2019年江苏省镇江市中考数学试卷及答案解析
2019年江苏省镇江市中考数学试卷
故答案为： 5 1011 ．
6．（2
分）已知点
A(2,
y1 )
、
B(1,
y2
)
都在反比例函数
y
2 x
的图象上，则
2019 年江苏省镇江市中考数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 小题，每小题 2 分，共计 24 分.） 1．（2 分）（2019•镇江） 2019 的相反数是 ． 2．（2 分）（2019•镇江）27 的立方根为 ． 3．（2 分）（2019•镇江）一组数据 4，3， x ，1，5 的众数是 5，则 x ．
4．（2 分）若代数式 x 4 有意义，则实数 x 的取值范围是 x… 4 ． 【分析】根据被开方数大于等于 0 列不等式求解即可． 【解答】解：由题意得 x 4… 0 ， 解得 x… 4 ． 故答案为： x… 4 ． 5．（2 分）氢原子的半径约为 0.00000000005m ，用科学记数法把 0.00000000005 表示为 5 1011 ． 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10n ，与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前 面的 0 的个数所决定． 【解答】解：用科学记数法把 0.0000 0000 005 表示为 5 1011 ．
y
2 x
的图象上，则
y1 y2 ．（填“ ”或“ ” )
7．（2 分）（2019•镇江）计算： 12 3 ．
8．（2 分）（2019•镇江）如图，直线 a / /b ， ABC 的顶点 C 在直线 b 上，边 AB 与直线 b 相交于点 D ．若 BCD 是等边三角形， A 20 ，则 1 ．
9．（2 分）（2019•镇江）若关于 x 的方程 x2 2x m 0 有两个相等的实数根，则实数 m 的 值等于 ． 10．（2 分）（2019•镇江）将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的 位置（如图），使得点 D 落在对角线 CF 上， EF 与 AD 相交于点 H ，则 HD ．（结果 保留根号）
2019镇江数学中考真题(解析版)
2019镇江数学中考真题（解析版）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、填空题（共12小题）1.﹣2019的相反数是．2.27的立方根为．3.一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝．4.若代数式有意义，则实数x的取值范围是．5.氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为﹣．6.已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1y2．（填“＞”或“＜”）7.计算：﹣＝．8.如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝°．9.若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于．10.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝﹣．（结果保留根号）11.如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是°．12.已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是．二、单选题（共5小题）13.下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a7÷a3＝a4C．（a3）5＝a8D．（ab）2＝ab214.一个物体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．15.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°16.下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）A．B．C．D．17.如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3三、解答题（共11小题）18.（1）计算：（﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°；（2）化简：（1+）÷．19.（1）解方程：＝+1；（2）解不等式：4（x﹣1）﹣＜x20.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．21.小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．22.如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝．23.如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y＝（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA，OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4．（1）S△OAB＝，m＝；（2）已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．24.在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）∠ABC＝°；（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．25.陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．各类别的得分表已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：（1）九（2）班学生得分的中位数是；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？26.【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．（1）求∠POB的度数；（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．（π取 3.1）27.如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n＝时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围．28.学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度；【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．①a＝；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是．（直接写出结果）2019镇江数学中考真题（解析版）参考答案一、填空题（共12小题）1.【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．【解答】解：﹣2019的相反数是：2019．故答案为：2019．【知识点】相反数2.【分析】找到立方等于27的数即可．【解答】解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．【知识点】立方根3.【分析】根据众数的概念求解可得．【解答】解：∵数据4，3，x，1，5的众数是5，∴x＝5，故答案为：5．【知识点】众数4.【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得x﹣4≥0，解得x≥4．故答案为：x≥4．【知识点】二次根式有意义的条件5.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10﹣11．故答案为：5×10﹣11．【知识点】科学记数法—表示较小的数6.【分析】反比例函数y＝﹣的图象在第二象限，在第二象限内，y随x的增大而增大，根据x的值大小，得出y值大小．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣的图象在二、四象限，而A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在第二象限，∴在第二象限内，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1∴y1＜y2．故答案为：＜【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征7.【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．【解答】解：＝2﹣＝．故答案为：．【知识点】二次根式的加减法8.【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC＝60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，故答案为：40．【知识点】等边三角形的性质、平行线的性质9.【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．【知识点】根的判别式10.【分析】先根据正方形的性质得到CD＝1，∠CDA＝90°，再利用旋转的性质得CF＝，根据正方形的性质得∠CFDE＝45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF﹣CD即可．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝1，∠CDA＝90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF＝，∠CFDE＝45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH＝DF＝CF﹣CD＝﹣1．故答案为﹣1．【知识点】正方形的性质、旋转的性质11.【分析】先根据题意求出转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于360°计算即可．【解答】解：设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x，根据题意得：，解得，∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°×＝80°．故答案为：80．【知识点】列表法与树状图法12.【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x＝代入代数式即可求得．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴＝﹣＝﹣2∵线段AB的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥∴a2+a+1的最小值为：（）2++1＝；故答案为．【知识点】二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征二、单选题（共5小题）13.【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；B、a7÷a3＝a4，正确；C、（a3）5＝a15，故此选项错误；D、（ab）2＝a2b2，故此选项错误；故选：B．【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方14.【分析】从图形的上方观察即可求解；【解答】解：俯视图从图形上方观察即可得到，故选：D．【知识点】简单组合体的三视图15.【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．【知识点】圆周角定理、圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦的关系16.【分析】由数轴上解集左端点得出a的值，代入第二个不等式，解之求出x的另外一个范围，结合数轴即可判断．【解答】解：由x+2＞a得x＞a﹣2，A．由数轴知x＞﹣3，则a＝﹣1，∴﹣3x﹣6＜0，解得x＞﹣2，与数轴不符；B．由数轴知x＞0，则a＝2，∴3x﹣6＜0，解得x＜2，与数轴相符合；C．由数轴知x＞2，则a＝4，∴7x﹣6＜0，解得x＜，与数轴不符；D．由数轴知x＞﹣2，则a＝0，∴﹣x﹣6＜0，解得x＞﹣6，与数轴不符；故选：B．【知识点】解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集17.【分析】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．首先说明点G与点F重合时，FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【解答】解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．∵E（﹣2，0），F（0，6），∴OE＝2，OF＝6，∴EF＝＝2，∵∠FGE＝90°，∴FG≤EF，∴当点G与E重合时，FG的值最大．如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．∵P A＝PB，BE＝EC＝a，∴PE∥AC，BJ＝JH，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BH＝DH＝，BJ＝，∴PE⊥BD，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，∴∠EBJ＝∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴＝，∴＝，∴a＝，∴BC＝2a＝，故选：A．【知识点】菱形的性质、坐标与图形性质三、解答题（共11小题）18.【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；（2）根据分式的混合运算法则计算．【解答】解：（1）（﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°＝1+3﹣2＝2；（2）（1+）÷＝（+）÷＝•＝x+1．【知识点】负整数指数幂、实数的运算、特殊角的三角函数值、零指数幂、分式的混合运算19.【分析】（1）方程两边同乘以（x﹣2）化成整式方程求解，注意检验；（2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可．【解答】解；（1）方程两边同乘以（x﹣2）得2x＝3+x﹣2∴x＝1检验：将x＝1代入（x﹣2）得1﹣2＝﹣1≠0x＝1是原方程的解．∴原方程的解是x＝1．（2）化简4（x﹣1）﹣＜x得4x﹣4﹣＜x∴3x＜∴x＜∴原不等式的解集为x＜．【知识点】解分式方程、解一元一次不等式20.【分析】（1）由垂线的性质得出∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG＝∠CFH，由AAS即可得出△AGE≌△CHF；（2）连接AH、CG，由全等三角形的性质得出AG＝CH，证出四边形AHCG是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，∴∠AEG＝∠CFH，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（AAS）；（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：连接AH、CG，如图所示：由（1）得：△AGE≌△CHF，∴AG＝CH，∵AG∥CH，∴四边形AHCG是平行四边形，∴线段GH与AC互相平分．【知识点】全等三角形的判定与性质21.【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，则小丽和小明在同一天值日的概率是＝．【知识点】列表法与树状图法22.【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠D，证出∠OBD+∠ABC＝90°，得出AB⊥OB，即可得出结论；（2）由勾股定理得出OA＝＝13，得出OC＝OA﹣AC＝8，再由三角函数定义即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠OCD，∴∠ABC＝∠OCD，∵OD⊥AO，∴∠COD＝90°，∴∠D+∠OCD＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠D，∴∠OBD+∠ABC＝90°，即∠ABO＝90°，∴AB⊥OB，∵点B在圆O上，∴直线AB与⊙O相切；（2）解：∵∠ABO＝90°，∴OA＝＝＝13，∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA﹣AC＝8，∴tan∠BDO＝＝＝；故答案为：．【知识点】等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定与性质、解直角三角形23.【分析】（1）由一次函数解析式求得点B的坐标，易得OB的长度，结合点A的坐标和三角形面积公式求得S△OAB＝3，所以S△ODE＝4，由反比例函数系数k的几何意义求得m的值；（2）利用待定系数法确定直线AC函数关系式，易得点C的坐标；利用∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°判定△CBO∽△PDE，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE、DE的长度，易得点D的坐标．【解答】解：（1）由一次函数y＝kx+3知，B（0，3）．又点A的坐标是（2，n），∴S△OAB＝×3×2＝3．∵S△OAB：S△ODE＝3：4．∴S△ODE＝4．∵点D是反比例函数y＝（m＞0，x＞0）图象上的点，∴m＝S△ODE＝4，则m＝8．故答案是：3；8；（2）由（1）知，反比例函数解析式是y＝．∴2n＝8，即n＝4．故A（2，4），将其代入y＝kx+3得到：2k+3＝4．解得k＝．∴直线AC的解析式是：y＝x+3．令y＝0，则x+3＝0，∴x＝﹣6，∴C（﹣6，0）．∴OC＝6．由（1）知，OB＝3．设D（a，b），则DE＝b，PE＝a﹣6．∵∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°，∴△CBO∽△PDE，∴＝，即＝①，又ab＝8 ②．联立①②，得（舍去）或．故D（8，1）．【知识点】反比例函数综合题24.【分析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；（2）作CQ⊥AB于Q，根据正弦的定义求出QC，根据直角三角形的性质求出BC，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形，∴∠BAF＝＝108°，∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，故答案为：30；（2）作CQ⊥AB于Q，在Rt△AQC中，sin∠QAC＝，∴QC＝AC•sin∠QAC≈10×0.98＝9.8，在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，∴BC＝2QC＝19.6，∴GC＝BC﹣BG＝9.6．【知识点】正多边形和圆、解直角三角形25.【分析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分；（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班A、D两类的学生数得到B类和C类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解．【解答】解：（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：3+6+12+27＝48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分．故答案为6分；（2）两个班一共有学生：（22+27）÷50%＝98（人），九（1）班有学生：98﹣48＝50（人）．设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是x人、y人．由题意，得，解得．答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是6人、17人．【知识点】条形统计图、中位数、加权平均数26.【分析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，则∠DHC＝67°，证出∠HBD＝∠DHC＝67°，由平行线的性质得出∠BEO＝∠HBD＝67°，由直角三角形的性质得出∠BOE＝23°，得出∠POB＝90°﹣23°＝67°；（2）同（1）可证∠POA＝31°，求出∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝36°，由弧长公式即可得出结果．【解答】解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：则∠DHC＝67°，∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°，∴∠HBD＝∠DHC＝67°，∵ON∥BH，∴∠BEO＝∠HBD＝67°，∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°，∵PQ⊥ON，∴∠POE＝90°，∴∠POB＝90°﹣23°＝67°；（2）同（1）可证∠POA＝31°，∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°，∴＝＝3968（km）．【知识点】弧长的计算、切线的性质27.【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C（2，），A（﹣，0），点A关于对称轴对称的点（，0），借助AD的直线解析式求得B（5，3）；①当n＝时，N（2，），可求DA＝，DN＝，CD＝当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，DP＝9；当PQ与AB不平行时，DP＝9；②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝3，DN＝，所以N（2，），则有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜；【解答】解：（1）顶点为D（2，9）；故答案为（2，9）；（2）对称轴x＝2，∴C（2，），由已知可求A（﹣，0），点A关于x＝2对称点为（，0），则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13，∴B（5，3），①当n＝时，N（2，），∴DA＝，DN＝，CD＝当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，∵△DAC∽△DPN，∴，∴DP＝；当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，∴△DNQ∽△DCA，∴，∴DP＝；综上所述，DP＝或DP＝；②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝3，∴，∴DN＝，∴N（2，），∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜；故答案为＜n＜；【知识点】二次函数综合题28.【分析】【观察】①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列函数解析式即可得到结论；【拓展】由题意得到x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y），得到y＝﹣5x+300，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论．【解答】解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，设机器人甲的速度为v，∴机器人乙的速度为v＝4v，∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），∴m＝90，故答案为：90；②∵相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣40＝110个单位长度，设机器人甲的速度为v，∴机器人乙的速度为v＝v，∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝，机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A，再到点B，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意得，40+150+150﹣m＝（m﹣40），∴m＝120，故答案为：120；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意知，x+150＝（150﹣x），∴x＝50，经检验：x＝50是分式方程的根，即：a＝50，故答案为：50；②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上，∴线段OP的表达式为y＝3x，当v＜v时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A 时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），∴y＝﹣3x+300，即：y＝，补全图形如图2所示，【拓展】如图，由题意知，x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y），∴y＝﹣5x+300，∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，∴﹣5x+300≤60，∴x≥48，∵x＜75，∴48≤x＜75，故答案为48≤x＜75．【知识点】一次函数的应用。
2019年江苏省镇江市中考数学附解析
2019年江苏省镇江市中考数学学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们 12 个月大的婴儿拼排 3 块分别写有“20”，“08”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008 北京”或者“北京 2008”，则他们就给婴儿奖励. 假设该婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是（ ）A ．16 B ．14 C ．13 D ．122．某人想打电话给他的朋友，但他忘记了号码的后两位数字，他随便拔号，一次恰好拔通 的概率是（ ）A ．19B ．101C ．199D ．11003．在半径为5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP=3cm ，则过P 的整数弦有（ ）A ．1条B ．3条C ．4条D ．无数条4．某班共有45位同学，其中近视眼占60%，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．该班近视眼的频率是0.6B ．该班近视眼的频数是27C ．该班近视眼的频数是0.6D ．该班有18位视力正常的同学 5．下列等式成立的是（ ）A ．a b =+B ． ==D ．ab −6．已知等腰三角形的一个底角为80，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A ．20B ．40C ．50D ．80 7．下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ）A ． 水中捞月B ． 拔苗助长C ． 守株待免D ． 瓮中捉鳖 8． 如图，每个小正方形网格的边长都为1，右上角的圆柱体是由左下角的圆柱体经过平移得到的.下列说法错误的是（ ）A ．先沿水平方向向右平移4个单位长度，再向上沿垂直的方向平移4个单位长度， 然后再沿水平方向向右平移3个单位长度B ．先沿水平方向向右平移7个单位长度，再向上沿垂直的方向平移4个单位长度C ．先向上沿垂直的方向平移4个单位长度，再沿水平方向向右平移7个单位长度D ．直接沿正方形网格的对角线方向移动7个单位长度9．如图所示，一 块正方形铁皮的边长为 a ，如果一边截去6，另一边截去 5，那么所剩铁皮的面积（ 阴影部分）表示成：①(5)(6)a a −−；②256(5)a a a −−−；③265(6)a a a −−−；④25630a a a −−+其中正确的有（ ）A ．1 个B ． 2 个C ．3 个D ． 4 个10．如图所示，A ，B 是数轴上的两点，C 是AB 的中点，则0C 等于（ ）A ．34OB B ．1()2OB OA −C ．1()2OA OB + D ．以上都不对二、填空题 11．林玲的房间里有一面积为3.5m 2的玻璃窗, 她站在窗内离窗子4 m 的地方向外看，她能看到前面一培楼房(楼房之间的距离为 20 m)的面积有 m 2．12．某校九年级(2)班想举办班徼设计 比赛，全班 56 名同学计划每位同学交设计方案，拟评选出 4 份为一等奖.那么该班小明同学获一等奖的概率是 ．13．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为_____cm .14．直线33y x =−与抛物线21y x x =−+的交点坐标是 ．15．一个正方体的表面积是384cm 2，求这个正方体的棱长．设这个正方体的棱长是xcm ，根据题意列方程得_____________________，解得x ＝_______cm ．16．若a 是11的小数部分，则(6)a a += ．17．如图，∠1=∠B ，∠2 =68°，则∠C= ．18．计算2211366a a a÷−−的结果是 .19．小明将一把钥匙放进自己家中的抽屉中，他记不清到底放进三个抽屉中的哪一个了，那么他一次选对抽屉的概率是 ．20．“在标准大气压下，气温高于0℃，冰就开始融化”是 事件．21．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)面积相等的两个三角形全等． ( )(2)周长相等的两个三角形全等．’( )(3)三边对应相等的两个三角形全等． ( )(4)全等三角形的面积相等，周长相等． ( )22．今有 16. 5 t 煤，若一辆汽车最多运 4 t ，则至少需派 辆汽车才可一次将所有煤运走.三、解答题23．一天晚上，圆圆和小丽在路灯下玩耍，圆圆突然高兴地对小丽说：“我踩到了你的‘脑袋'了”. 请在图中画出小丽在路灯下的影子，并确定圆圆此时所站的位置.24．计算：0cos304sin 60tan 45O o −+25．如图，在直角坐标系中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y ），且OP 与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是43，求（1）y 的值；（2）角α的正弦值．26．如图，△ABC 中，D 、E 分别为 BC 、AC 上的点，BD= 2DC ，AE= 2EC ，AD 与BE 相交于点 M ，求AM ：MD 的值.27．求证：三角形的三个内角的平分线交于一点．28．如图，△ABC 中D ，E 分别是AC ，AB 上的点，BD 与CE 交于点0，给出下列四个条件：①∠EB0=∠DCO ；②∠BE0=∠CDO ；③BE=CD ；④OB=OC ．(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定AB=AC(用序号写出所有情形)?(2)选择第(1)小题的一种情形．证明AB=AC ．29． (1)计算：22(105)5x y xy xy −÷； (2)因式分解：3228m mn −30．如图 ，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A 落在A ′处，BC 为折痕，然后把BE 折过去，使之与A ′B 重合，折痕为 BD ，那么两折痕BC 、BD 的夹角是多少度？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．D3．C4．C5．D6．A7．D8．D9．D10．C二、填空题11．12612． 11413． 514．(2，3) 15．66x 2=384，816． 217．68°18．6a a −+19． 1320． 必然21．(1)× (2)× (3)√ (4)√22．5三、解答题23．图中的线段 AB 为小雨的影子，圆圆应站在B 处.24．原式33341=312−+． 25．（1）4；（2）54． 26． 过点D 作 DF ∥AC 交 BE 于F.∴△BDF ∽△BCE,△DFM ∽△AEM ， ∴23FD BD BD EC BC BD DC ===+，即23FD EC =，∵AE=2EC ，∴13FD AE =，∴3AM AE MD FD==． 27．略28．(1)①③，①④，②③，②④；(2)略29．（1）2x y − (2）2(2)(2)m mn n m n +−30．如图，由题意，知 ∠1 =∠2，∠3=∠4.∵∠1+∠2 +∠3 +∠4=180°，∴∠DOC=∠2+∠4 =90°. 即两折痕BC 、BD 的夹角是 90°.。
2019年江苏省镇江市中考数学试题(含分析解答)
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2019年江苏省镇江市中考数学试题（含分析解答）
一、填空题(共有12小题,每小题2分,共计24分．)
1．(2分)(2018•镇江)﹣8的绝对值是 ．
2．(2分)(2018•镇江)一组数据2,3,3,1,5的众数是 ．
3．(2分)(2018•镇江)计算：(a 2)3= ．
4．(2分)(2018•镇江)分解因式：x 2﹣1= ．
5．(2分)(2018•镇江)若分式
有意义,则实数x 的取值范围是 ． 6．(2分)(2018•镇江)计算：= ．
7．(2分)(2018•镇江)圆锥底面圆的半径为1,侧面积等于3π,则它的母线长为 ．
8．(2分)(2018•镇江)反比例函数
y=(k ≠0)的图象经过点A(﹣2,4),则在每一个象限内,y 随x 的增大而 ．(填“增大”或“减小”)
9．(2分)(2018•镇江)如图,AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径,若∠BAD=50°,则∠ACB= °．
10．(2分)(2018•镇江)已知二次函数y=x 2﹣4x +k 的图象的顶点在x 轴下方,则实数k 的取值范围是 ．
11．(2分)(2018•镇江)如图,△ABC 中,∠BAC ＞90°,BC=5,将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°,点B 对应点B ′落在BA 的延长线上．若sin ∠B AC=
′,则
AC= ．。
2019年江苏省镇江市中考数学试卷及答案解析
2019年江苏省镇江市中考数学试卷及答案解析一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）1．﹣2019的相反数是2019．解：﹣2019的相反数是：2019．故答案为：2019．2．27的立方根为3．解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．3．一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝5．解：∵数据4，3，x，1，5的众数是5，∴x＝5，故答案为：5．4．若代数式√x−4有意义，则实数x的取值范围是x≥4．解：由题意得x﹣4≥0，解得x≥4．故答案为：x≥4．5．氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为5×10﹣11．解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10﹣11．故答案为：5×10﹣11．6．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y=−2x的图象上，则y1＜y2．（填“＞”或“＜”）解：∵反比例函数y=−2x的图象在二、四象限，而A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在第二象限，∴在第二象限内，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1∴y1＜y2．故答案为：＜7．计算：√12−√3=√3．解：√12−√3=2√3−√3=√3．故答案为：√3．8．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD 是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°．解：∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，故答案为：40．9．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于1．解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．10．将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝√2−1．（结果保留根号）解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝1，∠CDA＝90°，∵边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上，∴CF =√2，∠CFE ＝45°， ∴△DFH 为等腰直角三角形， ∴DH ＝DF ＝CF ﹣CD =√2−1． 故答案为√2−1．11．如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 80 °．解：设转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x ， 根据题意得：12x =19，解得x =29，∴转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°×29=80°． 故答案为：80．12．已知抛物线y ＝ax 2+4ax +4a +1（a ≠0）过点A （m ，3），B （n ，3）两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2+a +1的最小值是74．解：∵抛物线y ＝ax 2+4ax +4a +1＝a （x +2）2+1（a ≠0）， ∴顶点为（﹣2，1），过点A （m ，3），B （n ，3）两点， ∴a ＞0，∴对称轴为直线x ＝﹣2，线段AB 的长不大于4， ∴4a +1≥3 ∴a ≥12∴a 2+a +1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为74．二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）13．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 7÷a 3＝a 4C ．（a 3）5＝a 8D ．（ab ）2＝ab 2解：A 、a 2•a 3＝a 5，故此选项错误； B 、a 7÷a 3＝a 4，正确；C 、（a 3）5＝a 15，故此选项错误；D 、（ab ）2＝a 2b 2，故此选项错误； 故选：B ．14．（3分）一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．解：俯视图从图形上方观察即可得到， 故选：D ．15．（3分）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC ̂=CB ̂．若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数等于（ ）A．55°B．60°C．65°D．70°解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵DĈ=CB̂，∴∠CAB=12∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．16．（3分）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组{x+2＞a(2a−1)x−6＜0的解集的是（）A．B．C．D．解：由x+2＞a得x＞a﹣2，A．由数轴知x＞﹣3，则a＝﹣1，∴﹣3x﹣6＜0，解得x＞﹣2，与数轴不符；B．由数轴知x＞0，则a＝2，∴3x﹣6＜0，解得x＜2，与数轴相符合；C．由数轴知x＞2，则a＝4，∴7x﹣6＜0，解得x＜67，与数轴不符；D．由数轴知x＞﹣2，则a＝0，∴﹣x﹣6＜0，解得x＞﹣6，与数轴不符；故选：B ．17．（3分）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD 的长是23√10，点E （﹣2，0）为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点F （0，6）到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于（ ）A ．103B ．√10C ．163D ．3解：如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG ⊥PE 于G ，连接EF ．∵E （﹣2，0），F （0，6），∴OE ＝2，OF ＝6， ∴EF =√22+62=2√10， ∵∠FGE ＝90°， ∴FG ≤EF ，∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大．如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J ．设BC ＝2a ．∵P A ＝PB ，BE ＝EC ＝a ， ∴PE ∥AC ，BJ ＝JH ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BH ＝DH =√103，BJ =√106， ∴PE ⊥BD ，∵∠BJE ＝∠EOF ＝∠PEF ＝90°， ∴∠EBJ ＝∠FEO ， ∴△BJE ∽△EOF ， ∴BE EF =BJ EO，∴2√10=√1062，∴a =53， ∴BC ＝2a =103， 故选：A ．三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。
2019年镇江市中考数学试题、答案(解析版)
2019年镇江市中考数学试题、答案（解析版）（满分：120分 考试时间：120分钟）一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1.2019-的相反数是 . 2.27的立方根为 .3.一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x = .4.x 的取值范围是 .5.氢原子的半径约为0.000 000 000 05 m ，用科学记数法把0.000 000 000 05表示为 .6.已知点()12A y -，、()21B y -，都在反比例函数2y x=-的图象上，则1y 2y . （填“＞”或“＜”）7. .8.如图，直线a b ∥，ABC △的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D .若BCD △是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠= .（第8题）（第10题）9.若关于x 的方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 . 10.将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD = .11.如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 .12.已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点()3A m ，，()3B n ，两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是 .二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 13.下列计算正确的是（ ）A .236•a a a =B .734a a a ÷=C .()538a a ＝D .()22ab ab ＝ 14.一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）ABCD15.如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，»»DC CB =.若110C ∠=︒，则ABC∠的度数等于 （ ）A .55︒B .60︒C .65︒D .70︒16.下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组()22160x aa x +⎧⎨--⎩＞＜的解集的是（ ）AB CD17.如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD的长是2103，点()20E -，为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动.当点()06F ，到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于 （ ）A .103 B .10 C .163D .3三、解答题（本大题共有11小题，共计81分.解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 18.（本小题满分8分）（1）计算：11(22)2cos603-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭；（2）化简：21111xx x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭.18.（本小题满分10分）（1）解方程：23122x x x =+--； （2）解不等式：14(1)2x x --<.19.（本小题满分6分）如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在AD 、BC 上，=AE CF ，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H . （1）求证：AGE CHF △≌△；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由.21.（本小题满分6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率.22.（本小题满分6分）如图，在ABC △中，=AB AC ，过AC 延长线上的点O 作OD AO ⊥，交BC 的延长线于点D ，以O 为圆心，OD 长为半径的圆过点B . （1）求证：直线AB 与O e 相切（2）若=5AB ，O e 的半径为12，则tan BDO ∠= .23.（本小题满分6分）如图，点2A n （，）和点D 是反比例函数(0,0)my m x x=＞＞图象上的两点，一次函数30y kx k =+≠（）的图象经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，连接OA ，OD .已知OAB △与ODE △的面积满足34OAB ODE S S =△△：：. （1）OAB S =△ ，m = ；（2）已知点60P （，）在线段OE 上，当PDE CBO ∠=∠时，求点D 的坐标.24.（本小题满分6分）在三角形纸片ABC （如图1）中，78BAC ∠=︒，10AC =.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）. （1）ABC ∠= ︒；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长.参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒=，tan78 4.7︒≈.图1图225.（本小题满分6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）.各类别的得分表得分 类别0 A ：没有作答 1 B ：解答但没有正确 3 C ：只得到一个正确答案6D ：得到两个正确答案，解答完全正确已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分.请解决如下问题： （1）九（2）班学生得分的中位数是 ；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是多少？26.（本小题满分6分）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O e ）.人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的. 【实际应用】观测点A 在图1所示的O e 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒.PQ 是O e 的直径，PQ ON ⊥. （1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP km =，求这两个观测点之间的距离即O e 上»AB 的长.（π取3.1）图1图227.（本小题满分10分）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B . （1）点D 的坐标是 ；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n .过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ，使得DPQ △与DAB △相似.①当275n =时，求DP 的长；②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ △与DAB △相似，请直接写出n 的取值范围 .28.（本小题满分11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动.在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间.他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计.兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种. 【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度； ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；图1图2【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度.兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）.①a ；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度.若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是.（直接写出结果）2019年镇江市中考数学答案解析一、填空题 1.【答案】2019【解析】直接利用相反数的定义进而得出答案. 解：2019-的相反数是：2019. 故答案为：2019. 【考点】相反数 2.【答案】3【解析】找到立方等于27的数即可. 解：3327=Q ，27∴的立方根是3，故答案为：3. 【考点】立方根 3.【答案】5【解析】解：Q 数据4，3，x ，1，5的众数是5，5x ∴=，故答案为：5. 【考点】众数 4.【答案】4x ≥【解析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可. 解：由题意得40x -≥， 解得4x ≥. 故答案为：4x ≥.【考点】二次根式有意义的条件5.【答案】11510⨯﹣【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为-10n a ⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.解：用科学记数法把0.000 000 000 05表示为11510⨯﹣.故答案为：11510⨯﹣.【考点】用科学记数法表示较小的数 6.【答案】＜【解析】反比例函数2y x=-的图象在第二象限，在第二象限内，y 随x 的增大而增大，根据x 的值大小，得出y 值大小. 解：Q 反比例函数2y x=-的图象在二、四象限，而()12A y -，、()21B y -，都在第二象限， ∴在第二象限内，y 随x 的增大而增大，21--Q ＜，12y y ∴＜.故答案为：＜【考点】反比例函数图像上点的坐标特征7..=【考点】二次根式的加减法 8.【答案】40【解析】根据等边三角形的性质得到60BDC ∠=︒，根据平行线的性质求出2∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案. 解：BCD Q △是等边三角形，60BDC ∴∠=︒，a b Q ∥，260BDC ∴∠=∠=︒，由三角形的外角性质可知，1240A ∠=∠-∠=︒， 故答案为：40.【考点】等边三角形的性质，平行线的性质 9.【答案】1【解析】利用判别式的意义得到()2240m -∆=-=，然后解关于m 的方程即可. 解：根据题意得()2240m -∆=-=， 解得1m =. 故答案为1.【考点】一元二次方根的判别式10.1【解析】先根据正方形的性质得到1CD =，90CDA ∠=︒，再利用旋转的性质得CF 据正方形的性质得45CFDE ∠=︒，则可判断DFH △为等腰直角三角形，从而计算CF CD -即可.解：Q 四边形ABCD 为正方形，1CD ∴=，90CDA ∠=︒，Q 边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上，CF ∴45CFDE ∠=︒，DFH ∴△为等腰直角三角形，1DH DF CF CD ∴==-=.1.【考点】旋转的性质以及正方形的性质 11.【答案】80【解析】先根据题意求出转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于360︒计算即可.解：设转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x ， 根据题意得：1129x =， 解得29x =， ∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：2360809︒⨯=︒. 故答案为：80. 【考点】事件的概率 12.【答案】74【解析】根据题意得413a +≥，解不等式求得12a ≥，把12x =代入代数式即可求得. 解：Q 抛物线24410y ax ax a a =+++≠（）过点3A m （，），3B n （，）两点， 4222m n aa+∴=-=-. Q 线段AB 的长不大于4，413a ∴+≥. 12a ∴≥.21a a ∴++的最小值为：21171224⎛⎫++= ⎪⎝⎭；故答案为74.【考点】二次函数的性质二、选择题13.【答案】B【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案.解：A .235a a a g ＝，故此选项错误；B .734a a a ÷＝，正确；C .3515a a （）＝，故此选项错误；D .222ab a b （）＝，故此选项错误；故选：B .【考点】同底数幂的乘除运算，积的乘方运算，幂的乘方运算14.【答案】D【解析】从图形的上方观察即可求解；解：俯视图从图形上方观察即可得到：， 故选：D .【考点】几何体的三视图15.【答案】A【解析】连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠，根据圆周角定理求出ACB ∠、CAB ∠，计算即可.解：连接AC ，Q 四边形ABCD 是半圆的内接四边形，18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒，»»DCCB =Q ， 1352CAB DAB ∴∠=∠=︒， AB Q 是直径，90ACB ∴∠=︒，9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：A .【考点】圆内接四边形的性质，圆周角定理16.【答案】B【解析】由数轴上解集左端点得出a 的值，代入第二个不等式，解之求出x 的另外一个范围，结合数轴即可判断.解：由2x a +＞得2x a -＞，A .由数轴知3x -＞，则1a =-，360x ∴--＜，解得2x -＞，与数轴不符；B .由数轴知0x ＞，则2a =，360x ∴-＜，解得2x ＜，与数轴相符合；C .由数轴知2x ＞，则4a =，760x ∴-＜，解得67x ＜，与数轴不符；D .由数轴知2x -＞，则0a =，60x ∴--＜，解得6x -＞，与数轴不符；故选：B .【考点】一元一次不等式组17.【答案】A【解析】如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF .首先说明点G 与点F 重合时，FG 的值最大，如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J .设2BC a =.利用相似三角形的性质构建方程求解即可.解：如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF . ()20E -Q ，，()06F ，2OE ∴=，6OF =，EF ∴==，90FGE ∠=︒Q ，FG EF ∴≤.∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大.如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J .设2BC a =. PA PB =Q ，BE EC a ==，PE AC ∴∥，BJ JH =.Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BH DH ==BJ =， PE BD ∴⊥.90BJE EOF PEF ∠=∠=∠=︒Q ，EBJ FEO ∴∠=∠，BJE EOF ∴△∽△，BE BJ EF ∴=，62=， 53a ∴=， 1023BC a ∴==， 故选：A .【考点】菱形的性质，直角三角形三边的关系，相似三角形的判定和性质三、解答题18.【答案】解：（1）原式1132=32=+-⨯（2）21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭ 211111x x x x x -⎛⎫=+÷ ⎪---⎝⎭ (1)(1)1x x x x x+-=-g 1x =+【解析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；（2）根据分式的混合运算法则计算.【考点】实数的混合运算，分式的混合运算19.【答案】解：（1）方程两边同乘以2x -（）得232x x =+-1x ∴=检验：将1x =代入2x -（）得1210-=-≠ 1x =是原方程的解.∴原方程的解是1x =.（2）化简14(1)2x x --<得 1442x x --< 932x ∴< 32x ∴< ∴原不等式的解集为32x <. 【解析】（1）方程两边同乘以2x -（）化成整式方程求解，注意检验； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可.【考点】分式方程和一元一次不等式的解法20.【答案】解：（1）证明：AG EF ⊥Q ，CH EF ⊥，90G H ∴∠=∠=︒，AG CH ∥，AD BC Q ∥，DEF BFE ∴∠=∠，AEG DEF ∠=∠Q ，CFH BFE ∠=∠，AEG CFH ∴∠=∠，在AGE △和CHF △中，H AEG CFH AE CF G ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE CHF AAS ∴△≌△；（2）解：线段GH 与AC 互相平分，理由如下：连接AH 、CG ，如图所示：由（1）得：AGE CHF △≌△，AG CH ∴=，AG CH Q ∥，∴四边形AHCG 是平行四边形，∴线段GH与AC 互相平分.【解析】（1）由垂线的性质得出90G H ∠=∠=︒，AG CH ∥，由平行线的性质和对顶角相等得出AEG CFH ∠=∠，由AAS 即可得出AGE CHF △≌△；（2）连接AH 、CG ，由全等三角形的性质得出AG CH =，证出四边形AHCG 是平行四边形，即可得出结论.【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质21.【答案】解：解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，则小丽和小明在同一天值日的概率是3193=. 【解析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.【考点】用列表或画树状图法求事件的概率22.【答案】解：（1）证明：连接AB ，如图所示：AB AC =Q ，ABC ACB ∴∠=∠，ACB OCD ∠=∠Q ，ABC OCD ∴∠=∠，OD AO ⊥Q ，90COD ∴∠=︒，90D OCD ∴∠+∠=︒，OB OD =Q ，OBD D ∴∠=∠，90OBD ABC ∴∠+∠=︒，即90ABO ∠=︒，AB OB ∴⊥，Q 点B 在圆O 上，∴直线AB 与O e 相切；（2）23【解析】（1）连接OB ，由等腰三角形的性质得出ABC ACB ∠=∠，OBD D ∠=∠，证出90OBD ABC ∠+∠=︒，得出AB OB ⊥，即可得出结论；（2）由勾股定理得出13OA ==，得出8OC OA AC =-=，再由三角函数定义即可得出结果.解：90ABO ∠=︒Q ，13OA ∴==，5AC AB ==Q ，8OC OA AC ∴=-=，82tan 123OC BDO OD ∴∠===； 故答案为：23.【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及三角函数定义23.【答案】（1）38（2）解：由（1）知，反比例函数解析式是8y x=. 28n ∴=，即4n =.故24A （，），将其代入3y kx =+得到：234k +=. 解得12k =. ∴直线AC 的解析式是：132y x =+. 令0y =，则1302x +=， 6x ∴=-，()60C ∴-，.6OC ∴=.由（1）知，3OB =.设D a b （，），则DE b =，6PE a =-. PDE CBO ∠=∠Q ，90COB PED ∠=∠=︒，CBO PDE ∴△∽△，OB OC DE PE ∴=，即366b a =-①， 又8ab =②.联立①②，得24a b =-⎧⎨=-⎩（舍去）或81a b =⎧⎨=⎩. 故81D （，）.【解析】（1）由一次函数解析式求得点B 的坐标，易得OB 的长度，结合点A 的坐标和三角形面积公式求得3OAB S =△，所以4ODE S =△，由反比例函数系数k 的几何意义求得m 的值； 解：由一次函数3y kx =+知，03B （，）03B （，）. 又点A 的坐标是2n （，）， 13232OAB S ∴=⨯⨯=△. :3:4OAB ODE S S =Q △△.4ODE S ∴=△.Q 点D 是反比例函数(0,0)m y m x x=＞＞图象上的点， 142ODE m S ∴==△，则8m =. 故答案是：3；8；（2）利用待定系数法确定直线AC 函数关系式，易得点C 的坐标；利用90PDE CBO PED ∠=∠=∠=︒，判定CBO PDE △∽△，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE 、DE 的长度，易得点D 的坐标.【考点】待定系数法确定函数关系式，函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数m 的几何意义，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质24.【答案】（1）30（2）解：作CQ AB ⊥于Q ，在Rt AQC △中，sin QC QAC AC∠=， sin 100.989.8QC AC QAC ∴=∠≈⨯=g ，在Rt BQC △中，30ABC ∠=︒，219.6BC QC ∴==，9.6GC BC BG ∴=-=.【解析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；解：Q 五边形ABDEF 是正五边形，(52)1801085BAF -⨯︒∴∠==︒， 30ABC BAF BAC ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：30；（2）作CQ AB ⊥于Q ，根据正弦的定义求出QC ，根据直角三角形的性质求出BC ，结合图形计算即可.【考点】正多边形和圆，解直角三角形的应用25.【答案】（1）6（2）解：两个班一共有学生：()222750%98+÷=（人），九（1）班有学生：984850-=（人）.设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是x 人、y 人.由题意，得52250053622 3.7850x y x y +++=⎧⎨⨯+++⨯=⨯⎩， 解得617x y =⎧⎨=⎩. 答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是6人、17人.【解析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D 类，所以中位数是6分；（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班A 、D 两类的学生数得到B 类和C 类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解.【考点】统计图表与条形图的综合运用26.【答案】解：（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH ⊥交BC于点C ，如图所示：则67DHC ∠=︒，90HBD BHD BHD DHC ∠+∠=∠+∠=︒Q ，67HBD DHC ∴∠=∠=︒，ON BH Q ∥，67BEO HBD ∴∠=∠=︒，906723BOE ∴∠=︒-︒=︒，PQ ON ⊥Q ，90POE ∴∠=︒，902367POB ∴∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，673136AOB POB POA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， »36π64003968(km)180AB ⨯⨯∴==.【解析】（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH ⊥交BC 于点C ，则67DHC ∠=︒，证出67HBD DHC ∠=∠=︒，由平行线的性质得出67BEO HBD ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出23BOE ∠=︒，得出902367POB ∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，求出36AOB POB POA ∠=∠-∠=︒，由弧长公式即可得出结果.【考点】切线的性质，直角三角形的性质，弧长公式27.【答案】（1）()29，（2）解：对称轴2x =，925C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，， 由已知可求5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于2x =对称点为13,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，53B ∴（，）， ①当275n =时，272,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，DA ∴185DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，DPQ DAB △∽△，DAC DPN Q △∽△，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DAB △∽△， DNQ DCA Q V △∽△，DP DN DB DC∴=，DP ∴= 综上所述，DN = ②92155n << 【解析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；解：顶点为29D （，），故答案为()29，； （2）由对称轴可知点92,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于对称轴对称的点13,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，借助AD 的直线解析式求得(5,3)B ；①当275n =时，272,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求DA =，185DN =，365CD =.当365CD =时，PQ AB ∥，DPQ DAB △∽△，DP =；当PQ 与AB 不平行时，DP =；②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =245DN =，所以212,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有且只有一个DPQ △与DAB △相似时，92155n <<； 【考点】二次函数的图像及性质，函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质以及分类讨论思想28.【答案】【观察】①90②120【发现】①50②解：当050x ＜≤时，点()50150P ，在线段OP 上， ∴线段OP 的表达式为3y x =， 当150x v v x-<时，即当5075x ＜＜，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B 返回向点A 时， 设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -， 根据题意知，150(150150)x x y x y x-+=-+-， 3300y x ∴=-+， 即：3(050)3300(5075)x x y x x ⎧=⎨-+⎩＜≤＜＜， 补全图形如图2所示，【拓展】4875x ≤＜【解析】【观察】①设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论； ②此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论；解：①Q 相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，∴相遇地点与点B 之间的距离为15030120-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ，∴机器人乙的速度为120430v v =， ∴机器人甲从相遇点到点B 所用的时间为120v， 机器人乙从相遇地点到点A 再返回到点B 所用时间为30150454v v +=，而12045v v ＞， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A ，返回到点B ，再返回向A 时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A m 个单位，根据题意得，()30150150430m m ++-=-，90m ∴=，故答案为：90；②Q 相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，∴相遇地点与点B 之间的距离为15040110-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ，∴机器人乙的速度为11011404v v =， ∴机器人乙从相遇点到点A再到点B 所用的时间为4015076011114v v +=， 机器人甲从相遇点到点B 所用时间为110v ，而11076011v v >， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A ，再到点B ，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A 为m 个单位， 根据题意得，1140150150(40)4m m ++-=-， 120m ∴=，故答案为：120；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x-，根据题意列方程即可得到结论； 解：①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -， 根据题意知，150150(150)x x x x-+=-， 50x ∴=，经检验：50x =是分式方程的根，即：50a =，故答案为：50；②设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -，根据题意列函数解析式即可得到结论；【拓展】由题意得到150150150(150150)x x y x y x-+++=-+-，得到5300y x =-+，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论. 解：如图，由题意知，150150150(150150)x x y x y x -+++=-+-， 5300y x ∴=-+，Q 第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，530060x ∴-+≤，48x ∴≥，75x Q ＜，4875x ∴≤＜，故答案为4875x ≤＜.。
江苏省镇江市中考数学真题试题(含解析)
镇江市中考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）1 2019的相反数是_________ .2. ____________________ 27的立方根为.3. —组数据4, 3, x, 1, 5的众数是5，则x= ____________ .4•若代数式■—有意义，则实数x的取值范围是_________ .5. 氢原子的半径约为0.00000000005 m用科学记数法把0.00000000005表示为____________ .26. 已知点A（- 2, y1）、B（- 1, y2）都在反比例函数y —的图象上，则y1 _______________ 屮.（填“〉”或“V”）7•计算：.-:_= _________________ .&如图，直线a// b,A ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若厶BCD是等边三角形，/ A= 20°，则/ 1 = _________ ° .9 .若关于x的方程x2- 2x+m= 0有两个相等的实数根，则实数m的值等于________ .10•将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG勺位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H,则HD= _______ .（结果保留根号）11. 如图，有两个转盘A B,在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1, 2，分别转动转盘1A、B,当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是•.，贝U转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是__________ ° .符合题目要求） 13. 下列计算正确的是（14. 一个物体如图所示，它的俯视图是（_ 212. 已知抛物线 y = ax +4ax +4a +1 (a * 0)过点 A (m 3), B （n , 3）两点，若线段 AB 的长不大于4, 则代数式a 2+a +1的最小值是 二、选择题（本大题共有5小题，每小题 3分，共计15分, 在每小题所给出的四个选项中恰有一项A. a 2? a 3 = a 6734B. a * a=aC.D.( ab ) 2= ab 2从正面看15.如图，四边形 ABCD 是半圆的内接四边形, AB 是直径，1 =''.若/ C = 110°，则/ ABC 的度A. 55 °B. 60 ° 16.下列各数轴上表示的 x 的取值范围可以是不等式组C. 65°D. 70°\+2>a(2a-l)x-6< 0的解集的是((6分)如图，四边形 ABCD 中,AD// BC 点E 、F 分别在AD BC 上,AE= CF,过点AC 分别作EF 的垂线，垂足为G H. (1) 求证：△ AGE^A CHF(2) 连接AC 线段GH 与 AC 是否互相平分？请说明理由.A.B.C.fl ---------D.17•如图，菱形 ABC 啲顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧)，顶点 A 、D 在x 轴上方，对角线 的长是I "，点E (- 2, 0)为BC 的中点，点 P 在菱形ABCD 勺边上运动•当点 F (0, 6)BDP 恰好落在AB 的中点处，则菱形 ABC 啲边长等于(16CD. 381分。
《中考真题》江苏省镇江市2019年中考数学真题试题(含解析)
镇江市2019年中考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）1．﹣2019的相反数是．2．27的立方根为．3．一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝．4．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．5．氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为．6．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1y2．（填“＞”或“＜”）7．计算：﹣＝．8．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝°．9．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于．10．将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝．（结果保留根号）11．如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是°．12．已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是．二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）13．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a7÷a3＝a4C．（a3）5＝a8D．（ab）2＝ab214．一个物体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．15．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°16．下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）A．B．C．D．17．如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD 的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。
2019年江苏省镇江市中考数学试题(原卷+解析)含答案
2019年江苏省镇江市中考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）1．（2分）﹣2019的相反数是．2．（2分）27的立方根为．3．（2分）一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝．4．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．5．（2分）氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为．6．（2分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1y2．（填“＞”或“＜”）7．（2分）计算：﹣＝．8．（2分）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝°．9．（2分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于．10．（2分）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝．（结果保留根号）11．（2分）如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是°．12．（2分）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是．二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）13．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a7÷a3＝a4C．（a3）5＝a8D．（ab）2＝ab2 14．（3分）一个物体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．15．（3分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°16．（3分）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）A．B．C．D．17．（3分）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。
2019年江苏省镇江市中考数学试卷
2019年江苏省镇江市中考数学试卷原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！随风潜入夜，润物细无声。
出自杜甫的《春夜喜雨》李度一中 陈海思一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）1．（2分）（2019•镇江）2019-的相反数是 ． 2．（2分）（2019•镇江）27的立方根为 ．3．（2分）（2019•镇江）一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x = ．4．（2分）（2019•镇江）若代数式4x -有意义，则实数x 的取值范围是 ．5．（2分）（2019•镇江）氢原子的半径约为0.00000000005m ，用科学记数法把0.00000000005表示为 ．6．（2分）（2019•镇江）已知点1(2,)A y -、2(1,)B y -都在反比例函数2y x=-的图象上，则1y 2y ．（填“>”或“<” )7．（2分）（2019•镇江）计算：123-= ．8．（2分）（2019•镇江）如图，直线//a b ，ABC ∆的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若BCD ∆是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠= ︒．9．（2分）（2019•镇江）若关于x 的方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 ．10．（2分）（2019•江）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与相交于点H ，则HD = ．（结果保留根号）11．（2分）（2019镇江）如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分标有数字1，2，分别动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 ︒．12．（2分）（2019•镇江）已知抛物线2441(0)y ax ax a a =+++≠过点(,3)A m ，(,3)B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是 ．二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）13．（3分）（2019•镇江）下列计算正确的是( )A ．236a a a =B ．734a a a ÷=C ．358()a a =D ．22()ab ab =14．（3分）（2019•镇江）一个物体如图所示，它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．15．（3分）（2019•镇江）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒16．（3分）（2019•镇江）下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组2(21)60x a a x +>⎧⎨--<⎩的解集的是( ) A ．B ．C ．D ．17．（3分）（2019•镇江）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD 2103(2,0)E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点(0,6)F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于( )A ．103B ．10C ．163D ．3三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。
2019年镇江市中考数学试卷(解析版)
2019年镇江市中考数学试卷（解析版）一、填空题（每小题2分，共计24分.）1．（2分）﹣2019的相反数是2019．【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．【解答】解：﹣2019的相反数是：2019．故答案为：2019．2．（2分）27的立方根为3．【分析】找到立方等于27的数即可．【解答】解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．3．（2分）一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝5．【分析】根据众数的概念求解可得．【解答】解：∵数据4，3，x，1，5的众数是5，∴x＝5，故答案为：5．4．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≥4．【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得x﹣4≥0，解得x≥4．故答案为：x≥4．5．（2分）氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为5×10﹣11．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10﹣11．故答案为：5×10﹣11．6．（2分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1＜y2．（填“＞”或“＜”）【分析】反比例函数y＝﹣的图象在第二象限，在第二象限内，y随x的增大而增大，根据x的值大小，得出y值大小．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣的图象在二、四象限，而A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在第二象限，∴在第二象限内，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1∴y1＜y2．故答案为：＜7．（2分）计算：﹣＝．【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．【解答】解：＝2﹣＝．故答案为：．8．（2分）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°．【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC＝60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，故答案为：40．9．（2分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于1．【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．10．（2分）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝﹣1．（结果保留根号）【分析】先根据正方形的性质得到CD＝1，∠CDA＝90°，再利用旋转的性质得CF＝，根据正方形的性质得∠CFDE＝45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF﹣CD即可．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝1，∠CDA＝90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF＝，∠CFDE＝45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH＝DF＝CF﹣CD＝﹣1．故答案为﹣1．11．（2分）如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是80°．【分析】先根据题意求出转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于360°计算即可．【解答】解：设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x，根据题意得：，解得，∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°×＝80°．故答案为：80．12．（2分）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是．【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x＝代入代数式即可求得．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴＝﹣＝﹣2∵线段AB的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥∴a2+a+1的最小值为：（）2++1＝；故答案为．二、选择题（每小题3分，共计15分）13．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a7÷a3＝a4C．（a3）5＝a8D．（ab）2＝ab2【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；B、a7÷a3＝a4，正确；C、（a3）5＝a15，故此选项错误；D、（ab）2＝a2b2，故此选项错误；故选：B．14．（3分）一个物体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】从图形的上方观察即可求解；【解答】解：俯视图从图形上方观察即可得到，故选：D．15．（3分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．16．（3分）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）A．B．C．D．【分析】由数轴上解集左端点得出a的值，代入第二个不等式，解之求出x的另外一个范围，结合数轴即可判断．【解答】解：由x+2＞a得x＞a﹣2，A．由数轴知x＞﹣3，则a＝﹣1，∴﹣3x﹣6＜0，解得x＞﹣2，与数轴不符；B．由数轴知x＞0，则a＝2，∴3x﹣6＜0，解得x＜2，与数轴相符合；C．由数轴知x＞2，则a＝4，∴7x﹣6＜0，解得x＜，与数轴不符；D．由数轴知x＞﹣2，则a＝0，∴﹣x﹣6＜0，解得x＞﹣6，与数轴不符；故选：B．17．（3分）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD 的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3【分析】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．首先说明点G与点F重合时，FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【解答】解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．∵E（﹣2，0），F（0，6），∴OE＝2，OF＝6，∴EF＝＝2，∵∠FGE＝90°，∴FG≤EF，∴当点G与E重合时，FG的值最大．如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．∵P A＝PB，BE＝EC＝a，∴PE∥AC，BJ＝JH，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BH＝DH＝，BJ＝，∴PE⊥BD，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，∴∠EBJ＝∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴＝，∴＝，∴a＝，∴BC＝2a＝，故选：A．三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。
2019年江苏省镇江市中考数学试卷解析版
2019年江苏省镇江市中考数学试卷解析版一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）1．（2分）﹣2019的相反数是2019．【解答】解：﹣2019的相反数是：2019．故答案为：2019．2．（2分）27的立方根为3．【解答】解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．3．（2分）一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝5．【解答】解：∵数据4，3，x，1，5的众数是5，∴x＝5，故答案为：5．4．（2分）若代数式√x−4有意义，则实数x的取值范围是x≥4．【解答】解：由题意得x﹣4≥0，解得x≥4．故答案为：x≥4．5．（2分）氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为5×10﹣11．【解答】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10﹣11．故答案为：5×10﹣11．6．（2分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y=−2x的图象上，则y1＜y2．（填“＞”或“＜”）【解答】解：∵反比例函数y=−2x的图象在二、四象限，而A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在第二象限，∴在第二象限内，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1∴y1＜y2．故答案为：＜7．（2分）计算：√12−√3=√3．【解答】解：√12−√3=2√3−√3=√3．故答案为：√3．8．（2分）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°．【解答】解：∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，故答案为：40．9．（2分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于1．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．10．（2分）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝√2−1．（结果保留根号）【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴CD ＝1，∠CDA ＝90°，∵边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上，∴CF =√2，∠CFE ＝45°， ∴△DFH 为等腰直角三角形， ∴DH ＝DF ＝CF ﹣CD =√2−1． 故答案为√2−1．11．（2分）如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 80 °．【解答】解：设转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x ， 根据题意得：12x =19，解得x =29，∴转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°×29=80°． 故答案为：80．12．（2分）已知抛物线y ＝ax 2+4ax +4a +1（a ≠0）过点A （m ，3），B （n ，3）两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2+a +1的最小值是74．【解答】解：∵抛物线y ＝ax 2+4ax +4a +1＝a （x +2）2+1（a ≠0）， ∴顶点为（﹣2，1），过点A （m ，3），B （n ，3）两点， ∴a ＞0，∴对称轴为直线x ＝﹣2，线段AB 的长不大于4， ∴4a +1≥3 ∴a ≥12∴a 2+a +1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为74．二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）13．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 7÷a 3＝a 4C ．（a 3）5＝a 8D ．（ab ）2＝ab 2【解答】解：A 、a 2•a 3＝a 5，故此选项错误； B 、a 7÷a 3＝a 4，正确；C 、（a 3）5＝a 15，故此选项错误；D 、（ab ）2＝a 2b 2，故此选项错误； 故选：B ．14．（3分）一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：俯视图从图形上方观察即可得到， 故选：D ．15．（3分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DĈ=CB̂．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵DĈ=CB̂，∴∠CAB=12∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．16．（3分）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组{x+2＞a(2a−1)x−6＜0的解集的是（）A．B．C．D．【解答】解：由x +2＞a 得x ＞a ﹣2，A ．由数轴知x ＞﹣3，则a ＝﹣1，∴﹣3x ﹣6＜0，解得x ＞﹣2，与数轴不符；B ．由数轴知x ＞0，则a ＝2，∴3x ﹣6＜0，解得x ＜2，与数轴相符合；C ．由数轴知x ＞2，则a ＝4，∴7x ﹣6＜0，解得x ＜67，与数轴不符； D ．由数轴知x ＞﹣2，则a ＝0，∴﹣x ﹣6＜0，解得x ＞﹣6，与数轴不符； 故选：B ．17．（3分）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD 的长是23√10，点E （﹣2，0）为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点F （0，6）到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于（ ）A ．103B ．√10C ．163D ．3【解答】解：如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG ⊥PE 于G ，连接EF ．∵E （﹣2，0），F （0，6），∴OE ＝2，OF ＝6， ∴EF =√22+62=2√10，∵∠FGE ＝90°， ∴FG ≤EF ，∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大．如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J ．设BC ＝2a ．∵P A ＝PB ，BE ＝EC ＝a ， ∴PE ∥AC ，BJ ＝JH ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，BH ＝DH =√103，BJ =√106，∴PE ⊥BD ，∵∠BJE ＝∠EOF ＝∠PEF ＝90°， ∴∠EBJ ＝∠FEO ， ∴△BJE ∽△EOF ， ∴BE EF =BJ EO，∴2√10=√1062，∴a =53， ∴BC ＝2a =103， 故选：A ．三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。
人教版2019年江苏镇江中考数学试题(解析版)
{来源}2019年镇江中考数学{适用范围：3．九年级}2019年江苏省镇江市中考数学试题时间：120分钟满分：120分{题型:2-填空题}一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）{题目}1．（2019年镇江）－2019的相反数是．{答案}2019{解析}本题考查了相反数的定义，根据“符号不同而绝对值相等的两个数互为相反数”，可知－2019的相反数是2019，因此本题答案为2019．{分值}2{章节:[1-1-2-3]相反数}{考点:相反数的定义}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019年镇江）27的立方根是．{答案}3{解析}本题考查了立方根的定义与求法，∵33＝27，∴27的立方根为3，3273，因此本题答案为3．{分值}2{章节:[1-6-2]立方根}{考点:立方根}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019年镇江）一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝．{答案}5{解析}本题考查了众数的概念，根据一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数，可知“数据4，3，x，1，5的众数是5”，则这组数据中必有两个5，故x＝5，因此本题答案为5．{分值}2{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}{考点:众数}{类别:常考题}{难度:1-最简单}x的取值范围{题目}4．（2019是．{答案}x≥4{解析}本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，只要其被开方数为非负数，那么它就有意义，由x－4≥0，得x≥4，因此本题答案为x≥4．{分值}2{章节:[1-16-1]二次根式}{考点:二次根式的有意义的条件}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:1-最简单}{题目}5．（2019年镇江）氢原子的半径约为0.000 000 000 05m，用科学记数法把0.000 000 000 05表示为．{答案}5×10－11{解析}本题考查了科学记数法，0.000 000 000 05是绝对值小于1的数，这类数用科学计数法表示的方法是写成n⨯10（1≤a＜10，n＞0 ）的形式，关键是确定－n．确a-定了n的值，－n的值就确定了，确定方法是：n的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．易知a＝5，n＝－11，故0.000 000 000 05＝5×10－11，因此本题答案为5×10－11．{分值}2{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}6．（2019年镇江）已知点A(－2，y1)、B(－1，y2)都在反比例函数y＝的图像上，则y1 y2．（填“＞”或“＜”）－2x{答案}＜在x＜0且k＜0时，{解析}本题考查了反比例函数的性质，根据“反比例函数y＝kxy随x的增大而增大”，由－2＜－1，得y1＜y2，因此本题答案为＜．{分值}2{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}{考点:反比例函数的性质}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}7．（2019＝．{答案{解析}本题考查了二次根式的加减运算，解答时应先化简二次根式，然后合并同类{分值}2{章节:[1-16-3]二次根式的加减} {考点:二次根式的加减法} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}8．（2019年镇江）如图，直线a ∥b ，△ABC 的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若△BCD 是等边三角形，∠A ＝20°，则∠1＝ °．{答案}40{解析}本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理，先求出∠ACD 的度数是解题的关键． ∵△BCD 是等边三角形， ∴∠B ＝∠BCD ＝60°． ∵∠A ＝20°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝100°． ∴∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝40°．1DCAba 第8题图∵a∥b，∴∠1＝∠ACD＝40°．因此本题答案为40．{分值}2{章节:[1-5-3]平行线的性质}{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}{章节:[1-13-2-2]等边三角形}{考点:两直线平行内错角相等}{考点:三角形内角和定理}考点:等边三角形的性质}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}9．（2019年镇江）若关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于．{答案}1{解析}本题考查了一元二次方程的根判别式定理，由原方程有两个相等的实数根，得△＝(－2)2－4×1×m＝0，解得m＝1，因此本题答案为1．{分值}2{章节:[1-21-2-2]公式法}{考点:根的判别式}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}10．（2019年镇江）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD ＝ ．（结果保留根号）{答案－1{解析}本题考查了正方形的性质、旋转、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．由正方形的对角线与相邻的边夹角为45°，得∠CFE ＝∠ECF ＝45°，而在Rt △CEF 中，由勾股定理，得CF，从而DF1，易知△DHF 是等腰直角三角形，于是DH ＝DF－1－1． {分值}2{章节:[1-23-1]图形的旋转} {章节:[1-18-2-3] 正方形} {章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {章节:[1-17-1]勾股定理} {考点:等腰直角三角形} {考点:勾股定理} {考点:正方形的性质}第10题图HGFEDCB A{考点:旋转的性质} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}11．（2019年镇江）如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1、2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 °．{答案}80{解析}本题考查了二步事件的概率，由于第一个转盘落在1的概率为12，而两个转盘都落在1的概率是19，∴转盘2落在1的概率为19÷12＝29，∴转盘2中数字1所在的圆心角＝29×360°＝80°，因此本题答案为80．{分值}2第11题图{章节:[1-25-2]用列举法求概率}{考点:几何概率}{类别:高度原创}{类别:易错题}{难度:4-较高难度}{题目}12．（2019年镇江）已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是．{答案}74{解析}本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB的长不大于4，求出a的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a2＋a＋1的最小值．∵y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1，∴该抛物线的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x＝－2．∵抛物线过点A(m，3)，B(n，3)两点，∴当y＝3时，a(x＋2)2＋1＝3，(x＋2)2＝2a，当a＞0时，x＝－2∴A(－23)，B(－23)．∴AB＝∵线段AB的长不大于4，∴4．∴a≥12．∵a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34，∴当a＝12，(a2＋a＋1)min＝(a＋12)2＋34＝74．因此本题答案为74．{分值}2{章节:[1-22-1-4]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质}{考点:二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质}{考点:抛物线与不等式（组）}{考点:其他二次函数综合题}{类别:高度原创}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:5-高难度}{题型:1-选择题}二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，满分15分）{题目}13．（2019年镇江）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．a7÷a3＝a4 C．(a3)5＝a8D．(ab)2＝ab2{答案}B{解析}本题考查了幂的运算性质，∵a2•a3＝a2＋3＝a5，a7÷a3＝a7－3＝a4，(a3)5＝a3×5＝a15，(ab)2＝a2b2，∴只有选项B正确，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-14-1]整式的乘法}{考点:同底数幂的乘法}{考点:同底数幂的除法}{考点:幂的乘方}{考点:积的乘方}{类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}14．（2019年镇江）一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）{答案}D{解析}本题考查了几何体的三视图，因为从上面看，有3个小正方形，且这3个小正方形排成一行，因此本题选D ． {分值}3{章节:[1-29-2]三视图} {考点:简单几何体的三视图} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}15．（2019年镇江）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，弧DC ＝弧CB ．若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数等于（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°第14题图 A ． B ． C ． D ．{答案}A{解析}本题考查了圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦弧关系定理、等腰三角形的性质，解题的关键是充分利用圆的性质及转化思想．如答图，连接BD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°．∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠C ＋∠A ＝180°．∵∠C ＝110°，∴∠A ＝70°．∴∠DAB ＝20°．∵弧DC ＝弧CB ，∴DC ＝CB ．∴∠CBD ＝∠CDB ＝1(180110)2︒-︒＝35°．第15题答图 第15题图∴∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝20°＋35°＝55°．∴本题选A ．{分值}3{章节:[1-24-1-4]圆周角}{考点:圆心角、弧、弦的关系}{考点:圆周角定理}{考点:直径所对的圆周角}{考点:圆内接四边形的性质}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:3-中等难度}{题目}16．（2019年镇江）下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组2(21)60x a a x +>⎧⎨--<⎩的解集的是（ ）{答案}B{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法及不等式组的解集在数轴上的表示，解题的关键是先解每一个不等式，根据选项，知不等式组的解集是“大小小大取中间”，由此锁定答案．由x ＋2＞a ，得x ＞a －2；A ．B ．C ．D ．由(2a－1)x－6＜0，得x＜621a-（此时a＞12），从而原不等式组的解集为a－2＜x＜621a-．∵a＞12，∴a－2＞－32．当a－2＝0时，a＝2，此时621a-＝2；当a－2＝2时，a＝4，此时621a-＝67；综上，排除了A、D、C三个选项，只有选项B正确．因此本题选B．{分值}3{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}{考点:解一元一次不等式组}{考点:在数轴上表示不等式的解集}{考点:解一元一次方程（简便运算）}{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:易错题}{难度:4-较高难度}{题目}17．（2019年镇江）如图菱形ABCD的顶点B、C在x轴（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD，点E(－2，0)为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当F(0，6)到EP所在的直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A ．103 B．163D ．3{答案}A{解析}本题考查了菱形的性质，直角三角形三边的关系，相似三角形的判定和性质等．当F 到PE 的距离为最大时，P 为AB 的中点，则此时EF⊥PE，如答图，连接AC 交BD 于G ，则BG⊥CG，BG＝12BD∵OE＝2，OF ＝6，∴EF＝∵P、E 分别为AB 、BC 的中点，∴PE∥AC．∴EF∥BG，CG⊥EF，易证△CGB∽FOE ．第17题答图 第17题图∴BG OEBC EF =，即3BC =，解得BC ＝103． 因此本题选A ．{分值}3{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}{考点:菱形的性质}{考点:相似三角形的性质}{考点:勾股定理}{考点:三角形的中线}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:易错题}{难度:5-高难度}{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共有11小题，共计81分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．{题目}18．（2019年镇江）（1）计算：0112)()3-+－2cos60°；（2）化简：21(1)11x x x +÷--． {解析}本题考查了实数的运算和分式的混合运算，解答题的关键是掌握零次幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值以及分式混合运算的法则．（1）先求出零次幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值的值，然后做加减运算；（2）先做括号内的分式加减，再把分式的除法转化为分式的乘法，约分后化成最简分式．{答案}解：（1）原式＝1＋3－2×12＝1＋3－1＝3．（2）原式＝21111x x x x -+-⋅-＝(1)(1)1x x x x x +-⋅-＝x ＋1．{分值}8{章节:[1-6-3]实数}{章节:[1-15-2-2]分式的加减}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:简单的实数运算}{考点:分式的混合运算}{题目}19．（2019年镇江）（1）解方程：23122x x x =+--；（2）解不等式：4(x －1)－12＜x ．{解析}本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，解题的关键是把分式方程转化为整式方程，以及利用不等式的性质进行计算．（1）把方程两边同时乘以(x －2)，转化为整式方程后，解这个整式方程，验根后确定方程的解；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，再化系数为1．{答案}解：（1）方程两边同乘以(x －2)，得2x ＝3＋x －2，解得x ＝1．检验：当x ＝1时，x －2≠0．∴原方程的解为x ＝1．（2）去分母，得8(x －1)－1＜2x ，去括号，得8x －8－1＜2x ，移项，得8x －2x ＜8＋1，合并同类项，得6x ＜9，系数化为1，得x ＜32．∴原不等式的解集为x ＜32．{分值}10{章节:[1-15-3]分式方程}{章节:[1-9-2]一元一次不等式}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:解含两个分式的分式方程}{考点:分式方程的检验}{考点:解一元一次不等式}{题目}20．（2019年镇江）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，AE ＝CF ，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H ．（1）求证：△AGE ≌△CHF ；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．{解析}本题考查了三角形的全等的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形判定的方法和平行四边形的判定和性质．（1）利用角角边进行证明；（2）连接CG 、AC 、AH ，通过证明四边形AHCG 为平行四边形来证明AC 、HG 互相平分．{答案}解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠AEF ＝∠CFE ．H GF E D CBA 第20题图∴∠AEG ＝∠CFH ．∵AG ⊥EF ，CH ⊥EF ，∴∠AGE ＝∠CHF ＝90°．又∵AE ＝CF ，∴△AGE ≌△CHF （AAS ）．（2）线段GH 与AC 互相平分，理由如下：如答图，连接CG 、AC 、AH ．∵△AGE ≌△CHF ，∴AG ＝CH ．∵AG ⊥EF ，CH ⊥EF ，∴AG ∥CH ．∴四边形AHCG 是平行四边形．∴AC 、HG 互相平分．{分值}6{章节:[1-5-3]平行线的性质}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}{考点:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形}{考点:平行四边形对角线的性质}第20题答图 HGF E DCB A{题目}21．（2019年镇江）小丽和小明在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．{解析}本题考查了概率的计算，解题的关键是用画树状图或列表格的方法所有的等可能事件．先用画树状图或列表格的方法列出所有的等可能事件，然后找出我们关注的事件的结果，再利用概率公式进行计算．{答案}解：现画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，故P(小丽和小明在同一天值日)＝39＝13．{分值}6{章节:[1-25-2]用列举法求概率}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:两步事件不放回}{题目}22．（2019年镇江）（6分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过AC 的延长线的点O 作OD ⊥AO ，交BC 的延长线于点D ，以O 为圆心，OD 的长为半径的圆过点B ．（1）求证：直线AB 与⊙O 相切；（2）若AB ＝5，⊙O 的半径为12，则tan ∠BOD ＝________． 第21题答图 (xq2,xq3)(xq3,xq3)(xq3,xq2)(xq3,xq1)(xq2,xq2)(xq2,xq1)(xq1,xq3)(xq1,xq2)(xq1,xq1)结果：开始小明：小丽：xq3xq1xq2xq3xq1xq2xq2xq1xq3xq3xq2xq1{解析}本题考查了圆的切线的证明和三角函数的计算，解题的关键是掌握切线的判定方法及构造直角三角形．（1）连接OB ，利用等腰三角形和三角形内角和证明∠ABO ＝90°即可；（2）先由勾股定理，求出OA 的长，然后求出OC 的长，最后在Rt △OCD 中，利用正切定义进行计算即可．{答案}解：（1）如答图，连接OB ．∵OD ⊥AO ，∴∠DOC ＝90°．∴∠D ＋∠DCO ＝90°．∵OB ＝OD ，AB ＝AC ，∴∠OBD ＝∠D ，∠ABC ＝∠ACB ．又∵∠DCO ＝∠ACB ，∴∠ABC ＝∠DCO ．∴∠OBD ＋∠ABC ＝90°，即∠ABO ＝90°．又∵点B 在⊙O 上，∴AB 是⊙O 的切线． 第22题图 ODC B A（2）∵AB ＝5，⊙O 的半径为12， ∴在Rt △ABO 中，由勾股定理，得OA＝13． ∴OC ＝OA －AC ＝13－5＝8． ∴在Rt △OCD 中，tan∠BDO＝82123OC OD ==． {分值}6{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {类别:易错题} {考点:切线的判定} {考点:正切}{考点:勾股定理}{题目}23．（2019年镇江）（6分）如图，点A(2，n)和点D 是反比例函数y ＝mx（m ＞0，x ＞0）图像上的两点，一次函数y ＝kx ＋3（k ≠0）的图像经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，连接OA 、OD ．已知△OAB 与△ODE 的面积满足S △OAB ﹕S △ODE ＝3﹕4． （1）S △OAB ＝________，m ＝________；（2）已知点P(6，0)在线段OE 上，当∠PDE ＝∠CBO 时，求点D 的坐标．ODCBA 第22题答图{解析}本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质等，解题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质．（1）先求出B点纵坐标和A点的横坐标，利用利用三角形面积公式可得△OBA的面积，再根据面积的比较关系求出△ODE的面积，最后根据反比例函数的比例系数的几何意义求出m的值；（2）先由点A在双曲线上，求出A点坐标；再先求出直线AB的解析式；连接DP，通过条件∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，得PD∥AB，于是可令直线PD的解析式为y＝12x＋t，则0＝12×6＋t，求出PD的解析式；最后由1328y xyx⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1181xy=⎧⎨=⎩，2224xy=-⎧⎨=-⎩．从而锁定D点的坐标．{答案}解：（1）∵一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，∴B(0，3)，OB＝3．∵点A(2，n)，∴Ay＝2．∴S△AOB＝12•OB•Ay＝12×3×2＝3．∵S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4，∴S△DOE＝4．∵DE⊥x轴，且点D在双曲线y＝mx 上，第23题图∴12m＝4．∵m＞0，∴m＝8．（2）如答图，连接PD，∵点A(2，n)在双曲线y＝8x上，∴2n＝8，n＝4，A(2，4)．∵一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，∴4＝2k＋3．∴k＝12，直线AB的解析式为y＝12x＋3．∵∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，∴∠DPE＝∠BCO．∴PD∥AB．∴令直线PD的解析式为y＝12x＋t，则0＝12×6＋t．∴t＝－3，直线PD的解析式为y＝12x－3．由1328y xyx⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1181xy=⎧⎨=⎩，2224xy=-⎧⎨=-⎩．第23题答图∵点D 在第一象限， ∴D(8，1)． {分值}6{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {难度:4-较高难度} {类别:思想方法} {类别:常考题} {类别:高度原创} {类别:易错题}{考点:反比例函数与一次函数的综合} {考点:反比例函数的几何意义}{题目}24．（2019年镇江）（6分）在三角形纸片ABC （如图1）中，∠BAC ＝78°，AC ＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）． （1）∠ABC ＝__________°；（2）求正五边形GHMNC 的边长GC 的长．参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4. 7．图1 图2第24题图FB{解析}本题考查了正多边形的计算，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形．（1）利用正多边形内角和以及角的大小关系可求出∠ABC 的度数；（2）过点C 作CP ⊥AB ，垂足为P ，通过解直角三角形，可求出CG 的长． {答案}解：（1）∵五边形ABDEF 是正五边形， ∴∠BAF＝(52)1805-⨯︒＝108°＝∠BA C ＋∠ABC ． ∴∠ABC ＝108°－∠BA C ＝108°－78°＝30°．（2）如答图，过点C 作CP ⊥AB ，垂足为P ，则由∠B ＝30°，得BC ＝2PC ．在Rt △APC 中，sinA ＝PCAC， ∴PC ＝ACsinA ＝10sin78°＝10×0.98＝9.8． ∴BC ＝2BC ＝2×9.8＝19.6．∴GC ＝BC －BG ＝BC －AC ＝19.6－10＝9.6． ∴正五边形GHMNC 的边长GC 的长为9.6． {分值}6{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:3-中等难度} {类别:高度原创} {类别:常考题} {考点:正多边形和圆} {考点:解直角三角形} {考点:多边形的内角和}第24题答图{题目}25．（2019年镇江）（6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题： （1）九（2）班学生得分的中位数是_________；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是多少？ {解析}本题考查了条形统计图以及中位数等概念，解题的关键是读出图中相关联的数据并列方程组来解决问题．（1）6理由：九（2）班一共有48人，而得6分的有27人，所以它的中位数是6．（2）先求出总人数，然后列方程组，解方程组即可解决问题． {答案}解：（1）6；（2）设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数分别为x 人和y 人，由图可知x ＋y ＝(22＋27)×50%－(8＋6＋12＋49)＝23．又由九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，得x ＋3y ＋6×22＝3.78×50． 由23357x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得617x y =⎧⎨=⎩．∴九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数分别为6人和17人．第25题图(2)班(1)班每班各类别得分人数的条形统计图各类别的得分表D ：得到两个正确答案，解答完全正确C ：只得到一个正确答案B ：解答但没有正确A ：没有作答6310类别得分{分值}6{章节:[1-10-2]直方图}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{类别:易错题}{考点:统计的应用问题}{考点:中位数}{考点:二元一次方程组的应用}{题目}26．（2019年镇江）（6分）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圆（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地面垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在的子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．（1）求∠POB的度数；（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的弧AB的长．（π取3.1）{解析}本题考查圆的切线的性质以及弧长计算，解题的关键是连接过切点的半径．（1）连接过切点的半径，把弦切角转化为圆心角，然后利用平行线的性质以及角的大小关系可求出∠POB 的度数；（2）利用弧长公式进行计算．{答案}解：（1）如答图，过点H 作HC ⊥BC 于点C ，则∠HBC ＝∠CHD ＝67°．∵BH ∥ON ， ∴∠HBC ＝∠ONB ＝67°．第26题答图DC(北极点)N H GOQPBA 指向北极星指向北极星指向北极星图1 图2第26题图∵BC切⊙O于点B，∴∠OBN＝90°．∴∠BON＋∠ONB＝90°．∵PQ⊥ON，∴∠BON＋∠POB＝90°．∴∠POB＝∠ONB＝67°．（2）由（1）易知∠POA＝31°，∠POB＝67°，从而∠AOB＝36°．∵R＝OA＝OP＝6400km，n＝36，π⋅⋅＝3968（km）．∴弧AB的长为366400180∴这两个观测点之间的距离约为3968km．{分值}6{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}{难度:4-较高难度} }{类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:高度原创}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义}{考点:切线的性质}{考点:弧长的计算}{题目}27．（2019年镇江）（10分）如图，二次函数y＝－x2＋4x＋5图像的x＋1的图像与x轴交于点A，且顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y＝25与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D 的坐标是__________；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ，使得△DPQ 与△DAB 相似． ①当n ＝275时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只且个△DPQ 与△DAB 相似，请直接写出n 的取值范围___________．{解析}本题考查了二次函数图形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是综合运用所学知识的能力．（1）把二次函数的一般式配成顶点式即可得D 点的坐标；（2）①先求出直线DB 的解析式，然后通过解方程组求出B 点的坐标，然后根据相似三角形的性质和线段的大小关系求出DP 的长．{答案}解：（1）∵y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x 2－4x ＋4－4)＋5＝－(x －2)2＋9， ∴D(2，9)．（2）∵一次函数y ＝25x ＋1的图像与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ，第27题图∴点A(－52，0)关于直线l （x ＝2）的对称点(132，0)在直线DB 上． 令DB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则291302k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得213k b =-⎧⎨=⎩，于是DB ：y ＝－2x ＋13．由215213y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得53x y =⎧⎨=⎩，故B(5，3)，从而DB＝，DA＝2． ①如答图1，在y ＝25x ＋1中，当x ＝2时，y ＝95，从而C(2，95)，N(2，275)， ∴DN ＝9－275＝185，DC ＝9－95＝365，DNDC＝12． 若△DPQ ∽△DAB ，则△DPN 与△DAC ，于是12DP DN DA DC ==，DP ＝12DA； 若△DPQ ∽△DBA ，则△DPN 与△DBC ，于是12DP DN DB DC ==，DP ＝12DB． 综上，符合条件的DP的长为4或2．②92155n <<，理由如下：如答图2，当△DPQ ∽△DBA ，且Q 点与B 点重合时，PB 与直线l 的交点N ，在此时的线段CN （不包括端点）上任意一点都满足条件，通过过点B 作答图1中第二种情况下的PQ 的平行线，易求出此时的PB 的解析式为y ＝－第27题答图1 第27题答图225x ＋5，且当x ＝2时，y ＝215，从而N(2，215)，于是，若对于每一个确定的n 的值，有且只且个△DPQ 与△DAB 相似， n 的取值范围是92155n <<． {分值}10{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {难度:5-高难度} {类别:思想方法} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {类别:易错题}{考点:二次函数中讨论相似} {考点:代数综合} {考点:几何综合}{题目}28．（2019年镇江）（11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于．．甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． 【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为_____个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为_____个单位长度． 【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度．兴趣小组成员发现了y 与x 的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP ，不包括点O ，如图2所示）． ①a ＝______；②分别求出各部分图像对应的函数表达式，并在图2中补全函数图像． 【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离x 的取值范围是__________．（直接写出结果）{解析}．本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握两个机器人相遇的情形． 【观察】①②画出两个行程的示意图，利用速度与路程，时间之间的关系进行计算； 【发现】①根据x 和y 之间的关系可求出a 的值；图1 图2第28题图B②先分别求出第一次相遇和第二次相遇时两人的路程之和，并求出对应的函数解析式，然后画出图形；【拓展】根据题意进行计算并分类讨论可得x的取值范围．{答案}解：【观察】90，120；【发现】①a＝50；②设机器人甲的速度为v1，走的总路程为s1；机器人乙的速度为v2，走的总路程为s2；它们行走的时间为t．由题意得v1＜v2，∴v1t＜v2t．∴s1＜s2．∵这两个机器人第一次迎面相遇时，路程和为150，∴相遇地点与点A之间的距离＝s1，即s1＝x．又∵s1＋s2＝150，s1＜150－s1，∴s1＜75．∴0＜x＜75．∵两个机器人第二次迎面相遇时，路程和为450，∴s1＝3x．∴当3x＝150，即x＝50时，两个机器人在B点相遇．当0＜x≤50时，y＝s1，即y＝3x；当50＜x＜75时，y＝300－s1，即y＝300－3x．故补图如下：第28题答图【拓展】0＜x≤12，48≤x≤72．{分值}11{章节:[1-19-2-2]一次函数}{难度:5-高难度}{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:易错题}{考点:分段函数的应用}{考点:一次函数与行程问题}{考点:代数综合}。
(真题)2019年江苏省镇江市中考数学试卷(有答案)(Word版)
中考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）1．（2分）﹣8的绝对值是．2．（2分）一组数据2，3，3，1，5的众数是．3．（2分）计算：（a2）3=．4．（2分）分解因式：x2﹣1=．5．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是．6．（2分）计算：=．7．（2分）圆锥底面圆的半径为1，侧面积等于3π，则它的母线长为．8．（2分）反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣2，4），则在每一个象限内，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）9．（2分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB=°．10．（2分）已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是．11．（2分）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．若sin∠B′AC=，则AC=．12．（2分）如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于．二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）13．（3分）0.000182用科学记数法表示应为（）A．0182×10﹣3B．1.82×10﹣4C．1.82×10﹣5D．18.2×10﹣414．（3分）如图是由3个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．15．（3分）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为（）A．36 B．30 C．24 D．1816．（3分）甲、乙两地相距80km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（）A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：5017．（3分）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k 的值为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有11小题，共计81分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（8分）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．19．（10分）（1）解方程：=+1．（2）解不等式组：20．（6分）如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为﹣3，﹣1，1，2，从A，B，C，D 四点中任意取两点，求所取两点之间的距离为2的概率．21．（6分）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，这本名著共有多少页？22．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=°．23．（6分）某班50名学生的身高如下（单位：cm）：160 163 152 161 167 154 158 171 156 168178 151 156 154 165 160 168 155 162 173158 167 157 153 164 172 153 159 154 155169 163 158 150 177 155 166 161 159 164171 154 157 165 152 167 157 162 155 160（1）小丽用简单随机抽样的方法从这50个数据中抽取一个容量为5的样本：161，155，174，163，152，请你计算小丽所抽取的这个样本的平均数；（2）小丽将这50个数据按身高相差4cm分组，并制作了如下的表格：身高频数频率147.5～151.50.06151.5～155.5155.5～159.511m159.5～163.50.18163.5～167.580.16167.5～171.54171.5～175.5n0.06175.5～179.52合计501①m=，n=；②这50名学生身高的中位数落在哪个身高段内？身高在哪一段的学生数最多？24．（6分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．25．（6分）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．（1）求一次函数y=kx+b（k≠0）的表达式；（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；（3）当∠CBE=∠ABO时，点E的坐标为．26．（8分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP 的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围．27．（9分）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为°．（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=，求B′D的长；【验一验】如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．28．（10分）如图，二次函数y=x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）点P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象交于点Q（异于点O）．①连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；②当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于．中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）1．（2分）﹣8的绝对值是8．【解答】解：﹣8的绝对值是8．2．（2分）一组数据2，3，3，1，5的众数是3．【解答】解：数据2，3，3，1，5的众数为3．故答案为3．3．（2分）计算：（a2）3=a6．【解答】解：（a2）3=a6．故答案为：a6．4．（2分）分解因式：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．5．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠3．【解答】解：由题意，得x﹣3≠0，解得x≠3，故答案为：x≠3．6．（2分）计算：=2．【解答】解：原式===2．故答案为：27．（2分）圆锥底面圆的半径为1，侧面积等于3π，则它的母线长为3．【解答】解：设它的母线长为l，根据题意得×2π×1×l=3π，解得l=3，即它的母线长为3．故答案为3．8．（2分）反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣2，4），则在每一个象限内，y随x的增大而增大．（填“增大”或“减小”）【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），∴4=，解得k=﹣8＜0，∴函数图象在每个象限内y随x的增大而增大．故答案为：增大．9．（2分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB=40°．【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACB=∠D=40°．故答案为40．10．（2分）已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是k＜4．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x+k中a=1＞0，图象的开口向上，又∵二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，∴△=（﹣4）2﹣4×1×k＞0，解得：k＜4，故答案为：k＜4．11．（2分）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．若sin∠B′AC=，则AC=．【解答】解：作CD⊥BB′于D，如图，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上，∴CB=CB′=5，∠BCB′=90°，∴△BCB′为等腰直角三角形，∴BB′=BC=5，∴CD=BB′=，在Rt△ACD中，∵sin∠DAC==，∴AC=×=．故答案为．12．（2分）如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于27．【解答】解：在CD上截取一点H，使得CH=CD．连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P．∵=，∴EG∥BD，同法可证：FH∥BD，∴EG∥FH，同法可证EF∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥EG，∴四边形EFGH是矩形，易证点O在线段FG上，四边形EQOP是矩形，=6，∵S△EFG=3，即OP•OQ=3，∴S矩形EQOP∵OP：OA=BE：AB=2：3，∴OA=OP，同法可证OB=3OQ，=•AC•BD=×3OP×6OQ=9OP×OQ=27．∴S菱形ABCD故答案为27．二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）13．（3分）0.000182用科学记数法表示应为（）A．0182×10﹣3B．1.82×10﹣4C．1.82×10﹣5D．18.2×10﹣4【解答】解：0.000182=2×10﹣4．故选：B．14．（3分）如图是由3个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：它的左视图是：．故选：D．15．（3分）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为（）A．36 B．30 C．24 D．18【解答】解：∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，∴=，解得：n=24，故选：C．16．（3分）甲、乙两地相距80km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（）A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：50【解答】解：因为匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，所以1小时后的路程为40km，速度为40km/h，所以以后的速度为20+40=60km/h，时间为分钟，故该车到达乙地的时间是当天上午10：40；故选：B．17．（3分）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k 的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=BP，∵OQ长的最大值为，∴BP长的最大值为×2=3，如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，t=0（舍）或﹣，∴B（﹣，﹣），∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴k=﹣=；故选：C．三、解答题（本大题共有11小题，共计81分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（8分）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．【解答】解：（1）原式=+1﹣=1；（2）原式=a2+2a+1﹣a2﹣a﹣1=a．19．（10分）（1）解方程：=+1．（2）解不等式组：【解答】解：（1）两边都乘以（x﹣1）（x+2），得：x（x﹣1）=2（x+2）+（x﹣1）（x+2），解得：x=﹣，当x=﹣时，（x﹣1）（x+2）≠0，∴分式方程的解为x=﹣；（2）解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，解不等式x+1≤4（x﹣2），得：x≥3，则不等式组的解集为x≥3．20．（6分）如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为﹣3，﹣1，1，2，从A，B，C，D 四点中任意取两点，求所取两点之间的距离为2的概率．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中所取两点之间的距离为2的结果数为4，所以所取两点之间的距离为2的概率==．21．（6分）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，这本名著共有多少页？【解答】解：设这本名著共有x页，根据题意得：36+（x﹣36）=x，解得：x=216．答：这本名著共有216页．22．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=75°．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠BAE=∠CAF=30°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC==75°，故答案为：75．23．（6分）某班50名学生的身高如下（单位：cm）：160 163 152 161 167 154 158 171 156 168178 151 156 154 165 160 168 155 162 173158 167 157 153 164 172 153 159 154 155169 163 158 150 177 155 166 161 159 164171 154 157 165 152 167 157 162 155 160（1）小丽用简单随机抽样的方法从这50个数据中抽取一个容量为5的样本：161，155，174，163，152，请你计算小丽所抽取的这个样本的平均数；（2）小丽将这50个数据按身高相差4cm分组，并制作了如下的表格：身高频数频率147.5～151.530.06151.5～155.5100.20155.5～159.511m159.5～163.590.18163.5～167.580.16167.5～171.540.08171.5～175.5n0.06175.5～179.520.04合计501①m=0.22，n=3；②这50名学生身高的中位数落在哪个身高段内？身高在哪一段的学生数最多？【解答】解：（1）=（161+155+174+163+152）=161；（2）①如表可知，m=0，22，n=3，故答案为：0.22；3；②这50名学生身高的中位数落在159.5～163.5，身高在151.5～155.5的学生数最多．24．（6分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【解答】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，设AM=xm，则CN=xm，在Rt△AFM中，MF=，在Rt△CNH中，HN=，∴HF=MF+HN﹣MN=x+x﹣24，即8=x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB=11.7+1.6=13.3m，答：教学楼AB的高度AB长13.3m．25．（6分）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．（1）求一次函数y=kx+b（k≠0）的表达式；（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；（3）当∠CBE=∠ABO时，点E的坐标为（11，3）．【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，∴，∴，∴一次函数y=kx+b的表达式为y=x﹣6；（2）如图，记直线l与y轴的交点为D，∵BC⊥l，∴∠BCD=90°=∠BOC，∴∠OBC+∠OCB=∠OCD+∠OCB，∴∠OBC=∠OCD，∵∠BOC=∠COD，∴△OBC∽△OCD，∴，∵B（0，6），C（2，0），∴OB=6，OC=2，∴，∴OD=，∴D（0，﹣），∵C（2，0），∴直线l的解析式为y=x﹣，设E（t，t﹣t），∵A（﹣9，0），C（2，0），∴S=AC×y E=×11×（t﹣）=11，△ACE∴t=8，∴E（8，2）；（3）如图，过点E作EF⊥x轴于F，∵∠ABO=∠CBE，∠AOB=∠BCE=90°∴△ABO∽△EBC，∴，∵∠BCE=90°=∠BOC，∴∠BCO+∠CBO=∠BCO+∠ECF，∴∠CBO=∠ECF，∵∠BOC=∠EFC=90°，∴△BOC∽△CFE，∴，∴，∴CF=9，EF=3，∴OF=11，∴E（11，3）．故答案为（11，3）．26．（8分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围＜AP＜或AP=5．【解答】解：（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x=，AP=；（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，S▱ABCD==10PG，PG=，①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A、C、D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=5，综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP=5．故答案为：＜AP＜或AP=5．27．（9分）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为23°．（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=，求B′D的长；【验一验】如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=46°，由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=23°，故答案为23．（2）【画一画】，如图2中，【算一算】如图3中，∵AG=，AD=9，∴GD=9﹣=，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，CF==，∴BF=BC﹣CF=，由翻折不变性可知，FB=FB′=，∴DB′=DF﹣FB′=﹣=3．【验一验】如图4中，小明的判断不正确．理由：连接ID，在Rt△CDK中，∵DK=3，CD=4，∴CK==5，∵AD∥BC，∴∠DKC=∠ICK，由折叠可知，∠A′B′I=∠B=90°，∴∠IB′C=90°=∠D，∴△CDK∽△IB′C，∴==，即==，设CB′=3k，IB′=4k，IC=5k，由折叠可知，IB=IB′=4k，∴BC=BI+IC=4k+5k=9，∴k=1，∴IC=5，IB′=4，B′C=3，在Rt△ICB′中，tan∠B′IC==，连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC==，∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，∴B′I所在的直线不经过点D．28．（10分）如图，二次函数y=x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）点P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象交于点Q（异于点O）．①连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；②当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于6．【解答】解：（1）由以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得==∵A（4，4），B（3，0）∴A′（8，8），B′（6，0）将O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y=ax2+bx+c得解得∴二次函数的解析式为y=x2﹣3x；（2）①∵P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上∴n=m2﹣3m∴P（m，m2﹣3m）设直线OP的解析式为y=kx，将点P（m，m2﹣3m）代入函数解析式，得mk=m2﹣3m∴k=m﹣3∴OP的解析是为y=（m﹣3）x∵OP与y═x2﹣3x交于Q点∴解得（不符合题意舍去）∴Q（2m，2m2﹣6m）过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D 则OC=|m|，PC=|m2﹣3m|，OD=|2m|，QD=|22﹣6m|∵==2∴△OCP∽△ODQ∴OQ=2OP∵2AP＞OQ∴2AP＞2OP，即AP＞OP∴＞化简，得m2﹣2m﹣4＜0，解得1﹣＜m＜1+，且m≠0；②P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m）∵点Q在第一象限，∴，解得＞3由Q（2m，2m2﹣6m），得QQ′的表达式是y=2m2﹣6m∵QQ′交y=x2﹣3x交于点Q′解得（不符合题意，舍）∴Q′（6﹣2m，2m2﹣6m）设OQ′的解析是为y=kx，（6﹣2m）k=2m2﹣6m解得k=﹣m，OQ′的解析式为y=﹣m∵OQ′与y=x2﹣3x交于点P′∴﹣mx=x2﹣3x解得x1=0（舍），x2=3﹣m∴P′（3﹣m，m2﹣3m）∵QQ′与y=x2﹣3x交于点P′∴﹣mx=x2﹣3x解得x1=0（舍去），x2=3﹣m∴P′（3﹣m，m2﹣3m）∵QQ′与y=x2﹣3x交于点M、N∴x2﹣3x=2m2﹣6m解得x1=，x2=∵M在N左侧∴M（，2m2﹣6m）N（，2m2﹣6m）∵△Q′P′M∽△QB′N∴∵即化简得m2﹣12m+27=0解得：m1=3（舍），m2=9∴N（12，108），Q（8，108）∴QN=6故答案为：6。
2019年江苏省镇江市中考数学试题(含解析)
2019年江苏省镇江市初中毕业、升学考试数学试题（满分120分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分） 1．（2019·江苏镇江，1，2）－2019的相反数是 ．【答案】2019．【解析】本题考查了相反数的定义，根据“符号不同而绝对值相等的两个数互为相反数”，可知－2019的相反数是2019，因此本题答案为2019． 【知识点】实数的概念；相反数2．（2019·江苏镇江，2，2）27的立方根是 ． 【答案】3【解析】本题考查了立方根的定义与求法，∵33＝27，∴27的立方根为3，即327＝3，因此本题答案为3． 【知识点】实数的概念；立方根3．（2019·江苏镇江，3，2）一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x ＝ ．【答案】5．【解析】本题考查了众数的概念，根据一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数，可知“数据4，3，x ，1，5的众数是5”，则这组数据中必有两个5，故x ＝5，因此本题答案为5． 【知识点】统计；众数4．（2019·江苏镇江，4，2）若代数式4x -有意义，则实数x 的取值范围是 ．【答案】x ≥4．【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，只要其被开方数为非负数，那么它就有意义，由x －4≥0，得x ≥4，因此本题答案为x ≥4． 【知识点】二次根式有意义的条件5．（2019·江苏镇江，5，2）氢原子的半径约为0.000 000 000 05m ，用科学记数法把0.000 000 000 05表示为 ．【答案】5×10－11．【解析】本题考查了科学记数法，0.000 000 000 05是绝对值小于1的数，这类数用科学计数法表示的方法是写成na -⨯10（1≤a ＜10，n ＞0 ）的形式，关键是确定－n ．确定了n 的值，－n 的值就确定了，确定方法是：n 的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．易知a ＝5，n ＝－11，故0.000 000 000 05＝5×10－11，因此本题答案为5×10－11． 【知识点】科学记数法6．（2019·江苏镇江，6，2）已知点A (－2，y 1)、B (－1，y 2)都在反比例函数y ＝－2x的图像上，则y 1 y 2．（填“＞”或“＜”） 【答案】＜．【解析】本题考查了反比例函数的性质，根据“反比例函数y ＝kx在x ＜0且k ＜0时，y 随x 的增大而增大”，由－2＜－1，得y 1＜y 2，因此本题答案为＜． 【知识点】反比例函数的性质7．（2019·江苏镇江，7，2）计算：123-＝ ． 【答案】3．【解析】本题考查了二次根式的加减运算，解答时应先化简二次根式，然后合并同类二次根，因为123-＝23－3＝3，因此本题答案为3． 【知识点】二次根式的加减运算8．（2019·江苏镇江，8，2）如图，直线a ∥b ，△ABC 的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若△BCD 是等边三角形，∠A ＝20°，则∠1＝ °．【答案】40．【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理，先求出∠ACD 的度数是解题的关键．∵△BCD 是等边三角形， ∴∠B ＝∠BCD ＝60°． ∵∠A ＝20°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝100°． ∴∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝40°． ∵a ∥b ，∴∠1＝∠ACD ＝40°． 因此本题答案为40．【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；三角形内角和定理9．（2019·江苏镇江，9，2）若关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 ． 【答案】1． 【解析】本题考查了一元二次方程的根判别式定理，由原方程有两个相等的实数根，得△＝(－2)2－4×1×m ＝0，解得m ＝1，因此本题答案为1． 【知识点】一元二次方程的根判别式10．（2019·江苏镇江，10，2）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使1DCBAba 第8题图得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD ＝ ．（结果保留根号）【答案】2－1．【解析】本题考查了正方形的性质、旋转、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．由正方形的对角线与相邻的边夹角为45°，得∠CFE ＝∠ECF ＝45°，而在Rt △CEF 中，由勾股定理，得CF ＝2，从而DF ＝2－1，易知△DHF 是等腰直角三角形，于是DH ＝DF ＝2－1．因此本题答案为2－1． 【知识点】正方形的性质；旋转；等腰三角形的判定与性质；勾股定理11．（2019·江苏镇江，11，2）如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1、2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 °．【答案】80．【解析】本题考查了二步事件的概率，由于第一个转盘落在1的概率为12，而两个转盘都落在1的概率是19，∴转盘2落在1的概率为19÷12＝29，∴转盘2中数字1所在的圆心角＝29×360°＝80°，因此本题答案为80． 【知识点】概率；用树状图或列表法求等可能条件下的事件的概率12．（2019·江苏镇江，12，2）已知抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1（a ≠0）过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2＋a ＋1的最小值是 ． 【答案】74． 【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB 的长不大于4，求出a 的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a 2＋a ＋1的最小值．∵y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1＝a (x ＋2)2＋1，第11题图BA2121第10题图HGFEDCB A∴该抛物线的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x ＝－2． ∵抛物线过点A (m ，3)，B (n ，3)两点， ∴当y ＝3时，a (x ＋2)2＋1＝3，(x ＋2)2＝2a，当a ＞0时，x ＝－2±2a ．∴A (－2－2a ，3)，B (－2＋2a ，3)． ∴AB ＝22a． ∵线段AB 的长不大于4， ∴22a ≤4． ∴a ≥12． ∵a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34， ∴当a ＝12，(a 2＋a ＋1)min ＝(a ＋12)2＋34＝74． 因此本题答案为74．【知识点】二次函数的应用；压轴题二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，满分15分） 13．（2019·江苏镇江，13，3）下列计算正确的是（ ）A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 7÷a 3＝a 4C ．(a 3)5＝a 8D ．(ab )2＝ab 2 【答案】B ．【解析】本题考查了幂的运算性质，∵a 2•a 3＝a 2＋3＝a 5，a 7÷a 3＝a 7－3＝a 4，(a 3)5＝a 3×5＝a 15，(ab )2＝a 2b 2 ，∴只有选项B 正确，因此本题选B ． 【知识点】幂的运算性质14．（2019·江苏镇江，14，3）一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）【答案】D ．【解析】本题考查了几何体的三视图，因为从上面看，有3个小正方形，且这3个小正方形排成一行，因此本题第14题图 A ． B ． C ． D ．从正面看选D．【知识点】三视图15．（2019·江苏镇江，15，3）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，弧DC＝弧CB．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】A．【解析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦弧关系定理、等腰三角形的性质，解题的关键是充分利用圆的性质及转化思想．如答图，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠C＋∠A＝180°．∵∠C＝110°，∴∠A＝70°．∴∠DAB＝20°．∵弧DC＝弧CB，∴DC＝CB．∴∠CBD＝∠CDB＝1(180110)2︒-︒＝35°．∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝20°＋35°＝55°．∴本题选A．【知识点】圆周角定理；圆内接四边形性质定理；弦弧关系定理；等腰三角形的性质16．（2019·江苏镇江，16，3）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组2(21)60x aa x+>⎧⎨--<⎩的解集的是（）【答案】B．A．B．C．D．1-2322-2-3ODCBA第15题答图第15题图ODCB A【解析】本题考查了一元一次不等式组的解法及不等式组的解集在数轴上的表示，解题的关键是先解每一个不等式，根据选项，知不等式组的解集是“大小小大取中间”，由此锁定答案． 由x ＋2＞a ，得x ＞a －2；由(2a －1)x －6＜0，得x ＜621a -（此时a ＞12），从而原不等式组的解集为a －2＜x ＜621a -．∵a ＞12， ∴a －2＞－32． 当a －2＝0时，a ＝2，此时621a -＝2； 当a －2＝2时，a ＝4，此时621a -＝67；综上，排除了A 、D 、C 三个选项，只有选项B 正确．因此本题选B ． 【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式组的解集在数轴上的表示17．（2019·江苏镇江，17，3）如图菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD 的长是2103，点E (－2，0)为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当F (0，6)到EP 所在的直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于（ ） A ．103 B ．10 C ．163D ．3【答案】A ．【解析】本题考查了菱形的性质，直角三角形三边的关系，相似三角形的判定和性质等．当F 到PE 的距离为最大时，P 为AB 的中点，则此时EF ⊥PE ，如答图，连接AC 交BD 于G ，则BG ⊥CG ，BG ＝11023BD =．第17题图y xPOFEDC B A∵OE ＝2，OF ＝6，∴EF ＝210．∵P 、E 分别为AB 、BC 的中点， ∴PE ∥AC ．∴EF ∥BG ，CG ⊥EF ，易证△CGB ∽FOE ．∴BG OE BC EF =，即1023210BC =，解得BC ＝103． 因此本题选A ．【知识点】菱形的性质；直角三角形三边的关系；相似三角形的判定和性质三、解答题（本大题共有11小题，共计81分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 18．（2019·江苏镇江，18，8）（1）计算： 011(22)()3--+－2cos60°；（2）化简：21(1)11xx x +÷--． 【思路分析】本题考查了实数的运算和分式的混合运算，解答题的关键是掌握零次幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值以及分式混合运算的法则．（1）先求出零次幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值的值，然后做加减运算；（2）先做括号内的分式加减，再把分式的除法转化为分式的乘法，约分后化成最简分式． 【解题过程】解：（1）原式＝1＋3－2×12＝1＋3－1＝3． （2）原式＝21111x x x x -+-⋅-＝(1)(1)1x x x x x+-⋅-＝x ＋1． 【知识点】实数的运算；分式的混合运算19．（2019·江苏镇江，19，10）（1）解方程：23122x x x =+--；（2）解不等式：4(x －1)－12＜x ． 【思路分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，解题的关键是把分式方程转化为整式方程，以及利用不等式的性质进行计算．（1）把方程两边同时乘以(x －2)，转化为整式方程后，解这个整式方程，验根后确定方程的解；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，再化系数为1． 【解题过程】解：（1）方程两边同乘以(x －2)，得2x ＝3＋x －2， 解得x ＝1．检验：当x ＝1时，x －2≠0． ∴原方程的解为x ＝1．（2）去分母，得8(x －1)－1＜2x ，G y xPOFED CBA第17题答图去括号，得8x －8－1＜2x ， 移项，得8x －2x ＜8＋1， 合并同类项，得6x ＜9，系数化为1，得x ＜32． ∴原不等式的解集为x ＜32．【知识点】解分式方程；解一元一次不等式20．（2019·江苏镇江，20，6）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，AE ＝CF ，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H ． （1）求证：△AGE ≌△CHF ；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．【思路分析】本题考查了三角形的全等的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形判定的方法和平行四边形的判定和性质．（1）利用角角边进行证明；（2）连接CG 、AC 、AH ，通过证明四边形AHCG 为平行四边形来证明AC 、HG 互相平分． 【解题过程】（1）∵AD ∥BC ，∴∠AEF ＝∠CFE ． ∴∠AEG ＝∠CFH ． ∵AG ⊥EF ，CH ⊥EF ，∴∠AGE ＝∠CHF ＝90°． 又∵AE ＝CF ，∴△AGE ≌△CHF （AAS ）．（2）线段GH 与AC 互相平分，理由如下：如答图，连接CG 、AC 、AH ．∵△AGE ≌△CHF ，∴AG ＝CH ．∵AG ⊥EF ，CH ⊥EF ， ∴AG ∥CH ．∴四边形AHCG 是平行四边形．第20题答图HGFEDCBAHGF EDCBA第20题图∴AC 、HG 互相平分．【知识点】三角形的全等的判定；平行四边形的判定和性质21．（2019·江苏镇江，21，6）小丽和小明在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．【思路分析】本题考查了概率的计算，解题的关键是用画树状图或列表格的方法所有的等可能事件．先用画树状图或列表格的方法列出所有的等可能事件，然后找出我们关注的事件的结果，再利用概率公式进行计算． 【解题过程】解：现画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，故P (小丽和小明在同一天值日)＝39＝13． 【知识点】概率的计算22．（2019·江苏镇江，22，6）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过AC 的延长线的点O 作OD ⊥AO ，交BC 的延长线于点D ，以O 为圆心，OD 的长为半径的圆过点B ． （1）求证：直线AB 与⊙O 相切；（2）若AB ＝5，⊙O 的半径为12，则tan ∠BOD ＝________．【思路分析】本题考查了圆的切线的证明和三角函数的计算，解题的关键是掌握切线的判定方法及构造直角三角形．（1）连接OB ，利用等腰三角形和三角形内角和证明∠ABO ＝90°即可；（2）先由勾股定理，求出OA 的长，然后求出OC 的长，最后在Rt △OCD 中，利用正切定义进行计算即可． 【解题过程】解：（1）如答图，连接OB ．∵OD ⊥AO ，∴∠DOC ＝90°．∴∠D ＋∠DCO ＝90°． ∵OB ＝OD ，AB ＝AC ，∴∠OBD ＝∠D ，∠ABC ＝∠ACB ． 又∵∠DCO ＝∠ACB ，第22题图ODCBA 第21题答图(xq2,xq3)(xq3,xq3)(xq3,xq2)(xq3,xq1)(xq2,xq2)(xq2,xq1)(xq1,xq3)(xq1,xq2)(xq1,xq1)结果：开始小明：小丽：xq3xq1xq2xq3xq1xq2xq2xq1xq3xq3xq2xq1∴∠ABC ＝∠DCO ．∴∠OBD ＋∠ABC ＝90°，即∠ABO ＝90°． 又∵点B 在⊙O 上， ∴AB 是⊙O 的切线．（2）∵AB ＝5，⊙O 的半径为12，∴在Rt △ABO 中，由勾股定理，得OA ＝22512+＝13． ∴OC ＝OA －AC ＝13－5＝8． ∴在Rt △OCD 中，tan ∠BDO ＝82123OC OD ==． 【知识点】圆的切线的证明；三角函数的计算23．（2019·江苏镇江，23，6）如图，点A (2，n )和点D 是反比例函数y ＝mx（m ＞0，x ＞0）图像上的两点，一次函数y ＝kx ＋3（k ≠0）的图像经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，连接OA 、OD ．已知△OAB 与△ODE 的面积满足S △OAB ﹕S △ODE ＝3﹕4． （1）S △OAB ＝________，m ＝________；（2）已知点P (6，0)在线段OE 上，当∠PDE ＝∠CBO 时，求点D 的坐标．【思路分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质等，解题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质．（1）先求出B 点纵坐标和A 点的横坐标，利用利用三角形面积公式可得△OBA 的面积，再根据面积的比较关系求出△ODE 的面积，最后根据反比例函数的比例系数的几何意义求出m 的值；（2）先由点A 在双曲线上，求出A 点坐标；再先求出直线AB 的解析式；连接DP ，通过条件∠PDE ＝∠CBO ，∠PED ＝∠COB ＝90°，得PD ∥AB ，于是可令直线PD 的解析式为y ＝12x ＋t ，第23题图yxP OE DCBAODCBA 第22题答图则0＝12×6＋t ，求出PD 的解析式；最后由1328y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1181x y =⎧⎨=⎩，2224x y =-⎧⎨=-⎩．从而锁定D 点的坐标．【解题过程】解：（1）∵一次函数y ＝kx ＋3（k ≠0）的图像经过点A ，与y 轴交于点B ，∴B (0，3)，OB ＝3． ∵点A (2，n )，∴A y ＝2． ∴S △AOB ＝12•OB •A y ＝12×3×2＝3． ∵S △OAB ﹕S △ODE ＝3﹕4，∴S △DOE ＝4．∵DE ⊥x 轴，且点D 在双曲线y ＝mx上， ∴12m ＝4． ∵m ＞0， ∴m ＝8．（2）如答图，连接PD ，∵点A (2，n )在双曲线y ＝8x上， ∴2n ＝8，n ＝4，A (2，4)．∵一次函数y ＝kx ＋3（k ≠0）的图像经过点A ，与y 轴交于点B ， ∴4＝2k ＋3． ∴k ＝12，直线AB 的解析式为y ＝12x ＋3． ∵∠PDE ＝∠CBO ，∠PED ＝∠COB ＝90°， ∴∠DPE ＝∠BCO ． ∴PD ∥AB ．∴令直线PD 的解析式为y ＝12x ＋t ，则0＝12×6＋t ． ∴t ＝－3，直线PD 的解析式为y ＝12x －3．第23题答图yxP OE DCBA由1328y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1181x y =⎧⎨=⎩，2224x y =-⎧⎨=-⎩．∵点D 在第一象限， ∴D (8，1)．【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的比例系数的几何意义；相似三角形的性质24．（2019·江苏镇江，24，6）在三角形纸片ABC （如图1）中，∠BAC ＝78°，AC ＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）． （1）∠ABC ＝__________°；（2）求正五边形GHMNC 的边长GC 的长．参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4. 7．【思路分析】本题考查了正多边形的计算，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形．（1）利用正多边形内角和以及角的大小关系可求出∠ABC 的度数；（2）过点C 作CP ⊥AB ，垂足为P ，通过解直角三角形，可求出CG 的长． 【解题过程】解：（1）∵五边形ABDEF 是正五边形，∴∠BAF ＝(52)1805-⨯︒＝108°＝∠BAC ＋∠ABC ．∴∠ABC ＝108°－∠BAC ＝108°－78°＝30°．（2）如答图，过点C 作CP ⊥AB ，垂足为P ，则由∠B ＝30°，得BC ＝2PC ．在Rt △APC 中，sin A ＝PCAC， ∴PC ＝AC sin A ＝10sin78°＝10×0.98＝9.8． ∴BC ＝2BC ＝2×9.8＝19.6．∴GC ＝BC －BG ＝BC －AC ＝19.6－10＝9.6． ∴正五边形GHMNC 的边长GC 的长为9.6．【知识点】正多边形的计算；解直角三角形第24题答图PCBA图1 图2第24题图NMH G FEDC BAC BA25．（2019·江苏镇江，25，6）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：（1）九（2）班学生得分的中位数是_________；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是多少？【思路分析】本题考查了条形统计图以及中位数等概念，解题的关键是读出图中相关联的数据并列方程组来解决问题．（1）6理由：九（2）班一共有48人，而得6分的有27人，所以它的中位数是6．（2）先求出总人数，然后列方程组，解方程组即可解决问题． 【解题过程】解：（1）6；（2）设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数分别为x 人和y 人，由图可知x ＋y ＝(22＋27)×50%－(8＋6＋12＋49)＝23．又由九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，得x ＋3y ＋6×22＝3.78×50．由23357x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得617x y =⎧⎨=⎩．∴九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数分别为6人和17人．【知识点】条形统计图；及中位数；二元一次方程的应用26．（2019·江苏镇江，26，6）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圆（如图1中的⊙O ）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地面垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A 在图1所示的⊙O 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31°，在点A 所在的子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具测得α为67°．PQ 是⊙O 的直径，PQ ⊥ON ．（1）求∠POB 的度数；（2）已知OP ＝6400km ，求这两个观测点之间的距离即⊙O 上的弧AB 的长．（π取3.1）第25题图(2)班(1)班每班各类别得分人数的条形统计图各类别的得分表272212635类别人数2724211815129630DCBAD ：得到两个正确答案，解答完全正确C ：只得到一个正确答案B ：解答但没有正确A ：没有作答6310类别得分【思路分析】本题考查圆的切线的性质以及弧长计算，解题的关键是连接过切点的半径．（1）连接过切点的半径，把弦切角转化为圆心角，然后利用平行线的性质以及角的大小关系可求出∠POB 的度数；（2）利用弧长公式进行计算．【解题过程】解：（1）如答图，过点H 作HC ⊥BC 于点C ，则∠HBC ＝∠CHD ＝67°．∵BH ∥ON ，∴∠HBC ＝∠ONB ＝67°． ∵BC 切⊙O 于点B ， ∴∠OBN ＝90°．∴∠BON ＋∠ONB ＝90°． ∵PQ ⊥ON ，∴∠BON ＋∠POB ＝90°． ∴∠POB ＝∠ONB ＝67°．（2）由（1）易知∠POA ＝31°，∠POB ＝67°，从而∠AOB ＝36°． ∵R ＝OA ＝OP ＝6400km ，n ＝36，第26题答图DC(北极点)N H GOQPBA 指向北极星指向北极星指向北极星图1 图2 第26题图∴弧AB的长为366400180π⋅⋅＝3968（km）．∴这两个观测点之间的距离约为3968km．【知识点】圆的切线的性质；弧长计算；阅读理解题27．（2019·江苏镇江，27，10）如图，二次函数y＝－x2＋4x＋5图像的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y＝25x＋1的图像与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是__________；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n，使得△DPQ 与△DAB相似．①当n＝275时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只且个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围___________．【思路分析】本题考查了二次函数图形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是综合运用所学知识的能力．（1）把二次函数的一般式配成顶点式即可得D点的坐标；（2）①先求出直线DB的解析式，然后通过解方程组求出B点的坐标，然后根据相似三角形的性质和线段的大小关系求出DP的长．【解题过程】解：（1）∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x＋4－4)＋5＝－(x－2)2＋9，∴D(2，9)．（2）∵一次函数y＝25x＋1的图像与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B，∴点A(－52，0)关于直线l（x＝2）的对称点(132，0)在直线DB上．令DB的解析式为y＝kx＋b，则29132k bk b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得213kb=-⎧⎨=⎩，于是DB：y＝－2x＋13．第27题图lDCBAOyx由215213y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得53x y =⎧⎨=⎩，故B (5，3)，从而DB ＝35，DA ＝952． ①如答图1，在y ＝25x ＋1中，当x ＝2时，y ＝95，从而C (2，95)，N (2，275)， ∴DN ＝9－275＝185，DC ＝9－95＝365，DN DC ＝12．若△DPQ ∽△DAB ，则△DPN 与△DAC ，于是12DP DN DA DC ==，DP ＝12DA ＝954； 若△DPQ ∽△DBA ，则△DPN 与△DBC ，于是12DP DN DB DC ==，DP ＝12DB ＝352． 综上，符合条件的DP 的长为954或352．②92155n <<，理由如下：如答图2，当△DPQ ∽△DBA ，且Q 点与B 点重合时，PB 与直线l 的交点N ，在此时的线段CN （不包括端点）上任意一点都满足条件，通过过点B 作答图1中第二种情况下的PQ 的平行线，易求出此时的PB 的解析式为y ＝－25x ＋5，且当x ＝2时，y ＝215，从而N (2，215)，于是，若对于每一个确定的n 的值，有且只且个△DPQ 与△DAB 相似， n 的取值范围是92155n <<．【知识点】二次函数图形的性质；相似三角形的判定和性质；数形结合思想；化归思想；压轴题28．（2019·江苏镇江，28，11）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于．．甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．第27题答图1 第27题答图 2NPQlDCBAOyxNPQl DCBAOyx【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为_____个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为_____个单位长度． 【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度．兴趣小组成员发现了y 与x 的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP ，不包括点O ，如图2所示）．①a ＝______；②分别求出各部分图像对应的函数表达式，并在图2中补全函数图像． 【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离x 的取值范围是__________．（直接写出结果）【思路分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握两个机器人相遇的情形． 【观察】①②画出两个行程的示意图，利用速度与路程，时间之间的关系进行计算； 【发现】①根据x 和y 之间的关系可求出a 的值；②先分别求出第一次相遇和第二次相遇时两人的路程之和，并求出对应的函数解析式，然后画出图形； 【拓展】根据题意进行计算并分类讨论可得x 的取值范围． 【解题过程】解：【观察】90，120； 【发现】①a ＝50；②设机器人甲的速度为v 1，走的总路程为s 1；机器人乙的速度为v 2，走的总路程为s 2；它们行走的时间为t ． 由题意得v 1＜v 2， ∴v 1t ＜v 2t ． ∴s 1＜s 2．∵这两个机器人第一次迎面相遇时，路程和为150， ∴相遇地点与点A 之间的距离＝s 1，即s 1＝x ．图1 图2第28题图 150ay xPO(第一次迎面相遇)BA15030又∵s 1＋s 2＝150，s 1＜150－s 1， ∴s 1＜75． ∴0＜x ＜75．∵两个机器人第二次迎面相遇时，路程和为450， ∴s 1＝3x ．∴当3x ＝150，即x ＝50时，两个机器人在B 点相遇．当0＜x ≤50时，y ＝s 1，即y ＝3x ；当50＜x ＜75时，y ＝300－s 1，即y ＝300－3x ． 故补图如下：【拓展】0＜x ≤12，48≤x ≤72．【知识点】一次函数的应用；数形结合思想；行程问题；探究问题；阅读理解题；压轴题；原创题第28题答图50(75,75)150y xPO。
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江苏省镇江市2019年中考试卷数 学（满分：120分 考试时间：120分钟）一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1.2019-的相反数是 . 2.27的立方根为 .3.一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x = .4.x 的取值范围是 .5.氢原子的半径约为0.000 000 000 05 m ，用科学记数法把0.000 000 000 05表示为 .6.已知点()12A y -，、()21B y -，都在反比例函数2y x=-的图象上，则1y 2y .（填“＞”或“＜”） 7.= .8.如图，直线a b ∥，ABC △的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D .若BCD △是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠= .（第8题）（第10题）9.若关于x 的方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 . 10.将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD = .11.如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 .12.已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点()3A m ，，()3B n ，两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是 .二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 13.下列计算正确的是 （ ）A.236•a a a =B.734a a a ÷=C.()538a a ＝D.()22ab ab ＝14.一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）ABCD15.如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =.若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于 （ ）A.55︒B.60︒C.65︒D.70︒16.下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组()22160x aa x +⎧⎨--⎩＞＜的解集的是（ ）-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________AB CD17.如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD的长是2103，点()20E -，为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动.当点()06F ，到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于 （ ）A.103 B.10 C.163D.3三、解答题（本大题共有11小题，共计81分.解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 18.（本小题满分8分）（1）计算：11(22)2cos603-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭；（2）化简：21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭.18.（本小题满分10分）（1）解方程：23122x x x =+--； （2）解不等式：14(1)2x x --<.19.（本小题满分6分）如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在AD 、BC 上，=AE CF ，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H . （1）求证：AGE CHF △≌△；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由.21.（本小题满分6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率.22.（本小题满分6分）如图，在ABC △中，=AB AC ，过AC 延长线上的点O 作OD AO ⊥，交BC 的延长线于点D ，以O 为圆心，OD 长为半径的圆过点B . （1）求证：直线AB 与O 相切（2）若=5AB ，O 的半径为12，则tan BDO ∠= .23.（本小题满分6分）如图，点2A n （，）和点D 是反比例函数(0,0)my m x x=＞＞图象上的两点，一次函数30y kx k =+≠（）的图象经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，连接OA ，OD .已知OAB △与ODE △的面积满足34OAB ODE S S =△△：：.（1）OAB S =△ ，m = ；（2）已知点60P （，）在线段OE 上，当PDE CBO ∠=∠时，求点D 的坐标.24.（本小题满分6分）在三角形纸片ABC （如图1）中，78BAC ∠=︒，10AC =.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）. （1）ABC ∠= ︒；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长.参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒=，tan78 4.7︒≈.图1图225.（本小题满分6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）.各类别的得分表得分 类别0 A ：没有作答 1 B ：解答但没有正确 3 C ：只得到一个正确答案6D ：得到两个正确答案，解答完全正确已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分.请解决如下问题： （1）九（2）班学生得分的中位数是 ；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是多少？26.（本小题满分6分）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O ）.人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的. 【实际应用】观测点A 在图1所示的O 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒.PQ 是O 的直径，PQ ON ⊥. （1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP km =，求这两个观测点之间的距离即O 上AB 的长.（π取3.1）毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------图1图227.（本小题满分10分）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B .（1）点D 的坐标是 ；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n .过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ，使得DPQ △与DAB △相似.①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ △与DAB △相似，请直接写出n 的取值范围 .28.（本小题满分11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动.在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间.他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计.兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种. 【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；图1图2【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度.兴趣小组成员发现了y 与x 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP ，不包括点O ，如图2所示）. ①a = ；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象； 【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度.若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离x 的取值范围是 .（直接写出结果）江苏省镇江市2019年中考试卷数学答案解析一、填空题 1.【答案】2019【解析】直接利用相反数的定义进而得出答案. 解：2019-的相反数是：2019. 故答案为：2019. 【考点】相反数 2.【答案】3【解析】找到立方等于27的数即可. 解：3327=，27∴的立方根是3，故答案为：3. 【考点】立方根 3.【答案】5【解析】解：数据4，3，x ，1，5的众数是5，5x ∴=，故答案为：5. 【考点】众数 4.【答案】4x ≥【解析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可. 解：由题意得40x -≥， 解得4x ≥. 故答案为：4x≥.【考点】二次根式有意义的条件5.【答案】11510⨯﹣【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为-10na ⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.解：用科学记数法把0.000 000 000 05表示为11510⨯﹣. 故答案为：11510⨯﹣.【考点】用科学记数法表示较小的数6.【答案】＜【解析】反比例函数2y x=-的图象在第二象限，在第二象限内，y 随x 的增大而增大，根据x 的值大小，得出y 值大小. 解：反比例函数2y x=-的图象在二、四象限，而()12A y -，、()21B y -，都在第二象限，∴在第二象限内，y 随x 的增大而增大，21--＜，12y y ∴＜.故答案为：＜【考点】反比例函数图像上点的坐标特征 7.=，再合并同类二次根式即可. =【考点】二次根式的加减法 8.【答案】40【解析】根据等边三角形的性质得到60BDC ∠=︒，根据平行线的性质求出2∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案. 解：BCD △是等边三角形，60BDC ∴∠=︒，a b ∥，260BDC ∴∠=∠=︒，由三角形的外角性质可知，1240A ∠=∠-∠=︒， 故答案为：40.【考点】等边三角形的性质，平行线的性质 9.【答案】1【解析】利用判别式的意义得到()2240m -∆=-=，然后解关于m 的方程即可. 解：根据题意得()2240m -∆=-=， 解得1m =. 故答案为1.【考点】一元二次方根的判别式 10.1【解析】先根据正方形的性质得到1CD =，90CDA ∠=︒，再利用旋转的性质得CF 根据正方形的性质得45CFDE ∠=︒，则可判断DFH △为等腰直角三角形，从而计算CF CD -即可.解：四边形ABCD 为正方形，1CD ∴=，90CDA ∠=︒，边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上，CF ∴=45CFDE ∠=︒，DFH ∴△为等腰直角三角形，1DH DF CF CD ∴==-=.1.【考点】旋转的性质以及正方形的性质 11.【答案】80【解析】先根据题意求出转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于360︒计算即可.解：设转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x ，根据题意得：1129x =，解得29x =， ∴转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：2360809︒⨯=︒.故答案为：80. 【考点】事件的概率12.【答案】74【解析】根据题意得413a +≥，解不等式求得12a ≥，把12x =代入代数式即可求得.解：抛物线24410y ax ax a a =+++≠（）过点3A m （，），3B n （，）两点， 4222m n a a+∴=-=-.线段AB 的长不大于4，413a ∴+≥. 12a ∴≥.21a a ∴++的最小值为：21171224⎛⎫++= ⎪⎝⎭；故答案为74.【考点】二次函数的性质 二、选择题 13.【答案】B【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案.解：A.235a a a ＝，故此选项错误； B.734a a a ÷＝，正确；C.3515a a （）＝，故此选项错误； D.222ab a b （）＝，故此选项错误；故选：B.【考点】同底数幂的乘除运算，积的乘方运算，幂的乘方运算14.【答案】D【解析】从图形的上方观察即可求解； 解：俯视图从图形上方观察即可得到：，故选：D.【考点】几何体的三视图 15.【答案】A【解析】连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠，根据圆周角定理求出ACB ∠、CAB ∠，计算即可.解：连接AC ，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒，DC CB =，1352CAB DAB ∴∠=∠=︒，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：A.【考点】圆内接四边形的性质，圆周角定理 16.【答案】B【解析】由数轴上解集左端点得出a 的值，代入第二个不等式，解之求出x 的另外一个范围，结合数轴即可判断. 解：由2x a +＞得2x a -＞，A.由数轴知3x -＞，则1a =-，360x ∴--＜，解得2x -＞，与数轴不符；B.由数轴知0x ＞，则2a =，360x ∴-＜，解得2x ＜，与数轴相符合；C.由数轴知2x ＞，则4a =，760x ∴-＜，解得67x ＜，与数轴不符；D.由数轴知2x -＞，则0a =，60x ∴--＜，解得6x -＞，与数轴不符； 故选：B.【考点】一元一次不等式组 17.【答案】A【解析】如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF .首先说明点G 与点F 重合时，FG 的值最大，如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J .设2BC a =.利用相似三角形的性质构建方程求解即可. 解：如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF .()20E -，，()06F ，2OE ∴=，6OF =，EF ∴==，90FGE ∠=︒，FG EF ∴≤.∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大.如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J .设2BC a =.PA PB =，BE EC a ==，PE AC ∴∥，BJ JH =.四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BH DH ==BJ =，PE BD ∴⊥.90BJE EOF PEF ∠=∠=∠=︒， EBJ FEO ∴∠=∠，BJE EOF ∴△∽△，BE BJEF∴=， 62=，53a ∴=，1023BC a ∴==，故选：A .【考点】菱形的性质，直角三角形三边的关系，相似三角形的判定和性质 三、解答题18.【答案】解：（1）原式1132=32=+-⨯（2）21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭ 211111x x x x x -⎛⎫=+÷ ⎪---⎝⎭ (1)(1)1x x x x x+-=-1x =+【解析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算； （2）根据分式的混合运算法则计算. 【考点】实数的混合运算，分式的混合运算 19.【答案】解：（1）方程两边同乘以2x -（）得 232x x =+- 1x ∴=检验：将1x =代入2x -（）得1210-=-≠ 1x =是原方程的解.∴原方程的解是1x =.（2）化简14(1)2x x --<得 1442x x --< 932x ∴<32x ∴<∴原不等式的解集为32x <. 【解析】（1）方程两边同乘以2x -（）化成整式方程求解，注意检验； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可. 【考点】分式方程和一元一次不等式的解法20.【答案】解：（1）证明：AG EF ⊥，CH EF ⊥，90G H ∴∠=∠=︒，AG CH ∥，AD BC ∥，DEF BFE ∴∠=∠，AEG DEF ∠=∠，CFH BFE ∠=∠， AEG CFH ∴∠=∠，在AGE △和CHF △中，H AEG CFH AE CF G ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE CHF AAS ∴△≌△；（2）解：线段GH 与AC 互相平分，理由如下： 连接AH 、CG ，如图所示： 由（1）得：AGE CHF △≌△，AG CH ∴=， AG CH ∥，∴四边形AHCG 是平行四边形，∴线段GH 与AC 互相平分.【解析】（1）由垂线的性质得出90G H ∠=∠=︒，AG CH ∥，由平行线的性质和对顶角相等得出AEG CFH ∠=∠，由AAS 即可得出AGE CHF △≌△；（2）连接AH 、CG ，由全等三角形的性质得出AG CH =，证出四边形AHCG 是平行四边形，即可得出结论.【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质 21.【答案】解：解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，则小丽和小明在同一天值日的概率是3193=.【解析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.【考点】用列表或画树状图法求事件的概率 22.【答案】解：（1）证明：连接AB ，如图所示：AB AC =， ABC ACB ∴∠=∠， ACB OCD ∠=∠， ABC OCD ∴∠=∠， OD AO ⊥， 90COD ∴∠=︒， 90D OCD ∴∠+∠=︒， OB OD =， OBD D ∴∠=∠， 90OBD ABC ∴∠+∠=︒，即90ABO ∠=︒，AB OB ∴⊥，点B 在圆O 上，∴直线AB 与O 相切；（2）23【解析】（1）连接OB ，由等腰三角形的性质得出ABC ACB ∠=∠，OBD D ∠=∠，证出90OBD ABC ∠+∠=︒，得出AB OB ⊥，即可得出结论；（2）由勾股定理得出13OA ==，得出8OC OA AC =-=，再由三角函数定义即可得出结果.解：90ABO ∠=︒，13OA ∴==，5AC AB ==， 8OC OA AC ∴=-=，82tan 123OC BDO OD ∴∠===； 故答案为：23.【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及三角函数定义 23.【答案】（1）3 8（2）解：由（1）知，反比例函数解析式是8y x=. 28n ∴=，即4n =.故24A （，），将其代入3y kx =+得到：234k +=. 解得12k =.∴直线AC 的解析式是：132y x =+.令0y =，则1302x +=，6x ∴=-，()60C ∴-，.6OC ∴=.由（1）知，3OB =.设D a b （，），则DE b =，6PE a =-. PDE CBO ∠=∠，90COB PED ∠=∠=︒，CBO PDE ∴△∽△， OB OC DE PE ∴=，即366b a =-①， 又8ab =②.联立①②，得24a b =-⎧⎨=-⎩（舍去）或81a b =⎧⎨=⎩. 故81D （，）.【解析】（1）由一次函数解析式求得点B 的坐标，易得OB 的长度，结合点A 的坐标和三角形面积公式求得3OAB S =△，所以4ODE S =△，由反比例函数系数k 的几何意义求得m 的值；解：由一次函数3y kx =+知，03B （，）03B （，）. 又点A 的坐标是2n （，）， 13232OAB S ∴=⨯⨯=△.:3:4OAB ODE S S =△△. 4ODE S ∴=△.点D 是反比例函数(0,0)my m x x=＞＞图象上的点， 142ODE m S ∴==△，则8m =. 故答案是：3；8；（2）利用待定系数法确定直线AC 函数关系式，易得点C 的坐标；利用90PDE CBO PED ∠=∠=∠=︒，判定CBO PDE △∽△，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE 、DE 的长度，易得点D 的坐标.【考点】待定系数法确定函数关系式，函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数m 的几何意义，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质 24.【答案】（1）30（2）解：作CQ AB ⊥于Q ， 在Rt AQC △中，sin QCQAC AC∠=， sin 100.989.8QC AC QAC ∴=∠≈⨯=， 在Rt BQC △中，30ABC ∠=︒，219.6BC QC ∴==，9.6GC BC BG ∴=-=.【解析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算； 解：五边形ABDEF 是正五边形，(52)1801085BAF -⨯︒∴∠==︒，30ABC BAF BAC ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：30；（2）作CQ AB ⊥于Q ，根据正弦的定义求出QC ，根据直角三角形的性质求出BC ，结合图形计算即可.【考点】正多边形和圆，解直角三角形的应用 25.【答案】（1）6（2）解：两个班一共有学生：()222750%98+÷=（人）， 九（1）班有学生：984850-=（人）.设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是x 人、y 人. 由题意，得52250053622 3.7850x y x y +++=⎧⎨⨯+++⨯=⨯⎩，解得617x y =⎧⎨=⎩. 答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是6人、17人. 【解析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D 类，所以中位数是6分；（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班A 、D 两类的学生数得到B 类和C 类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解.【考点】统计图表与条形图的综合运用26.【答案】解：（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH⊥交BC 于点C ，如图所示： 则67DHC ∠=︒，90HBD BHD BHD DHC ∠+∠=∠+∠=︒， 67HBD DHC ∴∠=∠=︒， ON BH ∥，67BEO HBD ∴∠=∠=︒， 906723BOE ∴∠=︒-︒=︒，PQ ON ⊥，90POE ∴∠=︒，902367POB ∴∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，673136AOB POB POA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，36π64003968(km)180AB ⨯⨯∴==.【解析】（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH ⊥交BC 于点C ，则67DHC ∠=︒，证出67HBD DHC ∠=∠=︒，由平行线的性质得出67BEO HBD ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出23BOE ∠=︒，得出902367POB ∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，求出36AOB POB POA ∠=∠-∠=︒，由弧长公式即可得出结果.【考点】切线的性质，直角三角形的性质，弧长公式27.【答案】（1）()29，（2）解：对称轴2x =，925C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，由已知可求5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于2x =对称点为13,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， 53B ∴（，）， ①当275n =时，272,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，DA ∴=，185DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，DPQ DAB △∽△，DAC DPN △∽△， DP DNDA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DAB △∽△，DNQ DCA △∽△，DP DNDB DC∴=，DP ∴=综上所述，DN =②92155n << 【解析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；解：顶点为29D （，），故答案为()29，； （2）由对称轴可知点92,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于对称轴对称的点13,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，借助AD 的直线解析式求得(5,3)B ；①当275n =时，272,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求DA ，185DN =，365CD =.当365CD =时，PQ AB ∥，DPQ DAB △∽△，DP =；当PQ 与AB不平行时，DP =；②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =245DN =，所以212,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有且只有一个DPQ △与DAB △相似时，92155n <<； 【考点】二次函数的图像及性质，函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质以及分类讨论思想 28.【答案】【观察】①90 ②120 【发现】①50②解：当050x ＜≤时，点()50150P ，在线段OP 上， ∴线段OP 的表达式为3y x =，当150xv v x-<时，即当5075x ＜＜，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B 返回向点A 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150xv x-， 根据题意知，150(150150)xx y x y x-+=-+-，3300y x ∴=-+， 即：3(050)3300(5075)x x y x x ⎧=⎨-+⎩＜≤＜＜，补全图形如图2所示， 【拓展】4875x ≤＜【解析】【观察】①设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论； ②此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论； 解：①相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，∴相遇地点与点B 之间的距离为15030120-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ，∴机器人乙的速度为120430v v =， ∴机器人甲从相遇点到点B 所用的时间为120v， 机器人乙从相遇地点到点A 再返回到点B 所用时间为30150454v v +=，而12045v v＞，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A ，返回到点B ，再返回向A 时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A m 个单位，根据题意得，()30150150430m m ++-=-，90m ∴=，故答案为：90；②相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，∴相遇地点与点B 之间的距离为15040110-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ，∴机器人乙的速度为11011404v v =， ∴机器人乙从相遇点到点A 再到点B 所用的时间为4015076011114v v +=， 机器人甲从相遇点到点B 所用时间为110v ，而11076011v v>， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A ，再到点B ，返回时和机器人乙第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A 为m 个单位， 根据题意得，1140150150(40)4m m ++-=-，120m ∴=，故答案为：120；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150xv x -，根据题意列方程即可得到结论；解：①当点第二次相遇地点刚好在点B 时， 设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150xv x-， 根据题意知，150150(150)xx x x-+=-， 50x ∴=，经检验：50x =是分式方程的根， 即：50a =， 故答案为：50；②设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150xv x-，根据题意列函数解析式即可得到结论；【拓展】由题意得到150150150(150150)xx y x y x-+++=-+-，得到5300y x =-+，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论.解：如图，由题意知，150150150(150150)xx y x y x-+++=-+-， 5300y x ∴=-+，第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，530060x ∴-+≤， 48x ∴≥，75x ＜，4875x ∴≤＜，故答案为4875x ≤＜.。