平面直角坐标系知识梳理及经典题型(学生版)

平面直角坐标系知识结构图：一、知识要点：（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。

记作（a ，b）（二）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；a,）一一对应；其1、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；2、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限（三）四个象限的点的坐标具有如下特征：1、点P （y x ,）所在的象限 横、纵坐标x 、y 的取值的正负性；2、点P（y x ,）所在的数轴 横、纵坐标x 、y 中必有一数为零；（四）在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则 1、点P 到x 轴的距离为b ； 2、点P 到y 轴的距离为a ；3、点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a +（五）平行直线上的点的坐标特征：1、在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；2、在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；（六）对称点的坐标特征：1、点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；XX2、点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3、点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称（七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：1、若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 2、若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上（八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

二、题型分析：XXP X-X题型一： 代数式与点坐标象限判定此类问题通常与不等式（组）联系在一起，或由点所在的象限确定字母的取值范围，或由字母的取值范围确定点所在的象限．【例1】在平面直角坐标系中，点()32-，在（ ） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限【例2】若点P （12m m -，）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P 一定在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例3】若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b-a ，a-b ）在 （ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例4】如果a －b ＜0,且ab ＜0,那么点(a ，b)在 ( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限,D 、第四象限【例5】对任意实数x ，点P （x ，x 2－2x ）一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【例7】点P （x ，y ）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P 点的坐标是 。

【例8】若点M (1 – x ，x + 2 ) 在第二象限内，则x 的取值范围为 ；习题演练：1、在平面直角坐标系中，点P （4,22-+m ）一定在 象限。

2、点P （x －1，x ＋1）不可能在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 3、如果点M （a ＋b ，ab ）在第二象限，那么点N （a ，b ）在第________象限。

4、点Q (3 – a ，5 – a )在第二象限，则a 2- 4a + 4 + a 2- 10a + 25 = 5、点M （a ，a -1）不可能在 （ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 6、如果xy＜0，那么点P （x ，y ）在 （ ） A 、 第二象限 B 、第四象限 C 、第四象限或第二象限 D 、第一象限或第三象限题型二：用代数式求坐标轴上的点坐标例1：在平面直角坐标系中，已知点P （2,5-+m m ）在x 轴上，则P 点坐标为 例2：已知:A(1,2),B(x,y),AB ∥x 轴,且B 到y 轴距离为2,则点B 的坐标是 .习题演练：1、已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为 。

2、已知线段AB=3，AB ∥x 轴，若点A 的坐标为（1-，2），则B 点的坐标为 ；3、已知点P （x 2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= .题型三：求对称点的坐标解答此类问题所需知识点是：点（a,b ）关于x 轴的对称点是(a,-b)，关于y 轴的对称点是(-a,b)，关于原点的对称点是（-a,-b ）．【例1】在如图1所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN 所在的直线为y 轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A 点与B 点关于原点对称，则这时C 点的坐标可能是（ ） Ａ．(13)， Ｂ．(21)-，Ｃ．(21)，Ｄ．(31)，【解析】根据题意，A 点与B 点关于原点对称，MN 所在直线为y 轴，于是可确定原点为图中O 点位置，即x 轴为过O 点的一条横线，于是C 点的坐标为（2，-1），即选B ． 【点评】本题逆向考查了两点关于原点对称问题，求C 点坐标的关键是确定直角坐标系的原点所在．例1：点M （2，－3）关于x 轴的对称点N 的坐标为 ； 关于y 轴的对称点P的坐标为 ；关于原点的对称点Q 的坐标为 。

答案：（2，3） ； （-2，-3） ； （3，-2）例2 已知点A （a ，－5），B （8，b ）根据下列要求，确定a ，b 的值．（1）A ，B 两点关于y 轴对称；（2）A ，B 两点关于原点对称；（3）AB ∥x 轴； （4）A ，B 两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．【分析】（1）两点关于y 轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同； （2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数； （3）两点连线平行于x 轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；（4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同． 【解答】（1）当点A （a ，－5），B （8，b ）关于y 轴对称时有：85A BA B x x a y y b =-=-⎧⎧∴⎨⎨==-⎩⎩ （2）当点A （a ，－5），B （8，b ）关于原点对称时有85A BA B x x a y y b =-=-⎧⎧∴⎨⎨=-=⎩⎩图1（3）当AB ∥x 轴时，有85A B A B x x a y y b ≠≠⎧⎧∴⎨⎨==-⎩⎩ （4）当A ，B 两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：x A =y B 且x A =y B 即a=－5，b=8．【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．习题演练：1、点P(1-，2)关于x 轴的对称点的坐标是 ，关于y 轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点的坐标是 ；2、在平面直角坐标系下，下列各组中关于原点对称又关于y 轴对称的点是（ ）A 、（3，－2）（－3，－2）B 、（0，3）（0，－3）C 、（3，0）（－3，0）D 、（3，－2）（－3，2）题型四：根据坐标对称求代数式的值例1：已知点P (23,3)a -和点A )23,1(+-b 关于x 轴对称，那么b a += ； 答案：23- 习题演练：1、已知点A （2a+3b ，－2）和点B （8，3a+2b ）关于x 轴对称，那么a+b=（ ） A 、2 B 、－2 C 、0 D 、4 答案：A2、已知：点P 的坐标是(m ,1-)，且点P 关于x 轴对称的点的坐标是(3-,n 2)，则_________,==n m ；答案：-3 ；12题型五：根据到坐标轴的距离求坐标例1：过点A （2，-3）且垂直于y 轴的直线交y 轴于点B ，则点B 坐标为 （ ）．A 、（0，2）B 、（2，0）C 、（0，-3）D 、（-3，0） 答案：C例2：已知点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，则M 点的坐标为（ ）．A 、（3，2）B 、（-3，-2）C 、（3，-2）D 、（2，3），（2，-3），（-2，3），（-2，-3） 答案：D例3：若点P （a ，b ）到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则这样的点P 有 （ ）Ａ、１个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、４个 答案：D习题演练：1、点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是（）A、（4，2）B、（－2，－4）C、（－4，－2）D、（2，4）答案：B2、点E（a,b）到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有（）A、a=3, b=4B、a=±3,b=±4C、a=4, b=3D、a=±4,b=±3答案：D3、已知点P的坐标为（2 – a，3a + 6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P坐标是 ( )A、（3，3)B、(3，—3)C、(6，一6)D、(3，3)或(6，一6)答案：D题型六：根据图形的其他顶点坐标求点坐标例1：在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（0，-5），（-2，-2），•以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_______象限．答案：一习题演练：1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（–1,–1）、（–1，2）、（3,–1），则第四个顶点的坐标为（）A、（2，2）B、（3，2）C、（3，3）D、（2，3）答案：B题型七：根据点的坐标求图形的面积例1：已知点A（-2，0）B（4，0）C（-2，-3）。

（1）求A、B两点之间的距离。

（2）求点C 到X轴的距离。

（3）求△ABC的面积。

答案：（1）6 ；（2）3 ；（3）9习题演练：1、在坐标系中，已知A（2，0），B（－3，－4），C（0，0），则△ABC的面积为（）A、4B、6C、8D、3答案：A技巧：割补法求面积题型八：求平移后的坐标例1：已知三角形的三个顶点坐标分别是（－1，4）、（1，1）、（－4，－1），现将这三个点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A 、（－2，2），（3，4），（1，7）B 、（－2，2），（4，3），（1，7）C 、（2，2），（3，4），（1，7）D 、（2，－2），（3，3），（1，7） 答案：A例2：线段CD 是由线段AB 平移得到的.点A （–1，4）的对应点为C （4，7），则点B （– 4，– 1）的对应点D 的坐标为（ ）A 、（2，9）B 、（5，3）C 、（1，2）D 、（– 9，– 4） 答案：C习题演练：1、已知点()32M -，，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点，则点的坐标是 ．答案：（-1,1）题型九：图形变换后点的坐标【例4】将点(22)P -，沿x 轴的正方向平移4个单位得到点P '的坐标是（ ） Ａ．(26)-，Ｂ．(62)-，Ｃ．(22)，Ｄ．(22)-，【解析】将点P 沿x 轴的正方向平移时，横坐标发生变化，然纵坐标是不变化的，于是点P '的坐标为（2，2），即选C ．【点评】处理类似问题不妨新建一个直角坐标系草图分析一下，沿x 轴正方向平移时，纵坐标的不变性就很直观了．【例5】如图2，将AOB △绕点O 逆时针旋转90， 得到A OB ''△．若点A 的坐标为()a b ，， 则点A '的坐标为．【解析】从图形上可以看出，逆时针旋转90后，得到的A OB ''△所在位置也很特殊，即B`恰好落在y 轴上，于是点A '的纵坐标为a,横坐标应该为-b;故点A '的坐标为（-b,a ）．【点评】本题分析出得到的A OB ''△所在位置很特殊还算容易，但在处理坐标时更容易粗心致错，即认为点A '的横坐标应该为b ，忽视逆时针旋转后点A`所在象限变化到第二象限了．图2yA 'B 'OB ()A a b ，x例1：如图4所示，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=_______．答案：2006图1 图2例2：已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图8所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A的坐标是（）A．（－2，1）B．（2，1）C．（2，－1）D．（－2，－1）答案：B题型十：寻点构造等腰三角形例1：在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知A点的坐标为（1，1），请你在坐标轴上找出点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个答案：C题型十一、平面直角坐标系下的作图问题【例8】如图6，网络中每个小正方形的边长为1，点C的坐标为(01)，．ＡＢＣ图6（1）画出直角坐标系（要求标出x轴，y轴和原点）并写出点A的坐标；△为基本图形，利用轴对称或旋转或平移设计一个图案，说明你的创意．（2）以ABC，，可以确定出直角坐标系数的原点及【解析】（1）由题意，分析给出的点C的坐标为(01)坐标轴所在（如下图），于是点A的坐标可确定为（-4，3）；（2）此题较开放，如下图，图案设计的创意为：“比冀双飞”．【点评】本题是一道新课标下的开放性试题，可以充分发挥考生的主观能动性，培养发散思维，值得同学们在今后学习时重视．。