2009年数学二试题_考研数学真题及解析

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2009—数二真题、标准答案及解析

（18）（本题满分 10 分）设非负函数 y = y ( x
) ( x ≥ 0 ) 满足微分方程 xy′′ − y′ + 2 = 0 ，当
曲线 y = y ( x ) 过原点时，其与直线 x = 1 及 y = 0 围成平面区域 D 的面积为 2，求D绕 y轴旋转所得旋转体体积.
（ 19 ）（本题满分
（Ⅰ）求满足 Aξ 2 = ξ1 , A
2
ξ3 = ξ1 的所有向量 ξ 2 , ξ3 ；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量 ξ 2 , ξ3 ，证明： ξ1 , ξ 2 , ξ3 线性无关. （23）（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = ax1 + ax2 + ( a − 1) x3 + 2 x1 x3 − 2 x2 x3
块矩阵 ⎜
⎛O A⎞ ⎟ 的伴随矩阵为（ ⎝ B O⎠
）
⎛ O 3B* ⎞ . A ( )⎜ * ⎟ O ⎠ ⎝ 2A
⎛ O ( B) . ⎜ * ⎝ 3A
2 B* ⎞ ⎟ O ⎠ 2 A* ⎞ ⎟ O ⎠
T
(C ) . ⎜
⎛ O 3 A* ⎞ ⎟ * O ⎠ ⎝ 2B
T
( D) . ⎜
⎛ O * ⎝ 3B
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）函数 f ( x ) =
x − x3 的可去间断点的个数为（ sin nx
）
( A ) 1.
x − x3 的可去间断点的个数为（ sin nx

2009年考研数学(二)真题及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码：302）（考试时间：上午8:30-11:30）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

1()f x O23x-1122009年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）函数3()sin πx x f x x-=的可去间断点的个数为（A ）1．（B ）2．（C ）3．（D ）无穷多个．（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小量，则（A ）11,6a b ==-．（B ）11,6a b ==．（C ）11,6a b =-=-．（D ）11,6a b =-=．（3）设函数(,)z f x y =的全微分为d d d z x x y y =+，则点(0,0)（A ）不是(,)f x y 的连续点．（B ）不是(,)f x y 的极值点．（C ）是(,)f x y 的极大值点．（D ）是(,)f x y 的极小值点．（4）设函数(,)f x y 连续，则222411d (,)d d (,)d y xy x f x y y y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰（A ）2411d (,)d xx f x y y -⎰⎰．（B ）241d (,)d x x x f x y y -⎰⎰．（C ）2411d (,)d yy f x y x -⎰⎰．（D ）221d (,)d yy f x y x ⎰⎰．（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点(1,1)处的曲率圆为222x y +=，则函数()f x 在区间(1,2)内（A ）有极值点，无零点．（B ）无极值点，有零点．（C ）有极值点，有零点．（D ）无极值点，无零点．（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形如图所示，则函数()()d xF x f t t =⎰的图形为()F x O23x1-1-11()F x O23x1-11()F x O23x1-1-11（A ）（B ）（C ）（D ）（7）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3==A B ，则分块矩阵⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O 的伴随矩阵为（A ）**32⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ．（B ）**23⎛⎫⎪⎝⎭OB AO ．（C ）**32⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O ．（D ）**23⎛⎫⎪⎝⎭O A BO ．（8）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且T100=010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，若1231223(,,),(,,)==+P Q ααααααα，则T Q AQ 为（A ）210110002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（B ）110120002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（D ）100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．()F x O23x1-11（9）曲线21022e d ,ln(2)t u x u y t t --⎧=⎪⎨⎪=-⎩⎰在(0,0)处的切线方程为．（10）已知+e d 1k xx ∞-∞=⎰,则k =．（11）1n limesin d xnx x -→∞=⎰．（12）设()y y x =是由方程e 1yxy x +=+确定的隐函数，则22d d x yx==．（13）函数2xy x=在区间(0,1]上的最小值为．（14）设,αβ为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵Tαβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则T=βα．三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分9分）求极限[]40(1cos )ln(1tan )limsin x x x x x→--+．（16）（本题满分10分）计算不定积分ln(1x +⎰(0)x >．（17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 与2zx y∂∂∂．（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x =(0)x 满足微分方程20xy y '''-+=．当曲线()y y x =过原点时，其与直线1x =及0y =围成的平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积．（19）（本题满分10分）计算二重积分()d d Dx y x y -⎰⎰，其中{}22(,)(1)(1)2,D x y x y y x =-+- ．（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间(π,π)-内过(的光滑曲线．当π0x -<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0πx < 时，函数()y x 满足0y y x ''++=．求函数()y x 的表达式．（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在(0,)(0)δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=．（22）（本题满分11分）设111111042--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，（Ⅰ）求满足21=A ξξ，231=A ξξ的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（I ）中的任意向量23,ξξ，证明123,,ξξξ线性无关．（23）（本题满分11分）设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-．（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值．2009年考研数学（二）试卷答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）D（7）B （8）A二、填空题（9）2y x =（10）2-（11）0（12）3-（13）2ee-（14）2三、解答题（15）14．（16）1ln(12x C ++-+．（17）123123d ()d ()d z f f yf x f f xf y ''''''=+++-+，211223313233()()zf f xyf x y f x y f f x y∂'''''''''''=-++++-+∂∂．（18）17π6．（19）83-．（20）π0,πcos sin ,0π.x y x x x x -<<=+-<⎪⎩（21）略．（22）（Ⅰ）21101021k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξ，其中1k 为任意常数．323101/2100010k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξ，其中23,k k 为任意常数.（Ⅱ）略．（23）（Ⅰ）特征值为1232,,1a a a λλλ=-==+.（Ⅱ）2a =．2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】C ．【解答】当x 取任何整数时，sin π0x =，()f x 均无意义，所以()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点．由30x x -=解得0,1,1x =-．因为3200131lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→--==，3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→--==，3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →-→---==，故可去间断点为3个，即0,1,1x =-．故选C ．（2）【答案】A ．【解答】2220000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)()3x x x x f x x ax x axa ax g x x bx x bx bx→→→→---====-⋅--，因为2lim(3)0x bx →-=，所以0lim(1cos )0x a ax →-=，从而 1.a =再有，2220001()1cos 12lim lim lim 1()336x x x x f x x g x bx bx b→→→-===-=--，得16b =-．故选A ．（3）【答案】D ．【解答】因为d d d z x x y y =+，所以,z z x y x y ∂∂==∂∂.因为，2221,0z z A B x x y ∂∂====∂∂∂，221zC y∂==∂，所以20,0B AC A -<>，故，(0,0)是(,)f x y 的极小值点．故选D ．（4）【答案】C ．【解答】222411d (,)d d (,)d y xyx f x y y y f x y x -+⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y = ，{}2(,)12,4D x y y y x y =- ，合并可得，{}(,)12,14D x y y x y =- ，故二重积分可以表示为2411d (,)d yy f x y x -⎰⎰．故选C ．（5）【答案】B ．【解答】因为曲率圆为222x y +=在点(1,1)处有()0f x ''<，而()f x ''不变号，所以曲线()y f x =是一个凸函数，于是()f x '单调递减.又因为在(1,2) 内，()(1)10f x f ''<=-<，所以()f x 单调减少，故没有极值点．对()f x 在[1,2] 上应用拉格朗日中值定理，得(2)(1)'()1(1,2)f f f ξξ-=<- , ∈ ，因为(1)10f =>，(2)0f <，由零点定理()f x 在(1,2) 内有零点，故选B ．（6）【答案】D ．【解答】0()()d xF x f t t =⎰，0()F x 表示()y f x =与x 轴、y 轴及0x x =所围的图形的代数面积．由()y f x =的图形可知，①因为()y f x =只有有限个第一类间断点，所以()F x 连续．②当[]1,0x ∈-时，()0F x ．③当[]0,1x ∈时，()0F x，且单调递减．④[]1,2x ∈时，()F x 单调递增，且(1)0,(2)0F F <>．⑤[]2,3x ∈时，()F x 为常函数．故选D ．（7）【答案】B ．【解答】因为当A 可逆时，1*-=A A A ，所以112211*--⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）O A O A O A O B A B B O B O B O AO 1123-**-**⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O A B B OA B O B A B A O B A O AO ，故选B ．（8）【答案】A ．【解答】因为1223123100100(,,)(,,)110110001001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q P ααααααα，所以TTT T 100100100100110110110110001001001001⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q AQ P AP P AP110100100210010010110110001002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】2y x =．【解答】当0x y ==时，1t =．2(1)11d e 1d t t t xt --===-=-，22211d 22ln(2)2d 2t t y tt t t t t ===--⋅=--，所以(0,0)d 2d yx =，切线方程为2y x =．（10）【答案】2-．【解答】022e d 2e d e lim e 1)k xkx kxkx x x x kk +∞+∞+∞-∞→+∞===-⎰⎰，因为极限存在，所以0k <，从而22(lim e 1)1kx x k k→+∞-=-=，2k =-．（11）【答案】0．【解答】设1esin d xn I nx x -=⎰，因为1110sin de e sin e cos d xxx n I nx nx n nx x---=-=-+⎰⎰1110e sin (e cos e sin d )x x n n nx n nx x ---=--+⎰112e sin e cos ,n n n n n n I --=--+-所以，22sin cos (1)e 1n n n n nI n n +=-+++．故22sin cos lim lim 0(1)e 1n n n n n n n I n n →∞→∞⎡⎤+=-+=⎢⎥++⎣⎦．（12）【答案】3-．【解答】由题设方程两边对x 求导得，e 1yy xy y ''++=，①再次对x 求导得，22e ()e 0yyy xy y y ''''''+++=，②由已知0x =，0y =，代入①式得1y '=，进而可得(0)3y ''=-（13）【答案】2ee-．【解答】由22ln e xx x y x==可得()22ln 2x y x x '=+，令0y '=，得唯一驻点1ex =．又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21e 1()2e 0ey -+''=>，故1e x =为2xy x =的极小值点.又因为0(1)1,(0)lim 1x y y ++→===，所以最小值为2e 1()e ey -=．（14）【答案】2．【解答】因为T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以Tαβ的特征值为2,0,0，因此T T ()2tr ==βααβ．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分9分）解：原式[]242001ln(1tan )ln(1tan )2lim lim 2x x x x x x x x x →→-+-+==222000sec 11tan sec tan tan 1tan lim lim lim44(1tan )4x x x xx x x x x x x x x →→→-+--+===+0tan (1tan )1lim44x x x x →-==.（16）（本题满分10分）t =，得211x t =-，则原式2221ln(1)11ln(1)d()d 1111t t t t t t t +=+=----+⎰⎰2ln(1)111ln 1412(1)t t C t t t ++=+-+--+1ln(12x C =++-+．（17）（本题满分10分）解：因为，123123,z z f f yf f f xf x y∂∂''''''=++=-+∂∂，所以，123123d ()d ()d z f f yf x f f xf y ''''''=+++-+．故，21112132122233132333()z f f xf f f xf y f f xf f x y∂'''''''''''''''''''=-++-++-++∂∂11223313233()()f f xyf x y f x y f f '''''''''''=-++++-+．（18）（本题满分10分）解：由题可令p y '=，原方程可化为20xp p '-+=，解得2p Cx =+.则原方程通解为2122y C x x C =++，其中12,C C 为任意常数．因为，()y y x =过原点，所以20C =．又因为，111232111000()d (2)d ()1233C C D y x x C x x x x x ==+=+==⎰⎰，从而13C =．于是可得非负函数为23(0)y x x x =+2 ≥．D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积为11124300032172πd 2π(3)d 2π()π436V xy x x x x x x ==+2=+=⎰⎰．（19）（本题满分10分）解：在极坐标系下积分区域可化为2(sin cos )r θθ≤+，则3π2(sin cos )4π04()d d d (cos sin )d D x y x y r r r rθθθθθ+-=-⎰⎰⎰⎰3π34π48(cos sin )(sin cos )d 3θθθθθ=-+⎰334π48(sin cos )d(sin cos )3θθθθ=++⎰3π44π4818(sin cos ).343θθ=⋅+=-（20）(本题满分12分)解：当π0x -<<时，曲线上任一点(,)x y 处的法线得斜率为d d x k y=-，又法线过原点，则有d d x y k y x=-=，即d d y y x x =-.解方程可得得22y x C =-+.由于曲线过点(，可得2πC =，带入可得y =．当0πx <时，()y x 满足二阶微分方程0y y x ''++=，其对应的齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin y C x C x =+.设y y x ''+=-的特解为*y Ax B =+，解得，1,0A B =-=，从而0y y x ''++=的通解为12cos sin y C x C x x =+-．由于()y y x =是(π,π)-内的光滑曲线，故()y x 和()y x '在0x =处连续．于是100lim ()π,lim ()x x y x y x C -+→→= = ，得1πC =．(0)0y -'=，2(0)1y C +'=-，得21C =．所以()y y x =的表达式为π0πcos sin ,0πx y x x x x -<<=+-<⎪⎩．（21）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=----，有()()F a F b =，且()()()()f b f a F x f x b a -''=--．由罗尔定理存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()()()f b f a F b a ξ'-=-，结论成立．（Ⅱ）由拉格朗日中值定理，得()000()0()(0)lim lim lim ()x x x f x f f x f f xx ξξ++++→→→-'''===，0x ξ<<.因为()0lim x f x A +→'=，所以0lim ()x f A ξ+→'=，故'(0)f +存在，且'(0)f A +=．（22）(本题满分11分)解：（Ⅰ）因为111111100(|)1111021104220000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A ξ，解得21101021k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξ，其中1k 为任意常数．因为2220220440⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，有2122012201(|)2201000044020000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ξ，解得3231102100010k k ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ξ，其中23,k k 为任意常数．（Ⅱ）由于1212131121102221k k k k k k ----=-≠--+，故123,,ξξξ线性无关．（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）二次型f 的矩阵为0101111a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，由01||01()(2)(1)111a a a a a a λλλλλλλ---=-=--+----+E A ，解得A 的特征值为1232,,1a a a λλλ=-==+．（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +时，可知二次型相似于矩阵100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则该二次型必有一个特征值为0，其余均大于0，故20a -=，2a =．。

2009考研数学(二)真题及参考答案

2009年研究生入学统一考试数学二试题与解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为1 ()f x -2 0 2 3x-1O则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .()C .()D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . （10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.（12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 .(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.（16）（本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)xdx x++⎰(0)x >. （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点-22ππ（，）的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式. （21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C . 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D .所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在（0，0）处，0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为C.（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.【答案】 B【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|12(1('))y y ρ==+，而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =-在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ，（拉格朗日中值定理）(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点. 故应选（B ）. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）1 ()f x -2 0 2 3x-1O()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B⨯=-=⨯=（）即分块矩阵可逆 111100066000100B BA A AB B BBAA A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002BB AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dy dx= 所以切线方程为2y x =.（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .【答案】2-【解析】1122lim bk xkxkxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k=-2k =-（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0【解析】令sin sin cos x x xn I e nxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x xn e nx nenx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= （12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1y e x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e -=+ 对''1y y xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y y y xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时，0y =，'(0)0101y e -==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 . 【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e =.又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e eee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21ey e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ得特征值是2,0,0而T βα是一个常数，是矩阵T αβ的对角元素之和，则T 2002βα=++=三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim limsin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x→-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== （16）（本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)xdx x++⎰(0)x >. 【解析】令1x t x+=得22212,1(1)tdtx dx t t -= =-- 22211ln(1)ln(1)1ln(1)11111x dx t d x t t dt t t t ++=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以221ln(1)111ln(1)ln 1412(1)111ln(1)ln(1)2211111ln(1)ln(1)222x t t dx C x t t t x xx x x C x x x x x x x x x x C x ++++=+-+--++=++++-++++=+++++-++⎰ （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yf x zf f xf y∂'''=++∂∂'''=-+∂1231232111213212223331323331122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z z dz dx dy x yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f x x yf f f xyf x y f x y f ∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂'''''''''''''''''''=⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. 【解析】解微分方程20xy y '''-+=得其通解212122,y C x C x C C =++其中，为任意常数又因为()y y x =通过原点时与直线1x =及0y =围成平面区域的面积为2，于是可得10C =1112232220002()(2)()133C C y x dx x C x dx x x ==+=+=+⎰⎰从而23C =于是，所求非负函数223(0)y x x x =+ ≥又由223y x x =+ 可得，在第一象限曲线()y f x =表示为1131)3x y =+-（于是D 围绕y 轴旋转所得旋转体的体积为15V V π=-，其中552210051(131)9(23213)93918V x dy y dyy y dy ππππ==⋅+-=+-+=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰ 3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点-22ππ（，）的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.【解析】由题意，当0x π-<<时，'xy y =-，即ydy xdx =-，得22y x c =-+，又()22y ππ-=代入22y x c =-+得2c π=，从而有222x y π+=当0x π≤<时，''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+ 令解为1y Ax b =+，则有00Ax b x +++=，得1,0A b =-=，故1y x =-，得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线，故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ，故1c π=±时，()y y x =在0x =处连续又当 0x π-<<时，有22'0x y y +⋅=，得'(0)0xy y-=-=，当0x π≤<时，有12'sin cos 1y c x c x =-+-，得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=，即 21c =故 ()y y x =的表达式为22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪-- -<<=⎨-+-≤<⎪⎩或22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪- -<<=⎨+-≤<⎪⎩，又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪- -<<=⎨+-≤<⎪⎩.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'()(0)x f x f fx ξ-=-……()* 又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)222210k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. 【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ）若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =.。

2009【考研数二】真题及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1〜8小题,每小题4分，共32分,下列每小题给出的四个选项中合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .3X _ X函数f (X )=—的可去间断点的个数为sin Ji x设函数Z = f (X, y )的全微分为 dz = xdx + ydy ,则点(0,0 )设函数 f (X, y )连续,则[dx Jx f (X,y dy +[ dy. f (x,y )dx = ()"(X )不变号,且曲线y = f (X )在点(1,1)处的曲率圆为X 2+y 2=2,则函数f ( X )在区间(1,2 )内(A)有极值点，无零点. (B) (C)有极值点,有零点.(D)设函数y = f (X )在区间［-1,3 ］上的图形为(A)1.(B) 2. 当 X T 0 时,f (x ) = x —sinax 与 g(x ) = x(C) 3.2(D )In (1-bx )是等价无穷小无穷多个.1(A) a =1,b =——.6 1(C) a = —1,b =6(B )(D )a = 1,b =—.6a = -1,b =J 6(A)不是f (x,y )的连续点. (B)不是f (x,y )的极值点.(C)是f (x,y )的极大值点.(D) 是f (X, y )的极小值点. (A) (C )24 _x—dx — f (x,y dy .2 4今—dy — f (X, y dx . (D )(B ) 24_xf dx f H X, y dy .1 X 22[dyj y f (x’yjdx .,只有一项是符 2 4_y无极值点，有零点. 无极值点，无零点.x⑺ 设A, B 均为2阶矩阵，A * ,B *分别为A, B 的伴随矩阵，()则函数F (X )= L f (t p t 的图形为若A =2, B =3,则分块矩阵f O A 、1的伴随矩阵为 ()I B 0丿'o3B *〕(02B* "(A)*|. (B)12A 0丿V 3A0丿 (C)‘0 3A * ](D)f 02A*' *12B|.1 *0丿13B 0丿0 设A,P 均为 3阶矩阵， P T为P 的转置矩阵 ,且P TAP = 0 1、0 若 P =(%,勺,—)2 = (% +02,02,03)，则 Q TAQ 为 ‘21 0、‘11 0"1 1 0 (B)1 2 0 .0 0 2>.0 0 2丿100 (82 ,(A2,52,1lim fe 」sinnxdx =n 卡cd 2y设y = y(x)是由方程xy + e y =x+1确定的隐函数，则一ydx(17)(本题满分10分)设z =f(x + y,x-y,xy),其中f 具有二阶连续偏导数，求dz 与dx 讪(18)(本题满分10分)设非负函数y = y (x )(x >0 )满足微分方程xy” —y' + 2 = 0 .当曲线y=y(x )过原点时,其与直线X =1及y = 0围成的平面区域 D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体"2 0 0 ^"10 0"0 1 01 (D)0 2 01° 0 2丿 0 2丿二、填空题: (9)I x 曲线｛ [y -r 丄"U2d=」0 e U ，在点(0,0)处的切线方程为 =t 2ln(2 -t 2)(10)” 乂 k x已知L edx=1,则“(11) (12) (13) 函数y =x 2x在区间(0,1 ］上的最小值为(14) 设a , P 为3维列向量，P T为P 的转置，若矩阵up T相似于|0 1。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）函数的可去间断点的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）无穷多个（2）当时，是等价无穷小，则（A）（B）（C）（D）（3）设函数的全微分为，则点（0,0）（A）不是的连续点（B）不是的极值点1/9（C）不是的极大值点（D）不是的极小值点（4）设函数连续，则（A）（B）（C）（D）（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则函数在区间内（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点（6）设函数在区间上的图形为：2/9则函数的图形为（7）设随矩阵为均为 2 阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块长阵的伴3/9（A）（B）（C）（D）（ 8 ）设均为 3 阶矩阵，为 P 的转置矩阵，且，若，则为（A）（B）（C）（D）二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。

4/9（9）曲线在处的切线方程为_________。

（10）已知，则 K=_______（11）=________。

（12）设是由方程确定的隐函数，则=_______。

（13）函数在区间上的最小值为_____。

（14）设为 3 维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则=_____。

三、解答题：15~23 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

矚慫润厲钐瘗睞枥。

（15）（本题满分 9 分）求极限（16）（本题满分 10 分）计算不定积分（17）（本题满分 10 分）设，其中具有 2 阶连续偏导数，求与（18）（本题满分 10 分）设非负函数点时，其与直线氇。

满足微分方程，当曲线过原围成平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积。

2009年数二真题、标准答案及解析

B 不是 f x, y 的极值点.
D 是 f x, y 的极小值点.
dx f x, y dy dy
x 1 2 2 4 y y

2
1
f x, y dx （
）
A 1 dx 1
2
2
4 x
f x, y dy . f x, y dx .
a 3 6b
故排除 B, C .
lim
a 2 sin ax a3 1 x 0 6b 6b ax a
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另外 lim
1 a cos ax 存在，蕴含了 1 a cos ax 0 x 0 故 a 1. 排除 D . x 0 3bx 2
（10）已知
.
e
1 x
+
kx
dx 1 ,则 k
.
y
.
（11） lim
n 0
e
sin nxdx
2 y （12）设 y y ( x ) 是由方程 xy e x 1 确定的隐函数，则 2 x
（13）函数 y x 在区间 0， 1 上的最小值为
2x
B 2.
C 3.
2
D 无穷多个.
）
（2）当 x 0 时， f x x sin ax 与 g x x ln 1 bx 是等价无穷小，则（
A a 1, b
1 . 6
B a 1, b
1 . 6
C a 1, b
故可去间断点为 3 个，即 0, 1 （2）当 x 0 时， f x x sin ax 与 g x x ln 1 bx 是等价无穷小，则（

2009—数二真题标准答案及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）()A . ()B .()C .()D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . （10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.（12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 .(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C . 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D .所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在（0，0）处，0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为C.（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.【答案】 B【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|(1('))y y ρ==+，而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =-在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ，（拉格朗日中值定理）(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点. 故应选（B ）. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）()A . ()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（）()A .**32OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()C .**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()D .**23O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B ⨯=-=⨯=（）即分块矩阵可逆 1111000066000100B BA A AB B BBAA A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002B B AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dy dx= 所以切线方程为2y x =.（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .【答案】2-【解析】1122lim bk xkxkxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k=-2k =-（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0【解析】令sin sin cos x x xn I e nxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x xn e nx nenx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= （12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1y e x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e -=+ 对''1y y xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y y y xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时，0y =，'(0)0101y e -==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 . 【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e =.又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e eee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21ey e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ得特征值是2,0,0而T βα是一个常数，是矩阵T αβ的对角元素之和，则T 2002βα=++=三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )lim sin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim lim sin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x→-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. 【解析】t =得22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t +=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln1412(1)1ln(1211ln(122t tdx Ct t tx Cx x C+++=+-+--+=++-+=+++⎰（17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy=+-，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yfxzf f xfy∂'''=++∂∂'''=-+∂12312321112132122233313233 31122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z zdz dx dyx yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f xx yf f f xyf x y f x y f∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂''''''''''''''''''' =⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x= ()0x≥满足微分方程20xy y'''-+=，当曲线()y y x= 过原点时，其与直线1x=及0y=围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积.【解析】解微分方程20xy y'''-+=得其通解212122,y C x C x C C=++其中，为任意常数又因为()y y x=通过原点时与直线1x=及0y=围成平面区域的面积为2，于是可得1C=111223222002()(2)()133C Cy x dx x C x dx x x==+=+=+⎰⎰从而23C=于是，所求非负函数223(0)y x x x=+ ≥又由223y x x=+ 可得，在第一象限曲线()y f x=表示为11)3x=（于是D 围绕y 轴旋转所得旋转体的体积为15V V π=-，其中5522100511)9(2393918V x dy dyy dy ππππ==⋅=+-=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式. 【解析】由题意，当0x π-<<时，'xy y =-，即ydy xdx =-，得22y x c =-+，又(y =代入22y x c =-+得2c π=，从而有222x y π+=当0x π≤<时，''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+ 令解为1y Ax b =+，则有00Ax b x +++=，得1,0A b =-=，故1y x =-，得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线，故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ，故1c π=±时，()y y x =在0x =处连续又当 0x π-<<时，有22'0x y y +⋅=，得'(0)0xy y-=-=，当0x π≤<时，有12'sin cos 1y c x c x =-+-，得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=，即 21c =故 ()y y x =的表达式为0cos sin ,0x y x x x x πππ⎧-<<=⎨-+-≤<⎪⎩或0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩，又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f fx ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)222210k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. 【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ）若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =.。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案

全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查：一、选择题二、填空题三、解答题（15）14（16）1ln(12x C++（17）123123()()dz f f yf dx f f xf dy''''''=+++-+；231122331323()() zf f f xyf x y f x y fx y∂''''''''''' =+-++++-∂∂（18）176Vπ=（19）83-（20）cos sin,0xyx x x xπππ-<<=+-≤<⎪⎩（21）略（22）（Ⅰ）21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，其中1k 为任意常数；321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，其中2k 为任意常数（Ⅱ）略（23）（Ⅰ）123,2,1a a a λλλ==-=+；（Ⅱ）2a =一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为（）（A ）1. （B ）2. （C ）3.（D ）无穷多个.【答案】（C ）【考点】可去间断点【难易度】★★ 【详解】解析：由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320001lim lim lim(1)sin sin x x x x x x x x x πππ→→→-=-=，3211132lim lim sin cos x x x x x x x ππππ→→--==， 3211132lim lim sin cos x x x x x x x ππππ→-→---==，故函数()3sin x x f x xπ-=有三个可去间断点，应选C.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（）（A ）11,6a b ==-. （B ）11,6a b ==. （C ）11,6a b =-=- （D ）11,6a b =-=【答案】（A ）【考点】等价无穷小、洛必达法则【难易度】★★ 【详解】解析：0x →Q 时，2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小20sin lim1ln(1)x x ax x bx →-∴=-即20sin lim 1()x x axx bx →-∴=-（0x →时，ln(1)bx bx --:） 2001cos lim1lim(1cos )013x x a axa ax a bx →→-∴=⇒-=⇒=-于是220001cos 1cos sin 11lim lim lim 133666x x x a ax x x b bx bx bx b →→→--===-=⇒=---- 所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）（A ）不是(),f x y 的连续点. （B ）不是(),f x y 的极值点. （C ）是(),f x y 的极大值点. （D ）是(),f x y 的极小值点. 【答案】（D ）【考点】二元函数极值存在的充分条件【难易度】★★ 【详解】解析：因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,210AC B -=>,0A >,故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点.应选D.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）（A ）()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. （B ）()241,x xdx f x y dy -⎰⎰.（C ）()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.（D ）()221,ydy f x y dx ⎰⎰【答案】（C ）【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换【难易度】★★ 【详解】解析：由累次积分限确定两个重积分的积分区域分别为{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,记12D D D =⋃，则{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则函数()f x在区间()1,2内（）（A ）有极值点，无零点. （B ）无极值点，有零点. （C ）有极值点，有零点. （D ）无极值点，无零点. 【答案】（B ）【考点】曲率半径，零点定理，拉格朗日中值定理【难易度】★★★ 【详解】解析：由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|(1('))y y ρ==+'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =- 在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点。

2009-数二真题、标准答案及解析

（6）设函数 y = f ( x) 在区间−1,3 上的图形为：
则函数 F ( x) = x f (t ) dt 的图形为 0
( A)
(B)
(C)
(D)
【答案】 D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y = f (x) 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、
x = x0 所围的图形的代数面积为所求函数 F (x) ，从而可得出几个方面的特征：
a
a3 = −6b ,故排除 B,C .
另外,
lim
x→0
1− a cos ax −3bx2
存在,蕴含了1−
a
cos
ax
→
0
(
x
→
0)
,故
a
=
1.
排除
D
.
所以本题选 A .
(3) 设函数 z = f ( x, y) 的全微分为 dz = xdx + ydy ,则点 (0, 0)
( A) 不是 f ( x, y) 的连续点 ( B) 不是 f ( x, y) 的极值点
【解析】1 =
+ ek x dx = 2 + ekxdx = 2 lim 1 ekx b
−
0
k b→+
0
【答案】 −2
因为极限存在所以 k 0 1=0− 2
k k = −2
（11） lim 1e−x sin nxdx = n→ 0
【答案】0
【解析】令 In = e−x sin nxdx = −e−x sin nx + n e−x cos nxdx
y = t2 ln(2 − t2 )
【答案】 y = 2x
【解析】

2009年考研数学二试题与答案解析

2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题： 1～ 8 小题 , 每小题 4 分 , 共 32 分 , 下列每小题给出的四个选项中 , 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 .x x 3(1) 函数 f x 的可去间断点的个数为sin xA1B 2C 3D 无穷多个【答案】 C【解析】由于 fx x x 3, 则当 x 取任何整数时 ,f x 均无意义 .sinx故 fx 的间断点有无穷多个 , 但可去间断点为极限存在的点, 故应是 xx 30 的解x1,2,30, 1 .lim x x 31 3x 21xlimcosx,x 0sin x 0lim x x 31 3x22xlimcosx,x 1sinx 1lim x x 3 lim 1 3x 22 .x1sin x x 1 cos x 故可去间断点为 3个,即0,1.(2) 当 x0 时 , f x x sin ax 与 g xx 2 ln 1 bx 是等价无穷小 , 则Aa 1,b1B a 1,b 1C a1 D a1661,b1,b【答案】 A66【解析】lim f ( x) lim x sin ax lim x sin axxg ( x) x 0 x 2 ln(1 bx) x 0 x 2 ( bx)1 a cosax洛 lim a 2 sin ax洛 lim 3bx 26bxx 0x 0a 2sin ax a 3 1,lim 6b6bx 0axaa 36b , 故排除 B, C .另外 , lim1a cosax存在 , 蕴含了 1 a cosax 0 x 0 , 故 a 1.排除 D .2x 0所以本题选(3) 设函数3bxA .z f x, y 的全微分为 dzxdx ydy , 则点 0,0A 不是 f x, y 的连续点B 不是 f x, y 的极值点C是 fx, y 的极大值点D是 fx, y 的极小值点【答案】 D【解析】因 dzxdx ydy 可得z x, z y.x yA2 z1, B2 z2z 0, C2 z1 ,2x yy x2xy又在 0,0处 , z0, z 0 , AC B 21 0 ,x y故 0,0 为函数 zf ( x, y) 的一个极小值点 .(4)设函数 fx, y 连续,则2 2 f x, y dy2dy 4 ydx1 y f x, y dx1xA 2dx 4 xx, y dyB 2dx4 xx, y dy11 f1x fC2 dy4 yx, y dxD2 2f x, y dx【答案】 C11 f 1 dyy22f ( x, y) dy 22f (x, y) dx 的积分区域为两部分：【解析】dx dy x1 x 1D 1 ( x, y) 1 x 2, x y 2 , D 2(x, y) 1 y 2, yx 4 y ,将其写成一块 D( x, y) 1 y 2,1 x 4 y ,2 dy 4 y故答案为 C .故二重积分可以表示为11f (x, y)dx ,(5)若 f x 不变号,且曲线 y f x 在点 1,1 上的曲率圆为x2y2 2 ,则函数 f x在区间1,2 内A C 有极值点 , 无零点有极值点 , 有零点BD无极值点 , 有零点无极值点 , 无零点【答案】B【解析】由题意可知, f ( x) 是一个凸函数,即 f ( x)0, 且在点(1,1)处的曲率| y|1, 而f(1) 1 ,由此可得, f(1) 2 .32(1 ( y ) 2 ) 2在 [1,2] 上, f ( x)f(1)10,即 f ( x) 单调减少,没有极值点.对于 f (2) f (1)f( )1(1, 2) ,(拉格朗日中值定理)f (2) 0 而 f(1)10 ,由零点定理知 , 在[1, 2]上 ,f (x) 有零点.故应选B.（ 6）设函数y f x在区间1,3上的图形为：则函数 F xxf t dt 的图形为0A BCD【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由yf ( x)的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、x x 0 所围的图形的代数面积为所求函数F (x) ，从而可得出几个方面的特征：① x 0,1 时， F (x) 0 ，且单调递减。

2009考研数学二真题及答案

2009考研数学二真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。

另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。

2009 考研数学数二真题

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）.
x 1t e u 2 du, 0 9. 曲线在 (0, 0) 处的切线方程为 2 2 y t ln(2 t ) 10. 已知

.
ek | x|dx 1 ，则 k
.
-2-
11. lim e x sin nxdx
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）. 1. 函数 f ( x) x x3 的可去间断点的个数为（ sin x ）.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 无穷多个
）.
2. 当 x 0 时， f ( x) x sin ax 与 g ( x) x 2 ln(1 bx) 是等价无穷小，则（ (A) a 1, b
O (A) 2 A 3B O
）.
2 B O O (C) 2B
T
O (B) 3 A
T
3 A O
O (D) 3B
2 A O
1 0 0 ，若 P ( , , ) ， 8. 设 A ， P 均为 3 阶矩阵， P 为 P 的转置矩阵，且 P AP 1 2 3 0 1 0 0 0 2
设 z f ( x y, x y, xy ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与
2 z . xy
18.（本题满分 10 分）.
设非负函数 y y ( x) （ x 0 ），满足微分方程 xy y 2 0 . 当曲线 y y ( x) 过原点时，其与直线 x 1 及 y 0 围成的平面区域的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积.

考研数学二试题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无穷多个【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-= 【答案】A【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛 36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim3x a axbx →--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D .所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点. (4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰ 【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点()D 无极值点,无零点【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||2(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。

2009年考研真题数二

数．解方程 A 2ξ 3 = ξ 1 ，
2 0⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ 2 A = ⎜ − 2 − 2 0⎟， ⎜ 4 ⎟ 4 0 ⎝ ⎠
1⎞ ⎛ 2 0 − 1⎞ ⎜ 1 1 0 − ⎟ ⎛ 2 2⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − 2 − 2 0 1 ⎟ → ⎜ 0 0 0 0 ⎟， ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎜ 4 4 0 2 − ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 − 1 − 1 − 1⎞ ⎟ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜−1 1 ⎜ 0 − 4 − 2 − 2⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 1 − 1 − 1 − 1⎞ ⎜ 1 1 ⎟ → ⎜0 1 ⎟ 2 2 ⎟ ⎜ 0 0 ⎠ ⎝0 0 1 1⎞ ⎛ − ⎟ ⎜1 0 − 2 2⎟ ⎜ ． 1 1 ⎟ → ⎜0 1 ⎜ 2 2 ⎟ 0 ⎟ ⎜0 0 0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2 ⎟ 1 ⎟ 1⎟ ⎜ ⎜ 故ξ 2 = + k 1 − ，其中 k1 为任意常 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
⎛ 0 3B∗ ⎞ ⎟ （B） ⎜ ⎟ ⎜ 3 A∗ 0 ⎠ ⎝ ⎛ 0 3 A∗ ⎞ ⎟ （D） ⎜ ⎟ ⎜ 3B∗ 0 ⎠ ⎝
2B∗ ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎠ 2 A∗ ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎠
【答案】（B）
⎛0 【解析】由于分块矩阵 ⎜ ⎝B 0 B A 0
A⎞ ⎟ 的行列式 0⎠
= ( −1) 2×2 A B = 2 × 3 = 6 ，即分块
2
= (λ − a )((λ − a ) 2 + (λ − a ) − 2 ) = (λ − a )(λ − a − 1)(λ − a + 2)
所以二次型的矩阵 A 的特征值为 a − 2, a , a + 1．

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案

⎝e ⎠
e
−2
2 −
最小值为 y = e e 。【答案】 e e 。
⎜⎛ 2 0 0⎟⎞ （14）设α , β 为 3 维列向量，β T 为 β 的转置向量，若αβ T 相似于 ⎜ 0 0 0⎟ ，则 β Tα ＝
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）函数 f (x) = x − x3 的可去间断点的个数，则（） sin πx
（A）1
（B）2
（C） 3
（5）若 f ′′(x) 不变号，且曲线 y = f (x) 在点 (1,1) 上的曲率圆为 x2 + y 2 ＝2，则 f (x) 在区
间（1，2）内（）（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点
【解析与点评】在点（1，1）处的领域内 f (x) 凸性不变（上凸），即 f ′′( x) < 0 ，由曲率圆
z = 1 ( x 2 + y 2 ) ，有最小值 0，立即有结果 D。这是水木艾迪一再强调的凑微分方法。 2
（方法 2）由 dz = xdx + ydy 可得 ∂z = x, ∂z = y
∂x
∂y
A = ∂ 2 z = 1, B = ∂ 2 z = ∂ 2 z = 0, C = ∂ 2 z = 1
e −1
+
n
n2
) +1
=
0
（12）设 y = y(x) 是方程 xy + e y = x + 1 确定的隐函数，则 d 2 y

2009年考研数学二真题答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx -=的可去间断点的个数，则（） ()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C【解析】()3s i n x x f x x π-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax=-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则 222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax a →==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。

另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。

2009考研数学二真题及答案解析

全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无穷多个【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-= 【答案】A 【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛 36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim3x a axbx →--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D .所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点. (4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰ 【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点()D 无极值点,无零点【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。