若v 在每条),(w u 路上，则v G −中不存在),(w u 路，即v G −不连通，故v 是G 的割点。

证毕。

定义2.1.2 设)(G E e ∈，如果)()(G w e G w >−，则称e 为G 的一条割边。 例如下图中，边uv ，边wu 都是其割边。

定理2.1.4 边e 是G 的割边当且仅当e 不在G 的任何圈中。 证明：证其逆否命题：e 不是割边当且仅当e 含在G 的某个圈中。

必要性：设e = xy 不是割边。假定e 位于G 的某个连通分支1G 中，则e G −1仍连通。故在

e G −1中有),(y x 路P ，P + e 便构成1G 中一个含有e 的圈。

充分性：设e 含在G 的某个圈C 中，而C 含于某连通分支1G 中，则e G −1仍连通。故

)()(G w e G w =−，这说明e 不是割边。证毕。

定理2.1.5 一个连通图是树当且仅当它的每条边都是割边。

证明：连通图G 是树⇔G 无圈⇔任何边e 不含在圈中⇔任何边e 是G 的割边。证毕。

定理2.1.6 设e 是连通图G 的一条边，则下列命题等价： （1） e 是G 的割边； （2） e 不在G 的任何圈上；

（3） 存在)(,G V v u ∈，使得e 在每条),(v u 路上；

（4） 存在)(G V 的一个划分：)(G V W U ∪=，φ=W U ∩，使得对U u ∈∀和W w ∈∀，

e 在每条),(w u 路上。

证明：（1）⇔（2）定理2.1.4已证。（1）⇒（4）⇒（3）⇒（1）的证明与定理2.1.3的证明类似。

§2.2连通度和边连通度

定义2.2.1 对图G ，若V(G)的子集V ′使得)()(G w V G w >′−，则称V ′为图G 的一个顶点割集。含有k 个顶点的顶点割集称为k －顶点割集。 注：（1）割点是1－顶点割集。 （2）完全图没有顶点割集。

定义2.2.2图G 的连通度定义为()min{|||G V V κ′′=是连通图G 的顶点割集}。特别地，完全图的连通度定义为1)(−=νκνK , 空图的连通度定义为0, 不连通图的连通度定义为0。 注：(1) 若G 是平凡图，则0)(=G κ。

(2) 使得)(||G V κ=′的顶点割集V ′称为G 的最小顶点割集。 (3) 若k G ≥)(κ，则称G 为k 连通的。

(4) 按上述定义，图G 是k 连通的，当且仅当G 的最小点割集至少含k 个顶点，当且仅当G 中没有k −1点割集，当且仅当从G 中任意去掉k −1个顶点后，所剩图仍连通。 (5) 按照k 连通的定义，若图G 是k 连通的，则它也是k −1连通、k −2连通、 (1)

通的。因此，所有非平凡连通图都是1连通的。

定义2.2.3对图G ，若E(G)的子集E ′使得)()(G w E G w >′−，则称E ′为图G 的一个边割集。含有k 条边的边割集称为k －边割集。

注：(1) 对非平凡图G ，若E ′是一个边割集，则E G ′\不连通。

(2) 一条割边构成一个1－边割集。

(3) 设)(G V S ⊂，)(G V S ⊂′，φ≠′S S ,，

记号],[S S ′表示一端在S 中另一端在S ′中的所有边的集合。对图G 的每个边割集E ′，必存在非空的)(G V S ⊂，使得],[S S 是G 的一个边割集，其中S V S \=。

定义2.2.4图G 的边连通度定义为()min{|||G E E κ′′′=是连通图G 的边割集}。完全图的边连通度定义为1)(−=′νκνK ，空图的边连通度定义为0，不连通图的边连通度定义为0。 注：(1) 对平凡图G ，0)(=′G κ。

(2) 是含有割边的连通图，则1)(=′G κ。