北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试数学文

北京市朝阳区2013～2014学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类） 2013．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{0,1,2}A =，{1,}B m =．若A B B = ，则实数m 的值是 A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．0或1或2 2．命题p ：对任意x ∈R ，210x+>的否定是A ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+≤ B ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+> C ．p ⌝：不存在0x ∈R , 0210x+≤ D ．p ⌝：对任意x ∈R ，210x+≤ 3．执行如图的程序框图，则输出的T 值等于 A ．91 B ． 55 C ．54 D ．304．已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则tan()απ+的值是A ．43 B. 34 C. 43- D. 34-5．函数()22x x f x -=-是A ．奇函数且在R 上是减函数B ．奇函数且在R 上是增函数C ．偶函数且在()0,+∞上是减函数D ．偶函数且在()0,+∞上是增函数输出T 开 始 T =0,i =1 结束i >5?是i =i +1 否T =T +i 26．已知平面向量(1,2)=-a ，(2,1)=b ，(4,2)--c =，则下列说法中错误．．的是 A ．c ∥b B ．⊥a bC ．对同一平面内的任意向量d ，都存在一对实数12,k k ，使得12k k =d b +cD ．向量c 与向量-a b 的夹角为 45︒7．若01m <<，则 A ．1132m m > B ．1122(1)(1)m m ->+C ．log (1)0m m +>D ．log (1)log (1)m m m m +>-8．同时满足以下四个条件的集合记作k A ：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为k ()k *∈N 的等差数列．那么6133A A 中元素的个数是 A ．96B ．94C ．92D ．90第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知12a =，532a =，则公比q 的值是 ． 10．已知平面向量,a b 满足0=⋅a b ，2=a ，3=b ，则|a +b |= . 11．函数43y x x =++(3)x >-的最小值是 ． 12．在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且sin sin cos A B C =⋅，则B = ；若6A π=,则ac = ．13．函数2log (1),01,()2,10x x f x x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩的值域是 ．14．已知函数xa x f =)(（10<<a ），数列}{n a 满足)1(1f a =，)(1n n a f a =+，n *∈N .则2a 与3a 中，较大的是 ；302520,,a a a 的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最小值； （Ⅱ）若α为锐角，且()2f α=，求α的值．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若25cos 25A =，5=bc ． （Ⅰ）求△ABC 的面积；（Ⅱ）若6=+c b ，求a 的值． 17．（本小题满分13分）已知数列{}n a ，{}n b 的通项n a ，n b 满足关系2n an b =，且数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-()n *∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分14分）已知函数2()43f x x x a =-++，a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在()-∞∞,+上至少有一个零点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 在[,2]a a +上的最大值为3，求a 的值． 19．（本小题满分14分）已知函数21()(3)3ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设点00(,())A x f x 为函数()f x 的图象上任意一点，若曲线()f x 在点A 处的切线的斜率恒大于3-，求m 的取值范围．20．（本小题满分13分）如果项数均为n ()2,n n *≥∈N的两个数列}{},{nnb a 满足),,,2,1(n k k b ak k==-且集合1212{,,,,,,,}{1,2,3,4,,2}n n a a a b b b n = ，则称数列}{},{n n b a 是一对 “n 项相关数列”．（Ⅰ）设}{},{n n b a 是一对“4项相关数列”，求1234a a a a +++和1234b b b b +++的值，并写出一对“4项相关数列” }{},{n n b a ；（Ⅱ）是否存在 “10项相关数列” }{},{n n b a ？若存在，试写出一对}{},{n n b a ；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）对于确定的n ，若存在 “n 项相关数列”，试证明符合条件的 “n 项相关数列”有偶数对．北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷答案（文史类） 2013．11一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CABDBCAB二、填空题： （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：15. 解：2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++π2sin(2)14x =++．（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，函数()f x 的最小值为12-． ┅┅┅┅┅┅ 7分（Ⅱ）由()2f α=得π2sin(2)124α++=．所以π2sin(2)42α+=． 又因为π(0,)2α∈，所以ππ5π2444α<+<， 所以π3π244α+=．所以π4α=． ┅┅┅┅┅┅ 13分16. 解：（Ⅰ）因为25cos 25A =，所以23cos 2cos125A A =-=. 又因为0A <<π，所以4sin 5A =. 因为5=bc ，题号 91011121314答案2 13 12π 33[]2,1-2a 253020a a a <<所以2sin 21==∆A bc S ABC . ┅┅┅┅┅┅ 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知3cos 5A =. 又因为5=bc ，6=+c b ，所以A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=20=.所以52=a . ┅┅┅┅┅┅ 13分 17. 解：（Ⅰ）当1n =时，111a S ==-；当2n ≥时，2212(1)2(1)23n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦. 验证11213a =-=⨯-，所以23n a n =-()n *∈N . ┅┅┅┅ 6分 （Ⅱ）由2n an b =，得232n n b -=()n *∈N .因为2(1)3123242n n n n b b +-+-==,所以数列{}n b 是以112b =为首项，4为公比的等比数列. 1(14)12(41),()146n n n T n *-==-∈-N . ┅┅┅┅┅┅ 13分18.解：（Ⅰ）依题意，函数()y f x =在R 上至少有一个零点即方程2()430f x x x a =-++=至少有一个实数根. 所以164(3)0a ∆=-+≥，解得1a ≤. ┅┅┅┅┅┅ 5分（Ⅱ）函数2()43f x x x a =-++图象的对称轴方程是2x =. ① 当12a +≤，即1a ≤时，2max ()333y f a a a ==-+=. 解得0a =或3.又1a ≤, 所以0a =.② 当12a +>，即1a >时，2max (2)13y f a a a =+=+-=解得1172a -±=.又1a >, 所以1172a -+=. 综上，0a =或1172-+. ┅┅┅┅┅┅ 14分 19.解：（Ⅰ） 依题意，()f x 的定义域为()0,+∞，3()(3)m f x x m x '=-++2(3)3x m x m x -++=(3)()x x m x--=. ①当0m ≤时，令()0f x '>，解得3x >，所以函数()f x 在(3,)+∞上是增函数； ②当03m <<时,令()0f x '>，解得0x m <<或3x >，所以函数()f x 在(0,)m 和(3,)+∞上是增函数； ③当3m =时,2(3)()0x f x x-'=≥在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞是增函数；④当3m >时,令()0f x '>，解得03x <<或x m >，所以函数()f x 在(0,3)和(,)m +∞上是增函数. 综上所述，①当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞；②当03m <<时，函数()f x 的单调递增区间是()0,m 和()3,+∞； ③当3m =时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；④当3m >时，函数()f x 的单调递增区间是()0,3和(),m +∞. ┅┅┅┅┅┅7分 （Ⅱ）因为函数()f x 在点00(,())A x f x 处的切线的斜率大于3-， 所以当()00,x ∈+∞时，0003()(3)3mf x x m x '=-++>-恒成立.即当()00,x ∈+∞时，20030x mx m -+>恒成立.方法1：设0()h x =2003x mx m -+，函数0()h x 的对称轴方程为02m x =. （ⅰ）当0m =时，0()h x =200x >在()00,x ∈+∞时恒成立.(ⅱ) 当02m>时，即0m >时，在()00,x ∈+∞时，函数0()0h x >成立，则方程0()0h x = 的判别式2120m m ∆=-<，解得012m <<. (ⅲ)当02m<时，即0m <时，0()h x 在()0,+∞上为增函数，0()h x 的取值范围是()3,m +∞，则在()00,x ∈+∞时，函数0()0h x >不恒成立.综上所述，012m ≤<时，在函数()f x 的图象上任意一点A 处的切线的斜率恒大于3-. 方法2：由20030x mx m -+>在()00,x ∈+∞时恒成立，得()00,x ∈+∞时，200(3)m x x ->-.（ⅰ）当03x =时，200(3)m x x ->-恒成立；（ⅱ）当003x <<时，上式等价于2003x m x >-，2000()3x h x x =-，由于此时0()h x 为减函数，0()h x 的取值范围是(),0-∞，只需0m ≥；（ⅲ）当03x >时，200(3)m x x ->-上式等价于2003x m x <-，设2000()3x h x x =-，则0()h x =2000(3)6(3)93x x x -+-+-009363x x =-++-，当03x >时，0()12h x ≥（当且仅当06x =时等号成立）.则此时12m <.则在()0,+∞上，当012m ≤<时，在函数()f x 的图象上任意一点A 处的切线的斜率恒大于3-. ┅┅┅┅┅ 14分20．解：（Ⅰ）依题意，112233441,2,3,4a b a b a b a b -=-=-=-=，相加得，12341234()10a a a a b b b b +++-+++=，又1234a a a a +++123436b b b b ++++=，则123423a a a a +++=，123413b b b b +++=.“4项相关数列”}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1（不唯一） ┅┅┅ 4分 参考：（“4项相关数列”共6对：}{n a ：8，5，4，6；}{n b ：7，3，1，2或}{n a ：7，3，5，8；}{n b ：6，1，2，4 或}{n a ：3，8，7，5；}{n b ：2，6，4，1 或}{n a ：2，7，6，8；}{n b ：1，5，3，4 或}{n a ：2，6，8，7；}{n b ：1，4，5，3 或}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1 （Ⅱ）不存在．理由如下：假设存在 “10项相关数列”}{},{n n b a ， 则10,,2,110102211=-=-=-b a b a b a ， 相加得55)()(10211021=+++-+++b b b a a a ．又由已知210202*********=+++=+++++++ b b b a a a ， 所以 12102652a a a +++=，显然不可能，所以假设不成立． 从而不存在 “10项相关数列”{}{},n n a b ．┅┅┅┅┅┅ 8分（Ⅲ）对于确定的n ，任取一对 “n 项相关数列”}{},{n n b a ， 令k k b n c -+=12，k k a n d -+=12),,2,1(n k =， （先证}{},{n n d c 也必为 “n 项相关数列”）因为k b a a n b n d c k k k k k k =-=-+--+=-)12()12(),,,2,1(n k = 又因为}2,,3,2,1{},,,,,,,{2121n b b b a a a n n =，很显然有})12(,,)12(,)12(,)12(,,)12(,)12{(2121n n b n b n b n a n a n a n -+-+-+-+-+-+}2,,3,2,1{n =，所以}{},{n n d c 也必为 “n 项相关数列”． （再证数列}{n c 与}{n a 是不同的数列）假设}{n c 与}{n a 相同，则}{n c 的第二项22221c n b a =+-=，又222=-b a ，则2221b n =-，即2212n b -=，显然矛盾． 从而，符合条件的 “n 项相关数列”有偶数对． ┅┅┅┅┅┅ 13分。