线面角练习整理

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等弹性模量法求线面角测试题(含答案)

等弹性模量法求线面角测试题(含答案)第一题已知钢铁的杨氏模量为 200 GPa，计算以下情况下的线面角：1.1. 应变为 0.002，求应力为多少？1.2. 面内力和面外力分别为 500 N 和 300 N，求线面角大小？答案1.1. 根据杨氏模量的定义，可以使用以下公式计算应力：应力 = 杂氏模量 * 应变将已知数据代入计算，得到：应力 = 200 GPa * 0.002 = 400 MPa所以应力为 400 MPa.1.2. 根据等弹性模量法的定义，可以使用以下公式计算线面角：线面角 = arcsin(面外力 / 面内力)将已知的面内力和面外力代入计算，得到：线面角= arcsin(300 N / 500 N) ≈ 0.6435 rad所以线面角大小约为 0.6435 弧度。

第二题已知铝合金的杨氏模量为 70 GPa，计算以下情况下的线面角：2.1. 应变为 0.003，求应力为多少？2.2. 面内力和面外力分别为 800 N 和 400 N，求线面角大小？答案2.1. 根据杨氏模量的定义，可以使用以下公式计算应力：应力 = 杂氏模量 * 应变将已知数据代入计算，得到：应力 = 70 GPa * 0.003 = 210 MPa所以应力为 210 MPa.2.2. 根据等弹性模量法的定义，可以使用以下公式计算线面角：线面角 = arcsin(面外力 / 面内力)将已知的面内力和面外力代入计算，得到：线面角= arcsin(400 N / 800 N) ≈ 0.5236 rad所以线面角大小约为 0.5236 弧度。

以上是关于等弹性模量法求线面角的测试题目及答案。

希望对您有所帮助！。

第8章立体几何专题7 线面角的求解常考题型专题练习——【含答案】

线面角的求解【方法总结】1、线面角的范围：[0°,90°]2、线面角求法（一）：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足；找线在面外的一点B，过点B向平面α做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影AO与斜线AB之间的夹角为线面角；把投影AO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

注意：以上第二步过面外一点向平面做垂线的方法有一下几种：1）线在面外的一点B与平面上某点的连线正垂直于面α，无需再做辅助线；2）题中已知有与面α垂直的直线，过线在面外的一点B直接做此垂线的平行线；3）过线在面外的一点B做两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OB⊥面α（这两个垂直平面一个是面α，另一个是过点B且与α垂直的平面）。

3、线面角求法（二）用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

114、线面角求法（三）利用空间向量进行求解，高二再学。

高中数学线面角与线线角例题、习题-学生

线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法；【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是（）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1BC 成60角（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为（）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是。

（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。

（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。

例3：如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面PAB ⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C DPA B C H S M 线面角与线线角专练（小练习二）例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。

(完整word版)线面角、二面角专题复习(学生版)

线面角与二面角专题复习编辑\审核：黄志平说明红色为必做题(课堂上展示的) ，其它题可选做，练手感。

一、线面角1、如图，四棱锥S ABCD 中，AB//CD, BC CD，侧面SAB为等边三角形，AB BC 2，C D SD 1(I)证明：SD 平面SAB；(n)求AB与平面SBC所成角的大小.2、如图，在组合体中，ABCD A1 B i C i D i是一个长方体，P ABCD是一个四棱锥.AB 2 , BC 3，点P 平面CC1D1D 且PD PC 罷.(I )证明：PD 平面PBC ;(n )求PA与平面ABCD所成的角的正切值；13、如图，在三棱锥P—ABC中，AB丄BC, AB= BO - PA,点O、D分别是2的中点，OP丄底面ABC.(I )求直线PA与平面PBC所成角的大小;AC PC-1CC i4、如图，棱锥 P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA 丄平面ABCD, PA=AD=2, BD= 2.(I)求点 C 到平面PBD 的距离. (n)在线段 PD 上是否存在一点正弦值为込，若存在，指出点 9 Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的 Q 的位置，若不存在，说明理由。

DC5、如图4,在直角梯形ABCD 中，把^ DAC 沿对角线AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ),点P 在平面ABC 上的正投影 E 落在线段AB 上,连接PB . (1)求直线 ABC DAB 90, CAB 30 ,BC 1,AD CD ,AC B 的大小的余弦值.C图5二、二面角如图，四棱锥 P — ABCD 的底面为矩形，侧面 PAD 是正三角形,且侧面 PAD 丄底面ABCD(I ) 求证：平面 PAD 丄平面 PCD (I I) 当AD = AB 时，求二面角 A — PC — D 的余弦值.C7.如图5,在锥体P ABCD中，ABCD是边长为1 的棱形，且DAB 600, PA PD J2,PBE, F分别是BC,PC的中点，(1)证明：」(2 )求二面角ABCD中，底面ABCD是一直角梯形,底面ABCD ,PD与底面成30°角.PD,E为垂足，求证：BE PD ；的条件下，求异面直线AE与CD所成BAD 90,AD//BC,AB BC a ,2,AD 平面DEF ; IP AD B的余弦值.8、在四棱锥PAD 2a ,PA(1 )若AE(2 )在(1) 角的余弦值；(3)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值石圉3T9、如图5,在圆锥PO中，已知P0 =丿2, O O的直径的中点.(I)证明：平面POD 平面PAC;(n)求二面角B PA C的余弦值。

线面角、面面角强化训练(含答案)

线面角、面面角强化训练一．解答题（共24小题）1．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．2．（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．3．（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．4．（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．5．（2005•黑龙江）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥面PAB；（2）若，求AC与面AEF所成的角．6．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．7．（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．8．（2008•安徽）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．9．（2005•北京）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．（Ⅰ）求证AC⊥BC1；（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．10．（2009•江西）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．11．（2008•海南）如图，已知点P在正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．12．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．13．（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．14．（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．15．（2012•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．16．（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．17．（2012•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．18．（2011•辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A1C1的中点；（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC1；（Ⅱ）求证：直线A1D⊥平面BDC1；（Ⅲ）求直线A1C1与平面BDC1所成的角．21．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求C1到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．22．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．23．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF．（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当A1、E、F、C1共面时，求：①D1到直线C1E的距离；②面A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值．24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求点B到平面CDB1的距离；（Ⅲ）求二面角B﹣B1C﹣D的大小．线面角、面面角强化训练参考答案与试题解析一．解答题（共24小题）1．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．B=B=，即∠，BH=，H=，2．（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．BE=中，所成的角的正弦值为3．（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．），，﹣，，﹣所成角的正弦值为4．（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．EF=（5．（2005•黑龙江）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥面PAB；（2）若，求AC与面AEF所成的角．EF DGa所成角的正弦值为所成角为，∴）解：由，得，∴所成的角为所成的角为．6．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．的法向量为锐角时，所求的角即为它的余角；当=MD=SM=（，y==，，＞==，＞arcsin7．（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．，则，代入公式可求的法向量的法向量，，﹣，，，=|）知，设的法向量令的法向量所以的法向量=0t=PA=8．（2008•安徽）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．ADC=DP=利用勾股定理求得等于，，的坐标表示．设平面的法向量为，，表示出和在向量的距离为，∴，所成角的大小为．的距离为．，，•=0•=0•（，﹣，．在向量=）上的投影的绝对值，的距离为9．（2005•北京）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．（Ⅰ）求证AC⊥BC1；（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．=λ，与AC，AB=，CE=CBCED==所成角的余弦值（（Ⅰ）∵=0⊥，，=∥（Ⅲ）∵=，＞所成角的余弦值为10．（2009•江西）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．距离的的一个法向量，结合然后求出距离的，再利用向量的射影公式直接求点的中点可得即，则，，由PN=（．）可知所求距离为．的一个法向量，由可得：，所以所求角的大小为，所以，则距离的，设点．11．（2008•海南）如图，已知点P在正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．（Ⅰ）利用，求出．即可．．通过，得到．求出，，由已知，．解得，所以（Ⅰ）因为．即．，所以．．则，）则，则，由已知，，解得，∴（Ⅰ）因为，．即．，所以12．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．，（2），﹣=，（）•==0•=0），（的法向量为，则，=，则，﹣），∴•﹣，（﹣，﹣，＞==13．（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．=．=，得D=，D=2=．=，﹣得=0，2，）=，=，则⊥，⊥取=（=，则⊥，，即取得，＞==．14．（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．=，从而D=．所以=，，，从而，，﹣，故，2，，=，则有⊥，⊥•且•，即，取=，=，则⊥，⊥，即且=0，＞=，所以二面角的平面角的余弦值15．（2012•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．的法向量，AQ=2AC=AB=中，（﹣，（），的平面角的余弦值为BD=AM=PB=AE=AQ=2BPC=MQ=．QE=，∴AEQ=的平面角的余弦值为16．（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．OP=与平面OP=，，OC====．为原点，建立空间直角坐标系．则）=2=，则由得出，取﹣，所以（﹣===．OP=，，，所以=2 =）为平面==arcsin（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，=，则由得出，，则，所以=，的一个法向量为==arccos17．（2012•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．，﹣，，因此（，﹣==，则•，•y=z，则==，＞=，所以二面角CB=CGFGC=的余弦值为18．（2011•辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．求出则、、由向量积的运算易得•，•、、的坐标，的法向量法向量，==••=即因此可取，=，＞﹣的余弦值为﹣19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．的坐标，求出向量，和平面BD=，，，，=的法向量为，则因此可取（，=，==﹣的余弦值为：﹣20．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A1C1的中点；（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC1；（Ⅱ）求证：直线A1D⊥平面BDC1；（Ⅲ）求直线A1C1与平面BDC1所成的角．D=21．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求C1到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．，求，））=的法向量=，则，）∴的距离为的法向量（，的法向量，的余弦值为22．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．FO=中，中，所成的角大小为，可得的大小为23．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF．（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当A1、E、F、C1共面时，求：①D1到直线C1E的距离；②面A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值．坐标，代入向量数量积公式，易得满足，的一个法向量为，的一个法向量为24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求点B到平面CDB1的距离；（Ⅲ）求二面角B﹣B1C﹣D的大小．（Ⅰ）求出通过，相关向量，计算，求二面角，∴，的距离是，．的大小是。

线面角练习题

线面角练习题在数学中，线面角是一种常见的概念，用于描述线与面之间的相对关系。

本文将为你提供一系列线面角练习题，帮助你加深对线面角概念的理解并提高解题能力。

练习题一：线与平面的关系1. 建立直角坐标系，并画出平面P：4x - 2y + z = 6。

a) 在该平面上选择一点A(x1, y1, z1)，其中x1, y1, z1为任意实数。

画出该平面与点A的关系示意图。

b) 选择另一点B(x2, y2, z2)，其中x2, y2, z2为任意实数。

画出该平面、点A和点B之间的关系示意图。

练习题二：线与平面上的点的关系2. 平面P：2x + 3y - 4z = 12与直线L：x = 2 + t, y = 3 - t, z = -1 + 2t相交于点A。

求出点A的坐标。

练习题三：线面角的计算3. 已知平面P：2x - y + 3z = 1和直线L：x = 3 - t, y = 2 + 2t, z = -1 + t。

求出直线L与平面P的线面角。

练习题四：垂直线面角的判断4. 平面P1：2x - y + 2z = 5与平面P2：4x - 2y + 4z = 9之间的夹角为α。

判断平面P1与平面P2是否垂直。

练习题五：平行线面角的计算5. 平面P：3x - 2y + 4z = 7和直线L：x = 1 + 2t, y = -2 + 3t, z = 3 - t 之间的夹角为β。

判断直线L与平面P是否平行。

练习题六：点到平面的距离计算6. 平面P：2x - y + z = 5上有一点A(1, -3, 2)。

求出点A到平面P的距离。

练习题七：平行平面之间的距离计算7. 已知平面P1：2x - 3y + z = 4和平面P2：4x - 6y + 2z = 8平行。

求出平面P1与平面P2之间的距离。

练习题八：垂直线面之间的距离计算8. 平面P：2x - y + 3z = 5与直线L：x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3t之间的距离为d。

线线角、线面角、二面角知识点及练习

线线角、线面角、面面角专题一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

2.角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ。

例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：︒︒≤≤900θ。

例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。

BMH S CA_1_A一、二面角：1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

2. 二面角的取值范围：︒︒≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。

3.作二面角的平面角的常用方法有六种：1.定义法：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。

2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。

3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。

二面角就是该夹角或其补角。

二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。

例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值.A 1D 1B 1C 1 EDBCA巩固练习1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A.α内所有的直线都与a 异面；B.α内不存在与a 平行的直线；C.α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点.2.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AD 与BC 所成角为（）A.030B.045C.060D.090 3．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（）条A.3B.4C.6D.84.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（）A.300B.450C.600D.9005．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD .(2)平面EFC ⊥平面BCD .6．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．ABC D A 1B 1C 1D 17.如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；。

第8章立体几何专题7 线面角的求解常考题型专题练习——【含答案】

3、线面角求法（二）用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

114、线面角求法（三）利用空间向量进行求解，高二再学。

【巩固练习】1、已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为162，点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,23，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A.2 B.3 C.12D.13【答案】A【解析】易知22AB =；连接1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算22112C P CP CC =-=；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，2tan 2CO CPO PO ∠== .2、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为A．B．C．D．[来源网ZXXK]【答案】C【解析】如图所示，当平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，则平面，故直线和平面所成的角为，则，所以，故选C.3、如图，在三棱锥P-ABC中，,PA AB⊥PC BC⊥，,AB BC⊥22,AB BC==5PC=，则PA与平面ABC所成角的大小为_______.【答案】45︒【解析】如图，作平行四边形ABCD，连接PD，由AB BC⊥，则平行四边形ABCD是矩形．由BC CD⊥，BC PC⊥，PC CD C=，∴BC⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴BC PD⊥，同理可得AB PD⊥，又AB BC B⋂=，∴PD⊥平面11ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,5CD AB PC ===得1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．4、已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心O ，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为（）A ．23B ．13C ．33D ．23【答案】A【解析】作1A H ⊥面ABC 于点H ,延长11B A 到D ,延长BA 到E 使得111B A A D =，,BA AE =如图则有11A EAB ，又因为1A O ⊥面ABC ，故1A EO ∠为所求角，且111sin AO A EO A E∠=已知底面为正三角形，且O为底面中点，解三角形可知：111336,333AO AB AA A O AA==∴=又在AEO∆中运用余弦定理，150EAO∠=︒则()()22212cos3EO EA AO EA AO EAO AB=+-⋅∠=故由勾股定理可得22113A E AO EO AB=+=则1623sin33A EO∠==故选A5、如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且13AD DB=，点C为圆O上一点，且3BC AC=.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.(1)求证：CD⊥平面PAB；(2)求直线PC与平面PAB所成的角．【答案】（1）见解析；（2）301旗开得胜1【解析】(1)证明：连接CO ，由3AD ＝DB 知，点D 为AO 的中点．又因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB. 由3AC ＝BC 知，∠CAB ＝60°，所以△ACO 为等边三角形．故CD ⊥AO. 因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，所以PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ⊂平面PAB ，AO ⊂平面PAB ，且PD ∩AO ＝D ，得CD ⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD 是直线PC 与平面PAB 所成的角，又△AOC 是边长为2的正三角形，所以CD ＝3. 在Rt △PCD 中，PD ＝DB ＝3，CD ＝3，所以3tan 3CD CPD PD ∠==，∠CPD ＝30°，即直线PC 与平面PAB 所成的角为30°.16、如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（1）证明：PO ⊥平面ABCD .（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）2211【解析】（1）证明：AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，则//BC DE 且BC DE =. ∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.1又,AB BC⊥12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,AP AC A =BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，则BE PO ⊥.AP ⊥平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又22AC AB AP ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,ACBE O =PO ∴⊥平面ABCD .（2）高一学生可以用等体积法求解。

线线角-线面角-二面角的一些题目

B 1D 1A DC 1BCA 1線線角與線面角習題一、復習目標1.理解異面直線所成角の概念,並掌握求異面直線所成角の常用方法．2.理解直線與平面所成角の概念，並掌握求線面角常用方法．3.掌握求角の計算題步驟是“一作、二證、三計算”,思想方法是將空間圖形轉化為平面圖形即“降維”の思想方法. 二、課前預習1.在空間四邊形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分別為AB 、CD の中點且EF=3，AD 、BC 所成の角為 .2.如圖,在長方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 與底面所成の角分別為60ο和45ο，則異面直線B 1C 和C 1D 所成角の余弦值為 ( )(A).46 (B).36 (C).62 (D).633.平面α與直線a 所成の角為3π,則直線a 與平面α內所有直線所成の角の取值範圍是．4.如圖,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,則PA 與BD 所成の角の度數為(A).30ο(B).45ο(C).60ο(D).90ο5.有一個三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是貼於桌面上,當三角尺與桌面成45ο角時,AB 邊與桌面所成角の正弦值是．三、典型例題例1.(96·全國) 如圖,正方形ABCD 所在平面與正方形ABEF 所在平面成60ο角,求異面直線AD 與BF 所成角の余弦值. 備課說明:1.求異面直線所成の角常作出所成角の平面圖形.作法有: ①平移法:在異面直線の一條上選擇“特殊點”,作另一條直線平行線或利用中位線.②補形法:把空間圖形補成熟悉の幾何體,其目の在於容易發現兩條異面直線の關係.2.解立幾計算題要先作出所求の角,並要有嚴格の推理論證過程,還要有合理の步驟.例2.如圖在正方體AC 1中, (1) 求BC 1與平面ACC 1A 1所成の角; (2) 求A 1B 1與平面A 1C 1B 所成の角.備課說明:求直線與平面所成角の關鍵是找直線在此平面上の射影,為此必須在這條直線上找一點作平面の垂線. 作垂線の方法常採用:①利用平面垂直の性質找平面の垂線.②點の射影在面內の特殊位置.A CB AD C 1D 1A 1B 1CB D A BPC D A C BF E例3. 已知直三棱住ABC-A 1B 1C 1,AB=AC, F 為棱BB 1上一點,BF ∶FB 1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 為BC の中點,E 為線段AD 上不同於A 、D の任意一點,證明：EF ⊥FC 1; (2)試問:若AB=a 2,線上段AD 上のE 點能否使EF 與平面BB 1C 1C 成60ο角,為什麼?證明你の結論. 備課說明:這是一道探索性命題,也是近年高考熱點問題,解決這類問題,常假設命題成立,再研究是否與已知條件矛盾,從而判斷命題是否成立.四、回饋練習1設集合A 、B 、C 分別表示異面直線所成の角、平面の斜線與平面所成の角、直線與平面所成の角の取值範圍,則 (A)A=B=C (B)A=B ⊂C (C)A ⊂B ⊂C (D) B ⊂A ⊂C.2兩條直線a ,b 與平面α所成の角相等,則直線a ,b の位置關係是 (A)平行 (B)相交 (C)異面 (D) 以上均有可能.3設棱長為1の正方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分別為AA 1和BB 1の中點，則直線CM 和D 1N 所成角の正弦值為 . 4已知a 、b 是一對異面直線，且a 、b 成60o 角，則在過空間任意點P の所有直線中，與a 、b 均成60o角の直線有條.5異面直線a 、b 互相垂直，c 與a 成30o 角，則c 與b 所成角の範圍是 .6∠ACB=90ο在平面α內,PC 與CA 、CB 所成の角∠PCA=∠PCB=60o ,則PC 與平面α所成の角為 .7設線段AB=a ,AB 在平面α內,CA ⊥α,BD 與α成30ο角,BD ⊥AB,C 、D 在α同側,CA=BD=b .求: (1)CD の長;(2)CD 與平面α所成角正弦值.A 1CB A B 1DC 1E F課前預習 1. 60ο2.A3. [3π,2π] 4.C 5.46 典型例題例1解:∵CB ∥AD∴∠CBF 為異面直線AD 與BF 所成の角.連接CF 、CE 設正方形ABCD の邊長為α,則BF=a 2∵CB ⊥AB, EB ⊥AB ∴∠CEB 為平面ABCD 與平面ABEF 所成の角 ∴∠CBE=∠60ο∴CE=a FC=a 2 ∴cos ∠CBF=42例2解:(1)設所求の角為α,先證BD ⊥平面ACC 1A 1,則sin α=sin ∠OC 1B=1BC OB =21.故α=30o .(2)△A 1BC 1是正三角形,且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱錐B 1-A 1BC 1是正三棱錐.過B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1,連A 1H, ∠B 1A 1H 是直線A 1B 1與平面A 1C 1B 所成の角.設A 1B 1=a 則A 1B =a 2得A 1H =a 36.故cos ∠B 1A 1H=111B A H A =36.所求角為36arccos例3解:(1)連接OF ,容易證明AD ⊥面BB 1C 1C, DF 是EF 在面B 1C 1CB の射影,且DF ⊥FC 1, ∴FC 1⊥EF.(2) ∵AD ⊥面BB 1C 1C , ∠EFD 是EF 與平面BB 1C 1C 所成の角.在△EDF 中,若∠EFD=60ο,則ED =DF ·tan 60ο=3·5=a 15,∵AB=BC=AC=2a ,∴AD=a 3.∵a 15>a 3.∴E 在DA の延長線上,而不線上段AD 上;故線段AD 上のE 點不可能使EF 與平面BB 1C 1C 成60ο角.回饋練習1. D2. D3.954 4. 3 5.[ 60ο,90ο] 6. 45ο7.解:(1)作DD ＇⊥α於D ＇,連接AD ＇,BD ＇.CA ⊥α,∴CA ∥DD ＇.四邊形CAD ＇D 是直角梯形,∠CAD ＇=∠D D ＇A =90ο,AB α⊂,AB ⊥DD ＇.又AB ⊥BD,∴AB ⊥平面BDD ＇,BD ＇⊂平面BDD ＇.∴AB ⊥BD ＇.∵∠DBD ＇是BD 與α所成の角,∴∠DBD ＇=30ο,BD =b ,DD ＇=2b ,BD ＇=23b .在△ABD ＇中,AB=a ,BD ＇=23b ,∠ABD ＇=90ο,∴AD ＇=22＇BD AB +=4322b a +.在CAD ＇D 中，CD=222'2')(b a D D AC AD +=-+.(2)作D ＇C ＇∥DC 交CA 於C ＇,∠C ＇D ＇A 是CD 與α所成の角,sin ∠C ＇D ＇A=22'2''ba bD C AC +=.線面角與面面角練習一、知識與方法要點：1．斜線與平面所成の角就是斜線與它在平面內の射影の夾角。

线面角练习题

线面角练习题线面角练习题在我们的日常生活中，几何形状无处不在。

从建筑物到家具，从自然景观到艺术作品，几何形状都扮演着重要的角色。

而在学习几何学的过程中，线面角是我们必须掌握的基础知识。

今天，我们将通过一些线面角练习题来加深我们对这一概念的理解。

1. 问题一：在一个正方形的角落上，有一只蜘蛛。

它从一个角落出发，每次只能沿着正方形的边缘前进。

蜘蛛最少需要走多少步才能回到起点？解答：蜘蛛只需要走三步就能回到起点。

它可以从一个角落出发，沿着边缘走到下一个角落，再沿着边缘走到下一个角落，最后再沿着边缘走回起点。

2. 问题二：一个圆形的饼干被切成了六个等分的扇形。

如果我们将其中一个扇形的顶点连接到圆心，这个角度是多少度？解答：由于圆形的总角度是360度，而饼干被切成了六个等分的扇形，所以每个扇形的角度是360度除以6，即60度。

因此，连接到圆心的角度也是60度。

3. 问题三：在一个矩形的对角线上，有一只小虫。

它从一个角出发，沿着对角线前进，最后到达另一个角。

如果矩形的长度是8厘米，宽度是6厘米，小虫需要走多少厘米才能到达目的地？解答：根据勾股定理，矩形的对角线的长度可以通过勾股定理计算得出。

对角线的长度等于矩形的长度的平方加上宽度的平方的平方根。

所以，对角线的长度等于√(8^2 + 6^2) = √(64 + 36) = √100 = 10厘米。

因此，小虫需要走10厘米才能到达目的地。

4. 问题四：在一个正三角形的内部，有一只小鸟。

它从一个角出发，沿着三角形的边前进，最后回到起点。

小鸟最少需要走多少条边才能回到起点？解答：正三角形有三条边，所以小鸟最少需要走三条边才能回到起点。

它可以从一个角出发，沿着边前进到下一个角，再沿着边前进到下一个角，最后再沿着边回到起点。

通过以上几个线面角练习题，我们可以看到几何形状和角度之间的关系。

无论是正方形、圆形、矩形还是三角形，它们都有自己独特的特点和角度。

通过解决这些练习题，我们可以更好地理解这些形状，并且培养我们的几何思维能力。

高中立体几何专题：线面角与线线角

线面角与线线角1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法；【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角D 、11AC 与1B C 成60o 角答案：D 。

解析：A 1C 1与AD 成45°，D 1C 1与AB 平行，AC 1与DC。

（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为（）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个答案：B 。

解析：平面A 1ACC 1，平面BB 1D 1D ，平面ABC 1D 1，平面A 1D 1CC 1。

（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º答案：B 。

解析将BC 1平移到E 1F 即可。

（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是。

答案：AC ⊥BD 。

解析：过A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为H ，因为CD ⊥AB ，BC ⊥AD ，所以CD ⊥BH ，BC ⊥DH ，故H 为△BCD 的垂心，从而BD ⊥CH ，可得BD ⊥AC 。

（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.答案：16或64。

解析：分A 、B 在平面α的同侧和异侧进行讨论。

例3：如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD.(Ⅰ) 证明:BC ⊥侧面PAB;(Ⅱ) 证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;(Ⅲ) 求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小;答案： (Ⅰ)证: ∵侧面PAB ⊥底面ABCD, 且侧面PAB 与底面ABCD 的交线是AB, 在矩形ABCD 中, BC ⊥AB ，.∴BC ⊥侧面PAB.(Ⅱ)证: 在矩形ABCD 中, AD ∥BC, BC ⊥侧面PAB, ∴AD ⊥侧面PAB. 又AD ⊂平面PAD, ∴侧面PAD ⊥侧面PAB.(Ⅲ)解: 在侧面PAB 内, 过点P 做PE ⊥AB, 垂足为E, 连结EC, ∵侧面PAB 与底面ABCD 的交线是AB, PE ⊥AB, ∴PE ⊥底面ABCD. 于是EC 为PC 在底面ABCD 内的射影.A BC D PAB C H S M ∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成的角. 在△PAB 和△BEC 中, 易求得PE=3, EC=3.在Rt △PEC 中, ∠PCE=45°.例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

BMHSCA解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB，易得h=12／5 ，设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5，∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin0.8 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cosθ2（如图3）若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cosθ2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）1．平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。

线面角练习整理

线面角的三种求法1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平而所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射彫所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四而体ABCS 中，SA.SB.SC 两两垂直，ZSBA=45°, ZSBC=60。

，M 为AB 的中点，求（1） BC与平而SAB所成的角。

（2） SC与平而ABC所成的角。

2.利用公式sill 8二h/ i其中0是斜线与平而所成的角，h是垂线段的长，i是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到而的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A）B]CiDi. AB=3 ,BC=2,AiA=4 ，求AB 与而AB I C I D所成的角。

3・利用公式cos 0 =cos 0 rcos 9 2（如图3）若0A为平面的一条斜线，O为斜足，0B为OA在而a内的射影，OC为而Cl学们可自己证明)，它揭示了斜线和平而所成的角是这条斜线和这个平而内的直线所成的一切角中最小的角(常称为最小角定理)例3 (如图4〉已知直线OA.OBQC两两所成的角为60°,,求直线OA与而OBC所成的角的余弦值。

一•课题：贡谡和年面所啟的角与二面角(1)------------------- 钱而角说明：1.若。

丄则规泄d与a所成的角是直角：2.若alia或“ua,则规定"与a所成的角为0°；3.直线和平而所成角的范围为：0 <6><90 ：4・直线和平而所成角是直斜线与该平而内直线所成角的最小值(COS 0 = COS q ・COS 02 )o2.例题分析：例1.如图，已知AB是平而a的一条斜线，3为斜足，40丄70为垂足，BC为a内的一条直线，ZABC = 60\ZOBC = 45\求斜线4B和平而Q所成角。

线线角,线面角,二面角的一些题目

所成的角是
（C）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为 arctan 2 2 ，则它的侧棱与底面所成的角为 2
∴∠CBE=∠60ο∴CE= a FC= 2a ∴cos∠CBF= 2 4
例 2 解:(1)设所求的角为 ,先证 BD⊥平面 ACC1A1,则 sin =sin∠OC1B= OB = 1 .故 =30o.(2) BC1 2
△A1BC1 是正三角形,且 A1B1=B1C1=BB1.∴棱锥 B1-A1BC1 是正三棱锥.过 B1 作 B1H⊥平面 A1BC1,
(2)作 D＇C＇∥DC 交 CA 于 C＇,∠C＇D＇A是 CD 与所成的角,sin∠C＇D＇A= AC'
b
.
C' D' 2 a2 b2
精心整理
线面角与面面角练习
一、知识与方法要点：
1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到
斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来
所成二面角(锐角)的度数．
证明：在截面 A1EC 内，过 E 作 EG⊥A 1 C，G 是垂足，如图，
∵面 A EC⊥面 AC ，∴EG⊥侧面 AC ．
1
1
1
取 AC 的中点 F，分别连结 BF 和 FC，由 AB＝BC 得 BF⊥AC．
∵面 ABC⊥侧面 AC ，∴BF⊥侧面 AC ，
1
1
得 BF∥EG．BF 和 EG 确定一个平面，交侧面 AC 于 FG． 1
∵BE∥侧面 AC ，∴BE∥FG，四边形 BEGF 是，BE＝FG． 1

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线面角的三种求法
1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

B
M
H
S
C
A
图1
2. 利用公式sin θ=h ／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

A 1
C 1
D 1
H
4
C
B 1
23
B
A
D
图2
3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2
（如图3）若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α
内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，
B α
O
A
C
图3
θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）
例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC 所成的角的余弦值。

O
α
D
A
C
B
图4
一．课题：直线和平面所成的角与二面角（1）——线面角说明：1．若a α⊥，则规定a 与α所成的角是直角；
2．若//a α或a α⊂，则规定a 与α所成的角为0；
3．直线和平面所成角的范围为：090θ≤≤；
4．直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（12cos cos cos θθθ=⋅）。

2．例题分析：
例1．如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线AB 和平面α所成角。

例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角。

O C B
A
α1
例3．已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值。

解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ，
∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心，
设四面体的边长为a ，则3
3
CO a =
， ∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，
∴3
cos 3ACO ∠=，所以，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为33
．
五．课堂练习：课本第45页练习第1，2，3题；第47页习题9.7的第1题。

六．小结：1．线面角的概念；
2．12cos cos cos θθθ=⋅及应用步骤：12,,θθθ在图形中所表示的角。

七．作业：课本第45页练习第4题、第47页习题9.7的第2题。

补充：1如图，PA 是平面α的斜线，BAC ∠在平面α内，且满足90BAC ∠=，又已知
60PAB PAC ∠=∠=，求PA 和平面α所成的角。

2．如图，已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，且24,610PC PB PD ===，求PC 和平面ABCD 所成的角。

O
D
C
B
A
A
P C
B
αA
B
C
D
P。