线面角练习整理

线面角的三种求法

1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

B

M

H

S

C

A

图1

2. 利用公式sin θ=h ／ι

其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

A 1

C 1

D 1

H

4

C

B 1

23

B

A

D

图2

3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2

（如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α

内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，

B α

O

A

C

图3

θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）

例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。

O

α

D

A

C

B

图4

一．课题：直线和平面所成的角与二面角（1）——线面角 说明：1．若a α⊥，则规定a 与α所成的角是直角；

2．若//a α或a α⊂，则规定a 与α所成的角为0；

3．直线和平面所成角的范围为：090θ≤≤；

4．直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（12cos cos cos θθθ=⋅）。

2．例题分析：

例1．如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线AB 和平面α所成角。

例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角。

O C B

A

α1

例3．已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值。 解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ，

∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心，

设四面体的边长为a ，则3

3

CO a =

， ∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，

∴3

cos 3ACO ∠=，所以，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为33

．

五．课堂练习：课本第45页练习第1，2，3题；第47页习题9.7的第1题。

六．小结：1．线面角的概念；

2．12cos cos cos θθθ=⋅及应用步骤：12,,θθθ在图形中所表示的角。

七．作业：课本第45页练习第4题、第47页习题9.7的第2题。

补充：1如图，PA 是平面α的斜线，BAC ∠在平面α内，且满足90BAC ∠=，又已知

60PAB PAC ∠=∠=，求PA 和平面α所成的角。

2．如图，已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，且24,610PC PB PD ===，求PC 和平面ABCD 所成的角。

O

D

C

B

A

A

P C

B

αA

B

C

D

P