四年级奥数加法原理

一、加法原理概念引入

生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．

例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？

分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．

在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．

二、加法原理的定义

一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．

分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：

① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．

只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．

运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．

三、加法原理解题三部曲

1、完成一件事分N 类；

2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；

加法原理 发现不同

知识框架

3、类类相加

加法原理

分类讨论中加法原理的应用

树形图法、标数法及简单的递推树形图法标数法简单递推

模块一、分类讨论中加法原理的应用（枚举法）

【例 1】柯南去给步美买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，柯南买一种礼物可以有多少种不同的选法？

【例 2】从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？

【巩固】从1～50中每次取两个不同的数相加，和大于50的共有多少种取法？

【例 3】甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：一共有多少例题精讲

种不同的订法？

【巩固】光彦和元太共有《爆笑校园》不超过9本，他们各自有《爆笑校园》的数目有多少种可能的情况？【例 4】把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三种．

【巩固】一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？

【例 5】袋中有3个相同红球，4个相同黄球和5个相同白球，家明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有________种可能．

【巩固】思思想将3个相同的小球放入A、B、C三个盒中，那么一共有________种不同的放法．

【例 6】四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张．问：一共有多少种不同的方法？

【巩固】甲、乙、丙、丁4名同学排成一行。从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种？

【例 7】1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，可以得到多少个不同的乘积?

【巩固】苹果、梨子和香蕉三人去公园玩，想拍一张照片留念，他们只拍了一张照片（人相同，位置不同为一张，可拍单人照），请问他们共有多少种不同的照法？

【例 8】妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？

【巩固】明明带8元钱去商店买冰激凌。有三种冰激凌，售价分别是5元一支、2元一支和1元一支。如果这8元钱全部用于买这三种冰激凌，共有多少种不同的买法?

【例 9】1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?

【巩固】1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?

模块二、树形图法和标数法

一、树形图法

“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．

【例 10】A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？

【巩固】一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？

【巩固】 一个学生假期往A 、B 、C 三个城市游览．他今天在这个城市，明天就到另一个城市．假如他第

一天在A 市，第五天又回到A 市．问他的游览路线共有几种不同的方案?

二、标数法

适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法总数．标数法是加法原理与递推思想的结合．

【例 11】 如图所示，沿线段从A 到B 有多少条最短路线？

G F

E

D

C B A

G F

E

D C B A

【巩固】 如图，从A 点到B 点的最近路线有多少条？