2020高考文科数学一轮总复习课标通用版作业：第2章 函数 课时作业7
高考数学一轮复习课时作业(七) 函数的单调性与最值
课时作业(七) 函数的单调性与最值1．函数f (x )＝－x ＋1x 在[－2，－13 ]上的最大值是( )A ．32B ．－83C ．－2D ．2A [由y ＝－x 在R 上单调递减，y ＝1x 在(－∞，0)上单调递减，可得f (x )在[－2，－13 ]上单调递减，即f (－2)为最大值，且f (－2)＝2－12 ＝32.]2．(多选)(2020·广州模拟)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln (x ＋1)AD [由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0可知，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．]3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13 的x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23D [因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，所以2x －1≥0，x ≥12 .又函数在定义区间上单调递增，且满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13 ，所以2x －1<13 ，x <23 .故x 的取值范围为12 ≤x <23.] 4．设函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( ) A ．y ＝1f （x ） 在R 上为减函数B ．y ＝|f (x )|在R 上为增函数C ．y ＝－1f （x ）在R 上为增函数D ．y ＝－f (x )在R 上为减函数D [特例法：设f (x )＝x ，则y ＝1f （x ） ＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，A 错；则y ＝|f (x )|＝|x |在R 上无单调性，B 错；则y ＝－1f （x ） ＝－1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，C 错；y ＝－f (x )＝－x 在R 上为减函数，所以选项D 正确．]5．函数y ＝2－xx ＋1 ，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(－1，2)C ．[1，2)D ．[－1，2)D [函数y ＝2－x x ＋1 ＝3－（x ＋1）x ＋1 ＝3x ＋1 －1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f (2)＝0，所以n ＝2.根据题意，x ∈(m ，n ]时，y min ＝0. ∴m 的取值范围是[－1，2).]6．函数y ＝x －|1－x |的单调递增区间为________．解析： y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥1，2x －1，x<1.作出该函数的图象如图所示．由图象可知，该函数的单调递增区间是(－∞，1]. 答案： (－∞，1]7．(2020·日照期中)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2，x≤0x ＋1x，x>0 ，则f (f (－1))＝________，函数f (x )的最小值为________．解析： 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2，x≤0，x ＋1x，x>0，所以f (－1)＝f (－1－1)2＝4， 所以f (f (－1))＝f (4)＝4＋14 ＝174 ，当x ≤0时，y ＝(x －1)2≥1； 当x >0时，y ＝x ＋1x≥x·1x＝2. 当且仅当x ＝1时，等号成立， 所以函数f (x )的最小值为1. 答案：1741 8．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3<f (x ＋1)<1的解集为________．解析： 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3<f (x ＋1)<1，即为f (0)<f (x ＋1)<f (3)，所以0<x ＋1<3，所以－1<x <2.答案： (－1，2) 9．已知函数f (x )＝x ＋2x.(1)写出函数f (x )的定义域和值域；(2)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f (x )在x ∈[2，8]上的最大值和最小值． 解析： (1)定义域为{x |x ≠0}． 又f (x )＝1＋2x ，所以值域为{y |y ≠1}．(2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1＋2x1 －⎝⎛⎭⎫1＋2x2 ＝2x1 －2x2 ＝2（x2－x1）x1x2 . 又0<x 1<x 2，所以x 1x 2>0，x 2－x 1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，在x ∈[2，8]上，f (x )的最大值为f (2)＝2，最小值为f (8)＝54.10．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0).(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2 ，求a 的值． 解析： (1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x2 －⎝⎛⎭⎫1a －1x1 ＝1x1 －1x2 ＝x2－x1x1x2 >0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2 ， 又由(1)得f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上是单调递增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12 ＝12 ，f (2)＝2，解得a ＝25.11．(创新型)在实数R 中定义一种运算“*”，使其具有下列性质： (1) 对任意a ，b ∈R ，a *b ＝b *a . (2) 对任意a ∈R ，a *0＝a .(3) 对任意a ，b ，c ∈R ，(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(b *c )－2c .则函数f (x )＝x *x2 的单调递减区间是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，12B ．⎣⎡⎦⎤－32，＋∞ C ．⎝⎛⎦⎤－∞，32 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32 D 在(3)中，令c ＝0，得a *b ＝(a *b )*0＝0*(ab )＋(a *0)＋(b *0)－2×0＝ab ＋a ＋b ，则f (x )＝x *x 2 ＝x22 ＋3x 2 ＝12 ⎝⎛⎭⎫x ＋32 2 －98 ，易知函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－32 .故选D.] 12．(开放题)已知f (x )和g (x )在定义域内均为增函数，但f (x )·g (x )在定义域内不一定是单调递增函数，请写出一对这样的函数，例如当f (x )＝________，且g (x )＝________时，f (x )·g (x )在定义域内不是单调递增函数．解析： 根据题意设f (x )＝x ，g (x )＝x ，两个函数的定义域均为R ，则f (x )·g (x )＝x 2，在R 上不是单调递增函数．答案： x ；x (答案不唯一)13．已知f (x )＝x2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞).(1)当a ＝12 时，用定义证明函数的单调性并求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解析： (1)当a ＝12 时，f (x )＝x ＋12x＋2，任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫12x1－12x2 ＝（x1－x2）（2x1x2－1）2x1x2 .因为1≤x 1<x 2，所以x 1x 2>1，2x 1x 2－1>0.又x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)因为在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x2＋2x ＋ax>0恒成立，则⎩⎨⎧x2＋2x ＋a>0，x≥1 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a>－（x2＋2x ），x≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．因为φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝1时，φ(x )取最大值为φ(1)＝－3. 所以a >－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞). 14．(2020·柳州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足： ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1；②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解析： (1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1. 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4， 得f (x 2＋2x )＋f (1－x )＋1>5， 即f (x 2＋x ＋1)>f (3)又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．15．(多选)(2020·山东德州质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2a －1）x ＋8a －2，x<1，ax ，x≥1 在(－∞，＋∞)上单调递减的充分不必要条件是( )A ．13 <a <12B ．14 ≤a ≤1C ．13 ≤a ≤12D ．13 ≤a ≤38AD [若函数f (x )＝⎩⎨⎧（2a －1）x ＋8a －2，x<1，ax≥1在(－∞，＋∞)上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<0，0<a<1，（2a －1）＋8a －2≥a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a<12，0<a<1，即13≤a <12，a ≥13，故当13 <a <12 或13 ≤a <38，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，故选AD.]16．(创新型)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12 x 2－x ＋32 是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________．解析： 因为函数f (x )＝12 x 2－x ＋32 的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12 x －1＋32x ，令g (x )＝12 x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12 －32x2 ＝x2－32x2.由g ′(x )≤0得1≤x ≤ 3 ，即函数f （x ）x ＝12 x －1＋32x 在区间[1， 3 ]上单调递减．故“缓增区间”I 为[1， 3 ].答案： [1， 3 ]。
2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时作业7课件文新人教A版
基础过关组
一、选择题
1．已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所
有α的值为( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
解析 因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1,3。又y＝x－1的 值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R。所以符合要求的α的值为 1,3。故选A。
答案 A
2．已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f
33
，b＝
f(lnπ)，c＝f
22，则a，b，c的大小关系为(
)
A．a<c<b B．a<b<c
C．b<c<a D．b<a<c
解析 因为点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，所以
答案 B
x2＋2x＋a－2，x≤0， 15．(2018·天津高考)已知a∈R，函数f(x)＝ －x2＋2x－2a，x>0。 若 对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则实数a的取值范围是________。
解析 当－3≤x≤0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为x2＋2x＋a－2≤－x
12．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)
＝1。
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范
围。
解 (1)由f(0)＝1，得c＝1，
所以f(x)＝ax2＋bx＋1。
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
在(0，＋∞)上为减函
高考数学一轮复习全套课时作业2-7幂函数
2.7幂函数一、单项选择题1．若f(x)是幂函数，且满足f（4）f（2）＝3，则()A．3B．－3 C.13D．－132．当x∈(1，＋∞)时，下列函数中图象全在直线y＝x下方的增函数是()A．y＝x12B．y＝x2C．y＝x3D．y＝x－13．已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－12，则()A．x<y<z B．z<x<y C．z<y<x D．y<z<x4．(2021·辽宁沈阳一模)已知a＝313，b＝212，c＝log32，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a5．(2021·黑龙江中学期中)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－1是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数．若a，b∈R且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值()A．恒等于0B．恒小于0C．恒大于0D．无法判断6．(2021·安徽江淮十校联考)已知函数f(x)＝e－x－e x(e为自然对数的底数)，若a＝0.7－0.5，b＝log0.50.7，c ＝log0.75，则()A．f(b)<f(a)<f(c)B．f(c)<f(b)<f(a)C．f(c)<f(a)<f(b)D．f(a)<f(b)<f(c)7．下列四个数中最大的是()A．(ln2)2B．ln(ln2)C．ln2D．ln28．(2019·浙江)在同一直角坐标系中，函数y＝1a x，y＝log，且a≠1)的图象可能是()9．已知函数f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是()A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)二、多项选择题10．(2021·沧州七校联考)下列不等式成立的有()A ．log 1323<log2313C ．212>313D ．log 2313<11．已知函数f(x)＝log 12()A ．f(x)的定义域为(0，＋∞)B ．f(x)的值域为[－1，＋∞)C ．f(x)是奇函数D ．f(x)在(0，1)上单调递增三、填空题与解答题12．已知x 2>x 13，则实数x 的取值范围是________．13．(2021·衡水中学调研卷)设函数f(x)x －1，x<1，x 13，x ≥1，则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是________．14．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m ，则m ＝________．(lg2≈0.3010)15．若f(x)＝x 2－x ＋b ，且f(log 2a)＝b ，log 2f(a)＝2(a ≠1)．(1)求f(log 2x)的最小值及对应的x 的值；(2)当x 取何值时，f(log 2x)>f(1)，且log 2f(x)<f(1)．16．(2020·课标全国Ⅱ)若2x －2y <3－x －3－y ，则()A ．ln(y －x ＋1)>0B ．ln(y －x ＋1)<0C ．ln|x －y|>0D ．ln|x －y|<017．(2021·河北邯郸一中模拟)已知实数a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是()A ．1B ．2C ．3D ．418．(2021·北京西城区期末)被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C ＝WlogC 为最大数据传输速率，单位为bit/s ；W 为信道带宽，单位为Hz ；SN 为信噪比．香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用．当S N ＝99，W ＝2000Hz 时，最大数据传输速率记为C 1；当SN ＝9999，W ＝3000Hz 时，最大数据传输速率记为C 2，则C 2C 1为()A ．1 B.52C.154D ．32.7幂函数参考答案1．答案C 2．答案A解析y ＝x 2，y ＝x 3当x ∈(1，＋∞)时，图象不在直线y ＝x 下方，排除B 、C ，而y ＝x －1是(－∞，0)，(0，＋∞)上的减函数．故选A.3．答案D解析∵x ＝ln π>1，y ＝log 52<log 55＝12，z ＝e －12＝1e >14＝12，且e －12<e 0＝1，∴y<z<x.故选D.4．答案D解析∵a ＝313＝916，b ＝212＝816，916>816>80＝1，∴a>b>1.∵c ＝log 32<log 33＝1，∴c<1<b<a.故选D.5．答案C解析由函数f(x)＝(m 2－m －1)xm 2＋m －1是幂函数，得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝－1时f(x)＝x －1，在(0，＋∞)上为减函数，不满足题意；当m ＝2时，f(x)＝x 5，在(0，＋∞)上为增函数，满足题意．所以f(x)＝x 5.因为函数f(x)＝x 5为奇函数，所以在R 上单调递增．又a ＋b>0，故a>－b ，f(a)>f(－b)＝－f(b)，故f(a)＋f(b)>0.故选C.6．答案D解析因为a ＝0.7－0.5>1，0<b<1，c<0，所以a>b>c.易知f(x)在R 上是减函数，故f(a)<f(b)<f(c)．故选D.7．答案D解析0<ln2<1，0<(ln2)2<ln2<1，ln(ln2)<0，ln 2＝12ln2<ln2.故选D.8．答案D解析方法一：若0<a<1，则函数y ＝1ax 是增函数，y ＝log可知，选项D 可能成立；若a>1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log 合选项可知，没有符合的图象．故选D.方法二：分别取a ＝12和a ＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.9．答案B解析f(x)＝|lnx|的图象如图所示．因为0<a<b ，且f(a)＝f(b)，所以|lna|＝|lnb|且0<a<1，b>1.所以－lna ＝lnb ，所以ab ＝1.所以2a ＋b ≥22ab ＝2 2.当且仅当2a ＝b ，即a ＝22，b ＝2时，等号成立．10．答案AB解析log 1323<log 1313＝1＝log 2323<log13，故AB 正确；(212)6＝23＝8<(313)6＝32＝9，故C 错误；log 2313>log 2323＝1＝1，故D 错误．11．答案AD解析由x 与1x 同号可得当x ＋1x >0时，x>0.故f(x)的定义域为(0，＋∞)，故A 正确；当x>0时，x ＋1x≥2，故f(x)＝log 12－1，故值域为(－∞，－1]，故B 错误；由定义域不关于原点对称，得f(x)为非奇非偶函数，故C 错误；当x ∈(0，1)时，t ＝x ＋1x 为减函数，f(x)＝log 12D 正确．12．答案{x|x<0或x>1}解析分别画出函数y ＝x 2与y ＝x 13的图象，如图所示，由于两函数的图象都过点(1，1)，故不等式x 2>x13的解集为{x|x<0或x>1}．13．答案(－∞，8]解析结合题意分段求解，再取并集．当x<1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x<1时满足f(x)≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．14．答案155解析由10m －1＜2512＜10m ，得m －1＜512lg2＜m.∴m －1＜154.11＜m.∴m ＝155.15．答案(1)当x ＝2时，最小值为74(2)0<x<1解析(1)∵f(x)＝x 2－x ＋b ，∴f(log 2a)＝(log 2a)2－log 2a ＋b.由已知得(log 2a)2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a(log 2a －1)＝0.∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又log 2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f(x)＝x 2－x ＋2.从而f(log 2x)＝(log 2x)2－log 2x ＋22x ＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f(log 2x)有最小值74.(2)log 2x ）2－log 2x ＋2>2，2（x 2－x ＋2）<2⇔或，1<x<2⇔0<x<1.16．答案A解析由2x －2y <3－x －3－y ，得2x －3－x <2y －3－y ，即2x <2y .设f(x)＝2x ，则f(x)<f(y)．因为函数y ＝2x 在R 上为增函数，y 在R 上为增函数，所以f(x)＝2x 在R 上为增函数，则由f(x)<f(y)，得x<y ，所以y －x>0，所以y －x ＋1>1，所以ln(y －x ＋1)>0.故选A.17．答案B解析设x ＝2a ，则有x ∈(1，2)．依题意，得M ＝2a ＋21－a ＝2a ＋22a ＝x ＋2x .易知函数y ＝x ＋2x在(1，2)上是减函数，在(2，2)上是增函数，因此有22≤M<3，M 的整数部分是2.18．答案D解析由题目所给信息可分别求出：C 1＝2000×log 2(1＋99)＝2000×log 2100；C 2＝3000×log 2(1＋9999)＝3000×log 210000.于是C 2C 1＝3000log 2100002000log 2100＝32×log 210000log 2100＝32×lg10000lg2×lg2lg100＝32×4×12＝3.故选D.。
2020高考文科数学一轮总复习课标通用版作业：第2章 函数 课时作业7
课时作业7 二次函数一、选择题1．(2019年陕西省西安市第一中学模拟)函数y ＝x 2＋2x －1在[0，3]上最小值为 ( )A ．0B ．－4C ．－1D ．－2解析：化简y ＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，函数图象对称轴为x ＝－1，开口向上，函数在区间[0，3]上单调递增，所以当x ＝0时，函数取得最小值为－1，故选C.答案：C2．(2019年陕西省西安市第一中学月考)已知m <－4，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2＋6x －1的图象上，则 ( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 1<y 3C ．y 1<y 3<y 2D ．y 3<y 2<y 1解析：∵m <－4，∴m －1<m <m ＋1<－3，即三点都在二次函数对称轴的左侧，又二次函数y ＝x 2＋6x －1在对称轴的左侧是单调减函数，∴y 3<y 2<y 1.故选D.答案：D3．(2019年百校联盟TOP20高三联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －a ）2，x ≥0，－x 2－2x －3＋a ，x <0，若∀x ∈R ，f (x )≤f (0)恒成立，则a 的取值范围为 ( )A ．[－2，1]B ．(－3，1)C ．[－2，0]D ．[－2，0)解析：∵当x ≥0时，f (x )＝－(x －a )2，又f (0)是f (x )的最大值，∴a ≤0；当x <0时，f (x )＝－(x ＋1)2－2＋a ≤a －2，当x ＝－1时取等号，要满足∀x ∈R ，f (x )≤f (0)，需a －2≤f (0)＝－a 2，即a 2＋a －2≤0，解之得，－2≤a ≤1，∴a 的取值范围是[－2，0]，故选C.答案：C4．(2019年浙江诸暨中学高二下学期模拟)若f (x )，g (x )都是定义在实数集R 上的函数，且x －f (g (x ))＝0有实数解，则以下函数①3x －1，②2x 2－x ＋1，③x 2＋x ＋1，④e x－12中，不可能是g (f (x ))的有 ( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为x ＝f (g (x ))，所以g (x )＝g [f (g (x ))]⇒t ＝g [f (t )]⇒x ＝g [f (x )]，因为x －f (g (x ))＝0有实数解，所以x ＝g [f (x )]有实数解．因为x ＝3x －1⇒x ＝12，所以A 可能是g (f (x ))，因为x ＝2x 2－x ＋1⇒Δ＝－4，所以B 不可能是g (f (x ))，因为x ＝x 2＋x ＋1⇒x ∈∅，所以C 不可能是g (f (x ))，因为x ＝e x －12，而e x ≥x ＋1>x ＋12，所以D 不可能是g (f (x ))，综上，不可能是g (f (x ))的有3个，选C.答案：C5．(2019年江西省南康中学高一第一次月考)在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是()解析：因为直线y＝ax＋1恒过点(0，1)，所以舍去A; 二次函数y＝x2＋a开口向上，所以舍去C；当a>0时，二次函数y＝x2＋a顶点在x轴上方，所以舍去D，选B.答案：B6．(2019年江西省樟树中学高一第一次月考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(5)，则()A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0解析：因为f(0)＝f(4)，即c＝16a＋4b＋c，所以4a＋b＝0；又f(0)>f(5)，即c>25a＋5b＋c，所以5a＋b<0，即5a＋(－4a)<0，故a<0，故选B.答案：B7．(2019年江西师大附中月考)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]都有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“和谐函数”，区间[a，b]为“和谐区间”，设f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x－3在区间[a，b]上是“和谐函数”，则它的“和谐区间”可以是()A．[3，4] B．[2，4]C．[2，3] D．[1，4]解析：f(x)－g(x)＝(x2－3x＋4)－(2x－3)＝x2－5x＋7，令|x2－5x＋7|≤1，解得2≤x≤3 ，∴它的“和谐区间”可以是[2，3]．答案：C8．(2019年重庆市巴蜀中学高一月考)关于x的不等式x2－ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，则不等式|bx＋a|>5的解集为() A．(－1，4) B．(－4，1)C．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(4，＋∞)解析：∵x2－ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}．∴a＝1＋2＝3，b＝1×2＝2，故|bx＋a|>5等价于|2x＋3|>5，即2x＋3>5或2x＋3<－5，解得x>1或x<－4.答案：C9．(2019年江西省赣州市上高二中月考)若函数f(x)＝dax2＋bx＋c的图象如图1所示，则a∶b∶c∶d＝()图1A ．1∶6∶5∶(－8)B ．1∶6∶5∶8C ．1∶(－6)∶5∶(－8)D ．1∶(－6)∶5∶8解析：由图象知原题表达式分母有零点，故图象有渐近线，1＋5＝－b a ，1×5＝c a ⇒c ＝5a ，b ＝－6a ，由图象知当x ＝3时，y ＝2，代入原式得到d ＝－8a ，故根据四个变量的比例关系得到C.答案：C10．(2019年黑龙江省大庆中学模拟)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)，设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，若[－12，12]⊆A ，则实数a的取值范围是 ( )A ．(1－32，0)B ．(1－52，0)C ．(1－52，0)∪(0，1＋32)D ．(－∞，1－52)解析：函数f (x )＝x (1＋a |x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x ，x ≥0，－ax 2＋x ，x <0，关于x 的不等式f (x＋a)<f(x)的解集为A，若[－12，12]⊆A，则在[－12，12]上，函数y＝f(x＋a)的图象应在函数y＝f(x)的图象的下方，当a＝0时，显然不满足条件；当a>0时，函数y＝f(x＋a)的图象是把函数y＝f(x)的图象向左平移a个单位得到的，结合图象，图2可得不满足题意；当a<0时，如图3所示，图3要使在[－12，12]上，函数y＝f(x＋a)的图象应在函数y＝f(x)的图象的下方，只要f(－12＋a)<f(－12)即可，即－a⎝⎛⎭⎪⎫－12＋a2＋⎝⎛⎭⎪⎫－12＋a<－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12，化简可得a 2－a －1<0，解得1－52<a <1＋52，故此时a 的范围为(1－52，0)，综上可得a 的范围为(1－52，0)，故选B.答案：B11．(2019年黑龙江省双鸭山市第一中学月考)已知f (x )＝4x 2＋ax －1，若对于任意x 1，x 2∈[1，2]且x 1≠x 2时，都有(f (x 1)－f (x 2))·(x 1－x 2)<0恒成立，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≥－8B ．a ≤－16C ．a ≤－16或a ≥－8D ．－16≤a ≤－8解析：对于任意x 1，x 2∈[1，2]且x 1≠x 2时，都有(f (x 1)－f (x 2))·(x 1－x 2)<0恒成立，说明函数f (x )在[1，2]上为减函数，已知f (x )＝4x 2＋ax －1的对称轴为x ＝－a 8，则－a 8≥2⇒a ≤－16.选B.答案：B12．(2019年重庆市巴蜀中学月考)已知函数f (x )＝ax 2－2x －5a ＋6对任意两个不相等的实数x 1、x 2∈[2，＋∞)，都有不等式f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1>0成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0，＋∞) B ．[12，＋∞)C ．(0，12]D ．[12，2]解析：由题意可知，若函数f (x )＝ax 2－2x －5a ＋6对任意两个不等实数x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1>0成立． 设g (x )＝ax 2－2x －5a ＋6，则g (x )在区间[2，＋∞)逆增是g (2)≥0.当a ＝0时，g (x )＝－2x ＋6，不满足题意．当a ≠0时，必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，g （2）＝4a －4－5a ＋b ≥0，－（－2）2a ≤2.解得12≤a ≤2.故a 的取值范围为[12，2]．答案：D二、填空题13．(2019年江苏省扬州市邗江区高一模拟)已知函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5)，若对于任意x ∈[2，4]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，则t 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5)，∴2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0，5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由韦达定理知，－b 2＝5，c 2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，∴f (x )＝2x 2－10x .f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0.设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知，g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[2，2.5]上为减函数，在区间[2.5，4]上为增函数．∴g (x )max ＝g (4)＝－10＋t ≤0，∴t ≤10.答案：(－∞，10]14．(2019年陕西省黄陵中学开学考试)已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________．解析：由f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，可得(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝x 2＋10x ＋24，即a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3＝x 2＋10x ＋24，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 则5a －b ＝2.答案：215．(2019年北京市海淀区高一上学期期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤m ，x 2，x >m(m ∈R )， (1)若m ＝－1，则函数f (x )的零点是________；(2)若存在实数k ，使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：(1)当m ＝－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤－1，x 2，x >－1，图4分类讨论：当x ≤－1时，x 3＝0，∴x ＝0，不合题意，舍去；当x >－1时，x 2＝0，∴x ＝0，符合题意，综上可得，函数f (x )的零点是0.(2)原问题等价于函数在R 上不单调，在同一个平面直角坐标系中绘制函数y ＝x 2和y ＝x 3的图象，观察可得：当m ∈(－∞，0)时，二次函数部分不单调，满足题意；当m ∈[0，1]时，函数在定义域内单调递增，不合题意；当m ∈(1，＋∞)时，m 3>m 2，这使得函数不单调，满足题意． 综上可得：m 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案：(1)0 (2)(－∞，0)∪[1，＋∞)16．(2019年上海市黄浦区模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (0<2a <b )对任意x ∈R 恒有f (x )≥0成立，则代数式f （1）f （0）－f （－1）的最小值是________．解析：因为∀x ∈R ，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立，0<2a <b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<2a <b ，Δ＝b 2－4ac ≤0，得b 2≤4ac ，又0<2a <b ， 所以c ≥b 24a ，所以f （1）f （0）－f （－1）＝a ＋b ＋c c －（a －b ＋c ）＝a ＋b ＋c b －a ≥a ＋b ＋b 24a b －a ＝4a 2＋4ab ＋b 24a （b －a ）＝4a 2＋4ab ＋b 24ab －4a 2＝4＋4·b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 24·b a －4， 设t ＝b a ，由0<2a <b 得，t >2，则f （1）f （0）－f （－1）≥4＋4t ＋t 24（t －1）＝（t －1）2＋6（t －1）＋94（t －1）＝14[(t －1)＋9（t －1）＋6]≥14×(6＋6)＝3， 当且仅当t －1＝9t －1时取等号， 此时t ＝4，f （1）f （0）－f （－1）取最小值是3. 答案：3三、解答题17．(2019年黑龙江省大庆实验中学月考)已知函数f (x )＝(x －2)(x ＋a )，其中a ≤2.(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求a 的值；(2)若函数f (x )在区间[0，1]上的最小值是2，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝(x －2)(x ＋a )＝x 2＋(a －2)x －2a ，所以f (x )的图象的对称轴为直线x ＝2－a 2.由2－a 2＝1，解得a ＝0.(2)函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝2－a 2.当2－a 2≤0，即a ≥2时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在[0，1]上的最小值为f (0)＝－2a ，令－2a ＝2，解得a ＝－1，不合题意；当0<2－a 2<1，即0<a <2时，因为f (x )在区间(0，2－a 2)上单调递减，在区间(2－a 2，1)上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (2－a 2)＝－(2＋a 2)2，令－(2＋a 2)2＝2，此方程无解；当2－a 2＝1－a 2≥1，即a ≤0时，因为f (x )在区间[0，1]上单调递减，所以在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝－(1＋a )，令－(1＋a )＝2，解得a ＝－3.综上，a ＝－3.18．(2019年广西南宁市第二中学模拟)已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (1)＝1，且f (x )的最小值是34.(1)求f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝x ＋m 在区间(－1，2)上有唯一实数根，求实数m 的取值范围；(3)函数g (x )＝f (x )－(2t －1)x ，对任意x 1，x 2∈[4，5]都有|g (x 1)－g (x 2)|<4恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)因f (0)＝f (1)，故对称轴为x ＝12，设f (x )＝a (x －12)2＋34，由f (0)＝1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由方程f (x )＝x ＋m 得m ＝x 2－2x ＋1，即直线y ＝m 与函数y ＝x 2－2x ＋1，x ∈(－1，2)的图象有且只有一个交点，作出函数y ＝x 2－2x ＋1在x ∈(－1，2)的图象．易得当m ＝0或m ∈[1，4)时函数图象与直线y ＝m 只有一个交点，所以m 的取值范围是{0}∪[1，4)．(3)由题意知g (x )＝x 2－2tx ＋1.假设存在实数满足条件，对任意x 1，x 2∈[4，5]都有|g (x 1)－g (x 2)|<4成立，即[|g (x 1)－g (x 2)|]max <4，故有[g (x )]max －[g (x )]min <4，由g (x )＝(x －t )2－t 2＋1，x ∈[4，5]可知，当t ≤4时，g (x )在[4，5]上为增函数，[g (x )]max －[g (x )]min ＝g (5)－g (4)<4，t >52，所以52<t ≤4；当4<t ≤92时，[g (x )]max －[g (x )]min ＝g (5)－g (t )<4，25－10t ＋1－t 2＋2t 2－1<4.即t 2－10t ＋21<0，解得3<t <7，所以4<t ≤92；当92<t ≤5时，[g (x )]max －[g (x )]min ＝g (4)－g (t )<4，即t 2－8t ＋12<0，解得2<t <6，所以92<t ≤5；当t >5时，[g (x )]max －[g (x )]min ＝g (4)－g (5)<4，即t <132，所以5<t <132.综上所述，52<t <132.所以当52<t <132时，使得对任意x 1，x 2∈[4，5]都有|g (x 1)－g (x 2)|<4成立．19．(2019年四川省广安市质检)如图5，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH 为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a (常数a >2)，BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF＝CG ，设AE ＝x ，绿地面积为y .(1)求出y 关于x 的函数关系式及其定义域；(2)当AE 为何值时，绿地面积最大？解：(1)由题意得S △AEH ＝S △CFG ＝12x 2，S △BEF ＝S △DGH ＝12(a －x )(2－x )，∴y ＝S 矩形ABCD －2S △AEH －2S △BEF＝－2x 2＋(a ＋2)x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，a －x ＞0，2－x ≥0，a >2，得0<x ≤2，故定义域为(0，2]． (2)函数y ＝－2x 2＋(a ＋2)x 开口朝下，对称轴为x ＝a ＋24(a >2)，且x ∈(0，2]，若a ＋24<2，即2<a <6，则x ＝a ＋24时，y 取最大值（a ＋2）28； 若a ＋24≥2，即a ≥6，则y 在(0，2]上递增，故x ＝2时，y 取最大值2a －4.综上所述，若2<a<6，则AE＝a＋24时，绿地面积最大为（a＋2）28；若a≥6，则AE＝2时，绿地面积最大为2a－4.。
2020高考数学文科大一轮复习课时作业：第二章 函数、导数及其应用课时作业7
课时作业7 二次函数与幂函数一、选择题1．幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( D ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝12，∴y ＝x 12，其是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( B )A ．－3B ．13C ．7D ．5解析：函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，所以m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，所以f (1)＝2＋8＋3＝13.3．(2019·宁夏银川一中模拟)已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，b ＝f (lnπ)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，则a ，b ，c 的大小关系为( A )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．b <a <c解析：∵点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，∴⎩⎨⎧m －1＝1，(m －1)m n ＝8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝3，∴f (x )＝x 3，且f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，又33<22<1<lnπ，∴a <c <b ，故选A.4.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ； ②2a －b ＝1； ③a －b ＋c ＝0； ④5a <b .其中正确的是( B ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确．对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误．结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．5．(2019·陕西西安联考)已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是(C)A．(－∞，－1) B．(－1,2]C．[－1,2] D．[2,5]解析：∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m,5]的值域是[－5,4]，则－1≤m≤2，故选C.6．函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为(D)A．{x|－2<x<2}B．{x|x>2，或x<－2}C．{x|0<x<4}D．{x|x>4，或x<0}解析：函数f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，则b－2a＝0，故f(x)＝ax2－4a＝a(x－2)(x＋2)，因为在(0，＋∞)单调递增，所以a>0.根据二次函数的性质可知，不等式f(2－x)>0的解集为{x|2－x>2，或2－x<－2}＝{x|x<0，或x>4}，故选D.7．(2019·河南南阳模拟)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( D )A ．(－∞，0] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，57C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，57D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，57解析：由题意，f (x )<－m ＋4对于x ∈[1,3]恒成立即m (x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1,3]恒成立．∵当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5x 2－x ＋1.∵当x ＝3时，5x 2－x ＋1取最小值57，∴若要不等式m <5x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，则必须满足m <57，因此，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57，故选D. 二、填空题8．已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝－1.解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ， 即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]，f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．当m ＝－1时，f (x )＝x 3，[－3－m ，m 2－m ]为[－2,2]，满足题意，∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1.9．已知二次函数y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ，则顶点位置最高时函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋5.解析：由题意可知y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ＝(x ＋k )2－k 2－2k ＋3，所以该函数的顶点坐标为(－k ，－k 2－2k ＋3)．设顶点的纵坐标为y ＝－k 2－2k ＋3＝－(k ＋1)2＋4，所以当k ＝－1时，顶点位置最高，此时函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋5.10．(2019·福建莆田模拟)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1满足f (－x )＝f (x ＋1)，若存在实数t ，使得对任意实数x ∈[1，m ]，都有f (x ＋t )≤x 成立，则实数m 的最大值为3.解析：函数f (x )＝x 2＋bx ＋1满足f (－x )＝f (x ＋1)，则f (x )图象的对称轴为x ＝12，则－b 2＝12，解得b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1，由f (x ＋t )≤x 得(x ＋t )2－(x ＋t )＋1≤x ，即(x ＋t －1)2≤－t (t ≤0)，∴1－t －－t≤x ≤1－t ＋－t ，由题意可得1－t －－t ≤1，解得－1≤t ≤0，令y ＝1－t ＋－t ＝⎝⎛⎭⎪⎫－t ＋122＋34，可得1≤y ≤3，∴m ≤3，可得m 的最大值为3.三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5.故实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．12．(2019·宁夏育才中学月考)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R .(1)若函数f (x )在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在[a ，a ＋1]上的最大值为3，求a 的值． 解：(1)由Δ＝16－4(a ＋3)≥0，得a ≤1.故实数a 的取值范围是(－∞，1]．(2)f (x )＝(x －2)2＋a －1.当a ＋1<2，即a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－3a ＋3＝3，解得a ＝0，a ＝3(舍去)；当a ＋1≥2，a ＋a ＋12≤2，即1≤a ≤32时，f (x )max ＝f (a )＝3，解得a ＝0或3(均舍)；当a ≤2，a ＋a ＋12>2，即32<a ≤2时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝a 2－a ＝3，解得a ＝1±132(均舍)． 当a >2时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝a 2－a ＝3， 解得a ＝1＋132，a ＝1－132(舍去)．综上，a ＝0或a ＝1＋132.13．(2019·河南南阳模拟)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，ab <0，则f (a )＋f (b )的值( A )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解析：根据题意，得f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1；又f (x )在第一象限是增函数，且当m ＝2时，指数为4×29－25－1＝2 015>0，满足题意；当m ＝－1时，指数为4×(－1)9－(－1)5－1＝－4<0，不满足题意；∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数；又∵a ，b ∈R ，且a ＋b >0，∴a >－b ，又ab <0，不妨设b <0，即a >－b >0，∴f (a )>f (－b )>0，f (－b )＝－f (b )，∴f (a )>－f (b )，∴f (a )＋f (b )>0，故选A.14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，若对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，求b 2a 2＋2c2的最大值． 解：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝2ax ＋b ， ∵对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，∴ax 2＋bx ＋c ≥2ax ＋b ，化简可得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0， ∴Δ＝(b －2a )2－4a (c －b )＝b 2＋4a 2－4ac ≤0且a >0，即b 2≤4ac－4a 2，∴4ac －4a 2≥0，∴c ≥a >0，∴ca －1≥0.∴b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4c a －41＋2c 2a 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －11＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2. 令t ＝c a －1，则t ≥0，∴当t >0时，4t 1＋2(t ＋1)2＝42t ＋3t ＋4≤426＋4＝6－2，当且仅当t ＝62时取等号．当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2≤0，综上，当t ＝62时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b 2a 2＋2c 2max ＝6－2.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2018·天津卷)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是(4,8)．解析：解法1：当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x >0时，由－x 2＋2ax －2a ＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎨⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0.作出直线y ＝a ，y ＝2a ，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a <a 24<2a ，得4<a <8.解法2：由f (x )＝ax ，可得当x ≤0时，x 2＋2ax ＋a ＝ax ，即x 2＋ax ＋a ＝0，可得a ＝－x 2x ＋1.由a >0，可得x <－1.可设函数g (x )＝－x 2x ＋1，其中x ∈(－∞，－1)．当x >0时，－x 2＋2ax －2a ＝ax ， 即x 2－ax ＋2a ＝0，可得a ＝x 2x －2.由a >0，可得x >2.可设函数h (x )＝x 2x －2，其中x ∈(2，＋∞)．对g (x )求异，可得g ′(x )＝－x 2＋2x(x ＋1)2.令g′(x)<0，可得x<－2；令g′(x)>0，可得－2<x<－1，则g(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，－1)上单调递增．同理可得h(x)在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．画出g(x)和h(x)的大致图象如图所示．由图可知，满足题意的a的取值范围是(4,8)．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2020高考文科数学(人教A版)总复习练习：第二章 函数 课时规范练7
课时规范练11 函数的图象基础巩固组1.函数f(x)={3x,x ≤1,log 13x ,x >1,则y=f(x+1)的图象大致是( )2.已知f(x)=2x ,则函数y=f(|x-1|)的图象为( )3.(2018浙江,5)函数y=2|x|sin 2x 的图象可能是( )4.(2017全国3,文7)函数y=1+x+sinxx 2的部分图象大致为()5.已知函数f(x)=x 2+e x -12(x<0)与g(x)=x 2+ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞√e )B.(-∞,√e )C.(√e √e)D.(-√e ,√e)6.(2018衡水中学押题二,7)函数y=sin x+ln|x|在区间[-3,3]的图象大致为( )7.已知函数f(x)(x ∈R )满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x 2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1mx i =( ) A.0B.mC.2mD.4m8.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2.若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k 有4个零点,则实数k 的取值范围为 .综合提升组 9.已知当0<x ≤12时,4x <log a x,则a 的取值范围是( ) A.(0,√22) B.(√22,1)C.(1,√2)D.(√2,2)10.(2018湖南长郡中学四模,8)若实数x,y 满足|x-1|-ln 1y=0,则y 关于x 的函数图象大致形状是( )11.已知f(x)={|lgx |,x >0,2|x |,x ≤0,则函数y=2f 2(x)-3f(x)+1的零点个数是 .12.(2018河北衡水中学押题二,16)已知函数f(x)={2x -1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0,若函数g(x)=f(x)+3m 有3个零点,则实数m 的取值范围是 .创新应用组13.(2018河北衡水中学金卷一模,12)若函数y=f(x)满足:①f(x)的图象是中心对称图形;②当x ∈D 时,f(x)图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M,则称f(x)是区间D 上的“M 对称函数”.若函数f(x)=(x+1)3+m(m>0)是区间[-4,2]上的“M 对称函数”,则实数M 的取值范围是( ) A.[3√82,+∞) B.[√82,+∞) C.(0,3√82]D.(3√82,+∞)14.(2018河北衡水中学17模,9)函数y=2sinx 1+1x2x ∈[-3π4,0)∪(0,3π4]的图象大致是( )课时规范练11 函数的图象1.B 将f(x)的图象向左平移一个单位即得到y=f(x+1)的图象.故选B.2.D f(|x-1|)=2|x-1|.当x=0时,y=2.可排除选项A,C. 当x=-1时,y=4.可排除选项B. 故选D.3.D 因为在函数y=2|x|sin 2x 中,y 1=2|x|为偶函数,y 2=sin 2x 为奇函数,所以y=2|x|sin 2x 为奇函数.所以排除选项A,B.当x=0,x=π,x=π时,sin 2x=0,故函数y=2|x|sin 2x 在[0,π]上有三个零点,排除选项C,故选D.4.D 当x=1时,y=1+1+sin 1=2+sin 1>2,故排除A,C;当x →+∞时,y →+∞,故排除B,满足条件的只有D,故选D.5.B 由已知得与函数f(x)的图象关于y 轴对称的图象的解析式为h(x)=x 2+e -x -12(x>0).令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e -x -12,作函数M(x)=e -x -12的图象,显然当a ≤0时,函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象一定有交点.当a>0时,若函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象有交点,则ln a<12,则0<a<√e . 综上a<√e .故选B.6.A 设f(x)=sin x+ln|x|,当x>0时,f(x)=sin x+ln x ⇒F'(x)=cos x+1x ,当x ∈(0,1)时,f'(x)>0,即函数f(x)在(0,1)上为单调递增函数,排除B; 当x=1时,f(1)=sin 1>0,排除D;因为f(-x)=sin(-x)+ln|-x|=-sin x+ln|x|≠±f(x), 所以函数f(x)为非奇非偶函数,排除C,故选A.7.B 由题意可知,y=f(x)与y=|x 2-2x-3|的图象都关于直线x=1对称,所以它们的交点也关于直线x=1对称.当m 为偶数时,∑i=1mx i =2·m =m; 当m 为奇数时,∑i=1mx i =2·m -1+1=m,故选B.8.(0,14] 依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数.g(x)=f(x)-kx-k 在区间[-1,3]内有4个零点,即函数y=f(x)与y=k(x+1)的图象在区间[-1,3]内有4个不同的交点.在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象(如图所示),注意直线y=k(x+1)恒过点(-1,0),可知当k ∈(0,14]时,相应的直线与函数y=f(x)在区间[-1,3]内有4个不同的交点,故实数k 的取值范围是(0,14].9.B 设函数f(x)=4x 和g(x)=log a x,画出两个函数在(0,12]上的图象(图略),可知当a>1时不满足条件,当0<a<1时,f (12)<g (12),即2<log a 12,则a>√22,所以a 的取值范围为(√22,1).10.B 原方程可化为-|x-1|=ln y,即y=e -|x-1|,由于x=1时,y=1,故排除C,D,当x=0时,y=1<1,排除A 选项,故选B.11.5 方程2f 2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=12或1.作出y=f(x)的图象,由图象知零点的个数为5.12.(-13,0) 作出函数y=f(x)的图象,如下图所示,∵g(x)=f(x)+3m 有3个零点, ∴0<-3m<1,解得-1<m<0,即实数m 的取值范围是(-13,0).13.A 函数f(x)=(x+1)3+m(m>0)的图象可由y=x 3的图象向左平移1个单位长度,再向上平移m 个单位长度得到,故函数f(x)的图象关于点Q(-1,m)对称.由f(x)=(x+1)3+m(m>0)的图象(略)可知,点(-4,m-27)或点(2,m+27)到点Q(-1,m)的距离最大,最大值为d=√9+(m -27-m )2=3√82,根据条件只需M ≥3√82.故选A. 14.A 由题意可得f(x)=2x 2sinx 1+x 2,x ∈[-3π4,0)∪(0,3π4], ∵f(-x)=2x 2sin (-x )1+(-x )2=-2x 2sinx1+x 2=-f(x),∴函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,∴排除选项C.又y'=f'(x)=4xsinx+2x 4cosx+2x 2cosx (1+x 2)2=2x (2sinx+x 3cosx+xcosx )(1+x 2)2,∴当x ∈(0,π2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,∴排除选项B 和D.故选A.。
2020高考文科数学一轮总复习课标通用版作业：第2章 函数 4
课时作业4 函数的概念及其表示一、选择题1．(2019年陕西省黄陵中学开学考试)若f ：A →B 能构成映射，则下列说法正确的有( )①A 中任意一个元素在B 中必有象且唯一；②B 中的多个元素可以在A 中有相同的原象；③B 中的元素可以在A 中无原象；④象的集合就是集合B .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由映射的概念，即给出两个非空集合A ，B 及一个对应关系f ，在对应关系f 的作用下，集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的象与之对应，可知映射的实质就是对应，且是“一对一”或“多对一”，不能是“一对多”，由此可知命题①②正确，命题③错误；集合B 中的元素有的在集合A 中找不到原象，命题④错误．所以正确命题的个数是2个，故选B.答案：B2．(2019年北京市汇文实验中学高三月考)下列各组函数中，两个函数相等的是 ( )A ．y ＝(x )2与y ＝x B ．y ＝x －1与y ＝x 2x －1C ．y ＝x 2与y ＝(x )2D ．y ＝3x 3与y ＝x解析：对于A ，由于两个函数的定义域一个是R ，一个是非负实数组成的集合，故错误；对于B ，两个函数的定义域不同，函数y ＝x －1的定义域是R ，函数y ＝x 2x －1的定义域为{x |x ≠0}，故错误；对于C，由于两个函数的定义域一个是R，一个是非负实数组成的集合，故错误；对于D，y＝3x3＝x，两个函数的对应法则相同，且定义域都是R，故正确．答案：D3．(2019年福建省三明市第一中学高一上学期第一次月考)下列四个图象中，不是函数图象的是()解析：B中一对多，不符合函数定义，所以选B.答案：B4．(2019年河南省豫北名校联盟高三上学期精英对抗赛)函数f(x)＝－x2－3x＋4lg（x＋1）的定义域为()A．(－1，0)∪(0，1] B．(－1，1] C．(－4，－1] D．(－4，0)∪(0，1] 解析：由题意，函数f(x)＝－x2－3x＋4lg（x＋1）满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x ≤1且x ≠0，所以函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1]，故选A.答案：A5．(2019年北京市西城13中高一上学期月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，若f (a )＝10，则a 的值是 ( ) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．－5解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，当a ≤0时，f (a )＝a 2＋1＝10，解得a ＝－3； 当a >0时，f (a )＝－2a ＝10，无解．故选B. 答案：B6．(2019年四川省宜宾市高一上学期教学质量监测)若f (x )＝x 2－2x ，则f (f (1))＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由函数f (x )＝x 2－2x ，得f (f (1))＝f (12－2×1)＝f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＝3，故选C.答案：C7．(2019年北京市海淀中关村中学高一上模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2，若f (x )＝3，则x 的值是 ( )A. 3B ．1或32 C ．1，32或±3 D ．1解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2，∴由f (x )＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，x ＋2＝3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x 2＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ＝3.解得x ＝ 3.故选A. 答案：A图18．如图1，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M 的半圆形M →A →C →B →M 路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M 的距离y 与时间x 之间的函数关系的大致图象是 ( )解析：由题意得，从M 到A 距离在增加，由A 经B 到C 与M 的距离都是半径，由B 到M 距离逐渐减少，故选D.答案：D9．已知f (12x －1)＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于 ( ) A ．－14 B.14 C.32 D ．－32解析：令t ＝12x －1，∴x ＝2t ＋2，f (t )＝4t ＋7， 又f (m )＝6，即4m ＋7＝6，∴m ＝－14，故选A. 答案：A10．(2019年江西省高三毕业班新课程教学质量监测)函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使得f (x )在[a ，b ]上的值域为[a 2，b2]，则称函数f (x )为“成功函数”．若函数f (x )＝log m (m x ＋2t )(其中m >0，且m ≠1)是“成功函数”，则实数t 的取值范围为 ( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，18] C ．[18，14) D ．(0，18]解析：无论m >1还是0<m <1，f (x )＝log m (m x ＋2t )都是R 上的单调增函数，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝a 2，f （b ）＝b2，则问题可转化为求f (x )＝x2，即f (x )＝log m (m x＋2t )＝x 2，即m x＋2t ＝m 12x 在R 上有两个不相等的实数根的问题，令λ＝m 12x (λ>0)，则m x ＋2t ＝m 12x 可化为2t ＝λ－λ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋14，或结合图形可得t ∈(0，18]．故选D.答案：D11．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图2(1)所示，点E 为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P 从点B 出发，沿着B －E －D 的路线匀速行进，到达点D .设运动员P 的运动时间为t ，到监测点的距离为y .现有y 与t 的函数关系的图象大致如图2(2)所示，则这一信息的来源是( )图2A ．监测点AB ．监测点BC ．监测点CD ．监测点D解析：A.由监测点A 监测P 时，函数值y 随t 的增大先减少再增大．故选项A 错误；B.由监测点B 监测P 时，函数值y 随t 的增大而增大，故选项B 错误；C.由监测点C 监测P 时，函数值y 随t 的增大先减小再增大，然后再减小，选项C 正确；D.由监测点D 监测P 时，函数值y 随t 的增大而减小，选项D 错误．故选C.答案：C12．(2019年山西省高考考前适应性测试)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0≤x <1，2－2x，x ≥1.若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m 的最大值是 ( )A ．－1B ．－12 C ．－13 D.13解析：∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数， 当x ≥0时，可得f (x )单调递减， 若f (1－x )≤f (x ＋m )，则|1－x |≥|x ＋m |，化简得(2m ＋2)x ≤1－m 2， 即(2m ＋2)x ＋m 2－1≤0在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧（2m ＋2）·m ＋m 2－1≤0，（2m ＋2）·（m ＋1）＋m 2－1≤0， 解得－1≤m ≤－13，则实数m 的最大值是－13.故选C. 答案：C 二、填空题13．(2019年江苏省南通市启东中学高二下学期月考)某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最少(即表面积最小)，则饮料罐的底面半径为(用含V 的代数式表示)________．解析：设饮料罐的底面半径为r ，高为h ，由题意可得V ＝πr 2h ，故h ＝Vπr2，圆柱的表面积：S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋2πr ×V πr2＝2πr 2＋2V r＝2πr 2＋V r ＋V r ≥332πr 2×V r ×V r ＝332πV 2，当且仅当2πr 2＝Vr ，即r ＝ 3V 2π时等号成立，据此可知为了使得它的制作用料最少，则饮料罐的底面半径为 3V 2π. 答案：3V 2π14．(2019年陕西省西安市高新第一中学模拟)若定义在(－∞，1)∪(1，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＋2f (x ＋2 017x －1)＝2 017－x ，则f (2 019)＝________．解析：f (x )＋2f (1＋2 018x －1)＝2 017－x ，令x ＝2，则f (2)＋2f (2 019)＝2 015，① 令x ＝2 019，则f (2 019)＋2f (2)＝－2，②， ①×2－②，得3f (2 019)＝4 032，故f (2 019)＝1 344. 答案：1 34415．(2019年安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x <1，3x －7，x ≥1，若f (x )＝－1，则x ＝________．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x <1，3x －7，x ≥1，∴当x <1时，f (x )＝log 2(1－x )＝－1，解得x ＝12(满足)；当x ≥1时，f (x )＝3x－7＝－1，解得x ＝log 36(满足)，综上x ＝12或log 36.答案：12或log 3616．(2019年延安市高三高考模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，e x －1，x <1，若m >0，n >0，且m ＋n ＝f (f (2))，则1m ＋4n 的最小值为________．解析：已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，e x －1，x <1，m ＋n ＝f (f (2))，f (2)＝ln2，f (f (2))＝1，所以m ＋n ＝1，则1m ＋4n ＝(1m ＋4n )(m ＋n ) ＝5＋n m ＋4mn ≥9. 答案：9 三、解答题17．(2019年山东省济南外国语学校高一月考)一次函数f (x )是减函数，且满足f [f (x )]＝4x －1，求f (x )的解析式．解：由于一次函数f (x )是减函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a <0)∴f [f (x )]＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又∵f [f (x )]＝4x －1∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.∴f (x )＝－2x ＋1. 18．(2019年江西省南昌市六校高一联考)已知函数f (x )＝2＋|x |－x 3(－3<x ≤3)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．解：(1)当0≤x ≤3时，f (x )＝2＋x －x3＝2， 当－3<x <0时，f (x )＝2＋－x －x 3＝2－23x .∴f (x )＝⎩⎨⎧2，0≤x ≤3，2－23x ，－3<x <0.(2)函数f (x )的图象如图3所示，图3(3)由(2)知，f (x )在(－3，3]上的值域为[2，4)．19．(2019年江西省九江一中高一模拟)对于两个定义域相同的函数f (x )，g (x )，若存在实数m 、n 使h (x )＝mf (x )＋ng (x )，则称函数h (x )是由“基函数f (x )，g (x )”生成的．(1)若f (x )＝x 2＋3x 和g (x )＝3x ＋4生成一个偶函数h (x )，求h (2)的值；(2)若h (x )＝2x 2＋3x －1由函数f (x )＝x 2＋ax ，g (x )＝x ＋b (a 、b ∈R 且ab ≠0)生成，求a ＋2b 的取值范围；(3)试利用“基函数f (x )＝log 4(4x ＋1)，g (x )＝x －1”生成一个函数h (x )，使之满足下列条件：①是偶函数；②有最小值1.求函数h (x )的解析式并进一步研究该函数的单调性(无需证明)．解：(1)设h (x )＝m (x 2＋3x )＋n (3x ＋4)＝mx 2＋3(m ＋n )x ＋4n ，∵h (x )是偶函数，∴m ＋n ＝0，∴h (2)＝4m ＋4n ＝0.(2)设h (x )＝2x 2＋3x －1＝m (x 2＋ax )＋n (x ＋b )＝mx 2＋(am ＋n )x ＋nb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，am ＋n ＝3，nb ＝－1，得⎩⎨⎧a ＝3－n 2，b ＝－1n ，∴a ＋2b ＝32－n 2－2n . 由ab ≠0知，n ≠3，∴a ＋2b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－23，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. (3)设h (x )＝m log 4(4x ＋1)＋n (x －1)∵h (x )是偶函数，∴h (－x )－h (x )＝0，即m log 4(4－x ＋1)＋n (－x －1)－m log 4(4x ＋1)－n (x －1)＝0，∴(m ＋2n )x ＝0，得m ＝－2n ，则h (x )＝－2n log 4(4x ＋1)＋n (x －1) ＝－2n [log 4(4x ＋1)－12x ＋12]＝－2n [log 4(2x ＋12x )＋12]．∵h (x )有最小值1，则必有n <0，且有－2n ＝1， ∴m ＝1，n ＝－12.∴h (x )＝log 4(2x ＋12x )＋12，在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数．快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2020高考文科数学(人教A版)总复习练习：第二章 函数 课时规范练7 Word版含解析
课时规范练11函数的图象基础巩固组1.函数f(x)=则y=f(x+1)的图象大致是()2.已知f(x)=2x,则函数y=f(|x-1|)的图象为()3.(2018浙江,5)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是()4.(2017全国3,文7)函数y=1+x+的部分图象大致为()5.已知函数f(x)=x2+e x-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A.-B.(-,)C. D.-6.(2018衡水中学押题二,7)函数y=sin x+ln|x|在区间[-3,3]的图象大致为()7.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则 x i=()A.0B.mC.2mD.4m8.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2.若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围为.综合提升组9.已知当0<x≤时,4x<log a x,则a的取值范围是()A. B.C.(1,)D.(,2)10.(2018湖南长郡中学四模,8)若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象大致形状是()11.已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是.12.(2018河北衡水中学押题二,16)已知函数f(x)=---若函数g(x)=f(x)+3m有3个零点,则实数m的取值范围是.创新应用组13.(2018河北衡水中学金卷一模,12)若函数y=f(x)满足:①f(x)的图象是中心对称图形;②当x∈D 时,f(x)图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M,则称f(x)是区间D上的“M对称函数”.若函数f(x)=(x+1)3+m(m>0)是区间[-4,2]上的“M对称函数”,则实数M的取值范围是()A.[3,+)B.[,+)C.(0,3]D.(3,+)14.(2018河北衡水中学17模,9)函数y=x∈-的图象大致是()课时规范练11函数的图象1.B将f(x)的图象向左平移一个单位即得到y=f(x+1)的图象.故选B.2.D f(|x-1|)=2|x-1|.当x=0时,y=2.可排除选项A,C.当x=-1时,y=4.可排除选项B.故选D.3.D因为在函数y=2|x|sin 2x中,y1=2|x|为偶函数,y2=sin 2x为奇函数,所以y=2|x|sin 2x为奇函数.所以排除选项A,B.当x=0,x=,x=π时,sin 2x=0,故函数y=2|x|sin 2x在[0,π]上有三个零点,排除选项C,故选D.4.D当x=1时,y=1+1+sin 1=2+sin 1>2,故排除A,C;当x→+时,y→+,故排除B,满足条件的只有D,故选D.5.B由已知得与函数f(x)的图象关于y轴对称的图象的解析式为h(x)=x2+e-x-(x>0).令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-,作函数M(x)=e-x-的图象,显然当a≤0时,函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象一定有交点.当a>0时,若函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象有交点,则ln a<,则0<a<.综上a<.故选B.6.A设f(x)=sin x+ln|x|,当x>0时,f(x)=sin x+ln x⇒F'(x)=cos x+,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,即函数f(x)在(0,1)上为单调递增函数,排除B;当x=1时,f(1)=sin 1>0,排除D;因为f(-x)=sin(-x)+ln|-x|=-sin x+ln|x|≠±f(x),所以函数f(x)为非奇非偶函数,排除C,故选A.7.B由题意可知,y=f(x)与y=|x2-2x-3|的图象都关于直线x=1对称,所以它们的交点也关于直线x=1对称.当m为偶数时,x i=2·=m;当m为奇数时,x i=2·-+1=m,故选B.8.依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数.g(x)=f(x)-kx-k在区间[-1,3]内有4个零点,即函数y=f(x)与y=k(x+1)的图象在区间[-1,3]内有4个不同的交点.在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象(如图所示),注意直线y=k(x+1)恒过点(-1,0),可知当k∈时,相应的直线与函数y=f(x)在区间[-1,3]内有4个不同的交点,故实数k的取值范围是.9.B设函数f(x)=4x和g(x)=log a x,画出两个函数在上的图象(图略),可知当a>1时不满足条件,当0<a<1时,f<g,即2<log a,则a>,所以a的取值范围为.10.B原方程可化为-|x-1|=ln y,即y=e-|x-1|,由于x=1时,y=1,故排除C,D,当x=0时,y=<1,排除A选项,故选B.11.5方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=或1.作出y=f(x)的图象,由图象知零点的个数为5.12.-作出函数y=f(x)的图象,如下图所示,∵g(x)=f(x)+3m有3个零点,∴0<-3m<1,解得-<m<0,即实数m的取值范围是-.13.A函数f(x)=(x+1)3+m(m>0)的图象可由y=x3的图象向左平移1个单位长度,再向上平移m个单位长度得到,故函数f(x)的图象关于点Q(-1,m)对称.由f(x)=(x+1)3+m(m>0)的图象(略)可知,点(-4,m-27)或点(2,m+27)到点Q(-1,m)的距离最大,最大值为d=--=3,根据条件只需M≥3.故选A.14.A由题意可得f(x)=,x∈-,∵f(-x)=-=-=-f(x),-∴函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,∴排除选项C.又y'=f'(x)=,∴当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,∴排除选项B和D.故选A.。
2020版高考数学一轮总复习 第二单元函数 课后作业全集含解析
函数及其表示1．函数y ＝x ·ln(1－x )的定义域为(B) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ， x ≤1，11－x， x >1， 则f [f (－2)]的值为(C)A.12B.15 C ．－15 D ．－12因为f (－2)＝(－2)2－(－2)＝6，所以f [f (－2)]＝f (6)＝11－6＝－15. 3．若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是(B)A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)因为f (x )的定义域为[0,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.4．(2018·黑龙江模拟) 设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式为(C) A ．3x －1 B ．3x ＋1 C ．2x －1 D ．2x ＋1g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，即g (x ＋2)＝2x ＋3，令x ＋2＝t ，所以x ＝t －2， 所以2x ＋3＝2(t －2)＋3＝2t －1， 所以g (x )＝2x －1.5．已知函数f (x )在[－1,2]上的图象如下图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ≤0，－12x ， 0＜x ≤2 .由图可知，图象是由两条直线的一段构成，故可采用待定系数法求出其表示式．当－1≤x ≤0时，设y ＝k 1x ＋b 1，将(－1,0)，(0,1)代入得k 1＝1，b 1＝1，所以y ＝x ＋1， 当0<x ≤2时，设y ＝k 2x ＋b 2，将(0,0)，(2，－1)代入得k 2＝－12，b 2＝0，所以y ＝－12x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ≤0，－12x ， 0＜x ≤2.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ， x >1，若f [f (56)]＝4，则b 等于 12.因为56<1，所以f (56)＝3×56－b ＝52－b .若52－b <1，即b >32时， f (52－b )＝3(52－b )－b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不满足b >32，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32时， f (52－b )＝2(52－b )＝5－2b ＝4，解得b ＝12，满足b ≤32.故b ＝12.7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤－1，x 2， －1<x <2，－2x ＋8， x ≥2.(1)求f (3)，f [f (－2)]，f (a )(a >0)的值；(2)画出f (x )的图象，并求出满足条件f (x )>3的x 的值．(1)因为3>2，所以f (3)＝－2×3＋8＝2.因为－2<－1，所以f (－2)＝2－ 2. 又－1<2－2<2，所以f [f (－2)]＝f (2－2)＝(2－2)2＝6－4 2. 又a >0，当0<a <2时，f (a )＝a 2； 当a ≥2时，f (a )＝－2a ＋8.综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2， 0<a <2，－2a ＋8， a ≥2.(2)f (x )的图象如图所示．当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2≤1，此时无解； 当－1<x <2时，由x 2＝3，解得x ＝±3， 因为x ＝－3<－1，故舍去；当x ≥2时，由－2x ＋8＝3，解得x ＝52.由图知，不等式f (x )>3的解为(3，52)．8．(2018·湖北武汉调研)已知函数f (x )满足f (1x )＋1xf (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝(C)A ．－72 B.92C.72 D ．－92令x ＝2，可得f (12)＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f (12)＝－1，②联立①②解得f (－2)＝72.9．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≤0，2x， x >0，则满足f (x )＋f (x －12)>1的x的取值范围是 (－14，＋∞) .由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，所以－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是(－14，＋∞)．10．函数f (x )＝－a2x 2＋－a x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．(1)因为对于x ∈R ，(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0恒成立，所以①当a ＝1时，原不等式变为6≥0，此时x ∈R . ②当a ＝－1时，原不等式变为6x ＋6≥0，此时x R .③若a ≠±1时，则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，－a 2－－a2，解得－511≤a <1，所以实数a 的取值范围为[－511，1]． (2)因为f (x )的定义域为[－2,1]，所以不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]， 所以x ＝－2，x ＝1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2<0，－2＋1＝－－a 1－a 2，－2×1＝61－a2，解得a ＝2.函数的值域与最值1．已知函数f (x )的值域为[－2,3]，则函数f (x －2)的值域为(D) A ．[－4,1] B ．[0,5]C ．[－4,1]∪[0,5]D ．[－2,3]函数y ＝f (x －2)的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移2个单位而得到的，其值域不变．2．函数y ＝16－4x的值域是(C) A ．[0，＋∞) B．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)因为16－4x≥0，且4x>0，所以0≤16－4x<16，所以0≤16－4x<4.3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为(B) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3)f (a )的值域为(－1，＋∞)，由－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.4．(2018·重庆期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x <1，1－ln x ， x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是(C)A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，54]D ．[54，＋∞)当x ≥1时，f (x )＝1－ln x ≤1.由于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x <1，1－ln x ， x ≥1的值域为R ，且当x <1时，f (x )＝x 2＋x ＋a ≥a －12＋14＝a －14，所以a －14≤1，解得a ≤54.5．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域为 [0,1) .y ＝x 2x 2＋1＝x 2＋1－1x 2＋1＝1－1x 2＋1.因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，所以0≤y <1. 6．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的取值范围为 (－∞，－3] .只需要在x ∈(0,1]时，(x 2－4x )min ≥m 即可．而当x ＝1时，(x 2－4x )min ＝－3，所以m ≤－3. 7．求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1x －3； (2)y ＝2x ＋4x －1； (3)y ＝|x ＋1|＋x －2.(1)y ＝x －3＋4x －3＝1＋4x －3， 因为4x －3≠0，所以y ≠1， 即所求函数的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． (2)因为函数的定义域为{x |x ≥1}，又函数是增函数，所以函数的值域为[2，＋∞)． (3)y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥2，3， －1≤x ＜2，1－2x ， x ＜－1.画出函数的图象，由图象观察可知，所求函数的值域为[3，＋∞)．8．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为(A) A.22B. 2C ．2 2D ．2由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，得定义域为[－3,1]，y ≥0，所以y 2＝4＋2x ＋－x ＝4＋2－x ＋2＋4，当x ＝－3或x ＝1，(y 2)min ＝4，所以y min ＝2； 当x ＝－1时，(y 2)max ＝8，所以y max ＝2 2. 即m ＝2，M ＝22，所以mM ＝22. 9．已知函数f (x )满足2f (x )－f (1x )＝3x2，则f (x )的最小值为 2 2 .由2f (x )－f (1x )＝3x2， ①令①式中的x 变为1x，可得2f (1x)－f (x )＝3x 2， ②由①②可解得f (x )＝2x2＋x 2，由于x 2>0，由基本不等式可得f (x )＝2x 2＋x 2≥22x2·x 2＝2 2.当x 2＝2时取等号，因此，其最小值为2 2. 10．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)若f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ]，求a 的取值范围，并求相应的m ，n 的值； (2)若f (x )≤2x 在(0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．(1)因为f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．那么当x ∈[m ，n ]时，y ∈[m ，n ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝m ，f n ＝n .即m ，n 是方程1a －1x＝x 相异的两实根，由1a －1x ＝x ，得x 2－1ax ＋1＝0，由题设知：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1a>0，m ·n ＝1＞0，Δ＝1a 2－4＞0.所以0＜a ＜12.此时，m ＝1－1－4a 22a ，n ＝1＋1－4a22a .(2)若1a －1x≤2x 在(0，＋∞)上恒成立．那么a ≥12x ＋1x恒成立．令g (x )＝12x ＋1x(x ＞0)．所以g (x )≤122x ·1x＝24. 故a≥24.函数的单调性1．(2018·西城区期末)下列四个函数中，定义域为R 的单调递减函数是(D) A ．y ＝－x 2B ．y ＝log 0.5xC ．y ＝1x D ．y ＝(12)xy ＝－x 2在R 上没有单调性，排除A ；y ＝log 0.5x 的定义域不是R ，排除B ；y ＝1x的定义域不是R ，排除C ；y ＝(12)x的定义域为R ，且在R 上单调递减，故选D.2．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是(A) A ．(－∞，1] B ．(－∞，－1] C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.3．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (|1x|)<f (1)的实数x 的取值范围是(C)A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)因为f (x )是R 上的减函数，所以f (|1x |)<f1x|>1，所以0<|x |<1，所以x∈(－1,0)∪(0,1)．4．(2018·城关区期中)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ， x ＜1，log a x ， x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是(C)A ．(0,1)B ．(0，13)C ．[17，13)D ．[17，1)因为f (x )＝log a x (x ≥1)是减函数，所以0＜a <1，且f (1)＝0.因为f (x )＝(3a －1)x ＋4a (x <1)为减函数， 所以3a －1<0，所以a <13，又因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，所以f (x )在(－∞，1]上的最小值大于或等于f (x )在[1，＋∞)上的最大值． 所以(3a －1)×1＋4a ≥0，所以a ≥17，故a ∈[17，13)．5．函数f (x )＝log 2(4x －x 2)的单调递减区间是 [2,4) .因为4x －x 2>0，所以0<x <4，又y ＝log 2t 为增函数，所求函数f (x )的递减区间为t ＝4x －x 2(0<x <4)的递减区间是[2,4)．6．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为 (－3，－1)∪(3，＋∞) .由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3>0，a >1或a <0，a >－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a >3或a <－1，a >1或a <0，a >－3，所以a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 7．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．(1)函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋x 2＋，因为x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知， 函数f (x )在[1,4]上是增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝95，f (x )min ＝f (1)＝32.8．(2017·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是(A)A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x(方法一)若f (x )具有性质M ，则[e xf (x )]′＝e x[f (x )＋f ′(x )]>0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )>0在f (x )的定义域上恒成立．对于选项A ，f (x )＋f ′(x )＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意． 经验证，选项B ，C ，D 均不符合题意．故选A.(方法二)对于A ，e x f (x )＝(e 2)x ，因为e 2>1，所以e xf (x )为增函数．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0，0， x ＝0，－1， x <0，g (x )＝x 2·f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是(B)A ．[0，＋∞) B．[0,1)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)由条件知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x >1，0， x ＝1，－x 2， x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．10．(2018·安徽皖江名校联考题改编)已知定义在(－2,2)上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)．(1)求实数a 的取值范围；(2)求函数g (x )＝log a (x 2－x －6)的单调区间．(1)因为定义在(－2,2)上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以f (x )在(－2,2)上单调递增， 又f (a 2－a )>f (2a －2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a 2－a <2，－2<2a －2<2，2a －2<a 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <2，0<a <2，a <1或a >2.所以0<a <1.即a 的取值范围为(0,1)．(2)g (x )＝log a (x 2－x －6)可以看作由y ＝log a u 与u ＝x 2－x －6的复合函数． 由u ＝x 2－x －6>0，得x <－2或x >3.因为u ＝x 2－x －6在(－∞，－2)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数， 因为0<a <1，所以y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，所以y ＝log a (x 2－x －6)的单调递增区间为(－∞，－2)，单调递减区间为(3，＋∞)．函数的奇偶性与周期性1．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－(13)x ，则f (x )(B)A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －(13)－x ＝(13)x －3x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．因为函数y ＝(13)x在R 上是减函数，所以函数y ＝－(13)x在R 上是增函数．又因为y ＝3x在R 上是增函数，所以函数f (x )＝3x－(13)x 在R 上是增函数．2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论正确的是(C)A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 所以f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )， 所以f (x )g (x )为奇函数． |f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )， 所以|f (x )|g (x )为偶函数．f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|为奇函数． |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|， 所以|f (x )g (x )|为偶函数．3．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－92)＝(A)A ．－34B ．－14C.14D.34f (－92)＝f (－92＋4)＝f (－12)＝－f (12)＝－12(1＋12)＝－34.4．(2018·天津一模)已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,2]上是递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系为(A)A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1)B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1)C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0)D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5)由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 故函数f (x )是周期为2的函数． 又f (x )为偶函数，所以f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)， 因为f (x )在区间[0,2]上是递增的， 所以f (0)<f (0.5)<f (1)， 即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．5．(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝ 6 .因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )， 所以f (x )是周期为6的周期函数， 所以f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.6．已知奇函数f (x )在定义域[－10,10]上是减函数，且f (m －1)＋f (2m －1)>0，则实数m 的取值范围为 [－92，23) .由f (m －1)＋f (2m －1)>0f (m －1)>－f (2m －1)，因为f (x )为奇函数，所以－f (x )＝f (－x )， 所以f (m －1)>f (1－2m )， 又f (x )在[－10,10]上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－10≤m －1≤10，－10≤2m －1≤10，m －1<1－2m ，解得－92≤m <23.7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)…＋f (2019)的值．(1)证明：因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． 所以f (x )是周期为4的周期函数．(2)因为x ∈[2,4]，所以－x ∈[－4，－2]，所以4－x ∈[0,2]， 所以f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8， 又f (x )是周期为4的奇函数， 所以f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (4－x )，所以f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1， 又f (x )是周期为4的周期函数，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2016)＋f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＝0，所以f (0)＋f (1)＋f (2)…＋f (2019)＝0.8．(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，则f (6)＝(D)A ．－2B ．－1C ．0D ．2由题意知，当x ＞12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，则当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )． 又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， 所以f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1，所以f (－1)＝－2，所以f (6)＝2.故选D.9．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝ －2 .(方法一)令g (x )＝ln(1＋x 2－x )，则f (x )＝g (x )＋1，因为1＋x 2－x >|x |－x ≥0，所以g (x )的定义域为R ， 因为g (－x )＝ln(1＋x 2＋x )＝ln 11＋x 2－x＝－g (x )， 所以g (x )为奇函数，所以f (a )＝g (a )＋1＝4，所以g (a )＝3，所以f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝－3＋1＝－2.(方法二)因为f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，所以f (a )＋f (－a )＝2，所以f (－a )＝－2.10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋ax . (1)若a ＝－2，求函数f (x )的解析式； (2)若函数f (x )为R 上的单调减函数， ①求a 的取值范围；②若对任意实数m ，f (m －1)＋f (m 2＋t )<0恒成立，求实数t 的取值范围．(1)当x <0时，－x >0，又因为f (x )为奇函数，且a ＝－2， 所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x <0，－x 2－2x ， x ≥0.(2)①当a ≤0时，对称轴x ＝a2≤0，所以f (x )＝－x 2＋ax 在[0，＋∞)上单调递减， 由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，又在(－∞，0)上f (x )>0，在(0，＋∞)上f (x )<0， 所以当a ≤0时，f (x )为R 上的单调减函数．当a >0时，f (x )在(0，a 2)上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，不合题意．所以函数f (x )为单调减函数时，a 的取值范围为(－∞，0]． ②因为f (m －1)＋f (m 2＋t )<0， 所以f (m －1)<－f (m 2＋t )，又因为f (x )是奇函数，所以f (m －1)<f (－t －m 2)， 因为f (x )为R 上的减函数， 所以m －1>－t －m 2恒成立，所以t >－m 2－m ＋1＝－(m ＋12)2＋54对任意实数m 恒成立，所以t >54.即t 的取值范围为(54，＋∞)．二次函数1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)函数f (x )的最小值是f (－b2a)＝f (x 0)，等价于x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，所以C 错误．2．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是(D)A ．[0,4]B ．[32，4]C ．[32，＋∞) D．[32，3]二次函数的对称轴为x ＝32，且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合图象可知m ∈[32，3]．3．(2018·双桥区校级月考)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是(D)(方法一)对于A 选项，因为a <0，－b2a<0，所以b <0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，矛盾，故A 错．对于B 选项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0，又因为abc >0，所以c <0，由图知f (0)＝c >0，矛盾，故B 错．对于C 选项，因为a >0，－b2a<0，所以b >0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，矛盾，故C 错．故排除A ，B ，C ，选D.(方法二)当a >0时，b ，c 同号，C ，D 两图中c <0，故b <0， 所以－b2a>0，选D.4．(2018·皖北联考)已知二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，则a 的值为(D)A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或2因为f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，所以f (x )的图象是开口向下，对称轴是x ＝a 的抛物线，(1)当a <0时，对称轴x ＝a 在区间[0,1]的左边，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (0)＝1－a ＝2，解得a ＝－1. (2)当0≤a ≤1时，对称轴x ＝a ∈[0,1]，f (x )在[0，a ]上单调递增，在[a,1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1＝2，无解．(3)当a >1时，对称轴x ＝a 在区间[0,1]的右边，f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (1)＝a ＝2，有a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.5．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为 34 .由x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，得x ＝1－2y ≥0，所以0≤y ≤12，设t ＝2x ＋3y 2，把x ＝1－2y 代入，得t ＝2－4y ＋3y 2＝3(y －23)2＋23.因为t ＝f (y )在[0，12]上单调递减，所以当y ＝12时，t 取最小值，t min ＝34.6．设f (x )＝x 2－2ax ＋1.(1)若x ∈R 时恒有f (x )≥0，则a 的取值范围是 [－1,1] ；(2)若f (x )在[－1，＋∞)上递增，则a 的取值范围是 (－∞，－1] ； (3)若f (x )的递增区间是[1，＋∞)，则a 的值是 1 .(1)由Δ≤0，得4a 2－4≤0，所以a ∈[－1,1]．(2)a ≤－1.(3)由对称轴x ＝1知a ＝1.7．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．(1)因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)， 所以f (x )在[1，a ]上是减函数， 又定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝a ，f a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)因为f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， 所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2， 因为对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， 因为f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3. 又a ≥2，所以2≤a ≤3. 故实数a 的取值范围为[2,3]．8．(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m (B)A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(方法一)设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．(方法二)由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．9．(2018·重庆模拟)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 (－22，0) .作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm ，f m ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，m ＋2＋m m ＋－1<0，解得－22<m <0. 10．已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ，图象开口向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，所以f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a，1]上递增，所以f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，所以f (x )在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2， a <1，－1a， a ≥1.指数与指数函数1. 若函数f (x )＝12x ＋1， 则该函数在(－∞，＋∞)上是(A)A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值f (x )在R 上单调递减，又2x＋1>1，所以0<f (x )<1，无最大值也无最小值．2．若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为(C)A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a，化简可得a ＝1，则2x ＋12x －1＞3，即2x ＋12x －1－3＞0，即2x ＋1－x－2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.3．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是(C) A ．(－1，＋∞) B．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)由于函数y ＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.4．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是(D)A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2c D ．2a ＋2c<2作出函数y ＝|2x－1|的图象，如下图．因为a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知， 0<f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a<1. 所以f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1， 所以f (c )<1，所以0<c <1，所以1<2c<2， 所以f (c )＝|2c－1|＝2c －1.又f (a )>f (c )，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2. 5. 当a >0且a ≠1时，函数y ＝a x －1＋3的图象一定经过定点 (1,4) .因为y ＝a x经过定点(0,1)，将y ＝a x向右平移1个单位，向上平移3个单位得到y ＝ax －1＋3，所以y ＝ax －1＋3的图象一定经过定点(1,4)．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x， x ∈－∞，，x 2， x ∈[1，＋ 若f (x )>4，则x 的取值范围是 (－∞，－2)∪(2，＋∞) .f (x )>4等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <1，2－x >22或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 2>4，解得x <－2或x >2，所以x 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．7．(2018·四川成都联考)已知函数f (x )＝(12)ax，a 为常数，且函数图象过点(－1,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．(1)由已知条件得(12)－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝(12)x，又g (x )＝f (x )，则4－x－2＝(12)x ，即(14)x －(12)x－2＝0， 令(12)x ＝t ，则t >0，t 2－t －2＝0， 解得t ＝2, 即(12)x＝2，解得x ＝－1.故满足条件的x 的值为－1.8．设f (x )＝2x1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是(B)A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1}因为f (x )＝2x1＋2x －12＝1－11＋2x －12＝12－11＋2x ， 因为y 1＝2x＋1在R 上单调递增， 所以y 2＝－11＋2x 在R 上单调递增， 从而f (x )在R 上为增函数， 由于2x>0，所以－12<f (x )<12.所以y ＝[f (x )]＝{0，－1}．9．函数y ＝(14)x －(12)x ＋1在x ∈[－3,2]上的值域是 [34，57] .令t ＝(12)x ，因为x ∈[－3,2]，所以t ∈[14，8]．则y ＝t 2－t ＋1＝(t －12)2＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57，所以所求函数的值域为[34，57]．10．已知a >0，a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ≤1，－x ＋a ， x >1.若函数f (x )在区间[0,2]上的最大值比最小值大52，求a 的值．当x >1时，f (x )＝－x ＋a 是减函数，f (x )min ＝f (2)＝－2＋a ，f (x )<－1＋a .当0≤x ≤1时，①若a >1，则有1≤a x≤a ， 所以当x ∈[0,2]时，f (x )max ＝a .(ⅰ)若1≤－2＋a ，即a ≥3时，f (x )min ＝1. 由于f (x )在[0,2]上的最大值比最小值大52，所以a －1＝52，解得a ＝72.(ⅱ)若－2＋a <1，即a <3时，f (x )min ＝－2＋a ， 所以a －(－2＋a )＝52，a 无解．②若0<a <1，则a ≤a x ≤1，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－2＋a ， 所以1－(－2＋a )＝52，解得a ＝12.所以a 的值为12或72.对数与对数函数1．若log 32＝a ，则log 123＝(A)A.1a ＋1 B.a a ＋1C ．a ＋1 D.a ＋1a由条件得log 34＝a ，所以log 123＝log 33log 312＝1log 34＋1＝1a ＋1.2．(2018·四川资阳校级月考)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则(D) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．c <b <a D ．c <a <b因为a ＝log 37∈(1,2)，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1∈(0,1)，所以b >a >c .3．若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b的值为(C)A ．36B ．72C ．108 D.172设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，则a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab＝6k2k －2·3k －3＝108. 4．(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为(C)A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b因为f (x )在R 上是奇函数，所以a ＝－f (log 215)＝f (－log 215)＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， 所以f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)， 所以a ＞b ＞c .5．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝ －7 .因为f (x )＝log 2(x 2＋a )且f (3)＝1，所以log 2(9＋a )＝1，所以9＋a ＝2，所以a ＝－7. 6．2－3,312，log 25三个数中最大的数是 log 25 .因为2－3＝123＝18＜1,1＜312＝3<2，log 25>log 24＝2，所以三个数中最大的数是log 25.7．已知f (x )＝log 4(4x－1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．(1)由4x－1>0，解得x >0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2， 则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数． (3)因为f (x )在[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415.所以f (x )在区间[12，2]上的值域为[0，log 415]．8．(2018·华南师大附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x <2，x ＋22x ， x ≥2， 若0<a <b <c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abf c的取值范围为(B) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(1,3)画出f (x )的图象，如图：由0<a <b <c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )知， 0<a <1,1<b <2，c >2.所以－log 2a ＝log 2b ，所以ab ＝1.f (c )＝c ＋22c，所以ab f c ＝1c ＋22c＝2cc ＋2＝c ＋－2]c ＋2＝2(1－2c ＋2)，可知上述关于c 的函数在(2，＋∞)上单调递增， 注意c >2，得abf c∈(1,2)．9．(2018·广州市模拟)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为 4 时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．由于a >0，b >0，ab ＝8，所以b ＝8a.所以log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·log 2(16a)＝log 2a ·(4－log 2a )＝－(log 2a －2)2＋4，当且仅当log 2a ＝2，即a ＝4时， log 2a ·log 2(2b )取得最大值4.10．已知函数f (x )＝log a 2＋x2－x (0<a <1)．(1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)解不等式f (x )≤log a (3x )．(1)因为2＋x2－x>0，所以(x ＋2)(x －2)<0，所以－2<x <2，所以f (x )的定义域为(－2,2)． (2)因为f (x )＋f (－x )＝log a 2＋x 2－x ＋log a 2－x2＋x＝log a (2＋x 2－x ·2－x2＋x )＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． (3)因为f (x )≤log a (3x )，所以log a 2＋x2－x ≤log a (3x )，又因为0<a <1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2－x≥3x ，3x >0，解得0<x ≤23或1≤x <2，所以原不等式的解集为{x |0<x ≤23或1≤x <2}．幂函数1．在下列函数中，定义域和值域不同的函数是(C) A ．y ＝13x B ．y ＝12x -C ．y ＝23x D ．y ＝x －12．设a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则a ，b ，c 的大小关系是(A)A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a设f (x )＝25x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为35>25，所以253()5 >252()5，即a >c .又令g (x )＝(25)x，因为0<25<1，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以352()5<252()5，即b <c .所以a >c >b .3．(2018·郑州三模)若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝(12)ln x ，c ＝e ln x，则(A)A ．b >c >aB ．c >b >aC ．b >a >cD ．a >b >c因为x ∈(e－1,1)，所以－1<ln x <0， a ＝ln x ∈(－1,0)，(12)ln x >e ln x >0，所以b >c .从而b >c >a .4．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是(D)因为a >0，且a ≠1，所以f (x )＝x a在(0，＋∞)上单调递增，所以排除A.当0<a <1或a >1时，B ，C 中f (x )与g (x )的图象矛盾．故选D.5．(2018·湖州期中)若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (2)的值为 2 .设y ＝f (x )＝x α，则3＝3α，所以α＝12，所以f (x )＝x 12，所以f (2)＝212＝ 2.6．下列三个命题：①523->523.1-；②788-<781()9 ；③232()3-- <23()6π-- .其中正确命题的序号是 ①③ .因为y ＝52x-在(0，＋∞)上单调递减，又3<3.1，所以523->523.1-，①真；又781()9＝789-，因为8<9，所以788->789-，②假；232()3-<23()6π--，232()3--<23()6π--，③真． 故正确命题的序号为①和③.7．(2018·启东模拟)已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h x ，x ∈[0，12]的值域．(1)因为h (x )为幂函数，所以m 2－5m ＋1＝1，解得m ＝5，或m ＝0.若m ＝5，此时h (x )＝x 6为偶函数，不满足条件，舍去； 若m ＝0，此时h (x )＝x 为奇函数，满足条件． 故所求m 的值为0. (2)由(1)知h (x )＝x ，所以g (x )＝x ＋1－2x ，x ∈[0，12]．令1－2x ＝t ，则0≤t ≤1，且x ＝1－t22.所以g (x )＝x ＋1－2x ＝－12t 2＋t ＋12，令φ(t )＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[0,1]．易知φ(t )在[0,1]上单调递增， 所以12≤φ(t )≤1，即g (x )的值域为[12，1]．8．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(B)由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于A ，y ＝3－x＝(13)x 为减函数，故A 错误．对于B ，y ＝x 3，显然满足条件．对于C ，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误． 对于D ，y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．9．函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为 c <b <a .当0<x <1时，x c>x b>x a，由指数函数的性质可知c <b <a . 10．已知幂函数y ＝223m m x-- (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3(1)ma -+ <3(32)ma --的a 的取值范围．因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1,2.又因为函数图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3是偶数． 而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， 所以m ＝1. 而y ＝13x-在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，所以3(1)ma -+ <3(32)ma --等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.故a 的取值范围为{a |a <－1或23<a <32}．函数的图象与变换1．(2018·宿州期中)为了得到函数y ＝log 4x －34的图象，只需把函数y ＝12log 2x 的图象上所有的点(D)A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度因为y ＝log 4x －34＝log 4(x －3)－1，所以将y ＝12log 2x 的图象向右平移3个单位长度得到y ＝12log 2(x －3)，再将y ＝12log 2(x －3)再向下平移1个单位长度得到y ＝12log 2(x－3)－1，即y ＝log 4x －34的图象．2．函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x 的大致图象是(A)因为|x |>1，所以x >1或x <－1.当x >1时，f (x )＝ln(x －1)＋x ，可知f (x )在(1，＋∞)上单调递增，故排除B ，C ，D ，选A.3．(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为(D)ABCD当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin x x 2＞0，故排除选项A ，C.当x →＋∞时，sin xx2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.故选D.4．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(C)A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)f (x )的图象如图所示．由xf (x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x ，所以不等式的解集为(－1,0)∪(1,3)．5．关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的值为 1 .函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象如下图所示，由图象知y ＝1与y ＝|x 2－4x ＋3|有三个交点， 即方程|x 2－4x ＋3|＝1有三个根，所以a ＝1.6．(2018·重庆模拟)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是 32.画出f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的图象，如图．由图象可知，其最小值为32.7．方程kx ＝1－x －2有两个不相等的实根，求实数k 的取值范围．令y 1＝kx ，y 2＝1－x －2，则y 1＝kx 表示过原点的直线，。
2020高考人教版文科数学总复习课后作业：函数课时7课后作业含解析
1. 若 Iog”j 32= a ，则 log 123= (A)a + 1C . a + 1 D. aCO 由条件得log 34 = a ,所以 Iog 123 =譽3 =一1一 =丄Iog 312 log 34 + 1 a + 12. (2018 四川资阳校级月考)设 a = log 37, b = 21.1, c = 0.83.1，则(D)A . b<a<cB . a<c<bC . c<b<aD . c<a<bd □因为 a = Iog 37€ (1,2), b = 21.1>2, c = 0.83.1 € (0,1), 所以b>a>c.b 满足 2 + log 2a = 3+ log 3b = Iog 6(a + b)，则A . 36B . 72设 2+ log 2a = 3 + Iog 3b = Iog 6(a + b)= k ,则 a = 2k _2, b = 3k 「3, a + b = 6k ,14. (2017天津卷)已知奇函数f(x)在R 上是增函数.若 a = — f(log 2£) =f(20.8)，则a , b , c 的大小关系为(C)A . a<b<cB . b<a<cC . c<b<aD . c<a<b因为f(x)在R 上是奇函数，所以 a =— f(log 25) = f(— Iog 25)= f(log 25).又f(x)在R 上是增函数，且 Iog 25> log 24.1 > log 24= 2>2°.8,所以 f(log 2 5) > f(log 24.1)> f(20.8),所以a > b > c.5. (2018 全国卷 I )已知函数 f(x)= Iog 2(x + a).若 f(3)= 1,贝V a =CEJ 因为 f(x) = Iog 2(x 2 + a)且 f(3) = 1,所以 Iog 2(9 + a)= 1,所以 9+ a = 2,所以 a =— 7.6. 2—迟825三个数中最大的数是 Iog 25 .A A A因为2 — 3=〒=8V 1,1 V 3^V3<2, Iog 25>log 24= 2，所以三个数中最大的数是对数与对数函数1 1 所以1+1= a + b ab 畀严=108.2 3A. 1a + 1 B.3.若正数 C . 108 1D.72 ,b = f(log 24.1), clog 25.7. 已知f(x)= log4(4x- 1) •⑴求f(x)的定义域；(2) 讨论f(x)的单调性；1(3) 求f(x)在区间【2，2］上的值域. 廊S3 (1)由4x- 1>0,解得x>0,所以函数f(x)的定义域为(0 ,+^).(2)设0<x i<X2,则0<4x! —1<4x2—1,因此log4(4x1 —1)<log 4(4x2—1)，即f(X1)<f(X2), 所以f(x)在(0 , + 8 )上为增函数.1⑶因为f(x)在纭，2］上递增，又f(2) = 0, f(2) = log415.1所以f(x)在区间［-,2］上的值域为［0 , log 415］.所以血=丄=耳=2[ c+ 2― 2] = 2(1-丄)f(c) c+ 2 c+ 2 c + 2 c+ 2八2c可知上述关于c的函数在(2,+ ^)上单调递增，& (2018华南师大附中模拟)已知函数|log2x|,f(x)= x+ 2［2x，0<x<2,x> 2,若0<a<b<c,满足f(a)=f(b)= f(c)，则也的取值范围为(B)f(c)A . (0,1)B . (1,2)C. (0,2)D. (1,3)S3画出f(x)的图象，如图：由0<a<b<c,满足f(a) = f(b)= f(c)知,0<a<1,1<b<2, c>2.所以一Iog2a= log2b，所以ab= 1.f(c) =c+ 22c注意c>2,得—€ (1,2).f(c)9. (2018广州市模拟)已知a>0, b>0, ab= 8，则当a的值为4 时, 取得最大log2a log2(2b) 值.由于a>0, b>0 , ab = 8，所以b = 8a'所以log2a log2(2b) = log2a Iog2(；6)= log2a (4 —log2a)=—(log2a—2)2 3+4, a当且仅当Iog2a= 2，即a= 4时，log2a Iog2(2b)取得最大值4.2 + x10 .已知函数f(x)= log a (0<a<1).2 —x(1)求函数f(x)的定义域；⑵判断函数f(x)的奇偶性；⑶解不等式f(X)W log a(3x).CI3(1)因为>0,所以(x+ 2)(x—2)<0 ,2 —x所以一2<x<2，所以f(x)的定义域为(一2,2).2 + x 2 —x⑵因为f(x) + f(—x)= log a^—x+ log a2+x2 + x 2 —x=log a(2—越)=log a1 = 0 ,所以f( —x)=—f(x)，所以f(x)为奇函数.2+ x⑶因为f(x)w log a(3x),所以log a 三lo g a(3x),2 —x2 + x又因为0<a<1，所以2―X3x>0,2解得0<x W 3或1三x<2 ,2所以原不等式的解集为{x|0<x W彳或K x<2}.3。
2020高考文科数学一轮总复习课标通用版作业：第2章 函数 课时作业10
课时作业10 函数与方程一、选择题1．(2019年北京市海淀区高一月考)函数f (x )＝3x ＋3x －8的零点所在的区间为 ( )A ．(0，1)B ．(1，32) C ．(32，3) D ．(3，4) 解析：结合函数的解析式有： f (1)＝31＋3×1－8＝－2<0， f (32)＝332＋3×32－8＝33－72＝27－494>0，且函数f (x )的函数图象在区间(1，32)上具有连续性，据此结合函数零点存在定理可得，函数f (x )＝3x ＋3x －8的零点所在的区间为(1，32)．本题选择B 选项． ★答案★：B2．(2019年陕西省汉中市汉台中学、西乡中学高一联考)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由于f ′(x )＝2x ln2＋3x 2>0在区间(0，1)内恒成立，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内是增函数，再由f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0知，函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点有且只有一个，故选B.★答案★：B3．(2019年重庆市重庆一中高一质检)函数f(x)＝x2·2－|x|－2x2＋1的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2·2－|－x|－2(－x)2＋1＝x2·2－|x|－2x2＋1＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2·(2－x－2)＋1，设0≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝[x21·(2－x1－2)＋1]－[x22·(2－x2－2)＋1]＝x21·(2－x1－2)－x22·(2－x2－2)，∵0≤x1＜x2，∴0≤x21＜x22，0>2－x1－2>2－x2－2，据此可得：x21·(2－x1－2)>x22·(2－x2－2)，据此有：f(x1)－f(x2)>0，即函数f(x)是区间[0，＋∞)上的减函数，由函数的解析式可知：f (0)＝1>0，f (1)＝－12<0， 则函数在区间[0，＋∞)上有一个零点， 结合函数的奇偶性可得函数在R 上有2个零点． 本题选择B 选项． ★答案★：B4．(2019年河北省定州中学高一开学考试)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个解析：由f (x ＋2)＝f (x )可知函数的周期为2.画出f (x )及y ＝log 3|x |的图象如图1所示，由图可知零点个数为4个．故选B.图1★答案★：B5．(2019年广东省江门市普通高中高一月考)函数f (x )＝11－x－2sinπx (－1≤x ≤3)的所有零点之和为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：令f (x )＝11－x －2sin πx ＝0，11－x ＝2sin πx ，画出y ＝11－x ，y ＝2sin πx 的图象如图2所示，图2由图可知，两图象的交点关于点(1，0)对称，故零点之和为2×2＝4.★答案★：B6．(2019年广东省揭阳市高三模拟考试)把函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象向右平移一个单位，所得图象与函数g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，已知偶函数h (x )满足h (x －1)＝h (－x －1)，当x ∈[0，1]时，h (x )＝g (x )－1，若函数y ＝k ·f (x )－h (x )有五个零点，则k 的取值范围是 ( )A ．(log 32，1)B ．[log 32，1)C ．(log 62，12)D ．(log 62，12]解析：曲线f (x )＝log 2(x ＋1)右移一个单位， 得y ＝f (x －1)＝log 2x ，所以g (x )＝2x ，h (x －1)＝h (－x －1)＝h (x ＋1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0，1]时，h (x )＝2x －1，y ＝kf (x )－h (x )有五个零点，等价于函数y ＝kf (x )与函数y ＝h (x )的图象有五个公共点．绘制函数图象如图3所示，由图象知kf (3)<1且kf (5)>1，图3即⎩⎨⎧k log 24<1，k log 26>1，求解不等式组可得log 62<k <12. 即k 的取值范围是(log 62，12)．故择C. ★答案★：C7．(2019年陕西省西安市第一中学高三模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是 ( )A ．(113，6]B ．(203，263) C ．(203，263] D ．(113，6)解析：函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0的图象如图4，图4不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2，x 3关于直线x ＝3对称，故x 2＋x 3＝6，且x 1满足－73<x 1<0，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是－73＋6<x 1＋x 2＋x 3<0＋6，即x 1＋x 2＋x 3∈(113，6)．故选D.★答案★：D8．(2019年天津市十二校高三联考)已知定义在[1，＋∞)上的函数f (x )＝⎩⎨⎧4－|8x －12|，1≤x ≤2，12f （x 2），x >2，则下列说法中正确的个数有()①关于x 的方程f (x )－12n ＝0(n ∈N )有2n ＋4个不同的零点；②对于实数x ∈[1，＋∞)，不等式xf (x )≤6恒成立；③在[1，6)上，方程6f (x )－x ＝0有5个零点；④当x ∈[2n －1，2n ](n ∈N *)时，函数f (x )的图象与x 轴围成的面积为4.A ．0B ．1C ．2D ．3图5解析：由表达式可知f (1.5)＝4，f (3)＝2，f (6)＝1. ①当n ＝0时，方程f (x )－12n ＝0等价于f (x )＝1， ∴对应方程根的个数为五个，而2n ＋4＝4，故①错误； ②不等式xf (x )≤6等价于f (x )≤6x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立，作出函数y ＝6x 的图象如图5，由图可知函数y ＝6x 的图象总在f (x )的图象上方，所以不等式xf (x )≤6恒成立，故②正确；图6③由6f (x )－x ＝0，得f (x )＝16x ，设g (x )＝16x ，则g (6)＝1，∴在[1，6)上，方程6f (x )－x ＝0有四个零点，故③错误；④令n ＝1，得[2n －1，2n ]＝[1，2]，当x ∈[1，2]时，函数f (x )的图象与x 轴围成的图形是一个三角形，其面积为S ＝12×1×4＝2，故④错误，故选B.★答案★：B9．(2019年陕西省延安市黄陵中学高三检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1－1，x ∈（－1，0]，2x －1，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx ＋2m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(－1，－14]B ．(－∞，－1]∪(－14，＋∞) C ．[－1，－14)D ．(－∞，－1)∪[－14，＋∞)解析：由g (x )＝f (x )－mx ＋2m ＝0，得h (x )＝m (x －2)，分别作出函数f (x )和h (x )＝m (x －2)的图象如图7，由图象可知f (1)＝1，h (x )表示过定点A (2，0)的直线，当h (x )过(1，1)时，m ＝－1，此时两个函数有两个交点，当h (x )过(0，12)时，m ＝－14，此时两个函数有一个交点，所以当－1≤m <－14时，两个函数有两个交点，所以g (x )＝f (x )－mx ＋2m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点时，实数m 的取值范围是[－1，－14)，故选C.图7★答案★：C10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0x 2＋4x ＋1，x ≤0 ，若方程f (x )＝a (a ∈R )有四个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4 (其中x 1<x 2<x 3<x 4 )，则x 1＋x 2＋1x 3＋x 4的取值范围是( )A ．(－2，2e －4]B ．(－1，2e －2]C ．(2，2e ＋4]D ．不确定解析：根据二次函数的对称性知x 1＋x 2＝－4且0<x 3<1，x 4>1，由|ln x 3|＝|ln x 4|＝a ，知x 3x 4＝1且x 4＝e a∈(1，e](其中0<a ≤1)，所以1x 3＋x 4＝2x 4∈(2，2e]，所以x 1＋x 2＋1x 3＋x 4∈(－2，2e －4]．★答案★：A11．(2019年河南安阳高三月考)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，若f (x )在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．[0，1]B ．[－1，0]C ．[0，2]D ．[－1，1] 解析：f (1)＝ln2>0，当a ＝－1时，f (2)＝ln3－2<0，所以f (x )在(1，2)上至少有一个零点，舍去B ，D ；当a ＝2时，f (12)＝ln 32－12<0，所以f (x )在(12，1)上至少有一个零点，舍去C. 因此选A. ★答案★：A12．(2019年北京海淀19中高一月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，x ，－1<x <1，1，x ≥1，函数g (x )＝ax 2－x ＋1.若函数y ＝f (x )－g (x )恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，1)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)解析：由题可知本题就是判断y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点是不是为2个．当a ＝12时，g (x )＝12x 2－x ＋1＝12(x －1)2＋12，符合题意，排除B 、D ；当a ＝1时，g (x )开口向上，g (12)＝34>12，g (1)＝1，故有一个零点，不合题意，排除A.故选C.★答案★：C 二、填空题13．(2019年上海市杨浦区高三质检)函数y ＝lg x －1的零点是________．解析：∵函数y ＝lg x －1单调递增，在(0，＋∞)上只有一个零点， ∴ln x －1＝0，解得x ＝10. ★答案★：x ＝1014．(2019年陕西省西安市第一中学高一模拟考试)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析：画出y ＝|2x －2|和y ＝b 的图象，如图8，要有两个交点，那么b ∈(0，2)．图8★答案★：0<b <215．(2019年江苏省溧中、扬中、镇江一中、江都中学、句容中学高一五校联考)已知定义在R 上的函数f (x )存在零点，且对任意m ∈R ，n ∈R 都满足f [m2f (m )＋f (n )]＝f 2(m )＋2n ，则函数g (x )＝|f [f (x )]－4|＋log 3x －1有________个零点．解析：因为定义在R 上的函数f (x )存在零点，且对任意m ∈R ，n ∈R 都满足f [m2f (m )＋f (n )]＝f 2(m )＋2n ，所以可设m 为f (x )的零点，则f (m )＝0，∴f (f (n ))＝2n ，∴f [f (x )]＝2x ，∴g (x )＝|2x －4|＋log 3x －1，令g (x )＝0，得1－log 3x ＝|2x －4|，分别作出y ＝1－log 3x 和y ＝|2x －4|的图象，如图9所示，由图象可知，y ＝1－log 3x 和y ＝|2x －4|的图象有三个交点，∴g (x )＝|2x －4|＋log 3x －1有三个零点，故★答案★为3.图9★答案★：316．(2019年北京市城六区高三一模文科)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≤m ，x －4，x >m .①当m ＝0时，函数f (x )的零点个数为________；②如果函数f (x )恰有两个零点，那么实数m 的取值范围为________．解析：当m ＝0时，函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≤0，x －4，x >0，当x ≤0时，令－x 2－2x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2， 当x >0时，令x －4＝0，解得x ＝4， 所以当m ＝0时，函数f (x )有3个零点．作出函数y ＝－x 2－2x 和y ＝x －4的图象，如图10所示，图10要使得函数f(x)恰有两个零点，则－2≤m<0或m≥4，即实数m的取值范围是[－2，0)∪[4，＋∞)．★答案★：3[－2，0)∪[4，＋∞)三、解答题17．(2019年江苏省如东高级中学高一质检)已知函数f(x)＝x2＋4x ＋a－5，g(x)＝m·4x－1－2m＋7.(1)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；(2)当a＝0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围；(3)若y＝f(x)，x∈[t，2]的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6－4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(注：区间[p，q]的长度为q－p)解：(1)根据题意，f(x)的对称轴是x＝－2，故f(x)在区间[－1，1]上递增，因为函数在区间[－1，1]上存在零点，故有⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即0≤a ≤8，故所求实数a 的范围是[0，8]． (2)若对任意的x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)＝g (x 2)成立，只需函数y ＝f (x )的值域是函数y ＝g (x )的值域的子集， 当a ＝0时，f (x )＝x 2＋4x －5，x ∈[1，2]的值域是[0，7]， 下面求g (x )，x ∈[1，2]的值域，令t ＝4x －1，则t ∈[1，4]，y ＝mt －2m ＋7， ①当m ＝0时，g (x )＝7是常数，不合题意，舍去； ②当m >0时，g (x )的值域是[7－m ，2m ＋7]，要使[0，7]⊆[7－m ，2m ＋7]，只需⎩⎨⎧7－m ≤0，2m ＋7≥7，计算得出m ≥7；③当m <0时，g (x )的值域是[2m ＋7，7－m ]，要使[0，7]⊆[2m ＋7，7－m ]，只需⎩⎨⎧7－m ≥7，2m ＋7≤0，计算得出m ≤－72.综上，m 的范围是(－∞，－72]∪[7，＋∞)．(3)根据题意得⎩⎨⎧t <2，6－4t >0，计算得出t <32，①当t ≤－6时，在区间[t ，2]上，f (t )最大，f (－2)最小， f (t )－f (－2)＝t 2＋4t ＋4＝6－4t ，计算得出t ＝－4－32或t ＝－4＋32(舍去)； ②当－6<t ≤－2时，在区间[t ，2]上，f (2)最大， f (－2)最小，f (2)－f (－2)＝16＝6－4t ，计算得出t ＝－52；③当－2<t <32时，在区间[t ，2]上，f (2)最大，f (t )最小， f (2)－f (t )＝－t 2－4t ＋12＝6－4t ，计算得出t ＝6或t ＝－6，故此时不存在常数t 满足题意． 综上，存在常数t 满足题意，t ＝－4－32或t ＝－52.18．(2019年福建省厦门市双十中学高一模拟考试)已知f (x )＝lgo 2(4x ＋1)－kx (k ∈R )．(1)设g (x )＝f (x )－a ，k ＝2，若函数g (x )存在零点，求a 的取值范围；(2)若f (x )是偶函数，设h (x )＝log 2(b ·2x－43b )，若函数f (x )与h (x )的图象只有一个公共点，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，函数g (x )存在零点， 即f (x )＝a 有解．又f (x )＝log 2(4x ＋1)－2x ＝log 24x ＋14x ＝log 2(1＋14x )，易知f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数， 又1＋14x >1，log 2(1＋14x )>0，即f (x )>0， 所以a 的取值范围是(0，＋∞)． (2)f (x )＝log 2(4x ＋1)－kx ，定义域为R ， f (x )为偶函数⇒f (－1)＝f (1)⇒log 2(14＋1)＋k ＝log 2(4＋1)－k ⇒k ＝1，检验：f (x )＝log 2(4x ＋1)－x ＝log 2(4x ＋12x ) ＝log 2(2x ＋2－x )，则f (－x )＝log 2(2－x ＋2x )＝f (x )⇒f (x )为偶函数， 因为函数f (x )与h (x )的图象只有一个公共点， 所以方程f (x )＝h (x )只有一解， 即2－x ＋2x ＝b ·2x －43b 只有一解，令t ＝2x (t >0)，则3(b －1)t 2－4bt －3＝0有一正根，当b ＝1时，t ＝－34<0，不符合题意，当b ≠1时，若方程有两相等的正根，则Δ＝(－4b )2－4×3(b －1)×(－3)＝0且4b3（b －1）>0，解得b ＝－3；若方程有两不相等实根且只有一正根，因为y ＝3(b －1)t 2－4bt －3图象恒过点(0，－3)，所以只需图象开口向上，即b －1>0即可，解得b >1.综上，b ＝－3或b >1，即b 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．19．对于函数f (x )，若x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0为函数f (x )的一阶不动点；若x 0满足f [f (x 0)]＝x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶不动点．(1)若f (x )＝2x ＋3，求f (x )的二阶不动点；(2)若f (x )是定义在区间D 上的增函数，且x 0是函数f (x )的二阶不动点，求证：x 0也必是函数f (x )的一阶不动点；(3)设f (x )＝e x ＋x ＋a ，a ∈R ，若f (x )在[0，1] 上存在二阶不动点x 0，求实数a 的取值范围．解：(1)若f (x )＝2x ＋3， 则f [f (x )]＝2(2x ＋3)＋3＝4x ＋9，由f [f (x )]＝x ，得4x ＋9＝x ，解得x ＝－3， ∴函数f (x )＝2x ＋3的二阶不动点为x ＝－3. (2)证明：∵x 0是函数f (x )的二阶不动点，∴f[f(x0)] ＝x0，记f(x0)＝t，则f(t)＝x0，若t<x0，则由f(x)在区间D上为增函数，有f(t)<f(x0)，即x0<t，这与假设t<x0相矛盾；若t>x0，则由f(x)在区间D上为增函数，有f(t)>f(x0)，即x0>t，这与假设t>x0相矛盾；∴t＝x0，即f(x0)＝x0，∴x0是函数f(x)的一阶不动点，命题得证．(3)函数f(x)＝e x＋x＋a在R上单调递增，则由(2)可知，若f(x)在[0，1]上存在二阶不动点x0，则f(x)在[0，1]上也必存在一阶不动点x0；反之，若f(x)在[0，1]上存在一阶不动点x0，即f(x0)＝x0，那么f[f(x0)]＝f(x0)＝x0，故f(x)在[0，1] 上也存在二阶不动点x0.所以函数f(x)在[0，1]上存在二阶不动点x0等价于f(x)＝x在[0，1]上有解，即方程e x＋x＋a＝x在[0，1]上有解，∴a＝－e x在[0，1]上有解，由x∈[0，1]可得e x∈[1，e]，∴－e x∈[－e，－1]，∴a的取值范围是[－e，－1]．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习试题：第二章函数课时规范练7含答案
课时规范练7函数的奇偶性与周期性基础巩固组1.函数f(x)= -x的图像关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称2.(2018河北衡水中学月考,6)下列函数中,与函数y=-2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是()A.y=sin xB.y=x2C.y=D.y=3.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)内递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是()A. B.C. D.4.(2018湖南长郡中学三模,6)已知f(x)为奇函数,函数f(x)与g(x)的图像关于直线y=x+1对称,若g(1)=4,则f(-3)=()A.-2B.2C.-1D.45.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-,则f(lo)的值为()A.0B.1C.D.-6.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有<0,则下列结论正确的是()A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25)B.f(log25)<f(20.3)<f(0.32)C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3)D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3)7.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,函数f(x)的最大值为()A.-B.C. D.-8.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)内为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.10.已知f(x)是奇函数,g(x)=,若g(2)=3,则g(-2)=.11.已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x有f(x+4)=-f(x)+2,若函数f(x-1)的图像关于直线x=1对称,f(-1)=2,则f(2 017)=.综合提升组12.(2018湖南长郡中学四模,9)下列函数既是奇函数又在(-1,1)上是减函数的是()A.y=tan xB.y=x-1C.y=lnD.y= (3x-3-x)13.已知偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}14.已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为()A.2B.1C.-1D.-215.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于()A.B.-C.-D.创新应用组16.(2018安徽宿州三模,8)已知函数y=f(x)为R上的偶函数,且满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=1-x2.下列四个命题:p1:f(1)=0;p2:2是函数y=f的一个周期;p3:函数y=f(x-1)在(1,2)上递增;p4:函数y=f(2x-1)的递增区间为,k∈Z.其中真命题为()A.p1,p2B.p2,p3C.p1,p4D.p2,p417.(2018河南六市联考一,12)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为()A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(a)>f(b)>f(c)D.f(a)>f(c)>f(b)课时规范练7函数的奇偶性与周期性1.C∵f(-x)=- +x=-=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图像关于坐标原点对称.2.D函数y=-2x的定义域为R,但在R上递减.函数y=sin x和y=x2的定义域都为R,且在R上不单调,故不合题意;函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),不合题意;函数y=的定义域为R,且在R上递减,且奇偶性一致,故符合题意.故选D.3.A由于函数f(x)在区间[0,+∞)内递增,且f(x)为偶函数,则由f(2x-1)<f,得-<2x-1<,解得<x<.故x 的取值范围是.4.A由题意设P(1,4)关于y=x+1的对称点为P'(a,b),则解得则P'(3,2)在函数y=f(x)的图像上,故f(3)=2,则f(-3)=-2.故选A.5.A因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(lo)=f(-log2)=f=-f.又因为f (x+2)=f(x),所以f=f=0.所以f(lo)=0.6.A∵对任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,都有<0,∴f(x)在(-∞,0)内是减少的,又f(x)是R上的偶函数,∴f(x)在(0,+∞)内是增函数.∵0<0.32<20.3<log25,∴f(0.32)<f(20.3)<f(log25).故选A.7.B法一设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2+x,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-x=-,所以当x<0时,函数f(x)的最大值为.故选B.法二当x>0时,f(x)=x2-x=,最小值为-,因为函数f(x)为奇函数,所以当x<0时,函数f(x)的最大值为.故选B.8.D由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图像关于直线x=8对称.又因为f(x)在(8,+∞)内是减少的,所以f(x)在(-∞,8)内是增加的.可画出f(x)的草图(图略),知f(7)>f(10).9.6由f(x+4)=f(x-2)知,f(x)为周期函数,且周期T=6.因为f(x)为偶函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1) =f(-1)=61=6.10.-1∵g(2)==3,∴f(2)=1.又f(-x)=-f(x),∴f(-2)=-1,∴g(-2)==-1.11.2由函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称可知,函数f(x)的图像关于y轴对称,故f(x)为偶函数.由f(x+4)=-f(x)+2,得f(x+4+4)=-f(x+4)+2=f(x),∴f(x)是周期T=8的偶函数,∴f(2017)=f(1+252×8)=f(1)=f(-1)=2.12.C y=tan x是奇函数,在(-1,1)上是增加的;y=x-1是奇函数,在(-1,0)上是减少的,在(0,1)上是减少的,y=ln=ln是奇函数且在(-1,1)上是减少的;y= (3x-3-x)是奇函数,在(-1,1)上是增加的;故选C.13.B∵f(x)是偶函数,∴f(x-2)>0等价于f(|x-2|)>0=f(2).∵f(x)=x3-8在[0,+∞)内是增加的,∴|x-2|>2,解得x<0或x>4.14.A∵f(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数,∴f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,∴f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2, ∴f(4)+f(5)=0+2=2.故选A.15.D由f(x+1)=f(x-1),得f (x+2)=f[(x+1)+1]=f(x),∴f(x)是周期为2的周期函数.∵log232>log220>log216,∴4<log220<5,∴f(log220)=f(log220-4)=f=-f.∵当x∈(-1,0)时,f(x)=2x-1,∴f=-,故f(log220)=.16.C∵f(x+2)=-f(x),当x=-1时,f(1)=-f(-1)=-f (1),∴f(1)=0,故p1正确;∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴y=f(x)的周期为4,y=f的周期为=8,故p2错;∵当x∈[0,1]时,f(x)=1-x2,∴f(x)在区间[0,1]上递减,∴函数y=f(x-1)在(1,2)上递减,故p3错;∵当x∈[0,1]时,f(x)=1-x2,当x∈[-2,-1]时,x+2∈[0,1],∴f(x)=-f(x+2)=-[1-(x+2)2]=(x+2)2-1,∴f(x)在[-2,-1]递增,从而f(x)在[-2,0]递增,在[0,2]上递减,又f(x)是周期为4的函数,∴f(x)的增区间为[4k-2,4k],即4k-2≤2x-1≤4k,∴2k-≤x≤2k+,∴y=f(2x-1)的递增区间为,k∈Z,故p4正确,故选C.17.A∵f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=-f(x),∴f(x+2e)=f(-x),∴f(x)的图像关于直线x=e对称,∵f(x)在区间[e,2e]上是减少的,∴f(x)在区间[0,e]上是增加的, 令y=,则y'=,∴y=在(0,e]上递增,在(e,+∞)递减.∴b==c>0,a-b=<0,a-c=>0,∴a>c.∴0<c<a<b<e,∴f(b)>f(a)>f(c).。
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课时作业7二次函数一、选择题1．(2019年陕西省西安市第一中学模拟)函数y＝x2＋2x－1在[0，3]上最小值为()A．0 B．－4C．－1 D．－2解析：化简y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，函数图象对称轴为x＝－1，开口向上，函数在区间[0，3]上单调递增，所以当x＝0时，函数取得最小值为－1，故选C.★答案★：C2．(2019年陕西省西安市第一中学月考)已知m<－4，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝x2＋6x－1的图象上，则() A．y1<y2<y3B．y2<y1<y3C．y1<y3<y2D．y3<y2<y1解析：∵m<－4，∴m－1<m<m＋1<－3，即三点都在二次函数对称轴的左侧，又二次函数y＝x2＋6x－1在对称轴的左侧是单调减函数，∴y3<y2<y1.故选D.★答案★：D3．(2019年百校联盟TOP20高三联考)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －a ）2，x ≥0，－x 2－2x －3＋a ，x <0，若∀x ∈R ，f (x )≤f (0)恒成立，则a 的取值范围为 ( )A ．[－2，1]B ．(－3，1)C ．[－2，0]D ．[－2，0)解析：∵当x ≥0时，f (x )＝－(x －a )2，又f (0)是f (x )的最大值，∴a ≤0；当x <0时，f (x )＝－(x ＋1)2－2＋a ≤a －2，当x ＝－1时取等号，要满足∀x ∈R ，f (x )≤f (0)，需a －2≤f (0)＝－a 2，即a 2＋a －2≤0，解之得，－2≤a ≤1，∴a 的取值范围是[－2，0]，故选C.★答案★：C4．(2019年浙江诸暨中学高二下学期模拟)若f (x )，g (x )都是定义在实数集R 上的函数，且x －f (g (x ))＝0有实数解，则以下函数①3x －1，②2x 2－x ＋1，③x 2＋x ＋1，④e x －12中，不可能是g (f (x ))的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为x ＝f (g (x ))，所以g (x )＝g [f (g (x ))]⇒t ＝g [f (t )]⇒x ＝g [f (x )]，因为x －f (g (x ))＝0有实数解，所以x ＝g [f (x )]有实数解．因为x ＝3x －1⇒x ＝12，所以A 可能是g (f (x ))，因为x ＝2x 2－x ＋1⇒Δ＝－4，所以B 不可能是g (f (x ))，因为x ＝x 2＋x ＋1⇒x ∈∅，所以C 不可能是g (f (x ))，因为x ＝e x －12，而e x ≥x ＋1>x ＋12， 所以D 不可能是g (f (x ))，综上，不可能是g (f (x ))的有3个，选C.★答案★：C5．(2019年江西省南康中学高一第一次月考)在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是 ( )解析：因为直线y ＝ax ＋1恒过点(0，1)，所以舍去A; 二次函数y ＝x 2＋a 开口向上，所以舍去C ；当a >0时，二次函数y ＝x 2＋a 顶点在x 轴上方，所以舍去D ，选B.★答案★：B6．(2019年江西省樟树中学高一第一次月考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(5)，则()A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0解析：因为f(0)＝f(4)，即c＝16a＋4b＋c，所以4a＋b＝0；又f(0)>f(5)，即c>25a＋5b＋c，所以5a＋b<0，即5a＋(－4a)<0，故a<0，故选B.★答案★：B7．(2019年江西师大附中月考)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]都有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“和谐函数”，区间[a，b]为“和谐区间”，设f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x－3在区间[a，b]上是“和谐函数”，则它的“和谐区间”可以是()A．[3，4] B．[2，4]C．[2，3] D．[1，4]解析：f(x)－g(x)＝(x2－3x＋4)－(2x－3)＝x2－5x＋7，令|x2－5x＋7|≤1，解得2≤x≤3 ，∴它的“和谐区间”可以是[2，3]．★答案★：C8．(2019年重庆市巴蜀中学高一月考)关于x的不等式x2－ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，则不等式|bx＋a|>5的解集为()A ．(－1，4)B ．(－4，1)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) 解析：∵x 2－ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}．∴a ＝1＋2＝3，b ＝1×2＝2，故|bx ＋a |>5等价于|2x ＋3|>5，即2x ＋3>5或2x ＋3<－5，解得x >1或x <－4.★答案★：C9．(2019年江西省赣州市上高二中月考)若函数f (x )＝d ax 2＋bx ＋c的图象如图1所示，则a ∶b ∶c ∶d ＝ ( )图1A ．1∶6∶5∶(－8)B ．1∶6∶5∶8C ．1∶(－6)∶5∶(－8)D ．1∶(－6)∶5∶8解析：由图象知原题表达式分母有零点，故图象有渐近线，1＋5＝－b a ，1×5＝c a ⇒c ＝5a ，b ＝－6a ，由图象知当x ＝3时，y ＝2，代入原式得到d ＝－8a ，故根据四个变量的比例关系得到C.★答案★：C10．(2019年黑龙江省大庆中学模拟)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)，设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，若[－12，12]⊆A ，则实数a的取值范围是 ( )A ．(1－32，0)B ．(1－52，0)C ．(1－52，0)∪(0，1＋32)D ．(－∞，1－52)解析：函数f (x )＝x (1＋a |x |)＝⎩⎨⎧ax 2＋x ，x ≥0，－ax 2＋x ，x <0，关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，若[－12，12]⊆A ，则在[－12，12]上，函数y ＝f (x＋a )的图象应在函数y ＝f (x )的图象的下方，当a ＝0时，显然不满足条件；当a >0时，函数y ＝f (x ＋a )的图象是把函数y ＝f (x )的图象向左平移a 个单位得到的，结合图象，图2可得不满足题意；当a <0时，如图3所示，图3要使在[－12，12]上，函数y ＝f (x ＋a )的图象应在函数y ＝f (x )的图象的下方，只要f (－12＋a )<f (－12)即可，即－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a <－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12，化简可得a 2－a －1<0，解得1－52<a <1＋52，故此时a 的范围为(1－52，0)，综上可得a 的范围为(1－52，0)，故选B.★答案★：B11．(2019年黑龙江省双鸭山市第一中学月考)已知f (x )＝4x 2＋ax －1，若对于任意x 1，x 2∈[1，2]且x 1≠x 2时，都有(f (x 1)－f (x 2))·(x 1－x 2)<0恒成立，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≥－8B ．a ≤－16C ．a ≤－16或a ≥－8D ．－16≤a ≤－8解析：对于任意x 1，x 2∈[1，2]且x 1≠x 2时，都有(f (x 1)－f (x 2))·(x 1－x 2)<0恒成立，说明函数f (x )在[1，2]上为减函数，已知f (x )＝4x 2＋ax－1的对称轴为x ＝－a 8，则－a 8≥2⇒a ≤－16.选B.★答案★：B12．(2019年重庆市巴蜀中学月考)已知函数f (x )＝ax 2－2x －5a ＋6对任意两个不相等的实数x 1、x 2∈[2，＋∞)，都有不等式f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1>0成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0，＋∞) B ．[12，＋∞)C ．(0，12]D ．[12，2]解析：由题意可知，若函数f (x )＝ax 2－2x －5a ＋6对任意两个不等实数x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1>0成立． 设g (x )＝ax 2－2x －5a ＋6，则g (x )在区间[2，＋∞)逆增是g (2)≥0.当a ＝0时，g (x )＝－2x ＋6，不满足题意．当a ≠0时，必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，g （2）＝4a －4－5a ＋b ≥0，－（－2）2a ≤2.解得12≤a ≤2.故a 的取值范围为[12，2]．★答案★：D二、填空题13．(2019年江苏省扬州市邗江区高一模拟)已知函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5)，若对于任意x ∈[2，4]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，则t 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5)，∴2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0，5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由韦达定理知，－b 2＝5，c 2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，∴f (x )＝2x 2－10x .f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0.设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知，g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[2，2.5]上为减函数，在区间[2.5，4]上为增函数．∴g (x )max ＝g (4)＝－10＋t ≤0，∴t ≤10.★答案★：(－∞，10]14．(2019年陕西省黄陵中学开学考试)已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________．解析：由f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，可得(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝x 2＋10x ＋24，即a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3＝x 2＋10x ＋24，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－7或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3. 则5a －b ＝2.★答案★：215．(2019年北京市海淀区高一上学期期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤m ，x 2，x >m(m ∈R )， (1)若m ＝－1，则函数f (x )的零点是________；(2)若存在实数k ，使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：(1)当m ＝－1时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤－1，x 2，x >－1，图4分类讨论：当x ≤－1时，x 3＝0，∴x ＝0，不合题意，舍去；当x >－1时，x 2＝0，∴x ＝0，符合题意，综上可得，函数f (x )的零点是0.(2)原问题等价于函数在R 上不单调，在同一个平面直角坐标系中绘制函数y ＝x 2和y ＝x 3的图象，观察可得：当m ∈(－∞，0)时，二次函数部分不单调，满足题意；当m ∈[0，1]时，函数在定义域内单调递增，不合题意；当m ∈(1，＋∞)时，m 3>m 2，这使得函数不单调，满足题意． 综上可得：m 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．★答案★：(1)0 (2)(－∞，0)∪[1，＋∞)16．(2019年上海市黄浦区模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (0<2a <b )对任意x ∈R 恒有f (x )≥0成立，则代数式f （1）f （0）－f （－1）的最小值是________．解析：因为∀x ∈R ，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立，0<2a <b ，所以⎩⎨⎧0<2a <b ，Δ＝b 2－4ac ≤0，得b 2≤4ac ，又0<2a <b ， 所以c ≥b 24a ，所以f （1）f （0）－f （－1）＝a ＋b ＋c c －（a －b ＋c ）＝a ＋b ＋c b －a ≥a ＋b ＋b 24a b －a ＝4a 2＋4ab ＋b 24a （b －a ）＝4a 2＋4ab ＋b 24ab －4a 2＝4＋4·b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 24·b a －4， 设t ＝b a ，由0<2a <b 得，t >2，则f （1）f （0）－f （－1）≥4＋4t ＋t 24（t －1）＝（t －1）2＋6（t －1）＋94（t －1） ＝14[(t －1)＋9（t －1）＋6]≥14×(6＋6)＝3， 当且仅当t －1＝9t －1时取等号， 此时t ＝4，f （1）f （0）－f （－1）取最小值是3. ★答案★：3三、解答题17．(2019年黑龙江省大庆实验中学月考)已知函数f (x )＝(x －2)(x ＋a )，其中a ≤2.(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求a 的值；(2)若函数f (x )在区间[0，1]上的最小值是2，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝(x －2)(x ＋a )＝x 2＋(a －2)x －2a ，所以f (x )的图象的对称轴为直线x ＝2－a 2.由2－a 2＝1，解得a ＝0.(2)函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝2－a 2.当2－a 2≤0，即a ≥2时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在[0，1]上的最小值为f (0)＝－2a ，令－2a ＝2，解得a ＝－1，不合题意；当0<2－a 2<1，即0<a <2时，因为f (x )在区间(0，2－a 2)上单调递减，在区间(2－a 2，1)上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (2－a 2)＝－(2＋a 2)2，令－(2＋a 2)2＝2，此方程无解；当2－a 2＝1－a 2≥1，即a ≤0时，因为f (x )在区间[0，1]上单调递减，所以在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝－(1＋a )，令－(1＋a )＝2，解得a ＝－3.综上，a ＝－3.18．(2019年广西南宁市第二中学模拟)已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (1)＝1，且f (x )的最小值是34.(1)求f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝x ＋m 在区间(－1，2)上有唯一实数根，求实数m 的取值范围；(3)函数g (x )＝f (x )－(2t －1)x ，对任意x 1，x 2∈[4，5]都有|g (x 1)－g (x 2)|<4恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)因f (0)＝f (1)，故对称轴为x ＝12，设f (x )＝a (x －12)2＋34，由f (0)＝1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由方程f (x )＝x ＋m 得m ＝x 2－2x ＋1，即直线y ＝m 与函数y ＝x 2－2x ＋1，x ∈(－1，2)的图象有且只有一个交点，作出函数y ＝x 2－2x ＋1在x ∈(－1，2)的图象．易得当m ＝0或m ∈[1，4)时函数图象与直线y ＝m 只有一个交点，所以m 的取值范围是{0}∪[1，4)．(3)由题意知g (x )＝x 2－2tx ＋1.假设存在实数满足条件，对任意x 1，x 2∈[4，5]都有|g (x 1)－g (x 2)|<4成立，即[|g (x 1)－g (x 2)|]max <4，故有[g (x )]max －[g (x )]min <4，由g (x )＝(x －t )2－t 2＋1，x ∈[4，5]可知，当t ≤4时，g (x )在[4，5]上为增函数，[g (x )]max －[g (x )]min ＝g (5)－g (4)<4，t >52，所以52<t ≤4；当4<t ≤92时，[g (x )]max －[g (x )]min ＝g (5)－g (t )<4，25－10t ＋1－t 2＋2t 2－1<4.即t 2－10t ＋21<0，解得3<t <7，所以4<t ≤92； 当92<t ≤5时，[g (x )]max －[g (x )]min ＝g (4)－g (t )<4，即t 2－8t ＋12<0，解得2<t <6，所以92<t ≤5；当t >5时，[g (x )]max －[g (x )]min ＝g (4)－g (5)<4，即t <132，所以5<t <132.综上所述，52<t <132.所以当52<t <132时，使得对任意x 1，x 2∈[4，5]都有|g (x 1)－g (x 2)|<4成立．19．(2019年四川省广安市质检)如图5，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH 为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a (常数a >2)，BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，绿地面积为y .(1)求出y 关于x 的函数关系式及其定义域；(2)当AE 为何值时，绿地面积最大？解：(1)由题意得S △AEH ＝S △CFG ＝12x 2，S △BEF ＝S △DGH ＝12(a －x )(2－x )，∴y ＝S 矩形ABCD －2S △AEH －2S △BEF＝－2x 2＋(a ＋2)x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，a －x ＞0，2－x ≥0，a >2，得0<x ≤2，故定义域为(0，2]． (2)函数y ＝－2x 2＋(a ＋2)x 开口朝下，对称轴为x ＝a ＋24(a >2)，且x ∈(0，2]，若a ＋24<2，即2<a <6，则x ＝a ＋24时，y 取最大值（a ＋2）28； 若a ＋24≥2，即a ≥6，则y 在(0，2]上递增，故x ＝2时，y 取最大值2a －4.综上所述，若2<a<6，则AE＝a＋24时，绿地面积最大为（a＋2）28；若a≥6，则AE＝2时，绿地面积最大为2a－4.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。