平面汇交力系的平衡条件及例题
工程力学9 平面汇交力系的合成与平衡
2、再利用解析法求合力的大小和方向。
RX F1X F2X 17.3 20 37.3KN RY F1Y F2Y 10 34.6 44.6KN
R
R
2 x
R
2 y
37.32 44.62 58.1KN
tan R y Rx
44.6 37.3
1.1957
α=50.1°
4.平面汇交力系平衡的解析条件
平面汇交力系平衡的充要条件是其合力为零。
解析式： R
R
2 x
R
2 y
0
即：
R x Fx 0 R y Fy 0
此式称为平面汇交力系的平衡方。若一个平
衡的汇交力系中存在两个未知力，可应用这两个独立
方程求得。
F
例 3：求图示绳子BC和BD的拉力。
解：1、绳子为柔性约束，只能承受拉力，由
CB
Fx
bx
正方向
F在坐标轴上的投影正负规定：当从力F始 端的投影a到终端b的方向与投影的正向一 致时，力的投影取正值；反之，取负值。
例题1：已知F1=100N，F2=F3=150N，F4=200N，试求各力 在在坐标轴上的投影值大小。
y
F1Y=F1sin45°=100 ×0.707=70.7N
F1
F1Y
FBD 14.14KN FBC 10KN
tan
Ry Rx
Y X
为合力R与x轴所夹的锐角， 角在哪个象限由各力在轴上
投影和正负确定。
例题2：如图所示，力F1和F2汇交于O点，已知
F1=20KN,F2=40KN,试求R的大小和方向。
Ry
y
F2y
F2
R 我们可以利用解析法 求合力的大小和方向
平面汇交力系的平衡条件及例题
• 平面汇交力系平衡的充分与必要条件，也 平面汇交力系平衡的充分与必要条件，
可解析地表达为： 可解析地表达为：力系中各力在两个坐标 轴上投影的代数和分别为零。 轴上投影的代数和分别为零。
FR = ∑பைடு நூலகம்Fix + ∑ Fiy = 0 i =1 i =1
A
B
30 0
C
300
D
W
A
y
B
300
C
30 0
D
x
FCA FCB F
' T
300 300
C
W
FT
∑F
x
=0
0 ' T 0
FCB + FCA cos 30 + F cos 30 = 0
∑F
y
=0
0 ' T 0
FCA sin 30 − F sin 30 − FT = 0
FCA = 300kN
FCB = 346.4kN
n n 2 2
∑F
i =1
n
xi
=0
∑F
i =1
n
yi
=0
平面汇交力系应用举例
• 例3-2 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索
绕过滑轮，一端连接在绞车上，另一端悬 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。
§3-1-3平面汇交力系的平衡条件及应用
• 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是： 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：
平面力系-平面汇交力系的简化与平衡方程(常用版)
平面力系-平面汇交力系的简化与平衡方程（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）第2章平面力系192.1 平面汇交力系的简化与平衡方程 (19)2.2 力对点之矩合力矩定理 (24)2.3 力偶及其性质 (27)2.4 平面力偶系的合成与平衡方程 (30)2.5 平面一般力系的简化与平衡方程 (32)2.6 物体系统的平衡 (40)*附录Ⅱ：机械应用实例 (49)第2章平面力系本章主要介绍平面力系的简化与平衡问题，平面状态下物系平衡问题的解法。
按照力系中各力的作用线是否在同一平面内，可将力系分为平面力系和空间力系。
若各力作用线都在同一平面内并汇交于一点，则此力系称为平面汇交力系。
按照由特殊到一般的认识规律，我们先研究平面汇交力系的简化与平衡规律。
2.1 平面汇交力系的简化与平衡方程2.1.1 概述设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2、…、F n，各力汇交于A点（图2-1a）。
根据力的可传性，可将这些力沿其作用线移到A点，从而得到一个平面共点力系（图2-1b）。
故平面汇交力系可简化为平面共点力系。
a ）b ）图2-1连续应用力的平行四边形法则，可将平面共点力系合成为一个力。
在图2-1b 中，先合成力F 1与F 2（图中未画出力平行四边形），可得力F R1，即 F R1＝F 1+ F 2；再将F R1与F 3合成为力F R2，即F R2＝F R1+ F 3；依此类推，最后可得F R ＝F 1+ F 2+…+ F n ＝∑F i （2-1）式中 F R 即是该力系的合力。
故平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，其大小和方向由力系中各力的矢量和确定。
因合力与力系等效，故平面汇交力系的平衡条件是该力系的合力为零。
2.1.2力在坐标轴上的投影过F 两端向坐标轴引垂线（图2-2）得垂足a 、b 、a'、b'。
线段ab 和a'b'分别为F 在x 轴和y轴上投影的大小，投影的正负号规定为：从a 到b （或从a'到b'）的指向与坐标轴正向相同为正，相反为负。
第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系
第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系一、判别题（正确和是用√，错误和否×，填入括号内。
）2-1 平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是：力多边形自行封闭。
（√）2-2 力在某一固定面上的投影是一个代数量。
（×）2-3 两个力F1、F2大小相等，则它们在同一轴上的投影也相等。
（×）2-4 一个力不可能分解为一个力偶；一个力偶也不可能合成一个力。
（√）2-5 力偶无合力、不能用一个力来等袒代替，也不能用一个力来平衡；（√）2-6 力偶无合力，也就是说力偶的合力等于零。
（×）2-7 力偶矩和力对点之矩本质上是二样的，讲的是一回事。
（×）2-8 力偶的作用效果取决于力偶矩的大小和转向。
（√）2-9 只要两力偶的力偶矩代数值相等，就是等效力偶。
（√）2-10 力偶中的两个力对同平面内任一点之矩的代数和等于力偶矩。
（√）2-11 力偶只能用力偶来平衡。
（√）2-12 平面力偶系可简化为一个合力偶。
（√）2-13 力偶可任意改变力的大小和力偶臂的长短。
（×）2-14 力偶的两力在其作用面内任意轴上的投影的代数和都等于零。
（√）2-15 若两个力F1、F2在同一轴上的投影相等，则这两个力相等，即F1 = F2。
（×）2-16 若两个力F1、F2大小相等，则在同一轴Ox上投影相等，即F1x = F2x。
（×）2-17 若两个力F1、F2大小、方向、作用点完全相同，则这两个力在任一轴上的投影相等。
（√）2-18 若两个力大小相等、方向相反，则在任一轴Ox上的投影大小相等。
（√）2-19 若两个力平行，则它们在任一轴上的投影相等。
（×）2-20 若两个力在某轴上的投影均为零，则该两力平行。
（√）2-21 图示为分别作用在刚体上A、B、C、D点的4个共面力，它们所构成的力多边形自行封闭且为平行四边形。
由于力多边形自行封闭，所以是平衡的。
《建筑力学》2.1平面汇交力系的合成与平衡
（2）建立平衡方程求解未知力FNAC、FNBC
FX FY
0 0
FNACcos60 FNBC 0 FNAC sin 60 W 0
（3）把W=10kN代入解得
FNAC=11.55kN（拉力）
FNBC=5.77kN（压力）
作业
《学习指导与练习》P25—28 填空1、2、3 单选1、2 判断4、5 计算3
平面汇交力系的平衡条件是： 该力系的合力 FR 为零。
（四）平面汇交力系的平衡 ——几何法
平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭，
即
FR =0
或
F1+F2+F3+F4=0
F4
F1
O
F2
F3F1 baFra bibliotekF4F2
c
F3
d
（四）平面汇交力系的平衡 ——解析法
由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件
是该力系的合力为零，即 F 0
而
F2 xi
F2 yi
0
则 Fxi 0 ， Fyi 0
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴
上的投影之代数和均等于零。
FX FY
0 0
练一练
求图示三角支架中杆AC和杆BC所受的力（已知重物D 重W=10 kN）。
解：（1）取铰C为研究对象，其受力图如下
练一练
例2：已知FT1= FT2=10kN，FT=14kN，如下图所示，试计 算FT1、FT2、FT在X、Y轴上的投影。
（1）F1在x、y轴上的投影 Fx1=F1=10kN Fy1=0 （2）F2在x、y轴上的投影 Fx2=0 Fy2=-F2=-20kN
(1) FT1x=-F T1cos45°=-7.07kN FT1y=-F T1sin45°=-7.07kN
2.2平面汇交力系的平衡
教师课时教案课题： 2.2平面汇交力系的平衡目的与要求： 1、能说出平面力系的分类；2、知道平面汇交力系的平衡条件及其平衡方程；3、能运用平面汇交力系的平衡方程计算简单的平衡问题；4、感悟平面汇交力系的平衡问题在工程中的应用；5、通过对平衡问题计算步骤的理解，培养学生的力学素养。
教学模式及教学方法：教学模式：能设计实验，体验三个汇交力作用下处于平衡状态时物体的受力的大小变化以及受力的性质；能探究三个汇交力作用下平衡问题的解题方法。
教学方法：实验法、讲授法、类比法复习要点：力投影正负的判断和投影计算公式新课重点、难点：重点：运用平面汇交力系的平衡方程求解简单的平衡问题；难点：1、建立平面汇交力系的平衡方程；2、感悟平面汇交力系的平衡问题在工程中的应用。
解决措施：通过重点讲解、分步探讨让学生掌握如何解决汇交力系平衡问题本课小结：本节课我们主要学习了汇交力系的平衡方程及应用平衡方程解决力学中的平衡问题。
课外作业（或复习题）：1、通过本内容的学习，你有哪些收获？还存在哪些困惑？2、参观构件吊装的施工现场，运用所学知识对吊装方法加以说明。
课后改进措施: 重视基础知识的讲解，循序渐进，让学生打好基础，同时重视习题讲解，而且要让学生自己多练习。
教学过程一、引入1、如图一所示，手提一根弹簧，在弹簧下挂着一个重G=2N的砝码，问弹簧受到拉力有多大？2、在图一中，再用手把另一根弹簧沿水平方向十分缓慢地向右拉，如图二所示，问两根弹簧受到的拉力大小如何变化？如何计算呢？图一图二二、导学提纲1、平面力系的分类（1）各力的作用线全部的平面力系，称为平面平行力系。
（2）各力的作用线都的平面力系，称为平面汇交力系。
（3）各力的作用线即不全，也不全的平面力系，称为平面一般力系。
（4）平面力系按各力的划分为上述三类，请举例说明。
2、平面汇交力系的平衡条件及平衡方程。
（1）平面汇交力系的平衡条件是该力系的。
（2）平面汇交力系的平衡方程是，即力系中所有各力在两个坐标轴上的的代数和分别为。
平面汇交力系
第二章 平面汇交力系一、内容提要本章讲述了研究平面汇交力系的合成和平衡条件的两种方法：几何法和解析法。
1.求平面汇交力系的合力 (1) 几何法求合力。
根据力多边形法则求合力，即力多边形缺口的封闭边代表合力的大小和方向。
F R =ΣF合力的作用线通过原力系各力的汇交点。
(2) 解析法求合力。
根据合力投影定理，利用力系中各分力在两个正交轴上的投影的代数和，来确定合力的大小和方向为()()2Y 2X 2RY 2X R F F F F F R ∑+∑=+=XY XRY tan F F F F R ∑∑==αα为合力F R 与x 轴所夹的锐角。
合力F R 的指向由ΣF Y 和ΣF X 的正负号来确定，合力的作用线通过原力系各力的汇交点。
2.平面汇交力系的平衡条件(1) 平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零，即F R =ΣF =0(2) 平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。
(3) 平衡的解析条件：平面汇交力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
即ΣF X =0 ΣF Y =0通过这两个独立的平衡方程，可求解出两个未知量。
3.力在坐标轴上的投影为F X =±F cosαF Y =±F sinα式中α为力F 与坐标轴x 所夹的锐角。
二、典型例题解析例 简易起重机如图2-1a 所示。
B 、C 为铰支座，钢丝绳的一端缠绕在卷扬机的点D 上。
杆件AB 、AC 及滑轮的自重不计，滑轮的半径也不计。
试求杆件AB 、AC 所受的力。
（空13行） 图2-1知识点：平面汇交力系的平衡条件及应用。
解 （1）取铰A 为研究对象。
杆AB 、AC 均为二力杆，可设为拉力。
由于A 处为定滑轮，故钢丝绳两端的拉力相等，都等于物体的重量W = 20kN 。
不计滑轮半径，则铰A 的受力图如图2-1b 所示。
（2）几何法求解作闭合的力多边形。
在选定比例尺后，先画已知力F T D 和W ，考虑到实际情况，F N C 应该为压力，所以应向上，且与水平成60°角。
平面力系的平衡方程及应用
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
工程力学3—力系的平衡条件和平衡方程
∑ Fx = 0 B ∑ M A ( F ) = 0 A x ∑ M ( F ) = 0 B 其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
′ FR
由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化 为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件， 若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。
∴N B =
60 =300N 0.2
[例4] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。 例 图示结构，已知Байду номын сангаас， 、 两点的约束反力。 两点的约束反力
M AC = R C ⋅ d = 0.255 R C ( N .m )
∑M
i
=0
M AC − M = 0
RC = 3137 N
3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
M =m1 +m2 +m3 +m4 =4×(−15)=−60N⋅m
由力偶只能与力偶平衡的性质， 由力偶只能与力偶平衡的性质， 与力N 组成一力偶。 力NA与力 B组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: 根据平面力偶系平衡方程有
NB ×0.2 − m1 − m2 − m3 − m4 = 0
∴N A = N B =300 N
1,3,4；
有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,4,5; 2,4,5 ；2,3,5; 3,4,5
第3章 力系的平衡条件与平衡方程 章
1 平面汇交力系的平衡条件与平衡方程 2 平面力偶系的平衡条件与平衡方程 3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 4 简单的刚体系统平衡问题 5 考虑摩擦时的平衡问题 6 结论与讨论
1 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
§2-4 平面汇交力系平衡的解析条件 得平面汇交力系的平衡方程
Y 0, T2 sin Q ND 0 ②
由①得
c
os
T1 T2
P 2P
1 2
60
由②得
ND
Q T2 sin
Q 2Psin 60 Q
3P
返回
[例] 已知 P=2kN ，求SCD , RA。 解：（1）研究AB杆 （2）画出受力图 （3）列平衡方程
X 0
RAcos SCDcos4500
Y 0
PRA sin SCD sin450 0
RAcos SCDcos4500
PRA sin SCD sin450 0
§2-4 平面汇交力系平衡的解析条件
R0
R ( X )2 (Y )2 0
得平面汇交力系的平衡方程
X 0 Y 0
•两个独立的平衡方程只能求解两个未知数 。
解题步骤： ①确定研究对象，作研究对象的受力图； ②选定坐标系； ③列平衡方程并求解。
指向假设的未知力，若按平衡方程求得 正值，说明其实际方向与假设的相同； 若为负值，则说明其实际方向与假设的 相反，但不需要改变受力图中的指向。
（4）解平衡方程
由BC=BE=0.4m
tg
EB AB
0.4 1.2
1 3
SCD
sin
45 0
P cos
45 0
tg
4.24
kN
RA
SCDFra bibliotekcos 450
cos
3.16
kN
[例] 已知P、Q，求平衡时
的 ? 地面的反力 ND ?
解：研究球A，受力如图示。
平面汇交力系的平衡及平衡条件
(a)
F 2y
Ry
Rx F1x F2 x F3 x Ry F1 y F2 y F3 y
2008.9～2009.1
R x F1x F2 x Fnx Fx
R y F1 y F2 y R y
F3 D F4
F1
F2 F3
C F2 B F1 F4
R
O
A (b)
(a)
n R F1 F2 Fn Fi i 1
平衡条件
2008.9～2009.1
n R Fi 0 i 1
《化工设备设计基础》
二、平面汇交力系的解析法与平衡条件
1、力在坐标轴上的投影
F
x
y
0
0
T cos60 N 0
T cos30 G 0
(a) (b)
30˚ y T 60˚ O A O N G G (b) x
F
N T cos60 92.38 0.5 46.19N
2008.9～2009.1
《化工设备设计基础》
(a)
Fy
B F
b
a
A
α
Fx
Fx F cos Fy F sin
2008.9～2009.1
a A
b
式中α是力F与x轴正向间的夹角
《化工设备设计基础》
2、合力投影定理
F3y
F3 F2 F1 F3 R F2 F1 O Rx F1x Rx (b) F3x F2x x
Ry
R
α
(c)
F1y
《化工设备设计基础》
2 2
tg
Ry Rx
F F
平面汇交力系
只要不平行即可
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
2. 解析法解题步骤： 解析法解题步骤： （1）选取研究对象； 选取研究对象； （2）画出研究对象的受力图； 画出研究对象的受力图； （3）合理选取坐标系，列平衡方程求解； 合理选取坐标系，列平衡方程求解； （4）对结果进行必要的分析和讨论。 对结果进行必要的分析和讨论。 几点说明： 几点说明： （1）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 投影轴常选择与未知力垂直， 未知数； 未知数； （2）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相 未知力的方向可以先假设，如果求出负值， 反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说 对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值， 明物体受压力。 明物体受压力。
引 言
桥梁受有：自身重力、铁轨压力、桥墩作用力、风载等。 桥梁受有：自身重力、铁轨压力、桥墩作用力、风载等。 机身受有：自身重力、旋翼轴的作用力、空气动力等。 机身受有：自身重力、旋翼轴的作用力、空气动力等。 研究内容：刚体在各种力系作用下平衡的一般规律。 研究内容：刚体在各种力系作用下平衡的一般规律。
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向由 结论：平面汇交力系可简化为一合力， 力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点， 力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点， 即合力等于各分力的矢量和（或几何和）。 即合力等于各分力的矢量和（或几何和）。 几点讨论： 几点讨论：
引 言
r r r 的质点上。 设：共点力系 {F ,F ,L,F }作用在质量为 m 的质点上。 1 2 n
i =1 r 结论： 结论：力系中 ∑F 是反映其作用效应的物理量之一 i i =1 r F
平面汇交力系知识题
作业A一、填空题1. 平面汇交力系是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。
2. 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是＿＿＿＿＿＿＿，此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。
3. 沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影，力的投影是＿＿＿＿量，有正负之分。
4. 力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力 F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力 F 是矩形的＿＿＿，矩形的＿＿＿＿是力F矢量的两个正交分力F x、F y 。
5. 已知一个力F沿直角坐标轴的两个投影为F x、F y ，那么这个力的大小F ＿＿＿＿，方向角＿＿＿＿。
( 角为F 力作用线与 x 轴所夹的锐角。
)6. 平面汇交力系的力多边形如图(a)，(b) ，(c)则图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；图(b) 中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿7. 如图所示，不计重量的直杆 AB 与折杆 CD 在 B 处用光滑铰链连接，若结构受力 F作用，9.平面刚架在 B 处受一水平力 F 作用，如图所示，刚架自重不计，设F =20 kN ，L =8 m ，h =4 m ，则求 A 、 D 处的约束反力，可以按以下步骤进行：1 ）以刚架为研究对象，进行受力分析：请画出刚架的受力分析图2 ）作用在刚架上的力（主动力和约束力）构成的力系属＿＿＿＿＿力系3 ）列出刚架的平衡方程（坐标如图）Fx 0 ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；则支座 C 处的约束力大小 ，方向8.如图所示，力 F在x 、y 轴上投影 F x ＝Fy＝7 题图）F y 0 ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
（ 4 ）解方程计算A、D 处的约束反力F A = ＿＿＿＿＿＿；F D = ＿＿＿＿＿＿＿。
平面汇交力系解析法
A
9
• 例 如图所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已 知三力均通过圆心。试求此力系合力的大小和方向。
解析法 取如图所示的直角坐标系Oxy
则合力的投影分别为
RxF 1co3s0F2F3co6s04.1k6N RyF 1si3 n0F3si6 n 01.6k5N
由合力投影定理有：
Rx=X1+Xa2+c…- +Xn=X Ry=Y1+Yb2c+…=a+Ybn=Y
R
F2
F1 a b cx
合力：
合力的投影
R R x2 R y2 X 2 Y2 y
tan Ry Y
Rx
Rx X
Ry
R
x
表示合力R与 x轴所夹的锐角，
合力的指向由∑X、∑Y的符A号判定。
6
合力投影定理
i 1 4
F iy F 1 c o s 6 0 o F 2 c o s 3 0 o F 3 c o s 4 5 o F 4 c o s 4 5 o 1 1 2 .3 N
i 1
F R F x 2 F y 2( F ix )2 ( F iy )2
129.32112.32N 171.3N
co sF R ,iF F R xF R F ix1 1 2 7 9 1 ..3 30 .7 5 4 8
A
3
解析法—定量计算合力的大小和方向的方法 一、力在直角坐标轴上的投影
a a2
F
y
α b2
Fx x
a1
α、β为力与x轴和y轴所 夹的锐角， Fy
若已知力F在x、y轴上的投影
平面汇交力系的合成与平衡
单元02 平面力系平面汇交力系的合成与平衡一、平面汇交力系合成的几何法1.两个共点力合成的几何法可以由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理求合力的大小；由正弦定理确定合力方向2.任意个共点力合成的几何法结论：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零。
特点：最后一个力矢的终点与第一个力矢的起点相重合，即封闭边为零。
合力为零意味着力多边形自行封闭。
例：解：三、力在坐标轴上的投影四、合力投影定理1）平面汇交力系的合力F R= F1+ F2+…+ F n = ∑F2）合力在坐标轴的投影等于各分力在同轴上投影的代数和合力投影定理:力系的合力在某轴上的投影,等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。
五、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡条件平衡方程:例题1：求如图所示平面共点力系的合力。
其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
解：根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：合力的大小：171.3N合力与轴x的夹角的正切为：8.343所以，合力与轴x的夹角为41°例题2：如图所示是汽车制动机构的一部分。
司机踩到制动蹬上的力F=212 N，方向与水平面成 = 45°角。
当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。
已知EA=24cm，DE=6 cm(点E在铅直线DA上) ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。
例题3：利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重G = 20 kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。
不计铰车的自重，试求杆AB和BC 所受的力。
解析法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解题技巧及说明：1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。
第二章平面汇交力系合成平衡
F1 A
B F2 C
R D F3
x
a bdc
(b)
推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的空间共
点力系，可得：
F R x F x 1 F x 2 F x 3 F x n F x
根据合力投影定理得
F R x F x 1 F x 2 F X n F x F R y F y 1 F y 2 F y 3 F y
F3 F3
cos450 ;
sin450
Fx4 Fy4
F4 cos450 F4 sin450
FRx Fx12.93N
FRy Fy11.23N
FR FR 2xFR 2y17.31N
arcFtRgyarc1t1g.3240.90 75
FRx
12.39
三、平面汇交力系平衡的充要解析条件： 力系中所有各力在任意坐标轴上投影的代数
• 性质4 力偶在任意轴上的投影等于零。
推论1：力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不改变 物体的转动效应。
推论2：只要保持力偶矩的大小不变，转向不变，可以同 时改变组成力偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变它 对物体的转动效应。
因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
F
F
=
d
d
5、力偶的三要素： (1)、力偶矩的大小。 (2)、力偶的转向。 (3)、力偶作用面的方位。
投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表
示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解析法求解平面汇交力系平衡问题的 一般步骤:
1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设 的已知条件。
平面汇交力系习题
作业A一、填空题1。
平面汇交力系是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。
2。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是＿＿＿＿＿＿＿，此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。
3.沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影，力的投影是＿＿＿＿量，有正负之分。
4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F 是矩形的＿＿＿，矩形的＿＿＿＿是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。
5。
已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、,那么这个力的大小=F ＿＿＿＿，方向角=α＿＿＿＿。
(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。
） 6。
平面汇交力系的力多边形如图（a)，（b ）,（c ）则图（a ）中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(b ）中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
7。
如图所示，不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接，若结构受力F 作用,则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿。
（7题图) (8题图）8.如图所示，力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿.9.平面刚架在B 处受一水平力F 作用，如图所示,刚架自重不计，设F =20kN ，L =8m ，h =4m ，则求A 、D 处的约束反力，可以按以下步骤进行：(1）以刚架为研究对象，进行受力分析：请画出刚架的受力分析图(2）作用在刚架上的力（主动力和约束力）构成的力系属＿＿＿＿＿力系 （3）列出刚架的平衡方程（坐标如图）∑=0xF ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; ∑=0yF：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.（4）解方程计算D A 、处的约束反力A F =＿＿＿＿＿＿；D F =＿＿＿＿＿＿＿。
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FR
n
2
Fix
n
2
Fiy
0
i1 i1
n
Fxi 0
i 1
n
Fyi 0
i 1
平面汇交力系应用举例
• 例3-2 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索
绕过滑轮，一端连接在绞车上，另一端悬 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。
§3-1-3平面汇交力系的平衡条件及应用
• 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：
该力系的合力等于零，即力系中各力的矢 量和为零：
n
FR Fi 0 i 1
• 平面汇交力系平衡的几何条件：该力系
的力多边形是自身封闭的力多边形。
• 平面汇交力系平衡的充分与必要条件，也
可解析地表达为：力系中00
C
300
D
W
A
y
B
300
C
300 D
x
FCA 300
F 300 CB
C
FT'
W
FT
Fx 0
FCB FCA cos 30 0 FT' cos 30 0 0
Fy 0
FCA sin 30 0 FT' sin 30 0 FT 0
FCA 300 kN FCB 346 .4kN