微分几何教学大纲-复旦大学数学科学学院
复旦大学数学学院
复旦大学数学学院
学生选课指南
选课是大学和中学最大的不同之一，学生在大学学习阶段需要在一定的范围内自己决定学什么课程，这对习惯中小学按学校安排课程学习的学生来说经常会面临选择困境。从2015年开始，数学学院对教学方案作了较大的调整，主要是增加了学生选课的自由度和灵活度，这自然增加了学生选课的难度，因此学院组织撰写选课指南帮助学生选课，请每个学生在选课之前仔细阅读。
大学数学课程的内容和难度都是中学数学不能比拟的，而且这个内容和难度随着年级的增加以很大的加速度增加，所以除了上课时间外，学生平均需要付出两三倍于上课的时间进一步学习巩固，留有足够多的思考时间对学好数学是非常重要的，不投入相当的时间精力是不可能学好任何一门数学课程的，肤浅地学一门数学是没有什么意义的。所以我们建议学生一个学期选的数学专业的课程应该在每周15个课时左右（注意是课时，不是学分，课时通常是大于等于学分的），不可超过18个课时。
A．数学学院毕业学分要求：共144学分
1. 通识课程：41学分。
2. 大类必修课：18 学分
数学分析I，数学分析I，大学物理B（上), 大学物理B (下)。
3. 专业必修课: 24学分
数学分析III，高等代数（上), 高等代数(下），解析几何，抽象代数I，拓扑I(内容包括欧氏空间拓扑). 高等数学A(上下)再加数学分析原理可以代替数学分析I,II,III.
毕业论文: 4 学分, 按A,B,C,D方式给成绩, 申请A类成绩的学生需教师推荐, 递交论文并答辩.
4. 限定必修课：27学分
从下面12门课程中选9门(27个学分), 超过9门可以算成专业选修课: 常微分方程，泛函分析, 概率论, 拓扑II, 微分几何，基础力学, 数理方程, 抽象代数II, 复变函数, 实变函数, 数学建模，微分方程数值解.
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数
无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.
第一节 常数项级数的概念和性质
教学目的：
1、理解无穷级数的概念；
2、理解级数的收敛或发散的概念；
3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；
4、了解无穷级数的基本性质。 教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：
一、常数项级数的概念
定义1 给定数列{}n u ，则称
12n u u u ++++L L
为常数项无穷级数，简称级数，记做
1
n n u ¥
=å
，即
121
n n n u u u u ¥
==++++å
L L
式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数
1
n n u ¥
=å
的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即
12n n s u u u =+++L
级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数
1
n n u ¥
=å
的部分和数列。
定义2 若级数
1
n n u ¥
=å
的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1
n n u ¥=å收敛，或称1
n
n u ¥
数学系本科生课程设置与简介
数学系本科生课程设置与简介
01101011 数学分析(1) mathematical analysis
课程性质：专业基础课课内学时：112 学分：7
简介：“数学分析”是数学专业最重要的一门专业课。第一学期主要内容是分析基础。第一章函数、第二章极限、第三章连续函数、第四章实数的连续性、第五章导数与微分、第六章微分基本定理及其应用、第七章不定积分、第八章定积分。
先修课要求：无
教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社
适用专业：数学与应用数学开课学期：秋
01101021 数学分析(2) mathematical analysis
课程性质：专业基础课课内学时：144 学分：8
简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数微分学。级数是数学分析的重要组成部分，它分为数值级数和函数级数。数值级数是函数级数的特殊情况，也是函数级数的基础；函数级数是表示非初等函数的一个重要的数学工具，它在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的应用。多元函数微分学是一元函数微分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。并且对某些概念和定理作了进一步的发展。
先修课要求：数学分析(1)
教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社
适用专业：数学与应用数学开课学期：春
01101031 数学分析(3) mathematical analysis
课程性质：专业基础课课内学时：40 学分：2
简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数积分学。多元函数积分学是一元函数积分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。并且对某些概念和定理作了进一步的发展。
《数学分析(三)》教学大纲
《数学分析》（三）教学大纲
一、课程名称：
《数学分析》（三）
二、课程性质：
数学及应用数学专业、信息与计算科学专业的必修基础课与主干课。
三、课程教学目的：
使学生在一元微积分学的基础上，掌握多元微积分学的知识，提高对空间问题，复杂问题的处理能力，并为进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程打下坚实的基础。同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练，学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。
四、课程教学原则与教学方法：
课堂教学应具有：讲授、讨论、研究对多种形式，着重于启发学生的主动性，使研究学习中的各种问题成为一种乐趣，使学生掌握其基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、运算能力、分析问题解决问题的能力和创新能力。
五、课程总学时：
112学时
六、课程教学内容及学时分配：
第十三章多元函数的极限与连续（14学时）
要求学生掌握平面点集和多元函数的有关概念；弄清二重极限与累次极限之间的区别和联系，深刻理解二元函数连续性；熟悉有界闭域上连续函数性质。
1 平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等）。平面点集的基本定理——区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
2 二元函数概念。二重极限。累次极限。
3 二元函数的连续性。复合函数的连续性定理。有界闭域上连续函数的性质
n维空间与n元函数（距离、三角不等式、极限、连续等）*
第十四章多元函数的微分学（22学时）
要求学生理解并掌握偏导数、全微分、方向导数和梯度等概念，能熟练地计算多元函数偏导数和全微分；弄清多元函数的偏导数存在、可微、连续三者之间的关系。记住混合偏导数与求导顺序无关的条件；会求二元函数极值。
复旦数学类专业和计算机科学与技术
复旦数学类专业和计算机科学与技术
复旦大学是中国著名的综合性高校，拥有众多优秀的学科专业。其中，数学类专业和计算机科学与技术专业备受学生青睐。本文将介绍复旦大学数学类专业和计算机科学与技术专业的特点和优势。
复旦大学数学类专业拥有悠久的历史和丰富的教学资源。该专业的教学团队由一批优秀的教授和研究人员组成，他们在数学领域取得了杰出的学术成就。数学类专业注重培养学生的数学思维能力和创新精神，旨在培养具有扎实数学基础和创新能力的高级人才。学生在学习过程中，将接触到高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础课程，同时还有数学分析、抽象代数、微分几何、偏微分方程等专业课程。在学习过程中，学生将掌握数学的基本理论和方法，培养数学建模和解决实际问题的能力。
数学类专业毕业生具有广泛的就业领域和良好的职业前景。数学类专业毕业生可以在科研院所、高校、金融机构、信息技术公司等各个领域就业。他们在金融、保险、数据分析、计算机科学等领域中发挥着重要的作用。数学类专业毕业生的就业前景广阔，薪资待遇也相对较高。
计算机科学与技术专业是复旦大学的重点专业之一。该专业致力于培养具有扎实的计算机理论基础和较强的实践能力的人才。学生在学习过程中，将接触到计算机系统、数据结构、算法设计与分析、
操作系统、数据库原理、人工智能、网络与信息安全等课程。通过这些课程的学习，学生将掌握计算机科学与技术的基本理论和技能。
计算机科学与技术专业毕业生具有广泛的就业领域和良好的职业前景。随着信息技术的快速发展，计算机科学与技术专业毕业生在互联网、软件开发、人工智能、大数据分析等领域中需求量较大。他们可以在互联网公司、科技公司、金融机构、电子商务企业等各个领域就业。计算机科学与技术专业毕业生的就业前景广阔，薪资待遇也相对较高。
数学专业课程详情
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（1.3） SL2(Ｚ)一模形式，Eisenstein级数丁一函数（1.4）模形式空间的维数
（1.5）模形式在"∞"的Fourier展式（1.6） Theta 函数（二）章：Hecke 理论
（2.1）点格上的Hecke 对应（2.2）模形式空间上的Hecke算子（2.3） Peterson 内积与Hecke算子的自反性（2.4） Hecke算子的特征形式（2.5）模形式的L-级数（2.6） Hecke算子的迹公式教学方式：讲授教材或教学参考书：
(1) N. Koblitz: Introduction to elliptic curves and modular forms (2) J.P.Serre,数论基础，冯克勤译 (3) ng. Elliptic Function. 学生成绩评定方法：考试
课程编号：00132610 课程名称：密码学
课程类型：研究生和本科生选修课学时学分：54学时，3学分先修要求：高等代数(I)、(II) 基本目的：
1．使学生了解传统的密码体制：分组密码和序列密码。 2．使学生了解几种公钥密码体制。
3．使学生了解数字签名，识别和认证的基本方法。内容提要：
1．一些古典密码：移位密码，单表代替密码，多代表替密码，转轮密码。 2．信息论：完全保密，熵，唯一解距离，互信息。
复旦大学数学类基础课程
复旦大学数学类基础课程
复旦大学数学类基础课程
《数学分析II》教学大纲
数学分析（I ）学分数5 周学时4+2
总学时96
（讲课64，习题课32）
数学分析（II ）学分数5 周学时4+2
总学时96
（讲课64，习题32）
数学分析（III ）学分数4 周学时3+2
总学时80
（讲课48，习题32）
课程性质与基本要求
课程性质：数学分析是数学系最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学系本科一、二年级学生的必修课。
本课程总学时为272学时，其中讲课为176学时，习题课为96学时，共分三学期完成，分别为数学分析（I ），数学分析（II ），数学分析（III ）。
基本要求：通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
教学方式与指导思想
教学方式：以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。
指导思想：微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的
联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。
数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。
教学内容，教学要求与学时分配
学时（含习题课）数学分析（II ）
《数值分析》教学大纲
《数值代数》教学大纲
(学时50+计算实习学时16) 一、课程简述
数值代数课程在本科生阶段“数学分析”和“高等代数”的基础上，进一步深入学习和理解与实际应用密切相关的矩阵的理论知识与数值算法。
“数值线性代数”是信息与计算科学、数学与应用数学专业的必修课程，讲述矩阵计算的基础知识，求解线性方程组的直接方法和古典迭代法，最小二乘问题的数值解法，矩阵特征值问题的数值算法，同时做到理论与实践相结合，设计上机实验题目，依托学院的机房开展上机实验，培养学生的实际动手能力，能够利用C++语言或MATLAB语言编写程序。
二、本科相关课程
数学分析、高等代数
三、课程内容、基本要求与学时分配
该课程的上课时间分为两部分：课堂教学及上机实验，在课堂教学方面，要求学习并掌握以下内容：
1．范数、稳定性及敏度分析 6学时
主要包括矩阵与向量的范数、矩阵三种分解（Jordan分解、Schur分解、奇异值分解）和对称阵的特征分解、两种正交变化（Householder变换、Givens变换）、浮点运算、问题的条件及算法的稳定性。
2．求解线性方程组的直接法 8学时
介绍三角形方程组的数值解法、（带选主元策略）Gauss消去法、特殊矩阵的三角分解、Gauss消去法的误差分析及迭代改进.
3．求解线性方程组的古典迭代法 8学时
介绍迭代法的基础知识、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、SOR迭代法及其收敛性定理以及各种迭代法的加速.
4．Krylov子空间迭代法 6学时
最速下降法、共轭梯度法、GMRES及其收敛性
5．特征值问题的计算 12学时
6、数学学院硕士研究生课程内容简介
学科基础课
-------------------- 泛函分析 --------------------
课程编号：121020202001
课程类别：学科基础课
课程名称：泛函分析
英文译名：Functional Analysis
学 时：60 学时
学 分：3 学分
开课学期：1
课程类别：学科基础课
课程名称：非线性泛函分析
英文译名：Nonlinear Functional Analysis
学 时：60 学时
学 分：3 学分
开课学期：2
开课形式：课堂讲授
考核形式：闭卷考试
适用学科：应用数学、基础数学、运筹学与控制论
授课单位及教师梯队：数学与统计学院，应用数学系教师。
内容简介：
1．汪嘉冈：《现代概率论基础》，复旦大学出版社。 2．Ash R.B., Real Analysis and Probability, Academic Press, Inc. 1972. 3．严士健、王隽骧、刘秀芳：《概率论基础》，科学出版社，1999 年版。
-------------------- 高等随机过程 --------------------
与管状邻域定理、映射的光滑化与同伦的光滑化、正则值与横截性、向量场与流、Morse 函数等。
主要教材：
苏步青——精选推荐
苏步青
苏步青
⾕超豪胡和⽣
(上海复旦⼤学)
苏步青1902年9⽉23⽇⽣于浙江平阳．微分⼏何．
苏步青⽣于浙江省平阳县带溪村．⽗亲苏宗善，靠种地为⽣．苏步青童年时经常帮助家⾥做些辅助劳动，割草、喂猪、放⽜等活⼉都⼲过．由于家境贫寒，不能像富裕⼈家⼦弟⼀样上学读书，他只能⾃⼰找书看，《⽔浒》、《聊斋》、《左传》等名著都读过．每当放⽜回家路过村上私塾，他总要凑上去偷听⼀阵．⽗亲深知没⽂化之苦，⼜眼看⼉⼦如此好学，终于决定节⾐缩⾷送他上学．9岁那年，⽗亲挑上⼀担⽶当学费，带着从未上过学的苏步青，⾛了⼀百多⾥⼭路，把苏步青送进平阳县⽴⼩学，使他成为⾼⼩⼀年级的插班⽣．
1915年8⽉，苏步青考取温州市浙江省⽴第⼗中学．1919年7⽉中学毕业，赴⽇本留学，进东亚⽇语预备校学习．第⼆年3⽉，以第⼀名成绩考⼊东京⾼等⼯业学校电机系．1924年，⼜以第⼀名成绩考进东北帝国⼤学数学系．1927年发表第⼀篇学术论⽂，同年⼊该校研究⽣院当研究⽣．1928年同松本教授的⼥⼉松本⽶⼦结婚．1931年1⽉在东北帝国⼤学获得理学博⼠学位；3⽉学成回国，被聘为浙江⼤学数学系副教授．1933年升教授并任数学系主任．1948年任中央研究院院⼠兼学术委员会常委．1950年任浙江⼤学教务长．1952年院系调整⾄复旦⼤学任教，仍任教务长．1955年被选为中国科学院学部委员．1956年任复旦⼤学副校长．1958年创办复旦⼤学数学研究所兼任所长．1978年任复旦⼤学校长，1983年2⽉任复旦⼤学名誉校长．
苏步青于1935年参加发起成⽴中国数学会，被选为《中国数学会学报》的主编．1951年担任中国数学会理事，以后历任副理事长、名誉理事长．1980年创办《数学年刊》并任主编．
《解析几何》课程教学大纲
《解析几何》课程教学大纲
一、课程的性质、目的与任务
通过本课程的教学，使学生掌握平面曲线、空间直线、平面、柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面等的基本性质。提高用代数方法解决几何问题的能力，为今后学习其它课程打下必要的基础，并能在较高理论水平的基础上处理中学数学的有关教学内容，以及生产、生活中的有关实际问题。
本课程是大学专科小学教育专业数学类必修的一门重要的专业课课程，通过本课程的教学，使学生系统掌握空间解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时，提高运用代数方法解决几何问题的能力和空间想象能力，能在较高理论水平的基础上处理中小学教学的有关问题。
二、课程教学内容和基础要求
要求学生重点掌握空间解析几何的基本思想和基本方法；培养空间想象能力，逻辑思维能力以及运用现代各种数学方法处理几何问题的能力，运用几何结构，深入理解现行中学数学教材中的有关问题，并且具有应用几何知识解决实际问题的能力。通过本课程的学习，为学好后续专业课程打下良好的基础。
第一章矢量与坐标
教学目的：
通过本章的教学,使学生掌握矢量的概念，矢量运算的定义、规律及几何意义，利用矢量的运算作为工具研究平面与空间的几何图形
教学要求:
理解矢量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分那些是矢量,那些是数量，掌握矢量的运算（矢量加（减）法）数与矢量乘法，两矢量的数性积，矢性积，混合积，二重矢性积等的定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处，理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，掌
握在直角坐标系下，用坐标进行矢量的运算方法，会用矢量法进行有关的几何证明问题。
2018年复旦大学数学科学学院基础数学 [070101]考试科目、参考书目、复习指导
![2018年复旦大学数学科学学院基础数学 [070101]考试科目、参考书目、复习指导](https://img.taocdn.com/s3/m/9f233b8bdaef5ef7ba0d3ced.png)
2018年复旦大学数学科学学院基础数学 [070101]考试科目、参
考书目、复习经验
一、招生信息
所属学院：数学科学学院
所属门类代码、名称：理学[07]
所属一级学科代码、名称：数学[0701]
二、研究方向
01 (全日制)微分几何
02 (全日制)数学物理
03 (全日制)偏微分方程
04 (全日制)泛函分析
05 (全日制)代数学
06 (全日制)代数几何
07 (全日制)复变函数论
08 (全日制)动力系统
09 (全日制)数论
10 (全日制)拓扑学
11 (全日制)调和分析
三、考试科目
①101思想政治理论
②201英语一
③719分析
④835代数与几何
四、复习指导
一、参考书的阅读方法
（1）目录法：先通读各本参考书的目录，对于知识体系有着初步了解，了解书的内在逻辑结构，然后再去深入研读书的内容。
（2）体系法：为自己所学的知识建立起框架，否则知识内容浩繁，容易遗忘，最好能够闭上眼睛的时候，眼前出现完整的知识体系。
（3）问题法：将自己所学的知识总结成问题写出来，每章的主标题和副标题都是很好的出题素材。尽可能把所有的知识要点都能够整理成问题。
二、学习笔记的整理方法
（1）第一遍学习教材的时候，做笔记主要是归纳主要内容，最好可以整理出知识框架记到笔记本上，同时记下重要知识点，如假设条件，公式，结论，缺陷等。记笔记的过程可以强迫自己对所学内容进行整理，并用自己的语言表达出来，有效地加深印象。第一遍学习记笔记的工作量较大可能影响复习进度，但是切记第一遍学习要夯实基础，不能一味地追求速度。第一遍要以稳、细为主，而记笔记能够帮助考生有效地达到以上两个要求。并且在后期逐步脱离教材以后，笔记是一个很方便携带的知识宝典，可以方便随时查阅相关的知识点。
数学专业课程详细介绍
3楼：课程介绍：整体微分几何
4楼：课程介绍：微分几何
5楼：课程介绍：偏微分方程选讲6楼：课程介绍：组合数学
7楼：课程介绍：有限群
8楼：课程介绍：微分流形
9楼：课程介绍：微分动力系统
10楼：课程介绍：调和分析选讲11楼：课程介绍：群表示论
12楼：课程介绍：模形式
13楼：课程介绍：密码学
14楼：课程介绍：李群及其表示15楼：课程介绍：黎曼面
16楼：课程介绍：黎曼几何
17楼：课程介绍：代数拓扑学初步18楼：课程介绍：常微分方程选讲19楼：课程介绍：拓扑学
20楼：课程介绍：实变函数
21楼：课程介绍：数学物理方程22楼：课程介绍：解析几何
23楼：课程介绍：复变函数
25楼：课程介绍：常微分方程
26楼：课程介绍：初等数论
27楼：课程介绍：抽象代数
28楼：课程介绍：高等代数(II)
29楼：课程介绍：数学分析
课程编号：00132321
课程名称：高等代数(I)
课程类型：数学科学学院本科生必修课(主干基础课)
学时学分：68+34学时，5学分
先修要求：无
基本目的：
1．使学生掌握线性代数的初等部分：线性方程组与矩阵的基本理论，基本方法和基本技巧。
2．培养学生科学的思维方式，提高分析问题和解决问题的能力。
3．渗透现代数学研究结构的观点和分类的思想。
内容提要：
1．线性方程组的解法：高斯消去法，线性方程组解的情况，数域。
2．行列式：n元排列，n级矩阵的行列式的定义，行列式的性质，行列式按一行(列)展开，Cramer 法则，Laplace定理。
3．线性方程组的理论：n维向量空间Kn及其线性子空间，线性相关性，基，维数，向量组的秩，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，齐次线性方程组的解空间，非齐次线性方程组的解的结构。
数学学院硕士研究生课程内容简介
数学与统计学院硕士研究生课程内容简介
学科基础课
-------------------- 泛函分析--------------------
课程编号：121020202001 课程类别：学科基础课
课程名称：泛函分析英文译名：Functional Analysis
学时：60学时学分：3学分
开课学期：1 开课形式：课堂讲授
考核形式：闭卷考试适用学科：基础数学、应用数学、运筹与控制论、
课程与教学论
授课单位及教师梯队：数学与统计学院，基础数学系教师。
内容简介：
本课程介绍紧算子与Fredholm算子、抽象函数简介、Banach代数的基本知识、C*代数、Hilbert 空间上的正常算子、无界正常算子的谱分解、自伴扩张、无界算子序列的收敛性、算子半群、抽象空间常微分方程。
主要教材：
张恭庆、郭懋正：《泛函分析讲义》(下册)，北京大学出版社，1990年版。
参考书目（文献）：
1．定光桂：《巴拿赫空间引论》，科学出版社，1984年版。
2．M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I, Functional Analysis, 1972.
3．K. Y osida, Functional Analysis, Sixth Edition, 1980.
4．张恭庆、林源渠：《泛函分析讲义》(上册)，北京大学出版社，1987。
5．V. Barbu, Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, 1976.