第八章 电路

i , Im , I
§8. 3 相量法基础
两个正弦量的相加
i1 = 2 I1 co ω t +ψ1 ) s(
i2 =
2 I2 co ω t +ψ2 ) s(
角频率： 角频率： ω 有效值： 有效值：
u, i i1 I1
i1 0
ω
i2
i2 I2
i1+i2 →i3 i3 ω I3 ωt
初相位： 初相位： Ψ 1
例
计算下列两正弦量的相位差。 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1(t) = 10cos(100 t + 3 4) ϕ = 3π 4−(−π 2) = 5π 4 > 0 π π ϕ = 2π −5π 4 =−3 4 π i2(t) = 10cos(100 t −π 2) π
π (2) i1(t) = 10cos(100 t + 300 )
0
t = 0 →50 =100cosθ
由于最大值发生在计时起点之后
i(t) = 100cos(103 t − ) 3
当 10 t1 =π 3 有 大 最 值
3
π
θ = ±π 3 π θ =−
3
t1＝ 3 ＝ .047m 1 s 10
π3
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 。
( 取实部： 对A(t)取实部： Re[A t)] = 取实部
2Icos(ω t +Ψ )
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i = 2Icos(ω t +Ψ) ↔ A t) = 2Ie (
jψ
j(ω t+ ) Ψ
A(t)还可以写成 还可以写成
A t) = 2Ie ejωt = 2 I ejωt (
周期性电流、 4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变， 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 大小工程上采用有效值来表示。 大小工程上采用有效值来表示。 周期电流、电压有效值 周期电流、电压有效值(effective value)定义 定义
直流I 直流
物 理 意 义
第8章
重点： 重点：
相量法
正弦量的表示、相位差； 1. 正弦量的表示、相位差； 2. 正弦量的相量表示 电路定理的相量形式； 3. 电路定理的相量形式；
8.1
1.复数 的表示形式 1.复数A的表示形式 复数 Im b
复数
) A=a+jb (j = −1 为虚数单位
Im b A |A|
A
θ
0 1) a Re 2) 0 a Re
θ
a Re
| A|= a2 + b2 b = ctg θ ar a 2.复数运算
a =| A| cosθ b =| A| sinθ
Im A2
图解法
(1)加减运算 (1)加减运算——采用代数形式 采用代数形式 加减运算 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
都可以看成旋转因子。 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
8.2 正弦量
正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路称 为正弦电路或交流电路。 为正弦电路或交流电路。 i 波形： 波形： 瞬时值表达式： 瞬时值表达式： T O t
1. 正弦量
i(t)=Imcos(ω t+φ )
Ι
φ/ω
周期T 和频率f 周期 (period)和频率 (frequency) : 和频率
5∠47 +10∠− 25 = ?
o
5∠47o +10∠− 25o = (3.41+ j3.657) +(9.063− j4.226)
= 12.47 − j0.569 = 12.48∠− 2.61o
例2.
解
(17 + j9) (4+ j6) 220∠35 + =? 20+ j5 19.24∠27.9o ×7.211∠56.3o 原 =180.2+ j126.2 + 式 20.62∠ .04o 14 = 180.2+ j126.2+ 6.728∠70.16o
复常数
•
A(t)包含了三要素：I、 Ψ 、ω ，复常数包含了Ι , Ψ 。 包含了三要素： 、 包含了三要素
对应的相量。 称 I = I∠ 为正弦量 i(t) 对应的相量。 Ψ
•
i (t ) = 2 I cos(ω t + φ ) ⇔ I = I ∠φ
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
A1 0 Re
乘除运算——采用极坐标形式 (2) 乘除运算 采用极坐标形式 若 则:
A1=|A1| θ 1 ，A2=|A2| θ 2
A ⋅ A = A e jθ1 ⋅ A e jθ2 = A A e j(θ1+θ2 ) 1 2 1 2 1 2
θ = A A ∠ 1 +θ2 1 2
jθ1
乘法：模相乘，角相加。 见图 见图8-3) 乘法：模相乘，角相加。(见图
φ uφ i ϕ 先到达最大值。 • ϕ <0， i 超前 uϕ 角，或u 滞后 i ϕ 角,i 比 u 先到达最大值。 ，
ωt
特殊相位关系： 特殊相位关系：
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ϕ =±π (±180o ) ，反相： 反相： ±π ±
u, i u u i 0 u, i u i 0 iω t
ϕ ＝ 0， 同相： 同相：
设 u(t)=Umcos(ω t+φu), i(t)=Imcos(ω t+ φ i) 则 相位差 ：ϕ = (ω t+ φ u)- (ω t+ φ i)= φ u等于初相位之差
φi
规定： 规定： |ϕ | ≤π (180°)。 °。
• ϕ >0， u超前 ϕ 角，或i 滞后u ϕ 角(u 比i先到达最大值)； 超前i 先到达最大值) 超前 先到达最大值 u, i u i O
不能比较相位差
(4) i1(t) = 5cos(100 t − 30 ) π
0
i2(t) = 3cos(100 t −1500 ) π
ϕ = −300 −(−1500 ) = 1200
i2(t) = −3cos(100 t + 30 ) π
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 且在主值范围比较。 号，且在主值范围比较。
jθ
A= a + jb
A=| A| e =| A| ∠ θ
jθ
A=| A| e
A=| A| e jθ =| A| (cosθ + j sinθ ) = a + jb
3)两种表示法的关系： 两种表示法的关系： 两种表示法的关系
Im b
A |A|
A=a+jb A=|A|ejθ =|A| θ
直角坐标表示 极坐标表示 0 或
称为旋转因子。 故把 ejθ 称为旋转因子。
几种不同θ 几种不同θ值时的旋转因子
Im
θ=
e
j
π
2
& + jI
0
& I
,
π
2
= cos
π
2
+ j sin
π
2
Re
& − jI
=+j
& −I
π θ=− , e 2
π j− 2
π π ( = cos(− ) + j sin − ) = − j 2 2
θ = ±π , e j±π = cos(±π) + j sin(±π) = −1
ω = 2π f = 2π T
单位： 单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2π π tωt
初相位(initial phase angle)φ (3) 初相位 φ 反映正弦量的计时起点。 反映正弦量的计时起点。
Φ
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i2(t) = 10sin 100 t −150 ) ( π (3) u (t) = 10cos(100 t + 300 ) π 1 u2(t) = 10cos(200 t + 450 ) π
i2(t) = 10cos(100 t −1050 ) π
ϕ = 300 −(−1050 ) = 1350
ω1 ≠ω2
u, i
0 ϕ= π/2： π/2
ωt
u 超前 i π/2, 不说 u 滞后 i 3π/2； π/2 π ； i 滞后 u π/2, 不说 i 超前 u 3π/2。 π/2 π 。
ωt
注意:同样可比较两个电压或两个电流的相位差。 注意 同样可比较两个电压或两个电流的相位差。 同样可比较两个电压或两个电流的相位差
o
= 180.2+ j126.2+ 2.238+ j6.329
= 182.5+ j132.5 = 225.5∠36o
旋转因子： (3) 旋转因子： 复数
Im
A• ejθ
θ A Re
ejθ =cosθ
+jsinθ =1∠θ ∠
0
A• ejθ 相当于 逆时针旋转一个角度θ ，而模不变。 相当于A逆时针旋转一个角度 而模不变。
Im = 2I
i(t) = Im cos(ω t +Ψ ) = 2I cos(ω t +Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U=
1 2
Um
或
Um = 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um≈311V； ，则其最大值为 若一交流电压有效值为 ； U=380V， ， Um≈537V。 。 ） 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值， 注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设 备铭牌额定值、电网的电压等级等 。 但绝缘水平 、 耐压值 备铭牌额定值 、 电网的电压等级等。 但绝缘水平、 指的是最大值。 因此， 指的是最大值 。 因此 ， 在考虑电器设备的耐压水平时应按 最大值考虑。 最大值考虑。 （2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 ）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
R
交流i 交流
R
W = RI T
2
W = ∫ R (t)dt i
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I= ∫0 i (t )dt T
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值： 同样，可定义电压有效值： 正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(ω t+Ψ )
1 f = T
单位： ， 兹 单位：Hz，赫(兹)
周期T 重复变化一次所需的时间。 单位： ， 周期 ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率f 每秒重复变化的次数。 频率 ：每秒重复变化的次数。
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(ω t+ φ)
(1)幅值 振幅、 最大值) (1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 反映正弦量变化幅度的大小。 角频率(angular frequency)ω (2) 角频率 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
1 U= T
def
∫
T
0
u ( t )dt
2
1 T 2 I= Im cos2( ω t +Ψ ) dt ∫0 T
Q
∫
T
0
cos ( ω t +Ψ ) dt = ∫
2
T
0
1+cos2(ω t +Ψ ) 1 dt = t 2 2
T 0
1 = T 2
1 2 T Im Im ⋅ = ∴ I= = 0.707Im T 2 2
i
一般规定： 一般规定：| Φ |≤π 。 ≤π
O
t
Φ =0 Φ =－π/2 －
Φ =π π
例
100 50
i
已知正弦电流波形如图， 已知正弦电流波形如图，ω＝103rad/s，（1） ， ） 写出i(t)表达式； 写出 表达式； 表达式 （2）求最大值发生的时间 1 ）求最大值发生的时间t
t
t1
解 i(t) = 100cos(103 t +θ )
•
u(t) = 2Ucos(ω t +θ ) ⇔ U = U θ ∠
Ψ2
Ψ3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以， 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此， 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，
正弦量
复数
实际是变 换的思想
1正弦量的相量表示 造一个复函数
A t) = 2Ie (
j(ωt +Ψ)
( = 2Icos(ωt + Ψ) + j 2Isin ωt +Ψ)
A | A |∠θ1 | A | e | A | j(θ1−θ2 ) 1 1 1 = = = 1 e A | A |∠θ2 | A | ejθ 2 | A | 2 2 2 2 |A| = 1 θ1 −θ2 |A | 2
除法：模相除，角相减。 见图 见图8-3) 除法：模相除，角相减。(见图
o
例1. 解