离散数学习题课 ppt课件

ｘ（G(X) ∧ F(X)）。真
18.04.2020
计算机科学与工程系 4
第二章 一阶逻辑（习题）
4、在一阶逻辑中将下列命题
符号化。 1）在北京卖菜的人不全是外
2）F(X)：X是乌鸦， G(X) ：X是黑色的。
地人。
ｘ（F(X) G(X)），
2）乌鸦都是黑色的。
ｘ（F(X) ∧ G(X)）
3）有的人天天锻炼身体 。
X·Y=0。
2）F（X，Y）： X·Y=0，
2）存在着X，对所有的Y，都有 ｘyF（X，Y）。真
X·Y=0。
3）对所有的X，都存在Y，使得 3）F（X，Y）： Y = X +1 ，
Y = X +1。
ｘy F（X，Y）。真
4）对所有的X， Y都有X·Y= Y·X。 4）F（X，Y）： X·Y = Y·X ，
18.04.2020
计算机科学与工程系11
第二章 一阶逻辑（习题）
10、给定解释I如下： a） 个体域D为自然数集合N 。 b） D中特定元素a=2 。 c） 特定函数f(x,y)=x+y， g(x,y)=x·y 。 d） 特定谓词F(x,y)：x=y。 说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值。 1） ｘF(g(x,a) ，x) ) 。 2） ｘY（F(f(x,a) , y ) F(f(y,a) , x )) 。 3） ｘy z F(f(x,y) , z ) 。 4） ｘF(f(x,x) , g(x,x) ) 。
第二章 一阶逻辑（习题）
2、在一阶逻辑中将下列命题 1-a）F(X) ：X能被2整除。
符号化，并讨论个体域为(a), ｘＦ(ｘ)。假
(b)时命题的真值。 1）凡有理数都能被2整除。 2）有的有理数都能被2整除。
1-b）G(X) ：X是有理数。
ｘ（G(X) F(X)）。假
其中，
2-a）F(X) ：X能被2整除。
4）G(X) ：X是汽车。 M（X，Y）：X比Y慢。
(ｘy（ F(x) ∧ G(y)
M(Y, X))。
18.04.2020
计算机科学与工程系 6
第二章 一阶逻辑（习题）
6、将下列命题符号化，个体域
1）F（X，Y）： X·Y=0，
为R，并指出其真值。
ｘy F（X，Y）。真
1）对所有的X，都存在Y，使得
18.04.2020
计算机科学与工程系12
第二章 一阶逻辑（习题）
解： 1） ｘ（x·2=x ) 。 任意的自然数X，都有x·2=x 。假 2） ｘY（（x+2=y) (y+2=x)) 。 任意的自然数X和Y，如果x+2=y ，则y+2=x 。假 3） ｘyz(x+y=z) 。 任意的自然数X和Y，都存在自然数z，使得x+y=z 。真 4） ｘ（x+x= x·x) 。 存在自然数X和Y，使得x+x= x·x。真
12、证明下列各式既不是永真的也不是永假的： 1） ｘ（F(x) y(G(y)∧H(x,y)) )。 2） ｘ y（F(x) ∧ G(y) H(x,y))。
18.04.2020
计算机科学与工程系20
第二章 一阶逻辑（习题）
1） D:N,F(x) :x是偶数, G(x) :x是奇数, H(x,y)：x≥y。 ｘ（F(x) y(G(y)∧H(x,y)) ):对任意的自然数x，如 果x是偶数，则存在奇数 y，使得x≥y。假 D:N,F(x) :x是偶数, G(x) :x是奇数, H(x,y)：x≠y。 ｘ（F(x) y(G(y)∧H(x,y)) ):对任意的自然数x，如 果x是偶数，则存在奇数 y，使得x ≠ y。真 综上， ｘ（F(x) y(G(y)∧H(x,y)) )既不是永真的 也不是永假的。
自由出现:X，Y,
1） ｘ（F(X) G(X,Y)) 。 约束出现:X，Y。
2） ｘF(X,Y) yG(X,Y)) 。3）指导变元:X，Y，Z，
3） ｘy(F(X,Y) ∧ G(Y,Z)) 辖域: （ｘ）：F(X,Y)∧G(Y,Z)
∨ X H(X,Y,Z) 。 1）指导变元:X, 辖域: F(X) G(X,Y), 自18由.04.出2020现:Y,约束出现:X。
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计算机科学与工程系21
第二章 一阶逻辑（习题）
2） D:N,F(x) :x是偶数, G(x) :x是奇数, H(x,y)：x≥y。 ｘ y（F(x) ∧ G(y) H(x,y)):对任意的自然数x和y ， 如果x是偶数， y是奇数，则x≥y。假 D:N,F(x) :x是偶数, G(x) :x是奇数, H(x,y)：x≠y。 ｘ y（F(x) ∧ G(y) H(x,y)):对任意的自然数x和y ， 如果x是偶数， y是奇数，则x ≠ y。真 综上， ｘ y（F(x) ∧ G(y) H(x,y))既不是永真的 也不是永假的。
3） ｘyz(x+y=z) 。 假
3）存在整数X,对任意的 整数Y和Z，都使得 x+y=z 。假
18.04.2020
计算机科学与工程系 8
第二章 一阶逻辑（习题）
8、指出下列各公式中的指导 2）指导变元:X,Y，
变元，量词的辖域，各变元的
辖域: （ｘ）：F(X,Y), （ y ）：G(X,Y)，
自由出现和约束出现。
F(X):X是在北京卖菜的人， 3）F(X)：X是人，
G(X) ：X是外地人。
G(X) ：X天天锻炼身体 。
ｘ（F(X) G(X)）， ｘ（F(X) G(X)），
ｘ（F(X) ∧ G(X)） 18.04.2020
ｘ（F(X) ∧ G(X)） 计算机科学与工程系 5
第二章 一阶逻辑（习题）
5、在一阶逻辑中将下列命题 2）G(X) ：X是汽车。
18.04.2020
计算机科学与工程系14
第二章 一阶逻辑（习题）
解：
1） P (Q P) P Q P 1 ，
用F(x,y) 代替上式中的P，用代替上式中的Q，得 F(x,y) (G(x,y) F(x,y) ) 是永真的。
2）因为 F(x) F(x) F(x) F(x) 1 ， 所以ｘ（F(x) F(x)) 1 。 因为y(G(y)∧G(y)) 0，
18.04.2020
计算机科学与工程系13
第二章 一阶逻辑（习题）
11、判断下列各式的类型： 1） F(x,y) (G(x,y) F(x,y) )。 2） ｘ（F(x) F(x)) y(G(y)∧G(y)) 。 3） ｘyF(x,y) ｘyF(x,y) 。 4） ｘ yF(x,y) yxF(x,y)。 5） ｘy(F(x,y) F(y,x) )。 6） （ｘF(x) y G(y) ）∧ yG(y)。
所以ｘ（式。
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计算机科学与工程系15
第二章 一阶逻辑（习题）
3） D:R,F(x,y) :x>y, ｘyF(x,y) :对任意的实数x,存在实数y，使得x>y。真 ｘyF(x,y) :存在实数x,对任意的实数y，使得x>y。假 所以， ｘyF(x,y) ｘyF(x,y) 为假。 D:N,F(x,y) :x>y, ｘyF(x,y) :对任意的自然数x,存在自然数y，使得x>y。假 ｘyF(x,y) :存在自然数x,对任意的自然数y，使得x>y。假 所以， ｘyF(x,y) ｘyF(x,y) 为真。 综上， ｘyF(x,y) ｘyF(x,y) 为可满足的。
18.04.2020
计算机科学与工程系10
第二章 一阶逻辑（习题）
解： 1） ｘY（（x<y) (x=y) ) 。 任意的实数X和Y，如果x小于y，则x不等于y。真 2） ｘY（（x-y=0) (x<y)) 。 任意的实数X和Y，如果x-y=0 ，则x<y 。假 3） ｘy((x<y) (x-y=0))。 任意的实数X和Y，如果x小于y，则x-y不等于0。真 4） ｘY（(x-y<0)(x=y)) 。 任意的实数X和Y，如果x-y小于0，则x等于y。假
18.04.2020
计算机科学与工程系18
第二章 一阶逻辑（习题）
6）（PQ）∧Q（PQ）∧QP∧Q∧Q 0， 用ｘF(x) 和 y G(y)分别替换上式中的P，Q，可得 （ｘF(x) y G(y) ）∧ yG(y)是永假的。
18.04.2020
计算机科学与工程系19
第二章 一阶逻辑（习题）
5） D:R,F(x,y) :x>y, ｘy(F(x,y) F(y,x) ):对任意的实数x和 y，如果 x>y ，则y>x。假 D:R,F(x,y) :x+y=2, ｘy(F(x,y) F(y,x) ):对任意的实数x和 y，如果 x+y=2 ，则 y + x=2 。真 综上，ｘy(F(x,y) F(y,x) )是可满足的。
(a)个体域为有理数集合。 ｘＦ(ｘ)。真
(b)个体域为实数集合。
2-b）G(X) ：X是有理数。
ｘ（G(X) ∧ F(X)）。真
18.04.2020
计算机科学与工程系 3
第二章 一阶逻辑（习题）
3、在一阶逻辑中将下列命题 1-a）F(X) ：x22(x2)x(2)
符号化，并讨论个体域为(a), ｘＦ(ｘ)。真
离散数学习题课（二）
18.04.2020
计算机科学与工程系 1
第二章 一阶逻辑（习题）
1、将下列命题用0元谓词符号化：
1）小王学过英语和法语。F(X) ：小王学过X。 a：英语，
b：法语。 F(a) ∧ F(b) 。
2）除非李健是东北人， F(X) ：X是东北人。
否则他一定怕冷。
G(X) ：X一定怕冷。a：李健。
ｘy F（X，Y）。真
18.04.2020