分式的乘除法
分式的乘除法
分式的乘除法【教材研学】一、分式的乘除法1． 分式的乘除法法则：（1） 分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母． 用字母表示为：bdac d c b a =⨯ （2）分式的除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
用字母表示为：bc ad c d b a d c b a =⨯=÷ （3）分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方。
用公式表示为：n nn n ab a b a b a b a b ＝个43421⋯⨯⨯=)(（n 是正整数） 老师：根据分式的乘除法法则，怎样进行分式乘除法的混合运算？小明：可以按照从左到右的顺序逐步进行。
比如：2232232222222xy x x y x y x y x y x y x y =•=÷=÷• 小刚：可将除法首先统一为乘法，再进行乘法运算。
比如：22222222xy x x y x y x y x y x y =••=÷• 老师：这两种做法都对，在运算过程中，可利用乘法的交换律、结合律，结果保留最简分式或整式．2．分式乘除法中的求值题分式乘除法中，求值题一般有两种要求：（1）求值．这时可以选择直接求值，也可以选择化简后再求值，常常是将分式先化简成最简形式，然后再代入求值比较方便；（2）先化筒再求值．二、探究活动：问题：在上一节学习了分式的约分，为整式的乘除法做好了准备。
那么约分在分式的乘除法中有哪些应用呢？探究：分式的乘除法作为分式的运算，要求结果保留最简分式或整式，因而在分式乘除法运算中经常会用到约分。
分式的乘除法运算通常有两种思路：（1）直接利用法则相乘，然后再约分。
比如：abc b a abc c b a a bc 54100804525162222==⨯。
（2）在分式相乘前，能约分的先约分；依据法则相乘．比如：ab b a c b a a bc 5415445251622=⨯=⨯ 一般地，选择第（2）中方法较为简便。
分式的乘除运算
分式的乘除运算在数学中，分式是一种特殊的数学表达式，它由分子和分母组成，中间用一条水平线分隔。
分式的乘除运算是指对分式进行乘法和除法的运算。
本文将详细介绍分式的乘除运算规则以及相关的解题方法。
一、分式的乘法运算分式的乘法运算可以通过分子相乘、分母相乘的方式进行。
具体步骤如下：步骤1：将两个分式的分子和分母分别相乘。
例如，对于分式a/b和c/d的乘法运算，乘积可以表示为：(a*c)/(b*d)。
步骤2：对乘积进行约分。
如果乘积的分子和分母有公因数，可以进行约分。
约分时，需要找到分子和分母的最大公因数，并将分子和分母分别除以最大公因数。
二、分式的除法运算分式的除法运算可以通过转化为乘法来进行。
具体步骤如下：步骤1：将除法转化为乘法。
将除法运算转化为乘法运算的方式是，将被除数乘以除数的倒数。
即，a/b ÷ c/d 可以转化为 a/b * d/c。
步骤2：按照乘法运算的规则进行计算。
按照分式的乘法运算规则，将分子和分母相乘，并进行约分。
三、分式乘除运算的综合应用在实际的问题中，分式乘除运算常常与整数运算相结合，需要注意分式与整数的运算顺序。
一般来说，先进行分式的乘除运算，然后再进行加减运算。
例如，计算表达式：2/3 * 4/5 ÷ 1/2。
按照分式乘除运算的规则，先进行乘法运算，然后进行除法运算。
2/3 * 4/5 = 8/15。
8/15 ÷ 1/2 = 8/15 * 2/1 = 16/15。
四、乘除运算的注意事项在进行分式的乘除运算时，需要注意以下几点：1. 约分：在进行乘除运算时，尽量进行约分，使结果更简洁。
2. 分母为零：分式的分母不能为零。
在进行计算时，要避免分母为零的情况。
3. 正确运算顺序：在实际问题中，要根据运算的先后顺序，合理安排乘除运算与加减运算的顺序。
综上所述，分式的乘除运算是数学中的重要概念之一。
通过对分式乘法和除法运算规则的了解，我们可以灵活运用在实际问题的解答中。
分式的乘除法拓展资源
《分式的乘除法》拓展资源一、解读分式的乘除法分式的乘除法，是分式之间的第一种运算。
这类运算具体来说包含三个内容：分式的乘法、分式的除法和分式的混合运算。
在学习时，要注意不同运算的不同特点，掌握运算的基本步骤。
1、分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘作为积的分子，把分母相乘作为积的分母。
公式：。
解题的基本步骤：(1)先确定积的符号：数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负；（2）计算分子与分子的积；（3）计算分母与分母的积；（4）把积中的分子，分母进行约分，化成最简分式或整式。
在解题时，这些步骤是连贯的。
典例导学：例1、计算分析：所有参与运算的式子中，只有一个负号，因此，积的符号是负号。
解：=-=-= -2、分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
公式：。
在完成这个运算时，要注意两个变化：一是运算符号的变化，由原来的除法运算变成乘法运算；二是除式的分子、分母位置的变化，由原来的分子变成乘法中的分母，原来的分母变成乘法中的分子。
同学们也可以这样来理解这条法则：两个分式相除，用被除式的分子乘以除式的分母，作为商的分子，用被除式的分母乘以除式的分子，作为商的分母。
这样，就和分式的乘法法则在表述形式上相近了，就好记忆些。
同学们不妨试一试，这两种方式哪一种更好记，好用些。
解题的基本步骤：(1)先确定积的符号：数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负；（2）计算被除式的分子与除式的分母的积，作为商的分子；（3）计算被除式的分母与除式的分子的积，，作为商的分母；（4）把商中的分子，分母进行约分，化成最简分式或整式。
此法，有点十字相乘的思想。
就像比例的计算，内项之积为分子，外项之积为分母。
典例导学：例1、计算分析：所有参与运算的式子中，没有一个负号，因此，积的符号是正号。
解：==3、分式的混合运算。
分式的乘除法教学课件
机械设计
在机械设计中，机器的效率和功率可以用分 式表示，通过分式的乘除法可以计算出机器 的效率和功率等参数。
分式乘除法的扩展与提高
05
分式的约分与通分
要点一
约分
将分式化简为最简形式的过程，通过约简分子和分母中的 公因式来实现。
要点二
通分
将两个或多个分式化为相同分母的过程，以便进行加法或 减法运算。
乘法法则的应用
总结词
掌握分式乘法法则的应用是解决复杂分式问题的关键。
详细描述
分式乘法法则的应用可以通过多种方式进行。例如，在解决物理、化学等实际问 题时，常常需要使用分式乘法法则来计算复杂分式的结果。此外，在数学竞赛和 数学研究中，分式乘法法则也是解决复杂数学问题的关键技巧之一。
分式除法法则
02
通分
对于分母不同的分式，可以进行通分， 将它们转化为同分母的分式，便于进 行乘除运算。
注意事项和常见错误
01
符号的处理
在进行分式的混合运算时，应注意符号的处理，特别是 加减法的转换和括号内的运算符号。
02
避免运算顺序混乱
在复杂的混合运算中，应遵循正确的运算顺序，避免因 顺序错误导致计算结果错误。
03
忽略约分的简化
在运算过程中，应注意约分的运用，避免因忽略约分导 致计算结果复杂化。
分式乘除法在日常生活中的应 用
04
物理问题中的应用
电路计算
在电路中，电流、电压和电阻之间的 关系可以用分式表示，通过分式的乘 除法可以计算出电路中的电流、电压 和功率等参数。
力学问题
在力学中，力、质量和加速度之间的 关系可以用分式表示，通过分式的乘 除法可以计算出物体的加速度、速度 和位移等参数。
分式的乘除法
x y x y y x y
x y
②
x2 z
y 3
x6 z3
y3 ；
③
x3 y2 z
2
x6 y4 ； z2
④
b2 a
2n
b4n a2n
(n为正整数)；
⑤
2b3 3a 2
3
8b9 27a6
.
2、计算：
b d b c bc a c a d ad
分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
n m
k
nk （k是正整数） mk
二、边学边导，基础过关：
计算：①
ay2 b2 x
a2x by2
ay2 a2 x b2 x by2
a3 b3
②
2b a
4a 2 4bc 2
三是运算顺序；
四是结果的符号.
五、拓展延伸，智力闯关：
3 2
(a b)2 8ab (a b)2 4ab
原式= x 2 1 y4 2
x2 x2
9 4
=
x x
2 3
(x (x
3)( x 2)( x
3) 2)
=
x x
3 2
②( xy x2 )
x y =x( y x) xy
xy x y
=
x2 y
③
m2 4m m2 4
4
《分式的乘除法》课件(共14张PPT)
b a2
ab ba2
1 a
x2 1 x 1 (3) y y2
解 x2 1 y2 y x 1
(x 1)(x 1) y y y(x 1)
xy y
(2)(a2 a) a a 1
解 (a2 a) a 1 a
(a2 a)(a 1) a
第五章 分式与分式方程
2 分式的乘除法
•温故知新：
2 4 , 35
24 35
b d ?....... b d ?
ac
ac
猜想 a d a d
b c bc
a d a c ac b c b d bd
分式的乘除法的法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为 积的分子,把分母相乘的积作为积的分 母;
⑵原式
(x 1)(x 1)
x 22
1 x 1
(x
1)(x x 1
2)
x 1 x2
2)
a2
1
2a
注意：按照法则 进行分式乘除运算，如果运算
结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果 化成最简分式。
•例２计算
(1)3xy2 6 y2 x
解 原式 3xy2 x 6y2
3xy2 6y2
x
1 x2 2
(2)
a2
a 1 4a
4
a2 a2
1 4
③原式
3
xy
2
x y
2
3xy 2y2
x
3x2 2y
•做一做
分式的乘除运算讲解
分式的乘除运算讲解1.引言1.1 概述分式是数学中重要且常见的概念，在解决实际问题中具有广泛的应用。
分式的乘除运算是我们在求解分式相关问题时必须掌握和应用的基础运算。
分式的乘法运算是指将两个分式相乘，得到一个新的分式。
而分式的除法运算则是将一个分式除以另一个分式，同样得到一个新的分式。
在实际生活中，我们经常遇到需要对分式进行乘除运算的情况，比如在购物中打折优惠、计算比例和比率等等。
为了正确进行分式的乘除运算，我们需要先了解分式的定义与性质。
分式可以看作是分子和分母之间带有分数线的数学表达式。
在分式中，分子表示分数的分子部分，而分母表示分数的分母部分。
分式的分子和分母都可以是整数、变量、或两者的组合。
在乘法运算中，我们将两个分式相乘，只需将它们的分子相乘，分母相乘，得到的积即为乘法结果的分子与分母。
而在除法运算中，我们将一个分式除以另一个分式，需要将被除数的分子与除数的分母相乘，被除数的分母与除数的分子相乘，从而得到商的分子与分母。
通过了解分式乘除运算的步骤和性质，我们可以更加灵活地对分式进行运算，解决实际问题中的各种分式运算题目。
分式的乘除运算不仅是数学中重要的基础知识，也是我们日常生活中的实际运用。
掌握了分式的乘除运算，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高数学解题的能力和运算的准确性。
综上所述，本文将详细介绍分式的乘除运算的定义、性质以及运算步骤，并总结其应用与拓展。
通过学习与掌握分式的乘除运算，我们可以在数学解题中更加得心应手，为日常生活中的计算和问题解决提供帮助。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行分析和讲解分式的乘除运算。
2. 正文2.1 分式的乘法运算2.1.1 定义与性质2.1.2 乘法运算的步骤2.2 分式的除法运算2.2.1 定义与性质2.2.2 除法运算的步骤3. 结论3.1 总结分式的乘除运算在本章节中，我们通过详细解释分式的乘法与除法运算，掌握了其定义、性质以及实际操作步骤。
化简算式分式的乘除法
化简算式分式的乘除法在数学中，分式是表示一个数除以另一个数的形式，由分子和分母组成。
对于复杂的分式算式，我们可以使用乘法和除法来进行化简，使得计算更加简便和方便。
本文将介绍化简算式分式的乘除法的方法和步骤。
1. 分式的乘法分式的乘法是指将两个分式相乘得到一个新的分式。
具体的方法如下：首先，将两个分式的分子相乘，分母相乘。
例如，要计算分式a/b和c/d的乘积，结果为ac/bd。
接下来，对所得的分子和分母进行约分。
如果分子和分母有公因数，可以进行约分，使结果更简洁。
例如，若ac和bd有公因数m，则可以约分为(ac/m)/(bd/m)。
2. 分式的除法分式的除法是指将一个分式除以另一个分式，得到一个新的分式。
具体的方法如下：首先，将除数的倒数作为你的新分式的乘数。
倒数是指将分子和分母对调。
例如，要计算分式a/b除以c/d的结果，可以转化为a/b乘以d/c。
接下来，按照分式的乘法方法，对新的分式进行计算，得到化简后的结果。
3. 示例让我们通过一些具体的示例来说明化简算式分式的乘除法的步骤。
示例1：计算 (2/3) * (4/5)。
首先，将分子2和分子4相乘，得到8；将分母3和分母5相乘，得到15。
所以，结果为8/15。
示例2：计算 (7/9) / (2/3)。
首先，将除数2/3的倒数作为新分式的乘数，得到(7/9) * (3/2)。
然后，将分子7和分子3相乘，得到21；将分母9和分母2相乘，得到18。
所以，结果为21/18。
最后，对结果进行约分。
找到分子21和分母18的公因数3，将其约分为7/6。
通过这些示例，我们可以看出化简算式分式的乘除法能够使计算过程更加简单和方便，并获得简洁的结果。
在数学中，化简算式分式的乘除法是一个非常重要且常用的概念。
掌握了正确的方法和步骤，我们就能够更快速、准确地处理有关分式的计算和问题。
总结：化简算式分式的乘除法是将两个分式相乘或除以得到一个新的分式的方法。
在进行乘法时，将分子相乘，分母相乘，然后进行约分；在进行除法时，将被除数的倒数作为新分式的乘数，然后按照乘法的步骤进行计算。
分式的乘除法教案
分式的乘除法教案教案：分式的乘除法教学目标：1. 理解分式的乘法和除法的概念。
2. 掌握分式的乘法和除法的运算方法。
3. 能够解决与分式乘除法相关的问题。
教学准备：1. 讲义或教材2. 小黑板/白板和彩色粉笔/白板笔教学过程：步骤一：复习回顾分式的概念和基本运算规则。
步骤二：引入分式的乘法1. 结合例子解释分式的乘法是什么意思。
例如：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$表示把两个分式相乘。
2. 解释如何进行分式的乘法运算。
例如：将分子与分子相乘，分母与分母相乘，再将结果化简。
步骤三：练习分式的乘法请学生做一些练习题，以巩固分式的乘法运算。
步骤四：引入分式的除法1. 结合例子解释分式的除法是什么意思。
例如：$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$表示把两个分式相除。
2. 解释如何进行分式的除法运算。
例如：将除数转化为倒数，再与被除数进行乘法运算。
步骤五：练习分式的除法请学生做一些练习题，以巩固分式的除法运算。
步骤六：综合乘除法的练习请学生做一些综合乘除法的练习题，以加强对分式乘除法的掌握。
步骤七：总结总结分式的乘法和除法的运算规则，并检查学生的理解。
课堂扩展活动：1. 给学生一些应用题，例如：购物时打了九折，原价100元，问打折后的价格是多少？2. 让学生自己设计一道分式的乘法或除法题目，与同学们进行交流。
评估方式：1. 教师观察学生的参与情况，是否能正确进行分式的乘法和除法运算。
2. 教师布置习题，检查学生的掌握程度。
专题5.2 分式的乘除法(学生版)
专题5.2 分式的乘除法1.掌握分式的乘除运算法则；2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算。
知识点01 分式的乘法与除法【知识点】 1.分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅． 2.分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：a c a d a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅． 3.分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：()(nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．【知识拓展1】分式乘法例1．（2024秋·贵州铜仁·八年级校考期中）计算88x x yx y y-⋅-的结果是（ ） A ．yxB ．x y -C ．x yD ．y x-【即学即练】1．（2022·江苏九年级专题练习）计算：2223849bc a a b c⋅=__．【知识拓展2】分式除法例2．（2022·西安益新中学八年级月考）2241a a a÷++的计算结果为（ ）A ．2aB ．2aC ．21a + D ．12a + 【即学即练】2．（2022·山东张店·九年级）化简22244242x x x xx x +++÷--的结果是（ ） A ．2x x + B ．1x C ．12x + D ．12x -【知识拓展3】分式乘除混合运算例3．（2022·成都市八年级月考）下列各分式运算结果正确的是（ ）①3254342510252a b c c c a b b ⋅=；②23233b c a bc a b a⋅=；③22111(3)131x x x x ÷-⋅=+-+；④21111x x xy x xy -+⋅÷=- A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④【即学即练】3．（2022·山东八年级课时练习）（1）()362243105206230c c ab c a b a b÷-÷ （2）()22222x xy y x y xy x xy x -+--÷⋅（3）422222222a a b a ab b a ab b b a-+÷⋅-+ （4）22262(3)443x x x x x x --÷+⋅-+-【知识拓展4】分式的乘方例4．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列计算正确的是（ ）A ．236222b b a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2223924b b a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．33328327y y x x ⎛⎫= ⎪--⎝⎭ D ．222239x x x a x a ⎛⎫= ⎪--⎝⎭ 【即学即练】4．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算3233b a --⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．699b aB ．6927b a- C ．9627a b - D ．9627a b【知识拓展5】分式乘除的实际应用例5．（2022·浙江杭州·校考二模）你听说过著名的牛顿万有力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力，如果设两个物体的质量分别为m 1，m 2，它们之间的距离是d ，那么它们之间的引力就是f ＝122gm m d （g 为常数），人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d 就是地球的半径R ．天文学家测得地球的半径约占木星半径的445，地球的质量约占木星质量的1318，则站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（ ） A ．52倍B ．25倍C ．25倍D ．4倍【即学即练】例5．（2024秋·山东泰安·八年级统考期末）公园普通景观灯a 天耗电m 千瓦．改用LED 节能景观灯后，同样m 千瓦的电量可多用5天．普通景观灯每天的耗电量是LED 节能景观灯每天耗电量的（ ）倍． A ．maB ．5ma + C ．5a a + D ．5a a+【知识拓展7】科学计数法例7．（2024·广东清远·统考一模）新型冠状病毒呈球形或椭圆形，有包膜，直径大约是100nm ，属于第七种冠状病毒，将100nm -9(1nm=10m)用科学记数法表示为（ ） A ．9110m -⨯ B ．8110m -⨯C ．7110m -⨯D ．6110m -⨯【即学即练】7．（2024·河南洛阳·统考一模）用肥皂水吹泡泡，泡沫的厚度约为0.000326毫米，0.000326用科学记数法表示为（ ） A ．3.26×10﹣4 B ．326×10﹣3C ．0.326×10﹣3D ．3.26×10﹣3【知识拓展8】遮挡问题与错题分析例8．（2022·河北初三其他）已知22439x x x -÷--，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（ ） A ．3x - B ．2x -C ．3x +D ．2x +【即学即练】8．（2022·成都市八年级期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示： 老师22211x x x x x-÷--→甲22211x x x x x --⋅-→乙22211x x x x x --⋅-→丙2(2)11x x x x x --⋅-→丁22x - 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A ．只有乙 B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁题组A 基础过关练1．（2023春·江苏·八年级专题练习）分式2249(3)2a a -⋅-的化简结果为（ ）A ．4(3)26a a +-B ．()22492(3)a a -- C ．263a a +- D ．22．（2022·山西太原·八年级校考期末）计算2125a -÷15a -的结果为（ ）A ．15a- B ．5﹣a C ．15a+ D ．5+a3．（2024·河南洛阳·统考一模）用肥皂水吹泡泡，泡沫的厚度约为0.000326毫米，0.000326用科学记数法表示为（ ） A ．3.26×10﹣4B ．326×10﹣3C ．0.326×10﹣3D ．3.26×10﹣34．（2022·河北保定·统考三模）下列式子运算结果为1x +的是（ ） A ．211x x x x -⋅+ B ．11x-C ．2211x x x +++D ．11x xx x +÷- 5．（2023秋·湖南岳阳·八年级校联考期末）计算21b a a a ⎛⎫÷⋅ ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ．21bB ．24b aC ．2aD ．2b6．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简211m m m m--÷的结果是( ) A ．mB ．1mC ．1m -D ．11m - 7．（2023秋·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）计算：32b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．8．（2023·全国·九年级专题练习）计算322334x y y x ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭______． 9．（2024春·辽宁锦州·八年级统考期中）计算：21211x x x +÷--＝________． 10．（2022·山东东营·八年级校考阶段练习）计算：22361025a a a -++÷6210a a -+·256a a a++=_______. 11．（2022·江苏九年级专题练习）计算：2223849bc a a b c⋅=__．12．（2023·全国·九年级专题练习）计算：2231x y y x xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．（2023·全国·九年级专题练习）计算：23423b a a a b b ⎛⎫⎛⎫-⋅÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．14．（2024秋·云南昆明·八年级校考阶段练习）计算：(1)1201(3)(3.14)2π-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭(2)()323222a b a b ---÷(3)2333224263ab b b c d a c ⎛⎫⎛⎫-⋅÷ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(4)22819369269a a a a a a a --+÷⋅++++题组B 能力提升练1．（2023春·八年级课时练习）22a b a b a ba b a b a b +++⎛⎫⎛⎫÷⨯⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭的结果是（ ） A ．a b a b-+B ．a b a b+-C ．2a b a b +⎛⎫ ⎪-⎝⎭D ．12．（2022·河北路南·）若x 为正整数，则计算211x xx x -⋅+的结果是（ ）A ．正整数B ．负整数C ．非负整数D ．非正整数3．（2024秋·湖南郴州·八年级校考阶段练习）计算222255a a ab b b⎛⎫-⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果为（ ）A ．31254ba B ．54abC ．31254ba D ．54ab-4．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算22819369269a a a a a a a --+÷⋅++++的结果为（ ）A ．12B ．1C ．1-D ．2-5．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算323a b a b b a⎛⎫÷-⋅ ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．3a -B ．323a bC ．323a b -D ．43ab -6．（2024春·四川内江·八年级校考阶段练习）计算：()()2322221a b a b --÷--=___________．（结果中只含有正整数指数幂）7．（2024·江苏苏州·校考二模）“沉睡数千年，一醒惊天下”．三星堆遗址在5号坑提取出仅1.4 cm 的牙雕制品，最细微处间隔不足50 μm （1μm ＝10－6 m ），用科学记数法表示50 μm 是_____m ． 8．（2022·全国八年级课时练习）计算：（1）222331015a b ab ab a b -⋅-；（2）()224242444416m m m m m m +-⋅-⋅-+-；（3）()23422312a b a b a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．9．（2024秋·全国·八年级期末）化简并求值：322221111x x x x x x x -++⎛⎫⋅÷ ⎪--⎝⎭，其中3x =．10．（2024秋·全国·八年级期末）计算：2222222223256x xy y x y x yx xy y x xy y x y -+-+÷⋅++---11．（2024秋·重庆涪陵·八年级统考阶段练习）涪陵是举世闻名的“榨菜之乡”，今年榨菜更是喜获丰收．为了选育更好的榨菜品种，农民伯伯们开始自己建试验田，王大伯家试验田是边长为a 米()1a >的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，李大爷家试验田是边长为()1a -米的正方形，两块试验田的榨菜最后都分别收获了1000kg ．(1)哪家的榨菜品种单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？12．（2024秋·山东泰安·八年级校联考期中）“果园飘香”水果超市运来凤梨和西瓜这两种水果，已知凤梨重2(2)m kg -，西瓜重()24m kg -，其中m>2，售完后，两种水果都卖了540元．(1)请用含m 的代数式分别表示这两种水果的单价． (2)凤梨的单价是西瓜单价的多少倍？题组C 培优拔尖练1．（2022·河南南阳·八年级统考期末）已知23ab a b =+，65bc b c =+，34ac a c =+，则111a b c ++的值等于（ ） A ．116B ．113C ．115D ．6112．（2022·河南新野·八年级期中）若△÷2111a a a -=-，则“△”可能是（ ） A ．1a a - B ．11a - C ．1a a + D ．1a a+3．（2024年广东八年级数学应用知识展示试题）今年以来，猪肉价格波动较大，王阿姨和李阿姨在生活上精打细算，为了减少开支，王阿姨和李阿姨制定了不同的购肉策略，王阿姨每次买一样重量的肉，李阿姨每次买一样钱数的肉，某个周六、周日两位阿姨同时在同一个摊位上买肉，但这两天这个摊位的肉价不一样，则从这两次买肉的均价来看（ ）． A ．王阿姨更合适B ．李阿姨更合适C ．谁更合适与猪肉的变动价格有关D ．谁更合适与买猪肉的量有关4．（2024秋·湖南长沙·八年级统考期末）计算21224x x y y y x -⎛⎫⎛⎫-÷⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______ ．5．（2024秋·八年级课时练习）小明同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简211m m ÷-⊗”，其中“⊗”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是1mm -，则“⊗”处的式子为____________． 6．（2024春·四川内江·八年级校考阶段练习）已知三个数x ，y ，z 满足13xy x y =+，14yz y z =+，15zx z x =+，则xyzxy yz zx++的值为_____．7．（2023春·八年级课时练习）（1）根据图形（1）的面积写出一个公式：___________图二是两块试验田，“丰收1号”小麦的试验田是边长a 米、b 米两个正方形，“丰收2号”小麦的试验田是边长为a 米、2b 米的长方形，（ab ）两块试验田的小麦都收获了500kg ．（2）哪种小麦的单位面积产量高？（请说明理由） （3）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？8．（2024春·江苏徐州·八年级统考阶段练习）在解决数学问题时，我们常常借助“转化”的思想化繁为简，化难为易．如在某些分式问题中，根据分式的结构特征，通过取倒数的方法可将复杂问题转化为简单问题，使问题迎刃而解． 例：已知2113a a =+，求221a a +的值．解：∵2113a a =+，∵213a a +=．∵213a a a+=，∵13a a +=，……(1)请继续完成上面的问题；(2)请仿照上述思想方法解决问题：已知2421x x x =-+，求2421x x x -+的值．9．（2024秋·八年级课时练习）【探究思考】 （1）探究一：观察分式1x x-的变形过程和结果，1111x x x x x x --=+=-． 填空：若x 为小于10的正整数，则当x =_______时，分式1x x-的值最大． （2）探究二：观察分式2221a a a +--的变形过程和结果，()()()2221431411221114311111a a a a a a a a a a a a a -+--+-++-===-++=++-----．模仿以上分式的变形过程和结果求出分式2211x x x +--的变形结果．【问题解决】（3）当21x -<≤时，求分式2212x x x ---的最小值．10．（2024秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我们定义：如果一个代数式有最大值，就称之为“青一式”，对应的最大值称之为“青一值”．如：()222314x x x -++=--+是“青一式”，它的“青一值”为4．(1)以下代数式是“青一式”的有___________（请填序号）①25x + ②245x x -+- ③21x x +- ④()2122x -+ (2)如果实数21m n -=请判断代数式22241m n m -++-是否为“青一式”？如果是，请求出它的“青一值”，如果不是，请说明理由．(3)①已知225x y +=，求“青一式”xy 的“青一值”，并求出此时x 和y 满足何种条件？ ②求代数式2632x x x -+-在36x ≤≤范围内的“青一值”．11/ 11。
2.2 分式的乘除法
152.2 分式的乘除法互动思维导图[基础知识与基本技能]1．分式的乘除法法则 ⑴分式乘法的法则为：分式乘以分式，把分子乘以分子，分母乘以分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母中的公因式．用符号语言表达：f g ·u v =fugv．⑵分式除法的法则为：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用符号语言表达：f g ÷u v =f g ·vu＝fv gu （u ≠0）．（1）22368y x x y ；（2）222224a a a a a +---． 分析：⑴式是两个分式相乘，分式的分子、分母都是单项式，可直接利用分式乘法法则进行计算；⑵中的两个分式相乘，分子或分母是多项式，要先对分子或分母进行因式分解，然后再运用法则计算．16解：（1）223633298424y x y x x x x y x y y y== ． （2）22222(2)242(2)(2)2a a a a a a a a a a a a a +-+-==---+-- ． 方法技巧：⑴两个分式相乘，如果分子、分母是多项式，那么要先对分子或分母因式分解．然后运用分式的乘法法则进行计算；⑵最后计算的结果要通过约去分子、分母的公因式（数）化到最简；⑶在分式的乘法运算中，既可以用法则来计算，也可以根据情况先约去公因式再相乘，后者方法有时会更简便．（1）234xy ÷92y x ； ⑵2a-1a 44a -+÷2214a a --；⑶22442x xy yx y+++÷（4x 2-y 2）．思维幻灯片：分析：⑴中的分式的分子、分母都是单项式，可以直接利用分子计算；⑵中的分子或分母有多项式，先把多项式因式分解，然后再运用法则计算；⑶中的除式是整式，把整式看作是分母为1的式子，再运用除法法则计算．解：⑴原式=234xy ·29x y =23249xy x y ∙⨯=26x y ；⑵原式=2a-1a 44a -+·2241a a --=2a-1(a 2)-·（a+2）(a-2）(a+1)(a-1) =2(2)(1)a a a +-+．⑶原式=22442x xy y x y +++·2241x y -=2(2)2x y x y ++·1（2x+y)(2x-y)=12x y-．方法技巧：⑴两个分式相乘，如果分子、分母都是单项式，可以直接利用分式除法法则进行计算，如果分子、分母有多项式，那么要先对分子或分母进行因式分解，然后运用分式的除法法则进行计算；⑵计算结果通过约去公因式化到最简或整式；⑶如果遇到分式与整式相乘除时，可以把整式看作分母为1的式子进行计算；⑷通常情况下，计算最后的结果要使分子和分母的符号都为正号．2．分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分的关键是正确找出分子与分母的公因式．其一般方法是：①当分子和分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂；②当分子和分母都是多项式时，首先要对分子、分母进行因式分解，把分子、分母变为几个因式的积后，再找分子、分母的公因式．［温馨提示］⑴约分的依据是分式的基本性质，分子、分母都除以的整式是它们的公因式．由于原分式有意义，可知分子与分母的公因式一定不为零，故利用分式的基本性质约去公因式时，不必强调公因式不为零，直接约分即可．⑵要牢记分子、分母都是乘积形式时，才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，然后再约分．43243521a b ca b d．分析：分子的数字因数是35，分母的数字因数是21，其最大公因数是7，分子、分母中的相同因式是a、b，其最低次幂分别为2、3，故最大公因式是723a b.解：43232224233575532173a b c a b a c a cbda b d a b bd⋅==⋅．方法技巧：当约分的分式的分子、分母都是单项式时，只要约去分子、分母的最大公因数和相同字母的最低次幂即可．2222a aba ab b+++．分析：此分式的分子和分母都是多项式，要先各自因式分解，然后约去公因式．解：原式=2()()a ab aa ba b+=++．方法技巧：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先因式分解，再约去公因式．特别注意分子、分母必须是乘积形式时1718才能进行约分． 4．最简分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个分析：分子分母是多项式的，先把分子、分母都分解因式，看分子、分母中是否有公因式，第1个不能再分解了，是最简分式；第2个可化为2221(1)(1)x x x -+-有公因式x 2-1；第3个不能分解，也没有公因式；第4个可化为(2)(2)a ab a a b +-没有公因式，是最简分式．故有3个最简分式． 解：C ．方法技巧：判断一个分式是否是最简分式，关键看分子、分母中有没有公因式，有些分式的分子、分母虽然都能因式分解，都是分解后仍然没有公因式，这样的分式仍然是最简分式． 5．分式的乘方分式的乘方是把分子、分母各自乘方．用符号语言表达：()nn n f f g g=．1922y x-）2；⑵（2222a ab ab b+-）3． 分析：⑴中的分式的分子、分母是单项式，可以直接运用法则计算；⑵中的分式的分子、分母是多项式，应该先各自因式分解，发现有公因式，先约分，然后再运用法则计算．解：⑴原式=2222()y x -（）=244y x ．⑵原式=（(2)(2)a a b a a b +-）3=（22a b a b+-）3=3(2)a b +3(a-2b)方法技巧：在计算乘方运算时，如果分子、分母是单项式，可以直接运用法则计算；如果是多项式，要先因式分解，通常约去公因式后再计算，也可以先进行乘方运算后再约去公因式．32222183442x x x x x ⎛⎫--⎛⎫- ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭÷ ．思维幻灯片：分析：题目是求两个乘方的商，根据运算顺序，应先算乘方，后算除法．由于第一个分式的分子、分母是多项式，所以要先分解因式后再算乘方，最后将第二个分式的乘方分子、分母颠倒后再与第一个分式乘方的结果相乘．解：原式3232(3)(3)3(2)2x x x x x ⎡⎤+--⎛⎫= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦÷=322(3)(3)(2)x x x ⎡⎤+-=⎢⎥-⎣⎦·223x x -⎛⎫ ⎪-⎝⎭322(3)(3)(2)x x x ⎡⎤+-=⎢⎥-⎣⎦·22（2-x ）(3-x)203342348(3)(3)1(2)(3)8(3)(3)(2)x x x x x x x +-=--+-=-．方法技巧：分式的运算顺序与分数的运算顺序一样，要先算乘方，后算乘除，有括号的先算括号内的．[基本方法与拓展延伸]6．分式乘除法的步骤和运算顺序⑴分式乘除法的步骤：对一个分式进行乘除法运算时，先观察分式，看一个分式的分子、分母能否进行分解因式，若能分解因式的应先分解．当分解完成以后，要进行约分，直到分子、分母没有公因式时再进行乘除．⑵分式乘除法的运算顺序：分式乘除法与整式乘除法运算顺序相同一般是从左向右，有除法的先把除法转化为乘法．⑶进行分式乘除法运算时应注意的问题：在进行分式乘除法运算时，特别要注意，当分解因式后进行约分时，一定要先把除法转化为乘法后才可以进行．xy =3，求222223x xy y x xy y +--+的值．分析:有两种思路:其一可用含y 的代数式替代x,即x=3y,代入分式求值;其二可把求值分式变形,使之出现已知中的xy的式子. 解法一:由xy=3,可得x=3y. 则222223x xy y x xy y +--+=222222(3)2(3)31212.7(3)(3)7y y y y y y y y y y +-=-+ 解法二:将分式分子、分母都除以2y ，得222223x xy y x xy y +--+=222396312.93171x xy y x xy y ⎛⎫+⋅- ⎪+-⎝⎭==-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭方法技巧：解此类题目，用解法一求，变化已知条件，使求值分式能用同一个字母代替；用解法二求，所变化的分式，使之出现已知的式子，以便能用已知的数据来代替．这两种方法既是求分式值常用的方法，也是求代数式的值常用的方法.222222x y x yx xy y x xy--÷+++.分析:分式的分子、分母都是多项式，可先分解因式，再约分．解：222222x y x yx xy y x xy--÷+++=2()()()()x y x y x x yx yx y+-+⨯-+=x.方法技巧：当分式的分子、分母有公因式时，要先因式分解，变除法为乘法后约分，再按照运算法则计算．7．分式的乘除法混合运算分式的乘除法混合运算与分数的乘除法混合运算一样，应先把除法运算转化为乘法运算，使整个算式变为乘法运算，其运算顺序是由左到右依次运算，并且乘法的交换律和结合律在分式的乘法中依然可以运用，根据具体问题利用运算律可以简化运算．（1）221111121x x xx xx x-+-÷⋅-+-+.（2）0.60.424155aa--÷210.2 1.31230.15a aa-+-÷1210a-.分析：⑴中的分式的分子、分母都是多项式，所以应先各自因式分解，然后将除法转化为乘法计算即可；⑵中的分式的分子、分母的系数是分数，要先把分子、分母中的系数变为整数，再进行计算.解：⑴221111121x x xx xx x-+-÷⋅=-+-+221111121x x xx xx x---⋅⋅++-+2122=2(1)(1)(1)111(1)x x x x x x x +----⋅⋅++-=11x x --+； （2）原式=916212a a --÷2213156a a a -+-÷1210a -=－)6(2)32(3--a a ·)5)(32(6---a a a ·2（a －5）=－3．方法技巧：分式的乘除运算与分数的乘除法法则和运算顺序都相同，归根到底是分式的乘法运算，运算的实质是分式的约分.[基本能力与创新应用]8．分式的化简、求值的开放题分式化简、求值题是分式部分重要的题型，灵活运用前面学习的数学知识和思想方法，是解决分式求值问题的关键. 分式求值是代数式求值常见的题型之一，其基本解法是先化简，再把字母的值代入计算．但在条件开放下的分式求值问题，与传统题目不同的是，代入值由同学们自己选取，一方面题目开放，有无数种结果，另一方面也考查了分式有意义的条件，在实际解题时却有很多同学由于代入了使分式无意义的数值，从而导致错误.44,2,4222+---x x x x x 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 .分析：本例是一道组合开放型试题，所给的三个式子都是整式，并且都含有字母．因此可任意选择其中两个，一个为分子，另一个为分母，先组成分式，再进行化简，故答案不唯一．解：如：222(2)(2)42244(2)x x x x x x x x +--+==--+-．方法技巧：本题是条件开放，结论也开放，因此，这种题的答案不唯一，只要合理计算正确即可．24462x x x +--÷（x +3）·x x x --+362,并选择一个你喜欢的x 的值求出分式的值． 思维幻灯片：23分析：⑴本题是乘除法运算，乘法、除法属于同一级运算，计算时要从左到右，千万不能把运算顺序理解为先乘法后除法；⑵化简完毕后，把一个x 的值代入求出即可.解：24462xx x +--÷（x +3）·x x x --+362=2)2()3(2--x x ·31+x ·xx x -++3)2)(3(=22--x ． 当x =－2时，原式=222---=21．误区警示：这类问题的答案不唯一，解答时，一是按常规先化简，二是代入求值时需防“陷阱”，在取值时既要注意使运算简捷，同时又要考虑到“隐含条件”的约束，所取字母的值必须使原分式有意义，如本题中x 的值不能取2和3以及-3，这样会使原分式无意义，而实际上部分同学往往只注意最后一步中x 不能取2，而忽视了原分式中隐含条件是x 不能为2,3,-3，从而导致错误．[迁移应用与分级检测]1．下列分式中不是最简分式的是（ ）A ．2222a b a b +- B ．24a a a + C ．12a a ++ D ．a a b +答案：B点拨：选项A 、C 、D 中的分式的分子、分母没有公因式，是最简分式，而选项B 中的分式的分子、分母含有公因式a ，不是最简分式． 2．计算33bab a÷的结果是（ ） A ．2bB ．18aC ．9aD ．29a答案： D点拨：按照除法法则变为乘法，积为9a 2,故选择D ． 3．计算1m n n÷ 的结果是（ ）24A ．mB ．2m nC ．2mn D ．2n m答案：B点拨：本题往往不注意运算顺序，先把n 和1n约分（相乘），得出错误答案m ，从而错误地选择A ．4．计算22ab cd÷34ax cd -等于（ ）A ．223b xB ．32b 2xC ．-223b xD ．-222238a b xc d答案：C点拨：本题有两种方法，一是直接利用法则计算正确地得出选项C ；二是用排除法，由符号易排除选项A 、B ，由被除式和除式的分母都有cd 可知变为乘法后被约去，不可能是选项D ，故选择C ．5．下面约分的四式中，正确的是( )A.22y y x x =B.22a c abb c +=+ C.12a b ma mb m +=+ D.1a b b a -=-- 答案：D点拨：对分式约分是约去分子与分母的公因式．实际上A ，B 两个分式的分子与分母没有公因式．C 式虽有公因式，但应把分母先分解因式然后再约去因式，即1()a b a b ma mb m a b m++==++，正确的是：1()a b a b b a a b --==----，故选D.6．约分3232105a bca b c -.解：3322322322221010522555a bc a bc a bc a a a b c a b c a bc b c b c=-=-=-- . 点拨：当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边再约分（即先确定整个分式的符号再约分）.7．化简：222692693x x x x x x-+--+÷．解：原式=2(3)(3) (3)(3)2(3)x x xx x x-+ +--⨯=(3)(3)22x x xx--=--⨯．点拨：当分式的分子、分母是多项式时，应先各自因式分解后再按照法则计算．8．计算：①2222253518x ya bxy ab⨯；②2234()()()y xx yx y-÷-；解：①22222535566518x ya b a x axy b byxy ab⨯=⨯=．②226234234211 ()()()()y yx xx yx y x y x y y-÷-=⨯⨯-=- ．点拨：：注意运算顺序，先算乘方，后算乘除，在运算的过程中要正确确定结果的符号．9.（2009年淄博市）化简222a ba ab-+的结果为（）A．ba-B．a ba-C．a ba+D．b-答案：B点拨：先将分子、分母因式分解，然后约去公因式a+b即可得出选项B．10．计算：（1）322822444x x xxx x-+⨯-++；（2）22212211x x xxx-+-÷+-解：（1）322822444x x xxx x-+⨯-++=22(2)(2)22(2)(2)x x x xxx-++⨯-+=2x．（2）22212211x x xxx-+-÷+-2(1)(1)1(1)(1)2(1)2x xx x x-+=⋅=-+---．点拨：分式的乘除运算中常将除法转化为乘法，再依据乘法法则先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再约分，但实际计算时，也可根据情况先约分，再相乘，这样有时既可简化运算过程，又不易出错．11．计算:239()33x x xx x x--⋅-+.2526解: 239()33x x x x x x--⋅-+ =(3)(3)(3)(3)333x x x x x x x x x x+-+-⋅-⋅-+ =3(x +3)-(x -3)=3x +9-x +3 =2x +12．点拨：本题可以按照乘法的分配律进行计算，约去公因式后变成两个整式，再合并同类型即可.12．计算：⑴ （xy z ）3·（-xz y）3÷（yzx-）4；⑵3()a b ab-÷（b-a ）2·(ab b a -)2．解：⑴原式=333x y z ·（-333x z y ）·444()x y x -=-333x y z·333x z y ·444x y x =-1044x y x ．⑵原式=3()a b ab -·21（a-b ）·22()()ab b a -=2222()()a b ab a b a b -- 3（a-b ）=aba b -. 点拨：在运算过程中，一定要严格按照运算顺序，先算乘方，后算乘除，特别注意变化过程中分式的符号．13．（2222a x a x-+）3÷（22442a ax x a x ++-）2·［21()a x -］2解：原式=322322)()(x a x a +-÷224222)()2(x a x ax a -++·4)(1x a -=32233)()()(x a x a x a +-+·422222)()()()(x a x a x a x a +-++·4)(1x a -=22()()a x a x a x +-+=2222xa x a +- 点拨：本题分式的分子、分母都含有公因式[中考零距离]1．（2009湖北省荆门市）计算22()ab a b -的结果是（ ）A ．aB ．bC ．1D ．－b27答案：B点拨：本题考查积的乘方运算与分式的化简，()22222ab a b b a ba b-==，故选B ． 2．(2009年黄冈市)化简2422a a a a a a -⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭的结果是（）A ．－4B ．4C ．2aD ．－2a答案：A点拨：2422aa a a a a -⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭=22a a a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭(2+a ）(2-a) -(2+a)-(2-a)=-4.3．（2008山西省太原市）化简222m n m mn-+的结果是（ ）A ．2m nm- B ．m nm- C ．m n m + D ．m nm n-+ 答案：B点拨：把分式的分子、分母因式分解后约去公因式m+n 即可得出答案为选项B ．4．（2008内蒙古呼和浩特市）计算：222233y x y x-÷= ．答案：392x -点拨：按照除法法则变为乘法后约分即可．5．（2010广东中山）化简：22211x xy y x y -+---=_________．答案：x-y+1点拨：222211(1)(1)111x xy y x y x y x y x y x y x y -+----+--==------（）= x-y+1．6．（2010江苏连云港）化简：(a －2)·a 2－4a 2－4a ＋4＝___________．答案：a+2点拨：(a－2)·a2－4a2－4a＋4＝(a－2)·2(2)(2)(2)a aa+--＝a+2.<教材问题与习题参考答案>教材问题详解本节无教材习题详解28。
分式的乘除法和加减法
2
6y ( 3 )3 xy x
2
2
a 1 a 1 (4) a 4a 4 a 4
2 2 2
二、分式加减法:
同分母分式加减法的法则: 同分母的分式相加减， 分母不变，分子相加减。 异分母分式加减法的法则： 异分母的分式相加减，
先通分，化为同分母的分式，再进行计算。
【通分】 利用分式的基本性质 , 把异分母的分式化为同 分分母的过程 。 【通分的原则】 异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作
一、分式乘除法运算法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，
把分母相乘的积作为积的分母;
b d bd a c ac
两个分式相除，把除式的分子和分母颠 倒位置
b d b c bc 后再与被除式相乘。 a c a d ad 计算: a2 1 6a 2 y ( 2 ) (1 ) a 2 a 2a 8 y 3a
为它们的共同分母。
3 a5 例题： (1 ) a 5a
ห้องสมุดไป่ตู้2 x 1 (2) x 1 1 x
1 1 (3) ; x3 x3 2a 1 (4) a 4 a2
2
分式的混合运算:
(1)
x+1 ÷ 2 x －2x+1 x－ 1
x2 － 1
x－ 1 x+1
x－ 1 x+1
(2) 用两种方法计算:
1 x 1 1 1 x x
+ 1 a－ b
1 1 2a
(3)
1 a 2－ b 2
1 ÷ a+b
分式的乘除法混合运算
分式的乘除法混合运算在数学中，分式的乘除法混合运算是一种常见的运算形式。
它结合了分式的乘法和除法，需要我们掌握一定的运算规则和技巧。
本文将详细解释分式的乘除法混合运算的概念、计算方法和注意事项。
一、概念解释：分式是数学中的一种表示形式，通常由分子和分母组成，用水平线隔开。
分子表示分数的被除数，分母表示分数的除数。
分式的乘除法混合运算即在一个式子中同时进行分式的乘法和除法运算。
二、计算方法：1. 乘法运算：分式的乘法运算很简单，只需将两个分式的分子相乘并将其作为结果的分子，将两个分式的分母相乘并将其作为结果的分母。
例如，计算分式1/2乘以3/4的结果如下：(1/2) × (3/4) = (1 × 3) / (2 × 4) = 3/82. 除法运算：分式的除法运算比乘法稍微复杂一些。
我们需要将除数倒置，然后将除法转化为乘法运算。
即将除法a/b转化为a乘以b的倒数。
例如，计算分式2/3除以4/5的结果如下：(2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = (2 × 5)/(3 × 4) = 10/123. 混合运算：分式的乘除法混合运算可以通过先进行乘法运算，再进行除法运算的顺序来计算。
例如，计算分式2/3乘以4/5再除以1/2的结果如下：(2/3) × (4/5) ÷ (1/2) = (2/3) × (4/5) × (2/1) = (2 × 4) / (3 × 5) × 2 = 16/15三、注意事项：在进行分式的乘除法混合运算时，需要特别注意以下几点：1. 括号的运用：如果混合运算中有括号存在，我们应当优先计算括号内的乘除法。
2. 化简分式：在得到运算结果后，我们应当尽可能地将其化简。
即将分子和分母的公因数约去，使分式的结果更加简洁。
3. 正确运用分数运算规则：在进行分式的乘除法混合运算时，需要按照分数的运算规则进行计算，确保运算的准确性。
分式的乘除法教案
分式的乘除法教案一、教学目标1. 理解分式乘除法的概念和运算规则。
2. 能够运用分式乘除法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二、教学内容1. 分式乘法的概念和运算规则。
2. 分式除法的概念和运算规则。
3. 分式乘除法的实际应用。
三、教学重点与难点1. 重点：分式乘除法的概念和运算规则。
2. 难点：分式乘除法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解分式乘除法的概念和运算规则。
2. 采用案例分析法，分析分式乘除法在实际问题中的应用。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。
五、教学准备1. 教案、PPT、教学素材。
2. 计算器、黑板、粉笔。
3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习分式的概念和基本性质。
2. 引导学生思考分式乘除法的意义和必要性。
二、讲解（20分钟）1. 讲解分式乘法的概念和运算规则。
2. 讲解分式除法的概念和运算规则。
3. 通过PPT展示典型例题，讲解分式乘除法的应用。
三、案例分析（15分钟）1. 分析分式乘除法在实际问题中的应用。
2. 让学生尝试解决实际问题，巩固所学知识。
四、练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题。
2. 讲解练习题的答案，解析解题思路。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结分式乘除法的概念和运算规则。
2. 强调分式乘除法在实际问题中的应用。
教学反思：通过本节课的教学，发现部分学生在理解分式乘除法时存在困难。
在今后的教学中，可以结合更多实际例子，让学生在实践中掌握分式乘除法的应用。
加强对学生的个别辅导，提高他们的学习兴趣和自信心。
六、教学拓展1. 引导学生探索分式乘除法的运算规律。
2. 介绍分式乘除法在数学竞赛中的应用。
3. 引导学生思考分式乘除法在其他学科中的应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结分式乘除法的概念和运算规则。
2. 强调分式乘除法在实际问题中的应用。
3. 提醒学生注意分式乘除法在运算过程中的符号判断。
整式与分式的乘除运算
整式与分式的乘除运算在代数中，整式与分式是常见的表达式形式。
整式是由整数、变量和代数运算符组成的表达式，例如2x+3y-4，3a^2+2b-5c等。
而分式是由分子和分母分别由整式组成的表达式，例如(2x+1)/(3y-2)，(3a^2+2b)/(4c+1)等。
在数学中，整式与分式的乘除运算是非常重要的基础知识，本文将详细介绍整式与分式的乘除运算规则和步骤。
整式的乘法运算规则如下：1. 两个整式相乘时，先计算系数之间的乘积，然后合并相同变量的指数，得到新的整式。
例如：将3x^2和4x相乘，先计算系数3和4的乘积得到12，再合并x^2和x得到12x^3。
2. 一元多项式相乘时，按照指数从高到低的顺序将两个整式逐项相乘后合并，得到新的整式。
例如：将2x^2+3x-4和x+2相乘，按照指数从高到低的顺序逐项相乘后合并，得到2x^3+7x^2-5x-8。
3. 多元多项式相乘时，双重分配率和合并同类项的规则同样适用。
例如：将(2x+3y)(4x-5y)展开，按照双重分配率展开后再合并同类项，得到8x^2-7xy-15y^2。
整式的除法运算规则如下：1. 两个整式相除时，先将其转化为分式形式，再进行相除运算。
例如：将2x^2+3x-4除以x+2，先转化为分式(2x^2+3x-4)/(x+2)，再进行相除的运算。
2. 整式除以整式的结果可能是整式，也可能是分式。
例如：(2x^2+3x-4)/(x+2)的结果是2x-1。
分式的乘法运算规则如下：1. 两个分式相乘时，先将分子与分母分别相乘，再将结果化简为最简形式。
例如：将(2x+1)/(3y-2)和(3a^2+2b)/(4c+1)相乘，先将分子相乘得到(2x+1)(3a^2+2b)，再将分母相乘得到(3y-2)(4c+1)，最后将结果化简为最简形式。
2. 当分子和分母有公因式时，要先约分再进行相乘运算。
例如：将(2x+4)/(3y-6)和(4x+8)/(6y-12)相乘，先约分得到(x+2)/(y-2)，再将结果化简为最简形式。
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• 观察下列算式： 观察下列算式：
探 究 与 思 考
2 4 3 ×5
2× 4 = 3× 5
5 2 5× 2 × = 7 9 7×9
2 4 2 5 2×5 ÷ = × = 3 5 3 4 3× 4
5 2 5 9 5×9 ÷ = × = 7 9 7 2 7×2
猜一猜,并与同伴交流 猜一猜 并与同伴交流. 并与同伴交流
2、在学习的过程中，你有什么体会？ 在学习的过程中，你有什么体会？
通常购买同一品种的西瓜时， 通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的 质量越大，花费的钱越多。 质量越大，花费的钱越多。因此人们希望西瓜瓤 占整个西瓜的比例越大越好。 占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都 看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的， 看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西 瓜的皮厚都 是d，已知球的体积公式 其中R为球的半径) 为 V4 = 3 (其中R为球的半径)
(3)
运 用 升 华
(2)
a−b a −a b • 2 a+b a −ab
4
2 2
a (a − a ) ÷ a −1
2
(4)
x −1 x +1 ÷ 2 y y
2
堂练习 随
效果反馈（ 效果反馈（三）
3 计算： 计算：
挑 战 自 我
x2 + 2x − 3 ⑴ ÷ (x + 3 ) 2 x − 2x +1
“除以一个数等于乘以这个பைடு நூலகம்的倒数”.
知识运用
1.计算 计算: 例1.计算:
(1 )
6a 2 y ⋅ 8 y 3a
2 1
2
2 2
;
6a ⋅ 2y 解 : 原式 = 8y ⋅ 3a2
4
y
a
=
2
y 2 a
各分式的分子与分 母是单项式时,直接 按照分式乘除法法 则：分子乘以分子 ，分母乘以分母， 然后约去公因式,化 为最简分式
x 2 解：原式 = 2 xy • 2 6y 2 x 3 = 3
a −1 a2 −1 (2) 2 ÷ 2 a − 4a + 4 a − 4 a −1 (a + 1)(a − 1) ÷ 原式= 解：原式 2 (a − 2) (a + 2)(a − 2) a − 1 (a + 2)(a − 2) = • 2 (a − 2) (a + 1)(a − 1)
a + 2 1 （ 2） ⋅ 2 a − 2 a + 2a
(a+2) ⋅ 1 解 : 原式 = 2 (a − 2)(a + 2a)
你是否 到 了怎么去做分 式的乘法运算 ?
悟
分式乘法运算 ,就是运用分 式的运算法则 和分式的基本 1 性质,进行约 = 2 分化简,其结 a − 2a 果通常要化成 最简分式或整 分式的分子和分母为多项式时： 分式的分子和分母为多项式时： 式. 能分解因式的一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化 能分解因式的
第 三 章
第 二 节
分 式的 乘 除 法
新星学校八年级数学备课组 王仁政
1.类比分数乘除法的运算法则, 1.类比分数乘除法的运算法则, 类比分数乘除法的运算法则 探索分式的乘除法运算法则. 探索分式的乘除法运算法则. ２.会进行简单分式的乘除运算， 会进行简单分式的乘除运算， 并体会因式分解在分式乘除法中的 作用. 作用.
( a + 2) ⋅ 1 = ( a − 2) ⋅ a ( a + 2)
例2.
6 y2 (1)2 xy 2 ÷ x
x
分析： 分析：分式的除法运算 把除式的分子和分母位置颠倒过来， 把除式的分子和分母位置颠倒过来， 再与分式的被除式相乘。 再与分式的被除式相乘。 乘以这个整式的倒数” 即“除以一个整式=乘以这个整式的倒数” 除以一个整式 乘以这个整式的倒数
⑵ 4m 2n ÷ −
2m m • 2 n n
2
作业
习题3.3 习题
学习小结
1、你学到了哪些知识 ? 要注意什么问题？ 要注意什么问题？
在分式除法中化除法为乘法。 在分式除法中化除法为乘法。 当分子分母是多项式时， 当分子分母是多项式时， 一般应先分解因式。 一般应先分解因式。 运算过程中，注意约分， 运算过程中，注意约分，使运 算结果化为最简分式。 算结果化为最简分式。
a+2 = (a − 2)(a + 1)
分式的分子和分母为 多项式， 多项式，先对其进行 分解因式
a+2 = 2 a −a−2
堂练习 随
效果反馈（ 效果反馈（一）
１计算： 计算：
活 学 活 用
a b (1) • 2 b a 2 3 2 x y 9 ab (2) • 2 27 a b 8 xy 2 a 3a (3) ÷ b b 4a 2 2 ( 4 ) 8a b ÷ 2 3b
复习旧知
1、计算，并说出分数的乘除法运算法则 、计算，
自 学 指 导
3 4 21 4 × 21 (1) × = = 7 8 2 7×8 2 9 2× 2× 9 2 4 (2) ÷ = × = 5 4 5× 4 5 9
回顾分数的乘除运算： 回顾分数的乘除运算：
分数乘以分数，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分数乘以分数，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分数除以分数，把除数的分子和分母颠倒位置，与被除数相乘。 分数除以分数，把除数的分子和分母颠倒位置，与被除数相乘。
3 πR
西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？ 那么(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？ (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多 少？ (3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜 合算？ 合算？
(1)
西瓜瓤的体积： 西瓜瓤的体积：
4 V1 = π(R − d) 3 3
4 3 V = πR 3
整个西瓜的体积： 整个西瓜的体积：
b d bd × = a c ac
b d b c bc ÷ = • = a c a d ad
分 式 乘 除 法 的 法 则 是
两个分式相 两个分式相 子 分母 相乘. 式相乘. ，把 式的分 两个分式相乘， 两个分式相乘，把分子相乘 相乘 的积作为积的分子， 的积作为积的分子，把分母相 的积作为积的分母. 乘的积作为积的分母.
西瓜瓤与整个西瓜的体积比是： (2) 西瓜瓤与整个西瓜的体积比是：
v1 = v
4 π(R − d) 3 ( R-d )3 3 =
4 3 π R 3
R3
=(
R-d R
d 3 ) = (1 - R )
3
买大西瓜合算。 (3) 买大西瓜合算。
堂练习 效果反馈（二） 效果反馈（ 随
2 计算： 计算：
b a+3 • 2 (1) 2 a −9 b −b