7第七章伯努利方程式和其应用

之前，需要提出缓变流的概念。缓变流也
称渐变流，是指流道中流线之间的夹角很
小，流线趋于平行（图7.1），且流线的曲
率很小（即曲率半径很大），流线都近似
于直线的流动。反之则称为急变流。例如
在弯头和渐缩、渐扩接管中的流动就属于
急变流。前者流线的曲率很大，后者流线
间的夹角很大。截面不变的直管中的流动
都可看成是缓变流。
第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
经整理可得到下式
Xdx
1
p x
dx
wx
wx x
dx
wx y
dy
wx z
dz
wx t
dt
即
Xdx
1
p x
dx
wxdwx
d
wx2 2
同样可得到y，z轴方向的关系式
Ydy
1
p y
dy
w y dw y
d
w2y 2
将三式相加
Zdz
1
p z
2wxz
2wzx
U z
P z
wz t
z
w2 2
2wy x
2wx y
将各项归并，并用行列式表示
x
U
P
w2 2
wx t
2 wy y
wz z
y
U
P
w2 2
wy t
2
wz z
wx x
z
U
P
w2 2
wz t
2 wx x
wy y
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（7.1）
第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
（3） （4）
dx dy dz wx wy wz dx dy dz
x y z
，即沿流线 ，即沿涡线
（5）
wx wy wz
，即螺旋运动
x y z
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
这就是伯努利方程式所必须满足的广义限定条件。
伯努利方程式是能量方程式，因为在推导过程中，曾经对欧拉方程式中
以力为单位的各项乘以长度dx、dy、dz，并进行积分。式中三项分别为压
力能，位能（势能）和动能。也就是说在符合限定条件的情况下，流场中
各点的三种能量尽管它们可以互相转换，但其总和是不变的。这三种能量
统称为机械能。
伯努利方程式可以有不同的形式，式（7.6）各项表示单位质量流体的
能量。
如将式（7.6）除以g，则伯努利方程式的形式为
wydx wxdy ， wzdx wxdz ， wydz wzdy 代入式（5.8）第1式，可得到
X
1
p x
wx
wx x
wx
wx y
dy dx
wx
wx z
dz dx
wx t
等式两边均乘以 dx 得到
Xdx
1
p x
dx
wx
wx x
dx
wx
wx y
dy
wx
wx z
dz
wx t
dx
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wy t
y
w2 2
2wxz
2wzx
dwz dt
wz t
z
w2 2
2wyx
2wx y
将以上三式代入（5.8）式(欧拉方程）得到
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
U x
P x
wx t
x
w2 2
2wz y
2Biblioteka Baiduyz
U y
P y
wy t
y
w2 2
x
x
wy dz y
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
dx dy dz
即
dU
P
w2 2
2 wx
x
wy
y
wz
z
若上式等号右侧为零，则
dU
P
w2 2
0
即
U P w2 C
对重力场作用下的不可压缩流体
2
U
gz
，P
dp
p
于是
p gz w2 C
2
这就是伯努利方程式。它建立的条件是：在重力场作用下，不可压缩
的缓变流，divw 0 ，
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第七章 伯努利方程式及其应用
第三节 实际流体的总流伯努利方程式
且 wy 0 、wz 0 、wx 0，故
y
z
x
x p ， y p ， z p
p相当于流体静力学中的静压力，它与方向无关，所以对于缓变流，任何
点各个方向的压力都相同。
dA2
有了缓变流的概念及其特性，下面 就可以讨论总流的伯努利方程式。
g
，U
gz
（2）对于稳定的缓变流，若把流动方向取为x轴方向，则 wx w，wy 0 ，
wz 0。由连续性方程式可知
流动，wx 0，wy 0，wz
t
t
t
wx wy wz 0，即 wx 0 ，由于是稳定
x y z
x
0。将此结果代入纳维—斯托克斯方程式
可得
X
p x
2wx y 2
2wx z 2
理想流体的稳定流动，此外还必须符合下列条件：
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
dx dy dz wx wy wz 0
x y z 要使上述三阶行列式等于零，有以下几种情况
（1） wx 0 ， wy 0 ， wz 0 ，即静止状态 （2） x 0 ， y 0 ， z 0 ，即无旋运动
第二节 实际流体的伯努利方程式
式中 hw 代表流体由截面1流至截面2所受的阻力损失，也就是实
际流体流动时损失的机械能。这部分损失的机械能，转变为热能，增
加了流体的内能。hw 的计算在第九章中讨论。
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第七章 伯努利方程式及其应用
第三节 实际流体的总流伯努利方程式
在讨论实际流体总流的伯努利方程式
于是
Xdx
Ydy
Zdz
1
dp
d
w2 2
1
p t
dt
（7.2）
式（7.2）就是沿流线的欧拉方程式。如果已知压力和密度的关系及
其随时间的变化规律，以及质量力的特性，上式就可进行积分，由此
求出速度场。
二、无旋运动流场
对于无旋流场，有如下特性
w y x
wx wx y ， z
wz x
wz
，y
w y z
dz
wz dwz
d
wz2 2
Xdx
Ydy
Zdz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
d
wx2 2
w2y 2
wz2 2
d
w2 2
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
因为 p px, y, z, t ，所以
dp p dx p dy p dz p dt x y z t
利用葛罗米柯方程式（7.1），可以导得伯努利方程式更广义的限定条
件。
对于稳定流动，式（7.1）变成
x
U
P
w2 2
2 wy y
wz z
y
U
P
w2 2
2 wz z
wx x
将上式分别乘以dx，dy，dz，相加得到
z
U
P
w2 2
2 wx x
wy y
dU
P
w2 2
2 wy y
wz dx 2 wz
z
z
wx dy 2 wx
积分后得到 z p C
g
此式说明：对缓变流，在流道的某一流通截面上，任何点的
z
p g
都相等，为一常数。这和流体静力学中得到的结果相同，表明在缓变流
中，与流动方向垂直的截面上的压力分布规律与静止流体的压力分布规
律是一致的。
（3）在讨论实际流体时，由式（5.11）可知，由于有剪切变形和存在切
应力，因而流场中不同方向上有不同的法向应力。但对于不可压缩流体
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
伯努利方程式及其限定条件 实际流体的伯努利方程式 实际流体的总流伯努利方程式 相对运动的伯努利方程式
伯努利方程式的应用
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
在推导伯努利方程式之前，先讨论欧拉方程式的另一种形式，称为葛
0
Y p 0
y
(7.8)
Z p 0
z
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第七章 伯努利方程式及其应用
第三节 实际流体的总流伯努利方程式
在后二式中质量力 Y 0 ，Z g ，若将后两式分别乘以dy，dz，
然后相加得到下式 gdz p dy p dz 0
y z
若x取某一定值时，则上式可以写成 gdz dp 0
p z w2 C
（7.6a）
g
2g
式中各项单位为长度。在水力学中称为水头。 p 为压力水头，z为静水头，
w2 为速度水头。
g
2g
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
如将式（7.6）乘以，则伯努利方程式如下式
p gz w2 C
2
w2
式中各项单位为压力。p称为静压，gz称为位压， 2
（7.6b） 称为动压。
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第七章 伯努利方程式及其应用
第二节 实际流体的伯努利方程式
在稳定流动、重力场作用的情况下，不可压缩理想流体沿流线的伯
努利方程式可以写成
gz1
p1
w12 2
gz2
p2
w22 2
对于实际流体，由于有粘性力，便有流动阻力，为了克服这种流动阻力，
需要消耗一部分机械能。上式三项机械能之中，位能一项只决定于截面1，
wz
wz y
dy
wy
wy t
dt
Zdz
1
p z
dz
wx
wx z
dz
wy
wy z
dz
wz
wz z
dz
wz
wz t
dt
将上面三式相加，得到
Xdx
Ydy
Zdz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
wxdwx
wydwy
wzdwz
等式两侧均加
1
p t
dt，且w2
wx2
w2y
wz2
，则有
Xdx
Ydy
Zdz
1
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
代入式（5.8）的第1式，等式两侧均乘以dx，可以得到
Xdx
1
p x
dx
wx
wx x
dx
wy
wy x
dx
wz
wz x
dx
wx
wx t
dt
同样由式（5.8）的第2，3式可得
Ydy
1
p y
dy
wx
wx y
dy
wy
wy y
dy
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
或
p gz w2 C
2
（7.6）
式（7.6）是对于只有重力场作用下的稳定流动、理想的不可压缩流体
沿流线或无旋流场的运动方程式的积分形式，称为伯努利方程式。此式说
明在上述限定条件下，任何点的压力能、位能、动能之和为常量。
dp
d
w2 2
1
p t
dt
（7.3）
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
此式与式（7.2）相同，即任何流场的流线上各点的运动方程式和无
旋运动流场中任意点的运动方程式是相同的，都是可以积分的常微分
方程式。
实际工程问题中经常遇到的质量力场为重力场，即X=0，Y=0，Z= –g 。此时，式（7.2）或式（7.3）成为
1 dp gdz wdw 1 p dt
t
（7.4）
对于稳定流动 p 0 ，则上式成为
t dp gdz wdw 0
（7.5）
式（7.5）为稳定流动、 质量力只有重力时，沿流线或无旋流场的欧拉
方程式。
如果流体密度不变，则在稳定流动情况下，式（7.4）可以写成积分形
式
1
dp
g
dz
d
w2 2
研究生教材
流体力学
顾伯勤 主编
中国科学文化出版社
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第二篇 流体动力学基本原理及流体工程
第五章 流体动力学微分形式基本方程 第六章 流体动力学积分形式基本方程 第七章 伯努利方程及其应用 第八章 量纲分析和相似原理 第九章 流动阻力与管道计算 第十章 边界层理论 第十一章 流体绕过物体的流动 第十二章 气体动力学基础
图7.1 缓变流流线
缓变流具有如下特性：
w2
引起（的1）惯由性于力缓即变离流心流力线也的就曲很率小很。小所，以流对体于的缓向变心流加流速场度，仍r可认便为很质小量，力由此
仅为重力，即
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第七章 伯努利方程式及其应用
第三节 实际流体的总流伯努利方程式
X 0 ，Y 0，Z g
或者
Z
dU dz
罗米柯方程式。
令U为质量力函数，P为压力函数，使得
X
U x
，
Y
U y
，
Z U z
1
p x
P x
，
1
p y
P y
，
1
p z
P z
而且
dwx dt
wx t
wx
wx x
wy
wx y
wz
wx z
wx t
1 2
(wx2 ) x
wy
wx y
wz
wx z
wx t
1 2
(w2
w2y x
wz2 )
2的位置z1和z2，是不会改变的。动能一项受连续性条件的约束，只要流通 截面A1，A2不变，也是不会改变的。唯一可能改变的是压力能，所以
p2 p1 ，因而使
gz1
p1
w12 2
gz2
p2
w22 2
（7.7）
或者写成
gz1
p1
w12 2
gz2
p2
w22 2
hw
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第七章 伯努利方程式及其应用
二、总流伯努利方程式
dA1
通过一个流道的流体的总流是由许多 p1
式（7.1）即葛罗米柯方程式，它比欧拉方程式便于积分。但在一般情 况下，无论是欧拉方程式或是葛罗米柯方程式，由于数学处理十分困难， 求解往往是不可能的。仅在某些特殊情况下，欧拉方程式的三个偏微分 方程式可以变成常微分方程式，使数学处理成为可能。下面讨论这些情 况。
一、理想流体沿流线的流动 将欧拉方程式应用到沿流线的流动中，则根据流线方程式可知
wy
wx y
wz
wx z
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 伯努利方程式及其限定条件
wx t
x
w2 2
wy
wy x
wz
wz x
wy
wx y
wz
wx z
wx t
x
w2 2
wy
wy x
wx y
wz
wx z
wz x
wx t
x
w2 2
2wz y
2wyz
同理可得
dwy dt