最新线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案-考研数学基础训练)

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线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020

考研数学基础训练）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，

α2，α3）|=6，则| A |=( )

A.-12

B.-6

C.6

D.12

【答案】C

【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。

【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。

【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。 【历年考题链接】 （2008,4）1．设行列式D=3332

31

232221

131211a a a a a a a a a =3，D 1=33

32

3131

2322212113

12

1111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6

D ．15

答案：C 。

2.计算行列式3

2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( )

A.-180

B.-120

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C.120

D.180 【答案】A

【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行（列）展开。一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题，按第三列展开，有：

44

1424344433

313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 000

2

2 3 2 3

3

3(002)6(1) =630180.

210

A A A A A A A ++--=⋅+⋅+⋅+⋅=-----=⋅+⋅-=---⨯=-

【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。

【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆。 【历年考题链接】

（2008,1）11.若,02

11

=k 则k=_______.

答案：1/2。

3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4

D.8

【答案】C

【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。由于1

1,A

A

-=

由已知| A -1 |=2，从而12A =

，所以3

122842

A A ==⨯=。

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【提醒】牢记公式：1

1

,A

A

-=

n kA k A =，AB A B =，以及由*AA A E =推出的1

*n A A

-=。其中n 为A 的阶数。

【点评】本题涉及内容是矩阵行列式的运算性质，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。 【历年考题链接】 （2008,4）4．设A 为n 阶方阵，n ≥2，则A 5-=（ ） A ．（-5）n A

B ．-5A

C ．5A

D ．5n A

答案：A 。

4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关

B.α1，α2，α3，α4线性相关

C.α1可由α2，α3，α4线性表示

D.α1不可由α2，α3，α4线性表示 【答案】B

【解析】本题考查了向量组线性相关性。由结论可知，向量组中向量的个数大于维数，则此向量组线性相关。本题中，向量个数4，维数3，故线性相关。

【提醒】请记住判断向量组线性相关与否的结论。如：向量组的个数如果和维数相同的话，可以通过计算以这些向量为行（列）组成的行列式的值，如果值为零，则原向量组线性相关，否组线性无关。

【点评】本题涉及内容是每年必考的，常出现在选择和计算题中。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。 【历年考题链接】 （2008,7）5.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ ） A. 4321,,,αααα线性无关 B. 4321,,,αααα线性相关 C. 1α可由432,,ααα线性表示 D. 43,αα线性无关

答案：B 。

5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】C

【解析】本题考查了齐次线性方程组Ax=0的基础解系的性质：基础解系中解向量的个数为未知数的个数减去A的秩。本题中，未知数的个数为6，基础解系中解向量的个数为2。由结论可知，A的秩为4。

【提醒】另外要牢记基础解系的含义：首先，基础解系中每个向量都是解向量，它们是线性无关的；其次，方程组的所有解可以由它们线性表出。

【点评】本题涉及内容是大纲要求的重点内容，每年必考的，常出现在选择和计算题中。热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】

（2010,1）6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：D。

6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( )

A.A与B相似

B.| A |=| B |

C.A与B等价

D.A与B合同

【答案】C

【解析】本题考查了矩阵相似、等价与合同等概念的区别。因为r(A)=r(B)，故A、B通过初等变换可以互相转化，从而A与B是等价的。

【提醒】（1）若A,B为同型矩阵，A通过初等变换可以转化为B，则称A与B等价。

（2）若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值。

（3）若存在可逆矩阵P，使得P，AP=B，则称A与B合同。若A与B合同，则它们也是等价的。

【点评】这些概念与相关性质几乎是每年必考的，常出现在选择和填空题中。热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】

（2008,7）7.若A与B相似，则（）

A.A，B都和同一对角矩阵相似

B.A，B有相同的特征向量

C.A-λE=B-λE

D.|A|=|B|

答案：D。

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