23.1图形的旋转(第二课时)

链接中考
2．（2013•天津）如图，在△ABC中，
AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点 ，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四 边形ADCF一定是 .
解：∵△ADE绕点E旋转180°得 △CFE， ∴AE=CE，DE=EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AC=BC，点D是边AB的中点， ∴∠ADC=90°， ∴四边形ADCF矩形
（3）解：∵BC=8，
∴AD=8， 在Rt△ADE中，DE=6，AD=8， ∴AE2=AD2+DE2=100，∴AE=10 ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按 顺时针方向旋转90 度得到， ∴AE=AF，∠EAF=90°， ∴△AEF的面积=AE2/2=12×100=50（平方 单位）．

（3）存在CE′∥AB， 理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A 逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过 点C且与AB平行的直线l交于M、N两点， 如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形 ABCM为等腰梯形， ∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°， ∴α=∠CAM=36°． ②当点E的像E′与点N重合时， 由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°， ∵AM=AN， ∴∠ANM=∠AMN=72°， ∴∠MAN=180°-2×72°=36°， ∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°． 所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
分析：（1）根据等腰三角形的性质以及 角平分线的性质得出对应角之间的关系进 而得出答案； （2）由旋转的性质可知： ∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三 角形证明方法得出即可； （3）分别根据①当点E的像E′与点M重合 时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点 E的像E′与点N重合时，求出α即可．
分析：（1）根据正方形的性质得AD=AB， ∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得 △ADE≌△ABF； （2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则 ∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根据旋转 的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点 ，按顺时针方向旋转90 度得到； （3）先利用勾股定理可计算出AE=10，在根据 △ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方 向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据 直角三角形的面积公式计算即可．
A C B
A′ C′ B′
△ABC≌△A′B′C′
一、自学质疑
1、如图，如果把钟表的指针看做△OAB，它
绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这 个旋转过程中： （1）旋转中心 ；是旋转角是 ； （2）经过旋转，点A、B、O的对应点分别是

1、对应点到旋转中心的距 离 ；
2、 与旋转中心所连线段的夹角 等于旋转角
（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE=36°， ∴∠BEC=180°-∠C-∠CBE=72°， ∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C， ∴AE=BE，BE=BC， ∴AE=BC
（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，
∴AE=AF； 由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB， AE′=AF′， ∵在△CAE′和△BAF′中 AB＝AC∠F′AB＝∠E′ACAF′＝AE′， ∴△CAE′≌△BAF′， ∴CE′=BF′．
5.（2013•攀枝花）如图，在△ABC中，
∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得 CC′∥AB，则∠BAB′=（ ）度
A、30 B、35 C、40 D、50

解：∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置， ∴AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′， ∵CC′∥AB，∠CAB=75°， ∴∠ACC′=∠CAB=75°， ∴∠CAC′=180°-2∠ACC′ =180°-2×75°=30°， ∵∠BAB′=∠BAC-∠B′AC， ∠CAC′=∠B′AC′-∠B′AC， ∴∠BAB′=∠CAC′=30°． 故选A．
四、链接中考：

1．（2013•梧州）如图，△ABC以点O为旋转中心， 旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线， 经旋转后为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（ ）
B、3 C、4 D、1.5
A、2
解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋 转180°后得到△A′B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴B′C′=BC=4， ∵D′E′是△A′B′C′的中位线， ∴D′E′=12B′C′=12×4=2．
A
D
C
还有别的办 法吗？
3.将△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°，画出旋转后图形△OA1B1
链接gsp
B
O
A
通过上面的两道练习，画图形旋转的 步骤是
（1）画旋转
；（2）找对应
；→（3）
连线成图。
三、巩固深化：
如图，E是正方形ABCD中CD边上的任意一
点，以点A为中心，作出△ADE顺时针旋转 90度后的图形
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
C
还有别的办 法吗？
3.将△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°，画出旋转后图形△OA1B1
链接gsp
B
O
A
如图,在正方形ABCD中，E是BC上一点， ∠AEB=60°
△ABE旋转后得到△ADF (1)旋转中心是哪一点？旋转的方向？旋转角为多少度？ (2) ∠AFD为多少度？DF的长是多少？ (3)如果点G在AB的中点处，那么经过上述旋转后，点G应旋转到什 么位置？ (4)连接EF，三角形AEF是什么三角形？
G A D F
60 度 B E C
例题示范
如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 分析：关键是确定△ADE三个顶点的对应 点，即它们旋转后的位置.
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身。 正方形ABCD中，AD=AB， ∠DAB=90°， 所以旋转后点D与B重合. 设点E的对应点为点E′，因为旋转后 的图形与旋转前的图形全等，所以 ∠ABE′= ∠ADE=90°，BE′=DE 因此，在CB的延长线上取点E′，使BE′=DE，则 △ABE′为旋转后的图形. E′ B E
10/7/2013
河南省永城市小龙人中学 朱加启
在硬纸板上，挖一个三角形洞，再挖一 个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一 张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图 案（△ABC）然后围绕旋转中心转动硬纸 板，再描出这个挖掉的三角形 （△A′B′C′） ，移开硬纸板. O 线段OA与OA′有什么关系？∠AOA′与 ∠BOB′有什么关系？ △ABC与△A′B′C′形 状和大小有什么关系？ OA=OA′ ∠AOA′=∠BOB′

4.（2013•黄石）把一副三角板如图甲放置，其中 ∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜 边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转 15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于 点O，则线段AD1的长为（ ）
A、3 2 B、5 C、4 D、 31

解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°， ∴∠DCE=90°-30°=60°， ∴∠ACD=90°-60°=30°， ∵旋转角为15°， ∴∠ACD1=30°+15°=45°， 又∵∠A=45°， ∴△ACO是等腰直角三角形， ∴AO=CO=(1/2)AB=(1/2)×6=3，AB⊥CO， ∵DC=7， ∴D1C=DC=7， ∴D1O=7-3=4， 在Rt△AOD1中，AD1=AO2+D1O2=32+42=5． 故选B．
A
D
C
还有别的办 法吗？
3.将△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°，画出旋转后图形△OA1B1
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B
O
A
如图,在正方形ABCD中，E是BC上一点， ∠AEB=60°
△ABE旋转后得到△ADF (1)旋转中心是哪一点？旋转的方向？旋转角为多少度？ (2) ∠AFD为多少度？DF的长是多少？ (3)如果点G在AB的中点处，那么经过上述旋转后，点G应旋转到什 么位置？ (4)连接EF，三角形AEF是什么三角形？
G A D F
60 度 B E C
例题示范
如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 分析：关键是确定△ADE三个顶点的对应 点，即它们旋转后的位置.
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身。 正方形ABCD中，AD=AB， ∠DAB=90°， 所以旋转后点D与B重合. 设点E的对应点为点E′，因为旋转后 的图形与旋转前的图形全等，所以 ∠ABE′= ∠ADE=90°，BE′=DE 因此，在CB的延长线上取点E′，使BE′=DE，则 △ABE′为旋转后的图形. E′ B E
3．（2013•莆田）如图，将Rt△ABC（其中
∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向 旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在 同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
解：∵∠B=35°，∠C=90°， ∴∠BAC=90°-∠B=90°35°=55°， ∵点C、A、B1在同一条直线上， ∴∠BAB′=180°-∠BAC=180°55°=125°， ∴旋转角等于125°
G A D F
60 度 B E C
例题示范
如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 分析：关键是确定△ADE三个顶点的对应 点，即它们旋转后的位置.
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身。 正方形ABCD中，AD=AB， ∠DAB=90°， 所以旋转后点D与B重合. 设点E的对应点为点E′，因为旋转后 的图形与旋转前的图形全等，所以 ∠ABE′= ∠ADE=90°，BE′=DE 因此，在CB的延长线上取点E′，使BE′=DE，则 △ABE′为旋转后的图形. E′ B E
6.（2013•毕节地区）四边形ABCD是正方形
，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且 DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中 心 点，按顺时针方向旋转 度得到； （3）若BC=8，DE=6， 求△AEF的面积．

解： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°， 而F是DCB的延长线上的点， ∴∠ABF=90°， 在△ADE和△ABF中 AB＝AD∠ABF＝∠ADEBF＝DE， ∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF=∠DAE， 而∠DAE+∠EBF=90°， ∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°， ∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按 顺时针方向旋转90 度得到； 故答案为A、90；
3、旋转前、后的两个图 形 ；
如图,在正方形ABCD中，E是BC上一点， ∠AEB=60°
△ABE旋转后得到△ADF (1)旋转中心是哪一点？旋转的方向？旋转角为多少度？ (2) ∠AFD为多少度？DF的长是多少？ (3)如果点G在AB的中点处，那么经过上述旋转后，点G应旋转到什 么位置？ (4)连接EF，三角形AEF是什么三角形？

7．（2013•益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36° ，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E． （1）求证：AE=BC； （2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将 △AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得 到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′； （3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若 存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理 由．

8．（2013•潍坊）如图1所示，将一个边长为2的正方形 ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成 一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋 转至CE′F′D′，旋转角为a． （1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值； （2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证： GD′=E′D； （3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中， △DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值； 若不能说明理由．